Các ví dụ về giải bất phương trình bằng đồ thị. Phương pháp đồ thị bất phương trình, hệ bất phương trình hai biến

xem thêm Giải bài toán lập trình tuyến tính bằng đồ thị, Dạng chuẩn của bài toán lập trình tuyến tính

Hệ thống các ràng buộc cho một bài toán như vậy bao gồm các bất đẳng thức trong hai biến số:
và hàm mục tiêu có dạng F = C 1 x + C 2 y, được tối đa hóa.

Cùng trả lời câu hỏi: cặp số nào ( x; y) là các nghiệm của hệ bất phương trình, tức là chúng có thỏa mãn đồng thời từng bất phương trình không? Nói cách khác, nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống bằng đồ thị?
Trước tiên, bạn cần hiểu nghiệm của một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số là gì.
Để giải một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số có nghĩa là xác định tất cả các cặp giá trị của ẩn số mà bất đẳng thức đó thỏa mãn.
Ví dụ, bất đẳng thức 3 x – 5y≥ 42 thỏa mãn các cặp ( x , y): (100, 2); (3, –10), v.v ... Vấn đề là tìm tất cả các cặp như vậy.
Xét hai bất đẳng thức: cây rìu + qua≤ c, cây rìu + qua≥ c. Dài cây rìu + qua = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng để tọa độ các điểm của một trong số chúng thỏa mãn bất đẳng thức cây rìu + qua >c, và sự bất bình đẳng khác cây rìu + +qua <c.
Thật vậy, lấy một điểm với tọa độ x = x 0; sau đó là một điểm nằm trên một đường thẳng và có một abscissa x 0, có một thứ hạng

Hãy để cho sự dứt khoát một& lt0, b>0, c> 0. Tất cả các điểm với abscissa x 0 ở trên P(ví dụ: dấu chấm M), có yM>y 0 và tất cả các điểm dưới điểm P, với abscissa x 0, có yN<y 0. Vì x 0 là một điểm tùy ý, khi đó sẽ luôn có các điểm ở một phía của đoạn thẳng mà cây rìu+ qua > c, tạo thành một nửa mặt phẳng và mặt khác, các điểm cây rìu + qua< c.

Bức tranh 1

Dấu bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng phụ thuộc vào các số một, b , c.
Điều này ngụ ý phương pháp sau đây cho giải pháp đồ họa của hệ thống bất phương trình tuyến tính trong hai biến. Để giải quyết hệ thống, bạn cần:

Với mỗi bất phương trình, hãy viết phương trình ứng với bất phương trình đã cho.
Dựng các đường là đồ thị của hàm số đã cho bởi phương trình.
Đối với mỗi đường thẳng, xác định nửa mặt phẳng, được cho bởi bất đẳng thức. Để làm điều này, lấy một điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng, thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức. nếu bất phương trình đúng, thì nửa mặt phẳng chứa điểm được chọn là nghiệm của bất phương trình ban đầu. Nếu bất phương trình sai, thì nửa mặt phẳng bên kia đường thẳng là tập nghiệm của bất phương trình này.
Để giải một hệ bất phương trình, cần tìm diện tích giao của tất cả các nửa mặt phẳng là nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ.

Khu vực này có thể biến thành trống, khi đó hệ bất phương trình không có lời giải, nó không nhất quán. Nếu không, hệ thống được cho là tương thích.
Các giải pháp có thể là một số hữu hạn và một tập hợp vô hạn. Khu vực có thể là một đa giác khép kín hoặc nó có thể là không giới hạn.

Hãy xem ba ví dụ có liên quan.

Ví dụ 1. Giải hệ thống bằng đồ thị:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

Xét các phương trình x + y – 1 = 0 và –2x – 2y + 5 = 0 tương ứng với các bất phương trình;
chúng ta hãy xây dựng các đường thẳng cho bởi các phương trình này.

Hình 2

Chúng ta hãy xác định các nửa mặt phẳng được cho bởi các bất đẳng thức. Lấy một điểm tùy ý, cho (0; 0). Xem xét x+ y– 1 0, chúng ta thay điểm (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. do đó, trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, x + y – 1 ≤ 0, tức là nửa mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng là nghiệm của bất phương trình bậc nhất. Thay điểm này (0; 0) vào điểm thứ hai, ta được: –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tức là trong nửa mặt phẳng mà điểm (0; 0) nằm, -2 x – 2y+ 5≥ 0, và chúng tôi được hỏi ở đâu -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, do đó, trong một nửa mặt phẳng khác - trong một nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
Tìm giao tuyến của hai nửa mặt phẳng này. Các đường thẳng song song nên các mặt phẳng không cắt nhau ở đâu có nghĩa là hệ bất phương trình này không có nghiệm, không nhất quán.

Ví dụ 2. Tìm lời giải bằng đồ thị cho hệ bất phương trình:

Hình 3
1. Viết các phương trình tương ứng với các bất phương trình và dựng các đoạn thẳng.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Chọn điểm (0; 0), ta xác định được dấu của bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, tức là x + 2y- 2 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng;
0 - 0 - 1 ≤ 0, tức là y –x- 1 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng;
0 + 2 = 2 ≥ 0, tức là y+ 2 ≥ 0 trong nửa mặt phẳng trên đoạn thẳng.
3. Giao tuyến của ba nửa mặt phẳng này sẽ có diện tích là một tam giác. Không khó để tìm các đỉnh của miền là giao điểm của các đường tương ứng

Bằng cách này, NHƯNG(–3; –2), TẠI(0; 1), TỪ(6; –2).

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ nữa, trong đó miền kết quả của giải pháp của hệ thống không bị giới hạn.

Phương pháp đồ họa bao gồm việc xây dựng một tập hợp các giải pháp LLP khả thi và tìm trong tập hợp này một điểm tương ứng với hàm mục tiêu max / min.

Do khả năng biểu diễn đồ họa trực quan hạn chế, phương pháp này chỉ được sử dụng cho các hệ bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số và hệ có thể rút gọn về dạng này.

