Giải pháp tầm thường của hệ thống. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) chắc chắn là chủ đề quan trọng nhất của khóa học đại số tuyến tính. Một số lượng lớn các bài toán từ tất cả các nhánh của toán học được chuyển thành giải hệ phương trình tuyến tính. Những yếu tố này giải thích lý do tạo ra bài viết này. Tài liệu của bài báo được chọn lọc và cấu trúc để với sự trợ giúp của nó, bạn có thể

• chọn phương pháp tối ưu để giải hệ phương trình đại số tuyến tính của bạn,
• nghiên cứu lý thuyết của phương pháp đã chọn,
• giải hệ phương trình tuyến tính của bạn, đã xem xét chi tiết lời giải của các ví dụ và vấn đề điển hình.

Mô tả ngắn gọn về tài liệu của bài báo.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra tất cả các định nghĩa, khái niệm cần thiết và giới thiệu một số ký hiệu.

Tiếp theo, chúng ta xem xét các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và có nghiệm duy nhất. Đầu tiên, chúng ta hãy tập trung vào phương pháp Cramer, thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình như vậy, và thứ ba, chúng tôi sẽ phân tích phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết). Để củng cố lý thuyết, chúng tôi chắc chắn sẽ giải quyết một số SLAE theo nhiều cách khác nhau.

Sau đó chuyển sang giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát, trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc ma trận chính của hệ suy biến. Chúng tôi xây dựng định lý Kronecker-Capelli, cho phép chúng tôi thiết lập tính tương thích của SLAE. Hãy để chúng tôi phân tích lời giải của các hệ thống (trong trường hợp tương thích của chúng) bằng cách sử dụng khái niệm cơ sở nhỏ nhất của ma trận. Chúng tôi cũng sẽ xem xét phương pháp Gauss và mô tả chi tiết các giải pháp của các ví dụ.

Đảm bảo nắm vững cấu trúc của nghiệm tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất. Hãy để chúng tôi đưa ra khái niệm về hệ thống giải pháp cơ bản và chỉ ra cách giải pháp chung của SLAE được viết bằng cách sử dụng các vectơ của hệ thống nghiệm cơ bản. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem một vài ví dụ.

Cuối cùng, chúng tôi xem xét các hệ phương trình được rút gọn thành tuyến tính, cũng như các bài toán khác nhau, trong lời giải mà SLAE nảy sinh.

Điều hướng trang.

Định nghĩa, khái niệm, chỉ định.

Chúng ta sẽ xét hệ phương trình đại số tuyến tính p với n biến chưa biết (p có thể bằng n) có dạng

Các biến không xác định, - hệ số (một số số thực hoặc số phức), - các phần tử tự do (cũng là số thực hoặc số phức).

Dạng SLAE này được gọi là điều phối.

TẠI dạng ma trận hệ phương trình này có dạng,
ở đâu - ma trận chính của hệ thống, - cột ma trận của các biến chưa biết, - cột ma trận của các phần tử tự do.

Nếu chúng ta thêm vào ma trận A dưới dạng cột thứ (n + 1) cột ma trận gồm các số hạng tự do, thì chúng ta nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, ma trận tăng cường được ký hiệu bằng chữ T và cột gồm các phần tử tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng so với phần còn lại của các cột, nghĩa là

Bằng cách giải một hệ phương trình đại số tuyến tínhđược gọi là tập hợp các giá trị của các biến chưa biết, biến tất cả các phương trình của hệ thống thành đồng nhất. Phương trình ma trận cho các giá trị đã cho của các biến chưa biết cũng biến thành một định danh.

Nếu một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm thì nó được gọi là chung.

Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì gọi là không tương thích.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất, thì nó được gọi là chắc chắn; nếu có nhiều hơn một giải pháp, thì - không chắc chắn.

Nếu các số hạng tự do của tất cả các phương trình của hệ bằng 0 , sau đó hệ thống được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Giải pháp của hệ thống cơ bản của phương trình đại số tuyến tính.

Nếu số phương trình của hệ bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của nó không bằng 0, thì chúng ta sẽ gọi là SLAE đó sơ cấp. Các hệ phương trình như vậy có nghiệm duy nhất và trong trường hợp hệ thuần nhất, tất cả các biến chưa biết đều bằng không.

Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu SLAE như vậy ở trường trung học. Khi giải chúng, chúng tôi lấy một phương trình, biểu diễn một biến chưa biết theo các phương trình khác và thay nó vào các phương trình còn lại, sau đó lấy phương trình tiếp theo, biểu diễn biến chưa biết tiếp theo và thay nó vào các phương trình khác, v.v. Hoặc họ đã sử dụng phương pháp cộng, tức là họ đã thêm hai hoặc nhiều phương trình để loại bỏ một số biến chưa biết. Chúng tôi sẽ không đi sâu vào các phương pháp này một cách chi tiết, vì chúng về cơ bản là các sửa đổi của phương pháp Gauss.

Các phương pháp chính để giải hệ phương trình tuyến tính sơ cấp là phương pháp Cramer, phương pháp ma trận và phương pháp Gauss. Hãy phân loại chúng ra.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Chúng ta cần giải một hệ phương trình đại số tuyến tính

trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ khác 0, nghĩa là.

Hãy là yếu tố quyết định của ma trận chính của hệ thống, và là các yếu tố quyết định của ma trận nhận được từ A bằng cách thay thế 1, 2,…, n cột tương ứng với cột thành viên miễn phí:

Với ký hiệu như vậy, các biến chưa biết được tính bằng các công thức của phương pháp Cramer như . Đây là cách tìm nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Thí dụ.

Phương pháp Cramer .

Dung dịch.

Ma trận chính của hệ thống có dạng . Tính định thức của nó (nếu cần, hãy xem bài viết):

Vì yếu tố quyết định của ma trận chính của hệ thống là khác không, hệ thống có một nghiệm duy nhất có thể được tìm thấy bằng phương pháp Cramer.

Soạn và tính toán các yếu tố quyết định cần thiết (định thức nhận được bằng cách thay thế cột đầu tiên trong ma trận A bằng một cột gồm các phần tử tự do, định thức - bằng cách thay thế cột thứ hai bằng một cột các phần tử tự do, - bằng cách thay thế cột thứ ba của ma trận A bằng một cột các phần tử tự do ):

Tìm các biến không xác định bằng công thức :

Câu trả lời:

Nhược điểm chính của phương pháp Cramer (nếu có thể gọi là nhược điểm) là sự phức tạp của việc tính toán các yếu tố quyết định khi số phương trình hệ nhiều hơn ba.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (sử dụng ma trận nghịch đảo).

