Góc là dương và âm. Góc âm

Đếm góc trên đường tròn lượng giác.

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Nó gần giống như trong bài học trước. Có các trục, một vòng tròn, một góc, mọi thứ đều là chin-china. Đã thêm số phần tư (ở các góc của hình vuông lớn) - từ phần đầu tiên đến phần tư. Và rồi đột nhiên ai không biết? Như bạn thấy, các phần tư (chúng còn được gọi với từ mỹ miều là "góc phần tư") được đánh số ngược chiều kim đồng hồ. Đã thêm giá trị góc trên các trục. Mọi thứ đều rõ ràng, không rườm rà.

Và thêm một mũi tên màu xanh lá cây. Với một điểm cộng. Ý cô ấy là gì? Hãy để tôi nhắc bạn rằng mặt cố định của góc luôn luôn đóng đinh vào trục dương OH. Vì vậy, nếu chúng ta vặn mặt di chuyển của góc dấu cộng, I E. theo số quý tăng dần, góc sẽ được coi là dương. Ví dụ, hình ảnh cho thấy một góc dương + 60 °.

Nếu chúng ta hoãn các góc theo hướng ngược lại, theo chiều kim đồng hồ, góc sẽ được coi là âm. Di chuột qua ảnh (hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng), bạn sẽ thấy mũi tên màu xanh có dấu trừ. Đây là hướng đọc âm của các góc. Một góc âm (-60 °) được hiển thị như một ví dụ. Và bạn cũng sẽ thấy những con số trên các trục đã thay đổi như thế nào ... Tôi cũng dịch chúng sang góc âm. Việc đánh số các góc phần tư không thay đổi.

Ở đây, thông thường, những hiểu lầm đầu tiên bắt đầu. Làm sao vậy !? Và nếu góc âm trên đường tròn trùng với góc dương !? Và nói chung, nó chỉ ra rằng cùng một vị trí của mặt chuyển động (hoặc một điểm trên vòng tròn số) có thể được gọi là cả góc âm và góc dương !?

Đúng. Một cách chính xác. Giả sử một góc dương 90 độ chiếm một đường tròn giống hệt nhau vị trí là một góc âm của âm 270 độ. Một góc dương, ví dụ + 110 ° độ, lấy giống hệt nhau vị trí như góc âm là -250 °.

Không vấn đề gì. Tất cả đều đúng.) Việc lựa chọn một phép tính dương hay âm của góc phụ thuộc vào điều kiện của bài tập. Nếu điều kiện không nói gì văn bản thô về dấu của góc, (như "xác định giá trị nhỏ nhất tích cực angle ", v.v.), sau đó chúng tôi làm việc với các giá trị thuận tiện cho chúng tôi.

Một ngoại lệ (và làm thế nào mà không có chúng ?!) là các bất đẳng thức lượng giác, nhưng ở đó chúng ta sẽ thành thạo thủ thuật này.

Và bây giờ là một câu hỏi dành cho bạn. Làm thế nào để biết rằng vị trí của góc 110 ° giống với vị trí của góc -250 °?
Tôi sẽ gợi ý rằng điều này là do doanh thu đầy đủ. Trong 360 ° ... Không rõ ràng? Sau đó, chúng tôi vẽ một vòng tròn. Chúng tôi vẽ trên giấy. Đánh dấu góc Về 110 °. Và tin còn lại bao nhiêu cho đến khi hết một lượt. Chỉ còn 250 ° ...

Hiểu rồi? Và bây giờ - chú ý! Nếu các góc 110 ° và -250 ° chiếm hình tròn tương tự vị trí, sau đó là gì? Có, thực tế là các góc là 110 ° và -250 ° giống hệt nhau sin, cosine, tiếp tuyến và cotang!
Những thứ kia. sin110 ° = sin (-250 °), ctg110 ° = ctg (-250 °), v.v. Bây giờ điều này thực sự quan trọng! Và bản thân nó - có rất nhiều công việc cần thiết để đơn giản hóa các biểu thức, và làm cơ sở cho việc phát triển các công thức rút gọn sau này và các phức tạp khác của lượng giác.

Tất nhiên, tôi lấy 110 ° và -250 ° một cách ngẫu nhiên, hoàn toàn là ví dụ. Tất cả các điểm bằng nhau này có tác dụng đối với bất kỳ góc nào chiếm cùng một vị trí trên đường tròn. 60 ° và -300 °, -75 ° và 285 °, v.v. Tôi lưu ý ngay rằng các góc trong các cặp đôi này - nhiều. Nhưng chúng có các hàm lượng giác - như nhau.

