Bất đẳng thức hữu tỉ và hệ thống của chúng. Bất đẳng thức hữu tỉ phân số

>> Toán học: Bất đẳng thức hữu tỉ

Bất đẳng thức hữu tỉ với một biến x là bất đẳng thức có dạng - biểu thức hữu tỉ, tức là biểu thức đại số được tạo thành từ các số và biến x bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên thành lũy thừa tự nhiên. Tất nhiên, biến có thể được ký hiệu bằng bất kỳ chữ cái nào khác, nhưng trong toán học, chữ x thường được ưu tiên hơn cả.

Khi giải các bất đẳng thức hữu tỉ, ba quy tắc được xây dựng ở trên trong § 1. Với sự trợ giúp của các quy tắc này, một bất đẳng thức hữu tỉ đã cho thường được chuyển thành dạng / (x)> 0, trong đó / (x) là một đại số phân số (hoặc đa thức). Tiếp theo, phân tích tử số và mẫu số của phân số f (x) thành các thừa số có dạng x - a (tất nhiên, nếu điều này là có thể) và áp dụng phương pháp khoảng mà chúng ta đã đề cập ở trên (xem ví dụ 3 ở phần trước đoạn văn).

ví dụ 1 Giải bất phương trình (x - 1) (x + 1) (x - 2)> 0.

Dung dịch. Xét biểu thức f (x) = (x-1) (x + 1) (x-2).

Nó chuyển thành 0 tại các điểm 1, -1,2; đánh dấu các điểm này trên trục số. Đường số được chia bởi các điểm được chỉ ra thành bốn khoảng (Hình 6), trên mỗi khoảng đó, biểu thức f (x) giữ lại một dấu không đổi. Để xác minh điều này, chúng tôi sẽ thực hiện bốn đối số (cho từng khoảng thời gian này riêng biệt).

Lấy một điểm x bất kỳ trong khoảng (2, Điểm này nằm trên trục số bên phải điểm -1, bên phải điểm 1 và bên phải điểm 2. Điều này có nghĩa là x> -1, x> 1, x> 2 (Hình 7) Nhưng khi đó x-1> 0, x + 1> 0, x - 2> 0 và do đó f (x)> 0 (là tích của bất đẳng thức hữu tỉ ba dương số) Vì vậy, bất phương trình f (x)> 0.

Lấy một điểm x bất kỳ trong khoảng (1,2). Điểm này nằm trên trục số ở bên phải điểm 1, bên phải điểm 1, nhưng ở bên trái điểm 2. Do đó, x \ u003e -1, x \ u003e 1, nhưng x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1> 0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Lấy một điểm x bất kỳ trong khoảng (-1,1). Điểm này nằm trên trục số bên phải điểm -1, bên trái điểm 1 và bên trái điểm 2. Vậy x> -1, nhưng x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (là tích của hai số âm và một số dương). Vì vậy, trên khoảng (-1,1) bất phương trình f (x)> 0 giữ nguyên.

Cuối cùng, lấy bất kỳ điểm x từ tia mở (-oo, -1). Điểm này nằm trên trục số bên trái điểm -1, bên trái điểm 1 và bên trái điểm 2. Điều này có nghĩa là x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Hãy tóm tắt lại. Các dấu hiệu của biểu thức f (x) trong các khoảng đã chọn được thể hiện trong Hình. 11. Chúng tôi quan tâm đến những phương án thỏa mãn bất đẳng thức f (x)> 0. Sử dụng mô hình hình học được trình bày trong hình. 11, ta xác định rằng bất phương trình f (x)> 0 thỏa mãn trên khoảng (-1, 1) hoặc trên tia mở
Câu trả lời: -1 < х < 1; х > 2.

Ví dụ 2 Giải quyết bất bình đẳng
Dung dịch. Như trong ví dụ trước, chúng ta sẽ rút ra các thông tin cần thiết từ Hình. 11, nhưng với hai thay đổi so với ví dụ 1. Đầu tiên, vì chúng ta quan tâm đến giá trị nào của x thỏa mãn bất đẳng thức f (x)< 0, нам придется выбрать промежутки Thứ hai, chúng ta cũng thỏa mãn với những điểm mà tại đó đẳng thức f (x) = 0. Đó là những điểm -1, 1, 2, chúng ta đánh dấu chúng vào hình bằng các quầng thâm và đưa vào đáp án. Trên hình. 12 cho thấy một mô hình hình học của phản ứng, từ đó không khó để chuyển sang một bản ghi phân tích.
Câu trả lời:
VÍ DỤ 3. Giải quyết bất bình đẳng
Dung dịch. Chúng ta hãy phân tích tử số và mẫu số của phân số đại số fx chứa ở vế trái của bất đẳng thức. Ở tử số chúng ta có x 2 - x \ u003d x (x - 1).

Để tính nhân tử của tam thức bình phương x 2 - bx ~ 6 có ở mẫu số của phân số, chúng ta tìm nghiệm nguyên của nó. Từ phương trình x 2 - 5x - 6 \ u003d 0, chúng ta tìm thấy x 1 \ u003d -1, x 2 \ u003d 6. Do đó, (chúng tôi đã sử dụng công thức tính nhân tử cho một tam thức vuông: ax 2 + bx + c \ u003d a (x - x 1 - x 2)).
Như vậy, ta đã biến bất đẳng thức đã cho về dạng

Hãy xem xét biểu thức:

Tử số của phân số này chuyển thành 0 tại các điểm 0 và 1, và chuyển thành 0 tại các điểm -1 và 6. Hãy đánh dấu các điểm này trên trục số (Hình 13). Đường số được chia cho các điểm được chỉ định thành năm khoảng và trên mỗi khoảng, biểu thức fx) giữ lại một dấu không đổi. Lập luận theo cách tương tự như trong Ví dụ 1, chúng ta đi đến kết luận rằng các dấu của biểu thức fx) trong các khoảng đã chọn như trong Hình. 13. Chúng tôi quan tâm đến nơi mà bất đẳng thức f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 câu trả lời: -1

Ví dụ 4 Giải quyết bất bình đẳng

Dung dịch. Khi giải các bất đẳng thức hữu tỉ, theo quy luật, họ chỉ muốn để chữ số 0 ở vế phải của bất đẳng thức, do đó, ta chuyển bất đẳng thức về dạng

Hơn nữa:

Theo kinh nghiệm cho thấy, nếu vế phải của bất đẳng thức chỉ chứa số 0, thì sẽ thuận tiện hơn khi lập luận khi cả tử số và mẫu số ở vế trái của nó đều có hệ số lớn hơn dương. Và chúng ta có gì? Chúng ta có mọi thứ trong mẫu số của phân số theo nghĩa này theo thứ tự (hệ số đứng đầu, tức là hệ số tại x 2, là 6 - một số dương), nhưng không phải mọi thứ đều theo thứ tự trong tử số - hệ số cấp cao (hệ số tại x) là - 4 (số âm) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -1 và đổi dấu của bất đẳng thức thành vế đối, ta thu được bất đẳng thức tương đương

Hãy phân tích tử số và mẫu số của một phân số đại số. Trong tử số, mọi thứ đều đơn giản:
Để nhân tử hóa tam thức bình phương có ở mẫu số của một phân số

(chúng tôi lại sử dụng công thức tính nhân tử cho một tam thức vuông).
Như vậy, chúng ta đã rút gọn bất đẳng thức đã cho về dạng

Xem xét biểu thức

Tử số của phân số này chuyển thành 0 tại điểm và mẫu số - tại các điểm. f (x) giữ lại một dấu hiệu không đổi (các dấu hiệu này được chỉ ra trên Hình 14). Chúng tôi quan tâm đến những khoảng thời gian mà bất đẳng thức fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Trong tất cả các ví dụ đã xét, chúng tôi biến bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức tương đương có dạng f (x)> 0 hoặc f (x)<0,где
Trong trường hợp này, số thừa số ở tử số và mẫu số của một phân số có thể là bất kỳ. Khi đó các điểm a, b, c, e được đánh dấu trên trục số. và xác định các dấu của biểu thức f (x) trên các khoảng đã chọn. Chúng tôi nhận thấy rằng ở bên phải của các khoảng đã chọn, bất đẳng thức f (x)> 0 được thỏa mãn, và sau đó các dấu của biểu thức f (x) thay nhau dọc theo các khoảng (xem Hình 16a). Sự luân phiên này được minh họa một cách thuận tiện với sự trợ giúp của một đường cong lượn sóng, được vẽ từ phải sang trái và từ trên xuống dưới (Hình 166). Trên những khoảng mà đường cong này (đôi khi được gọi là đường cong dấu hiệu) nằm trên trục x, bất đẳng thức f (x)> 0 được thỏa mãn; khi đường cong này nằm bên dưới trục x, bất đẳng thức f (x)< 0.

