Góc giữa các vectơ song song. Cách tính góc giữa các vectơ

Khi học hình học, nhiều câu hỏi đặt ra về chủ đề vectơ. Học sinh gặp khó khăn đặc biệt khi cần tìm góc giữa các vectơ.

Các điều khoản cơ bản

Trước khi xem xét các góc giữa các vectơ, cần phải làm quen với định nghĩa của một vectơ và khái niệm về góc giữa các vectơ.

Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là đoạn mà đầu và cuối của nó được xác định.

Góc giữa hai vectơ trên một mặt phẳng có chung gốc là góc nhỏ hơn trong các góc mà theo đó, yêu cầu di chuyển một trong các vectơ xung quanh một điểm chung, đến một vị trí mà hướng của chúng trùng nhau.

Công thức giải pháp

Khi bạn hiểu vectơ là gì và cách xác định góc của nó, bạn có thể tính góc giữa các vectơ. Công thức giải cho điều này khá đơn giản và kết quả của việc áp dụng nó sẽ là giá trị của cosin của góc. Theo định nghĩa, nó bằng thương của tích vô hướng của vectơ và tích độ dài của chúng.

Tích vô hướng của vectơ được coi là tổng các tọa độ tương ứng của các vectơ nhân với nhau. Chiều dài của một vectơ, hoặc môđun của nó, được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các tọa độ của nó.

Sau khi nhận được giá trị là cosin của góc, bạn có thể tính giá trị của chính góc đó bằng máy tính hoặc sử dụng bảng lượng giác.

Thí dụ

Sau khi bạn tìm ra cách tính góc giữa các vectơ, lời giải cho bài toán tương ứng trở nên đơn giản và dễ hiểu. Ví dụ, hãy xem xét bài toán đơn giản về tìm độ lớn của một góc.

Trước hết, sẽ thuận tiện hơn khi tính giá trị độ dài của các vectơ và tích vô hướng của chúng cần thiết để giải. Sử dụng mô tả ở trên, chúng tôi nhận được:

Thay các giá trị thu được vào công thức, ta tính được giá trị của cosin của góc mong muốn:

Con số này không phải là một trong năm giá trị cosine thông thường, vì vậy, để nhận được giá trị của góc, bạn sẽ phải sử dụng máy tính hoặc bảng lượng giác Bradis. Nhưng trước khi nhận được góc giữa các vectơ, công thức có thể được đơn giản hóa để loại bỏ dấu âm phụ:

Câu trả lời cuối cùng có thể được để ở dạng này để duy trì độ chính xác hoặc bạn có thể tính giá trị của góc theo độ. Theo bảng Bradis, giá trị của nó sẽ là khoảng 116 độ và 70 phút, và máy tính sẽ hiển thị giá trị là 116,57 độ.

Tính toán góc trong không gian n chiều

Khi xem xét hai vectơ trong không gian ba chiều, sẽ khó hơn nhiều để hiểu chúng ta đang nói về góc nào nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Để đơn giản hóa nhận thức, bạn có thể vẽ hai đoạn giao nhau tạo thành góc nhỏ nhất giữa chúng và nó sẽ là đoạn mong muốn. Mặc dù sự hiện diện của một tọa độ thứ ba trong vectơ, quá trình tính toán các góc giữa các vectơ sẽ không thay đổi. Tính tích vô hướng và môđun của vectơ, arccosine của thương của chúng và sẽ là câu trả lời cho bài toán này.

Trong hình học, các bài toán thường xảy ra với không gian có nhiều hơn ba chiều. Nhưng đối với họ, thuật toán tìm câu trả lời có vẻ tương tự.

Sự khác biệt giữa 0 và 180 độ

Một trong những sai lầm phổ biến khi viết câu trả lời cho một bài toán được thiết kế để tính góc giữa các vectơ là quyết định viết rằng các vectơ là song song, tức là góc mong muốn quay ra bằng 0 hoặc 180 độ. Câu trả lời này không chính xác.

Khi nhận được giá trị góc là 0 độ do kết quả của lời giải, câu trả lời đúng sẽ là chỉ định các vectơ là đồng hướng, nghĩa là các vectơ sẽ có cùng hướng. Trong trường hợp lấy 180 độ, các vectơ sẽ có tính chất ngược hướng.

Vectơ cụ thể

Bằng cách tìm các góc giữa các vectơ, có thể tìm thấy một trong các kiểu đặc biệt, ngoài các kiểu đồng hướng và đối lập được mô tả ở trên.

Một số vectơ song song với một mặt phẳng được gọi là đồng phẳng.
Các vectơ có cùng độ dài và hướng được gọi là bằng nhau.
Các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng, không phân biệt hướng gọi là thẳng hàng.
Nếu độ dài của vectơ bằng 0, nghĩa là điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau, thì nó được gọi là không, và nếu nó là một, thì nó được gọi là một.

Góc giữa hai vectơ,:

Nếu góc giữa hai vectơ là góc nhọn thì tích chấm của chúng là dương; nếu góc giữa các vectơ là góc tù thì tích vô hướng của các vectơ này là âm. Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ này trực giao với nhau.

Tập thể dục. Tìm góc giữa các vectơ và

Dung dịch. Cosine của góc mong muốn

16. Tính góc giữa đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt đường thẳng này và không vuông góc với nó là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này.

Việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cho phép ta kết luận rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau: đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Do đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn.

Góc giữa một đường thẳng vuông góc và một mặt phẳng được coi là bằng nhau, và góc giữa một đường thẳng song song và một mặt phẳng là hoàn toàn không xác định, hoặc được coi là bằng.

§ 69. Tính góc giữa các đường thẳng.

Bài toán tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian được giải tương tự như trong mặt phẳng (§ 32). Biểu thị bằng φ góc giữa các đường l 1 và l 2, và qua ψ - góc giữa các vectơ chỉ hướng một và b các đường thẳng này.

Sau đó nếu

ψ 90 ° (Hình. 206.6), thì φ = 180 ° - ψ. Rõ ràng là trong cả hai trường hợp, đẳng thức cos φ = | cos ψ | là đúng. Theo công thức (1) § 20 ta có

Do đó,

Hãy để các đường được cho bởi các phương trình chính tắc của chúng

Sau đó, góc φ giữa các đường được xác định bằng công thức

Nếu một trong các đường thẳng (hoặc cả hai) được cho bởi phương trình phi chính tắc, thì để tính góc, bạn cần tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này, sau đó sử dụng công thức (1).