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính được cho dưới dạng ma trận, trong đó ma trận A có số chiều n x n và định thức của nó khác không.

Từ đó ma trận A khả nghịch, tức là tồn tại một ma trận khả nghịch. Nếu chúng ta nhân cả hai phần của đẳng thức với bên trái, thì chúng ta sẽ nhận được công thức tìm ma trận cột của các biến chưa biết. Như vậy ta đã có nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận.

Thí dụ.

Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp ma trận.

Dung dịch.

Hãy viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:

Tại vì

thì SLAE có thể được giải bằng phương pháp ma trận. Sử dụng ma trận nghịch đảo, giải pháp cho hệ thống này có thể được tìm thấy là .

Hãy xây dựng một ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận đại số các phần tử của ma trận A (nếu cần, hãy xem bài viết):

Nó vẫn còn để tính toán - ma trận của các biến chưa biết bằng cách nhân ma trận nghịch đảo trên cột ma trận của các thành viên miễn phí (nếu cần, hãy xem bài viết):

Câu trả lời:

hoặc trong một ký hiệu khác x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vấn đề chính trong việc tìm lời giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận là độ phức tạp của việc tìm ma trận nghịch đảo, đặc biệt là đối với ma trận vuông bậc ba.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giả sử chúng ta cần tìm một nghiệm cho một hệ gồm n phương trình tuyến tính với n biến chưa biết
định thức của ma trận chính khác 0.

Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến chưa biết: thứ nhất, x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai, sau đó x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ có biến chưa biết x n vẫn ở trong phương trình cuối cùng. Quá trình biến đổi phương trình của hệ để loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết như vậy được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành quá trình chạy về phía trước của phương pháp Gaussian, x n được tìm thấy từ phương trình cuối cùng, x n-1 được tính từ phương trình áp chót bằng cách sử dụng giá trị này, và cứ như vậy, x 1 được tìm thấy từ phương trình đầu tiên. Quá trình tính toán các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ sang phương trình đầu tiên được gọi là phương pháp Gauss đảo ngược.

Hãy để chúng tôi mô tả ngắn gọn thuật toán loại bỏ các biến chưa biết.

Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Chúng tôi loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, cộng số nhân thứ nhất với phương trình thứ ba, và cứ tiếp tục cộng số nhân đầu tiên với phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

nơi một .

Chúng ta sẽ đi đến kết quả tương tự nếu biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và thay biểu thức kết quả vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để thực hiện việc này, hãy cộng nhân thứ hai với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng nhân thứ hai với phương trình thứ tư, và cứ thế cộng nhân thứ hai vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

nơi một . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, trong khi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng

Kể từ lúc này, chúng ta bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được x n, chúng ta tìm được x n-1 từ phương trình áp chót, và cứ thế, chúng ta tìm x 1 từ phương trình đầu tiên. phương trình.

Thí dụ.

Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gaussian.

Dung dịch.

Hãy loại trừ biến x 1 chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ. Để làm điều này, đối với cả hai phần của phương trình thứ hai và thứ ba, chúng tôi cộng các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, nhân với và tương ứng với:

Bây giờ chúng ta loại trừ x 2 khỏi phương trình thứ ba bằng cách thêm vào phần bên trái và bên phải của nó các phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với:

Khi này, quá trình thuận của phương pháp Gauss đã hoàn thành, chúng ta bắt đầu quá trình ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng của hệ phương trình, ta tìm được x 3:

Từ phương trình thứ hai chúng ta nhận được.

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy biến chưa biết còn lại và điều này hoàn thành quy trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Câu trả lời:

X 1 \ u003d 4, x 2 \ u003d 0, x 3 \ u003d -1.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Trong trường hợp tổng quát, số phương trình của hệ p không trùng với số biến n chưa biết là:

Các SLAE như vậy có thể không có giải pháp, có một giải pháp duy nhất hoặc có vô số giải pháp. Câu lệnh này cũng áp dụng cho các hệ phương trình có ma trận chính là vuông và suy biến.

Định lý Kronecker-Capelli.

Trước khi tìm lời giải cho một hệ phương trình tuyến tính, cần thiết lập tính tương thích của nó. Câu trả lời cho câu hỏi khi nào SLAE tương thích và khi nào không tương thích, Định lý Kronecker – Capelli:
Để một hệ phương trình p với n ẩn số (p có thể bằng n) là nhất quán thì cần và đủ để hạng của ma trận chính của hệ bằng hạng của ma trận mở rộng, tức là hạng ( A) = Hạng (T).

Chúng ta hãy xem xét ứng dụng của định lý Kronecker-Cappelli để xác định tính tương thích của một hệ phương trình tuyến tính làm ví dụ.

Thí dụ.

Tìm xem hệ phương trình tuyến tính có các giải pháp.

Dung dịch.

. Chúng ta hãy sử dụng phương pháp giáp tiểu nhân. Phần nhỏ của đơn hàng thứ hai khác 0. Chúng ta hãy xem xét những người vị thành niên bậc ba xung quanh nó:

Vì tất cả các con lân cận bậc ba đều bằng 0, nên hạng của ma trận chính là hai.

Đổi lại, thứ hạng của ma trận tăng cường bằng ba, vì con thứ của bậc thứ ba

khác 0.

Bằng cách này, Rang (A), do đó, theo định lý Kronecker-Capelli, chúng ta có thể kết luận rằng hệ phương trình tuyến tính ban đầu là không nhất quán.

Câu trả lời:

Không có hệ thống giải pháp.

Vì vậy, chúng ta đã học cách thiết lập tính không nhất quán của hệ thống bằng cách sử dụng định lý Kronecker-Capelli.

Nhưng làm thế nào để tìm ra giải pháp của SLAE nếu tính tương thích của nó được thiết lập?

Để làm được điều này, chúng ta cần khái niệm về hạng cơ sở của ma trận và định lý về hạng của ma trận.

Con bậc cao nhất của ma trận A, khác 0, được gọi là nền tảng.

