Khai triển Taylor 1 x. Mở rộng các chức năng thành chuỗi công suất

Nếu chức năng f (x) có trên một số khoảng có chứa một điểm một, dẫn xuất của tất cả các lệnh, thì công thức Taylor có thể được áp dụng cho nó:

ở đâu rn- cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:

, trong đó số x được đặt giữa X và một.

Nếu vì một số giá trị x r n®0 lúc N® ¥, sau đó trong giới hạn công thức Taylor cho giá trị này biến thành công thức hội tụ Chuỗi Taylor:

Vì vậy, hàm f (x) có thể được mở rộng thành một chuỗi Taylor tại điểm được xem xét X, nếu:

1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;

2) chuỗi đã xây dựng hội tụ tại điểm này.

Tại một= 0 chúng tôi nhận được một chuỗi có tên là gần Maclaurin:

ví dụ 1 f (x) = 2x.

Dung dịch. Hãy để chúng tôi tìm các giá trị của hàm và các đạo hàm của nó tại X=0

f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2x Năm 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;

f (n) (x) = 2x ln N 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln N 2 = ln N 2.

Thay các giá trị thu được của các đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta được:

Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, vì vậy khai triển này có giá trị đối với - ¥<x<+¥.

Ví dụ 2 X+4) cho chức năng f (x) = e x.

Dung dịch. Tìm các đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.

f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Do đó, chuỗi Taylor mong muốn của hàm có dạng:

Sự phân hủy này cũng có giá trị đối với - ¥<x<+¥.

Ví dụ 3 . Mở rộng chức năng f (x)= ln x trong một chuỗi theo độ ( X- 1),

(tức là trong một chuỗi Taylor ở vùng lân cận của điểm X=1).

Dung dịch. Chúng tôi tìm các đạo hàm của hàm này.

Thay các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:

Với sự trợ giúp của thử nghiệm d'Alembert, người ta có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ khi

½ X- 1½<1. Действительно,

Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của thử nghiệm Leibniz. Tại X= 0 chức năng không được xác định. Như vậy, vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0; 2].

Hãy để chúng tôi trình bày các mở rộng thu được theo cách này trong chuỗi Maclaurin (tức là, trong một vùng lân cận của điểm X= 0) đối với một số hàm cơ bản:

(2) ,

(3) ,

( phần mở rộng cuối cùng được gọi là chuỗi nhị thức)

Ví dụ 4 . Mở rộng hàm thành một chuỗi lũy thừa

Dung dịch. Trong phân hủy (1), chúng tôi thay thế X trên - X 2, chúng tôi nhận được:

Ví dụ 5 . Mở rộng chức năng trong chuỗi Maclaurin

Dung dịch. Chúng ta có

Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:

thay thế thay vì X vào công thức -X, chúng tôi nhận được:

Từ đây, chúng tôi tìm thấy:

Mở rộng dấu ngoặc, sắp xếp lại các điều khoản của chuỗi và giảm các điều khoản tương tự, chúng tôi nhận được

Chuỗi này hội tụ trong khoảng

(-1; 1) vì nó bắt nguồn từ hai chuỗi, mỗi chuỗi hội tụ trong khoảng này.

Bình luận .

Công thức (1) - (5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng trong chuỗi Taylor, tức là để khai triển các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt như vậy trên một hàm đã cho để có được một trong các hàm (1) - (5), trong đó thay vì X chi phí k ( Hà) m, với k là một số không đổi, m là một số nguyên dương. Thường thuận tiện để thay đổi biến t=Hà và mở rộng hàm kết quả đối với t trong chuỗi Maclaurin.

Phương pháp này minh họa định lý về tính duy nhất của khai triển một hàm trong một chuỗi lũy thừa. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể thu được hai chuỗi lũy thừa khác nhau sẽ hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển của nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ 6 . Mở rộng hàm trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của một điểm X=3.

Dung dịch. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà cần phải tìm các đạo hàm của các hàm và giá trị của chúng tại X= 3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng phân tích hiện có (5):

Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Ví dụ 7 . Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X-1) tính năng .

Dung dịch.