17. Đường thẳng song song, Định lý về đường thẳng song song

Sự định nghĩa. Hai đường thẳng trong một mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Hai dòng trong ba chiều được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Góc giữa hai vectơ.

Từ định nghĩa của sản phẩm chấm:

Điều kiện trực giao của hai vectơ:

Điều kiện cộng tuyến của hai vectơ:

Tiếp theo từ định nghĩa 5 -. Thật vậy, từ định nghĩa tích của một vectơ với một số, nó như sau. Do đó, dựa trên quy tắc bình đẳng vectơ, chúng tôi viết,,, ngụ ý . Nhưng vectơ kết quả từ phép nhân một vectơ với một số sẽ thẳng hàng với vectơ.

Phép chiếu vectơ sang vectơ:

Ví dụ 4. Cho điểm,,,.

Tìm tích vô hướng.

Dung dịch. chúng ta tìm thấy bằng công thức của tích vô hướng của các vectơ được cho bởi tọa độ của chúng. Vì

, ,

Ví dụ 5 Cho điểm,,,.

Tìm hình chiếu.

Dung dịch. Vì

, ,

Dựa vào công thức chiếu, ta có

Ví dụ 6 Cho điểm,,,.

Tìm góc giữa các vectơ và.

Dung dịch. Lưu ý rằng các vectơ

, ,

không thẳng hàng, vì tọa độ của chúng không tỷ lệ với nhau:

Các vectơ này cũng không vuông góc, vì tích số chấm của chúng là.

Hãy tìm,

Góc tìm từ công thức:

Ví dụ 7 Xác định vectơ nào và thẳng hàng.

Dung dịch. Trong trường hợp thẳng hàng, tọa độ tương ứng của các vectơ và phải tương xứng, nghĩa là:

Từ đây và.

Ví dụ 8. Xác định giá trị của vectơ và đều vuông góc.

Dung dịch. Véc tơ và vuông góc nếu tích chấm của chúng bằng không. Từ điều kiện này, chúng tôi nhận được:. Đó là, .

Ví dụ 9. Tìm thấy , nếu , , .

Dung dịch. Do các thuộc tính của tích vô hướng, chúng ta có:

Ví dụ 10. Tìm góc giữa các vectơ và, trong đó và - vectơ đơn vị và góc giữa các vectơ và bằng 120o.

Dung dịch. Chúng ta có: , ,

Cuối cùng chúng tôi có: .

5 b. sản phẩm vector.

Định nghĩa 21.nghệ thuật vector vectơ thành vectơ được gọi là vectơ, hoặc, được xác định bởi ba điều kiện sau:

1) Môđun của vectơ là, ở đâu là góc giữa các vectơ và, tức là .

Theo đó, môđun của một tích chéo về mặt số bằng diện tích của một hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và như trên các cạnh.

2) Vectơ vuông góc với mỗi vectơ và (;), tức là vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành dựng trên các vectơ và.

3) Vectơ được định hướng theo cách mà nếu nhìn từ đầu của nó, thì chuyển động ngắn nhất từ vectơ sang vectơ sẽ ngược chiều kim đồng hồ (vectơ, tạo thành một bộ ba bên phải).

Cách tính góc giữa các vectơ?

Khi học hình học, nhiều câu hỏi đặt ra về chủ đề vectơ. Học sinh gặp khó khăn đặc biệt khi cần tìm góc giữa các vectơ.

Các điều khoản cơ bản

Trước khi xem xét các góc giữa các vectơ, cần phải làm quen với định nghĩa của một vectơ và khái niệm về góc giữa các vectơ.

Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là đoạn mà đầu và cuối của nó được xác định.

Công thức giải pháp

Sau khi nhận được giá trị là cosin của góc, bạn có thể tính giá trị của chính góc đó bằng máy tính hoặc sử dụng bảng lượng giác.

Thí dụ

Thay các giá trị thu được vào công thức, ta tính được giá trị của cosin của góc mong muốn:

Tính toán góc trong không gian n chiều

Trong hình học, các bài toán thường xảy ra với không gian có nhiều hơn ba chiều. Nhưng đối với họ, thuật toán tìm câu trả lời có vẻ tương tự.

Sự khác biệt giữa 0 và 180 độ

Vectơ cụ thể

Bằng cách tìm các góc giữa các vectơ, có thể tìm thấy một trong các kiểu đặc biệt, ngoài các kiểu đồng hướng và đối lập được mô tả ở trên.

Một số vectơ song song với một mặt phẳng được gọi là đồng phẳng.
Các vectơ có cùng độ dài và hướng được gọi là bằng nhau.
Các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng, không phân biệt hướng gọi là thẳng hàng.
Nếu độ dài của vectơ bằng 0, nghĩa là điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau, thì nó được gọi là không, và nếu nó là một, thì nó được gọi là một.

Làm thế nào để tìm góc giữa các vectơ?

làm ơn giúp tôi với! Tôi biết công thức nhưng tôi không thể tìm ra nó
vectơ a (8; 10; 4) vectơ b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Góc giữa các vectơ được cho bởi tọa độ của chúng được tìm thấy theo thuật toán tiêu chuẩn. Đầu tiên bạn cần tìm tích vô hướng của vectơ a và b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Chúng tôi thay thế ở đây tọa độ của các vectơ này và xem xét:
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (- 20) = 4 * (- 10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Tiếp theo, chúng tôi xác định độ dài của mỗi vectơ. Độ dài hoặc môđun của một vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương các tọa độ của nó:
| a | = root of (x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) = root of (8 ^ 2 + 10 ^ 2 + 4 ^ 2) = root of (64 + 100 + 16) = root of 180 = 6 root of 5
| b | = căn bậc hai của (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2) = căn bậc hai của (5 ^ 2 + (-20) ^ 2 + (-10) ^ 2) = căn bậc hai của (25 + 400 + 100 ) = căn bậc hai trong số 525 = 5 căn trong số 21.
Chúng tôi nhân các độ dài này. Chúng tôi nhận được 30 gốc trong số 105.
Và cuối cùng, chúng ta chia tích vô hướng của các vectơ cho tích độ dài của các vectơ này. Chúng tôi nhận được -200 / (30 gốc trong số 105) hoặc
- (4 căn của 105) / 63. Đây là côsin của góc giữa các vectơ. Và góc của chính nó bằng cosin cung của số này
f \ u003d arccos (-4 gốc của 105) / 63.
Nếu tôi đếm đúng.

