Phép biến đổi Gauss. Ví dụ về giải quyết slough bằng phương pháp Gauss
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss. Giả sử chúng ta cần tìm giải pháp cho hệ thống từ N phương trình tuyến tính với N biến không xác định
định thức của ma trận chính khác 0.
Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến không xác định: thứ nhất, x 1 từ tất cả các phương trình của hệ thống, bắt đầu từ phương trình thứ hai, sau đó x2 của tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ còn lại biến chưa biết trong phương trình cuối cùng x n. Quá trình biến đổi phương trình của hệ để loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết như vậy được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành bước chuyển tiếp của phương pháp Gauss, từ phương trình cuối cùng, chúng ta tìm thấy x n, sử dụng giá trị này từ phương trình áp chót được tính xn-1, v.v., từ phương trình đầu tiên được tìm thấy x 1. Quá trình tính toán các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ sang phương trình đầu tiên được gọi là phương pháp Gauss đảo ngược.
Hãy để chúng tôi mô tả ngắn gọn thuật toán loại bỏ các biến chưa biết.
Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Loại bỏ biến không xác định x 1 từ tất cả các phương trình của hệ thống, bắt đầu từ phương trình thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy thêm phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, thêm phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ ba, v.v. n-th thêm phương trình đầu tiên, nhân với. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng 
nơi một 
.
Chúng tôi sẽ đạt được kết quả tương tự nếu chúng tôi bày tỏ x 1 thông qua các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và biểu thức kết quả được thay thế vào tất cả các phương trình khác. Vì vậy, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ hai.
Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình 
Để thực hiện việc này, hãy cộng số thứ hai nhân với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng số thứ hai nhân với phương trình thứ tư, v.v. n-th thêm phương trình thứ hai, nhân với. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng 
nơi một 
. Vì vậy, biến x2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ ba.
Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ những điều chưa biết x 3, trong khi chúng tôi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình 
Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng 
Từ thời điểm này, chúng tôi bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng tôi tính x n từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được x n tìm thấy xn-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng tôi tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên.
Thí dụ.
Giải hệ phương trình tuyến tính 
Phương pháp Gaussian.
Trong bài viết này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải ở dạng tổng quát, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó ở tất cả.
Gauss có nghĩa là gì?
Đầu tiên, bạn cần viết ra hệ phương trình của chúng ta trong Nó trông như thế này. Hệ thống được thực hiện:
Các hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt - các thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.
Hơn nữa, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:
Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy, v.v.
Đây là mô tả của giải pháp theo phương pháp Gauss theo các thuật ngữ chung nhất. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong lời giải bằng phương pháp Gauss.
Ma trận, thuộc tính của chúng
Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.
Ma trận luôn luôn là hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ chỉ tập trung vào việc xây dựng một ma trận tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.
Ma trận có một kích thước. "Chiều rộng" của nó là số hàng (m), "chiều dài" của nó là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (các chữ cái Latinh viết hoa thường được sử dụng để chỉ định của chúng) sẽ được ký hiệu là A m × n. Nếu m = n, thì ma trận này là hình vuông, và m = n là bậc của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: a xy; x - số hàng, các thay đổi, y - số cột, các thay đổi.
B không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều trong đó.
Bản ngã
Ma trận cũng có một định thức. Đây là một tính năng rất quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ đơn giản là hiển thị cách nó được tính toán, và sau đó cho biết những thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: các đường chéo có độ dốc ở bên phải - với dấu "cộng", với độ dốc ở bên trái - với dấu "trừ".
Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất trong số hàng và số cột (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó được gọi là con cơ sở của ma trận chữ nhật ban đầu.
Trước khi tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, việc tính định thức sẽ không bị ảnh hưởng gì. Nếu nó trở thành 0, thì ngay lập tức chúng ta có thể nói rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.
Phân loại hệ thống
Có một thứ như là hạng của một ma trận. Đây là bậc lớn nhất của định thức khác 0 của nó (nhớ số hạng cơ sở, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của số hạng cơ sở).
Theo cách mọi thứ diễn ra với thứ hạng, SLAE có thể được chia thành:
- Chung. Tại của hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một, do đó, các hệ thống chung cũng được chia thành:
- - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột, là cùng một thứ) bằng nhau;
- - vô thời hạn - với vô số nghiệm. Thứ hạng của ma trận cho các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
- Không tương thích. Tại hệ như vậy, bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.
