Khái niệm về dạng bậc hai. Ma trận dạng bậc hai. Dạng kinh điển của dạng bậc hai. Phương pháp Lagrange. Hình ảnh bình thường của một dạng bậc hai. Xếp hạng, chỉ số và chữ ký của dạng bậc hai. Dạng bậc hai xác định dương. Tứ giác.

Khái niệm về dạng bậc hai: một hàm trên không gian vectơ được xác định bởi đa thức đồng nhất bậc hai trong tọa độ của vectơ.

Dạng bậc hai từ N không xác định được gọi là tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các ẩn số này hoặc là tích của hai ẩn số khác nhau.

Ma trận bậc hai: Ma trận được gọi là ma trận dạng bậc hai có cơ sở cho trước. Nếu đặc tính trường không bằng 2, thì chúng ta có thể giả sử rằng ma trận dạng bậc hai là đối xứng.

Viết ma trận dạng bậc hai:

Kể từ đây,

Ở dạng ma trận vectơ, dạng bậc hai là:

A, ở đâu

Dạng chính tắc của dạng bậc hai: Một dạng bậc hai được gọi là chính tắc nếu tất cả I E.

Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng các phép biến đổi tuyến tính. Trong thực tế, các phương pháp sau thường được sử dụng.

Phương pháp Lagrange : lựa chọn tuần tự các hình vuông hoàn chỉnh. Ví dụ, nếu

Sau đó thực hiện quy trình tương tự với dạng bậc hai v.v. Nếu ở dạng bậc hai thì mọi thứ đều như vậy nhưng sau đó, sau khi chuyển đổi sơ bộ, vấn đề sẽ được chuyển sang quy trình được xem xét. Vì vậy, nếu, ví dụ, thì chúng ta giả sử

Dạng bình thường của dạng bậc hai: Dạng bậc hai thông thường là dạng bậc hai chính tắc trong đó tất cả các hệ số đều bằng +1 hoặc -1.

Xếp hạng, chỉ số và chữ ký của dạng bậc hai: Xếp hạng của dạng bậc hai MỘTđược gọi là hạng của ma trận MỘT. Thứ hạng của dạng bậc hai không thay đổi dưới các phép biến đổi không suy biến của ẩn số.

Số lượng các hệ số âm được gọi là chỉ số dạng âm.

Số số hạng dương ở dạng chính tắc gọi là chỉ số quán tính dương của dạng bậc hai, số số hạng âm gọi là chỉ số âm. Sự khác biệt giữa chỉ số dương và chỉ số âm được gọi là chữ ký của dạng bậc hai

Dạng bậc hai xác định dương: Dạng bậc hai thực được gọi là xác định dương (xác định âm) nếu, với bất kỳ giá trị thực nào của các biến không đồng thời bằng 0,

. (36)

Trong trường hợp này, ma trận còn được gọi là ma trận xác định dương (xác định âm).

Lớp các dạng xác định dương (xác định âm) là một phần của lớp các dạng không âm (tương ứng không dương).

Tứ giác: Tứ giác - N siêu bề mặt có chiều trong N Không gian +1 chiều, được định nghĩa là tập hợp các số 0 của đa thức bậc hai. Nếu bạn nhập tọa độ ( x 1 , x 2 , xn+1 ) (trong không gian Euclide hoặc affine), phương trình tổng quát của bậc bốn là

Phương trình này có thể được viết lại gọn hơn dưới dạng ký hiệu ma trận:

trong đó x = ( x 1 , x 2 , xn+1 ) — vectơ hàng, x T là một vectơ chuyển vị, Q- ma trận kích thước ( N+1)×( N+1) (giả sử rằng ít nhất một trong các phần tử của nó khác 0), P là một vectơ hàng và R- không thay đổi. Bậc hai trên số thực hoặc số phức thường được xem xét nhiều nhất. Định nghĩa có thể được mở rộng sang bậc bốn trong không gian xạ ảnh, xem bên dưới.

Tổng quát hơn, tập hợp các số 0 của một hệ phương trình đa thức được gọi là đa tạp đại số. Do đó, một tứ giác là một biến thể đại số (affine hoặc xạ ảnh) bậc hai và hệ số 1.

Các phép biến đổi của mặt phẳng và không gian.

Định nghĩa phép biến đổi mặt phẳng. Phát hiện chuyển động. tính chất của chuyển động. Có hai loại chuyển động: chuyển động loại thứ nhất và chuyển động loại thứ hai. Ví dụ về chuyển động. Biểu hiện phân tích của chuyển động. Phân loại chuyển động phẳng (tùy theo sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến). Nhóm chuyển động của máy bay.

