Giải phương trình lượng giác với hoành độ. Phương trình lượng giác

Các phương trình lượng giác đơn giản nhất thường được giải bằng các công thức. Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phương trình lượng giác sau đây được gọi là đơn giản nhất:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x là góc cần tìm,
a là một số bất kỳ.

Và đây là công thức mà bạn có thể viết ngay ra nghiệm của những phương trình đơn giản nhất này.

Đối với xoang:

Đối với cosine:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Đối với tiếp tuyến:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Đối với cotang:

x = cungctg a + π n, n ∈ Z

Thực ra đây là phần lý thuyết giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Và, toàn bộ!) Không có gì cả. Tuy nhiên, số lượng lỗi về chủ đề này chỉ dừng lại ở mức cao. Đặc biệt, với một chút sai lệch của ví dụ so với mẫu. Tại sao?

Có, bởi vì rất nhiều người viết ra những bức thư này, mà không hiểu ý nghĩa của chúng chút nào! Với sự e ngại, anh ấy viết ra, không cần biết điều gì đó xảy ra như thế nào ...) Điều này cần phải được sắp xếp. Rốt cuộc thì lượng giác cho người, hay lượng giác cho người !?)

Hãy tìm ra nó?

Một góc sẽ bằng arccos a, thứ hai: -arccos a.

Và đó là cách nó sẽ luôn hoạt động. Bất cứ gì một.

Nếu bạn không tin tôi, hãy di chuột qua hình ảnh hoặc chạm vào hình ảnh trên máy tính bảng.) Tôi đã thay đổi số một đến một số tiêu cực. Dù sao, chúng tôi đã có một góc arccos a, thứ hai: -arccos a.

Do đó, câu trả lời luôn có thể được viết dưới dạng hai chuỗi gốc:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Chúng tôi kết hợp hai chuỗi này thành một:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Và tất cả mọi thứ. Ta đã có được công thức tổng quát để giải phương trình lượng giác đơn giản nhất với cosin.

Nếu bạn hiểu rằng đây không phải là một loại trí tuệ siêu khoa học, nhưng chỉ là một bản ghi viết tắt của hai chuỗi câu trả lời, bạn và nhiệm vụ "C" sẽ được gánh trên vai. Với các bất đẳng thức, với việc chọn các gốc từ một khoảng cho trước ... Ở đó, câu trả lời có cộng / trừ không lăn tăn. Và nếu bạn coi câu trả lời như một công việc kinh doanh, và chia nó thành hai câu trả lời riêng biệt, mọi thứ sẽ được quyết định.) Thực ra, về điều này, chúng tôi hiểu. Cái gì, như thế nào và ở đâu.

Trong phương trình lượng giác đơn giản nhất

sinx = a

cũng nhận được hai chuỗi gốc. Luôn luôn. Và hai loạt phim này cũng có thể được ghi lại một đường thẳng. Chỉ dòng này sẽ thông minh hơn:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Nhưng bản chất vẫn vậy. Các nhà toán học chỉ đơn giản là xây dựng một công thức để tạo một thay vì hai bản ghi của chuỗi nghiệm. Và đó là nó!

Hãy kiểm tra các nhà toán học? Và như vậy là chưa đủ ...)

Ở bài trước, bài giải (không có công thức) của phương trình lượng giác với một sin đã được chúng tôi phân tích chi tiết:

Câu trả lời hóa ra là hai chuỗi gốc:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Nếu chúng ta giải phương trình tương tự bằng cách sử dụng công thức, chúng ta sẽ nhận được câu trả lời:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Trên thực tế, đây là một câu trả lời đã hoàn thành một nửa.) Học sinh phải biết rằng arcsin 0,5 = π / 6. Câu trả lời đầy đủ sẽ là:

x = (-1) n π / 6+ πn, n ∈ Z

Ở đây một câu hỏi thú vị nảy sinh. Trả lời qua x 1; x 2 (đây là câu trả lời chính xác!) và thông qua sự cô đơn X (và đây là câu trả lời chính xác!) - Điều tương tự, hay không? Hãy cùng tìm hiểu ngay bây giờ.)

Thay thế để đáp lại với x 1 giá trị N = 0; một; 2; vv, chúng tôi xem xét, chúng tôi nhận được một loạt các gốc:

x 1 \ u003d π / 6; 13π / 6; 25π / 6 và như thế.

Với cùng một sự thay thế để đáp ứng x 2 , chúng tôi nhận được:

x 2 \ u003d 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 và như thế.

Và bây giờ chúng tôi thay thế các giá trị N (0; 1; 2; 3; 4 ...) thành công thức chung cho cô đơn X . Nghĩa là, chúng ta tăng trừ một lên lũy thừa 0, sau đó đến lũy thừa thứ nhất, thứ hai, v.v. Và, tất nhiên, chúng tôi thay thế số 0 thành số hạng thứ hai; một; 2 3; 4, v.v. Và chúng tôi nghĩ. Chúng tôi nhận được một loạt:

x = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 và như thế.

Đó là tất cả những gì bạn có thể thấy.) Công thức chung cho chúng ta kết quả giống hệt nhauđó là hai câu trả lời riêng biệt. Tất cả cùng một lúc, theo thứ tự. Các nhà toán học đã không lừa dối.)