Phương pháp Gauss tốt ở chỗ nó cho phép người ta có được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các yếu tố quyết định của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm trong quá trình giải.
Các phép biến đổi cơ bản
Trước khi tiến hành trực tiếp đến lời giải của hệ thống, có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc triển khai chúng không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Đây là danh sách các phép biến đổi này:
- Hoán vị chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
- Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu dụng! Với nó, bạn có thể giảm các số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không bằng không.
- Xóa các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
- Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là không và bị loại ra khỏi ma trận.
- Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó là giá trị tìm hiểu chi tiết hơn về nó.
Thêm một chuỗi nhân với một hệ số
Để dễ hiểu, bạn nên tháo rời quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".
a "21 \ u003d a 21 + -2 × a 11
a "22 \ u003d a 22 + -2 × a 12
a "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n
Sau đó, trong ma trận, hàng thứ hai được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a "21 a" 22 ... a "2n | b 2
Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của phép cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Đây được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.
Nói chung
Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó ra như sau:
Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và ngăn cách bằng một thanh để thuận tiện.
- hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 / a 11);
- hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
- thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
- bây giờ hệ số đầu tiên trong hàng thứ hai mới là 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có hàng đầu tiên và hàng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử 21 được thay thế bằng 31. Sau đó, mọi thứ được lặp lại cho một 41, ... một m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng không. Bây giờ chúng ta cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự bắt đầu từ dòng thứ hai:
- hệ số k \ u003d (-a 32 / a 22);
- dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng "hiện tại";
- kết quả của phép cộng được thay thế ở dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
- trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng không.
Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m, m-1 / a mm). Điều này có nghĩa là thuật toán chỉ được chạy lần cuối cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x n = b m / a mn. Gốc kết quả được thay vào hàng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Và tương tự như vậy: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến "đỉnh" của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là một trong những duy nhất.
Khi không có giải pháp
Nếu trong một trong các hàng của ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là rỗng, tức là nó suy biến.
Khi có vô số nghiệm
Nó có thể chỉ ra rằng trong ma trận tam giác rút gọn không có hàng có một phần tử - hệ số của phương trình, và một - một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?
Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Cơ bản - đây là những thứ đứng "ở rìa" của các hàng trong ma trận bậc. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.
Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Do đó, nếu một biểu thức lại xuất hiện chỉ chứa một biến cơ bản, thì biểu thức đó lại được biểu diễn từ đó, và cứ tiếp tục như vậy, cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng một biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.
Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể.
Giải pháp với các ví dụ cụ thể
Đây là hệ phương trình.
Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó
Được biết, khi giải theo phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất - khi đó các phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi khi đặt thứ hai vào vị trí của hàng đầu tiên.
dòng thứ hai: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a "21 \ u003d a 21 + k × a 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0
a "22 \ u003d a 22 + k × a 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7
a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b "2 \ u003d b 2 + k × b 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24
dòng thứ ba: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5
a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b "3 \ u003d b 3 + k × b 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57
Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, cần phải viết ra ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.
Rõ ràng là một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả "minuses" khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với "-1".
Cũng cần lưu ý rằng trong hàng thứ ba tất cả các phần tử là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể giảm chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời để loại bỏ các giá trị âm).
Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại một mình dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 trở thành bằng không.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 phân số và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ký hiệu khác hay không)
a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a "33 \ u003d a 33 + k × a 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7
b "3 \ u003d b 3 + k × b 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7
Ma trận được viết lại với các giá trị mới.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc. Do đó, không cần thực hiện thêm các phép biến đổi hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.
Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Điểm nhỏ - viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm nguyên
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Thuật toán tìm ra các gốc bây giờ được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị của z:
y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9
Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:
x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3
Chúng ta có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Phản hồi được viết dưới dạng sau:
x 1 \ u003d -2/3, y \ u003d -65/9, z \ u003d 61/9.
Ví dụ về hệ thống vô thời hạn
Phương pháp giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ là vô nghiệm, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Dạng chính của hệ thống đã đáng báo động, vì số ẩn số là n = 5, và hạng của ma trận của hệ đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m = 4, nghĩa là bậc lớn nhất của định thức bình phương là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và cần phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính có thể thực hiện điều này.
Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.
Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 / a 11) = -3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 / a 11) = -5
Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng mong muốn, chúng ta thu được một ma trận có dạng sau:
Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống nhau, vì vậy có thể loại bỏ một trong số chúng ngay lập tức, và phần còn lại nhân với hệ số "-1" và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.
Hóa ra một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản - đứng ở các hệ số a 11 \ u003d 1 và a 22 \ u003d 1, và miễn phí - tất cả phần còn lại.
Phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x 3, x 4, x 5, là các biến miễn phí.
Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.
Nó chỉ ra một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1. Hãy làm tương tự với nó như với x 2.
Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.
Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:
16, 23, 0, 0, 0.
Ví dụ về hệ thống không tương thích
Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau được coi là:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Như thường lệ, ma trận được biên dịch:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Và nó được rút gọn thành dạng bước:
k 1 \ u003d -2k 2 \ u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Sau lần biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng
không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán, và câu trả lời là tập hợp trống.
Ưu nhược điểm của phương pháp
Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem xét trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó bị nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo phức tạp. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận - định thức, con, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc sai lầm, thì việc sử dụng phương pháp ma trận hoặc các công thức của Cramer sẽ phù hợp hơn, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các định thức và ma trận nghịch đảo.
Đăng kí
Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn "dành cho hình nộm", nên cần phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận và do đó sẽ nhanh hơn nhiều để thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.
Máy tính trực tuyến này tìm ra lời giải cho hệ phương trình tuyến tính (SLE) bằng phương pháp Gaussian. Một giải pháp chi tiết được đưa ra. Để tính toán, hãy chọn số biến và số phương trình. Sau đó nhập dữ liệu vào các ô và nhấp vào nút "Tính toán".
|
Biểu diễn số:
Số nguyên và / hoặc Phân số chungSố nguyên và / hoặc Số thập phân
Số chữ số sau dấu phân cách thập phân
×
Cảnh báo
Xóa tất cả các ô?
Đóng Xóa
Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102.54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập dưới dạng a / b, trong đó a và b (b> 0) là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7, v.v.
Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss là phương pháp chuyển từ hệ phương trình tuyến tính ban đầu (sử dụng các phép biến đổi tương đương) sang một hệ dễ giải hơn hệ ban đầu.
Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình tuyến tính là:
- hoán đổi hai phương trình trong hệ thống,
- phép nhân bất kỳ phương trình nào trong hệ thống với một số thực khác 0,
- thêm vào một phương trình một phương trình khác nhân với một số tùy ý.
Xét một hệ phương trình tuyến tính:
| (1) |
Ta viết hệ (1) dưới dạng ma trận:
| ax = b | (2) |
  | (3) |
Mộtđược gọi là ma trận hệ số của hệ thống, b- mặt phải của các ràng buộc, x- véc tơ của các biến cần tìm. Hãy xếp hạng ( Một)=P.
Các phép biến đổi tương đương không làm thay đổi hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận tăng cường của hệ thống. Tập nghiệm của hệ cũng không thay đổi theo các phép biến đổi tương đương. Bản chất của phương pháp Gauss là đưa về ma trận các hệ số Một theo đường chéo hoặc bước.
Hãy xây dựng ma trận mở rộng của hệ thống:
Ở giai đoạn tiếp theo, chúng tôi đặt lại tất cả các phần tử của cột 2, bên dưới phần tử. Nếu phần tử đã cho là rỗng, thì hàng này được hoán đổi với hàng nằm bên dưới hàng đã cho và có phần tử khác 0 trong cột thứ hai. Tiếp theo, chúng tôi loại bỏ tất cả các phần tử của cột 2 bên dưới phần tử đứng đầu một 22. Để làm điều này, hãy thêm hàng 3, ... m với hàng 2 nhân với - một 32 /một 22 , ..., −một m2 / một 22, tương ứng. Tiếp tục quy trình, chúng ta thu được một ma trận có dạng đường chéo hoặc dạng bậc. Hãy để ma trận tăng cường kết quả giống như sau:
| (7) |
 |
Tại vì rankA = xếp hạng(A | b), thì tập nghiệm (7) là ( n − p) là một sự đa dạng. Do đó n − pẩn số có thể được chọn tùy ý. Các ẩn số còn lại từ hệ (7) được tính như sau. Từ phương trình cuối cùng, chúng tôi biểu diễn x p thông qua phần còn lại của các biến và chèn vào các biểu thức trước đó. Tiếp theo, từ phương trình áp chót, chúng tôi biểu diễn x p-1 đến phần còn lại của các biến và chèn vào các biểu thức trước đó, v.v. Hãy xem xét phương pháp Gauss trên các ví dụ cụ thể.