Theo định nghĩa của phần tử cơ sở thì thứ tự của nó bằng hạng của ma trận. Đối với một ma trận khác 0 A, có thể có một số phần tử cơ bản; luôn có một phần tử cơ bản.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận .

Tất cả các phần tử bậc ba của ma trận này đều bằng 0, vì các phần tử của hàng thứ ba của ma trận này là tổng các phần tử tương ứng của hàng thứ nhất và thứ hai.

Các trẻ vị thành niên sau của đơn hàng thứ hai là cơ bản, vì chúng không phải là

Trẻ vị thành niên không phải là cơ bản, vì chúng bằng không.

Định lý hạng ma trận.

Nếu hạng của ma trận bậc p theo n là r, thì tất cả các phần tử của hàng (và cột) của ma trận không tạo thành phần tử cơ sở đã chọn được biểu diễn tuyến tính theo các phần tử tương ứng của hàng (và cột ) tạo thành phần nhỏ cơ sở.

Định lý hạng ma trận cho chúng ta điều gì?

Nếu, theo định lý Kronecker-Capelli, chúng ta đã thiết lập được tính tương thích của hệ thống, thì chúng ta chọn bất kỳ ma trận nhỏ cơ bản nào của ma trận chính của hệ thống (bậc của nó bằng r) và loại trừ khỏi hệ thống tất cả các phương trình không tạo thành trẻ vị thành niên cơ bản đã chọn. SLAE thu được theo cách này sẽ tương đương với phương trình ban đầu, vì các phương trình bị loại bỏ vẫn còn dư thừa (theo định lý hạng ma trận, chúng là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại).

Kết quả là, sau khi loại bỏ các phương trình thừa của hệ thống, có thể xảy ra hai trường hợp.

Nếu số phương trình r trong hệ kết quả bằng số biến chưa biết thì nó sẽ là xác định và chỉ có nghiệm duy nhất có thể tìm được bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Thí dụ.

.

Dung dịch.

Thứ hạng của ma trận chính của hệ thống bằng hai, vì số nhỏ của bậc thứ hai khác 0. Xếp hạng ma trận mở rộng cũng bằng hai, vì số nhỏ duy nhất của bậc thứ ba bằng không

và số nhỏ của bậc thứ hai được xét ở trên khác 0. Dựa trên định lý Kronecker-Capelli, người ta có thể khẳng định tính tương thích của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, vì Hạng (A) = Hạng (T) = 2.

Với tư cách là trẻ vị thành niên, chúng tôi lấy . Nó được hình thành bởi các hệ số của phương trình thứ nhất và thứ hai:


Phương trình thứ ba của hệ không tham gia vào việc hình thành hạng tử cơ bản, vì vậy chúng ta loại nó khỏi hệ dựa trên định lý hạng ma trận:


Như vậy chúng ta đã thu được một hệ phương trình đại số tuyến tính sơ cấp. Hãy giải quyết nó bằng phương pháp của Cramer:


Câu trả lời:

x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d 2.

Nếu số phương trình r trong SLAE kết quả nhỏ hơn số biến chưa biết n, thì chúng ta để các số hạng tạo thành hàm nhỏ cơ bản trong phần bên trái của phương trình và chuyển các số hạng còn lại sang phần bên phải của phương trình của hệ ngược dấu.

Các biến chưa biết (có r trong số chúng) còn lại ở phía bên trái của phương trình được gọi là chính.

Các biến không xác định (có n - r trong số chúng) kết thúc ở phía bên phải được gọi là tự do.

Bây giờ chúng ta giả định rằng các biến chưa biết tự do có thể nhận các giá trị tùy ý, trong khi r các biến chưa biết chính sẽ được biểu diễn dưới dạng các biến chưa biết tự do theo một cách duy nhất. Biểu thức của chúng có thể được tìm thấy bằng cách giải SLAE kết quả bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Hãy lấy một ví dụ.

Thí dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính .

Dung dịch.

Tìm hạng của ma trận chính của hệ thống bằng phương pháp tiểu nhân giáp. Chúng ta hãy lấy một 1 1 = 1 là một số nhỏ bậc nhất khác 0. Hãy bắt đầu tìm kiếm một trẻ vị thành niên bậc hai khác không xung quanh trẻ vị thành niên này:


Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy một số nhỏ khác 0 của bậc thứ hai. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp khác 0 của bậc thứ ba:


Do đó, hạng của ma trận chính là ba. Thứ hạng của ma trận tăng cường cũng bằng ba, tức là hệ thống nhất quán.

Số nhỏ khác 0 được tìm thấy của bậc thứ ba sẽ được coi là bậc cơ bản.

Để rõ ràng hơn, chúng tôi hiển thị các yếu tố tạo nên yếu tố cơ bản:


Chúng ta để các số hạng tham gia vào hạng tử cơ bản ở bên trái của phương trình của hệ, và chuyển phần còn lại có dấu trái dấu sang bên phải:


Chúng tôi cung cấp cho các biến miễn phí chưa biết x 2 và x 5 giá trị tùy ý, nghĩa là chúng tôi lấy , đâu là những con số tùy ý. Trong trường hợp này, SLAE có dạng


Chúng tôi giải hệ phương trình đại số tuyến tính cơ bản thu được bằng phương pháp Cramer:


Do đó, .

Trong câu trả lời, đừng quên chỉ ra các biến miễn phí chưa biết.

Câu trả lời:

Đâu là những con số tùy ý.

Tổng kết.

Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát, trước tiên chúng ta tìm hiểu tính tương thích của nó bằng cách sử dụng định lý Kronecker-Capelli. Nếu hạng của ma trận chính không bằng hạng của ma trận mở rộng thì ta kết luận rằng hệ thống không nhất quán.

Nếu hạng của ma trận chính bằng hạng của ma trận mở rộng thì ta chọn hạng phụ cơ bản và loại bỏ các phương trình của hệ không tham gia vào việc hình thành hạng phụ cơ bản đã chọn.

Nếu bậc của biến nhỏ cơ sở bằng số biến chưa biết, thì SLAE có một nghiệm duy nhất, có thể được tìm thấy bằng bất kỳ phương pháp nào mà chúng tôi đã biết.