Định nghĩa phép biến đổi mặt phẳng: Định nghĩa. Một phép biến đổi mặt phẳng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm được gọi là sự chuyển động(hoặc chuyển động) của mặt phẳng. Phép biến đổi mặt phẳng được gọi là affine, nếu nó biến đổi ba điểm bất kỳ nằm trên cùng một đường thành ba điểm cũng nằm trên cùng một đường thẳng và đồng thời bảo toàn quan hệ đơn giản của ba điểm.

Định nghĩa chuyển động:Đây là những phép biến đổi hình dạng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Nếu hai hình được căn chỉnh chính xác với nhau thông qua chuyển động thì các hình này giống nhau, bằng nhau.

Đặc tính chuyển động: Mọi chuyển động bảo toàn hướng của mặt phẳng đều là chuyển động tịnh tiến song song hoặc chuyển động quay; mọi chuyển động thay đổi hướng của mặt phẳng đều là đối xứng trục hoặc đối xứng trượt. Khi chuyển động, các điểm nằm trên đường thẳng biến thành các điểm nằm trên đường thẳng và thứ tự vị trí tương đối của chúng được giữ nguyên. Khi di chuyển, góc giữa các nửa đường thẳng được giữ nguyên.

Hai loại chuyển động: chuyển động loại thứ nhất và chuyển động loại thứ hai: Chuyển động loại một là những chuyển động bảo toàn hướng của các đế của một hình nhất định. Chúng có thể được nhận ra bằng các chuyển động liên tục.

Chuyển động loại thứ hai là những chuyển động làm thay đổi hướng của các đế theo hướng ngược lại. Chúng không thể được nhận ra bằng những chuyển động liên tục.

Ví dụ về chuyển động loại thứ nhất là chuyển động tịnh tiến và quay quanh một đường thẳng, và chuyển động loại thứ hai là đối xứng trung tâm và đối xứng gương.

Sự cấu thành của bất kỳ số lượng chuyển động nào thuộc loại thứ nhất đều là chuyển động thuộc loại thứ nhất.

Tổ hợp số chuyển động chẵn loại thứ hai là chuyển động loại 1, tổ hợp số chuyển động lẻ loại 2 là chuyển động loại 2.

Ví dụ về chuyển động:Chuyển song song. Gọi a là vectơ đã cho. Truyền song song sang vectơ a là ánh xạ mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M được ánh xạ tới điểm M 1, sao cho vectơ MM 1 bằng vectơ a.

Dịch song song là một chuyển động vì nó là sự ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, bảo toàn khoảng cách. Chuyển động này có thể được biểu diễn một cách trực quan dưới dạng sự dịch chuyển của toàn bộ mặt phẳng theo hướng của một vectơ a cho trước theo chiều dài của nó.

Quay. Hãy ký hiệu điểm O trên mặt phẳng ( trung tâm quay) và đặt góc α ( góc quay). Phép quay mặt phẳng quanh điểm O một góc α là ánh xạ mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M ánh xạ tới điểm M 1 sao cho OM = OM 1 và góc MOM 1 bằng α. Trong trường hợp này, điểm O vẫn giữ nguyên vị trí của nó, tức là nó được ánh xạ lên chính nó và tất cả các điểm khác quay quanh điểm O theo cùng một hướng - theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ (hình minh họa xoay ngược chiều kim đồng hồ).

Xoay là một chuyển động vì nó thể hiện sự ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, trong đó khoảng cách được bảo toàn.

Phân tích biểu hiện chuyển động: Mối liên hệ phân tích giữa tọa độ tiền ảnh và ảnh của điểm có dạng (1).

Phân loại chuyển động phẳng (tùy theo sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến): Định nghĩa:

Một điểm trên mặt phẳng là bất biến (cố định) nếu dưới một phép biến đổi nhất định, nó biến thành chính nó.

Ví dụ: Với sự đối xứng tâm, điểm của tâm đối xứng là bất biến. Khi quay, điểm tâm quay không đổi. Với đối xứng trục thì đường bất biến là đường thẳng - trục đối xứng là đường thẳng chứa các điểm bất biến.

Định lý: Nếu một chuyển động không có một điểm bất biến thì nó có ít nhất một hướng bất biến.

Ví dụ: Truyền song song. Thật vậy, các đường thẳng song song với hướng này là một hình bất biến xét về tổng thể, mặc dù nó không bao gồm các điểm bất biến.

Định lý: Nếu một tia chuyển động thì tia đó dịch chuyển thành chính nó thì chuyển động này là một phép biến đổi đồng nhất hoặc là sự đối xứng đối với đường thẳng chứa tia đã cho.

Vì vậy, dựa vào sự có mặt của các điểm hoặc hình bất biến có thể phân loại chuyển động.