Các ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:
Biểu thị bởi một yếu tố ij tôi-dòng thứ và j-cột thứ.
Loại trừ các phần tử của cột đầu tiên của ma trận bên dưới phần tử một mười một. Để thực hiện việc này, hãy thêm các hàng 2,3 với hàng 1, nhân với -2/3, -1/2, tương ứng:
Chúng tôi chia mỗi hàng của ma trận cho phần tử đứng đầu tương ứng (nếu phần tử đứng đầu tồn tại):
Thay các biểu thức trên vào các biểu thức dưới, chúng ta sẽ có được giải pháp.
Kể từ đầu thế kỷ 16-18, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu chuyên sâu về các hàm số, nhờ đó mà cuộc sống của chúng ta đã thay đổi rất nhiều. Công nghệ máy tính không có kiến thức này đơn giản sẽ không tồn tại. Để giải quyết các vấn đề phức tạp, các phương trình và hàm tuyến tính, các khái niệm, định lý và kỹ thuật giải khác nhau đã được tạo ra. Một trong những phương pháp và kỹ thuật phổ biến và hợp lý để giải các phương trình tuyến tính và hệ thống của chúng là phương pháp Gauss. Ma trận, thứ hạng của chúng, yếu tố quyết định - mọi thứ đều có thể được tính toán mà không cần sử dụng các phép toán phức tạp.
SLAU là gì
Trong toán học, có khái niệm SLAE - một hệ phương trình đại số tuyến tính. Cô ấy đại diện cho cái gì? Đây là một tập hợp m phương trình với n ẩn số bắt buộc, thường được ký hiệu là x, y, z, hoặc x 1, x 2 ... x n, hoặc các ký hiệu khác. Để giải hệ này bằng phương pháp Gaussian có nghĩa là tìm tất cả các ẩn số chưa biết. Nếu một hệ có cùng số ẩn số và phương trình thì nó được gọi là hệ bậc n.
Các phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE
Trong các cơ sở giáo dục của giáo dục trung học, các phương pháp khác nhau để giải quyết các hệ thống như vậy đang được nghiên cứu. Thông thường, đây là những phương trình đơn giản bao gồm hai ẩn số, vì vậy bất kỳ phương pháp nào hiện có để tìm câu trả lời cho chúng sẽ không mất nhiều thời gian. Nó có thể giống như một phương pháp thay thế, khi một phương trình khác được suy ra từ một phương trình và được thay thế vào phương trình ban đầu. Hoặc thuật ngữ bằng phép trừ và cộng số hạng. Nhưng phương pháp Gauss được coi là dễ nhất và phổ biến nhất. Nó giúp bạn có thể giải các phương trình với bất kỳ số ẩn số nào. Tại sao kỹ thuật này được coi là hợp lý? Mọi thứ đều đơn giản. Phương pháp ma trận là tốt vì nó không yêu cầu viết lại nhiều lần các ký tự không cần thiết dưới dạng ẩn số, nó đủ để thực hiện các phép toán số học trên các hệ số - và bạn sẽ nhận được một kết quả đáng tin cậy.
SLAE được sử dụng trong thực tế ở đâu?
Nghiệm của SLAE là các giao điểm của các đường trên đồ thị của hàm số. Trong thời đại máy tính công nghệ cao của chúng ta, những người liên quan chặt chẽ đến việc phát triển trò chơi và các chương trình khác cần biết cách giải quyết các hệ thống như vậy, chúng đại diện cho cái gì và cách kiểm tra tính đúng đắn của kết quả thu được. Thông thường, các lập trình viên phát triển các máy tính đại số tuyến tính đặc biệt, bao gồm một hệ thống các phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss cho phép bạn tính toán tất cả các giải pháp hiện có. Các công thức và kỹ thuật đơn giản khác cũng được sử dụng.