Để chứng minh một cách trực quan phương pháp đồ họa, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề sau:

1. Ở giai đoạn đầu, cần xây dựng khu vực các giải pháp khả thi. Đối với ví dụ này, cách thuận tiện nhất là chọn X2 cho cơ số và X1 cho hoành độ, và viết các bất đẳng thức dưới dạng sau:

Vì cả đồ thị và diện tích các giải pháp được chấp nhận đều ở trong quý đầu tiên. Để tìm các điểm biên, ta giải các phương trình (1) = (2), (1) = (3) và (2) = (3).

Qua hình minh họa có thể thấy, hình đa diện ABCDE là một diện tích có lời giải khả thi.

Nếu miền nghiệm thu được không đóng, thì max (f) = +? Hoặc min (f) = -?.

2. Bây giờ chúng ta có thể tiến hành tìm trực tiếp cực đại của hàm f.

Lần lượt thay tọa độ các đỉnh của đa diện vào hàm số f và so sánh các giá trị, ta thấy f (C) = f (4; 1) = 19 - cực đại của hàm số.

Cách tiếp cận này khá có lợi cho một số ít đỉnh. Nhưng thủ tục này có thể bị trì hoãn nếu có khá nhiều đỉnh.

Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn nếu xét một đường mức có dạng f = a. Với một số a tăng đơn điệu từ -? đến +? các đường thẳng f = a dịch chuyển dọc theo vectơ pháp tuyến. Nếu với phép dời hình như vậy mà tồn tại điểm X - điểm chung đầu tiên của miền các nghiệm khả thi (hình đa diện ABCDE) và đường mức thì f (X) là điểm cực tiểu của f trên đặt ABCDE. Nếu X là giao điểm cuối cùng của đường thẳng cấp và tập ABCDE thì f (X) là cực đại trên tập nghiệm khả thi. Nếu cho một> -? đường thẳng f = a cắt tập nghiệm có thể chấp nhận được thì min (f) = -?. Nếu điều này xảy ra khi a> + ?, thì max (f) = +?.

Bàn thắng:

1. Nhắc lại kiến thức về hàm số bậc hai.

2. Làm quen với phương pháp giải bất phương trình bậc hai dựa vào các tính chất của hàm số bậc hai.

Thiết bị:đa phương tiện, bài thuyết trình “Giải bất phương trình bình phương”, thẻ làm việc độc lập, bảng “Thuật toán giải bất phương trình bình phương”, phiếu điều khiển bằng giấy than.

THỜI GIAN LỚP HỌC

I. Thời điểm tổ chức (1 phút).

II. Cập nhật kiến thức cơ bản(10 phút).

1. Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y \ u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

xác định hướng của các nhánh của parabol;
xác định tọa độ của đỉnh parabol;
xác định trục đối xứng;
xác định giao điểm với các trục tọa độ;
tìm điểm bổ sung.

2. Xác định từ hình vẽ dấu của hệ số a và số nghiệm của phương trình ax 2 + in + c = 0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Theo đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 -4x + 3, hãy xác định:

Các số không của hàm là gì;
Tìm khoảng thời gian mà hàm số nhận giá trị dương;
Tìm khoảng thời gian mà hàm nhận giá trị âm;
Hàm số tăng và giảm tại những giá trị nào của x?<Рисунок 3>

4. Học kiến thức mới (12 phút)

Nhiệm vụ 1: Giải bất phương trình: x 2 + 4x-5 > 0.

Bất đẳng thức được thỏa mãn bởi các giá trị x mà tại đó các giá trị của hàm số y = x 2 + 4x-5 bằng 0 hoặc dương, tức là các giá trị x mà tại đó các điểm của parabol nằm trên trục x hoặc trên trục này.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 + 4x-5.

Với trục x: X 2 + 4x-5 \ u003d 0. Theo định lý Vieta: x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d -5. Điểm (1; 0), (- 5; 0).

Với trục y: y (0) = - 5. Điểm (0; -5).

Điểm bổ sung: y (-1) = - 8, y (2) = 7.<Рисунок 4>

Điểm mấu chốt: Các giá trị của hàm là dương và bằng 0 (không âm) khi

Có cần thiết phải vẽ chi tiết một hàm số bậc hai để giải một bất phương trình không?
Tôi có cần tìm tọa độ đỉnh của parabol không?
Cái gì quan trọng? (a, x 1, x 2)

Kết luận: Để giải một bất phương trình bậc hai, chỉ cần xác định các số không của hàm số, hướng của các nhánh của parabol và xây dựng một hình vẽ bên của đồ thị là đủ.

Nhiệm vụ 2: Giải bất phương trình: x 2 -6x + 8 < 0.

Giải: Hãy xác định nghiệm nguyên của phương trình x 2 -6x + 8 = 0.

Theo định lý Vieta: x 1 \ u003d 2, x 2 \ u003d 4.

a> 0 - các nhánh của parabol hướng lên trên.

Hãy xây dựng một bản phác thảo của đồ thị.<Рисунок 5>

Chúng tôi đánh dấu bằng các dấu “+” và “-” khoảng thời gian mà hàm nhận giá trị âm và dương. Hãy chọn khoảng thời gian mà chúng ta cần.

Trả lời: X €.

5. Củng cố bài mới (7 phút).

Số 660 (3). Học sinh quyết định trên bảng.

Giải bất phương trình-x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2 = 0; x 2 + 3x + 2 = 0;

nghiệm của phương trình: x 1 \ u003d -1, x 2 \ u003d -2.

một<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

Số 660 (1) - Làm việc với một bảng ẩn.

Giải bất phương trình x 2 -3x + 2 < 0.

Giải: x 2 -3x + 2 = 0.

Chúng ta hãy tìm ra gốc rễ: ; x 1 = 1, x 2 = 2.

a> 0 - nhánh lên. Chúng tôi xây dựng một phác thảo của đồ thị của hàm số.<Рисунок 7>

Thuật toán:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình ax 2 + in + c \ u003d 0.
Đánh dấu chúng trên mặt phẳng tọa độ.
Xác định hướng của các nhánh của parabol.
Vẽ biểu đồ.
Đánh dấu bằng các dấu “+” và “-”, khoảng thời gian mà hàm nhận giá trị âm và dương.
Chọn khoảng thời gian mong muốn.

6. Làm việc độc lập (10 phút).

(Lễ tân - giấy than).

Phiếu đối chứng được ký và giao cho giáo viên thẩm tra, xác định sửa chữa.

Lên bảng tự kiểm tra.