Tên phong trào	Điểm bất biến	Đường bất biến
Chuyển động của loại đầu tiên.
1 lượt	(giữa) - 0	KHÔNG
2. Chuyển đổi danh tính	tất cả các điểm của mặt phẳng	tất cả đều thẳng
3. Đối xứng trung tâm	điểm 0 - trung tâm	mọi đường thẳng đi qua điểm 0
4. Truyền song song	KHÔNG	tất cả đều thẳng
Chuyển động loại thứ hai.
5. Đối xứng trục.	tập hợp các điểm	trục đối xứng (đường thẳng) tất cả các đường thẳng

Nhóm chuyển động phẳng: Trong hình học, các nhóm hình tự tạo có vai trò quan trọng. Nếu là một hình nào đó trên một mặt phẳng (hoặc trong không gian), thì chúng ta có thể xem xét tập hợp tất cả các chuyển động của mặt phẳng (hoặc không gian) trong đó hình đó biến thành chính nó.

Bộ này là một nhóm. Ví dụ, đối với một tam giác đều, nhóm chuyển động phẳng biến tam giác đó thành chính nó gồm có 6 phần tử: phép quay qua các góc xung quanh một điểm và phép đối xứng qua ba đường thẳng.

Chúng được thể hiện trong hình. 1 có đường màu đỏ. Các phần tử của nhóm tự căn chỉnh của một tam giác đều có thể được chỉ định khác nhau. Để giải thích điều này, chúng ta hãy đánh số các đỉnh của một tam giác đều bằng các số 1, 2, 3. Bất kỳ sự tự căn chỉnh nào của tam giác đều lấy các điểm 1, 2, 3 về cùng một điểm, nhưng được lấy theo một thứ tự khác, tức là. có thể được viết có điều kiện dưới dạng một trong các dấu ngoặc sau:

vân vân.

trong đó các số 1, 2, 3 biểu thị số đỉnh mà các đỉnh 1, 2, 3 đi vào do chuyển động đang xét.

Không gian xạ ảnh và mô hình của chúng.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh. Những kiến ​​thức cơ bản về hình học xạ ảnh. Một loạt các đường thẳng có tâm tại điểm O là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Điểm chiếu. Mặt phẳng mở rộng là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Không gian affine ba chiều mở rộng hoặc không gian Euclide là một mô hình của không gian xạ ảnh. Hình ảnh của các hình phẳng và không gian trong thiết kế song song.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh:

Không gian xạ ảnh trên một trường là không gian bao gồm các đường thẳng (không gian con một chiều) của một không gian tuyến tính nào đó trên một trường nhất định. Không gian trực tiếp được gọi là dấu chấm không gian xạ ảnh. Định nghĩa này có thể được khái quát hóa cho một cơ thể tùy ý

Nếu nó có thứ nguyên thì chiều của không gian xạ ảnh được gọi là số và bản thân không gian xạ ảnh được ký hiệu và gọi là liên kết với (để biểu thị điều này, ký hiệu được chấp nhận).

Sự chuyển đổi từ không gian vectơ có chiều sang không gian xạ ảnh tương ứng được gọi là sự phóng chiếu không gian.

Điểm có thể được mô tả bằng tọa độ đồng nhất.

Các sự kiện cơ bản của hình học xạ ảnh: Hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nghiên cứu các mặt phẳng và không gian xạ ảnh. Đặc điểm chính của hình học xạ ảnh là nguyên tắc đối ngẫu, giúp tăng thêm tính đối xứng thanh lịch cho nhiều thiết kế. Hình học xạ ảnh có thể được nghiên cứu cả từ quan điểm hình học thuần túy và từ quan điểm phân tích (sử dụng tọa độ đồng nhất) và quan điểm đại số, coi mặt phẳng xạ ảnh như một cấu trúc trên một trường. Thông thường và trong lịch sử, mặt phẳng xạ ảnh thực được coi là mặt phẳng Euclide với việc bổ sung "đường thẳng ở vô cực".

Trong khi đó các tính chất của các hình mà hình học Euclide đề cập đến là Hệ mét(các giá trị cụ thể của góc, đoạn, diện tích) và sự tương đương của các hình tương đương với chúng sự phù hợp(tức là, khi các hình có thể được dịch sang một hình khác thông qua chuyển động trong khi vẫn bảo toàn các thuộc tính số liệu), có nhiều đặc tính “nằm sâu” hơn của các hình hình học được bảo toàn dưới các phép biến đổi thuộc loại tổng quát hơn là chuyển động. Hình học xạ ảnh nghiên cứu các tính chất của các hình bất biến trong lớp phép biến đổi xạ ảnh, cũng như chính những phép biến đổi này.

Hình học xạ ảnh bổ sung cho hình học Euclide bằng cách cung cấp các giải pháp đơn giản và đẹp mắt cho nhiều vấn đề phức tạp do sự hiện diện của các đường thẳng song song. Lý thuyết xạ ảnh của đường conic đặc biệt đơn giản và tinh tế.