Cách tính sin của một góc giữa các vectơ từ tọa độ của các vectơ

Mikhail Tkachev

Chúng tôi nhân các vectơ này. Tích số chấm của chúng bằng tích độ dài của các vectơ này và côsin của góc giữa chúng.
Chúng tôi chưa biết góc, nhưng đã biết tọa độ.
Hãy viết nó theo toán học như thế này.
Cho, các vectơ đã cho a (x1; y1) và b (x2; y2)
sau đó

A * b = | a | * | b | * cosA

CosA = a * b / | a | * | b |

Chúng tôi tranh cãi.
a * Tích vô hướng b của vectơ bằng tổng các tích của các tọa độ tương ứng của tọa độ của các vectơ này, tức là bằng x1 * x2 + y1 * y2

| a | * | b |-tích của độ dài vectơ bằng √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2).

Vậy côsin của góc giữa các vectơ là:

CosA = (x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2)

Biết cosin của một góc, chúng ta có thể tính được sin của nó. Hãy thảo luận về cách làm điều đó:

Nếu cosin của một góc là dương thì góc này nằm trong 1 hoặc 4 phần tư, do đó sin của nó là dương hoặc âm. Nhưng vì góc giữa các vectơ nhỏ hơn hoặc bằng 180 độ, thì sin của nó là dương. Chúng ta lập luận tương tự nếu cosin là âm.

SinA = √ (1-cos ^ 2A) = √ (1 - ((x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + ( y2) ^ 2)) ^ 2)

Vậy đó)))) chúc may mắn tìm ra nó)))

Dmitry Levishchev

Thực tế là không thể trực tiếp sin là không đúng.
Ngoài công thức:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
Ngoài ra còn có cái này:
|| = | a | * | b | * sin A
Nghĩa là, thay vì tích vô hướng, bạn có thể lấy mô-đun của tích vectơ.

Tích chấm của vectơ

Chúng tôi tiếp tục đối phó với vectơ. Ở buổi học đầu tiên Vectơ cho hình nộm chúng ta đã xem xét khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ và các bài toán đơn giản nhất với vectơ. Nếu bạn đến trang này lần đầu tiên từ một công cụ tìm kiếm, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc bài giới thiệu ở trên, bởi vì để tiếp thu tài liệu, bạn cần được hướng dẫn về các thuật ngữ và ký hiệu mà tôi sử dụng, có kiến thức cơ bản về vectơ. và có thể giải quyết các vấn đề cơ bản. Bài học này là sự tiếp nối logic của chủ đề, trong đó tôi sẽ phân tích chi tiết các công việc điển hình có sử dụng tích vô hướng của vectơ. Đây là một công việc RẤT QUAN TRỌNG.. Hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ, chúng đi kèm với một phần thưởng hữu ích - phần thực hành sẽ giúp bạn củng cố tài liệu đã đề cập và "trở tay" trong việc giải các bài toán thường gặp của hình học giải tích.

Thêm vectơ, nhân một vectơ với một số…. Sẽ là ngây thơ nếu nghĩ rằng các nhà toán học không nghĩ ra một cái gì đó khác. Ngoài các hành động đã được xem xét, có một số hoạt động khác với vectơ, cụ thể là: sản phẩm chấm của các vectơ, tích chéo của các vectơ và sản phẩm hỗn hợp của các vectơ. Tích vô hướng của vectơ đã quen thuộc với chúng ta từ thời đi học, hai tích kia theo truyền thống liên quan đến khóa học toán cao hơn. Các chủ đề đơn giản, thuật toán giải nhiều bài toán rập khuôn và dễ hiểu. Điều duy nhất. Có một lượng thông tin kha khá, vì vậy bạn không nên cố gắng nắm vững và giải quyết MỌI THỨ VÀ MỘT LẦN. Điều này đặc biệt đúng đối với hình nộm, tin tôi đi, tác giả hoàn toàn không muốn cảm thấy giống như Chikatilo từ toán học. À, tất nhiên cũng không phải từ toán học rồi =) Học sinh chuẩn bị kỹ hơn có thể sử dụng tài liệu một cách chọn lọc, theo một khía cạnh nào đó, để “tiếp thu” những kiến thức còn thiếu, đối với bạn thì mình sẽ là Bá tước Dracula vô hại =)

Cuối cùng, hãy mở cửa một chút và xem điều gì sẽ xảy ra khi hai vectơ gặp nhau….

Định nghĩa tích vô hướng của vectơ.
Các thuộc tính của tích vô hướng. Nhiệm vụ điển hình

Khái niệm về sản phẩm chấm

Đầu tiên về góc giữa các vectơ. Tôi nghĩ rằng mọi người đều hiểu trực quan góc giữa các vectơ là gì, nhưng chỉ trong trường hợp, nhiều hơn một chút. Xem xét các vectơ khác không tự do và. Nếu chúng ta trì hoãn các vectơ này từ một điểm tùy ý, thì chúng ta sẽ có một bức tranh mà nhiều người đã trình bày trong đầu:

Thú thực, ở đây tôi chỉ mô tả sự việc ở mức độ hiểu biết. Nếu bạn cần một định nghĩa chặt chẽ về góc giữa các vectơ, hãy tham khảo sách giáo khoa, nhưng đối với những công việc thực tế, về nguyên tắc, chúng tôi không cần. Ngoài ra Ở ĐÂY VÀ THÊM, đôi khi tôi sẽ bỏ qua các vectơ 0 do ý nghĩa thực tế thấp của chúng. Tôi đã đặt chỗ đặc biệt cho những khách truy cập nâng cao vào trang web, những người có thể khiển trách tôi về sự không đầy đủ về mặt lý thuyết của một số tuyên bố sau đây.

có thể bao gồm các giá trị từ 0 đến 180 độ (từ 0 đến radian). Về mặt phân tích, sự kiện này được viết dưới dạng bất đẳng thức kép:

hoặc

(tính bằng radian).

Trong tài liệu, biểu tượng góc thường bị lược bỏ và viết đơn giản.

Sự định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là một SỐ bằng tích độ dài của các vectơ này và côsin của góc giữa chúng:

Bây giờ đó là một định nghĩa khá nghiêm ngặt.

Chúng tôi tập trung vào thông tin cần thiết:

Chỉ định: tích vô hướng được biểu thị bằng hoặc đơn giản.