Chuỗi hội tụ tại , hoặc 2< x£ 5.

Phân rã một hàm trong một loạt Taylor, Maclaurin và Laurent trên trang web để đào tạo các kỹ năng thực hành. Việc mở rộng chuỗi hàm này cung cấp cho các nhà toán học một ý tưởng về việc ước tính giá trị gần đúng của một hàm tại một thời điểm nào đó trong miền định nghĩa của nó. Việc tính toán một giá trị hàm như vậy dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng bảng Bredis, bảng đã lỗi thời trong thời đại máy tính. Để khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor có nghĩa là tính các hệ số đứng trước các hàm tuyến tính của chuỗi này và viết nó ở dạng chính xác. Học sinh nhầm lẫn giữa hai dãy số này, không hiểu thế nào là trường hợp chung và thế nào là trường hợp đặc biệt của dãy thứ hai. Chúng tôi nhắc bạn một lần và mãi mãi, chuỗi Maclaurin là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, đó là chuỗi Taylor, nhưng tại điểm x = 0. Tất cả các bản ghi ngắn gọn về khai triển các hàm đã biết, chẳng hạn như e ^ x, Sin (x), Cos (x) và những cái khác, đây là những mở rộng trong một chuỗi Taylor, nhưng ở điểm 0 cho đối số. Đối với các hàm của một đối số phức tạp, chuỗi Laurent là vấn đề phổ biến nhất trong TFKT, vì nó đại diện cho một chuỗi vô hạn hai phía. Nó là tổng của hai hàng. Chúng tôi khuyên bạn nên xem một ví dụ về sự phân hủy trực tiếp trên site site, rất dễ thực hiện điều này bằng cách nhấp vào "Ví dụ" với bất kỳ số nào, sau đó nhấp vào nút "Giải pháp". Chính việc mở rộng hàm thành một chuỗi mà chuỗi lớn nhất được liên kết, điều này giới hạn hàm gốc trong một vùng nhất định dọc theo trục tọa độ, nếu biến thuộc vùng abscissa. Phân tích vectơ được so sánh với một chuyên ngành thú vị khác trong toán học. Vì mỗi thuật ngữ cần được điều tra, nên cần rất nhiều thời gian cho quá trình này. Bất kỳ chuỗi Taylor nào cũng có thể được liên kết với chuỗi Maclaurin bằng cách thay x0 bằng 0, nhưng đối với chuỗi Maclaurin, biểu diễn ngược lại của chuỗi Taylor đôi khi không rõ ràng. Cho dù nó không bắt buộc phải được thực hiện ở dạng thuần túy như thế nào thì cũng rất thú vị cho sự phát triển bản thân nói chung. Mỗi chuỗi Laurent tương ứng với một chuỗi lũy thừa vô hạn hai phía theo lũy thừa nguyên của z-a, hay nói cách khác, là một chuỗi cùng kiểu Taylor, nhưng hơi khác nhau về cách tính các hệ số. Chúng ta sẽ nói về vùng hội tụ của chuỗi Laurent sau một chút, sau một số tính toán lý thuyết. Như trong thế kỷ trước, khó có thể đạt được sự mở rộng theo từng giai đoạn của một hàm thành một chuỗi chỉ bằng cách giảm các số hạng xuống một mẫu số chung, vì các hàm trong mẫu số là phi tuyến tính. Việc tính toán gần đúng giá trị hàm yêu cầu phải xây dựng các bài toán. Hãy nghĩ về thực tế rằng khi đối số của chuỗi Taylor là một biến tuyến tính, thì việc khai triển diễn ra theo nhiều bước, nhưng một bức tranh hoàn toàn khác, khi một hàm phức hoặc phi tuyến tính hoạt động như một đối số của hàm khai triển, thì Quá trình biểu diễn một hàm như vậy trong một chuỗi lũy thừa là hiển nhiên, bởi vì, theo cách như vậy, nó rất dễ tính, mặc dù gần đúng, nhưng giá trị tại bất kỳ điểm nào của miền xác định, với một sai số tối thiểu có ít ảnh hưởng đến các tính toán tiếp theo. Điều này cũng áp dụng cho dòng Maclaurin. khi cần tính hàm