Nếu bậc của cơ sở nhỏ hơn số biến chưa biết thì ta để các số hạng có biến chính chưa biết ở bên trái phương trình của hệ, chuyển các số hạng còn lại sang vế phải và gán giá trị tùy ý. Cho các biến không xác định miễn phí. Từ hệ phương trình tuyến tính thu được, ta tìm được các biến chính chưa biết bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Sử dụng phương pháp Gauss, người ta có thể giải các hệ phương trình đại số tuyến tính thuộc bất kỳ loại nào mà không cần khảo sát sơ bộ về tính tương thích của chúng. Quá trình loại bỏ liên tiếp các biến không xác định giúp đưa ra kết luận về cả tính tương thích và không nhất quán của SLAE và nếu tồn tại một giải pháp, bạn có thể tìm ra giải pháp đó.

Từ quan điểm của công việc tính toán, phương pháp Gaussian được ưa chuộng hơn cả.

Xem mô tả chi tiết và các ví dụ được phân tích trong bài viết Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Ghi lại nghiệm tổng quát của hệ đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất bằng cách sử dụng vectơ của hệ nghiệm cơ bản.

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào các hệ phương trình đại số tuyến tính đồng nhất và không thuần nhất có vô số nghiệm.

Trước tiên, hãy giải quyết các hệ thống đồng nhất.

Hệ thống quyết định cơ bản Một hệ p phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với n biến chưa biết là tập hợp (n - r) nghiệm độc lập tuyến tính của hệ này, trong đó r là bậc của cơ sở nhỏ của ma trận chính của hệ.

Nếu chúng ta chỉ định các nghiệm độc lập tuyến tính của SLAE đồng nhất là X (1), X (2),…, X (n-r) (X (1), X (2),…, X (n-r) là ma trận cột có thứ nguyên n bằng 1), thì nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất này được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ nghiệm cơ bản với các hệ số hằng số tùy ý С 1, С 2,…, С (n-r), nghĩa là.

Thuật ngữ nghiệm tổng quát của một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (oroslau) có nghĩa là gì?

Ý nghĩa rất đơn giản: công thức chỉ định tất cả các giải pháp có thể có cho SLAE ban đầu, nói cách khác, lấy bất kỳ bộ giá trị nào của các hằng số tùy ý C 1, C 2, ..., C (n-r), theo công thức chúng ta sẽ nhận được một trong các giải pháp của SLAE đồng nhất ban đầu.

Do đó, nếu chúng ta tìm thấy một hệ thống giải pháp cơ bản, thì chúng ta có thể đặt tất cả các giải pháp của SLAE đồng nhất này là.

Hãy để chúng tôi trình bày quá trình xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản cho một SLAE đồng nhất.

Chúng ta chọn hạng tử cơ bản của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, loại trừ tất cả các phương trình khác khỏi hệ, và chuyển sang vế phải các phương trình của hệ có dấu trái dấu với tất cả các số hạng chứa biến tự do chưa biết. Hãy cung cấp cho các biến chưa biết miễn phí các giá trị 1,0,0,…, 0 và tính các ẩn số chính bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính cơ bản thu được theo bất kỳ cách nào, ví dụ, bằng phương pháp Cramer. Như vậy sẽ thu được X (1) - nghiệm đầu tiên của hệ cơ bản. Nếu chúng ta cho các ẩn số tự do các giá trị 0,1,0,0,…, 0 và tính các ẩn số chính, thì chúng ta nhận được X (2). Và như thế. Nếu chúng ta cung cấp cho các biến chưa biết miễn phí các giá trị 0,0,…, 0,1 và tính các ẩn số chính, thì chúng ta nhận được X (n-r). Đây là cách hệ thống cơ bản của các giải pháp của SLAE đồng nhất sẽ được xây dựng và giải pháp chung của nó có thể được viết dưới dạng.

Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất, nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng

Hãy xem các ví dụ.

Thí dụ.

Tìm nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất .

Dung dịch.

Hạng của ma trận chính của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn bằng hạng của ma trận mở rộng. Chúng ta hãy tìm hạng của ma trận chính bằng phương pháp lập diềm. Là một con khác không của bậc đầu tiên, chúng tôi lấy phần tử a 1 1 = 9 của ma trận chính của hệ thống. Tìm số phụ khác 0 giáp với thứ tự thứ hai:

Một phần nhỏ của bậc thứ hai, khác với số 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy đi qua các vị thành niên bậc ba giáp với nó để tìm kiếm một số khác không:

Tất cả các con giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng là hai. Chúng ta hãy lấy tiểu cơ bản. Để rõ ràng, chúng tôi lưu ý các yếu tố của hệ thống tạo thành nó:

Phương trình thứ ba của SLAE ban đầu không tham gia vào việc hình thành phương trình phụ cơ bản, do đó, nó có thể bị loại trừ:

Chúng ta để các số hạng chứa ẩn số chính ở vế phải của phương trình và chuyển các số hạng có ẩn số tự do sang vế phải:

Chúng ta hãy xây dựng một hệ thống nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ban đầu. Hệ thống giải pháp cơ bản của SLAE này bao gồm hai giải pháp, vì SLAE ban đầu chứa bốn biến chưa biết và thứ tự của biến nhỏ cơ bản của nó là hai. Để tìm X (1), chúng ta cho các biến chưa biết tự do là các giá trị x 2 \ u003d 1, x 4 \ u003d 0, sau đó ta tìm ẩn số chính từ hệ phương trình
.

Ngay cả ở trường, mỗi người chúng tôi đều học các phương trình và chắc chắn là các hệ phương trình. Nhưng không nhiều người biết rằng có một số cách để giải quyết chúng. Hôm nay chúng ta sẽ phân tích chi tiết tất cả các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính gồm nhiều hơn hai bằng nhau.

Câu chuyện

Ngày nay người ta biết rằng nghệ thuật giải phương trình và hệ thống của chúng có nguồn gốc từ Babylon và Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, các dấu bằng ở dạng thông thường của chúng đã xuất hiện sau khi xuất hiện dấu bằng "=", được giới thiệu vào năm 1556 bởi Record nhà toán học Anh. Nhân tiện, dấu hiệu này được chọn vì một lý do: nó có nghĩa là hai đoạn thẳng bằng nhau song song. Thật vậy, không có ví dụ nào tốt hơn về sự bình đẳng.