Kết quả của hoạt động là một NUMBER: Nhân một vectơ với một vectơ để được một số. Thật vậy, nếu độ dài của vectơ là số, cosin của góc là một số, thì tích của chúng cũng sẽ là một con số.

Chỉ là một vài ví dụ khởi động:

ví dụ 1

Dung dịch: Chúng tôi sử dụng công thức . Trong trường hợp này:

Câu trả lời:

Giá trị cosine có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Tôi khuyên bạn nên in nó - nó sẽ được yêu cầu ở hầu hết các phần của tháp và sẽ được yêu cầu nhiều lần.

Hoàn toàn theo quan điểm toán học, tích vô hướng là không có thứ nguyên, nghĩa là, kết quả, trong trường hợp này, chỉ là một con số và thế là xong. Theo quan điểm của các bài toán vật lý, tích vô hướng luôn có một ý nghĩa vật lý nhất định, nghĩa là sau kết quả phải chỉ ra một đơn vị vật lý nào đó. Ví dụ chính tắc về tính công của một lực có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa nào (công thức chính xác là một tích số chấm). Công của một lực được đo bằng Joules, do đó, câu trả lời sẽ được viết khá cụ thể, ví dụ,.

Ví dụ 2

Tìm nếu , và góc giữa các vectơ là.

Đây là một ví dụ cho việc tự quyết định, câu trả lời nằm ở cuối bài.

Góc giữa vectơ và giá trị sản phẩm chấm

Trong Ví dụ 1, tích vô hướng hóa ra là dương và trong Ví dụ 2, nó hóa ra là âm. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu xem dấu hiệu của tích vô hướng phụ thuộc vào yếu tố nào. Hãy xem công thức của chúng tôi: . Độ dài của các vectơ khác 0 luôn dương:, vì vậy dấu có thể chỉ phụ thuộc vào giá trị của cosin.

Ghi chú: Để hiểu rõ hơn những thông tin dưới đây, tốt hơn hết bạn nên nghiên cứu đồ thị cosin trong sách hướng dẫn Đồ thị và thuộc tính hàm. Xem cách hoạt động của cosin trên phân đoạn.

Như đã lưu ý, góc giữa các vectơ có thể thay đổi trong và các trường hợp sau có thể xảy ra:

1) Nếu góc giữa các vectơ cay: (từ 0 đến 90 độ), sau đó , và sản phẩm chấm sẽ tích cực đồng đạo diễn, khi đó góc giữa chúng được coi là bằng không và tích vô hướng cũng sẽ là số dương. Kể từ đó, công thức được đơn giản hóa:.

2) Nếu góc giữa các vectơ ngu: (từ 90 đến 180 độ), sau đó và tương ứng, sản phẩm chấm là tiêu cực:. Trường hợp đặc biệt: nếu các vectơ chỉ đạo đối lập, thì góc giữa chúng được coi là triển khai: (180 độ). Tích vô hướng cũng âm, vì

Các câu ngược cũng đúng:

1) Nếu, thì góc giữa các vectơ này là góc nhọn. Ngoài ra, các vectơ đều có hướng.

2) Nếu thì góc giữa các vectơ này là góc tù. Ngoài ra, các vectơ được hướng ngược nhau.

Nhưng trường hợp thứ ba được quan tâm đặc biệt:

3) Nếu góc giữa các vectơ dài: (90 độ) sau đó và sản phẩm chấm bằng không:. Điều ngược lại cũng đúng: nếu, thì. Câu lệnh thu gọn được xây dựng như sau: Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ đã cho là trực giao. Ký hiệu toán học ngắn gọn:

! Ghi chú : nói lại cơ sở của logic toán học: biểu tượng hệ quả lôgic hai mặt thường được đọc là "nếu và chỉ khi đó", "nếu và chỉ khi". Như bạn có thể thấy, các mũi tên được hướng theo cả hai hướng - "từ này nối tiếp hướng này, và ngược lại - từ hướng này nối tiếp hướng này." Nhân tiện, sự khác biệt so với biểu tượng theo dõi một chiều là gì? Tuyên bố về biểu tượng chỉ thế thôi rằng "từ cái này theo sau cái này", và không phải thực tế là điều ngược lại là đúng. Ví dụ:, nhưng không phải mọi con vật đều là con báo, vì vậy không thể sử dụng biểu tượng trong trường hợp này. Đồng thời, thay vì biểu tượng có thể sử dụng biểu tượng một mặt. Ví dụ, trong khi giải quyết vấn đề, chúng tôi phát hiện ra rằng chúng tôi kết luận rằng các vectơ là trực giao: - một bản ghi như vậy sẽ đúng, và thậm chí còn thích hợp hơn .

Trường hợp thứ ba có tầm quan trọng thực tế rất lớn., vì nó cho phép bạn kiểm tra xem các vectơ có trực giao hay không. Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này trong phần thứ hai của bài học.

Tính chất sản phẩm chấm

Hãy quay lại tình huống khi hai vectơ đồng đạo diễn. Trong trường hợp này, góc giữa chúng bằng 0 và công thức tích vô hướng có dạng:.

Điều gì xảy ra nếu một vectơ được nhân với chính nó? Rõ ràng là vectơ là đồng hướng với chính nó, vì vậy chúng tôi sử dụng công thức đơn giản ở trên:

Số được gọi là bình phương vô hướng vectơ, và được ký hiệu là.

Bằng cách này, bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đã cho:

Từ đẳng thức này, bạn có thể nhận được công thức tính độ dài của vectơ:

Mặc dù nó có vẻ tối nghĩa, nhưng các nhiệm vụ của bài học sẽ đưa mọi thứ vào đúng vị trí của nó. Để giải quyết vấn đề, chúng ta cũng cần chấm thuộc tính sản phẩm.

Đối với vectơ tùy ý và bất kỳ số nào, các thuộc tính sau là đúng:

1) - có thể thay thế hoặc giao hoán luật tích vô hướng.

2) - phân phối hoặc phân phối luật tích vô hướng. Nói một cách đơn giản, bạn có thể mở dấu ngoặc đơn.

3) - kết hợp hoặc liên kết luật tích vô hướng. Hằng số có thể được lấy ra khỏi tích vô hướng.