Tiêu chí tương thích SLAE
Hệ thống như vậy chỉ có thể được giải quyết nếu nó tương thích. Để rõ ràng, chúng tôi trình bày SLAE dưới dạng Ax = b. Nó có một nghiệm nếu rang (A) bằng rang (A, b). Trong trường hợp này, (A, b) là một ma trận dạng mở rộng có thể nhận được từ ma trận A bằng cách viết lại nó với các số hạng tự do. Nó chỉ ra rằng giải các phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp Gaussian là khá dễ dàng.
Có lẽ một số ký hiệu không hoàn toàn rõ ràng, vì vậy cần phải xem xét mọi thứ với một ví dụ. Giả sử có hệ: x + y = 1; 2x-3y = 6. Nó chỉ bao gồm hai phương trình trong đó có 2 ẩn số. Hệ thống sẽ chỉ có một giải pháp nếu hạng của ma trận của nó bằng hạng của ma trận tăng cường. Thứ hạng là gì? Đây là số dòng độc lập của hệ thống. Trong trường hợp của chúng ta, hạng của ma trận là 2. Ma trận A sẽ bao gồm các hệ số nằm gần các ẩn số và các hệ số phía sau dấu “=” cũng sẽ phù hợp với ma trận mở rộng.
Tại sao SLAE có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận
Dựa trên tiêu chí tương thích theo định lý Kronecker-Capelli đã được chứng minh, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận. Sử dụng phương pháp thác Gaussian, bạn có thể giải ma trận và nhận được câu trả lời đáng tin cậy duy nhất cho toàn bộ hệ thống. Nếu hạng của một ma trận thông thường bằng hạng của ma trận mở rộng của nó, nhưng nhỏ hơn số ẩn số, thì hệ thống có vô số câu trả lời.
Phép biến đổi ma trận
Trước khi chuyển sang giải các ma trận, cần biết những thao tác nào có thể được thực hiện trên các phần tử của chúng. Có một số phép biến đổi cơ bản:
- Bằng cách viết lại hệ thống thành dạng ma trận và thực hiện nghiệm của nó, có thể nhân tất cả các phần tử của dãy với cùng một hệ số.
- Để chuyển đổi ma trận sang dạng chuẩn, hai hàng song song có thể được hoán đổi. Dạng chính tắc ngụ ý rằng tất cả các phần tử của ma trận nằm dọc theo đường chéo chính sẽ trở thành các phần tử và các phần tử còn lại trở thành số không.
- Các phần tử tương ứng của các hàng song song của ma trận có thể được thêm vào một phần tử khác.
Phương pháp Jordan-Gauss
Bản chất của việc giải hệ phương trình thuần nhất và không thuần nhất tuyến tính bằng phương pháp Gauss là loại bỏ dần các ẩn số. Giả sử chúng ta có một hệ hai phương trình trong đó có hai ẩn số. Để tìm thấy chúng, bạn cần kiểm tra tính tương thích của hệ thống. Phương trình Gaussian được giải rất đơn giản. Cần phải viết ra các hệ số nằm gần mỗi ẩn số dưới dạng ma trận. Để giải hệ thống, bạn cần viết ra ma trận tăng cường. Nếu một trong các phương trình chứa một số ẩn số nhỏ hơn, thì "0" phải được đặt vào vị trí của phần tử bị thiếu. Tất cả các phương pháp biến đổi đã biết đều được áp dụng cho ma trận: nhân, chia cho một số, thêm các phần tử tương ứng của các hàng với nhau và các phần tử khác. Nó chỉ ra rằng trong mỗi hàng cần phải để lại một biến có giá trị "1", phần còn lại nên được giảm xuống không. Để hiểu chính xác hơn, cần phải xem xét phương pháp Gauss với các ví dụ.
Một ví dụ đơn giản về giải hệ 2x2
Để bắt đầu, chúng ta hãy lấy một hệ phương trình đại số đơn giản, trong đó sẽ có 2 ẩn số.
Hãy viết lại nó trong một ma trận tăng cường.
Để giải hệ phương trình tuyến tính này, chỉ cần hai phép toán. Chúng ta cần đưa ma trận về dạng chính tắc để có các đơn vị dọc theo đường chéo chính. Vậy, chuyển từ dạng ma trận về hệ ta được phương trình: 1x + 0y = b1 và 0x + 1y = b2, trong đó b1 và b2 là các đáp số thu được trong quá trình giải.