Người sáng lập ra các ký hiệu chữ cái hiện đại của ẩn số và dấu hiệu của độ là một nhà toán học người Pháp. Ví dụ, ông biểu thị hình vuông của một số chưa biết bằng chữ Q (lat. "Quadratus") và hình lập phương bằng chữ C (lat. "Cubus"). Những ký hiệu này bây giờ có vẻ khó hiểu, nhưng hồi đó nó là cách dễ hiểu nhất để viết các hệ phương trình đại số tuyến tính.

Tuy nhiên, một nhược điểm trong các phương pháp giải lúc đó là các nhà toán học chỉ coi các nghiệm nguyên dương. Có lẽ điều này là do thực tế là các giá trị âm không được sử dụng trong thực tế. Bằng cách này hay cách khác, chính các nhà toán học Ý Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano và Rafael Bombelli là những người đầu tiên xem xét các gốc âm vào thế kỷ 16. Và quan điểm hiện đại, phương pháp giải chính (thông qua phép phân biệt) chỉ được tạo ra vào thế kỷ 17 nhờ công của Descartes và Newton.

Vào giữa thế kỷ 18, nhà toán học người Thụy Sĩ Gabriel Cramer đã tìm ra một phương pháp mới để làm cho việc giải các hệ phương trình tuyến tính trở nên dễ dàng hơn. Phương pháp này sau đó được đặt theo tên của ông ấy và cho đến ngày nay chúng ta vẫn sử dụng nó. Nhưng chúng ta sẽ nói về phương pháp của Cramer sau một chút, còn bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về các phương trình tuyến tính và các phương pháp giải chúng riêng biệt với hệ thống.

Các phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính là phương trình cân bằng đơn giản nhất với (các) biến. Chúng được phân loại là đại số. viết dưới dạng tổng quát như sau: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... và n * x n \ u003d b. Chúng ta sẽ cần biểu diễn của chúng trong biểu mẫu này khi biên dịch thêm các hệ thống và ma trận.

Hệ phương trình đại số tuyến tính

Định nghĩa của thuật ngữ này như sau: nó là một tập hợp các phương trình có ẩn số chung và một nghiệm chung. Theo quy luật, ở trường, mọi thứ đều được giải bằng các hệ có hai hoặc thậm chí ba phương trình. Nhưng có những hệ thống có bốn thành phần trở lên. Đầu tiên chúng ta hãy tìm cách viết chúng ra để thuận tiện cho việc giải quyết chúng sau này. Đầu tiên, hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ đẹp hơn nếu tất cả các biến được viết dưới dạng x với chỉ số thích hợp: 1,2,3, v.v. Thứ hai, tất cả các phương trình cần được đưa về dạng chính tắc: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

Sau tất cả những hành động này, chúng ta có thể bắt đầu nói về cách tìm ra lời giải cho hệ phương trình tuyến tính. Ma trận rất hữu ích cho việc này.

ma trận

Ma trận là một bảng bao gồm các hàng và cột, và tại giao điểm của chúng là các phần tử của nó. Đây có thể là các giá trị hoặc biến cụ thể. Thông thường, để chỉ định các phần tử, các chỉ số con được đặt dưới chúng (ví dụ: 11 hoặc 23). Chỉ mục đầu tiên có nghĩa là số hàng và chỉ mục thứ hai là số cột. Trên ma trận, cũng như trên bất kỳ phần tử toán học nào khác, bạn có thể thực hiện các phép toán khác nhau. Do đó, bạn có thể:

2) Nhân ma trận với một số hoặc vectơ.

3) Transpose: biến các hàng của ma trận thành cột và cột thành hàng.

4) Nhân ma trận nếu số hàng của một trong số chúng bằng số cột của ma trận kia.

Chúng tôi sẽ thảo luận chi tiết hơn về tất cả các kỹ thuật này, vì chúng sẽ hữu ích cho chúng tôi trong tương lai. Việc trừ và cộng các ma trận rất dễ dàng. Vì chúng ta lấy các ma trận có cùng kích thước, mỗi phần tử của một bảng tương ứng với mỗi phần tử của bảng khác. Do đó, chúng ta cộng (trừ) hai phần tử này (điều quan trọng là chúng phải ở cùng một vị trí trong ma trận của chúng). Khi nhân ma trận với một số hoặc vectơ, bạn chỉ cần nhân từng phần tử của ma trận với số (hoặc vectơ) đó. Chuyển vị là một quá trình rất thú vị. Đôi khi, rất thú vị khi nhìn thấy nó trong cuộc sống thực, chẳng hạn như khi thay đổi hướng của máy tính bảng hoặc điện thoại. Các biểu tượng trên màn hình nền là một ma trận và khi bạn thay đổi vị trí, nó sẽ chuyển vị và trở nên rộng hơn, nhưng giảm chiều cao.

Hãy phân tích một quá trình như vậy Mặc dù nó sẽ không hữu ích cho chúng ta, nhưng nó vẫn sẽ hữu ích khi biết nó. Bạn chỉ có thể nhân hai ma trận nếu số cột trong một bảng bằng số hàng trong bảng kia. Bây giờ chúng ta hãy lấy các phần tử của một hàng của một ma trận và các phần tử của cột tương ứng của một ma trận khác. Chúng ta nhân chúng với nhau và sau đó cộng chúng (ví dụ, tích của các phần tử a 11 và a 12 với b 12 và b 22 sẽ bằng: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Do đó, một phần tử của bảng được lấy và nó được điền thêm bằng một phương pháp tương tự.

Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu xem xét hệ thống phương trình tuyến tính được giải như thế nào.

Phương pháp Gauss

Chủ đề này bắt đầu ở trường học. Chúng ta biết rõ khái niệm "hệ hai phương trình tuyến tính" và biết cách giải chúng. Nhưng nếu số phương trình nhiều hơn hai thì sao? Điều này sẽ giúp chúng tôi

Tất nhiên, phương pháp này thuận tiện để sử dụng nếu bạn tạo ma trận ngoài hệ thống. Nhưng bạn không thể biến đổi nó và giải quyết nó ở dạng thuần túy của nó.