Tôi nghĩ bạn hiểu góc tiêu cực là gì. Nó khá đơn giản. Ngược chiều kim đồng hồ là số dương. Trên đường đi, nó tiêu cực. Xem xét góc dương hay âm phụ thuộc vào chúng tôi. Từ mong muốn của chúng tôi. Tất nhiên, và hơn thế nữa từ nhiệm vụ này ... Tôi hy vọng bạn hiểu cách chuyển trong hàm lượng giác từ góc âm sang góc dương và ngược lại. Vẽ một đường tròn, một góc gần đúng và xem còn thiếu bao nhiêu trước khi hết lượt, tức là lên đến 360 °.

Góc lớn hơn 360 °.

Hãy xử lý các góc lớn hơn 360 °. Và những điều như vậy xảy ra? Tất nhiên là có. Làm thế nào để vẽ chúng trên một vòng tròn? Không thành vấn đề! Giả sử chúng ta cần hiểu một phần tư góc 1000 ° sẽ rơi vào phần tư nào? Một cách dễ dàng! Chúng tôi thực hiện một lần quay ngược chiều kim đồng hồ (góc đã cho chúng tôi là dương!). Tua lại 360 °. Vâng, chúng ta hãy tiếp tục! Một ngã rẽ khác - nó đã quay ra 720 °. Còn lại bao nhiêu? 280 °. Nó là không đủ cho một vòng quay đầy đủ ... Nhưng góc hơn 270 ° - và đây là biên giới giữa phần tư thứ ba và thứ tư. Vì vậy, góc 1000 ° của chúng ta rơi vào phần tư thứ tư. Mọi điều.

Như bạn thấy, nó khá đơn giản. Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng góc 1000 ° và góc 280 °, mà chúng tôi thu được bằng cách loại bỏ các vòng quay đầy đủ "bổ sung", nói đúng ra là nhiều các góc. Nhưng các hàm lượng giác của các góc này giống hệt nhau! Những thứ kia. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 °, v.v. Nếu tôi là một sin, tôi sẽ không nhận ra sự khác biệt giữa hai góc độ này ...

Tại sao tất cả những điều này là cần thiết? Tại sao chúng ta cần phải dịch các góc từ góc này sang góc khác? Có, tất cả đều giống nhau.) Để đơn giản hóa các biểu thức. Trên thực tế, đơn giản hóa các biểu thức là nhiệm vụ chính của môn toán học. Chà, trên đường đi, người đứng đầu đang được đào tạo.)

Chà, chúng ta sẽ luyện tập chứ?)

Chúng tôi trả lời các câu hỏi. Lúc đầu đơn giản.

1. Góc -325 ° rơi vào phần tư nào?

2. Góc 3000 ° rơi vào phần tư nào?

3. Góc -3000 ° rơi vào phần tư nào?

Có một vấn đề? Hay bất an? Chúng ta sang Tiết 555 Bài tập thực hành với đường tròn lượng giác. Ở đó, trong bài học đầu tiên của "Công việc thực tế ..." mọi thứ đều được trình bày chi tiết ... Trong như là câu hỏi về sự không chắc chắn không nên!

4. Dấu hiệu của sin555 ° là gì?

5. Dấu hiệu của tg555 ° là gì?

Xác định? Xuất sắc! Nghi ngờ? Nó là cần thiết để Mục 555 ... Nhân tiện, ở đó bạn sẽ học cách vẽ tiếp tuyến và cotang trên một đường tròn lượng giác. Một điều rất hữu ích.

Và bây giờ là những câu hỏi thông minh hơn.

6. Đưa biểu thức sin777 ° thành sin một góc dương nhỏ nhất.

7. Đưa biểu thức cos777 ° thành cosin của góc âm lớn nhất.

8. Biến đổi biểu thức cos (-777 °) thành cosin của góc dương nhỏ nhất.

9. Đưa biểu thức sin777 ° thành sin một góc âm lớn nhất.

Cái gì, câu hỏi 6-9 khó hiểu? Hãy làm quen với nó, không có những công thức như vậy trong đề thi ... Vì vậy, nó là nó, tôi sẽ dịch nó. Chỉ dành cho bạn!

Các từ "giảm biểu thức thành ..." có nghĩa là biến đổi biểu thức để giá trị của nó không thay đổi và sự xuất hiện đã thay đổi phù hợp với nhiệm vụ. Vì vậy, trong nhiệm vụ 6 và 9, chúng ta sẽ nhận được một sin, bên trong là góc dương nhỏ nhất. Mọi thứ khác không thành vấn đề.