Có ba cách tiếp cận chính đối với hình học xạ ảnh: tiên đề độc lập, bổ sung hình học Euclide và cấu trúc trên một trường.

tiên đề hóa

Không gian xạ ảnh có thể được xác định bằng cách sử dụng một bộ tiên đề khác.

Coxeter cung cấp những thông tin sau:

1. Có một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó.

2. Mỗi đường thẳng có ít nhất ba điểm.

3. Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng.

4. Nếu MỘT, B, C, Và D- nhiều điểm khác nhau và AB Và đĩa CD cắt nhau thì AC. Và BD giao nhau.

5. Nếu ABC là một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm không thuộc mặt phẳng đó ABC.

6. Hai mặt phẳng khác nhau cắt nhau ít nhất tại hai điểm.

7. Ba đường chéo của một tứ giác không thẳng hàng.

8. Nếu ba điểm thẳng hàng X X

Mặt phẳng xạ ảnh (không có chiều thứ ba) được xác định bởi các tiên đề hơi khác nhau:

1. Qua hai điểm vẽ được đúng một đường thẳng.

2. Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau.

3. Có bốn điểm trong đó có ba điểm không thẳng hàng.

4. Ba đường chéo của tứ giác không thẳng hàng.

5. Nếu ba điểm thẳng hàng X là bất biến đối với phép chiếu của φ, thì tất cả các điểm trên X bất biến đối với φ.

6. Định lý Desargues: Nếu hai tam giác phối cảnh qua một điểm thì chúng phối cảnh qua một đường thẳng.

Với sự có mặt của chiều thứ ba, định lý Desargues có thể được chứng minh mà không cần đưa ra một điểm và đường lý tưởng.

Mặt phẳng mở rộng - mô hình mặt phẳng xạ ảnh: Trong không gian affine A3, chúng ta lấy một bó đường thẳng S(O) có tâm tại điểm O và một mặt phẳng Π không đi qua tâm của bó: O 6∈ Π. Một tập hợp các đường thẳng trong không gian affine là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Hãy xác định ánh xạ của tập hợp các điểm của mặt phẳng Π lên tập hợp các đường thẳng của liên kết S (Chết tiệt, cầu nguyện nếu bạn gặp câu hỏi này, hãy tha thứ cho tôi)

Không gian affine ba chiều mở rộng hay không gian Euclide—một mô hình của không gian xạ ảnh:

Để thực hiện ánh xạ tính từ, chúng ta lặp lại quá trình mở rộng chính thức mặt phẳng affine Π thành mặt phẳng xạ ảnh, Π, bổ sung cho mặt phẳng Π một tập hợp các điểm không đúng (M∞) sao cho: ((M∞)) = P0(O). Vì trong bản đồ, ảnh nghịch đảo của mỗi mặt phẳng của bó mặt phẳng S(O) là một đường thẳng trên mặt phẳng d, nên rõ ràng là tập hợp tất cả các điểm không chính xác của mặt phẳng mở rộng: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), biểu thị một đường thẳng d∞ không chính xác của mặt phẳng mở rộng, là ảnh nghịch đảo của mặt phẳng kỳ dị Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Chúng ta hãy đồng ý rằng sau đây chúng ta sẽ hiểu đẳng thức cuối cùng P0(O) = Π0 theo nghĩa đẳng thức của các tập hợp điểm, nhưng có một cấu trúc khác. Bằng cách bổ sung cho mặt phẳng affine một đường không đúng, chúng ta đã đảm bảo rằng ánh xạ (I.21) trở thành phỏng đoán trên tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng mở rộng:

Hình ảnh các hình phẳng và không gian trong quá trình thiết kế song song:

Trong phép đo lập thể, các hình không gian được nghiên cứu, nhưng trong bản vẽ chúng được mô tả dưới dạng hình phẳng. Một hình không gian nên được mô tả như thế nào trên mặt phẳng? Thông thường trong hình học, thiết kế song song được sử dụng cho việc này. Cho p là một mặt phẳng nào đó, tôi- một đường thẳng cắt nó (Hình 1). Qua một điểm tùy ý MỘT, không thuộc đường thẳng tôi, vẽ đường thẳng song song với đường thẳng tôi. Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng p gọi là hình chiếu song song của điểm MỘTđến mặt phẳng p theo hướng của đường thẳng tôi. Hãy biểu thị nó MỘT". Nếu điểm MỘT thuộc về dòng tôi, sau đó bằng phép chiếu song song MỘT giao điểm của đường thẳng được coi là nằm trên mặt phẳng p tôi với mặt phẳng p.

Như vậy, mỗi điểm MỘT không gian hình chiếu của nó được so sánh MỘT" lên mặt phẳng p. Sự tương ứng này gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng p theo hướng đường thẳng tôi.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh. Ứng dụng vào giải quyết vấn đề.

Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng. Ví dụ về các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng. Tính chất của phép biến đổi xạ ảnh. Tương đồng, tính chất của tương đồng. Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh.

Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng: Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh khái quát hóa khái niệm phép chiếu trung tâm. Nếu chúng ta thực hiện phép chiếu tâm của mặt phẳng α lên một mặt phẳng α 1 nào đó, thì phép chiếu của α 1 lên α 2, α 2 lên α 3, ... và cuối cùng là một mặt phẳng α nào đó N lại trên α 1, khi đó thành phần của tất cả các hình chiếu này là phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng α; Các phép chiếu song song cũng có thể được bao gồm trong một chuỗi như vậy.

Ví dụ về các phép biến đổi mặt phẳng xạ ảnh: Phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng hoàn chỉnh là ánh xạ một-một của nó lên chính nó, trong đó tính thẳng hàng của các điểm được bảo toàn, hay nói cách khác, ảnh của bất kỳ đường thẳng nào cũng là một đường thẳng. Bất kỳ phép biến đổi xạ ảnh nào cũng là thành phần của một chuỗi các hình chiếu trung tâm và song song. Phép biến đổi affine là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi xạ ảnh, trong đó đường thẳng ở vô cực biến thành chính nó.

Tính chất của phép biến đổi xạ ảnh:

Trong quá trình biến đổi xạ ảnh, ba điểm không nằm trên một đường thẳng sẽ được biến đổi thành ba điểm không nằm trên một đường thẳng.

Trong quá trình chuyển đổi xạ ảnh, khung biến thành khung.

Trong quá trình biến đổi xạ ảnh, một đường thẳng biến thành một đường thẳng và một cây bút chì biến thành một cây bút chì.

Tương đồng, tính chất của tương đồng:

Một phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng có một đường thẳng gồm các điểm bất biến và do đó có một cây bút chì chứa các đường thẳng bất biến, được gọi là tương đồng.

1. Đường thẳng đi qua các điểm tương đồng tương ứng không trùng nhau là đường thẳng bất biến;

2. Các đường thẳng đi qua các điểm tương đồng không trùng nhau thuộc cùng một cây bút chì, tâm là điểm bất biến.

3. Điểm, ảnh và tâm đồng đẳng nằm trên một đường thẳng.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh: xét ánh xạ xạ của mặt phẳng xạ ảnh P 2 lên chính nó, tức là phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng này (P 2 ' = P 2).

Như trước đây, thành phần f của các phép biến đổi xạ ảnh f 1 và f 2 của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là kết quả của việc thực hiện tuần tự các phép biến đổi f 1 và f 2: f = f 2 °f 1 .

Định lý 1: tập H của tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là một nhóm theo thành phần của các phép biến đổi xạ ảnh.

Một đa thức đồng nhất bậc 2 với nhiều biến được gọi là dạng bậc hai.

Dạng bậc hai của biến bao gồm các số hạng có hai loại: bình phương của các biến và tích từng cặp của chúng với các hệ số nhất định. Dạng bậc hai thường được viết dưới dạng sơ đồ hình vuông sau:

Các cặp số hạng giống nhau được viết với các hệ số bằng nhau, sao cho mỗi số hạng đó tạo thành một nửa hệ số của tích tương ứng của các biến. Do đó, mỗi dạng bậc hai được liên kết một cách tự nhiên với ma trận hệ số của nó, ma trận này có tính đối xứng.

Thật thuận tiện khi biểu diễn dạng bậc hai theo ký hiệu ma trận sau. Chúng ta hãy biểu thị bằng X một cột gồm các biến thông qua X - một hàng, tức là một ma trận hoán vị với X. Khi đó

Dạng bậc hai được tìm thấy trong nhiều ngành toán học và các ứng dụng của nó.

Trong lý thuyết số và tinh thể học, dạng bậc hai được xem xét với giả định rằng các biến chỉ lấy giá trị nguyên. Trong hình học giải tích, dạng bậc hai là một phần của phương trình đường cong (hoặc bề mặt) có trật tự. Trong cơ học và vật lý, dạng bậc hai biểu hiện động năng của một hệ thông qua các thành phần vận tốc tổng quát v.v. Nhưng ngoài ra, việc nghiên cứu dạng bậc hai cũng cần thiết trong giải tích khi nghiên cứu hàm nhiều biến, trong các câu hỏi mà điều quan trọng là phải tìm ra làm thế nào hàm số này trong vùng lân cận của một điểm cho trước lệch khỏi hàm tuyến tính gần đúng với nó. Một ví dụ về bài toán thuộc loại này là việc nghiên cứu hàm số cực đại và cực tiểu của nó.