Nhiệm vụ bổ sung:

№ 670. Tìm các giá trị của x để hàm số nhận giá trị không lớn hơn 0: y = x 2 + 6x-9.

7. Bài tập về nhà (2 phút).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Điền vào bảng:

D	Bất bình đẳng	một	Đang vẽ	Dung dịch
D> 0	ax 2 + in + s > 0	a> 0
D> 0	ax 2 + in + s > 0	một<0
D> 0	ax 2 + in + s < 0	a> 0
D> 0	ax 2 + in + s < 0	một<0

8. Tóm tắt bài học (3 phút).

Trình bày lại thuật toán giải bất phương trình.
Ai đã làm một công việc tuyệt vời?
Điều gì có vẻ khó khăn?

Một trong những phương pháp thuận tiện nhất để giải bất phương trình bậc hai là phương pháp đồ thị. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích cách giải bất phương trình bậc hai bằng đồ thị. Đầu tiên, chúng ta hãy thảo luận về bản chất của phương pháp này là gì. Và sau đó chúng tôi đưa ra thuật toán và xem xét các ví dụ về giải bất phương trình bậc hai bằng đồ thị.

Điều hướng trang.

Bản chất của phương pháp đồ họa

Nói chung là cách đồ họa để giải các bất đẳng thức với một biến không chỉ được sử dụng để giải các bất đẳng thức bình phương, mà còn các bất đẳng thức thuộc các loại khác. Bản chất của phương pháp đồ thị để giải bất phương trình tiếp theo: xem xét các hàm y = f (x) và y = g (x) tương ứng với các phần bên trái và bên phải của bất đẳng thức, xây dựng đồ thị của chúng trong cùng một hệ trục tọa độ hình chữ nhật và tìm xem đồ thị của một trong những khoảng nào chúng nằm bên dưới hoặc bên trên cái khác. Những khoảng thời gian mà

đồ thị của hàm số f phía trên đồ thị của hàm số g là các nghiệm của bất phương trình f (x)> g (x);
Đồ thị của hàm số f không thấp hơn đồ thị của hàm số g là nghiệm của bất phương trình f (x) ≥g (x);
Đồ thị của hàm số f dưới đồ thị của hàm số g là các nghiệm của bất phương trình f (x)
đồ thị của hàm số f không nằm phía trên đồ thị của hàm số g là nghiệm của bất phương trình f (x) ≤g (x).

Giả sử rằng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f và g là nghiệm của phương trình f (x) = g (x).

Chúng ta hãy chuyển các kết quả này sang trường hợp của chúng ta - để giải bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Chúng tôi giới thiệu hai hàm số: hàm thứ nhất y = a x 2 + b x + c (trong trường hợp này là f (x) = a x 2 + b x + c) tương ứng với vế trái của bất đẳng thức bậc hai, hàm thứ hai y = 0 (trong trường hợp này g (x) = 0) tương ứng với vế phải của bất đẳng thức. lịch trình hàm bậc hai f là một parabol và đồ thị chức năng vĩnh viễn g là đường thẳng trùng với trục tọa độ Ox.

Hơn nữa, theo phương pháp đồ thị để giải bất phương trình, cần phải phân tích xem đồ thị của một hàm số nằm trên hay dưới hàm số kia ở những khoảng nào, điều này sẽ cho phép chúng ta viết được nghiệm mong muốn cho bất phương trình bậc hai. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta cần phân tích vị trí của parabol so với trục Ox.

Tùy thuộc vào giá trị của các hệ số a, b và c, sáu tùy chọn sau đây có thể thực hiện được (một biểu diễn giản đồ là đủ cho nhu cầu của chúng tôi và có thể không mô tả trục Oy, vì vị trí của nó không ảnh hưởng đến lời giải của bất đẳng thức):

Trong hình vẽ này, chúng ta thấy một parabol có các nhánh hướng lên trên và giao với trục Ox tại hai điểm, hoành độ của chúng là x 1 và x 2. Hình vẽ này tương ứng với biến thể khi hệ số a dương (nó chịu trách nhiệm cho hướng đi lên của các nhánh của parabol) và khi giá trị dương phân biệt của một tam thức bình phương a x 2 + b x + c (trong trường hợp này, tam thức có hai nghiệm nguyên, chúng ta ký hiệu là x 1 và x 2, và chúng ta giả sử rằng x 1 0 , D = b 2 −4 a c = (- 1) 2 −4 1 (−6) = 25> 0, x 1 = −2, x 2 = 3.

Để rõ ràng, chúng ta hãy vẽ màu đỏ các phần của parabol nằm phía trên trục abscissa và màu xanh lam - nằm bên dưới trục abscissa.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu những khoảng trống tương ứng với các bộ phận này. Hình vẽ sau đây sẽ giúp xác định chúng (trong tương lai, chúng tôi sẽ tính toán các lựa chọn như vậy dưới dạng hình chữ nhật):

Vì vậy, trên trục abscissa, hai khoảng (−∞, x 1) và (x 2, + ∞) được tô màu đỏ, trên chúng là parabol cao hơn trục Ox, chúng tạo thành nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 và khoảng (x 1, x 2) được tô màu xanh lam, trên đó có parabol nằm dưới trục Ox, nó là một nghiệm của bất phương trình a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Và bây giờ ngắn gọn: cho a> 0 và D = b 2 −4 a c> 0 (hoặc D "= D / 4> 0 cho hệ số chẵn b)

nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 là (−∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) hoặc, theo cách khác, x x2;
nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c≥0 là (−∞, x 1] ∪ hoặc trong ký hiệu khác x 1 ≤x≤x 2,

trong đó x 1 và x 2 là căn của tam thức bình phương a x 2 + b x + c, và x 1

Ở đây chúng ta thấy một parabol, các nhánh của chúng hướng lên trên và chạm vào trục abscissa, tức là nó có một điểm chung với nó, hãy biểu thị abscissa của điểm này là x 0. Trường hợp đã trình bày tương ứng với a> 0 (các nhánh hướng lên trên) và D = 0 (tam thức vuông có một căn x 0). Ví dụ, chúng ta có thể lấy hàm bậc hai y = x 2 −4 x + 4, ở đây a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 1 4 = 0 và x 0 = 2.

Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng parabol nằm trên trục Ox ở mọi nơi, ngoại trừ điểm tiếp xúc, nghĩa là, tại các khoảng (−∞, x 0), (x 0, ∞). Để rõ ràng, chúng tôi chọn các khu vực trong bản vẽ bằng cách tương tự với đoạn trước.

Chúng tôi rút ra kết luận: với a> 0 và D = 0

nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c> 0 là (−∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) hoặc ký hiệu khác x ≠ x 0;
nghiệm của bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c≥0 là (−∞, + ∞) hoặc, trong một ký hiệu khác, x∈R;
bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
bất phương trình bậc hai a x 2 + b x + c≤0 có nghiệm duy nhất x = x 0 (nó cho bởi tiếp tuyến),

trong đó x 0 là căn của tam thức vuông a x 2 + b x + c.

Trong trường hợp này, các nhánh của parabol hướng lên trên và nó không có điểm chung nào với trục abscissa. Ở đây ta có điều kiện a> 0 (các nhánh hướng lên trên) và D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D = 0 2 −4 2 1 = −8<0 .

Rõ ràng, parabol nằm trên trục Ox trong suốt chiều dài của nó (không có khoảng nào mà nó nằm dưới trục Ox, không có tiếp điểm nào).

Do đó, với a> 0 và D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 và a x 2 + b x + c≥0 là tập hợp tất cả các số thực và các bất phương trình a x 2 + b x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Và có ba lựa chọn cho vị trí của parabol với các nhánh hướng xuống dưới và không hướng lên, so với trục Ox. Về nguyên tắc, chúng có thể không được xem xét, vì nhân cả hai phần của bất đẳng thức với −1 cho phép chúng ta chuyển đến bất đẳng thức tương đương với hệ số dương tại x 2. Tuy nhiên, nó không có hại gì để có được một ý tưởng về những trường hợp này. Lý luận ở đây là tương tự, vì vậy chúng tôi chỉ viết ra các kết quả chính.

Giải thuật giải thuật

Kết quả của tất cả các phép tính trước đó là thuật toán giải các bất đẳng thức bình phương bằng đồ thị:

Một bản vẽ giản đồ được thực hiện trên mặt phẳng tọa độ, trong đó có trục Ox (không cần thiết phải vẽ trục Oy) và bản vẽ hình parabol tương ứng với hàm số bậc hai y = a x 2 + b x + c. Để xây dựng một bản phác thảo của một parabol, chỉ cần tìm ra hai điểm là đủ:

Đầu tiên, bằng giá trị của hệ số a, nó được tìm ra nơi các nhánh của nó hướng đến (đối với a> 0 - trở lên, đối với<0 – вниз).
Và thứ hai, bằng giá trị phân biệt của tam thức bình phương a x 2 + b x + c, nó cho ra rằng liệu parabol cắt trục x tại hai điểm (với D> 0), tiếp xúc với nó tại một điểm (với D = 0), hoặc không có điểm chung với trục Ox (đối với D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Khi bản vẽ đã sẵn sàng, trên đó ở bước thứ hai của thuật toán
- Khi giải bất phương trình bậc hai a · x 2 + b · x + c> 0, những khoảng mà parabol nằm trên trục abscissa được xác định;
- khi giải bất phương trình a x 2 + b x + c≥0, các khoảng được xác định mà tại đó parabol nằm phía trên trục abscissa và hoành độ của các giao điểm (hoặc abscissa của điểm tiếp tuyến) được thêm vào chúng;
- khi giải bất phương trình a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- cuối cùng, khi giải bất phương trình bậc hai dạng a x 2 + b x + c≤0, có những khoảng mà parabol nằm dưới trục Ox và hoành độ của các giao điểm (hoặc hoành độ của điểm tiếp tuyến) được thêm vào chúng. ;
chúng tạo thành nghiệm mong muốn của bất phương trình bậc hai, và nếu không có khoảng nào như vậy và không có điểm tiếp xúc, thì bất phương trình bậc hai ban đầu không có nghiệm.

Nó vẫn chỉ để giải một số bất phương trình bậc hai bằng cách sử dụng thuật toán này.

Ví dụ với Giải pháp

Thí dụ.

Giải quyết bất bình đẳng .

Dung dịch.

Chúng ta cần giải một bất phương trình bậc hai, chúng ta sẽ sử dụng thuật toán từ đoạn trước. Bước đầu tiên, chúng ta cần vẽ sơ đồ đồ thị của hàm số bậc hai. . Hệ số tại x 2 là 2, nó là dương, do đó, các nhánh của parabol hướng lên trên. Hãy cũng chúng tôi tìm hiểu xem parabol với trục abscissa có điểm chung hay không, vì điều này chúng tôi tính toán phân biệt của tam thức vuông . Chúng ta có . Số phân biệt hóa ra lớn hơn 0, do đó, tam thức có hai nghiệm thực: và , nghĩa là x 1 = −3 và x 2 = 1/3.

Từ đó rõ ràng là parabol cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ −3 và 1/3. Chúng ta sẽ mô tả những điểm này trong hình vẽ như những điểm bình thường, vì chúng ta đang giải một bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Theo dữ liệu đã làm rõ, chúng tôi có được bản vẽ sau (nó phù hợp với mẫu đầu tiên từ đoạn đầu tiên của bài báo):

Chúng tôi chuyển sang bước thứ hai của thuật toán. Vì chúng ta đang giải một bất phương trình bậc hai không nghiêm ngặt với dấu ≤, chúng ta cần xác định các khoảng mà parabol nằm bên dưới trục abscissa và thêm các abscissas của các giao điểm vào chúng.

Từ hình vẽ có thể thấy rằng parabol nằm dưới abscissa trong khoảng (−3, 1/3) và chúng tôi thêm abscissas của các giao điểm vào nó, nghĩa là, các số −3 và 1/3. Kết quả là, chúng ta đi đến đoạn số [−3, 1/3]. Đây là giải pháp mong muốn. Nó có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức kép −3≤x≤1 / 3.

Câu trả lời:

[−3, 1/3] hoặc −3≤x≤1 / 3.

Thí dụ.

Tìm một nghiệm của bất phương trình bậc hai −x 2 +16 x − 63<0 .

Dung dịch.

Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu với một bản vẽ. Hệ số bình phương của biến là âm, −1, do đó, các nhánh của parabol hướng xuống dưới. Hãy tính số phân biệt, hoặc tốt hơn, phần thứ tư của nó: D "= 8 2 - (- 1) (- 63) = 64−63 = 1. Giá trị của nó là dương, chúng tôi tính các căn của tam thức bình phương: và , x 1 = 7 và x 2 = 9. Vì vậy, parabol cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ 7 và 9 (bất đẳng thức ban đầu là nghiêm ngặt, vì vậy chúng ta sẽ mô tả các điểm này với tâm trống). Bây giờ chúng ta có thể vẽ giản đồ:

Vì chúng ta đang giải một bất phương trình bậc hai có dấu nghiêm ngặt<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Hình vẽ cho thấy các nghiệm của bất phương trình bậc hai ban đầu là hai khoảng (−∞, 7), (9, + ∞).

Câu trả lời:

(−∞, 7) ∪ (9, + ∞) hoặc trong một ký hiệu khác x<7 , x>9 .

Khi giải các bất đẳng thức bình phương, khi số phân biệt của một tam thức bình phương ở vế trái của nó bằng 0, bạn cần phải cẩn thận với việc thêm vào hoặc loại trừ điểm tiếp tuyến khỏi câu trả lời. Nó phụ thuộc vào dấu của bất đẳng thức: nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt thì nó không phải là nghiệm của bất đẳng thức, và nếu nó không nghiêm ngặt, thì nó là.

Thí dụ.

Bất phương trình bậc hai 10 x 2 −14 x + 4.9≤0 có ít nhất một nghiệm?

Dung dịch.

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = 10 x 2 −14 x + 4.9. Các nhánh của nó hướng lên trên, vì hệ số tại x 2 là dương và nó tiếp xúc với abscissa tại điểm có abscissa 0,7, vì D "= (- 7) 2 −10 4,9 = 0, khi đó hoặc 0,7 dưới dạng số thập phân. Về mặt sơ đồ, nó trông như thế này:

Vì chúng ta đang giải một bất phương trình bậc hai với dấu ≤, nên nghiệm của nó sẽ là khoảng mà parabol nằm dưới trục Ox, cũng như hoành độ của điểm tiếp tuyến. Từ hình vẽ có thể thấy rằng không có một khe hở nào mà parabol nằm dưới trục Ox, do đó, nghiệm của nó sẽ chỉ là abscissa của điểm tiếp xúc, nghĩa là 0,7.

Câu trả lời:

Bất phương trình này có nghiệm duy nhất 0,7.

Thí dụ.

Giải bất phương trình bậc hai –x 2 +8 x − 16<0 .

Dung dịch.

Chúng tôi hành động theo thuật toán để giải bất phương trình bậc hai và bắt đầu bằng cách vẽ đồ thị. Các nhánh của parabol hướng xuống dưới, vì hệ số tại x 2 là âm, −1. Tìm phân thức của tam thức vuông –x 2 +8 x − 16, ta có D '= 4 2 - (- 1) (- 16) = 16−16 = 0 và xa hơn x 0 = −4 / (- 1), x 0 = 4. Vì vậy, parabol tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ 4. Hãy vẽ một bức tranh:

Chúng ta nhìn vào dấu hiệu của sự bất bình đẳng ban đầu, nó là<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Trong trường hợp của chúng ta, đây là các tia mở (−∞, 4), (4, + ∞). Riêng biệt, chúng ta lưu ý rằng 4 - hoành độ của điểm tiếp tuyến - không phải là nghiệm, vì tại điểm tiếp tuyến, parabol không thấp hơn trục Ox.

Câu trả lời:

(−∞, 4) ∪ (4, + ∞) hoặc trong ký hiệu khác x ≠ 4.

Đặc biệt chú ý đến các trường hợp phân biệt của tam thức bình phương ở vế trái của bất đẳng thức bình phương nhỏ hơn không. Ở đây không cần phải vội vàng và nói rằng bất phương trình không có nghiệm (chúng ta đã quen đưa ra kết luận như vậy đối với phương trình bậc hai có phân biệt âm). Vấn đề là bất đẳng thức bậc hai đối với D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Thí dụ.

Tìm nghiệm của bất phương trình bậc hai 3 x 2 +1> 0.

Dung dịch.

Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu với một bản vẽ. Hệ số a là 3, nó là số dương, do đó, các nhánh của parabol hướng lên trên. Tính số phân biệt: D = 0 2 −4 3 1 = −12. Vì số phân biệt là âm nên parabol không có điểm chung với trục x. Thông tin thu được là đủ cho một sơ đồ:

Chúng ta đang giải một bất phương trình bậc hai nghiêm ngặt với dấu>. Nghiệm của nó sẽ là tất cả các khoảng mà parabol nằm trên trục Ox. Trong trường hợp của chúng ta, parabol nằm trên trục x dọc theo toàn bộ chiều dài của nó, vì vậy giải pháp mong muốn sẽ là tập hợp tất cả các số thực.

Ox, và bạn cũng cần thêm abscissa của các điểm giao nhau hoặc abscissa của điểm tiếp xúc với chúng. Nhưng hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng không có khoảng trống như vậy (vì parabol nằm ở khắp mọi nơi bên dưới trục abscissa), cũng như không có giao điểm, cũng như không có điểm tiếp xúc. Do đó, bất phương trình bậc hai ban đầu không có nghiệm.

Câu trả lời:

không có giải pháp nào hoặc ở ký hiệu khác ∅.

Thư mục.

Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Đại số học: Lớp 9: sách giáo khoa. cho giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 11, bị xóa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 tr: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G.Đại số học. Lớp 9 Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa cho sinh viên các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ấn bản thứ 13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 tr: ốm. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học. Lớp 11. Vào lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Lần xuất bản thứ 2, đã bị xóa. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p: bệnh. ISBN 978-5-346-01027-2.

Loại bài học:

Loại bài học: Bài giảng, giải bài.

Khoảng thời gian: 2 giờ.

Bàn thắng: 1) Tìm hiểu phương pháp đồ họa.

2) Trình bày việc sử dụng chương trình Maple trong việc giải các hệ bất phương trình bằng phương pháp đồ thị.

3) Phát triển nhận thức và tư duy về chủ đề.

Kế hoạch bài học:

Tiến trình khóa học.