Vậy, hệ phương trình Gaussian tuyến tính được giải bằng phương pháp này như thế nào? Nhân tiện, mặc dù phương pháp này được đặt theo tên của ông, nó đã được phát hiện ở thời cổ đại. Gauss đề xuất như sau: thực hiện các phép toán với phương trình để cuối cùng giảm toàn bộ tập hợp thành dạng bậc. Đó là, điều cần thiết là từ trên xuống dưới (nếu đặt đúng) từ phương trình đầu tiên đến cuối cùng, một ẩn số giảm đi. Nói cách khác, chúng ta cần đảm bảo rằng chúng ta có được, chẳng hạn như, ba phương trình: ở phương trình thứ nhất - ba ẩn số, phương trình thứ hai - hai, phương trình thứ ba - một. Sau đó, từ phương trình cuối cùng, chúng ta tìm ẩn số đầu tiên, thay giá trị của nó vào phương trình thứ hai hoặc thứ nhất, rồi tìm hai biến còn lại.

Phương pháp Cramer

Để thành thạo phương pháp này, điều quan trọng là phải thành thạo các kỹ năng cộng, trừ ma trận và bạn cũng cần phải có khả năng tìm các định thức. Vì vậy, nếu bạn làm tất cả những điều này kém hoặc không biết cách, bạn sẽ phải học và thực hành.

Bản chất của phương pháp này là gì, và làm thế nào để lập nó để thu được một hệ phương trình Cramer tuyến tính? Mọi thứ rất đơn giản. Chúng ta phải xây dựng một ma trận từ các hệ số (hầu như luôn luôn) của một hệ phương trình đại số tuyến tính. Để làm điều này, chúng tôi chỉ cần lấy các số đứng trước ẩn số và đặt chúng vào bảng theo thứ tự chúng được viết trong hệ thống. Nếu số đứng trước dấu "-" thì ta ghi hệ số âm. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn ma trận đầu tiên của các hệ số của ẩn số, không bao gồm các số sau dấu bằng (đương nhiên, phương trình nên được rút gọn về dạng chính tắc, khi chỉ có số ở bên phải và tất cả các ẩn số với hệ số ở bên trái). Sau đó, bạn cần tạo thêm một số ma trận - một ma trận cho mỗi biến. Để làm điều này, trong ma trận đầu tiên, lần lượt, chúng tôi thay thế mỗi cột có hệ số bằng một cột số sau dấu bằng. Do đó, chúng ta thu được một số ma trận và sau đó tìm các định thức của chúng.

Sau khi chúng tôi đã tìm ra các yếu tố quyết định, vấn đề là nhỏ. Chúng ta có một ma trận ban đầu và có một số ma trận kết quả tương ứng với các biến khác nhau. Để có các nghiệm của hệ thống, chúng ta chia định thức của bảng kết quả cho định thức của bảng ban đầu. Số kết quả là giá trị của một trong các biến. Tương tự, chúng ta tìm tất cả các ẩn số.

Các phương pháp khác

Có một số phương pháp khác để thu được một giải pháp cho các hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, cái gọi là phương pháp Gauss-Jordan, được sử dụng để tìm lời giải cho một hệ phương trình bậc hai và cũng được kết hợp với việc sử dụng ma trận. Ngoài ra còn có một phương pháp Jacobi để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính. Nó là dễ nhất để thích ứng với máy tính và được sử dụng trong công nghệ máy tính.

Ca khó

Sự phức tạp thường phát sinh khi số phương trình ít hơn số biến. Sau đó, chúng ta có thể nói chắc chắn rằng hoặc hệ thống là không nhất quán (nghĩa là nó không có gốc), hoặc số nghiệm của nó có xu hướng vô hạn. Nếu gặp trường hợp thứ hai, thì chúng ta cần viết ra nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. Nó sẽ chứa ít nhất một biến.

Sự kết luận

Đến đây chúng ta kết thúc. Hãy tóm tắt lại: chúng ta đã phân tích hệ thống và ma trận là gì, học cách tìm nghiệm tổng quát cho một hệ phương trình tuyến tính. Ngoài ra, các lựa chọn khác đã được xem xét. Chúng tôi đã tìm ra cách giải một hệ phương trình tuyến tính: phương pháp Gauss và Chúng tôi đã nói về các trường hợp khó và các cách khác để tìm lời giải.

Trên thực tế, chủ đề này rộng hơn nhiều, và nếu bạn muốn hiểu rõ hơn về nó, thì chúng tôi khuyên bạn nên đọc thêm tài liệu chuyên ngành.

Phương pháp Gauss có một số nhược điểm: không thể biết hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi thực hiện tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gauss; phương pháp Gaussian không thích hợp cho các hệ thống có hệ số chữ cái.

Xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm hạng của ma trận và rút gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống chung nào thành nghiệm của hệ áp dụng quy tắc Cramer.

ví dụ 1 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau sử dụng hệ thức cơ bản là nghiệm của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm riêng của hệ không thuần nhất.

1. Chúng tôi tạo một ma trận Một và ma trận tăng cường của hệ thống (1)

2. Khám phá hệ thống (1) để tương thích. Để làm điều này, chúng tôi tìm thứ hạng của ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Nếu hóa ra là như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , thì hệ thống này nhất quán và chúng tôi sẽ giải quyết nó. (Nghiên cứu tính nhất quán dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

một. Chúng ta tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng tôi sẽ xem xét liên tiếp các phần tử nhỏ hơn 0 của các đơn hàng thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận Một và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1= 1 ≠ 0 (1 được lấy từ góc trên bên trái của ma trận NHƯNG).

Giáp ranh M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Bây giờ chúng ta viền phần nhỏ khác 0 М2 ′đơn hàng thứ hai.

Chúng ta có: (vì hai cột đầu tiên giống nhau)

(vì dòng thứ hai và dòng thứ ba tỉ lệ thuận).

Chúng ta thấy rằng rA = 2, và là phần nhỏ cơ bản của ma trận Một.

b. Chúng ta tìm thấy .

Đủ cơ bản cho trẻ vị thành niên М2 ′ ma trận Một biên giới với một cột gồm các thành viên tự do và tất cả các dòng (chúng tôi chỉ có dòng cuối cùng).

. Nó tiếp theo từ điều này mà М3 ′ ′ vẫn là phần nhỏ cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

Tại vì М2 ′- cơ sở nhỏ của ma trận Một hệ thống (2) , thì hệ thống này tương đương với hệ thống (3) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (2) (vì М2 ′ nằm trong hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì trẻ vị thành niên cơ bản là https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

Trong hệ thống này, hai ẩn số miễn phí ( x2 và x4 ). Đó là lý do tại sao FSR hệ thống (4) bao gồm hai giải pháp. Để tìm chúng, chúng tôi chỉ định các ẩn số miễn phí cho (4) giá trị đầu tiên x2 = 1 , x4 = 0 , và sau đó - x2 = 0 , x4 = 1 .

