Giải phương trình bằng excel lặp đơn giản. Danh sách các nguồn văn học đã sử dụng

Excel có một loạt các công cụ để giải các loại phương trình khác nhau bằng các phương pháp khác nhau.

Hãy xem một số ví dụ về các giải pháp.

Giải phương trình bằng phương pháp chọn tham số Excel

Công cụ Tìm kiếm Tham số được sử dụng trong trường hợp đã biết kết quả nhưng chưa biết các đối số. Excel chọn các giá trị cho đến khi phép tính thu được tổng số mong muốn.

Đường dẫn đến lệnh: "Dữ liệu" - "Làm việc với dữ liệu" - "Phân tích điều gì sẽ xảy ra" - "Lựa chọn tham số".

Ví dụ, hãy xem xét nghiệm của phương trình bậc hai x 2 + 3x + 2 = 0. Thứ tự tìm nghiệm nguyên bằng Excel:

Chương trình sử dụng một quy trình tuần hoàn để chọn tham số. Để thay đổi số lần lặp lại và lỗi, bạn cần phải chuyển đến tùy chọn Excel. Trên tab "Công thức", đặt số lần lặp lại tối đa, lỗi tương đối. Chọn hộp "cho phép tính toán lặp lại".



Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận trong Excel

Hệ phương trình đã cho là:

Các gốc phương trình thu được.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer trong Excel

Hãy lấy hệ phương trình từ ví dụ trước:

Để giải chúng bằng phương pháp Cramer, chúng tôi tính toán các định thức của ma trận thu được bằng cách thay thế một cột trong ma trận A bằng một ma trận cột B.

Để tính toán các yếu tố quyết định, chúng tôi sử dụng hàm MOPRED. Đối số là một phạm vi với ma trận tương ứng.

Ta cũng tính định thức của ma trận A (mảng - dãy của ma trận A).

Định thức của hệ lớn hơn 0 - lời giải có thể được tìm thấy bằng công thức Cramer (D x / | A |).

Để tính X 1: \ u003d U2 / $ U $ 1, trong đó U2 - D1. Để tính X 2: = U3 / $ U $ 1. Vân vân. Chúng tôi nhận được gốc của các phương trình:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss trong Excel

Ví dụ, hãy lấy hệ phương trình đơn giản nhất:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \ u003d 9

Chúng ta viết các hệ số trong ma trận A. Số hạng tự do - trong ma trận B.

Để rõ ràng, chúng tôi đánh dấu các thành viên miễn phí bằng cách điền vào. Nếu ô đầu tiên của ma trận A là 0, bạn cần hoán đổi các hàng để có giá trị khác 0.

Ví dụ về giải phương trình bằng cách lặp trong Excel

Các phép tính trong sổ làm việc phải được thiết lập như sau:

Điều này được thực hiện trên tab "Công thức" trong "Tùy chọn Excel". Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) bằng cách lặp lại sử dụng tham chiếu tuần hoàn. Công thức:

X n + 1 \ u003d X n - F (X n) / M, n \ u003d 0, 1, 2, ...

M là giá trị lớn nhất của đạo hàm modulo. Để tìm M, chúng ta hãy thực hiện các phép tính:

f '(1) = -2 * f' (2) = -11.

Giá trị kết quả nhỏ hơn 0. Do đó, hàm sẽ ngược dấu: f (x) \ u003d -x + x 3 - 1. M \ u003d 11.

Trong ô A3, nhập giá trị: a = 1. Độ chính xác - ba chữ số thập phân. Để tính giá trị hiện tại của x trong ô liền kề (B3), hãy nhập công thức: = IF (B3 = 0; A3; B3 - (- B3 + POWER (B3; 3) -1/11)).

Trong ô C3, chúng tôi kiểm soát giá trị của f (x): sử dụng công thức = B3-POWER (B3; 3) +1.