Giai đoạn 1: Phương pháp đồ họa bao gồm xây dựng một tập hợp các giải pháp LLP khả thi và tìm một điểm trong tập hợp này tương ứng với giá trị cực đại / tối thiểu của hàm mục tiêu.

Để chứng minh một cách trực quan phương pháp đồ họa, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề sau:

Qua hình minh họa có thể thấy, hình đa diện ABCDE là một diện tích có lời giải khả thi.

Nếu miền nghiệm thu được không đóng, thì max (f) = +? Hoặc min (f) = -?.

2. Bây giờ chúng ta có thể tiến hành tìm trực tiếp cực đại của hàm f.

Lần lượt thay tọa độ các đỉnh của đa diện vào hàm số f và so sánh các giá trị, ta thấy f (C) = f (4; 1) = 19 là cực đại của hàm số.

Cách tiếp cận này khá có lợi cho một số ít đỉnh. Nhưng thủ tục này có thể bị trì hoãn nếu có khá nhiều đỉnh.

Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn nếu xét một đường mức có dạng f = a. Với một số a tăng đơn điệu từ -? đến +? các đường f = a bị dịch chuyển dọc theo vectơ pháp tuyến Vectơ pháp tuyến có tọa độ (С1; С2), trong đó C1 và C2 là hệ số của các ẩn số trong hàm mục tiêu f = C1? X1 + C2? X2 + C0 .. Nếu có Là một điểm nào đó trong quá trình dịch chuyển như vậy đường mức X là điểm chung đầu tiên của vùng nghiệm khả thi (đa giác ABCDE) và đường mức, khi đó f (X) là điểm cực tiểu của f trên tập ABCDE. Nếu X là giao điểm cuối cùng của đường thẳng cấp và tập ABCDE thì f (X) là cực đại trên tập nghiệm khả thi. Nếu cho một> -? đường thẳng f = a cắt tập nghiệm có thể chấp nhận được thì min (f) = -?. Nếu điều này xảy ra khi a> + ?, thì max (f) = +?.

Trong ví dụ của chúng ta, đường thẳng f = a đi qua khu vực ABCDE tại điểm С (4; 1). Vì đây là giao điểm cuối cùng nên max (f) = f (C) = f (4; 1) = 19.

Giải hệ bất phương trình bằng đồ thị. Tìm các giải pháp về góc.

x1> = 0, x2> = 0

> with (âm mưu);

> với (đồ thị);

> S1: = giải quyết ((f1x = X6, f2x = X6),);

Trả lời: Tất cả các điểm Si mà i = 1..10 với x và y đều dương.

Vùng giới hạn bởi các điểm này: (54 / 11,2 / 11) (5 / 7,60 / 7) (0,5) (10/3, 10/3)

Giai đoạn 3. Mỗi học sinh được đưa ra một trong 20 lựa chọn, trong đó học sinh được yêu cầu giải bất phương trình một cách độc lập bằng phương pháp đồ thị, và phần còn lại của các ví dụ làm bài tập về nhà.

Bài học №4 Giải pháp đồ họa của một bài toán lập trình tuyến tính

Loại bài học: bài học học liệu mới.

Loại bài học: Bài giảng + giải bài.

Khoảng thời gian: 2 giờ.

Bàn thắng: 1) Nghiên cứu lời giải đồ họa của bài toán lập trình tuyến tính.

2) Học cách sử dụng chương trình Maple khi giải một bài toán lập trình tuyến tính.

2) Phát triển nhận thức, tư duy.

Kế hoạch bài học: Giai đoạn 1: học tài liệu mới.

Giai đoạn 2: Phát triển vật liệu mới trong gói toán học Maple.

Giai đoạn 3: kiểm tra tài liệu đã học và bài tập về nhà.

Tiến trình khóa học.

Phương pháp đồ họa khá đơn giản và rõ ràng để giải các bài toán lập trình tuyến tính với hai biến. Nó được dựa trên hình họcđại diện cho các giải pháp có thể chấp nhận và bộ lọc kỹ thuật số của vấn đề.

Mỗi bất đẳng thức của bài toán lập trình tuyến tính (1.2) xác định một nửa mặt phẳng nhất định trên mặt phẳng tọa độ (Hình 2.1), và toàn bộ hệ thống bất đẳng thức xác định giao tuyến của các mặt phẳng tương ứng. Tập hợp các giao điểm của các nửa mặt phẳng này được gọi là miền các giải pháp khả thi(ODR). ODR luôn lồi lõm hình, tức là có tính chất sau: nếu hai điểm A và B thuộc hình này thì toàn bộ đoạn thẳng AB thuộc về nó. ODR có thể được biểu diễn bằng đồ thị bằng một đa giác lồi, một vùng đa giác lồi không giới hạn, một đoạn, một tia, một điểm. Nếu hệ thống các ràng buộc của bài toán (1.2) không nhất quán, thì ODE là một tập hợp rỗng.

Tất cả những điều trên cũng áp dụng cho trường hợp khi hệ thống các ràng buộc (1.2) bao gồm các đẳng thức, vì bất kỳ đẳng thức nào

có thể được biểu diễn dưới dạng một hệ hai bất đẳng thức (xem Hình 2.1)

Bộ lọc kỹ thuật số ở một giá trị cố định xác định một đường thẳng trên mặt phẳng. Bằng cách thay đổi các giá trị của L, chúng ta thu được một họ các đường thẳng song song, được gọi là đường mức.

Điều này là do thực tế là một sự thay đổi trong giá trị của L sẽ chỉ thay đổi độ dài của đoạn bị cắt bởi đường mức trên trục (tọa độ ban đầu), và độ dốc của đường thẳng sẽ không đổi (xem Hình. 2.1). Do đó, đối với giải pháp, sẽ đủ để xây dựng một trong các đường mức, tùy ý chọn giá trị của L.

Vectơ có tọa độ từ các hệ số CF tại và vuông góc với mỗi đường mức (xem Hình 2.1). Phương của vectơ cùng phương với phương tăng CF, là một điểm quan trọng để giải quyết vấn đề. Hướng đi giảm dần Bộ lọc kỹ thuật số ngược với hướng của vectơ.

Bản chất của phương pháp đồ họa như sau. Theo hướng (ngược hướng) của vectơ trong ODR, việc tìm kiếm điểm tối ưu được thực hiện. Điểm tối ưu là điểm mà đường mức đi qua, ứng với giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số. Giải pháp tối ưu luôn nằm trên ranh giới ODT, ví dụ, ở đỉnh cuối cùng của đa giác ODT mà đường mục tiêu đi qua hoặc trên toàn bộ mặt của nó.