- Bước đầu tiên trong việc giải ma trận tăng cường sẽ như sau: hàng đầu tiên phải được nhân với -7 và các phần tử tương ứng được thêm vào hàng thứ hai, để loại bỏ một ẩn số trong phương trình thứ hai.
- Vì việc giải phương trình bằng phương pháp Gauss ngụ ý đưa ma trận về dạng chính tắc nên cần thực hiện các phép toán tương tự với phương trình thứ nhất và loại bỏ biến thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi trừ dòng thứ hai từ dòng đầu tiên và nhận được câu trả lời cần thiết - giải pháp của SLAE. Hoặc, như thể hiện trong hình, chúng tôi nhân hàng thứ hai với hệ số -1 và cộng các phần tử của hàng thứ hai với hàng đầu tiên. Điều này cũng vậy.
Như bạn thấy, hệ thống của chúng tôi được giải bằng phương pháp Jordan-Gauss. Chúng ta viết lại nó dưới dạng yêu cầu: x = -5, y = 7.
Một ví dụ về giải SLAE 3x3
Giả sử chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính phức tạp hơn. Phương pháp Gauss giúp bạn có thể tính toán được câu trả lời ngay cả đối với hệ thống có vẻ khó hiểu nhất. Do đó, để đi sâu hơn vào phương pháp tính toán, chúng ta có thể chuyển sang một ví dụ phức tạp hơn với ba ẩn số.
Như trong ví dụ trước, chúng ta viết lại hệ thống dưới dạng một ma trận mở rộng và bắt đầu đưa nó về dạng chính tắc.
Để giải quyết hệ thống này, bạn sẽ cần phải thực hiện nhiều hành động hơn trong ví dụ trước.
- Trước tiên, bạn cần tạo trong cột đầu tiên một phần tử duy nhất và các số không còn lại. Để làm điều này, nhân phương trình đầu tiên với -1 và thêm phương trình thứ hai vào nó. Điều quan trọng cần nhớ là chúng ta viết lại dòng đầu tiên ở dạng ban đầu và dòng thứ hai - đã ở dạng sửa đổi.
- Tiếp theo, chúng ta loại bỏ cùng một ẩn số đầu tiên khỏi phương trình thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng đầu tiên với -2 và thêm chúng vào hàng thứ ba. Bây giờ dòng đầu tiên và dòng thứ hai được viết lại ở dạng ban đầu, và dòng thứ ba - đã có những thay đổi. Như bạn có thể thấy từ kết quả, chúng tôi có cái đầu tiên ở đầu đường chéo chính của ma trận và phần còn lại là số không. Thêm một vài thao tác nữa, hệ phương trình bằng phương pháp Gauss sẽ được giải một cách đáng tin cậy.
- Bây giờ bạn cần thực hiện các thao tác trên các phần tử khác của các hàng. Bước thứ ba và thứ tư có thể được kết hợp thành một. Chúng ta cần chia dòng thứ hai và thứ ba cho -1 để loại bỏ những dòng âm trên đường chéo. Chúng tôi đã đưa dòng thứ ba đến biểu mẫu yêu cầu.
- Tiếp theo, chúng tôi chuẩn hóa dòng thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng thứ ba với -3 và thêm chúng vào dòng thứ hai của ma trận. Có thể thấy từ kết quả là dòng thứ hai cũng được giảm xuống dạng chúng ta cần. Nó vẫn còn để thực hiện thêm một vài phép toán và loại bỏ các hệ số của ẩn số khỏi hàng đầu tiên.
- Để tạo ra 0 từ phần tử thứ hai của hàng, bạn cần nhân hàng thứ ba với -3 và cộng nó vào hàng đầu tiên.
- Bước quyết định tiếp theo là thêm các yếu tố cần thiết của hàng thứ hai vào hàng đầu tiên. Vì vậy, chúng tôi nhận được dạng chính tắc của ma trận, và theo đó, câu trả lời.
Như bạn thấy, giải phương trình bằng phương pháp Gauss khá đơn giản.
Một ví dụ về giải hệ phương trình 4x4
Một số hệ phương trình phức tạp hơn có thể được giải bằng phương pháp Gaussian bằng các chương trình máy tính. Cần chuyển hệ số cho ẩn số vào các ô trống hiện có, và chương trình sẽ tính toán kết quả cần thiết theo từng bước, mô tả chi tiết từng hành động.