Căn của phương trình là 1.179. Nhập giá trị 2 vào ô A3 ta nhận được kết quả tương tự:

Chỉ có một gốc trên một khoảng nhất định.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Cách đồ họa để tìm nghiệm nguyên là vẽ đồ thị của hàm f (x) trên đoạn. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục abscissa cho giá trị gần đúng của nghiệm nguyên của phương trình.

Các giá trị gần đúng của các gốc được tìm thấy theo cách này giúp bạn có thể tách ra các đoạn mà trên đó, nếu cần, có thể tinh chỉnh các gốc.

Khi tìm nghiệm nguyên bằng phép tính cho các hàm liên tục f (x), các lưu ý sau được sử dụng:

- Nếu hàm số có các dấu khác nhau ở hai đầu đoạn thì giữa điểm a và b trên trục x có một nghiệm số lẻ;

- Nếu hàm số có cùng dấu ở hai đầu khoảng thì giữa a và b có một số căn chẵn hoặc không có căn nào;

- Nếu ở hai đầu đoạn mà hàm số có các dấu khác nhau và đạo hàm cấp một hoặc đạo hàm cấp hai không đổi dấu trên đoạn này thì phương trình có một căn trên đoạn.

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x 5 –4x – 2 = 0 trên đoạn [–2,2]. Hãy tạo một bảng tính.

Bảng 1

Bảng 2 cho thấy kết quả tính toán.

ban 2

Tương tự, một nghiệm được tìm thấy trên các khoảng [-2, -1], [-1,0].

Tinh chỉnh các gốc của phương trình

Sử dụng chế độ "Tìm kiếm giải pháp"

Đối với phương trình đã cho ở trên, tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x 5 –4x – 2 = 0 phải được làm rõ với sai số E = 0,001.

Để làm rõ các gốc trong khoảng [-2, -1], chúng tôi sẽ biên dịch một bảng tính.

bàn số 3

Chúng tôi bắt đầu chế độ "Tìm kiếm giải pháp" trong menu "Công cụ". Thực hiện các lệnh chế độ. Chế độ hiển thị sẽ hiển thị các gốc được tìm thấy. Tương tự, chúng tôi tinh chỉnh các gốc trên các khoảng thời gian khác.

Tinh chỉnh Gốc phương trình

Sử dụng chế độ "Lặp lại"

Phương pháp lặp đơn giản có hai chế độ "Thủ công" và "Tự động". Để bắt đầu chế độ "Lặp lại" trong menu "Công cụ", hãy mở tab "Tham số". Sau đây là các lệnh chế độ. Trên tab Tính toán, bạn có thể chọn chế độ tự động hoặc thủ công.

Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình trong Excel được thực hiện bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Giải hệ phương trình:

Hãy tạo một bảng tính.

Bảng 4

	Một	B	C	D	E
	Nghiệm của hệ phương trình.
		ax = b
	Ma trận ban đầu A		Bên phải b
	-8
			-3
			-2		-2
	Ma trận nghịch đảo (1 / A)		Giải pháp vectơ x = (1 / A) / b
	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= ĐA (A11: C13, E6: E8)
	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= ĐA (A11: C13, E6: E8)
	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= ĐA (A11: C13, E6: E8)

Hàm MIN trả về một mảng giá trị được chèn vào toàn bộ cột ô cùng một lúc.

Bảng 5 trình bày kết quả tính toán.

Bảng 5

	Một	B	C	D	E
	Nghiệm của hệ phương trình.
		ax = b
	Ma trận ban đầu A		Bên phải b
	-8
			-3
			-2		-2
	Ma trận nghịch đảo (1 / A)		Giải pháp vectơ x = (1 / A) / b
	-0,149	0,054	-0,230
	0,054	0,162	-0,189
	-0,122	0,135	-0,824

Danh sách các nguồn văn học đã sử dụng

1. Turchak L.I. Các nguyên tắc cơ bản của phương pháp số: Proc. trợ cấp cho các trường đại học / ed. V.V. Shchennikov. – M.: Nauka, 1987. – 320p.

2. Các phương pháp tối ưu hóa Bundy B. Khóa học giới thiệu. – M.: Đài phát thanh và truyền thông, 1988. – 128s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Mô hình toán học về cân bằng hóa học – M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988. – 192p.

4. Bezdenezhnykh A.A. Phương pháp kỹ thuật để biên soạn phương trình tốc độ phản ứng và tính hằng số động học. – L.: Hóa học, 1973. – 256p.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Các phương pháp đại số tuyến tính trong hóa lý. – M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976. – 359p.

6. Bakhvalov N.S. và những phương pháp khác. Phương pháp số trong các nhiệm vụ và bài tập: Proc. hướng dẫn cho các trường đại học / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Cao hơn. trường học., 2000.-190s. - (Toán học cao cấp / Sadovnichiy V.A.)

7. Ứng dụng Toán học Tính toán trong Động học Hóa học và Vật lý, ed. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 tr.

8. Thuật toán hóa các phép tính trong công nghệ hóa học B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Phương pháp tính toán cho kỹ sư hóa học. Câu chuyện của H. Rosenbrock, S.

10. Orvis V.D. Excel dành cho các nhà khoa học, kỹ sư và sinh viên. - Kyiv: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Phương pháp số tại Mathcade - Đại học Sư phạm Bang Astrakhan: Astrakhan, 2000.

Ví dụ 3.1 . Tìm một nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (3.1) bằng phương pháp Jacobi.

Các phương pháp lặp lại có thể được sử dụng cho một hệ thống nhất định, bởi vì điều kiện "ưu thế của hệ số đường chéo",đảm bảo sự hội tụ của các phương pháp này.

Sơ đồ thiết kế của phương pháp Jacobi được thể hiện trong Hình (3.1).

Mang hệ thống (3.1). để xem bình thường:

, (3.2)

hoặc ở dạng ma trận

, (3.3)

Hình.3.1.

Để xác định số lần lặp cần thiết để đạt được độ chính xác nhất định e, và giải pháp gần đúng của hệ thống hữu ích trong cột H Tải về Định dạng có điều kiện. Kết quả của việc định dạng như vậy có thể thấy trong Hình 3.1. Các ô cột H, các giá trị của nó thỏa mãn điều kiện (3.4) được tô bóng.

(3.4)

Phân tích kết quả, chúng tôi lấy lần lặp thứ tư làm nghiệm gần đúng của hệ ban đầu với độ chính xác cho trước e = 0,1,

những thứ kia. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Thay đổi giá trị e trong một phòng giam H5 có thể thu được một nghiệm gần đúng mới của hệ ban đầu với độ chính xác mới.

Phân tích sự hội tụ của quá trình lặp lại bằng cách vẽ biểu đồ những thay đổi trong từng thành phần của giải pháp SLAE tùy thuộc vào số lần lặp.

Để làm điều này, hãy chọn một khối ô A10: D20 và sử dụng Trình hướng dẫn Biểu đồ, xây dựng đồ thị phản ánh sự hội tụ của quá trình lặp lại, Hình.3.2.

Hệ phương trình đại số tuyến tính được giải tương tự bằng phương pháp Seidel.

Phòng thí nghiệm số 4

Chủ đề. Các phương pháp số để giải phương trình vi phân tuyến tính thông thường với điều kiện biên. Phương pháp sai phân hữu hạn

Tập thể dục. Giải bài toán giá trị biên bằng phương pháp sai phân hữu hạn bằng cách xây dựng hai phép gần đúng (hai lần lặp) với bước h và bước h / 2.

Phân tích kết quả. Các tùy chọn nhiệm vụ được đưa ra trong Phụ lục 4.

Trình tự công việc

1. Xây dựng thủ công xấp xỉ chênh lệch hữu hạn của bài toán giá trị biên (SLAE chênh lệch hữu hạn) với bước h , tùy chọn đã cho.

2. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, dạng vượt trội hệ phương trình sai phân hữu hạn đại số tuyến tính cho bước h phân đoạn . Ghi lại SLAE này trên trang tính của sách. vượt trội. Sơ đồ thiết kế được thể hiện trong Hình 4.1.

3. Giải quyết SLAE kết quả bằng phương pháp quét.

4. Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp SLAE bằng tiện ích bổ sung Excel Tìm giải pháp.

5. Giảm lưới từng bước 2 lần và giải quyết vấn đề một lần nữa. Trình bày kết quả bằng đồ thị.

6. So sánh kết quả của bạn. Đưa ra kết luận về sự cần thiết phải tiếp tục hoặc chấm dứt tài khoản.

Giải quyết vấn đề giá trị biên bằng bảng tính Microsoft Excel.

Ví dụ 4.1. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm giải pháp cho vấn đề giá trị biên , y (1) = 1, y ’(2) = 0,5 trên phân khúc xО với bước h = 0,2 và với bước h = 0,1. So sánh kết quả và đưa ra kết luận về sự cần thiết phải tiếp tục hoặc chấm dứt tài khoản.

Sơ đồ tính toán cho bước h = 0,2 được thể hiện trong Hình.4.1.

Giải pháp kết quả (hàm lưới) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) trong cột L và B có thể được coi là lần lặp đầu tiên (gần đúng đầu tiên) của bài toán ban đầu.

Để tìm lần lặp thứ hai làm cho lưới dày gấp đôi (n = 10, sải chân h = 0,1) và lặp lại thuật toán trên.

Điều này có thể được thực hiện trên cùng một hoặc trên một trang khác của cuốn sách. vượt trội. Lời giải (xấp xỉ thứ hai) được thể hiện trong Hình 4.2.

So sánh các nghiệm gần đúng thu được. Để rõ ràng, bạn có thể xây dựng đồ thị của hai phép gần đúng này (hai hàm lưới), Hình.4.3.

Quy trình xây dựng đồ thị của các giải pháp gần đúng cho một bài toán giá trị biên

1. Xây dựng đồ thị giải bài toán cho lưới sai phân có bước h = 0,2 (n = 5).

2. Kích hoạt biểu đồ đã được tạo sẵn và chọn lệnh menu Biểu đồ \ Thêm dữ liệu

3. Trong cửa sổ Dữ liệu mới nhập dữ liệu x i, y iđối với lưới chênh lệch với bước h / 2 (n = 10).

4. Trong cửa sổ Chèn đặc biệt chọn hộp trong các trường:

Ø hàng mới,

Như có thể thấy từ dữ liệu được trình bày, hai giải pháp gần đúng của bài toán giá trị biên (hai hàm lưới) chênh lệch nhau không quá 5%. Do đó, chúng tôi coi lần lặp thứ hai như một giải pháp gần đúng của bài toán ban đầu, tức là

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Phòng thí nghiệm số 5

Bộ giáo dục phổ thông

Liên bang Nga

Đại học Kỹ thuật Bang Ural-UPI

chi nhánh ở Krasnoturinsk

Khoa Kỹ thuật Máy tính

Khóa học làm việc

Bằng phương pháp số

Giải phương trình tuyến tính bằng phép lặp đơn giản

sử dụng Microsoft Excel

Người đứng đầu Kuzmina N.V.

Sinh viên Nigmatzyanov T.R.

Nhóm M-177T

Đề tài: "Tìm nghiệm với độ chính xác cho trước nghiệm của phương trình F (x) = 0 trên khoảng bằng phương pháp lặp đơn giản."

Trường hợp thử nghiệm: 0,25-x + sinx = 0

Điều kiện của bài toán: để hàm số F (x) đã cho trên khoảng, tìm nghiệm nguyên của phương trình F (x) = 0 bằng phép lặp đơn giản.

Gốc được tính hai lần (sử dụng tính toán tự động và thủ công).

Cung cấp cách dựng đồ thị của hàm số tại một khoảng cho trước.

Giới thiệu 4

1. Phần lý thuyết 5

2. Mô tả tiến độ thực hiện công việc 7

3. dữ liệu đầu vào và đầu ra 8

Kết luận 9

PHỤ LỤC 10

Tài liệu tham khảo 12

Giới thiệu.

Trong quá trình làm việc này, em cần làm quen với các phương pháp giải phương trình và tìm nghiệm nguyên của phương trình phi tuyến 0,25-x + sin (x) \ u003d 0 bằng phương pháp số - phương pháp lặp đơn giản. Để kiểm tra tính đúng đắn của việc tìm nghiệm nguyên, cần giải phương trình bằng đồ thị, tìm một giá trị gần đúng và so sánh với kết quả thu được.

1. Phần lý thuyết.

Phương pháp lặp đơn giản.

Quá trình lặp đi lặp lại bao gồm việc tinh chỉnh liên tiếp giá trị gần đúng ban đầu x0 (căn của phương trình). Mỗi bước như vậy được gọi là một lần lặp.

Để sử dụng phương pháp này, phương trình phi tuyến ban đầu được viết dưới dạng: x = j (x), tức là x nổi bật; j (х) liên tục và khả vi trên khoảng (a; c). Điều này thường có thể được thực hiện theo một số cách:

Ví dụ:

arcsin (2x + 1) -x 2 = 0 (f (x) = 0)

Phương pháp 1.

arcsin (2x + 1) = x2

sin (arcsin (2x + 1)) = sin (x2)

x = 0,5 (sinx 2 -1) (x = j (x))

Phương pháp 2.

x = x + arcsin (2x + 1) -x 2 (x = j (x))

Phương pháp 3.

x 2 = arcsin (2x + 1)

x = (x = j (x)), dấu được lấy phụ thuộc vào khoảng [a; b].

Phép biến đổi phải sao cho ½j (x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Hãy xác định giá trị gần đúng ban đầu của căn x \ u003d c 0. Thay giá trị này vào vế phải của phương trình x \ u003d j (x), chúng ta thu được một giá trị gần đúng mới của căn: c \ u003d j (c 0) . x), chúng tôi nhận được một chuỗi các giá trị

c n = j (c n-1) n = 1,2,3,…

Quá trình lặp lại nên được tiếp tục cho đến khi đáp ứng điều kiện sau cho hai lần gần đúng liên tiếp: ½c n -c n -1 ½

Bạn có thể giải các phương trình bằng số bằng ngôn ngữ lập trình, nhưng Excel giúp bạn có thể giải quyết công việc này theo cách đơn giản hơn.

Excel thực hiện phương pháp lặp đơn giản theo hai cách, với tính toán thủ công và với điều khiển độ chính xác tự động.

y y = x

j (từ 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 root s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

	Cơm. Đồ thị quy trình lặp lại

2. Mô tả tiến độ thực hiện công việc.

1. Ra mắt TÔI.

2. Tôi đã xây dựng đồ thị của hàm số y = x và y = 0,25 + sin (x) trên đoạn có bậc 0,1 gọi là sheet "Graph".

3. Chọn một đội Dịch vụ ® Tùy chọn.
Đã mở một tab Tin học .
Đã bật chế độ Thủ công .
Hộp kiểm bị vô hiệu hóa Tính toán lại trước khi lưu . Tạo giá trị trường Giới hạn số lần lặp lại bằng 1, sai số tương đối là 0,001.

4. Nhập vào ô A1 dòng "Nghiệm của phương trình x \ u003d 0,25 + sin (x) bằng phương pháp lặp đơn giản."

5. Đã nhập văn bản “Giá trị ban đầu” vào ô A3, văn bản “Cờ ban đầu” vào ô A4, giá trị 0,5 trong ô B3, từ TRUE trong ô B4.

6. Gán cho ô B3 và B4 tên "start_value" và "start".
Ô B6 sẽ kiểm tra xem liệu true có bằng với giá trị của ô "begin" hay không. 0,25 + sin x. Trong ô B7, 0,25 sin của ô B6 được tính và do đó, một tham chiếu theo chu kỳ được tổ chức.

7. Trong ô A6 nhập y = x và trong ô A7 y = 0,25 + sin (x). Trong ô B6, công thức:
= IF (bắt đầu, giá trị bắt đầu, B7).
Trong ô B7 công thức: y = 0,25 + sin (B6).

8. Trong ô A9 nhập từ Lỗi.

9. Trong ô B9, tôi đã nhập công thức: \ u003d B7-B6.

10. Sử dụng lệnh Định dạng-Ô (chuyển hướng Con số ) đã chuyển đổi ô B9 sang định dạng hàm mũ với hai chữ số thập phân.

11. Sau đó, tôi tổ chức một liên kết tuần hoàn thứ hai để đếm số lần lặp lại. Trong ô A11, tôi nhập văn bản "Số lần lặp".

12. Trong ô B11, tôi đã nhập công thức: \ u003d IF (bắt đầu; 0; B12 + 1).

13. Trong ô B12 nhập = B11.

14. Để thực hiện phép tính, đặt con trỏ bảng tại ô B4 và nhấn phím F9 (Tính toán) để bắt đầu giải bài toán.

15. Thay đổi giá trị của cờ ban đầu thành FALSE và nhấn lại F9. Mỗi lần nhấn F9, một lần lặp được thực hiện và giá trị gần đúng tiếp theo của x được tính.

16. Nhấn phím F9 cho đến khi giá trị x đạt đến độ chính xác cần thiết.
Với tính toán tự động:

17. Đã chuyển sang trang tính khác.

18. Tôi lặp lại các điểm từ 4 đến 7, chỉ trong ô B4 tôi đã nhập giá trị FALSE.

19. Chọn một đội Dịch vụ ® Tùy chọn (chuyển hướng Tin học ). Đặt giá trị của trường Giới hạn số lần lặp lại bằng 100, sai số tương đối bằng 0,0000001. Tự động .

3. Dữ liệu đầu vào và đầu ra.

Cờ ban đầu là FALSE.
Giá trị ban đầu 0,5

Hàm số y = 0,25-x + sin (x)

Ranh giới giữa các khoảng thời gian

Độ chính xác tính toán cho tính toán thủ công 0,001

với tự động

Nhưng ngay cuối tuần:

1. Tính toán thủ công:
số lần lặp lại 37
nghiệm nguyên của phương trình là 1.17123

2. Tính toán tự động:
số lần lặp lại 100
nghiệm nguyên của phương trình là 1.17123

3. Giải phương trình bằng đồ thị:
căn của phương trình 1.17

Sự kết luận.

Trong quá trình làm việc của khóa học này, tôi đã làm quen với các phương pháp giải phương trình khác nhau:

Phương pháp phân tích

Phương pháp đồ họa

· Phương pháp số

Nhưng vì hầu hết các phương pháp số để giải phương trình là lặp lại, tôi đã sử dụng phương pháp này trong thực tế.

Với độ chính xác nhất định đã tìm thấy nghiệm nguyên của phương trình 0,25-x + sin (x) \ u003d 0 trên khoảng thời gian bằng cách sử dụng phương pháp lặp đơn giản.

Đăng kí.

1. Tính toán thủ công.

2. Tính toán tự động.

3. Giải phương trình 0,25-x-sin (x) = 0 bằng đồ thị.

Danh sách thư mục.

1. Volkov E.A. "Phương pháp số".

2. Samarsky A.A. "Giới thiệu về phương pháp số".

3. Igaletkin I.I. "Phương pháp số".