Thông thường, các loại tính chất (cũng cần phải chứng minh!) Được học sinh coi là thứ rác rưởi không cần thiết, chỉ cần học thuộc lòng và an toàn quên ngay sau kỳ thi. Có vẻ như điều quan trọng ở đây, mọi người đều đã biết từ lớp một rằng tích không thay đổi từ một hoán vị của các thừa số:. Tôi phải cảnh báo bạn, trong toán học cao hơn với cách tiếp cận như vậy rất dễ làm mọi thứ rối tung lên. Vì vậy, ví dụ: thuộc tính giao hoán không hợp lệ cho ma trận đại số. Nó không đúng với tích chéo của các vectơ. Do đó, tốt hơn hết là bạn nên đi sâu vào bất kỳ tính chất nào mà bạn sẽ gặp trong quá trình học toán cao hơn để hiểu những gì có thể và không thể làm được.

Ví dụ 3

Dung dịch:Đầu tiên, hãy làm rõ tình huống với vector. Cái này chủ yếu là gì? Tổng của các vectơ và là một vectơ xác định rõ, được ký hiệu là. Giải thích hình học của các hành động với vectơ có thể được tìm thấy trong bài báo Vectơ cho hình nộm. Ngò tây giống nhau với một vectơ là tổng của các vectơ và.

Vì vậy, theo điều kiện, yêu cầu tìm tích vô hướng. Về lý thuyết, bạn cần áp dụng công thức làm việc , nhưng vấn đề là chúng ta không biết độ dài của các vectơ và góc giữa chúng. Nhưng trong điều kiện, các tham số tương tự được đưa ra cho vectơ, vì vậy chúng ta sẽ đi theo cách khác:

(1) Chúng ta thay thế các biểu thức của vectơ.

(2) Ta mở ngoặc theo quy tắc nhân các đa thức, có thể tìm thấy một câu nói líu lưỡi thô tục trong bài. Số phức hoặc Tích hợp một hàm phân số-hữu tỉ. Tôi sẽ không lặp lại mình =) Nhân tiện, thuộc tính phân phối của tích vô hướng cho phép chúng ta mở ngoặc. Chúng tôi có quyền.

(3) Trong số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chúng ta viết gọn các bình phương vô hướng của các vectơ: . Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta sử dụng tính chất giao hoán của tích vô hướng:.

(4) Dưới đây là các điều khoản tương tự:.

(5) Trong thuật ngữ đầu tiên, chúng tôi sử dụng công thức bình phương vô hướng, đã được đề cập cách đây không lâu. Trong thuật ngữ cuối cùng, điều tương tự cũng hoạt động:. Số hạng thứ hai được khai triển theo công thức chuẩn .

(6) Thay thế các điều kiện này , và CẨN THẬN thực hiện các tính toán cuối cùng.

Câu trả lời:

Giá trị âm của tích chấm cho biết góc giữa các vectơ là góc tù.

Nhiệm vụ là điển hình, đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 4

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu biết rằng .

Bây giờ là một nhiệm vụ phổ biến khác, chỉ dành cho công thức độ dài vectơ mới. Các chỉ định ở đây sẽ trùng lặp một chút, vì vậy để rõ ràng, tôi sẽ viết lại nó bằng một chữ cái khác:

Ví dụ 5

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Dung dịch sẽ như sau:

(1) Chúng tôi cung cấp biểu thức vectơ.

(2) Chúng tôi sử dụng công thức độ dài :, trong khi chúng tôi có một biểu thức số nguyên là vectơ "ve".

(3) Chúng tôi sử dụng công thức trường cho bình phương của tổng. Hãy chú ý đến cách nó hoạt động một cách tò mò ở đây: - trên thực tế, đây là bình phương của sự khác biệt, và trên thực tế, nó là như vậy. Những người muốn có thể sắp xếp lại các vectơ ở các vị trí: - hóa ra điều tương tự tùy thuộc vào sự sắp xếp lại các điều khoản.

(4) Những gì tiếp theo đã quen thuộc từ hai bài toán trước.

Câu trả lời:

Vì chúng ta đang nói về chiều dài, đừng quên chỉ ra thứ nguyên - "đơn vị".

Ví dụ 6

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Chúng tôi tiếp tục ép những thứ hữu ích ra khỏi sản phẩm vô hướng. Hãy xem lại công thức của chúng tôi . Theo quy tắc tỷ lệ, chúng tôi đặt lại độ dài của các vectơ về mẫu số của phía bên trái:

Hãy hoán đổi các phần:

Ý nghĩa của công thức này là gì? Nếu biết độ dài của hai vectơ và tích vô hướng của chúng, thì côsin của góc giữa các vectơ này có thể được tính, và do đó, chính góc đó.

Tích vô hướng có phải là một số không? Con số. Độ dài vectơ có phải là số không? Các con số. Vì vậy, một phân số cũng là một số. Và nếu côsin của góc đã biết: , sau đó sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm được góc: .

Ví dụ 7

Tìm góc giữa các vectơ và, nếu biết rằng.

Dung dịch: Chúng tôi sử dụng công thức:

Ở giai đoạn cuối cùng của phép tính, một kỹ thuật đã được sử dụng - loại bỏ tính không hợp lý trong mẫu số. Để loại bỏ tính vô lý, tôi nhân tử số và mẫu số với.

Vì thế nếu , sau đó:

Giá trị của các hàm lượng giác nghịch đảo có thể được tìm thấy bằng bảng lượng giác. Mặc dù điều này hiếm khi xảy ra. Trong các bài toán về hình học giải tích, một số con gấu vụng về xuất hiện thường xuyên hơn nhiều và giá trị của góc phải được tìm gần bằng máy tính. Trên thực tế, chúng ta sẽ nhìn thấy bức tranh này một lần nữa và một lần nữa.

Câu trả lời:

Một lần nữa, đừng quên chỉ định thứ nguyên - radian và độ. Cá nhân, để cố ý "loại bỏ tất cả các câu hỏi", tôi muốn chỉ ra cả hai (trừ khi, tất nhiên, theo điều kiện, yêu cầu trình bày câu trả lời chỉ bằng radian hoặc chỉ bằng độ).

Giờ đây, bạn sẽ có thể tự mình đương đầu với một nhiệm vụ khó khăn hơn:

Ví dụ 7 *

Đã cho là độ dài của các vectơ và góc giữa chúng. Tìm góc giữa các vectơ ,.

Nhiệm vụ không quá khó như đa chiều.
Hãy phân tích thuật toán giải:

1) Theo điều kiện, yêu cầu tìm góc giữa các vectơ và, vì vậy bạn cần sử dụng công thức .

2) Chúng tôi tìm tích vô hướng (xem Ví dụ số 3, 4).