Tại x2 = 1 , x4 = 0 chúng tôi nhận được:

.

Hệ thống này đã có điều duy nhất giải pháp (nó có thể được tìm thấy bằng quy tắc Cramer hoặc bằng bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

Quyết định của cô ấy sẽ là x1 = -1 , x3 = 0 . Đưa ra các giá trị x2 và x4 , mà chúng tôi đã đưa ra, chúng tôi có được giải pháp cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi đưa vào (4) x2 = 0 , x4 = 1 . Chúng tôi nhận được:

.

Chúng tôi giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng định lý Cramer:

.

Chúng tôi có được giải pháp cơ bản thứ hai của hệ thống (2) : .

Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Sau đó, giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1, 1, 0, 0) + С2 (5, 0, 4, 1) = (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2)

Nơi đây C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

4. Tìm một riêng dung dịch hệ thống không đồng nhất(1) . Như trong đoạn văn 3 , thay vì hệ thống (1) xem xét hệ thống tương đương (5) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (1) .

(5)

Chúng tôi chuyển các ẩn số miễn phí sang phía bên phải x2 và x4.

(6)

Hãy đưa ra những ẩn số miễn phí x2 và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2 = 2 , x4 = 1 và cắm chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ thống này có một giải pháp duy nhất (bởi vì yếu tố quyết định của nó М2′0). Giải nó (sử dụng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), chúng ta thu được x1 = 3 , x3 = 3 . Đưa ra các giá trị của ẩn số miễn phí x2 và x4 , chúng tôi nhận được giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất(1)α1 = (3,2,3,1).

5. Bây giờ nó vẫn còn để viết nghiệm tổng quát α của một hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng quyết định riêng hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất giảm của nó (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2).

Điều này có nghĩa là: (7)

6. Kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải quyết đúng hệ thống chưa (1) , chúng tôi cần một giải pháp chung (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành một định danh ( C1 và C2 nên bị phá hủy), sau đó giải pháp được tìm thấy chính xác.

Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ trong phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ta được: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Trong đó -1 = -1. Chúng tôi có một danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Bình luận. Việc xác minh thường khá rườm rà. Chúng tôi có thể đề xuất "xác minh từng phần" sau: trong giải pháp tổng thể của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm cụ thể thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì rất có thể, giải pháp của hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo đầy đủ về tính đúng đắn!). Ví dụ, nếu trong (7) đặt C2 =- 1 , C1 = 1, khi đó ta được: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1 = –1. Chúng tôi có một danh tính.

Ví dụ 2 Tìm một nghiệm tổng quát cho một hệ phương trình tuyến tính (1) , thể hiện những ẩn số chính dưới dạng những ẩn số tự do.

Dung dịch. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> trong số các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại những phương trình của hệ thống (1) , các hệ số được bao gồm trong hệ số nhỏ cơ bản này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét hệ bao gồm chúng, tương đương với hệ (1).

Hãy để chúng tôi chuyển ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi các phần bên phải là thành viên tự do.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">

Lựa chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Lựa chọn 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Tùy chọn 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

Một hệ phương trình tuyến tính trong đó tất cả các số hạng tự do đều bằng 0 được gọi là đồng nhất :

Bất kỳ hệ thống đồng nhất nào cũng luôn nhất quán, vì nó luôn có số không (không đáng kể ) dung dịch. Câu hỏi đặt ra trong những điều kiện nào thì một hệ thống đồng nhất sẽ có một giải pháp không tầm thường.

Định lý 5.2.Một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi hạng của ma trận cơ sở nhỏ hơn số ẩn số của nó.

Hậu quả. Một hệ thuần nhất vuông có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi định thức của ma trận chính của hệ không bằng không.

Ví dụ 5.6. Xác định các giá trị của tham số l mà hệ thống có các nghiệm không đáng kể và tìm các nghiệm sau:

Dung dịch. Hệ thống này sẽ có một nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận chính bằng 0:

Do đó, hệ thống là không tầm thường khi l = 3 hoặc l = 2. Với l = 3, hạng của ma trận chính của hệ là 1. Sau đó, chỉ để lại một phương trình và giả sử rằng y=một và z=b, chúng tôi nhận được x = b-a, I E.

Với l = 2, hạng của ma trận chính của hệ là 2. Sau đó, chọn làm ma trận phụ cơ bản:

chúng tôi nhận được một hệ thống đơn giản hóa

Từ đây chúng tôi thấy rằng x = z/4, y = z/ 2. Giả định z=4một, chúng tôi nhận được

Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất có một thuộc tính tuyến tính : nếu X cột 1 và X 2 - nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0, sau đó bất kỳ kết hợp tuyến tính nào của chúng một X 1 + b X 2 cũng sẽ là giải pháp của hệ thống này. Thật vậy, bởi vì CÂY RÌU 1 = 0 và CÂY RÌU 2 = 0 , sau đó Một(một X 1 + b X 2) = a CÂY RÌU 1 + b CÂY RÌU 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Do tính chất này, nếu một hệ tuyến tính có nhiều hơn một nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm này.

Các cột độc lập tuyến tính E 1 , E 2 , E k, là các nghiệm của một hệ thống đồng nhất, được gọi là hệ thống quyết định cơ bản Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu nghiệm tổng quát của hệ này có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột sau:

Nếu một hệ thống đồng nhất có N biến và thứ hạng của ma trận chính của hệ thống bằng r, sau đó k = n-r.

Ví dụ 5.7. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính sau:

Dung dịch. Tìm hạng của ma trận chính của hệ thống:

Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình này tạo thành một không gian con tuyến tính có chiều n - r= 5 - 2 = 3. Chúng tôi chọn là nhóm phụ cơ bản

.

Sau đó, chỉ để lại các phương trình cơ bản (phần còn lại sẽ là sự kết hợp tuyến tính của các phương trình này) và các biến cơ bản (phần còn lại, được gọi là các biến tự do, chúng ta chuyển sang bên phải), chúng ta nhận được một hệ phương trình đơn giản:

Giả định x 3 = một, x 4 = b, x 5 = c, chúng ta tìm thấy

, .