Các công thức giải phương trình lượng giác với tiếp tuyến và cotang cũng có thể được kiểm tra. Nhưng không.) Họ rất khiêm tốn.

Tôi đã vẽ tất cả sự thay thế và xác minh này có mục đích. Điều quan trọng là phải hiểu một điều đơn giản ở đây: có các công thức để giải phương trình lượng giác cơ bản, chỉ là một bản tóm tắt các câu trả lời.Để ngắn gọn này, tôi phải chèn cộng / trừ vào nghiệm cosine và (-1) n vào nghiệm sin.

Những phần chèn này không can thiệp vào bất kỳ cách nào trong các nhiệm vụ mà bạn chỉ cần viết ra câu trả lời cho một phương trình cơ bản. Nhưng nếu bạn cần giải một bất đẳng thức, hoặc sau đó bạn cần phải làm gì đó với câu trả lời: chọn gốc trên một khoảng, kiểm tra ODZ, v.v., những phần chèn này có thể dễ dàng làm mất lòng một người.

Và phải làm gì? Có, hoặc vẽ câu trả lời trong hai chuỗi hoặc giải phương trình / bất phương trình trong một đường tròn lượng giác. Sau đó, những phụ trang này biến mất và cuộc sống trở nên dễ dàng hơn.)

Bạn có thể tổng hợp lại.

Để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, có sẵn các công thức đáp án. Bốn mảnh. Chúng rất tốt để viết ngay lời giải cho một phương trình. Ví dụ, bạn cần giải các phương trình:

sinx = 0,3

Một cách dễ dàng: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Không vấn đề gì: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Một cách dễ dàng: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Còn một cái: x = arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Nếu bạn, với kiến ​​thức tỏa sáng, hãy viết ngay câu trả lời:

x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

thì bạn đã tỏa sáng rồi, cái này ... cái kia ... từ một vũng nước.) Câu trả lời đúng là: không có giải pháp. Không hiểu tại sao? Đọc arccosine là gì. Ngoài ra, nếu ở phía bên phải của phương trình ban đầu có các giá trị dạng bảng \ u200b \ u200bof sin, cosine, tiếp tuyến, cotang, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 vân vân. - câu trả lời qua các vòm sẽ còn dang dở. Cung phải được chuyển đổi sang radian.

Và nếu bạn đã gặp phải sự bất bình đẳng, như

thì câu trả lời là:

x πn, n ∈ Z

có một điều vô lý hiếm hoi, vâng ...) Ở đây cần phải quyết định về một đường tròn lượng giác. Chúng ta sẽ làm gì trong chủ đề tương ứng.

Đối với những người anh hùng đọc đến những dòng này. Tôi chỉ không thể không đánh giá cao nỗ lực của bạn. bạn là một phần thưởng.)

Thưởng:

Khi viết công thức trong một tình huống chiến đấu lo lắng, ngay cả những con mọt sách cứng rắn cũng thường nhầm lẫn ở đâu pn, Và ở đâu 2πn. Đây là một thủ thuật đơn giản dành cho bạn. Trong tất cả các công thức pn. Ngoại trừ công thức duy nhất với cung cosin. Nó đứng đó 2πn. Hai pien. Từ khóa - hai. Trong cùng một công thức duy nhất là hai ký ở đầu. Cộng và Trư. Đây và đó - hai.

Vì vậy, nếu bạn đã viết hai ký hiệu ở phía trước của cosin cung, sẽ dễ nhớ hơn điều gì sẽ xảy ra ở cuối hai pien. Và ngược lại xảy ra. Bỏ qua biển báo người đàn ông ± , đi đến cuối cùng, viết đúng hai pien, vâng, và nắm bắt nó. Phía trước của một cái gì đó hai dấu hiệu! Người sẽ trở lại ban đầu, nhưng người đó sẽ sửa chữa sai lầm! Như thế này.)

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Phương trình lượng giác không phải là chủ đề dễ nhất. Đau đớn thay, chúng rất đa dạng.) Ví dụ, những điều này:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vân vân...

Nhưng những con quái vật lượng giác này (và tất cả những con quái vật lượng giác khác) có hai đặc điểm chung và bắt buộc. Thứ nhất - bạn sẽ không tin đâu - có các hàm lượng giác trong các phương trình.) Thứ hai: tất cả các biểu thức với x là trong các chức năng tương tự. Và chỉ ở đó! Nếu x xuất hiện ở đâu đó ngoài, Ví dụ, sin2x + 3x = 3,đây sẽ là một phương trình loại hỗn hợp. Các phương trình như vậy yêu cầu một cách tiếp cận riêng lẻ. Ở đây chúng tôi sẽ không xem xét chúng.

Chúng ta cũng sẽ không giải các phương trình ác trong bài học này.) Ở đây chúng ta sẽ giải quyết các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Tại sao? Có, bởi vì quyết định không tí nào phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên, phương trình ác được rút gọn thành một phương trình đơn giản bằng nhiều phép biến đổi khác nhau. Trong lần thứ hai - phương trình đơn giản nhất này đã được giải quyết. Không con cach nao khac.