Ví dụ 5 Giải quyết bất bình đẳng

Dung dịch. Chúng ta có

(cả hai phần của bất đẳng thức trước đã được nhân với 6).
Để sử dụng phương pháp khoảng thời gian, hãy đánh dấu các điểm trên trục số (tại những điểm này, tử số của phân số ở bên trái của bất đẳng thức biến mất) và điểm (tại những điểm này, mẫu số của phân số được chỉ định biến mất). Thông thường, các điểm được đánh dấu theo sơ đồ, có tính đến thứ tự mà chúng tuân theo (điểm nào bên phải, điểm nào bên trái) và không đặc biệt chú ý đến thang điểm. Rõ ràng là Tình hình phức tạp hơn với các con số. Ước tính đầu tiên cho thấy cả hai con số đều lớn hơn 2,6 một chút, từ đó không thể kết luận con số nào được chỉ ra lớn hơn và con số nào nhỏ hơn. Giả sử (ngẫu nhiên) rằng Sau đó
Hóa ra sự bất bình đẳng đúng, có nghĩa là suy đoán của chúng tôi đã được xác nhận: trên thực tế
Vì thế,

Chúng tôi đánh dấu 5 điểm được chỉ định theo thứ tự được chỉ định trên trục số (Hình 17a). Sắp xếp các dấu hiệu của biểu thức
trên các khoảng thu được: ở bên phải - dấu +, và sau đó các dấu hiệu thay thế nhau (Hình. 176). Chúng ta hãy vẽ một đường cong các dấu hiệu và chọn (bằng cách tô bóng) những khoảng mà bất đẳng thức f (x)> 0 mà chúng ta quan tâm được thỏa mãn (Hình 17c). Cuối cùng chúng ta hãy tính đến điều đó chúng tôi đang nói chuyện về bất đẳng thức không giới hạn f (x)> 0, có nghĩa là chúng ta cũng quan tâm đến những điểm mà tại đó biểu thức f (x) biến mất. Đây là các gốc của tử số của phân số f (x), tức là điểm chúng tôi đánh dấu chúng trong Hình. 17 trong quầng thâm (và tất nhiên, bao gồm trong câu trả lời). Bây giờ đây là hình ảnh. 17c đưa ra một mô hình hình học hoàn chỉnh cho các nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \) \ (\ leq0 \)

\ (\ frac (1) (2x) \) \ (+ \) \ (\ frac (x) (x + 1) \) \ (<\)\(\frac{1}{2}\)

\ (\ frac (6) (x + 1) \) \ (> \) \ (\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \).

Khi giải các bất phương trình hữu tỉ phân số, phương pháp khoảng được sử dụng. Do đó, nếu thuật toán dưới đây gây khó khăn cho bạn, hãy xem bài viết trên .

Cách giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số:

Thuật toán giải bất phương trình hữu tỉ phân số.

Ví dụ:



Đặt dấu hiệu trên các khoảng của trục số. Hãy để tôi nhắc bạn các quy tắc sắp xếp các biển báo:

Chúng tôi xác định dấu hiệu trong khoảng ngoài cùng bên phải - chúng tôi lấy một số từ khoảng này và thay nó vào bất đẳng thức thay vì x. Sau đó, chúng ta xác định các dấu hiệu trong ngoặc và kết quả của phép nhân các dấu hiệu này;

Ví dụ:




Làm nổi bật những không gian bạn muốn. Nếu có một gốc riêng biệt, hãy đánh dấu nó bằng một lá cờ để bạn không quên đưa nó vào câu trả lời (xem ví dụ bên dưới).

Ví dụ:


Ghi lại những khoảng trống được đánh dấu và những gốc được đánh dấu bằng cờ (nếu có).

Ví dụ:
Trả lời: \ ((- ∞; -1) ∪ (-1; 1,2] ∪)