Ví dụ, hãy xem xét vấn đề nghiên cứu cực đại và cực tiểu của hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục theo thứ tự. Điều kiện cần để một điểm cho giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm số là đạo hàm riêng của cấp tại điểm đó bằng 0. Giả sử rằng điều kiện này được đáp ứng. Hãy cho các biến x và y số gia nhỏ và k và xem xét số gia tương ứng của hàm. Theo công thức của Taylor, số gia này, cho đến các bậc cao hơn nhỏ, bằng dạng bậc hai trong đó là các giá trị của đạo hàm bậc hai được tính tại điểm Nếu dạng bậc hai này dương với mọi giá trị của và k (trừ ) thì hàm có cực tiểu tại điểm; nếu âm thì nó có cực đại. Cuối cùng, nếu một biểu mẫu nhận cả giá trị dương và giá trị âm thì sẽ không có giá trị tối đa hoặc tối thiểu. Hàm số có số lượng biến lớn hơn được nghiên cứu theo cách tương tự.

Việc nghiên cứu các dạng bậc hai chủ yếu bao gồm việc nghiên cứu vấn đề về sự tương đương của các dạng đối với một hoặc một tập hợp các phép biến đổi tuyến tính khác của các biến. Hai dạng bậc hai được gọi là tương đương nếu một trong chúng có thể được chuyển đổi thành dạng kia bằng một trong các phép biến đổi của một tập hợp nhất định. Liên quan chặt chẽ đến vấn đề tương đương là vấn đề rút gọn hình thức, tức là chuyển đổi nó sang một số dạng có thể đơn giản nhất.

Trong các câu hỏi khác nhau liên quan đến dạng bậc hai, nhiều tập hợp biến đổi có thể chấp nhận được của các biến cũng được xem xét.

Trong các câu hỏi phân tích, bất kỳ phép biến đổi không đặc biệt nào của các biến đều được sử dụng; Đối với mục đích của hình học giải tích, các phép biến đổi trực giao được quan tâm nhiều nhất, tức là những phép biến đổi tương ứng với sự chuyển đổi từ một hệ tọa độ Descartes biến đổi sang một hệ tọa độ khác. Cuối cùng, trong lý thuyết số và tinh thể học, các phép biến đổi tuyến tính với hệ số nguyên và định thức bằng đơn vị được xem xét.

Chúng ta sẽ xem xét hai trong số những vấn đề này: vấn đề rút gọn dạng bậc hai về dạng đơn giản nhất thông qua bất kỳ phép biến đổi không đơn lẻ nào và vấn đề tương tự đối với các phép biến đổi trực giao. Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu xem ma trận dạng bậc hai được biến đổi như thế nào trong quá trình biến đổi tuyến tính của các biến.

Đặt , trong đó A là ma trận đối xứng có hệ số dạng, X là cột chứa các biến.

Hãy thực hiện một phép biến đổi tuyến tính của các biến, viết tắt là . Ở đây C biểu thị ma trận các hệ số của phép biến đổi này, X là cột chứa các biến mới. Khi đó và do đó, ma trận của dạng bậc hai đã biến đổi là

Ma trận tự động trở thành đối xứng, rất dễ kiểm tra. Như vậy, bài toán rút gọn ma trận bậc hai về dạng đơn giản nhất cũng tương đương với bài toán rút gọn ma trận đối xứng về dạng đơn giản nhất bằng cách nhân nó ở bên trái và bên phải với các ma trận hoán vị lẫn nhau.

Hình bậc hai f(x 1, x 2,...,x n) của n biến là một tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các biến hoặc là tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Ma trận A gồm các hệ số này được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai là f(X) = X T AX, trong đó

Thực vậy

Ví dụ: hãy viết dạng bậc hai ở dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số của các biến bình phương, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Đó là lý do tại sao

Giả sử cột ma trận của biến X thu được bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là. X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến cấp n. Khi đó dạng bậc hai f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận dạng bậc hai có dạng: A * =C T AC.

Ví dụ: hãy tìm dạng bậc hai f(y 1, y 2), thu được từ dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(Nó có chế độ xem chuẩn), nếu tất cả các hệ số của nósa ij = 0 với i≠j, tức là f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ: hãy đưa về dạng chính tắc dạng bậc hai f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh có biến x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn một hình vuông hoàn chỉnh với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Khi đó, phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 và y 3 = x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắcf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Lưu ý rằng dạng chính tắc của dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo nhiều cách khác nhau 1). Tuy nhiên, các dạng kinh điển thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau đều có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào phương pháp quy giản về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính dạng bậc hai.