Vì vậy, nếu bạn gặp vấn đề trong giai đoạn thứ hai, thì giai đoạn đầu tiên không có nhiều ý nghĩa.)

Phương trình lượng giác sơ cấp trông như thế nào?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Nơi đây một là viết tắt của bất kỳ số nào. Không tí nào.

Nhân tiện, bên trong hàm có thể không có x thuần, mà là một số loại biểu thức, chẳng hạn như:

cos (3x + π / 3) = 1/2

vân vân. Điều này làm phức tạp cuộc sống, nhưng không ảnh hưởng đến phương pháp giải phương trình lượng giác.

Làm thế nào để giải các phương trình lượng giác?

Phương trình lượng giác có thể được giải bằng hai cách. Cách thứ nhất: sử dụng logic và một đường tròn lượng giác. Chúng ta sẽ khám phá con đường này tại đây. Cách thứ hai - sử dụng trí nhớ và công thức - sẽ được xem xét trong bài học tiếp theo.

Cách đầu tiên là rõ ràng, đáng tin cậy và khó quên.) Nó rất tốt cho việc giải các phương trình lượng giác, bất phương trình và tất cả các loại ví dụ không chuẩn phức tạp. Logic mạnh hơn trí nhớ!

Chúng tôi giải phương trình bằng cách sử dụng một đường tròn lượng giác.

Chúng tôi bao gồm logic cơ bản và khả năng sử dụng một vòng tròn lượng giác. Bạn không thể !? Tuy nhiên ... Nó sẽ khó cho bạn trong lượng giác ...) Nhưng nó không quan trọng. Xem qua các bài học "Đường tròn lượng giác ...... Là gì?" và "Đếm góc trên đường tròn lượng giác." Mọi thứ đều đơn giản ở đó. Không giống như sách giáo khoa ...)

Ah, bạn biết không !? Và thậm chí còn thành thạo "Bài tập thực hành với đường tròn lượng giác"!? Chấp nhận lời chúc mừng. Chủ đề này sẽ gần gũi và dễ hiểu với các bạn.) Điều đặc biệt dễ hiểu là đường tròn lượng giác không quan tâm bạn giải phương trình nào. Sine, cosine, tiếp tuyến, cotang - mọi thứ đều giống nhau đối với anh ta. Nguyên tắc giải pháp là như nhau.

Vì vậy, chúng tôi nhận bất kỳ phương trình lượng giác sơ cấp. Ít nhất điều này:

cosx = 0,5

Tôi cần tìm X. Nói bằng ngôn ngữ của con người, bạn cần tìm góc (x) có cosin là 0,5.

Trước đây chúng ta sử dụng vòng tròn như thế nào? Chúng tôi đã vẽ một góc trên đó. Tính bằng độ hoặc radian. Và ngay lập tức đã xem hàm lượng giác của góc này. Bây giờ chúng ta hãy làm ngược lại. Vẽ một côsin bằng 0,5 trên đường tròn và ngay lập tức chúng ta sẽ thấy góc. Nó chỉ còn lại để viết ra câu trả lời.) Vâng, vâng!

Ta vẽ một đường tròn và đánh dấu cosin bằng 0,5. Tất nhiên trên trục cosine. Như thế này:

Bây giờ hãy vẽ góc mà cosin này cho chúng ta. Di chuột qua ảnh (hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng) và hiểu cùng góc này X.

Góc nào có cosin bằng 0,5?

x \ u003d π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Một số người sẽ càu nhàu hoài nghi, vâng ... Họ nói, liệu có đáng để vượt rào, khi mọi thứ đều rõ ràng ... Tất nhiên, bạn có thể càu nhàu ...) Nhưng thực tế là đây là một sai lầm câu trả lời. Hay nói đúng hơn là không đủ. Những người sành về đường tròn hiểu rằng vẫn có rất nhiều góc cũng cho cosin bằng 0,5.

Nếu bạn xoay OA bên có thể di chuyển được cho một lượt đầy đủ, điểm A sẽ trở lại vị trí ban đầu. Với cùng cosin bằng 0,5. Những thứ kia. góc sẽ thay đổi 360 ° hoặc 2π radian, và cosin không. Góc mới 60 ° + 360 ° = 420 ° cũng sẽ là một nghiệm cho phương trình của chúng ta, bởi vì

Có vô số phép quay đầy đủ như vậy ... Và tất cả các góc mới này sẽ là nghiệm của phương trình lượng giác của chúng ta. Và tất cả chúng đều cần được viết ra bằng cách nào đó. Tất cả các. Nếu không, quyết định sẽ không được xem xét, vâng ...)

Toán học có thể làm điều này một cách đơn giản và thanh lịch. Trong một câu trả lời ngắn, hãy viết ra tập hợp vô hạn các giải pháp. Đây là những gì nó trông giống như cho phương trình của chúng tôi:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tôi sẽ giải mã. Vẫn viết có ý nghĩađẹp hơn là vẽ một số chữ cái bí ẩn một cách ngu ngốc, phải không?)

π / 3 là cùng một góc mà chúng tôi đã nhìn thấy trên vòng kết nối và xác định theo bảng côsin.