Hướng dẫn từng bước để giải một ví dụ như vậy được mô tả bên dưới.
Trong bước đầu tiên, các hệ số và số tự do cho ẩn số được nhập vào các ô trống. Do đó, chúng tôi có được ma trận tăng cường giống như chúng tôi viết bằng tay.
Và tất cả các phép toán số học cần thiết được thực hiện để đưa ma trận mở rộng về dạng chính tắc. Cần phải hiểu rằng câu trả lời cho một hệ phương trình không phải lúc nào cũng là số nguyên. Đôi khi giải pháp có thể là từ các số phân số.
Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp
Phương pháp Jordan-Gauss cung cấp để kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Để biết các hệ số đã được tính đúng chưa, bạn chỉ cần thay kết quả vào hệ phương trình ban đầu. Vế trái của phương trình phải trùng với vế phải, phía sau dấu bằng. Nếu các câu trả lời không khớp, thì bạn cần phải tính toán lại hệ thống hoặc cố gắng áp dụng một phương pháp giải SLAE khác mà bạn đã biết, chẳng hạn như phép thay thế hoặc phép trừ và cộng theo số hạng. Xét cho cùng, toán học là một môn khoa học có rất nhiều phương pháp giải khác nhau. Nhưng hãy nhớ: kết quả phải luôn giống nhau, bất kể bạn đã sử dụng phương pháp giải nào.
Phương pháp Gauss: các lỗi phổ biến nhất khi giải SLAE
Trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, các lỗi thường xảy ra nhất, chẳng hạn như chuyển sai hệ số về dạng ma trận. Có những hệ thống mà trong đó một số ẩn số bị thiếu trong một trong các phương trình, khi đó, chuyển dữ liệu sang ma trận mở rộng, chúng có thể bị mất. Kết quả là khi giải hệ này, kết quả có thể không tương ứng với kết quả thực.
Một trong những sai lầm chính khác có thể là viết sai kết quả cuối cùng. Cần phải hiểu rõ rằng hệ số đầu tiên sẽ tương ứng với ẩn số đầu tiên từ hệ thống, hệ số thứ hai - đến hệ số thứ hai, v.v.
Phương pháp Gauss mô tả chi tiết nghiệm của phương trình tuyến tính. Nhờ anh ta, có thể dễ dàng thực hiện các thao tác cần thiết và tìm ra kết quả phù hợp. Ngoài ra, đây là một công cụ phổ quát để tìm ra câu trả lời đáng tin cậy cho các phương trình có độ phức tạp bất kỳ. Có lẽ đó là lý do tại sao nó rất thường được sử dụng trong việc giải quyết SLAE.
Cho hệ đã cho, ∆ ≠ 0. (một)Phương pháp Gauss là một phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số.
Bản chất của phương pháp Gauss là biến đổi (1) thành một hệ có ma trận tam giác, từ đó các giá trị của tất cả các ẩn số sau đó lần lượt thu được (ngược lại). Hãy xem xét một trong những lược đồ tính toán. Mạch này được gọi là mạch phân chia đơn. Vì vậy, chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ này. Cho 11 ≠ 0 (phần tử đứng đầu) chia cho a 11 phương trình đầu tiên. Lấy
(2)
Sử dụng phương trình (2), có thể dễ dàng loại trừ x 1 chưa biết khỏi các phương trình còn lại của hệ (vì điều này, chỉ cần trừ phương trình (2)) khỏi mỗi phương trình nhân sơ bộ với hệ số tương ứng tại x 1), nghĩa là , ở bước đầu tiên, chúng tôi có được
.
Nói cách khác, ở bước 1, mỗi phần tử của các hàng tiếp theo, bắt đầu từ hàng thứ hai, bằng hiệu giữa phần tử gốc và tích của “phép chiếu” của nó trên cột đầu tiên và hàng đầu tiên (đã biến đổi).
Sau đó, để lại phương trình đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện một phép biến đổi tương tự đối với các phương trình còn lại của hệ thu được ở bước đầu tiên: chúng ta chọn trong số chúng một phương trình có phần tử đứng đầu và sử dụng nó để loại trừ x 2 khỏi các phương trình còn lại (bước 2).