3) Tìm độ dài của vectơ và độ dài của vectơ (xem Ví dụ số 5, 6).

4) Kết thúc của lời giải trùng với ví dụ số 7 - chúng ta biết số, nghĩa là dễ dàng tìm được góc:

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Phần thứ hai của bài dành cho sản phẩm chấm tương tự. Các tọa độ. Nó thậm chí sẽ dễ dàng hơn trong phần đầu tiên.

Tích chấm của vectơ,
được cung cấp bởi các tọa độ trong một cơ sở chính thống

Câu trả lời:

Không cần phải nói, xử lý các tọa độ dễ chịu hơn nhiều.

Ví dụ 14

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu

Đây là một ví dụ tự làm. Ở đây bạn có thể sử dụng tính liên kết của phép toán, nghĩa là không tính, nhưng ngay lập tức lấy nhân ba ra khỏi tích vô hướng và nhân với nó cuối cùng. Lời giải và đáp án cuối bài.

Ở cuối đoạn văn, một ví dụ khiêu khích về cách tính độ dài của một vectơ:

Ví dụ 15

Tìm độ dài của vectơ , nếu

Dung dịch: một lần nữa, phương pháp của phần trước lại tự gợi ý: nhưng có một cách khác:

Hãy tìm véc tơ:

Và chiều dài của nó theo công thức tầm thường :

Sản phẩm vô hướng hoàn toàn không liên quan ở đây!

Lỗi này xảy ra như thế nào khi tính độ dài của một vectơ:
Dừng lại. Tại sao không tận dụng tính chất độ dài rõ ràng của một vectơ? Có thể nói gì về độ dài của vectơ? Vectơ này dài gấp 5 lần vectơ. Hướng ngược lại, nhưng điều đó không quan trọng, bởi vì chúng ta đang nói về độ dài. Rõ ràng, độ dài của vectơ bằng tích mô-đun số trên độ dài vectơ:
- dấu hiệu của mô-đun "ăn" số trừ có thể có của một số.

Theo cách này:

Câu trả lời:

Công thức tính cosin của góc giữa các vectơ được cho bởi tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có đầy đủ thông tin để công thức tính cosin của góc giữa các vectơ thể hiện dưới dạng tọa độ vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ mặt phẳng và, được đưa ra trong cơ sở chính thống, được thể hiện bằng công thức:
.

Cosin của góc giữa các vectơ không gian, được đưa ra trong cơ sở chính thống, được thể hiện bằng công thức:

Ví dụ 16

Ba đỉnh của một tam giác đã cho. Tìm (góc đối đỉnh).

Dung dịch: Theo điều kiện, bản vẽ không được yêu cầu, nhưng vẫn:

Góc cần thiết được đánh dấu bằng một vòng cung màu xanh lá cây. Chúng tôi ngay lập tức nhớ lại chỉ định của trường về góc: - đặc biệt chú ý đến ở giữa chữ cái - đây là đỉnh của góc mà chúng ta cần. Để ngắn gọn, nó cũng có thể được viết đơn giản.

Từ hình vẽ, ta thấy khá rõ ràng rằng góc của tam giác trùng với góc giữa các vectơ và hay nói cách khác: .

Nó là mong muốn để học cách thực hiện phân tích được thực hiện trong tinh thần.

Hãy tìm các vectơ:

Hãy tính tích vô hướng:

Và độ dài của các vectơ:

Cosin của một góc:

Đó là thứ tự của nhiệm vụ này mà tôi đề xuất cho các hình nộm. Người đọc nâng cao hơn có thể viết các phép tính "trong một dòng":

Đây là một ví dụ về giá trị cosine "xấu". Giá trị kết quả không phải là giá trị cuối cùng, vì vậy không có nhiều ý nghĩa trong việc loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số.

Hãy tìm góc độ:

Nếu bạn nhìn vào bản vẽ, kết quả là khá hợp lý. Để kiểm tra góc cũng có thể được đo bằng thước đo góc. Không làm hỏng lớp phủ màn hình =)

Câu trả lời:

Trong câu trả lời, đừng quên rằng hỏi về góc của tam giác(chứ không phải về góc giữa các vectơ), đừng quên chỉ ra câu trả lời chính xác: và giá trị gần đúng của góc: được tìm thấy với một máy tính.

Những người đã tận hưởng quá trình này có thể tính toán các góc và đảm bảo bình đẳng quy tắc là đúng

Ví dụ 17

Một tam giác được cho trong không gian bởi tọa độ các đỉnh của nó. Tìm góc giữa các cạnh và

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài

Một phần nhỏ cuối cùng sẽ được dành cho các phép chiếu, trong đó tích vô hướng cũng "tham gia":

Phép chiếu của một vectơ lên một vectơ. Phép chiếu vectơ lên các trục tọa độ.
Vector hướng cosin

Xét các vectơ và:

Chúng tôi chiếu vectơ lên vectơ, vì điều này chúng tôi bỏ qua phần đầu và phần cuối của vectơ đường vuông góc mỗi vectơ (đường chấm màu xanh lá cây). Hãy tưởng tượng rằng các tia sáng đang rơi vuông góc trên một vectơ. Khi đó đoạn (đường màu đỏ) sẽ là "bóng" của vector. Trong trường hợp này, hình chiếu của một vectơ lên một vectơ là CHIỀU DÀI của đoạn thẳng. Tức là DỰ ÁN LÀ MỘT CON SỐ.

NUMBER này được biểu thị như sau:, "vectơ lớn" biểu thị một vectơ MÀ dự án, "vectơ chỉ số nhỏ" biểu thị vectơ TRÊNđược chiếu.

Bản thân mục nhập có nội dung như sau: “hình chiếu của vectơ“ a ”lên vectơ“ be ””.

Điều gì xảy ra nếu vectơ "be" là "quá ngắn"? Ta vẽ một đường thẳng chứa véc tơ "be". Và vectơ "a" sẽ được chiếu theo hướng của vectơ "be", đơn giản - trên một đường thẳng có chứa vectơ "be". Điều tương tự sẽ xảy ra nếu vectơ "a" được đặt sang một bên trong vương quốc thứ ba mươi - nó vẫn sẽ dễ dàng được chiếu lên dòng chứa vectơ "be".

Nếu góc giữa các vectơ cay(như trong hình), sau đó

Nếu các vectơ trực giao, thì (hình chiếu là một điểm có kích thước được giả định là không).

Nếu góc giữa các vectơ ngu(trong hình, hãy nhẩm sắp xếp lại mũi tên của vectơ), sau đó (cùng độ dài, nhưng lấy dấu trừ).

Đặt các vectơ này từ một điểm:

Rõ ràng, khi di chuyển một vectơ, hình chiếu của nó không thay đổi

Hướng dẫn

Cho hai vectơ khác dấu trên mặt phẳng, được vẽ từ một điểm: vectơ A có tọa độ (x1, y1) B có tọa độ (x2, y2). Góc giữa chúng được ký hiệu là θ. Để tìm số đo độ của góc θ, bạn cần sử dụng định nghĩa của tích vô hướng.

Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 là một số bằng tích độ dài của các vectơ này và côsin của góc giữa chúng, nghĩa là (A, B) = | A | * | B | * cos ( θ). Bây giờ bạn cần biểu diễn cosin của góc từ sau: cos (θ) = (A, B) / (| A | * | B |).

Tích vô hướng cũng có thể được tìm thấy bằng công thức (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, vì tích của hai vectơ khác 0 bằng tổng tích của các vectơ tương ứng. Nếu tích vô hướng của các vectơ khác 0 bằng 0, thì các vectơ này vuông góc (góc giữa chúng là 90 độ) và có thể bỏ qua các phép tính tiếp theo. Nếu tích vô hướng của hai vectơ là dương thì góc giữa chúng vectơ góc nhọn, và nếu âm thì góc là góc tù.

Bây giờ hãy tính độ dài của vectơ A và B bằng công thức: | A | = √ (x1² + y1²), | B | = √ (x2² + y2²). Chiều dài của một vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các tọa độ của nó.

Thay các giá trị tìm được của tích vô hướng và độ dài của vectơ vào công thức tính góc thu được ở bước 2, nghĩa là, cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√ (x1² + y1²) + √ (x2² + y2²)). Bây giờ, biết giá trị của, để tìm số đo độ của góc giữa vectơ bạn cần sử dụng bảng Bradis hoặc lấy từ sau: θ = arccos (cos (θ)).

Nếu các vectơ A và B được cho trong không gian ba chiều và có tọa độ lần lượt là (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thì khi tìm cosin của góc thì thêm một tọa độ nữa. Trong trường hợp này cosin: cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (√ (x1² + y1² + z1²) + √ (x2² + y2² + z2²)).

Lời khuyên hữu ích

Nếu hai vectơ không được vẽ từ một điểm, thì để tìm góc giữa chúng bằng phép tịnh tiến song song, bạn cần kết hợp các đầu của các vectơ này.
Góc giữa hai vectơ không được lớn hơn 180 độ.

Nguồn:

cách tính góc giữa các vectơ
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để giải quyết nhiều vấn đề, cả ứng dụng và lý thuyết, trong vật lý và đại số tuyến tính, cần phải tính góc giữa các vectơ. Công việc tưởng chừng như đơn giản này có thể gây ra rất nhiều khó khăn nếu bạn không hiểu rõ bản chất của tích vô hướng và giá trị nào xuất hiện do kết quả của sản phẩm này.

Hướng dẫn

Góc giữa các vectơ trong không gian vectơ pháp tuyến là góc nhỏ nhất tại đó đạt được đồng hướng của các vectơ. Một trong các vectơ được mang xung quanh điểm bắt đầu của nó. Từ định nghĩa, rõ ràng là giá trị của góc không thể vượt quá 180 độ (xem bước).

Trong trường hợp này, hoàn toàn đúng khi giả định rằng trong một không gian tuyến tính, khi các vectơ được chuyển song song, góc giữa chúng không thay đổi. Do đó, đối với phép tính phân tích của góc, định hướng không gian của các vectơ không quan trọng.

Kết quả của tích số chấm là một số, ngược lại là một đại lượng vô hướng. Hãy nhớ (điều này là quan trọng cần biết) để tránh sai sót trong các tính toán tiếp theo. Công thức của tích vô hướng, nằm trên một mặt phẳng hoặc trong không gian của vectơ, có dạng (xem hình bên để biết bước).

Nếu các vectơ nằm trong không gian, thì thực hiện phép tính theo cách tương tự. Điều duy nhất sẽ là sự xuất hiện của thuật ngữ trong cổ tức - đây là thuật ngữ dành cho người nộp đơn, tức là thành phần thứ ba của vectơ. Theo đó, khi tính môđun của vectơ cũng phải tính đến thành phần z, khi đó đối với vectơ nằm trong không gian, biểu thức cuối cùng được biến đổi như sau (xem Hình 6 ở bước).

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng cho trước. Góc giữa các vectơ có một ý nghĩa vật lý, ví dụ, khi tìm độ dài của hình chiếu của một vectơ lên một trục.

Hướng dẫn

Góc giữa hai vectơ khác 0 sử dụng phép tính tích số chấm. Theo định nghĩa, tích bằng tích của độ dài và góc giữa chúng. Mặt khác, tích trong của hai vectơ a có tọa độ (x1; y1) và b có tọa độ (x2; y2) được tính: ab = x1x2 + y1y2. Trong hai cách này, sản phẩm chấm dễ tạo góc giữa các vectơ.

Tìm độ dài hoặc môđun của vectơ. Đối với vectơ a và b của chúng ta: | a | = (x1² + y1²) ^ 1/2, | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

Tìm tích trong của vectơ bằng cách nhân tọa độ của chúng theo từng cặp: ab = x1x2 + y1y2. Từ định nghĩa của tích dấu chấm ab = | a | * | b | * cos α, trong đó α là góc giữa các vectơ. Khi đó ta nhận được rằng x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos α. Khi đó cos α = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / ((x1² + y1²) (x2² + y2²)) ^ 1/2.

Tìm góc α bằng cách sử dụng bảng Bradys.

Các video liên quan

Ghi chú

Tích vô hướng là một đặc trưng vô hướng của độ dài của vectơ và góc giữa chúng.

Mặt phẳng là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học. Mặt phẳng là một bề mặt mà tuyên bố là đúng - bất kỳ đường thẳng nào nối hai điểm của nó hoàn toàn thuộc về bề mặt này. Máy bay thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp α, β, γ, v.v. Hai mặt phẳng luôn cắt nhau thuộc một đường thẳng thuộc cả hai mặt phẳng đó.

Hướng dẫn

Xét các nửa mặt phẳng α và β được tạo thành tại giao tuyến của. Góc tạo bởi đường thẳng a và hai nửa mặt phẳng α và β bằng một góc nhị diện. Trong trường hợp này, các nửa mặt phẳng tạo thành góc nhị diện bởi các mặt, đường thẳng mà các mặt phẳng cắt nhau được gọi là cạnh của góc nhị diện.

Góc nhị diện, giống như một góc phẳng, tính bằng độ. Để tạo một góc nhị diện, ta phải chọn một điểm O tùy ý trên mặt của nó, trong cả hai tia a kẻ qua điểm O. Góc tạo thành AOB được gọi là góc pháp tuyến của góc nhị diện a.

Vì vậy, cho vectơ V = (a, b, c) và mặt phẳng A x + B y + C z = 0, trong đó A, B và C là tọa độ của pháp tuyến N. Khi đó côsin của góc α giữa các vectơ V và N là: cos α \ u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Để tính giá trị của góc theo độ hoặc radian, bạn cần tính hàm nghịch đảo với cosin từ biểu thức kết quả, tức là arccosine: α \ u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Ví dụ: tìm góc giữa vectơ(5, -3, 8) và chiếc máy bay, cho bởi phương trình tổng quát 2 x - 5 y + 3 z = 0. Giải: Viết tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng N = (2, -5, 3). Thay tất cả các giá trị đã biết vào công thức trên: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Các video liên quan

Viết phương trình và cô lập cosin từ nó. Theo một công thức, tích vô hướng của vectơ bằng độ dài của chúng nhân với nhau và với cosin góc và mặt khác - tổng các tích của tọa độ dọc theo mỗi trục. Bằng cả hai công thức, chúng ta có thể kết luận rằng cosin góc phải bằng tỉ số của tổng tích các tọa độ với tích độ dài của các vectơ.

Viết phương trình kết quả. Để làm điều này, chúng ta cần chỉ định cả hai vectơ. Giả sử chúng được đưa ra trong hệ thống Descartes 3D và điểm xuất phát của chúng nằm trong một lưới. Hướng và độ lớn của vectơ đầu tiên sẽ được cho bởi điểm (X₁, Y₁, Z₁), điểm thứ hai - (X₂, Y₂, Z₂), và góc sẽ được ký hiệu bằng chữ γ. Khi đó, độ dài của mỗi vectơ có thể là, ví dụ, theo định lý Pitago được tạo thành bởi các hình chiếu của chúng trên mỗi trục tọa độ: √ (X₁² + Y₁² + Z₁²) và √ (X₂² + Y₂² + Z₂²). Thay các biểu thức này vào công thức đã lập ở bước trước và bạn nhận được đẳng thức: cos (γ) = (X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁²) * √ (X₂² + Y₂² + Z₂²)).

Sử dụng thực tế là tổng bình phương xoang và đồng xoang từ góc một giá trị luôn mang lại một giá trị. Do đó, bằng cách nâng cao những gì thu được ở bước trước đó cho đồng xoang bình phương và trừ khỏi thống nhất, và sau đó là căn bậc hai, bạn giải quyết được vấn đề. Viết công thức mong muốn ở dạng tổng quát: sin (γ) = √ (1-cos (γ) ²) = √ (1 - ((X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁²) * √ (X₂² + Y₂² + Z₂²)) ²) = √ (1 - ((X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) ² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂² ))).

Tích vô hướng của vectơ (sau đây gọi là văn bản liên doanh). Bạn thân mến! Đề thi môn Toán bao gồm một nhóm các bài toán về giải vectơ. Chúng tôi đã xem xét một số vấn đề. Bạn có thể thấy chúng trong danh mục "Vectơ". Nói chung, lý thuyết về vectơ là đơn giản, điều chính là nghiên cứu nó một cách nhất quán. Các phép tính và thao tác với vectơ trong môn toán ở trường rất đơn giản, công thức không phức tạp. Nhìn vào. Trong bài này, chúng ta sẽ phân tích các nhiệm vụ về liên hợp của vectơ (có trong đề thi). Bây giờ "đắm mình" trong lý thuyết:

H Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ đi các tọa độ cuối của nótọa độ tương ứng của điểm bắt đầu của nó

Và xa hơn:

* Độ dài vectơ (môđun) được xác định như sau:

Các công thức này phải được ghi nhớ !!!

Hãy chỉ ra góc giữa các vectơ:

Rõ ràng là nó có thể thay đổi từ 0 đến 180 0(hoặc tính bằng radian từ 0 đến Pi).

Chúng ta có thể rút ra một số kết luận về dấu của tích vô hướng. Độ dài của vectơ là dương, rõ ràng. Vậy dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào giá trị của cosin của góc giữa các vectơ.

Các trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu góc giữa các vectơ là góc nhọn (từ 0 0 đến 90 0) thì côsin của góc sẽ có giá trị dương.

2. Nếu góc giữa các vectơ là góc tù (từ 90 0 đến 180 0) thì côsin của góc sẽ có giá trị âm.

* Tại 0 độ, nghĩa là, khi các vectơ có cùng phương, cosin bằng một và theo đó, kết quả sẽ là số dương.

Ở 180 o, nghĩa là, khi các vectơ có hướng ngược nhau, cosin bằng trừ một,và kết quả sẽ là âm tính.

Bây giờ là ĐIỂM QUAN TRỌNG!

Ở 90 o, nghĩa là, khi các vectơ vuông góc với nhau, cosin bằng 0 và do đó liên doanh bằng không. Thực tế này (hệ quả, kết luận) được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề mà chúng ta đang nói về sự sắp xếp lẫn nhau của các vectơ, kể cả trong các bài toán nằm trong ngân hàng nhiệm vụ mở của toán học.

Chúng ta hình thành phát biểu: tích vô hướng bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ đã cho nằm trên các đường thẳng vuông góc.

Vì vậy, công thức của vectơ SP là:

Nếu biết tọa độ của vectơ hoặc tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của chúng, thì chúng ta luôn có thể tìm được góc giữa các vectơ:

Xem xét các nhiệm vụ:

27724 Tìm tích trong của vectơ a và b.

Chúng ta có thể tìm tích vô hướng của vectơ bằng một trong hai công thức:

Góc giữa các vectơ là không xác định, nhưng chúng ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của các vectơ và sau đó sử dụng công thức đầu tiên. Vì điểm đầu của cả hai vectơ đều trùng với gốc tọa độ của các vectơ này bằng tọa độ của các điểm cuối của chúng, nghĩa là