2π là một lượt đầy đủ tính bằng radian.

N - đây là số lượng hoàn chỉnh, tức là trọn các cuộc cách mạng. Rõ ràng là N có thể là 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... và như vậy. Như được chỉ ra bởi mục nhập ngắn:

n ∈ Z

N thuộc về ( ∈ ) vào tập hợp các số nguyên ( Z ). Nhân tiện, thay vì lá thư N các chữ cái có thể được sử dụng k, m, t vân vân.

Ký hiệu này có nghĩa là bạn có thể lấy bất kỳ số nguyên nào N . Ít nhất -3, ít nhất 0, ít nhất +55. Bạn muốn gì. Nếu bạn cắm con số đó vào câu trả lời của mình, bạn sẽ có được một góc cụ thể, chắc chắn đó là lời giải cho phương trình khắc nghiệt của chúng ta.)

Hay nói cách khác, x \ u003d π / 3 là gốc duy nhất của một tập hợp vô hạn. Để có được tất cả các gốc khác, chỉ cần thêm bất kỳ số vòng quay đầy đủ nào vào π / 3 là đủ ( N ) tính bằng radian. Những thứ kia. 2πn rađian.

Mọi điều? Không. Tôi đặc biệt kéo dài niềm vui. Để ghi nhớ tốt hơn.) Chúng tôi chỉ nhận được một phần câu trả lời cho phương trình của chúng tôi. Tôi sẽ viết phần đầu tiên của giải pháp này như sau:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - không phải một gốc, nó là cả một chuỗi các gốc, viết dưới dạng ngắn gọn.

Nhưng có những góc khác cũng cho một cosin bằng 0,5!

Hãy quay lại bức tranh của chúng ta, theo đó chúng ta đã viết ra câu trả lời. Cô ấy đây rồi:

Di chuyển chuột qua hình ảnh và hiểu một góc khác cũng cho một cosin là 0,5. Bạn nghĩ nó bằng gì? Các hình tam giác đều giống nhau ... Vâng! Nó bằng với góc X , chỉ được vẽ theo hướng tiêu cực. Đây là góc -X. Nhưng chúng ta đã tính x rồi. π / 3 hoặc 60 °. Do đó, chúng ta có thể viết một cách an toàn:

x 2 \ u003d - π / 3

Và, tất nhiên, chúng tôi thêm tất cả các góc có được qua các lượt đầy đủ:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Bây giờ là tất cả.) Trong một đường tròn lượng giác, chúng ta đã nhìn thấy(tất nhiên là ai hiểu được)) tất cả các góc cung cấp cho một cosin bằng 0,5. Và họ đã viết ra những góc này dưới dạng toán học ngắn. Câu trả lời là hai chuỗi gốc vô hạn:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Đây là câu trả lời chính xác.

Mong, nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác với sự trợ giúp của một vòng tròn là điều dễ hiểu. Ta đánh dấu cosin (sin, tiếp tuyến, cotang) từ phương trình đã cho trên đường tròn, vẽ các góc tương ứng và ghi câu trả lời. Tất nhiên, bạn cần phải tìm ra loại góc của chúng tôi đã nhìn thấy trên vòng tròn. Đôi khi nó không quá rõ ràng. Như tôi đã nói, logic là bắt buộc ở đây.)

Ví dụ, hãy phân tích một phương trình lượng giác khác:

Xin lưu ý rằng số 0,5 không phải là số duy nhất có thể có trong phương trình!) Nó chỉ thuận tiện hơn cho tôi khi viết nó hơn so với căn và phân số.

Chúng tôi làm việc theo nguyên tắc chung. Chúng tôi vẽ một vòng tròn, đánh dấu (trên trục sin, tất nhiên!) 0,5. Chúng tôi vẽ cùng một lúc tất cả các góc tương ứng với sin này. Chúng tôi nhận được hình ảnh này:

Hãy đối phó với góc độ đầu tiên. X trong quý đầu tiên. Chúng ta nhớ lại bảng các sin và xác định giá trị của góc này. Vấn đề rất đơn giản:

x \ u003d π / 6

Chúng tôi nhớ lại đầy đủ các lượt và, với lương tâm trong sáng, viết ra loạt câu trả lời đầu tiên:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Một nửa công việc đã hoàn thành. Bây giờ chúng ta cần xác định góc thứ hai ...Điều này phức tạp hơn trong cosin, vâng ... Nhưng logic sẽ cứu chúng ta! Cách xác định góc thứ hai qua x? Có, dễ dàng! Các hình tam giác trong hình giống nhau, và góc màu đỏ X bằng góc X . Chỉ nó được tính từ góc π theo chiều âm. Đó là lý do tại sao nó có màu đỏ.) Và để có câu trả lời, chúng ta cần một góc được đo chính xác từ OX bán trục dương, tức là từ một góc 0 độ.