Chúng ta hãy xác minh điều này bằng cách đưa dạng bậc hai tương tự sang dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , trong đó y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 và y 3 = x 1 . Ở đây có hệ số dương là 2 cho y 3 và hai hệ số âm (-3) cho y 1 và y 2 (và sử dụng phương pháp khác, chúng ta thu được hệ số dương là 2 cho y 1 và hai hệ số âm - (-5) cho y 2 và (-1/20) cho y 3 ).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của một ma trận dạng bậc hai, được gọi là hạng của dạng bậc hai, bằng số hệ số khác 0 của dạng chính tắc và không thay đổi dưới các phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f(X) được gọi là tích cực(tiêu cực)chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0 thì nó là dương, tức là f(X) > 0 (âm, tức là f(X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng của các bình phương, và dạng bậc hai f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, việc thiết lập dấu hiệu xác định của dạng bậc hai khó khăn hơn một chút, vì vậy để làm được điều này, chúng ta sử dụng một trong các định lý sau (chúng ta sẽ xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chuẩn Sylvester). Một dạng bậc hai xác định dương khi và chỉ khi tất cả các phần tử đứng đầu của ma trận dạng này đều dương.

Chính (góc) phụ Các ma trận bậc k thuộc bậc An được gọi là định thức của ma trận, gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A ().

Lưu ý rằng đối với dạng bậc hai xác định âm, các dấu của các phân số chính thay thế nhau, và phân thứ nhất phải âm.

Ví dụ, chúng ta hãy xét dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 để biết tính xác định của dấu.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Thứ chính cấp một của ma trận A  1 =a 11 = 2 > 0. Thứ chính cấp hai  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Do đó, theo tiêu chí Sylvester, phương trình bậc hai dạng xác định dương.

Chúng ta xét một dạng bậc hai khác để tìm tính xác định của dấu, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Cách 2. Cấp thứ nhất của ma trận A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Do đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, dạng bậc hai là xác định âm (dấu các dấu phụ chính xen kẽ nhau, bắt đầu bằng dấu trừ).

Và trong một ví dụ khác, chúng ta xét dạng bậc hai xác định bằng dấu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Một trong những số này là âm và số còn lại là dương. Dấu của các giá trị riêng là khác nhau. Do đó, dạng bậc hai có thể không xác định âm hoặc dương, tức là dạng bậc hai này không xác định được dấu (nó có thể lấy giá trị của bất kỳ dấu nào).

Cách 2. Thứ chính cấp 1 ma trận A  1 =a 11 = 2 > 0. Thứ chính cấp 2 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Phương pháp được xem xét để rút gọn dạng bậc hai thành dạng chính tắc sẽ thuận tiện khi sử dụng khi gặp các hệ số khác 0 trong bình phương của các biến. Nếu chúng không có ở đó, bạn vẫn có thể thực hiện chuyển đổi nhưng bạn phải sử dụng một số kỹ thuật khác. Ví dụ: cho f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, trong đó y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

hình bậc hai

Hình bậc hai f(x 1, x 2,...,x n) của n biến là một tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các biến hoặc là tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ma trận A gồm các hệ số này được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai là f(X) = X T AX, trong đó

Thực vậy

Ví dụ: hãy viết dạng bậc hai ở dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số của các biến bình phương, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Đó là lý do tại sao

Giả sử cột ma trận của biến X thu được bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là. X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến cấp n. Khi đó dạng bậc hai
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận bậc hai có dạng: A * = C T AC.

Ví dụ: hãy tìm dạng bậc hai f(y 1, y 2), thu được từ dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(Nó có chế độ xem chuẩn), nếu tất cả các hệ số của nó a ij = 0 với i ≠ j, tức là
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ: chúng ta hãy chuyển dạng bậc hai thành dạng chính tắc
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh có biến x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn một hình vuông hoàn chỉnh với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Khi đó phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 và y 3 = x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắc f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Lưu ý rằng dạng chính tắc của dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo nhiều cách khác nhau). Tuy nhiên, các dạng kinh điển thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau đều có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào phương pháp quy giản về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính dạng bậc hai.

Chúng ta hãy xác minh điều này bằng cách đưa dạng bậc hai tương tự sang dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, trong đó y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 và y 3 = x 1 . Ở đây có hệ số dương là 2 tại y 3 và hai hệ số âm (-3) tại y 1 và y 2 (và sử dụng phương pháp khác chúng ta có hệ số dương là 2 tại y 1 và hai hệ số âm - (-5) tại y 2 và (-1/20) tại y 3).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của một ma trận dạng bậc hai, được gọi là hạng của dạng bậc hai, bằng số hệ số khác 0 của dạng chính tắc và không thay đổi dưới các phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f(X) được gọi là tích cực (tiêu cực) chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0 thì giá trị đó là dương, tức là. f(X) > 0 (âm, tức là
f(X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng của các bình phương, và dạng bậc hai f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, việc thiết lập dấu hiệu xác định của dạng bậc hai khó khăn hơn một chút, vì vậy để làm được điều này, chúng ta sử dụng một trong các định lý sau (chúng ta sẽ xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chuẩn Sylvester). Một dạng bậc hai xác định dương khi và chỉ khi tất cả các phần tử đứng đầu của ma trận dạng này đều dương.

Chính (góc) phụ Ma trận cấp k A cấp n gọi là định thức của ma trận, gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A().

Lưu ý rằng đối với dạng bậc hai xác định âm, các dấu của các phân số chính thay thế nhau, và phân thứ nhất phải âm.

Ví dụ, chúng ta hãy xét dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 để biết tính xác định của dấu.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Chính thứ cấp một của ma trận A D 1 = a 11 = 2 > 0. Chính thứ cấp hai D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Do đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, dạng bậc hai là tích cực nhất định.

Chúng ta xét một dạng bậc hai khác để tìm tính xác định của dấu, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào một lớp đặc biệt nhưng quan trọng của dạng bậc hai dương.

Định nghĩa 3. Dạng thực bậc hai được gọi là không âm (không dương) nếu, với bất kỳ giá trị thực nào của biến

. (35)

Trong trường hợp này, ma trận đối xứng của các hệ số được gọi là nửa xác định dương (nửa xác định âm).

Định nghĩa 4. Dạng thực bậc hai được gọi là xác định dương (xác định âm) nếu, với bất kỳ giá trị thực nào của các biến không đồng thời bằng 0,

. (36)

Trong trường hợp này, ma trận còn được gọi là ma trận xác định dương (xác định âm).

Lớp các dạng xác định dương (xác định âm) là một phần của lớp các dạng không âm (tương ứng không dương).

Cho một dạng không âm. Hãy tưởng tượng nó là tổng của các bình phương độc lập:

. (37)

Trong biểu diễn này, tất cả các ô vuông phải dương:

. (38)

Thật vậy, nếu có thì có thể chọn các giá trị sao cho

Nhưng sau đó, với các giá trị này của các biến, biểu mẫu sẽ có giá trị âm, điều này là không thể theo điều kiện. Rõ ràng, ngược lại, từ (37) và (38) suy ra dạng này là dương.

Do đó, dạng bậc hai không âm được đặc trưng bởi các đẳng thức.

Giả sử bây giờ là dạng xác định dương. Thế thì nó là một dạng không âm. Do đó, nó có thể được biểu diễn dưới dạng (37), trong đó tất cả đều dương. Từ tính xác định dương của hình thức nó suy ra rằng . Thật vậy, trong trường hợp có thể chọn các giá trị không đồng thời bằng 0, tại đó tất cả sẽ chuyển sang 0. Nhưng sau đó, theo (37), tại , mâu thuẫn với điều kiện (36).

Dễ dàng thấy rằng ngược lại, nếu trong (37) và đều dương thì đó là dạng xác định dương.

Nói cách khác, dạng không âm là xác định dương khi và chỉ khi nó không phải là số ít.

Định lý sau đây đưa ra tiêu chí về tính xác định dương của một dạng dưới dạng bất đẳng thức mà các hệ số của dạng phải thỏa mãn. Trong trường hợp này, ký hiệu đã gặp trong các đoạn trước cho các phân số chính liên tiếp của ma trận được sử dụng:

.

Định lý 3. Để một dạng bậc hai xác định dương thì điều cần và đủ là các bất đẳng thức phải được thỏa mãn

Bằng chứng. Tính đầy đủ của điều kiện (39) được suy ra trực tiếp từ công thức Jacobi (28). Sự cần thiết của điều kiện (39) được xác lập như sau. Từ tính xác định tích cực của hình thức dẫn đến tính xác định tích cực của hình thức “cắt ngắn”

.

Nhưng sau đó tất cả các dạng này phải không phải là số ít, tức là

Bây giờ chúng ta có cơ hội sử dụng công thức Jacobi (28) (tại ). Vì ở bên phải của công thức này, tất cả các bình phương đều phải dương, nên

Điều này hàm ý sự bất bình đẳng (39). Định lý đã được chứng minh.

Vì bất kỳ phần phụ chính nào của ma trận, với việc đánh số lại các biến một cách thích hợp, có thể được đặt ở góc trên bên trái, nên chúng ta có

Kết quả. Ở dạng bậc hai xác định dương, tất cả các số hạng nhỏ của ma trận hệ số đều dương:

Bình luận. Từ tính không tiêu cực của các thứ chính nối tiếp nhau

tính chất không tiêu cực của hình thức không theo sau. Thật vậy, hình thức

,

trong đó , thỏa mãn điều kiện nhưng không âm.

Tuy nhiên, những điều sau đây giữ

Định lý 4. Để một dạng bậc hai không âm, điều cần thiết và đủ là tất cả các phân số lớn của ma trận hệ số của nó đều không âm:

Bằng chứng. Ta hãy giới thiệu dạng phụ trợ là không dương, nó cần và đủ để các bất đẳng thức xảy ra