tại điểm không. Tuy nhiên, bản thân chuỗi Laurent ở đây được biểu diễn bằng một phép khai triển mặt phẳng với các đơn vị tưởng tượng. Ngoài ra, không phải không có thành công sẽ là giải pháp chính xác của vấn đề trong quá trình tổng thể. Trong toán học, cách tiếp cận này không được biết đến, nhưng nó tồn tại một cách khách quan. Kết quả là, bạn có thể đi đến kết luận của cái gọi là tập hợp con theo chiều điểm, và trong việc khai triển một hàm trong một chuỗi, bạn cần áp dụng các phương pháp đã biết cho quá trình này, chẳng hạn như áp dụng lý thuyết về đạo hàm. Một lần nữa chúng tôi lại bị thuyết phục về sự đúng đắn của người thầy, người đã đưa ra những nhận định của mình về kết quả của các phép tính sau phép tính. Hãy lưu ý rằng chuỗi Taylor, thu được theo tất cả các quy tắc của toán học, tồn tại và được xác định trên toàn bộ trục số, tuy nhiên, người dùng thân mến của dịch vụ trang web, đừng quên dạng của hàm ban đầu, vì nó có thể biến thành rằng ban đầu cần phải thiết lập miền của hàm, nghĩa là viết ra và loại trừ khỏi các xem xét thêm những điểm mà tại đó hàm không được xác định trong miền số thực. Vậy mới nói, điều này sẽ thể hiện sự nhanh nhạy của bạn trong việc giải quyết vấn đề. Việc xây dựng chuỗi Maclaurin với giá trị 0 của đối số sẽ không phải là một ngoại lệ đối với những gì đã nói. Đồng thời, không ai hủy bỏ quá trình tìm miền xác định của một hàm, và bạn phải tiếp cận hành động toán học này với tất cả sự nghiêm túc. Nếu chuỗi Laurent chứa phần chính, tham số "a" sẽ được gọi là điểm kỳ dị biệt lập và chuỗi Laurent sẽ được mở rộng trong vòng - đây là giao điểm của các vùng hội tụ của các phần của nó, từ đó tương ứng định lý sẽ tuân theo. Nhưng không phải mọi thứ đều khó như thoạt nhìn có vẻ như đối với một sinh viên chưa có kinh nghiệm. Chỉ nghiên cứu chuỗi Taylor, người ta có thể dễ dàng hiểu chuỗi Laurent - một trường hợp tổng quát để mở rộng không gian của các con số. Mọi sự mở rộng một hàm thành một chuỗi chỉ có thể được thực hiện tại một điểm trong miền của hàm. Người ta nên tính đến các thuộc tính của các hàm như vậy, ví dụ, tính tuần hoàn hoặc khả năng phân biệt vô hạn. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên sử dụng bảng khai triển được tạo sẵn vào chuỗi hàm cơ bản của Taylor, vì một hàm có thể được biểu diễn bằng tối đa hàng chục chuỗi lũy thừa khác nhau, có thể được nhìn thấy khi sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi. Loạt bài trực tuyến của Maclaurin dễ dàng hơn bao giờ hết để xác định xem bạn có sử dụng dịch vụ trang web duy nhất hay không, bạn chỉ cần nhập đúng hàm được viết và bạn sẽ nhận được câu trả lời được trình bày trong vài giây, nó sẽ được đảm bảo chính xác và ở dạng văn bản chuẩn. . Bạn có thể viết lại kết quả ngay lập tức trong một bản sao sạch để giao cho giáo viên. Trước tiên sẽ đúng nếu xác định tính phân tích của hàm đang được xem xét trong các vòng, và sau đó tuyên bố rõ ràng rằng nó có thể được khai triển trong một chuỗi Laurent trong tất cả các vòng như vậy. Một thời điểm quan trọng là không để mất tầm nhìn của các thành viên của loạt Laurent chứa độ âm. Tập trung vào điều này càng nhiều càng tốt. Sử dụng tốt định lý Laurent về khai triển một hàm số thành một chuỗi theo lũy thừa số nguyên.