Di con trỏ qua ảnh và xem mọi thứ. Tôi đã loại bỏ góc đầu tiên để không làm phức tạp hình ảnh. Góc quan tâm đối với chúng tôi (được vẽ bằng màu xanh lá cây) sẽ bằng:

π - x

x chúng tôi biết điều đó π / 6 . Vậy góc thứ hai sẽ là:

π - π / 6 = 5π / 6

Một lần nữa, chúng tôi nhớ lại việc bổ sung các vòng quay đầy đủ và viết ra loạt câu trả lời thứ hai:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Đó là tất cả. Một câu trả lời đầy đủ bao gồm hai chuỗi gốc:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Có thể dễ dàng giải các phương trình với tiếp tuyến và phương trình bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác. Tất nhiên, trừ khi bạn biết cách vẽ tiếp tuyến và cotang trên một đường tròn lượng giác.

Trong các ví dụ trên, tôi đã sử dụng giá trị dạng bảng của sin và cosine: 0,5. Những thứ kia. một trong những ý nghĩa mà học sinh biết phải. Bây giờ, hãy mở rộng khả năng của chúng tôi để tất cả các giá trị khác. Hãy quyết định, hãy quyết định!)

Vì vậy, giả sử chúng ta cần giải phương trình lượng giác sau:

Không có giá trị như vậy của cosine trong các bảng ngắn. Chúng tôi lạnh lùng bỏ qua sự thật khủng khiếp này. Ta vẽ một đường tròn, đánh dấu 2/3 trên trục côsin và vẽ các góc tương ứng. Chúng tôi nhận được hình ảnh này.

Chúng tôi hiểu, đối với những người mới bắt đầu, với một góc độ trong quý đầu tiên. Để biết x bằng bao nhiêu, các em ghi ngay câu trả lời nhé! Chúng tôi không biết ... Thất bại !? Trấn tĩnh! Toán học không để lại rắc rối của riêng nó! Cô ấy đã phát minh ra cosin vòng cung cho trường hợp này. Không biết? Vô ích. Tìm hiểu. Nó dễ dàng hơn bạn nghĩ rất nhiều. Theo liên kết này, không có một câu thần chú khó hiểu nào về "hàm lượng giác nghịch đảo" ... Nó là thừa trong chủ đề này.

Nếu bạn biết, chỉ cần nói với chính mình, "X là góc có cosin bằng 2/3". Và ngay lập tức, hoàn toàn theo định nghĩa của arccosine, chúng ta có thể viết:

Chúng tôi nhớ về các vòng quay bổ sung và bình tĩnh viết ra chuỗi nghiệm nguyên đầu tiên của phương trình lượng giác của chúng tôi:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Loạt rễ thứ hai cũng được viết gần như tự động, cho góc thứ hai. Mọi thứ đều giống nhau, chỉ có x (arccos 2/3) sẽ có dấu trừ:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Và tất cả mọi thứ! Đây là câu trả lời chính xác. Thậm chí dễ dàng hơn so với các giá trị dạng bảng. Bạn không cần phải nhớ bất cứ điều gì.) Nhân tiện, những người chú ý nhất sẽ nhận thấy rằng bức ảnh này với lời giải thông qua cung cosin về bản chất không khác gì hình vẽ đối với phương trình cosx = 0,5.

Một cách chính xác! Nguyên tắc chung về cái đó và cái chung! Tôi đã đặc biệt vẽ hai bức tranh gần như giống hệt nhau. Vòng tròn cho chúng ta thấy góc X bằng cosine của nó. Nó là một cosine dạng bảng, hay không - hình tròn không biết. Đây là loại góc gì, π / 3, hay loại cosin nào là do chúng ta quyết định.

Với một sin cùng một bài hát. Ví dụ:

Một lần nữa chúng ta vẽ một hình tròn, đánh dấu sin bằng 1/3, vẽ các góc. Hóa ra bức tranh này:

Và một lần nữa hình ảnh gần giống như đối với phương trình sinx = 0,5. Một lần nữa chúng tôi bắt đầu từ góc trong quý đầu tiên. X bằng bao nhiêu nếu sin của nó là 1/3? Không vấn đề gì!

Vì vậy, gói rễ đầu tiên đã sẵn sàng:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Chúng ta hãy xem xét ở góc độ thứ hai. Trong ví dụ với giá trị bảng là 0,5, nó bằng:

π - x

Vì vậy, ở đây nó sẽ giống hệt nhau! Chỉ có x là khác biệt, arcsin 1/3. Vậy thì sao!? Bạn có thể viết gói rễ thứ hai một cách an toàn:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác. Mặc dù nó trông không quen thuộc lắm. Nhưng nó có thể hiểu được, tôi hy vọng.)

Đây là cách giải các phương trình lượng giác bằng cách sử dụng một đường tròn. Con đường này rõ ràng và dễ hiểu. Chính anh ấy là người đã cứu trong các phương trình lượng giác với việc chọn các nghiệm nguyên trên một khoảng nhất định, trong các bất đẳng thức lượng giác - chúng thường được giải hầu như luôn luôn trong một vòng tròn. Nói tóm lại, trong bất kỳ nhiệm vụ nào phức tạp hơn một chút so với các nhiệm vụ tiêu chuẩn.

Đưa kiến ​​thức vào thực tế?

Giải phương trình lượng giác:

Ban đầu thì đơn giản hơn, trực tiếp vào bài này.

Bây giờ nó khó hơn.

Gợi ý: ở đây bạn phải nghĩ về hình tròn. Cá nhân.)