Tôi sẽ đưa ra câu trả lời theo thứ tự (vi phạm quy tắc của chúng tôi). Nhưng phải làm sao, chỉ có hai dấu hiệu, và chỉ có bốn phần tư ... Bạn sẽ không phân tán trong các lựa chọn.

6. sin57 °.

7.cos (-57 °).

8.cos57 °.

9.-sin (-57 °)

Tôi cho rằng câu trả lời cho câu hỏi 6-9 khiến một số người bối rối. Đặc biệt -sin (-57 °)Đúng không?) Thật vậy, trong quy tắc cơ bản về đếm góc có chỗ cho sai sót ... Đó là lý do tại sao tôi phải làm một bài học: "Làm thế nào để xác định dấu hiệu của hàm số và cho góc trên đường tròn lượng giác?" Trong Phần 555. Có các nhiệm vụ từ 4 đến 9 được sắp xếp. Được sắp xếp tốt, với tất cả các cạm bẫy. Và họ đang ở đây.)

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết bí ẩn rađian và số "Pi". Tìm hiểu cách chuyển đổi độ sang radian và ngược lại một cách dễ dàng và chính xác. Và chúng tôi sẽ ngạc nhiên khi thấy rằng thông tin cơ bản này trên trang web đã đủ để giải một số câu đố lượng giác không chuẩn!

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Trong bài học trước, chúng ta đã nắm vững thành công (hoặc lặp lại - như bất kỳ ai thích) các khái niệm chính của tất cả lượng giác. nó vòng tròn lượng giác , góc trên một vòng tròn , sin và côsin của góc này và cũng thành thạo dấu hiệu của hàm lượng giác trong phần tư . Đã học chi tiết. Trên ngón tay, người ta có thể nói.

Nhưng điều này vẫn chưa đủ. Để áp dụng thành công tất cả các khái niệm đơn giản này vào thực tế, chúng ta cần một kỹ năng hữu ích khác. Cụ thể, chính xác làm việc với các góc trong lượng giác. Nếu không có kỹ năng này trong lượng giác - không có gì. Ngay cả trong những ví dụ sơ khai nhất. Tại sao? Đúng, bởi vì góc là con số quan trọng trong tất cả lượng giác! Không, không phải hàm lượng giác, không sin với cosin, không tiếp tuyến với cotang, cụ thể là chính góc. Không có góc - không có hàm lượng giác, có ...

Làm thế nào để làm việc với các góc trên một hình tròn? Để làm được điều này, trớ trêu thay chúng ta cần học được hai điểm.

1) Làm sao Các góc trên một hình tròn có được tính không?

2) Gì chúng có được tính (đo lường) không?

Câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên là chủ đề của bài học hôm nay. Chúng tôi sẽ giải quyết câu hỏi đầu tiên một cách chi tiết ngay tại đây và ngay bây giờ. Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai sẽ không được đưa ra ở đây. Vì nó khá phát triển. Giống như câu hỏi thứ hai, nó rất trơn, vâng.) Tôi sẽ không đi vào chi tiết ngay bây giờ. Đây là chủ đề của bài học riêng biệt tiếp theo.

Chúng ta bắt đầu nhé?

Các góc được tính như thế nào trên một đường tròn? Các góc âm và dương.

Những ai đọc tiêu đề của đoạn văn có lẽ đã dựng tóc gáy. Làm sao vậy ?! Các góc tiêu cực? Điều này thậm chí có thể?

tiêu cực con số chúng tôi đã quen với nó. Chúng ta có thể biểu diễn chúng trên trục số: dương ở bên phải 0, âm bên trái 0. Có, và chúng tôi nhìn nhiệt kế bên ngoài cửa sổ theo định kỳ. Đặc biệt là vào mùa đông, trong sương giá.) Và tiền điện thoại ở mức "trừ" (tức là nghĩa vụ) đôi khi đi xa. Tất cả đều quen thuộc.

Nhưng những gì về các góc? Nó chỉ ra rằng các góc âm trong toán học cũng xảy ra! Tất cả phụ thuộc vào cách đếm chính góc này ... không, không phải trên một trục số, mà trên một vòng tròn số! Ý tôi là, trong một vòng tròn. Hình tròn - đây rồi, một tương tự của trục số trong lượng giác!

Vì thế, Các góc trên một đường tròn được tính như thế nào? Không có gì phải làm, chúng ta sẽ phải vẽ chính vòng tròn này trước.

Tôi sẽ vẽ bức tranh tuyệt đẹp này:

Nó rất giống với những hình ảnh trong bài học trước. Có trục, có hình tròn, có góc. Nhưng cũng có thông tin mới.

Tôi cũng đã thêm các số cho 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° và 360 ° trên các trục. Bây giờ điều này thú vị hơn.) Những con số này là gì? Chính xác! Đây là các giá trị của các góc được đo từ mặt cố định của chúng ta, rơi vào trên các trục tọa độ. Ta nhớ lại rằng cạnh cố định của góc luôn gắn chặt với bán trục dương OX. Và bất kỳ góc nào trong lượng giác đều được đo từ bán trục này. Điều trớ trêu là nguồn gốc cơ bản này của các góc phải được ghi nhớ. Và các trục - chúng giao nhau ở góc vuông, phải không? Vì vậy, chúng tôi thêm 90 ° trong mỗi quý.

Và nhiều hơn nữa được thêm vào mũi tên đỏ. Với một điểm cộng. Màu đỏ là cố ý để bắt mắt. Và nó đã ghi nhớ rất rõ trong trí nhớ của tôi. Vì điều này phải được ghi nhớ một cách đáng tin cậy.) Mũi tên này có nghĩa là gì?

Vì vậy, hóa ra, nếu chúng ta xoay góc dấu cộng(ngược chiều kim đồng hồ, trong quá trình đánh số phần tư), sau đó là góc sẽ được coi là tích cực! Hình minh họa một góc + 45 ° làm ví dụ. Nhân tiện, xin lưu ý rằng các góc trục 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° và 360 ° cũng được quấn lại một cách chính xác theo cộng! Bằng mũi tên màu đỏ.

Bây giờ chúng ta hãy xem một bức tranh khác:

Hầu như mọi thứ đều giống nhau ở đây. Chỉ các góc trên trục được đánh số đảo ngược. Theo chiều kim đồng hồ. Và chúng có một dấu trừ.) mũi tên xanh. Cũng với một điểm trừ. Mũi tên này là hướng đọc âm của các góc trên đường tròn. Cô ấy cho chúng tôi thấy rằng nếu chúng tôi trì hoãn góc của chúng tôi theo chiều kim đồng hồ, sau đó góc sẽ được coi là âm. Ví dụ, tôi đã hiển thị một góc -45 °.

Nhân tiện, xin lưu ý rằng việc đánh số các phần tư không bao giờ thay đổi! Nó không quan trọng nếu chúng tôi uốn cong các góc cộng hoặc trừ. Luôn luôn ngược chiều kim đồng hồ.)

Nhớ lại:

1. Đầu của phép đếm góc là từ bán trục dương ОХ. Theo giờ - "số trừ", ngược lại với đồng hồ - "cộng".

2. Việc đánh số các phần tư luôn luôn ngược chiều kim đồng hồ, không phụ thuộc vào hướng của phép tính các góc.

Nhân tiện, ký tên các góc trên các trục 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, mỗi lần vẽ một hình tròn, không phải là một yêu cầu gì cả. Đây hoàn toàn là để hiểu bản chất. Nhưng những con số này phải có mặt trong đầu bạn khi giải bất kỳ bài toán nào về lượng giác. Tại sao? Có, bởi vì kiến ​​thức sơ đẳng này trả lời cho nhiều câu hỏi khác trong tất cả lượng giác! Câu hỏi quan trọng nhất là góc mà chúng ta quan tâm rơi vào phần tư nào? Bạn có tin hay không, câu trả lời chính xác cho câu hỏi này sẽ giải quyết được phần lớn các vấn đề khác của sư tử về lượng giác. Chúng ta sẽ giải quyết bài học quan trọng này (sự phân bố các góc trong các phần tư) trong cùng một bài học, nhưng ở phần sau.

Giá trị của các góc nằm trên trục tọa độ (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° và 360 °) phải được ghi nhớ! Hãy nhớ chắc chắn, đến chủ nghĩa tự động. Và cả cộng và trừ.

Nhưng từ thời điểm này, những bất ngờ đầu tiên bắt đầu. Và cùng với họ là những câu hỏi hóc búa dành cho tôi, vâng ...) Và điều gì sẽ xảy ra nếu góc âm trên đường tròn phù hợp với tích cực? Nó chỉ ra rằng điểm giống nhau trên một đường tròn có thể được ký hiệu là một góc dương, và một góc âm ???

Khá đúng! Đúng như vậy.) Ví dụ, một góc dương + 270 ° chiếm trên một đường tròn cùng một vị trí , là góc âm -90 °. Hoặc, ví dụ, một góc dương + 45 ° trên đường tròn sẽ lấy cùng một vị trí , là góc âm -315 °.

Chúng ta nhìn vào bức tranh tiếp theo và thấy mọi thứ:

Tương tự, góc dương + 150 ° sẽ đi đến nơi có góc âm là -210 °, góc dương + 230 ° sẽ đi đến cùng nơi với góc âm -130 °. Và như thế…

Và bây giờ tôi có thể làm gì? Làm thế nào để đếm chính xác các góc, nếu có thể theo cách này và cách khác? Như thế nào mới đúng?

Câu trả lời: dù sao cũng đúng! Toán học không cấm bất kỳ hướng nào trong hai hướng đếm góc. Và việc lựa chọn một hướng đi cụ thể chỉ phụ thuộc vào nhiệm vụ. Nếu nhiệm vụ không nói gì bằng văn bản thuần túy về dấu của góc (chẳng hạn như "xác định lớn nhất phủ định góc" vv), sau đó chúng tôi làm việc với các góc thuận tiện nhất cho chúng tôi.

Tất nhiên, ví dụ, trong các chủ đề thú vị như phương trình lượng giác và bất phương trình, hướng của phép tính góc có thể có tác động rất lớn đến câu trả lời. Và trong các chủ đề liên quan, chúng tôi sẽ xem xét những cạm bẫy này.

Nhớ lại:

Bất kỳ điểm nào trên đường tròn có thể được biểu thị bằng cả góc dương và góc âm. Bất cứ ai! Những gì chúng ta muốn.

Bây giờ chúng ta hãy nghĩ về điều này. Ta phát hiện ra rằng góc 45 ° có chính xác bằng góc -315 °? Làm cách nào để tôi tìm hiểu về những điều tương tự 315 này° ? Bạn không đoán được sao? Đúng! Qua hết một lượt.) Ở 360 °. Chúng ta có một góc 45 °. Thiếu bao nhiêu trước khi một lượt đầy đủ? Trừ 45° từ 360° - ở đây chúng tôi nhận được 315° . Chúng ta uốn lượn theo hướng tiêu cực - và chúng ta nhận được một góc là -315 °. Vẫn chưa rõ? Sau đó, nhìn vào hình trên một lần nữa.

Và điều này phải luôn được thực hiện khi chuyển các góc dương thành góc âm (và ngược lại) - hãy vẽ một đường tròn, lưu ý Về một góc nhất định, chúng tôi xem xét có bao nhiêu độ bị thiếu trước khi quay hoàn toàn và chúng tôi xoay sự khác biệt kết quả theo hướng ngược lại. Và đó là nó.)

Còn điều gì thú vị khi các góc chiếm cùng một vị trí trên đường tròn, bạn nghĩ sao? Và thực tế là những góc như vậy giống hệt nhau sin, cosine, tiếp tuyến và cotang! Luôn luôn!

Ví dụ:

Sin45 ° = sin (-315 °)

Cos120 ° = cos (-240 °)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333 ° = ctg (-27 °)

Và bây giờ điều này cực kỳ quan trọng! Để làm gì? Vâng, tất cả đều giống nhau!) Để đơn giản hóa các biểu thức. Để đơn giản hóa các biểu thức là một thủ tục quan trọng cho một giải pháp thành công không tí nào bài tập trong toán học. Và cả lượng giác nữa.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra quy tắc chung để đếm các góc trên một đường tròn. Chà, nếu chúng ta ở đây gợi ý về hết lượt, khoảng phần tư, thì đã đến lúc vặn và vẽ chính những góc này. Chúng ta sẽ vẽ chứ?)

Hãy bắt đầu với tích cực các góc. Chúng sẽ dễ vẽ hơn.

Vẽ các góc trong một vòng quay (từ 0 ° đến 360 °).

Ví dụ, hãy vẽ một góc 60 °. Mọi thứ ở đây đều đơn giản, không rườm rà. Chúng tôi vẽ các trục tọa độ, một đường tròn. Bạn có thể trực tiếp bằng tay mà không cần bất kỳ la bàn và thước kẻ nào. Chúng tôi vẽ sơ đồ A: Chúng tôi không có bản thảo với bạn. Không cần phải tuân thủ GOST, họ sẽ không bị trừng phạt.)

Bạn có thể (đối với chính mình) đánh dấu các giá trị của các góc trên các trục và chỉ ra mũi tên theo hướng chống lại thời gian. Rốt cuộc, chúng ta sẽ tiết kiệm tiền như một điểm cộng?) Bạn không thể làm điều này, nhưng bạn cần phải ghi nhớ mọi thứ trong đầu.

Và bây giờ chúng ta vẽ mặt thứ hai (có thể di chuyển được) của góc. Quý gì? Trong lần đầu tiên, tất nhiên! Đối với 60 độ là giữa 0 ° và 90 °. Vì vậy, chúng tôi rút ra trong quý đầu tiên. ở một góc độ Về 60 độ so với mặt cố định. Làm sao để đếm Về 60 độ không có thước đo góc? Một cách dễ dàng! 60 ° là 2/3 góc vuông! Tính nhẩm, chúng ta chia phần tư đầu tiên của hình tròn thành ba phần, chúng ta lấy hai phần ba cho chính mình. Và chúng tôi vẽ ... Chúng tôi thực sự đạt được bao nhiêu (nếu chúng tôi gắn thước đo góc và đo nó) - 55 độ hay 64 - không thành vấn đề! Điều quan trọng là vẫn ở đâu đó khoảng 60 °.

Chúng tôi nhận được một hình ảnh:

Đó là tất cả. Và không cần công cụ. Chúng tôi phát triển một con mắt! Nó sẽ rất hữu ích trong các bài toán hình học.) Hình vẽ khó coi này có thể không thể thiếu khi bạn cần vẽ vội một đường tròn và một góc mà không thực sự nghĩ đến cái đẹp. Nhưng đồng thời viết nguệch ngoạc bên phải, không có lỗi, với tất cả các thông tin cần thiết. Ví dụ, như một trợ giúp trong việc giải các phương trình lượng giác và bất phương trình.

Bây giờ, hãy vẽ một góc, ví dụ, 265 °. Đoán xem nó có thể ở đâu? Rõ ràng là không phải trong quý đầu tiên và thậm chí không phải trong quý thứ hai: chúng kết thúc ở 90 và 180 độ. Bạn có thể nghĩ rằng 265 ° là 180 ° cộng với 85 ° khác. Có nghĩa là, OX bán trục âm (trong đó 180 °) phải được thêm Về 85 °. Hoặc, thậm chí dễ dàng hơn, để đoán rằng 265 ° không đạt đến bán trục âm OY (trong đó 270 °) của một số 5 ° không may. Nói cách khác, trong quý 3 sẽ có góc này. Rất gần với trục âm OY, đến 270 độ, nhưng vẫn ở vị trí thứ ba!

Vẽ tranh:

Một lần nữa, độ chính xác tuyệt đối không được yêu cầu ở đây. Trong thực tế, góc này hóa ra là 263 độ. Nhưng câu hỏi quan trọng nhất (quý nào?) chúng tôi đã trả lời chính xác. Tại sao đây là câu hỏi quan trọng nhất? Đúng, bởi vì bất kỳ công việc nào với một góc trong lượng giác (cho dù chúng ta có vẽ góc này hay không) đều bắt đầu bằng câu trả lời cho chính câu hỏi này! Luôn luôn. Nếu bạn bỏ qua câu hỏi này hoặc cố gắng trả lời nó trong tâm lý, thì sai lầm là gần như không thể tránh khỏi, vâng ... Bạn có cần nó không?

Nhớ lại:

Bất kỳ công việc nào với một góc (bao gồm cả việc vẽ chính góc này trên một đường tròn) luôn bắt đầu bằng việc xác định phần tư mà góc này rơi xuống.

Bây giờ, tôi hy vọng bạn sẽ vẽ các góc một cách chính xác, ví dụ, 182 °, 88 °, 280 °. TẠI Chính xác các phần tư. Trong phần thứ ba, thứ nhất và thứ tư, nếu có ...)

Phần tư kết thúc ở góc 360 °. Đây là một lượt đầy đủ. Pepper rõ ràng rằng góc này chiếm cùng một vị trí trên vòng tròn là 0 ° (tức là điểm tham chiếu). Nhưng các góc không kết thúc ở đó, vâng ...

Làm gì với góc lớn hơn 360 °?

"Những thứ như vậy có tồn tại không?"- bạn hỏi. Có, làm thế nào! Ví dụ, nó xảy ra một góc 444 °. Và đôi khi, giả sử, một góc 1000 °. Có tất cả các loại góc.) Chỉ cần trực quan, những góc kỳ lạ như vậy được nhìn nhận phức tạp hơn một chút so với các góc thông thường trong vòng một lượt. Nhưng bạn cũng cần phải có khả năng vẽ và tính toán các góc như vậy, vâng.

Để vẽ chính xác các góc như vậy trên một đường tròn, bạn cần làm điều tương tự - tìm hiểu góc của lãi suất giảm trong quý nào. Ở đây, khả năng xác định chính xác phần tư quan trọng hơn nhiều so với các góc từ 0 ° đến 360 °! Thủ tục xác định một phần tư rất phức tạp chỉ bằng một bước. Cái nào, bạn sẽ sớm thấy.

Vì vậy, chẳng hạn, chúng ta cần tìm xem góc 444 ° rơi vào phần tư nào. Chúng tôi bắt đầu quay. Ở đâu? Như một điểm cộng, tất nhiên! Họ đã cho chúng tôi một góc tích cực! + 444 °. Chúng tôi xoắn, chúng tôi xoắn ... Chúng tôi xoắn một lượt - chúng tôi đạt đến 360 °.

Còn lại bao nhiêu là 444 °?Chúng tôi đếm phần đuôi còn lại:

444 ° -360 ° = 84 °.

Vì vậy, 444 ° là một lần quay hoàn toàn (360 °) cộng với 84 ° khác. Rõ ràng, đây là quý đầu tiên. Vì vậy, góc 444 ° giảm trong quý đầu tiên. Một nửa đã xong.

Bây giờ nó vẫn còn để mô tả góc độ này. Làm sao? Rất đơn giản! Chúng tôi thực hiện một lượt hoàn toàn dọc theo mũi tên (dấu cộng) màu đỏ và thêm một góc 84 ° nữa.

Như thế này:

Ở đây tôi không làm lộn xộn bản vẽ - ký hiệu các phần tư, vẽ các góc trên các trục. Tất cả những điều tốt đẹp này lẽ ra đã có trong đầu tôi từ rất lâu rồi.)

Nhưng tôi đã chỉ ra bằng một "con ốc" hoặc một đường xoắn ốc như thế nào chính xác góc 444 ° được hình thành từ các góc 360 ° và 84 °. Đường chấm màu đỏ là một lượt đầy đủ. 84 ° được vặn bổ sung (đường liền nét). Nhân tiện, xin lưu ý rằng nếu hết lượt này bị loại bỏ, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến vị trí của góc của chúng ta theo bất kỳ cách nào!

Nhưng điều này là quan trọng! Vị trí góc 444 ° hoàn toàn trùng hợp với vị trí góc 84 °. Không có phép lạ, nó chỉ xảy ra.)

Có thể loại bỏ không phải một lượt đầy đủ mà là hai hoặc nhiều lượt không?

Tại sao không? Nếu góc quá lớn, thì điều đó không chỉ có thể mà thậm chí còn cần thiết! Góc sẽ không thay đổi! Chính xác hơn, bản thân góc tất nhiên sẽ thay đổi về độ lớn. Nhưng vị trí của anh ấy trên vòng tròn - không thể nào!) Đó là lý do tại sao họ đầyđà, rằng bất kể bạn thêm bao nhiêu bản sao, cho dù bạn trừ đi bao nhiêu, bạn vẫn sẽ đạt được cùng một điểm. Tốt đẹp?

Nhớ lại:

Nếu chúng ta cộng (trừ) vào góc bất kỳ trọn số vòng quay hoàn chỉnh, vị trí của góc ban đầu trên vòng tròn sẽ KHÔNG thay đổi!

Ví dụ:

Góc 1000 ° rơi vào phần tư nào?

Không vấn đề gì! Chúng tôi xem xét có bao nhiêu vòng quay đầy đủ nằm trong một nghìn độ. Một cuộc cách mạng là 360 °, một cuộc cách mạng khác đã là 720 °, cuộc cách mạng thứ ba là 1080 °… Dừng lại! Bật ra! Vì vậy, trong một góc 1000 ° ngồi hai doanh thu đầy đủ. Ném chúng ra khỏi 1000 ° và tính phần còn lại:

1000 ° - 2 360 ° = 280 °

Vậy vị trí của góc 1000 ° trên đường tròn tương tự, bằng với góc 280 °. Làm việc với ai thì đã thấy dễ chịu hơn nhiều rồi.) Và góc này nằm ở đâu? Nó rơi vào phần tư thứ tư: 270 ° (OY bán trục âm) cộng với một phần tư khác.