Khi tìm kiếm giải pháp tối ưu cho các bài toán lập trình tuyến tính, có thể xảy ra các tình huống sau: có một giải pháp duy nhất cho bài toán; có vô số giải pháp (tùy chọn thay thế); CF không giới hạn; lĩnh vực của các giải pháp khả thi là một điểm đơn lẻ; vấn đề không có giải pháp.

Hình 2.1 Giải thích hình học của các ràng buộc và CF của bài toán.

Phương pháp giải các bài toán LP bằng phương pháp đồ thị

I. Trong các ràng buộc của bài toán (1.2), hãy thay dấu của bất đẳng thức bằng dấu của bằng chính xác và dựng các đoạn thẳng tương ứng.

II. Tìm và tô bóng các nửa mặt phẳng cho phép của mỗi ràng buộc bất đẳng thức của bài toán (1.2). Để làm điều này, bạn cần thay thế tọa độ của một điểm [ví dụ, (0; 0)] thành một bất đẳng thức cụ thể và kiểm tra tính đúng của bất đẳng thức thu được.

Nếu một bất bình đẳng thực sự,

sau đó cần tô bóng nửa mặt phẳng chứa điểm đã cho;

nếu không thì(bất đẳng thức sai) cần tô nửa mặt phẳng không chứa điểm đã cho.

Vì và phải không âm, nên các giá trị hợp lệ của chúng sẽ luôn ở phía trên trục và bên phải trục, tức là trong góc phần tư I.

Ràng buộc bình đẳng chỉ cho phép những điểm nằm trên đường thẳng tương ứng. Vì vậy, cần phải làm nổi bật các đường như vậy trên đồ thị.

III. Xác định ODR là một phần của mặt phẳng đồng thời thuộc tất cả các khu vực được phép và chọn nó. Trong trường hợp không có SDE, vấn đề không có giải pháp.

IV. Nếu ODS không phải là một tập hợp rỗng, thì cần phải xây dựng dòng đích, tức là bất kỳ dòng mức nào (trong đó L là một số tùy ý, ví dụ, bội số của và, tức là thuận tiện cho việc tính toán). Phương pháp xây dựng tương tự như việc xây dựng các ràng buộc trực tiếp.

V. Dựng một vectơ bắt đầu tại điểm (0; 0) và kết thúc tại điểm. Nếu dòng mục tiêu và vectơ được xây dựng chính xác, thì chúng sẽ vuông góc.

VI. Khi tìm kiếm mức tối đa của bộ lọc kỹ thuật số, cần phải di chuyển đường mục tiêu theo hướng vectơ, khi tìm kiếm giá trị nhỏ nhất của bộ lọc kỹ thuật số - chống lại sự chỉ đạo vectơ. Đỉnh cuối cùng của ODR theo hướng di chuyển sẽ là điểm cực đại hoặc cực tiểu của CF. Nếu không có (các) điểm như vậy, thì chúng ta có thể kết luận rằng tính không giới hạn của bộ lọc kỹ thuật số trên tập hợp các kế hoạch từ phía trên (khi tìm kiếm mức tối đa) hoặc từ phía dưới (khi tìm kiếm mức tối thiểu).

VII. Xác định tọa độ của điểm max (min) của bộ lọc kỹ thuật số và tính giá trị của bộ lọc kỹ thuật số. Để tính tọa độ của điểm tối ưu, cần giải hệ phương trình của các đường thẳng tại giao điểm của nó.

Giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính

1. f (x) = 2x1 + x2 -> extr

x1> = 0, x2> = 0

> âm mưu ((a + b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>= 0, a> = 0, b> = 0), a = -2..5, b = -2..5, tùy chọn khả thi = (màu = đỏ),

tùy chọn mở ra = (màu = xanh lam, độ dày = 2),

tùy chọn đóng cửa = (màu = xanh lá cây, độ dày = 3),

optionsexcluded = (color = yellow));

> với (simplex):

> C: = (x + y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp: = setup ((x + y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n: = cơ sở (dp);

W hiển thị (C,);

> L: = cterm (C);

W X: = kép (f, C, p);

W f_max: = subs (R, f);

W R1: = tối thiểu hóa (f, C, NONNEGATIVE);

f_min: = subs (R1, f);

TRẢ LỜI: Khi nào x 1 =5/4 x 2 = 5/4 f_max = 15/4; Tại x 1 =0 x 2 = 0 f_min = 0;

Bài học số 5

Loại bài học: kiểm soát bài học + học tài liệu mới. Loại bài học: Bài học.

Khoảng thời gian: 2 giờ.

Bàn thắng: 1) Kiểm tra và củng cố lại kiến thức về tài liệu đã học ở các bài trước.

2) Học một phương pháp mới để giải các trò chơi ma trận.

3) phát triển trí nhớ, tư duy toán học và sự chú ý.

Giai đoạn 1: kiểm tra bài tập về nhà dưới hình thức làm việc độc lập.

Giai đoạn 2: mô tả ngắn gọn về phương pháp zigzag

Giai đoạn 3: củng cố tài liệu mới và cho bài tập về nhà.

Tiến trình khóa học.

Các phương pháp lập trình tuyến tính - các phương pháp số để giải các bài toán tối ưu hóa được rút gọn thành các mô hình chính thức của lập trình tuyến tính.

Như đã biết, bất kỳ bài toán lập trình tuyến tính nào cũng có thể được rút gọn thành một mô hình chính tắc để giảm thiểu hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc kiểu bình đẳng tuyến tính. Vì số lượng biến trong một bài toán lập trình tuyến tính lớn hơn số ràng buộc (n> m), một giải pháp có thể nhận được bằng cách đánh đồng (n - m) biến với 0, được gọi là tự do. M biến còn lại, được gọi là nền tảng, có thể dễ dàng xác định từ hệ thức các ràng buộc bằng các phương pháp thông thường của đại số tuyến tính. Nếu một giải pháp tồn tại, thì nó được gọi là nền tảng. Nếu giải pháp cơ bản được chấp nhận, thì nó được gọi là cơ bản có thể chấp nhận. Về mặt hình học, các giải pháp khả thi cơ bản tương ứng với các đỉnh (điểm cực trị) của một khối đa diện lồi, điều này giới hạn tập hợp các giải pháp khả thi. Nếu một bài toán lập trình tuyến tính có các giải pháp tối ưu, thì ít nhất một trong số chúng là cơ bản.

Những cân nhắc ở trên có nghĩa là khi tìm kiếm một giải pháp tối ưu cho một bài toán lập trình tuyến tính, chúng ta chỉ cần giới hạn chúng ta trong việc liệt kê các giải pháp cơ bản có thể chấp nhận được. Số nghiệm cơ bản bằng số tổ hợp của n biến trong m:

C = m n! / nm! * (n - m)!

và có thể đủ lớn để liệt kê chúng bằng cách liệt kê trực tiếp trong thời gian thực. Thực tế là không phải tất cả các giải pháp cơ bản đều có thể chấp nhận được không làm thay đổi bản chất của vấn đề, vì để đánh giá khả năng chấp nhận của một giải pháp cơ bản, nó phải được thực hiện.

Bài toán liệt kê hợp lý các nghiệm cơ bản của bài toán lập trình tuyến tính lần đầu tiên được giải bởi J. Dantzig. Phương pháp simplex do ông đề xuất cho đến nay là phương pháp lập trình tuyến tính chung phổ biến nhất. Phương pháp simplex thực hiện liệt kê có hướng các nghiệm cơ bản khả thi dọc theo các điểm cực trị tương ứng của đa diện lồi của các nghiệm khả thi như một quá trình lặp lại, trong đó các giá trị của hàm mục tiêu giảm dần ở mỗi bước. Phép chuyển giữa các điểm cực trị được thực hiện dọc theo các cạnh của khối đa diện lồi các nghiệm khả thi phù hợp với các phép biến đổi đại số tuyến tính đơn giản của hệ các ràng buộc. Vì số điểm cực trị là hữu hạn và hàm mục tiêu là tuyến tính, nên bằng cách sắp xếp các điểm cực trị theo hướng giảm dần của hàm mục tiêu, phương pháp simplex hội tụ đến cực tiểu toàn cục trong một số bước hữu hạn.

Thực tiễn đã chỉ ra rằng đối với hầu hết các bài toán ứng dụng của lập trình tuyến tính, phương pháp simplex cho phép tìm ra lời giải tối ưu trong một số bước tương đối nhỏ so với tổng số điểm cực trị của một khối đa diện. Đồng thời, biết rằng đối với một số bài toán lập trình tuyến tính có dạng đặc biệt được chọn của vùng chấp nhận, việc sử dụng phương pháp đơn giản dẫn đến việc liệt kê đầy đủ các điểm cực trị. Thực tế này ở một mức độ nhất định đã kích thích việc tìm kiếm các phương pháp hiệu quả mới để giải một bài toán lập trình tuyến tính, dựa trên các ý tưởng khác với phương pháp simplex, cho phép giải bất kỳ bài toán lập trình tuyến tính nào trong một số lượng hữu hạn các bước, ít hơn đáng kể so với số cực trị điểm.

Trong số các phương pháp lập trình tuyến tính đa thức bất biến với cấu hình của dải giá trị cho phép, phổ biến nhất là phương pháp của L.G. Khachiyan. Tuy nhiên, mặc dù phương pháp này có ước lượng độ phức tạp đa thức tùy thuộc vào chiều của vấn đề, nhưng nó không cạnh tranh so với phương pháp simplex. Lý do là vì sự phụ thuộc của số lần lặp của phương pháp simplex vào thứ nguyên của bài toán được biểu thị bằng đa thức bậc 3 đối với hầu hết các bài toán thực tế, trong khi trong phương pháp Khachiyan, sự phụ thuộc này luôn có bậc là ít nhất. lần thứ 4. Thực tế này có tầm quan trọng quyết định đối với thực hành, nơi mà các vấn đề phức tạp được áp dụng đối với phương pháp đơn giản là cực kỳ hiếm.

Cũng cần lưu ý rằng đối với các bài toán ứng dụng của lập trình tuyến tính có ý nghĩa quan trọng trong thực tế, các phương pháp đặc biệt đã được phát triển có tính đến bản chất cụ thể của các ràng buộc của bài toán. Đặc biệt, đối với một bài toán vận chuyển thuần nhất, các thuật toán đặc biệt để chọn cơ sở ban đầu được sử dụng, trong đó nổi tiếng nhất là phương pháp góc tây bắc và phương pháp Vogel gần đúng, và bản thân việc triển khai thuật toán của phương pháp simplex gần với các chi tiết cụ thể của vấn đề. Để giải bài toán phân bổ tuyến tính (bài toán lựa chọn), thay vì phương pháp đơn giản, thuật toán Hungary thường được sử dụng, dựa trên việc giải thích bài toán theo lý thuyết đồ thị như bài toán tìm kết hợp hoàn hảo có trọng số lớn nhất trong một lưỡng phân. đồ thị hoặc phương pháp Mack.

Giải một trò chơi ma trận 3x3

f (x) = x 1 + x 2 + x 3

x1> = 0, x2> = 0, x3> = 0

> với (simplex):

> C: = (0 * x + 3 * y + 2 * z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W hiển thị (C,);

> khả thi (C, NONNEGATIVE, "NewC", "Transform");

> S: = dual (f, C, p);

W R: = tối đa (f, C, KHÔNG TIÊU CỰC);

W f_max: = subs (R, f);

W R1: = tối thiểu hóa (S, KHÔNG TIÊU CỰC);

> G: = p1 + p2 + p3;

> f_min: = subs (R1, G);

Tìm giá của trò chơi

> V: = 1 / f_max;

Tìm chiến lược tối ưu cho người chơi đầu tiên > X: = V * R1;

Tìm chiến lược tối ưu cho người chơi thứ hai

ĐÁP ÁN: Khi X = (3/7, 3 / 7,1 / 7) V = 9/7; Với Y = (3 / 7.1 / 7.3 / 7) V = 9/7;

Mỗi học sinh được đưa ra một trong 20 lựa chọn, trong đó học sinh được yêu cầu giải độc lập trò chơi ma trận 2x2, và phần còn lại của các ví dụ làm bài tập về nhà.