Và bây giờ bề ngoài không phô trương ... Họ còn được gọi là những trường hợp đặc biệt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Gợi ý: ở đây bạn cần tìm trong một vòng tròn nơi có hai chuỗi câu trả lời và nơi có một câu trả lời ... Và làm thế nào để viết ra một thay vì hai chuỗi câu trả lời. Có, để không một căn nào từ một số vô hạn bị mất!)

Chà, khá đơn giản):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Gợi ý: đến đây bạn cần biết arcsine, arccosine là gì? Tiếp tuyến cung, tiếp tuyến cung là gì? Các định nghĩa đơn giản nhất. Nhưng bạn không cần phải nhớ bất kỳ giá trị dạng bảng nào!)

Tất nhiên, câu trả lời là lộn xộn):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Không phải mọi thứ đều diễn ra? Nó xảy ra. Đọc lại bài. Chỉ có chu đáo(có một từ lỗi thời như vậy ...) Và theo các liên kết. Các liên kết chính là về vòng tròn. Không có nó trong lượng giác - làm sao qua đường bị bịt mắt. Đôi khi nó hoạt động.)

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Phương trình lượng giác đơn giản nhất là phương trình

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a

Phương trình cos (x) = a

Giải thích và cơ sở lý luận

1. Nghiệm của phương trình cosx = a. Khi nào | a | > 1 phương trình vô nghiệm vì | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 hoặc tại một< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Hãy để | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Trên khoảng, hàm số y = cos x giảm từ 1 đến -1. Nhưng một hàm giảm chỉ nhận mỗi giá trị của nó tại một điểm trong miền xác định của nó, do đó phương trình cos x \ u003d a chỉ có một nghiệm nguyên trên khoảng này, theo định nghĩa của cung cosin, là: x 1 \ u003d arccos a (và cho gốc này cos x \ u003d a).

Cosin là hàm chẵn nên trên khoảng [-n; 0] phương trình cos x = và cũng chỉ có một căn - số đối diện với x 1, nghĩa là

x 2 = -arccos a.

Như vậy, trên khoảng [-n; n] (độ dài 2n) phương trình cos x = a cho | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Hàm số y = cos x là tuần hoàn với chu kỳ 2n, vì vậy tất cả các nghiệm nguyên khác với các nghiệm thức tìm được là 2np (n € Z). Chúng ta nhận được công thức sau cho nghiệm nguyên của phương trình cos x = a khi

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Các trường hợp riêng giải phương trình cosx = a.

Sẽ rất hữu ích khi nhớ ký hiệu đặc biệt cho nghiệm nguyên của phương trình cos x = a khi

a \ u003d 0, a \ u003d -1, a \ u003d 1, có thể dễ dàng lấy được bằng cách sử dụng vòng tròn đơn vị làm hướng dẫn.

Vì cosin bằng hoành độ của điểm tương ứng trên đường tròn đơn vị, nên ta nhận được cos x = 0 khi và chỉ khi điểm tương ứng trên đường tròn đơn vị là điểm A hoặc điểm B.

Tương tự, cos x = 1 nếu và chỉ khi điểm tương ứng của đường tròn đơn vị là điểm C, do đó,

x = 2πp, k € Z.

Ngoài ra cos x \ u003d -1 nếu và chỉ khi điểm tương ứng của đường tròn đơn vị là điểm D, do đó x \ u003d n + 2n,

Phương trình sin (x) = a

Giải thích và cơ sở lý luận

1. Nghiệm của phương trình sinx = a. Khi nào | a | > 1 phương trình vô nghiệm vì | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 hoặc tại một< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Tỉ số giữa các hàm lượng giác chính - sin, cosin, tiếp tuyến và cotang - được đưa ra công thức lượng giác. Và vì có khá nhiều mối liên hệ giữa các hàm lượng giác, điều này cũng giải thích sự phong phú của các công thức lượng giác. Một số công thức kết nối các hàm lượng giác của cùng một góc, những công thức khác - hàm của một góc, những công thức khác - cho phép bạn hạ thấp độ, thứ tư - để biểu thị tất cả các hàm thông qua tiếp tuyến của một nửa góc, v.v.

Trong bài viết này, chúng tôi liệt kê theo thứ tự tất cả các công thức lượng giác cơ bản, đủ để giải được phần lớn các bài toán lượng giác. Để tiện cho việc ghi nhớ và sử dụng, chúng ta sẽ phân nhóm theo mục đích, nhập thành bảng.

Điều hướng trang.

Nhận dạng lượng giác cơ bản

Nhận dạng lượng giác cơ bản thiết lập mối quan hệ giữa sin, côsin, tiếp tuyến và cotang của một góc. Chúng tuân theo định nghĩa của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang, cũng như khái niệm về đường tròn đơn vị. Chúng cho phép bạn biểu diễn một hàm lượng giác thông qua bất kỳ hàm lượng giác nào khác.

Để biết mô tả chi tiết về các công thức lượng giác này, các ví dụ về đạo hàm và ứng dụng của chúng, hãy xem bài viết.

Truyền công thức

Truyền công thức theo các tính chất của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang, tức là chúng phản ánh tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác, tính chất của đối xứng và cả tính chất của sự dịch chuyển theo một góc cho trước. Các công thức lượng giác này cho phép bạn chuyển từ làm việc với các góc tùy ý sang làm việc với các góc từ 0 đến 90 độ.

Cơ sở lý luận của các công thức này, quy tắc ghi nhớ để ghi nhớ chúng và các ví dụ về ứng dụng của chúng có thể được nghiên cứu trong bài báo.

Công thức bổ sung

Công thức cộng lượng giác cho biết các hàm lượng giác của tổng hoặc hiệu của hai góc được biểu diễn như thế nào dưới dạng hàm lượng giác của các góc này. Các công thức này là cơ sở để suy ra các công thức lượng giác sau đây.

Công thức cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc

Công thức cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc (chúng còn được gọi là nhiều công thức góc) chỉ ra cách thức các hàm lượng giác của nhân đôi, gấp ba, v.v. góc () được biểu thị dưới dạng hàm lượng giác của một góc duy nhất. Suy ra của chúng dựa trên các công thức cộng.

Thông tin chi tiết hơn được thu thập trong bài viết công thức cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc .

Công thức nửa góc

Công thức nửa góc cho biết hàm lượng giác của một nửa góc được biểu diễn như thế nào dưới dạng côsin của một góc nguyên. Các công thức lượng giác này tuân theo từ các công thức góc kép.

Kết luận của họ và các ví dụ về ứng dụng có thể được tìm thấy trong bài báo.

Công thức rút gọn

Công thức lượng giác giảm dần độđược thiết kế để tạo điều kiện thuận lợi cho việc chuyển đổi từ lũy thừa tự nhiên của các hàm lượng giác sang sin và cosin ở mức độ đầu tiên, nhưng nhiều góc. Nói cách khác, chúng cho phép người ta giảm lũy thừa của các hàm lượng giác xuống mức đầu tiên.

Công thức về tổng và hiệu của các hàm lượng giác

điểm đến chính công thức tổng và hiệu cho các hàm lượng giác bao gồm trong việc chuyển đổi thành tích của các hàm, rất hữu ích khi đơn giản hóa các biểu thức lượng giác. Những công thức này cũng được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình lượng giác, vì chúng cho phép tính tổng và hiệu của sin và cosin.

Các công thức cho tích của sin, cosin và sin theo cosin

Sự chuyển đổi từ tích của các hàm lượng giác thành tổng hoặc hiệu được thực hiện thông qua các công thức cho tích của sin, côsin và sin của côsin.

Phép thay thế lượng giác phổ quát

Chúng ta hoàn thành phần ôn tập các công thức cơ bản của lượng giác với các công thức biểu thị các hàm lượng giác dưới dạng tiếp tuyến của nửa góc. Sự thay thế này được gọi là thay thế lượng giác phổ quát. Sự tiện lợi của nó nằm ở chỗ, tất cả các hàm lượng giác đều được biểu diễn dưới dạng tiếp tuyến của một nửa góc một cách hợp lý mà không có nghiệm nguyên.

Thư mục.

• Đại số học: Proc. cho 9 ô. trung bình trường học / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Khai sáng, 1990.- 272 trang: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. trung bình trường học - ấn bản thứ 3. - M.: Khai sáng, 1993. - 351 tr: ốm. - ISBN 5-09-004617-4.
• Đại số học và phần mở đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn và những người khác; Ed. A. N. Kolmogorova. - Xuất bản lần thứ 14. - M.: Khai sáng, 2004. - 384 trang: bệnh. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.

Bản quyền thuộc về sinh viên thông minh

Đã đăng ký Bản quyền.
Được bảo vệ bởi luật bản quyền. Không một phần nào của trang web, bao gồm các tài liệu bên trong và thiết kế bên ngoài, có thể được sao chép dưới bất kỳ hình thức nào hoặc được sử dụng mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của chủ sở hữu bản quyền.

Bạn có thể đặt một giải pháp chi tiết cho vấn đề của bạn !!!

Một đẳng thức có chứa ẩn số dưới dấu của một hàm lượng giác (`sin x, cos x, tg x` hoặc` ctg x`) được gọi là một phương trình lượng giác và chúng ta sẽ xem xét thêm các công thức của chúng.

Các phương trình đơn giản nhất là `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, trong đó` x` là góc cần tìm, `a` là một số bất kỳ. Hãy viết các công thức gốc cho mỗi công thức trong số chúng.

1. Phương trình `sin x = a`.

Đối với `| a |> 1` nó không có lời giải.

Với `| a | \ leq 1` có vô số nghiệm.

Công thức gốc: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. Phương trình `cos x = a`

Đối với `| a |> 1` - như trong trường hợp sin, không có nghiệm nào giữa các số thực.

Với `| a | \ leq 1` có vô số nghiệm.

Công thức gốc: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Các trường hợp đặc biệt đối với sin và cosin trong đồ thị.

3. Phương trình `tg x = a`

Có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.

Công thức gốc: `x = arctg a + \ pi n, n \ in Z`

4. Phương trình `ctg x = a`

Nó cũng có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.

Công thức gốc: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Công thức nghiệm nguyên của phương trình lượng giác trong bảng

Đối với xoang:
Đối với cosine:
Đối với tiếp tuyến và cotang:
Công thức giải phương trình chứa hàm lượng giác nghịch đảo:

Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Nghiệm của bất kỳ phương trình lượng giác nào bao gồm hai giai đoạn:

• sử dụng để chuyển đổi nó thành đơn giản nhất;
• giải phương trình đơn giản thu được bằng cách sử dụng các công thức trên cho các nghiệm thức và bảng.

Hãy xem xét các phương pháp chính của giải pháp bằng cách sử dụng các ví dụ.

phương pháp đại số.

Trong phương pháp này, việc thay thế một biến và thay thế nó thành đẳng thức được thực hiện.

Thí dụ. Giải phương trình: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0 ',

thực hiện thay thế: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, sau đó` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

chúng ta tìm các gốc: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, từ đó có hai trường hợp sau:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`,` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Trả lời: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Thừa số hóa.

Thí dụ. Giải phương trình: `sin x + cos x = 1`.

Dung dịch. Di chuyển sang trái tất cả các số hạng của đẳng thức: `sin x + cos x-1 = 0`. Bằng cách sử dụng, chúng tôi biến đổi và phân tích nhân tử bên trái:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0 ',

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0 ',

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0 ',` tg x / 2 = 1', `x / 2 = arctg 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Trả lời: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Rút gọn về một phương trình thuần nhất

Trước tiên, bạn cần đưa phương trình lượng giác này về một trong hai dạng:

`a sin x + b cos x = 0` (phương trình thuần nhất cấp một) hoặc` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (phương trình thuần nhất cấp hai).

Sau đó chia cả hai phần cho `cos x \ ne 0` cho trường hợp đầu tiên và cho` cos ^ 2 x \ ne 0` cho trường hợp thứ hai. Chúng ta nhận được phương trình cho `tg x`:` a tg x + b = 0` và `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, phải được giải bằng các phương pháp đã biết.

Thí dụ. Giải phương trình: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Dung dịch. Hãy viết vế phải là `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x-` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Đây là một phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai, chia hai phần bên trái và bên phải của nó cho `cos ^ 2 x \ ne 0`, ta được:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0 '

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Hãy giới thiệu phép thay thế `tg x = t`, kết quả là` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Căn của phương trình này là `t_1 = -2` và` t_2 = 1`. Sau đó:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctg 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Câu trả lời. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Đi đến một nửa góc

Thí dụ. Giải phương trình: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Dung dịch. Áp dụng công thức góc kép, kết quả là: `22 sin (x / 2) cos (x / 2)-'' 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 '

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Áp dụng phương pháp đại số mô tả ở trên, chúng ta thu được:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x / 2 = 3/4`,` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

Câu trả lời. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

Giới thiệu một góc phụ

Trong phương trình lượng giác `a sin x + b cos x = c`, trong đó a, b, c là các hệ số và x là một biến, chúng ta chia cả hai phần cho` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x =` `\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Các hệ số ở phía bên trái có các thuộc tính của sin và cosine, cụ thể là tổng bình phương của chúng bằng 1 và môđun của chúng không lớn hơn 1. Biểu thị chúng như sau: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi`, `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, sau đó:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Hãy xem xét kỹ hơn ví dụ sau:

Thí dụ. Giải phương trình: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Dung dịch. Chia cả hai vế của phương trình cho `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ', ta được:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) =` `\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2))

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2 / 5`.

Ký hiệu `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Vì `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, chúng tôi lấy `\ varphi = arcsin 4 / 5` làm góc phụ. Sau đó, chúng tôi viết bình đẳng của chúng tôi dưới dạng:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2/5 '

Áp dụng công thức tính tổng các góc của sin, chúng ta viết đẳng thức dưới dạng sau:

`sin (x + \ varphi) = 2/5 ',

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Câu trả lời. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Phương trình lượng giác phân số-hữu tỉ

Đây là những bình đẳng với phân số, ở tử số và mẫu số của chúng có các hàm lượng giác.

Thí dụ. Giải phương trình. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Dung dịch. Nhân và chia vế phải của phương trình với `(1 + cos x)`. Kết quả là, chúng tôi nhận được:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x)-'' \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0 '

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0 '

Cho rằng mẫu số không thể bằng 0, chúng ta nhận được `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Lập phương trình tử số của phân số bằng 0: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Khi đó `sin x = 0` hoặc` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Cho rằng `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, các nghiệm là` x = 2 \ pi n, n \ in Z` và `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ trong Z`.

Câu trả lời. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ trong Z`.

Lượng giác, và phương trình lượng giác nói riêng, được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý và kỹ thuật. Việc học bắt đầu từ năm lớp 10, luôn có nhiệm vụ cho kỳ thi, vì vậy hãy cố gắng ghi nhớ tất cả các công thức của phương trình lượng giác - chúng chắc chắn sẽ rất hữu ích cho bạn!

Tuy nhiên, bạn thậm chí không cần phải ghi nhớ chúng, điều chính là hiểu bản chất và có thể suy luận. Nó không khó như nó có vẻ. Xem cho chính mình bằng cách xem video.