"Tìm khai triển Maclaurin của f (x)"- đây chính xác là nhiệm vụ trong toán học cao hơn, mà một số học sinh có thể làm, trong khi những người khác không thể đối phó với các ví dụ. Có một số cách để mở rộng một chuỗi theo lũy thừa, ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp để mở rộng các hàm trong một chuỗi Maclaurin. Khi phát triển một hàm trong một chuỗi, bạn cần phải giỏi tính toán các đạo hàm.

Ví dụ 4.7 Khai triển một hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x

Tính toán: Ta thực hiện khai triển hàm theo công thức Maclaurin. Đầu tiên, chúng tôi mở rộng mẫu số của hàm thành một chuỗi

Cuối cùng, chúng tôi nhân khai triển với tử số.
Số hạng đầu tiên là giá trị của hàm số không f (0) = 1/3.
Tìm đạo hàm của các hàm số bậc nhất f (x) và giá trị của các đạo hàm này tại điểm x = 0

Hơn nữa, với mô hình thay đổi giá trị của đạo hàm thành 0, chúng ta viết công thức cho đạo hàm cấp n

Vì vậy, chúng tôi biểu thị mẫu số dưới dạng mở rộng trong chuỗi Maclaurin

Chúng tôi nhân với tử số và nhận được khai triển mong muốn của hàm trong một chuỗi theo lũy thừa của x

Như bạn thấy, không có gì phức tạp ở đây.
Tất cả các điểm chính đều dựa trên khả năng tính toán phái sinh và nhanh chóng tổng quát hóa giá trị phái sinh của các lệnh cao hơn bằng 0. Các ví dụ sau đây sẽ giúp bạn học cách nhanh chóng mở rộng một hàm thành một chuỗi.

Ví dụ 4.10 Tìm khai triển Maclaurin của một hàm

Tính toán: Như bạn có thể đã đoán, chúng tôi sẽ mở rộng cosin trong tử số trong một chuỗi. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng công thức cho các giá trị thập phân, hoặc bạn có thể suy ra khai triển cosine về mặt đạo hàm. Kết quả là, chúng ta đến loạt bài tiếp theo theo lũy thừa của x

Như bạn có thể thấy, chúng ta có một số phép tính tối thiểu và một biểu diễn nhỏ gọn của việc mở rộng chuỗi.

Ví dụ 4.16 Khai triển một hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x:
7 / (12-x-x ^ 2)
Phép tính: Ở dạng ví dụ này, cần mở rộng phân số thông qua tính tổng của các phân số đơn giản.
Làm thế nào để làm điều này, chúng tôi sẽ không hiển thị bây giờ, nhưng với sự trợ giúp của các hệ số không xác định, chúng tôi sẽ đi đến tổng của các phân số cũ.
Tiếp theo, chúng ta viết các mẫu số dưới dạng cấp số nhân

Nó vẫn còn để mở rộng các điều khoản bằng cách sử dụng công thức Maclaurin. Tính tổng các số hạng có cùng lũy thừa của "x", chúng tôi lập công thức cho số hạng tổng quát của khai triển hàm trong một dãy

Phần cuối cùng của quá trình chuyển đổi sang chuỗi ở phần đầu rất khó thực hiện, vì rất khó để kết hợp các công thức cho các chỉ số được ghép nối và chưa được ghép đôi (lũy thừa), nhưng với thực hành, bạn sẽ làm tốt hơn phần này.

Ví dụ 4.18 Tìm khai triển Maclaurin của một hàm

Tính: Tìm đạo hàm của hàm số này:

Chúng tôi mở rộng hàm thành một chuỗi bằng cách sử dụng một trong các công thức McLaren:

Chúng tôi tóm tắt chuỗi số theo kỳ trên cơ sở rằng cả hai đều hoàn toàn trùng khớp. Bằng cách tích phân toàn bộ số hạng của chuỗi theo số hạng, chúng ta thu được khai triển hàm thành một chuỗi theo lũy thừa của x

Giữa hai dòng phân tách cuối cùng có một sự chuyển đổi mà lúc đầu bạn sẽ mất rất nhiều thời gian. Việc tổng hợp một công thức hàng loạt không phải là điều dễ dàng đối với tất cả mọi người, vì vậy đừng lo lắng về việc không thể có được một công thức đẹp và gọn nhẹ.

Ví dụ 4.28 Tìm khai triển Maclaurin của hàm:

Chúng tôi viết lôgarit như sau

Sử dụng công thức Maclaurin, chúng ta mở rộng logarit của hàm trong một chuỗi theo lũy thừa của x

Cách gấp cuối cùng thoạt nhìn phức tạp, nhưng khi xen kẽ các ký tự, bạn sẽ luôn nhận được một thứ tương tự. Bài học giới thiệu về chủ đề lập lịch hàm liên tiếp đã hoàn thành. Các sơ đồ phân hủy không kém phần thú vị khác sẽ được thảo luận chi tiết trong các tài liệu sau.

Trong lý thuyết về chuỗi hàm, phần dành cho việc mở rộng một hàm thành một chuỗi chiếm một vị trí trung tâm.

Do đó, bài toán được đặt ra: đối với một hàm cho trước nó được yêu cầu để tìm một chuỗi công suất như vậy

hội tụ trên một khoảng nào đó và tổng của nó bằng
, những thứ kia.

= ..

Nhiệm vụ này được gọi là vấn đề khai triển một hàm thành một chuỗi lũy thừa.

Điều kiện cần thiết để khai triển một hàm thành một chuỗi lũy thừa là khả năng phân biệt của nó với số lần vô hạn - điều này xuất phát từ các tính chất của chuỗi lũy thừa hội tụ. Điều kiện này được thỏa mãn, như một quy luật, đối với các hàm cơ bản trong miền định nghĩa của chúng.

Vì vậy, hãy giả sử rằng hàm
có các dẫn xuất của bất kỳ đơn đặt hàng nào. Nó có thể được mở rộng thành một chuỗi lũy thừa, nếu có, làm thế nào để tìm thấy chuỗi này? Phần thứ hai của vấn đề dễ giải quyết hơn, vì vậy hãy bắt đầu với nó.

Giả sử rằng hàm
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa hội tụ trong một khoảng có chứa một điểm X 0 :

= .. (*)

ở đâu một 0 ,một 1 ,một 2 ,...,một P ,... - hệ số không chắc chắn (chưa).

Hãy để chúng tôi đặt giá trị bằng (*) x = x 0 , sau đó chúng tôi nhận được

Chúng tôi phân biệt số hạng của chuỗi lũy thừa (*) theo thuật ngữ

= ..

và đặt ở đây x = x 0 , chúng tôi nhận được

Với sự khác biệt tiếp theo, chúng tôi nhận được loạt

= ..

giả định x = x 0 , chúng tôi nhận được
, ở đâu
.

Sau P- sự khác biệt gấp đôi chúng tôi nhận được

Giả sử trong bình đẳng cuối cùng x = x 0 , chúng tôi nhận được
, ở đâu

Vì vậy, các hệ số được tìm thấy

,
,
, …,
,….,

thay thế hàng nào thành một hàng (*), chúng ta nhận được

Chuỗi kết quả được gọi là gần taylor cho chức năng
.

Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập rằng nếu hàm có thể được mở rộng thành một chuỗi lũy thừa theo lũy thừa (x - x 0 ), thì khai triển này là duy nhất và chuỗi kết quả nhất thiết phải là chuỗi Taylor.

Lưu ý rằng chuỗi Taylor có thể thu được đối với bất kỳ hàm nào có đạo hàm theo bậc bất kỳ tại điểm x = x 0 . Nhưng điều này không có nghĩa là một dấu bằng có thể được đặt giữa hàm và chuỗi kết quả, tức là rằng tổng của chuỗi bằng hàm ban đầu. Thứ nhất, một đẳng thức như vậy chỉ có thể có ý nghĩa trong vùng hội tụ và chuỗi Taylor thu được cho hàm có thể phân kỳ, và thứ hai, nếu chuỗi Taylor hội tụ, thì tổng của nó có thể không trùng với hàm ban đầu.

3.2. Điều kiện đủ để khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor

Hãy để chúng tôi xây dựng một tuyên bố với sự trợ giúp của vấn đề đã nêu sẽ được giải quyết.

Nếu chức năng
trong một số vùng lân cận của điểm x 0 có các dẫn xuất lên đến (N+ 1) -th order bao gồm, sau đó trong vùng lân cận này, chúng tôi cócông thức Taylor

ở đâuR N (X)- số hạng dư của công thức Taylor - có dạng (dạng Lagrange)

ở đâu dấu chấmξ nằm giữa x và x 0 .

Lưu ý rằng có sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và công thức Taylor: công thức Taylor là một tổng hữu hạn, tức là P - số cố định.

Nhớ lại rằng tổng của chuỗi S(x) có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi hàm của các tổng từng phần S P (x) tại một số khoảng thời gian X:

Theo đó, để mở rộng một hàm thành một chuỗi Taylor có nghĩa là tìm một chuỗi sao cho bất kỳ XX

Chúng tôi viết công thức Taylor dưới dạng

thông báo rằng
xác định lỗi chúng tôi nhận được, thay thế chức năng f(x) đa thức S N (x).

Nếu một
, sau đó
,những thứ kia. hàm mở rộng thành một chuỗi Taylor. Ngược lại, nếu
, sau đó
.

Như vậy, chúng tôi đã chứng minh tiêu chí cho việc khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor.

Để trong một khoảng thời gian nào đó, hàmf(x) mở rộng trong một chuỗi Taylor, điều đó là cần thiết và đủ trong khoảng này
, ở đâuR N (x) là phần còn lại của chuỗi Taylor.

Với sự trợ giúp của tiêu chí đã xây dựng, người ta có thể đạt được hợp lýđiều kiện để khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor.

Nếu trongmột số vùng lân cận của điểm x 0 các giá trị tuyệt đối của tất cả các đạo hàm của một hàm được giới hạn bởi cùng một số M≥ 0, tức là

, to trong vùng lân cận này, hàm mở rộng thành một chuỗi Taylor.

Từ trên nó đi theo thuật toánmở rộng chức năng f(x) trong một chuỗi Taylor trong vùng lân cận của điểm X 0 :

1. Tìm các hàm đạo hàm f(x):

f (x), f ’(x), f” (x), f ’” (x), f (N) (x),…

2. Ta tính giá trị của hàm số và các giá trị của các đạo hàm của nó tại điểm X 0

f (x 0 ), f '(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’” (x 0 ), f (N) (x 0 ),…

3. Chúng tôi chính thức viết chuỗi Taylor và tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa.

4. Chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện đủ, tức là thiết lập cho cái nào X từ vùng hội tụ, phần còn lại R N (x) có xu hướng bằng không lúc
hoặc
.

Việc mở rộng các hàm trong một chuỗi Taylor theo thuật toán này được gọi là khai triển của một hàm trong chuỗi Taylor theo định nghĩa hoặc phân hủy trực tiếp.

16.1. Khai triển các hàm cơ bản trong chuỗi Taylor và

Maclaurin

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên tập
, trong vùng lân cận của điểm
có nhiều đạo hàm và là tổng của một chuỗi lũy thừa:

thì bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.

Thay thế trong một chuỗi quyền lực
. sau đó
.

Tìm đạo hàm cấp một của hàm số
:

Tại
:
.

Đối với đạo hàm thứ hai, chúng ta nhận được:

Tại
:
.

Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được:
.

Do đó, chúng ta có một chuỗi lũy thừa có dạng:

được gọi là gần taylor cho chức năng
xung quanh điểm
.

Một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin tại
:

Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N các điều khoản đầu tiên và được biểu thị là
. Sau đó, hàm
có thể được viết dưới dạng tổng N những thành viên đầu tiên của bộ truyện
và phần còn lại
:,

Phần còn lại thường là
thể hiện trong các công thức khác nhau.

Một trong số chúng ở dạng Lagrange:

, ở đâu
.
.

Lưu ý rằng trong thực tế, dòng Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Do đó, để viết hàm
ở dạng tổng của một chuỗi lũy thừa, cần:

1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);

2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa;

3) chứng minh rằng chuỗi đã cho hội tụ với hàm
.

Định lý1 (điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của chuỗi Maclaurin). Cho bán kính hội tụ của chuỗi
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng
hoạt động
, cần và đủ rằng điều kiện sau được thỏa mãn:
trong khoảng thời gian xác định.

Định lý 2. Nếu các đạo hàm của bất kỳ bậc nào của một hàm
trong một số khoảng thời gian
giới hạn về giá trị tuyệt đối cho cùng một số M, đó là
, thì trong khoảng thời gian này, hàm
có thể được mở rộng trong một loạt Maclaurin.

Thí dụ1 . Mở rộng chuỗi Taylor xung quanh điểm
hàm số.

Dung dịch.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Khu vực hội tụ
.

Thí dụ2 . Mở rộng chức năng trong chuỗi Taylor xung quanh một điểm
.

Dung dịch:

Chúng tôi tìm giá trị của hàm và các đạo hàm của nó tại
.

,
;

...........……………………………

,
.

Thay thế các giá trị này liên tiếp. Chúng tôi nhận được:

hoặc
.

Hãy cùng chúng tôi tìm ra vùng hội tụ của chuỗi số này. Theo thử nghiệm d'Alembert, chuỗi hội tụ nếu

Do đó, đối với bất kỳ giới hạn này nhỏ hơn 1, và do đó vùng hội tụ của chuỗi sẽ là:
.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về sự mở rộng thành chuỗi các hàm cơ bản cơ bản của Maclaurin. Nhớ lại rằng dòng Maclaurin:

hội tụ trên khoảng
hoạt động
.

Lưu ý rằng để mở rộng hàm thành một chuỗi, cần phải:

a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho một hàm đã cho;

b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;

c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ với hàm
.

Ví dụ 3 Xem xét chức năng
.

Dung dịch.

Hãy để chúng tôi tính giá trị của hàm và các đạo hàm của nó cho
.

Khi đó các hệ số của dãy số có dạng:

cho bât ki ai N. Chúng tôi thay thế các hệ số tìm được trong chuỗi Maclaurin và nhận được:

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ với hàm cho bất kỳ giá trị nào , bởi vì vào bất kỳ khoảng thời gian nào
hàm số và các dẫn xuất giá trị tuyệt đối của nó bị giới hạn bởi số .

Thí dụ4 . Xem xét chức năng
.

Dung dịch.

Dễ dàng nhận thấy rằng các dẫn xuất bậc chẵn
, và các dẫn xuất của thứ tự lẻ. Chúng tôi thay thế các hệ số tìm được trong chuỗi Maclaurin và nhận được sự mở rộng:

Hãy để chúng tôi tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo d'Alembert:

cho bât ki ai . Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ với hàm
, bởi vì tất cả các dẫn xuất của nó được giới hạn ở một.

Thí dụ5 .
.

Dung dịch.

Hãy để chúng tôi tìm giá trị của hàm và các đạo hàm của nó tại
:

Do đó, các hệ số của chuỗi này:
và
, Do đó:

Tương tự với loạt bài trước, vùng hội tụ
. Chuỗi hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các dẫn xuất của nó được giới hạn ở một.

Lưu ý rằng chức năng
mở rộng lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm
- chẵn và mở rộng trong một loạt các quyền hạn chẵn.

Thí dụ6 . Chuỗi nhị thức:
.

Dung dịch.

Hãy để chúng tôi tìm giá trị của hàm và các đạo hàm của nó tại
:

Điêu nay cho thây răng:

Chúng tôi thay thế các giá trị này của các hệ số trong chuỗi Maclaurin và thu được sự mở rộng của hàm này trong một chuỗi lũy thừa:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
. Tại các điểm giới hạn tại
và
chuỗi có thể hội tụ hoặc không tùy thuộc vào số mũ
.

Chuỗi đã nghiên cứu hội tụ trên khoảng
hoạt động
, tức là tổng của chuỗi
tại
.

Thí dụ7 . Hãy để chúng tôi mở rộng chức năng trong chuỗi Maclaurin
.

Dung dịch.

Để mở rộng hàm này thành một chuỗi, chúng tôi sử dụng chuỗi nhị thức cho
. Chúng tôi nhận được:

Dựa trên tính chất của chuỗi lũy thừa (chuỗi lũy thừa có thể được tích hợp trong vùng hội tụ của nó), chúng tôi tìm ra tích phân của phần bên trái và bên phải của chuỗi này:

Tìm vùng tụ của chuỗi này:
,

nghĩa là, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
. Chúng ta hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các đầu của khoảng. Tại

. Chuỗi này là một chuỗi điều hòa, tức là nó phân kỳ. Tại
chúng tôi nhận được một chuỗi số với một thuật ngữ chung
.

Dòng Leibniz hội tụ. Như vậy, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
.

16.2. Ứng dụng của chuỗi lũy thừa trong các phép tính gần đúng

Chuỗi lũy thừa đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong các phép tính gần đúng. Với sự giúp đỡ của họ, bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác được sử dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau, ví dụ, trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, đã được biên soạn. Ngoài ra, việc mở rộng các hàm trong một chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho việc nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong các tính toán gần đúng là câu hỏi ước tính sai số khi thay thế tổng của một chuỗi bằng tổng của nó đầu tiên N các thành viên.

Hãy xem xét hai trường hợp:

hàm được mở rộng thành một chuỗi xen kẽ;

hàm được khai triển thành một chuỗi dấu hằng.

Tính toán sử dụng chuỗi xen kẽ

Hãy để chức năng
mở rộng thành một chuỗi điện xoay chiều. Sau đó, khi tính toán hàm này cho một giá trị cụ thể chúng tôi nhận được một chuỗi số mà chúng tôi có thể áp dụng thử nghiệm Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng đầu tiên của nó N thành viên, thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên của phần còn lại của loạt bài này, đó là:
.

Thí dụ8 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Dung dịch.

Chúng tôi sẽ sử dụng dòng Maclaurin cho
, thay giá trị của góc bằng radian:

Nếu chúng ta so sánh các thành viên đầu tiên và thứ hai của chuỗi với độ chính xác nhất định, thì:.

Thời hạn mở rộng thứ ba:

nhỏ hơn độ chính xác tính toán quy định. Do đó, để tính toán
nó đủ để để lại hai điều khoản của chuỗi, tức là

Theo cách này
.

Thí dụ9 . Tính toán
với độ chính xác 0,001.

Dung dịch.

Chúng ta sẽ sử dụng công thức chuỗi nhị thức. Đối với điều này, chúng tôi viết
như:
.

Trong biểu thức này
,

Hãy so sánh từng điều khoản của chuỗi với độ chính xác được đưa ra. Rõ ràng là
. Do đó, để tính toán
chỉ cần ba thành viên của bộ truyện là đủ.

hoặc
.

Tính toán sử dụng chuỗi dấu dương

Thí dụ10 . Tính toán số với độ chính xác 0,001.

Dung dịch.

Trong một hàng cho một chức năng
thay thế
. Chúng tôi nhận được:

Hãy để chúng tôi ước tính lỗi phát sinh khi tổng của chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên các thành viên. Hãy viết ra bất đẳng thức rõ ràng:

tức là 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Theo điều kiện của bài toán, bạn cần tìm N sao cho bất đẳng thức sau đây:
hoặc
.

Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó khi N= 6:
.

Do đó,
.

Thí dụ11 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Dung dịch.

Lưu ý rằng để tính toán logarit, người ta có thể áp dụng chuỗi số cho hàm
, nhưng chuỗi này hội tụ rất chậm và 9999 số hạng sẽ phải được thực hiện để đạt được độ chính xác nhất định! Do đó, để tính toán logarit, theo quy luật, một chuỗi cho hàm được sử dụng
, hội tụ trên khoảng
.