Sau n bước, thay vì (1), chúng ta nhận được một hệ thống tương đương 
(3)
Như vậy, ở giai đoạn đầu, chúng ta sẽ thu được một hệ tam giác (3). Bước này được gọi là chuyển tiếp.
Ở giai đoạn thứ hai (di chuyển ngược lại), chúng ta tuần tự tìm từ (3) các giá trị x n, x n -1,…, x 1.
Hãy ký hiệu nghiệm thu được là x 0. Khi đó sự khác biệt ε = b-A x 0 được gọi là dư.
Nếu ε = 0 thì nghiệm tìm được x 0 là đúng.
Tính toán bằng phương pháp Gauss được thực hiện trong hai giai đoạn:
- Giai đoạn đầu tiên được gọi là quá trình trực tiếp của phương pháp. Ở giai đoạn đầu, hệ thống ban đầu được chuyển sang dạng tam giác.
- Giai đoạn thứ hai được gọi là đảo ngược. Ở giai đoạn thứ hai, một hệ thống tam giác tương đương với hệ thống ban đầu được giải quyết.
Tại mỗi bước, người ta giả định rằng phần tử đứng đầu khác 0. Nếu trường hợp này không xảy ra, thì bất kỳ phần tử nào khác có thể được sử dụng làm nguyên tố, như thể sắp xếp lại các phương trình của hệ thống.
Mục đích của phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss được dùng để giải các hệ phương trình tuyến tính. Đề cập đến các phương pháp trực tiếp của giải pháp.Các loại phương pháp Gauss
- Phương pháp Gauss cổ điển;
- Các sửa đổi của phương pháp Gauss. Một trong những sửa đổi của phương pháp Gaussian là mạch với sự lựa chọn của phần tử chính. Một đặc điểm của phương pháp Gauss với việc lựa chọn phần tử chính là hoán vị các phương trình sao cho ở bước thứ k, phần tử đứng đầu là phần tử lớn nhất trong cột thứ k.
- Phương pháp Jordan-Gauss;
Minh họa sự khác biệt Phương pháp Jordan-Gauss từ phương pháp Gauss trên các ví dụ.
Ví dụ giải pháp Gauss
Hãy giải quyết hệ thống: 
Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi hoán đổi các dòng: 
Nhân hàng thứ 2 với (2). Thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2 
Nhân hàng thứ 2 với (-1). Thêm hàng thứ 2 vào hàng thứ nhất 
Từ dòng đầu tiên, chúng ta biểu thị x 3:
Từ dòng thứ 2, chúng ta biểu thị x 2:
Từ dòng thứ 3, chúng ta biểu thị x 1: 
Một ví dụ về giải pháp theo phương pháp Jordan-Gauss
Chúng tôi sẽ giải quyết cùng một SLAE bằng phương pháp Jordano-Gauss. 
Chúng ta sẽ tuần tự chọn phần tử phân giải của RE, phần tử này nằm trên đường chéo chính của ma trận.
Phần tử cho phép bằng (1).
NE \ u003d SE - (A * B) / RE
RE - phần tử cho phép (1), A và B - phần tử ma trận tạo thành một hình chữ nhật với các phần tử STE và RE.
Hãy trình bày phép tính của từng phần tử dưới dạng bảng:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Phần tử cho phép bằng (3).
Thay cho phần tử phân giải, chúng ta nhận được 1 và trong chính cột đó, chúng ta viết số không.
Tất cả các phần tử khác của ma trận, bao gồm các phần tử của cột B, được xác định theo quy tắc hình chữ nhật.
Để làm điều này, hãy chọn bốn số nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật và luôn bao gồm phần tử cho phép của RE.
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Phần tử cho phép là (-4).
Thay cho phần tử phân giải, chúng ta nhận được 1 và trong chính cột đó, chúng ta viết số không.
Tất cả các phần tử khác của ma trận, bao gồm các phần tử của cột B, được xác định theo quy tắc hình chữ nhật.
Để làm điều này, hãy chọn bốn số nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật và luôn bao gồm phần tử cho phép của RE.
Hãy trình bày phép tính của từng phần tử dưới dạng bảng:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Câu trả lời: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Chú Vanya cốt truyện của vở kịch. “Chú Ivan. Thái độ đối với giáo sư của những người khác
Tsakhes nhỏ, biệt danh Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - tiểu sử ngắn