Giả định một= 1, b = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản đầu tiên; giả định b= 1, a = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai; giả định c= 1, a = b= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ ba. Kết quả là, hệ thống giải pháp cơ bản thông thường có dạng

Sử dụng hệ thức cơ bản, nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có thể được viết dưới dạng

X = aE 1 + thì là ở 2 + cE 3. một

Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất AX = B và mối quan hệ của chúng với hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0.

Giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhấtbằng tổng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng AX = 0 và nghiệm riêng tùy ý của hệ không thuần nhất. Thật vậy, hãy Y 0 là một nghiệm cụ thể tùy ý của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY 0 = B, và Y là giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY = B. Trừ đi một bằng nhau, chúng ta nhận được
Một(Y-Y 0) = 0, tức là Y-Y 0 là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng CÂY RÌU= 0. Do đó, Y-Y 0 = X, hoặc Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Cho một hệ không thuần nhất có dạng AX = B 1 + B 2 . Khi đó nghiệm tổng quát của một hệ như vậy có thể được viết là X = X 1 + X 2 , nơi AX 1 = B 1 và AX 2 = B 2. Tính chất này thể hiện tính chất phổ quát của bất kỳ hệ thống tuyến tính nào nói chung (đại số, vi phân, hàm, v.v.). Trong vật lý, thuộc tính này được gọi là Nguyên lý chồng chất, trong kỹ thuật điện và vô tuyến - nguyên tắc lớp phủ. Ví dụ, trong lý thuyết về mạch điện tuyến tính, dòng điện trong bất kỳ mạch nào có thể nhận được dưới dạng tổng đại số của các dòng điện gây ra bởi mỗi nguồn năng lượng riêng biệt.

Chúng tôi sẽ tiếp tục đánh bóng kỹ thuật biến đổi cơ bản trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Theo những đoạn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và bình thường, nhưng ấn tượng này là lừa dối. Ngoài ra để phát triển thêm các kỹ thuật, sẽ có rất nhiều thông tin mới, vì vậy xin vui lòng cố gắng không bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là gì?

Câu trả lời tự nó gợi ý. Một hệ phương trình tuyến tính là thuần nhất nếu số hạng tự do tất cả mọi người hệ phương trình bằng không. Ví dụ:

Rõ ràng là hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, nghĩa là, nó luôn có một giải pháp. Và, trước hết, cái gọi là không đáng kể dung dịch . Trivial, đối với những người không hiểu ý nghĩa của tính từ, có nghĩa là bespontovoe. Tất nhiên không phải về mặt học thuật, nhưng dễ hiểu =) ... Tại sao lại đánh vòng quanh bụi rậm, hãy cùng tìm hiểu xem hệ thống này có giải pháp nào khác không nhé:

ví dụ 1

Dung dịch: để giải quyết một hệ thống thuần nhất, cần phải viết ma trận hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản đưa nó về dạng bậc. Lưu ý rằng không cần phải viết ra thanh dọc và cột 0 của thành viên miễn phí ở đây - sau cùng, bất cứ điều gì bạn làm với số không, chúng sẽ vẫn là 0:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -3.

(2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1.

Chia hàng thứ ba cho 3 không có nhiều ý nghĩa.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ thuần nhất tương đương thu được , và, áp dụng phương pháp đảo ngược của phương pháp Gauss, có thể dễ dàng xác minh rằng lời giải là duy nhất.

Câu trả lời:

Hãy để chúng tôi xây dựng một tiêu chí rõ ràng: một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có giải pháp duy nhất tầm thường, nếu thứ hạng ma trận hệ thống(trong trường hợp này là 3) bằng số biến (trong trường hợp này là 3 chiếc.).

Chúng tôi hâm nóng và điều chỉnh đài của mình theo làn sóng biến đổi cơ bản:

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Để cuối cùng sửa chữa thuật toán, hãy phân tích tác vụ cuối cùng:

Ví dụ 7

Giải một hệ thuần nhất, viết đáp án dưới dạng vectơ.

Dung dịch: chúng tôi viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi đưa nó về dạng bậc:

(1) Dấu hiệu của dòng đầu tiên đã được thay đổi. Một lần nữa, tôi thu hút sự chú ý đến kỹ thuật được gặp nhiều lần, cho phép bạn đơn giản hóa đáng kể hành động sau đây.

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và 3. Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ 4.

(3) Ba dòng cuối cùng tỉ lệ với nhau, hai dòng trong số đó đã bị loại bỏ.

Kết quả là, một ma trận bước tiêu chuẩn thu được và giải pháp tiếp tục theo đường khía:

- các biến cơ bản;
là các biến tự do.

Chúng tôi thể hiện các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do. Từ phương trình thứ 2:

- thay thế trong phương trình thứ nhất:

Vì vậy, giải pháp chung là:

Vì có ba biến tự do trong ví dụ đang xét nên hệ cơ bản chứa ba vectơ.

Hãy thay thế một bộ ba giá trị vào nghiệm tổng quát và thu được một vectơ có tọa độ thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thuần nhất. Và một lần nữa, tôi nhắc lại rằng rất mong muốn kiểm tra từng vectơ đã nhận - nó sẽ không mất quá nhiều thời gian, nhưng nó sẽ tiết kiệm một trăm phần trăm khỏi lỗi.

Đối với một bộ ba giá trị tìm vectơ

Và cuối cùng cho bộ ba chúng ta nhận được vectơ thứ ba:

Câu trả lời: , ở đâu

Những người muốn tránh các giá trị phân số có thể xem xét các bộ ba và nhận câu trả lời ở dạng tương đương:

Phát biểu về phân số. Hãy xem ma trận thu được trong bài toán và đặt câu hỏi - liệu có thể đơn giản hóa giải pháp hơn nữa không? Rốt cuộc, ở đây đầu tiên chúng ta biểu thị biến cơ bản dưới dạng phân số, sau đó là biến cơ bản dưới dạng phân số, và tôi phải nói rằng, quá trình này không phải là dễ nhất và cũng không phải là dễ chịu nhất.

Giải pháp thứ hai:

Ý tưởng là thử chọn các biến cơ bản khác. Hãy nhìn vào ma trận và nhận thấy hai ma trận trong cột thứ ba. Vì vậy, tại sao không nhận được số 0 ở đầu? Hãy thực hiện thêm một phép biến đổi cơ bản: