Nguyên tắc của Hermann Euler d'Alembert cho một điểm vật chất. Nguyên lý d'Alembert của cơ học lý thuyết

Các phương pháp giải các bài toán cơ học, được coi là cho đến nay, dựa trên các phương trình tuân theo trực tiếp các định luật Newton, hoặc từ các định lý tổng quát là hệ quả của các định luật này. Tuy nhiên, con đường này không phải là duy nhất. Nó chỉ ra rằng các phương trình chuyển động hoặc các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học có thể nhận được bằng cách giả định các mệnh đề tổng quát khác thay vì các định luật Newton, được gọi là các nguyên lý cơ học. Trong một số trường hợp, việc áp dụng các nguyên tắc này giúp chúng ta có thể tìm ra các phương pháp hiệu quả hơn để giải các bài toán tương ứng. Trong chương này, một trong những nguyên lý chung của cơ học, được gọi là nguyên lý d'Alembert, sẽ được xem xét.

Trước tiên, chúng ta hãy tìm một biểu thức của nguyên lý cho một điểm vật chất. Cho một hệ lực tác dụng lên một chất điểm có khối lượng, kết quả của nó sẽ được ký hiệu bằng phản lực liên kết N (nếu chất điểm không tự do). Dưới tác dụng của tất cả các lực này, chất điểm sẽ chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính với một gia tốc a.

Hãy để chúng tôi giới thiệu về số lượng

có thứ nguyên của lực. Một đại lượng vectơ có giá trị tuyệt đối bằng tích khối lượng của một chất điểm và gia tốc của nó và ngược chiều với gia tốc này được gọi là lực quán tính của chất điểm.

Khi đó chuyển động của một chất điểm có tính chất sau: nếu tại một thời điểm nào đó lực quán tính cộng với lực tác dụng lên chất điểm và phản lực liên kết thì hệ quả sẽ là cân bằng, tức là

Điều khoản này thể hiện nguyên tắc của d'Alembert đối với một điểm quan trọng. Dễ dàng nhận thấy nó tương đương với định luật II Newton và ngược lại. Thật vậy, định luật thứ hai của Newton đối với điểm được xét đưa ra. Chuyển giá trị m sang vế phải của đẳng thức và tính đến ký hiệu (84), chúng ta đi đến quan hệ (85). Ngược lại, chuyển giá trị trong phương trình (85) sang một phần khác của phương trình và tính đến ký hiệu (84), chúng ta thu được biểu thức cho định luật II Newton.

Bây giờ hãy xem xét một hệ thống cơ học bao gồm các điểm vật chất. Hãy chỉ ra một số điểm của hệ thống với khối lượng. Dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực tác dụng lên nó (bao gồm cả lực tác dụng và phản lực của các ràng buộc), chất điểm sẽ chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính với một gia tốc nào đó. Nhập lực quán tính đối với điểm này, ta thu được theo phương trình (85), điều đó

tức là tạo thành một hệ thống cân bằng của các lực. Lặp lại suy luận như vậy cho từng điểm của hệ thống, chúng ta đi đến kết quả sau, kết quả này thể hiện nguyên tắc d'Alembert đối với hệ thống: nếu tại bất kỳ thời điểm nào đối với mỗi điểm của hệ thống, ngoài các yếu tố bên ngoài. và nội lực tác dụng lên nó, các lực quán tính tương ứng được gắn vào, khi đó hệ lực tạo thành sẽ cân bằng và có thể áp dụng tất cả các phương trình tĩnh học cho nó.

Về mặt toán học, nguyên lý d'Alembert đối với một hệ thống được biểu thị bằng các đẳng thức vectơ có dạng (85), rõ ràng là tương đương với các phương trình vi phân chuyển động của hệ (13) thu được trong § 106. Do đó, từ d'Alembert nguyên lý, cũng như từ phương trình (13), người ta có thể thu được tất cả các định lý tổng quát về động lực học.

Ý nghĩa của nguyên lý d'Alembert nằm ở chỗ khi nó được áp dụng trực tiếp vào các bài toán động lực học, các phương trình chuyển động của hệ được biên soạn dưới dạng các phương trình cân bằng nổi tiếng; điều này làm cho cách tiếp cận giải quyết vấn đề đồng nhất và thường đơn giản hóa các phép tính tương ứng. Ngoài ra, cùng với nguyên lý về các phép dời hình sẽ được xem xét trong chương tiếp theo, nguyên lý d’Alembert cho phép chúng ta có được một phương pháp tổng quát mới để giải các bài toán về động lực học (xem § 141).

Từ tĩnh học người ta biết rằng tổng hình học của các lực ở trạng thái cân bằng và tổng các mômen của chúng so với bất kỳ tâm O nào đều bằng 0, và như được chỉ ra trong § 120, điều này đúng đối với các lực không chỉ tác dụng lên một vật cứng, mà còn trên bất kỳ hệ thống cơ biến thiên nào.

Sau đó, dựa trên nguyên tắc d'Alembert, nó phải là:

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu:

Các đại lượng biểu diễn vectơ chính và mômen chính so với tâm O của hệ các lực quán tính. Kết quả là, có tính đến tổng hình học của nội lực và tổng mômen của chúng bằng 0, chúng ta thu được từ các cân bằng (86):

Việc áp dụng các phương trình (88), tuân theo nguyên lý d'Alembert, đơn giản hóa quá trình giải các bài toán, vì các phương trình này không chứa nội lực. Về bản chất, các phương trình (88) tương đương với các phương trình biểu thị các định lý về sự thay đổi động lượng và mômen chính của động lượng của hệ, và chỉ khác chúng về hình thức.

Phương trình (88) đặc biệt thuận tiện để sử dụng khi nghiên cứu chuyển động của một vật cứng hoặc một hệ vật thể cứng. Để nghiên cứu đầy đủ chuyển động của bất kỳ hệ biến thiên nào, các phương trình này sẽ không đủ, cũng như các phương trình tĩnh không đủ để nghiên cứu trạng thái cân bằng của bất kỳ hệ cơ nào (xem § 120).

Trong phép chiếu lên các trục tọa độ, các phép cân bằng (88) cho các phương trình tương tự như các phương trình tĩnh tương ứng (xem §§ 16, 30). Để sử dụng các phương trình này trong việc giải các bài toán, bạn cần biết các biểu thức cho vectơ chính và mômen chính của lực quán tính.

Kết luận, cần nhấn mạnh rằng khi nghiên cứu chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính, được xem xét ở đây, lực quán tính chỉ được đưa vào khi áp dụng nguyên lý d'Alembert để giải các bài toán.

Nguyên tắc d'Alembert Nó được sử dụng để giải bài toán chính đầu tiên về động lực học của một điểm không tự do, khi biết chuyển động của chất điểm và các lực tích cực tác dụng lên nó, và phản ứng xuất hiện của liên kết được tìm thấy.

Chúng ta hãy viết phương trình cơ bản cho động lực học của một chất điểm không tự do trong hệ quy chiếu quán tính:

Hãy viết lại phương trình dưới dạng:

.

Denoting, chúng tôi nhận được

, (11.27)

nơi mà vectơ được gọi là d'Alembert lực quán tính.

Tuyên bố nguyên tắc: Tại mỗi thời điểm chuyển động của một chất điểm không tự do, lực tác dụng và phản lực của mối liên kết được cân bằng bởi lực quán tính d'Alembert.

Bằng cách chiếu phương trình vectơ (11.27) lên bất kỳ trục tọa độ nào, chúng ta sẽ thu được các phương trình cân bằng tương ứng, sử dụng phương trình này chúng ta có thể tìm ra các phản ứng chưa biết.

Chúng tôi chiếu phương trình (11,27) lên các trục tự nhiên:

(11.28)

ở đâu được gọi là lực quán tính li tâm, luôn hướng theo chiều âm của pháp tuyến chính; .

Ghi chú:

1). Trong thực tế, ngoài lực và bất kỳ lực lượng vật chất nào khác, không có lực lượng vật chất nào khác được tác dụng lên chất điểm và ba lực không tạo thành một hệ thống cân bằng của lực. Theo nghĩa này, lực quán tính d'Alembert là một lực hư cấu có điều kiện tác dụng lên một điểm.

2). Nguyên lý d'Alembert nên được coi là một kỹ thuật phương pháp luận thuận tiện cho phép rút gọn bài toán động học thành bài toán tĩnh.

ví dụ 1 Hãy để chúng tôi xác định phản ứng của kết nối tác động lên phi công khi một máy bay chuyển động trong một mặt phẳng thẳng đứng thoát ra khỏi một chuyến bay bổ nhào (Hình 11.5).

Phi công bị ảnh hưởng bởi trọng lực và phản lực của ghế. Hãy áp dụng nguyên lý d'Alembert bằng cách cộng lực quán tính d'Alembert vào các lực này:

(11.29)

Hãy viết phương trình (11.29) dưới dạng các phép chiếu trên pháp tuyến:

(11.30)

ở đâu r- bán kính của vòng tròn khi máy bay bay ngang bằng,

Tốc độ tối đa của máy bay tại thời điểm đó.

Từ phương trình (11.30)

(11.31)

Ví dụ 2 Bây giờ chúng ta hãy xác định phản ứng tương tự tác động lên phi công tại thời điểm thoát khỏi chế độ leo dốc (Hình 11.6).

Chuyển động tương đối của một điểm vật chất

Nếu hệ quy chiếu không chuyển động so với hệ quy chiếu quán tính, hoặc gốc tọa độ của chúng chuyển động không đều hoặc cong, thì hệ quy chiếu đó là không quán tính. Trong các hệ quy chiếu này, các tiên đề NHƯNG 1 và NHƯNG 2 không được quan sát, nhưng không theo đó mà chỉ các chuyển động xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính mới được nghiên cứu trong động lực học. Xét chuyển động của một chất điểm trong một hệ tọa độ phi quán tính, nếu biết các lực tác dụng lên chất điểm và cho biết chuyển động của hệ quy chiếu phi quán tính so với hệ quy chiếu quán tính. Theo đó, hệ quy chiếu quán tính sẽ được gọi là hệ quy chiếu cố định, và hệ quy chiếu phi quán tính, hệ quy chiếu chuyển động. Giả sử - kết quả của các lực tích cực tác dụng lên điểm, và - kết quả của phản ứng của các liên kết; - hệ tọa độ cố định; - hệ tọa độ chuyển động.

Xem xét chuyển động của một điểm vật chất M(Hình 11.7), không được kết nối chặt chẽ với hệ tọa độ chuyển động, mà chuyển động tương đối với nó. Chuyển động của một điểm trong động học được gọi là tương đối, chuyển động của một điểm so với một hệ tọa độ cố định được gọi là tuyệt đối, chuyển động của một hệ tọa độ chuyển động được gọi là di động.

Định luật cơ bản của động lực học cho chuyển động tuyệt đối của một chất điểm M sẽ trông như thế nào

(11.33)

gia tốc tuyệt đối của chất điểm ở đâu.

Dựa trên định lý cộng gia tốc động học (định lý Coriolis), gia tốc tuyệt đối là tổng của các gia tốc tương đối, tịnh tiến và Coriolis

. (11.34)

Thay thế (11,34) thành (11,33), chúng tôi nhận được

và sau khi chuyển giao và giới thiệu ký hiệu

(11.35)

ở đâu ; vectơ được gọi là lực quán tính di động; - Lực quán tính Coriolis.

Đẳng thức (11.35) thể hiện quy luật chuyển động tương đối của một điểm. Do đó, chuyển động của một điểm trong hệ quy chiếu không quán tính có thể coi là chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính, nếu ta cộng lực tịnh tiến và lực Coriolis vào số lực tác dụng lên chất điểm và phản lực của trái phiếu.

Tất cả các phương pháp giải các bài toán về động lực học mà chúng ta đã xem xét cho đến nay đều dựa trên các phương trình tuân theo hoặc trực tiếp từ các định luật Newton, hoặc từ các định lý tổng quát là hệ quả của các định luật này. Tuy nhiên, con đường này không phải là duy nhất. Nó chỉ ra rằng các phương trình chuyển động hoặc các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học có thể nhận được bằng cách giả định các mệnh đề tổng quát khác thay vì các định luật Newton, được gọi là các nguyên lý cơ học. Trong một số trường hợp, việc áp dụng các nguyên tắc này giúp chúng ta có thể tìm ra các phương pháp hiệu quả hơn để giải các bài toán tương ứng. Trong chương này, một trong những nguyên lý chung của cơ học, được gọi là nguyên lý d'Alembert, sẽ được xem xét.

Giả sử chúng ta có một hệ thống bao gồm Nđiểm vật liệu. Hãy chỉ ra một số điểm của hệ thống với khối lượng. Dưới tác dụng của các lực bên ngoài và bên trong tác dụng lên nó và (bao gồm cả lực tác dụng và phản lực ghép), chất điểm nhận được một số gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính.

Hãy để chúng tôi giới thiệu về số lượng

có thứ nguyên của lực. Một đại lượng vectơ có giá trị tuyệt đối bằng tích khối lượng của một điểm và gia tốc của nó và hướng ngược lại với gia tốc này được gọi là lực quán tính của chất điểm (đôi khi là lực quán tính d’Alembert).

Khi đó, chuyển động của một chất điểm có tính chất tổng quát sau: nếu tại mỗi thời điểm ta cộng lực quán tính với lực thực sự tác dụng lên chất điểm, thì hệ quả của lực sẽ cân bằng, tức là. sẽ là

.

Biểu thức này thể hiện nguyên tắc d'Alembert cho một điểm vật chất. Dễ dàng nhận thấy nó tương đương với định luật II Newton và ngược lại. Thật vậy, định luật thứ hai của Newton cho điểm được đề cập đưa ra . Chuyển thuật ngữ ở đây sang vế phải của đẳng thức, chúng ta đi đến quan hệ cuối cùng.

Lặp lại lập luận trên đối với từng điểm của hệ thống, chúng ta đi đến kết quả sau, kết quả thể hiện nguyên tắc d'Alembert đối với hệ thống: Nếu tại bất kỳ thời điểm nào tại mỗi thời điểm của hệ, ngoài ngoại lực và nội lực tác dụng lên nó, còn tác dụng lực quán tính tương ứng, thì hệ lực đó sẽ ở trạng thái cân bằng và tất cả các phương trình của tĩnh có thể được áp dụng cho nó.

Ý nghĩa của nguyên lý d'Alembert nằm ở chỗ khi nó được áp dụng trực tiếp vào các bài toán động lực học, các phương trình chuyển động của hệ được biên soạn dưới dạng các phương trình cân bằng nổi tiếng; điều này tạo ra một cách tiếp cận thống nhất để giải quyết vấn đề và thường đơn giản hóa rất nhiều các phép tính tương ứng. Ngoài ra, cùng với nguyên lý về các phép dời hình sẽ được thảo luận trong chương tiếp theo, nguyên lý d'Alembert cho phép chúng ta có được một phương pháp tổng quát mới để giải các bài toán động lực học.

Áp dụng nguyên lý d'Alembert, cần lưu ý rằng chỉ có các lực bên ngoài và bên trong tác động lên một điểm của hệ cơ học, chuyển động của hệ cơ đang được nghiên cứu, và phát sinh do sự tương tác của các điểm của hệ thống với nhau và với các cơ quan không có trong hệ thống; dưới tác dụng của các lực này, các chất điểm của hệ và chuyển động với gia tốc tương ứng. Các lực quán tính, được đề cập trong nguyên lý d'Alembert, không tác động lên các điểm chuyển động (nếu không, các điểm này sẽ ở trạng thái nghỉ hoặc chuyển động mà không có gia tốc, và sau đó sẽ không có lực quán tính). Sự ra đời của lực quán tính chỉ là một kỹ thuật cho phép bạn lập các phương trình động lực học bằng cách sử dụng các phương pháp tĩnh học đơn giản hơn.

Từ tĩnh học, người ta biết rằng tổng hình học của các lực ở trạng thái cân bằng và tổng các mômen của chúng đối với bất kỳ trọng tâm nào Ođều bằng 0, và theo nguyên tắc đông đặc, điều này đúng đối với các lực không chỉ tác dụng lên vật cứng mà còn đúng với bất kỳ hệ biến thiên nào. Sau đó, trên cơ sở nguyên tắc d'Alembert, điều đó nên xảy ra.

Nguyên lý d'Alembert giúp nó có thể hình thành các bài toán về động lực học của các hệ thống cơ khí như các bài toán về tĩnh. Trong trường hợp này, phương trình vi phân động của chuyển động được đưa về dạng phương trình cân bằng. Một phương pháp như vậy được gọi là phương pháp kinetostatic .

Nguyên tắc của d'Alembert cho một điểm vật chất: « Tại mỗi thời điểm chuyển động của một chất điểm, các lực chủ động thực sự tác dụng lên nó, các phản ứng của các liên kết và lực quán tính có điều kiện tác dụng lên chất điểm tạo thành một hệ thống lực cân bằng.»

lực quán tính điểm gọi là đại lượng vectơ có thứ nguyên của một lực có giá trị tuyệt đối bằng tích khối lượng của một chất điểm và gia tốc của nó và ngược chiều với vectơ gia tốc

. (3.38)

Theo nguyên lý d'Alembert, khi coi một hệ cơ học như một tập hợp các điểm vật chất, mỗi điểm chịu tác động của các hệ lực cân bằng, chúng ta có các hệ quả từ nguyên lý này trong mối quan hệ với hệ. Vectơ chính và mômen chính so với tâm bất kỳ của ngoại lực tác dụng lên hệ và lực quán tính của tất cả các điểm của nó đều bằng không:

(3.39)

Ở đây ngoại lực là lực tác dụng và phản lực của các liên kết.

Vectơ chính của lực quán tính của một hệ cơ học bằng tích khối lượng của hệ và gia tốc khối tâm của nó và hướng theo hướng ngược với gia tốc này

. (3.40)

Mômen quán tính chính hệ thống liên quan đến một trung tâm tùy ý O bằng đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của nó đối với cùng một tâm

. (3.41)

Đối với một vật cứng quay quanh một trục cố định Oz, chúng ta tìm thấy mômen chính của lực quán tính đối với trục này

. (3.42)

3.8. Các yếu tố của cơ học phân tích

Phần "Cơ học giải tích" xem xét các nguyên tắc chung và phương pháp phân tích để giải quyết các vấn đề trong cơ học của các hệ vật chất.

3.8.1.Các chuyển động có thể xảy ra của hệ thống. Phân loại

một số kết nối

Các chuyển động điểm có thể xảy ra
Mọi chuyển vị tưởng tượng, nhỏ vô hạn của chúng, được cho phép bởi các ràng buộc đặt lên hệ, tại một thời điểm cố định, được gọi là hệ cơ học. Theo định nghĩa, số bậc tự do của một hệ thống cơ học là số lượng các chuyển vị độc lập có thể có của nó.

Các kết nối áp đặt trên hệ thống được gọi là lý tưởng , nếu tổng các công trình cơ bản của các phản ứng của chúng với bất kỳ chuyển vị nào có thể có của các điểm của hệ bằng không

. (3. 43)

Các kết nối mà các hạn chế do chúng áp đặt được bảo toàn ở bất kỳ vị trí nào của hệ thống được gọi là giữ lại . Các quan hệ không thay đổi theo thời gian, các phương trình rõ ràng không bao gồm thời gian, được gọi là đứng im . Các kết nối chỉ giới hạn chuyển vị của các điểm trong hệ thống được gọi là hình học và tốc độ giới hạn là động học . Trong tương lai, chúng ta sẽ chỉ xem xét các mối quan hệ hình học và những mối quan hệ động học có thể được rút gọn thành những mối quan hệ hình học bằng cách tích phân.

3.8.2. Nguyên tắc của các chuyển động có thể

Đối với trạng thái cân bằng của một hệ thống cơ học có giới hạn lý tưởng và cố định, cần và đủ rằng

tổng các công cơ bản của tất cả các lực tác dụng lên nó, trên mọi chuyển vị có thể có của hệ, bằng không

. (3.44)

Trong phép chiếu trên các trục tọa độ:

. (3.45)

Nguyên lý về các chuyển vị có thể xảy ra cho phép chúng ta thiết lập ở dạng tổng quát các điều kiện cho trạng thái cân bằng của bất kỳ hệ cơ học nào, mà không cần xem xét đến trạng thái cân bằng của các bộ phận riêng lẻ của nó. Trong trường hợp này, chỉ các lực tác động lên hệ thống mới được tính đến. Các phản ứng chưa biết của các liên kết lý tưởng không được bao gồm trong các điều kiện này. Đồng thời, nguyên tắc này có thể xác định các phản ứng chưa biết của các liên kết lý tưởng bằng cách loại bỏ các liên kết này và đưa các phản ứng của chúng vào số lực tác dụng. Khi loại bỏ các liên kết mà phản ứng của chúng phải được xác định, hệ thống sẽ thu được thêm số bậc tự do tương ứng.

ví dụ 1 . Tìm mối quan hệ giữa các lực và jack cắm, nếu biết rằng với mỗi lần quay tay cầm AB = l, Đinh ốc TỪ mở rộng đến mức độ h(Hình 3.3).

Dung dịch

Các chuyển động có thể có của cơ cấu là chuyển động quay của tay cầm  và chuyển động của tải trọng  h. Điều kiện của công bằng 0 của công cơ bản của các lực:

làm ơn- Qh = 0;

sau đó
. Kể từ khi h 0, sau đó

3.8.3. Phương trình biến đổi tổng quát của động lực học

Hãy xem xét chuyển động của một hệ thống bao gồm Nđiểm. Các lực lượng tích cực tác động lên nó và phản ứng liên kết .(k = 1,…,N) Nếu ta thêm vào lực tác dụng lực quán tính của các chất điểm
, khi đó, theo nguyên lý d'Alembert, hệ quả của lực sẽ ở trạng thái cân bằng và do đó, biểu thức được viết trên cơ sở nguyên lý về các chuyển vị có thể có (3.44) là hợp lệ:

. (3.46)

Nếu tất cả các kết nối là lý tưởng, thì tổng thứ 2 bằng 0 và trong các phép chiếu trên các trục tọa độ, đẳng thức (3.46) sẽ giống như sau:

Đẳng thức cuối cùng là một phương trình biến đổi tổng quát của động lực học trong các phép chiếu trên các trục tọa độ, cho phép người ta lập phương trình vi phân chuyển động của một hệ cơ học.

Phương trình biến đổi tổng quát của động lực học là một biểu thức toán học Nguyên tắc d'Alembert-Lagrange: « Khi một hệ chuyển động, chịu các ràng buộc đứng yên, lý tưởng, hạn chế, tại một thời điểm bất kỳ, tổng công trình cơ bản của tất cả các lực tác dụng lên hệ và các lực quán tính trên bất kỳ chuyển vị nào có thể có của hệ là bằng 0».

Ví dụ 2 . Đối với hệ thống cơ khí (Hình 3.4), bao gồm ba thân, xác định gia tốc của tải 1 và lực căng của cáp 1-2 nếu: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; bán kính chuyển động của khối 2 tôi = 1,5r 2. Con lăn 3 là một đĩa đồng nhất liên tục.

Dung dịch

Hãy mô tả các lực cơ bản tác dụng lên một phép dời hình  S hàng hóa 1:

Chúng tôi viết các chuyển vị có thể có của tất cả các vật thể thông qua chuyển vị có thể có của tải trọng 1:

Chúng tôi biểu thị gia tốc tuyến tính và gia tốc góc của tất cả các vật thể dưới dạng gia tốc mong muốn của tải trọng 1 (các tỷ lệ giống như trong trường hợp chuyển vị có thể xảy ra):

.

Phương trình biến phân tổng quát cho bài toán này có dạng:

Thay các biểu thức thu được trước đó cho lực hoạt động, lực quán tính và các chuyển vị có thể có, sau các phép biến đổi đơn giản, chúng ta thu được

Kể từ khi  S 0, do đó, biểu thức trong ngoặc chứa gia tốc bằng không một 1 , ở đâu một 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Để xác định lực căng của cáp giữ tải, chúng tôi giải phóng tải khỏi cáp, thay thế tác động của nó bằng phản lực mong muốn . Dưới tác dụng của các lực đã cho ,và lực quán tính tác dụng lên tải trọng
anh ấy đang cân bằng. Do đó, nguyên tắc d’Alembert có thể áp dụng cho tải (điểm) được xem xét, tức là chúng tôi viết rằng
. Từ đây
.

3.8.4. Phương trình Lagrange của loại thứ 2

Tọa độ tổng quát và vận tốc tổng quát. Bất kỳ tham số độc lập lẫn nhau nào xác định duy nhất vị trí của một hệ cơ học trong không gian được gọi là tọa độ tổng quát . Các tọa độ này, được ký hiệu là q 1 ,....q tôi, có thể có bất kỳ thứ nguyên nào. Trong đó, tọa độ tổng quát có thể là các phép dời hình hoặc góc quay.

Đối với các hệ đang xét, số tọa độ tổng quát bằng số bậc tự do. Vị trí của mỗi điểm trong hệ thống là một hàm đơn giá trị của tọa độ tổng quát

Do đó, chuyển động của hệ trong các tọa độ tổng quát được xác định bởi các phụ thuộc sau:

Các đạo hàm đầu tiên của tọa độ tổng quát được gọi là tốc độ tổng quát :
.

Lực lượng tổng quát. Biểu thức cho công cơ bản của một lực trên một bước đi có thể
giống như:

.

Đối với công việc cơ bản của hệ thống các lực, chúng tôi viết

Sử dụng các phụ thuộc thu được, biểu thức này có thể được viết như sau:

,

lực tổng quát tương ứng với tôi- tọa độ tổng quát thứ,

. (3.49)

Bằng cách này, tổng quát lực tương ứng tôi- tọa độ tổng quát thứ, là hệ số biến thiên của tọa độ này trong biểu thức của tổng công trình cơ bản của các lực tác dụng lên độ dời có thể có của hệ . Để tính toán lực tổng quát, cần thông báo cho hệ thống về một chuyển vị có thể xảy ra, trong đó chỉ có tọa độ tổng quát mới thay đổi q tôi. Hệ số tại
và sẽ là lực tổng quát mong muốn.

Phương trình chuyển động của hệ trong hệ tọa độ tổng quát. Hãy để một hệ thống cơ học được đưa ra với S bậc tự do. Biết được các lực tác dụng lên nó, cần lập phương trình vi phân của chuyển động trong hệ tọa độ suy rộng
. Chúng tôi áp dụng quy trình để biên soạn các phương trình vi phân chuyển động của hệ - phương trình Lagrange loại 2 - bằng cách tương tự với việc lấy các phương trình này cho một điểm vật chất tự do. Dựa trên định luật thứ 2 của Newton, chúng tôi viết

Chúng tôi thu được một phương trình tương tự của những phương trình này, sử dụng ký hiệu cho động năng của một điểm vật chất,

Đạo hàm một phần của động năng so với hình chiếu của vận tốc lên trục
bằng hình chiếu của lượng chuyển động trên trục này, tức là

Để có được các phương trình cần thiết, chúng tôi tính các đạo hàm theo thời gian:

Hệ phương trình kết quả là phương trình Lagrange loại 2 cho một điểm vật chất.

Đối với một hệ thống cơ học, chúng tôi biểu diễn các phương trình Lagrange của loại thứ hai dưới dạng phương trình trong đó thay vì hình chiếu của các lực tác dụng P x , P y , P z sử dụng lực lượng tổng quát Q 1 , Q 2 ,...,Q i và xét trong trường hợp tổng quát sự phụ thuộc của động năng vào tọa độ suy rộng.

Phương trình Lagrange loại 2 đối với một hệ cơ học có dạng:

. (3.50)

Chúng có thể được sử dụng để nghiên cứu chuyển động của bất kỳ hệ thống cơ học nào với các ràng buộc hình học, lý tưởng và giới hạn.

Ví dụ 3 . Đối với hệ thống cơ học (Hình 3.5), dữ liệu được đưa ra trong ví dụ trước, hãy vẽ một phương trình vi phân của chuyển động bằng cách sử dụng phương trình Lagrange của loại thứ hai,

Dung dịch

Hệ cơ có một bậc tự do. Đối với tọa độ tổng quát, chúng ta lấy chuyển động thẳng của tải q 1 = s; tốc độ tổng quát - . Với ý nghĩ này, chúng tôi viết phương trình Lagrange của loại thứ hai

.

Chúng ta hãy lập một biểu thức cho động năng của hệ

.

Chúng tôi biểu thị tất cả các vận tốc góc và vận tốc tuyến tính theo vận tốc tổng quát:

Bây giờ chúng tôi nhận được

Chúng ta hãy tính lực tổng quát bằng cách lập biểu thức cho công cơ bản về một độ dời có thể xảy ra  S tất cả các lực lượng hoạt động. Không có lực ma sát, công trong hệ chỉ được thực hiện bởi trọng lực của tải 1
Ta viết lực tổng quát tại  S, như một hệ số trong công việc sơ cấp Q 1 = 5mg. Tiếp theo chúng tôi tìm thấy

Cuối cùng, phương trình vi phân chuyển động của hệ sẽ có dạng:

Nếu ta coi một hệ bao gồm một số điểm vật chất, làm nổi bật một điểm cụ thể có khối lượng đã biết, thì dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực tác dụng lên nó, nó nhận được một gia tốc nào đó so với hệ quy chiếu quán tính. Trong số các lực như vậy có thể có cả lực chủ động và phản lực liên kết.

Lực quán tính của một chất điểm là một đại lượng vectơ, có giá trị tuyệt đối bằng tích khối lượng của chất điểm và gia tốc của nó. Giá trị này đôi khi được gọi là lực quán tính d'Alembert, nó hướng ngược lại với gia tốc. Trong trường hợp này, tính chất sau đây của một chất điểm chuyển động được bộc lộ: nếu tại mỗi thời điểm ta cộng lực quán tính với lực thực sự tác dụng lên chất điểm thì hệ quả sẽ cân bằng. Vì vậy, có thể xây dựng nguyên lý d'Alembert cho một điểm vật chất. Tuyên bố này hoàn toàn phù hợp với định luật thứ hai của Newton.

Nguyên tắc của d'Alembert cho hệ thống

Nếu chúng ta lặp lại tất cả các đối số cho mỗi điểm trong hệ thống, chúng sẽ dẫn đến kết luận sau, thể hiện nguyên tắc d’Alembert được xây dựng cho hệ thống: nếu bất kỳ lúc nào chúng ta áp dụng cho mỗi điểm trong hệ thống, ngoài các lực bên ngoài và bên trong thực sự tác động, khi đó hệ này sẽ ở trạng thái cân bằng, vì vậy tất cả các phương trình được sử dụng trong tĩnh học có thể được áp dụng cho nó.

Nếu chúng ta áp dụng nguyên lý d'Alembert để giải các bài toán về động lực học, thì phương trình chuyển động của hệ có thể được biên soạn dưới dạng phương trình cân bằng mà chúng ta đã biết. Nguyên tắc này giúp đơn giản hóa đáng kể các phép tính và làm cho cách tiếp cận giải quyết vấn đề trở nên thống nhất.

Áp dụng nguyên tắc d'Alembert

Cần lưu ý rằng chỉ có các lực bên ngoài và bên trong tác động lên một điểm chuyển động trong một hệ cơ học, sinh ra do sự tương tác của các điểm giữa chúng, cũng như với các vật không nằm trong hệ này. Các chất điểm chuyển động với những gia tốc nhất định dưới tác dụng của tất cả các lực này. Các lực quán tính không tác dụng lên các chất điểm chuyển động, nếu không chúng sẽ chuyển động không có gia tốc hoặc ở trạng thái dừng.

Các lực quán tính chỉ được đưa vào để lập phương trình động lực học bằng cách sử dụng các phương pháp tĩnh học đơn giản và thuận tiện hơn. Người ta cũng tính đến tổng hình học của nội lực và tổng mômen của chúng bằng không. Việc sử dụng các phương trình tuân theo nguyên lý d'Alembert làm cho quá trình giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn, vì các phương trình này không còn chứa nội lực.