Vẽ tranh:

Ở đây tôi không còn vẽ đầy đủ hai lượt với một hình xoắn ốc có chấm: hóa ra nó dài một cách đau đớn. Chỉ cần vẽ phần còn lại của tóc đuôi ngựa từ con số không, loại bỏ tất cả các lượt phụ. Nó giống như chúng thậm chí không tồn tại.)

Một lần nữa. Nói cách khác, các góc 444 ° và 84 °, cũng như 1000 ° và 280 ° là khác nhau. Nhưng đối với sin, cosine, tiếp tuyến và cotang, những góc này là như nhau!

Như bạn có thể thấy, để làm việc với các góc lớn hơn 360 °, bạn cần xác định có bao nhiêu vòng quay toàn phần nằm trong một góc lớn nhất định. Đây là bước bổ sung phải được thực hiện trước khi làm việc với các góc độ như vậy. Không có gì phức tạp, phải không?

Tất nhiên, rơi hết lượt là một trải nghiệm thú vị.) Nhưng trên thực tế, khi làm việc với những góc quay tối hoàn toàn, khó khăn cũng xảy ra.

Ví dụ:

Góc 31240 ° rơi vào phần tư nào?

Và những gì, chúng tôi sẽ thêm 360 độ nhiều, rất nhiều lần? Nó có thể xảy ra, nếu nó không bị cháy đặc biệt. Nhưng chúng ta không chỉ có thể thêm.) Chúng ta cũng có thể chia!

Vì vậy, hãy chia góc khổng lồ của chúng ta thành 360 độ!

Bằng hành động này, chúng tôi chỉ tìm ra có bao nhiêu vòng quay đầy đủ được ẩn trong 31240 độ của chúng tôi. Bạn có thể chia sẻ một góc, bạn có thể (thì thầm vào tai bạn :)) trên máy tính.)

Ta được 31240: 360 = 86,777777….

Thực tế là con số hóa ra là phân số không đáng sợ. Chúng tôi chỉ trọn Tôi quan tâm đến doanh thu! Do đó, không cần phải chia cho đến cùng.)

Vì vậy, trong góc xù xì của chúng tôi có tới 86 vòng quay đầy đủ. Rùng rợn…

Theo độ thì nó sẽ là86 360 ° = 30960 °

Như thế này. Đó là bao nhiêu độ có thể được ném ra khỏi một góc 31240 ° cho trước một cách dễ dàng. Còn lại:

31240 ° - 30960 ° = 280 °

Mọi điều! Vị trí góc 31240 ° hoàn toàn được xác định! Ở cùng một nơi với 280 °. Những thứ kia. phần tư thứ tư.) Có vẻ như chúng tôi đã mô tả góc này trước đây? Góc 1000 ° được vẽ khi nào?) Ở đó chúng ta cũng đi được 280 độ. Sự trùng hợp ngẫu nhiên.)

Vì vậy, luân lý của câu chuyện là thế này:

Nếu chúng ta được cung cấp một góc quá khủng khiếp, thì:

1. Xác định có bao nhiêu vòng quay đầy đủ nằm trong góc này. Để thực hiện việc này, hãy chia góc gốc cho 360 và loại bỏ phần phân số.

2. Ta coi số vòng quay nhận được là bao nhiêu độ. Để làm điều này, hãy nhân số vòng quay với 360.

3. Trừ các vòng quay này ra khỏi góc ban đầu và làm việc với góc thông thường trong phạm vi từ 0 ° đến 360 °.

Làm thế nào để làm việc với các góc âm?

Không vấn đề gì! Theo cách tương tự như với những người tích cực, chỉ với một sự khác biệt duy nhất. Gì? Đúng! Bạn cần phải xoay các góc mặt trái, dấu trừ! theo chiều kim đồng hồ.)

Ví dụ, hãy vẽ một góc -200 °. Lúc đầu, mọi thứ diễn ra như bình thường đối với các góc dương - trục, đường tròn. Hãy vẽ một mũi tên màu xanh với dấu trừ và ký hiệu các góc trên trục theo một cách khác. Tất nhiên, chúng cũng sẽ phải được tính theo chiều hướng tiêu cực. Đây sẽ là tất cả các góc giống nhau, bước qua 90 °, nhưng được tính theo hướng ngược lại, trừ: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -360 °.

Hình ảnh sẽ như thế này:

Khi làm việc với các góc tiêu cực, thường có cảm giác hơi hoang mang. Làm sao vậy ?! Nó chỉ ra rằng cả hai trục giống nhau, giả sử, + 90 ° và -270 °? Không, có gì đó không ổn ở đây ...

Vâng, mọi thứ đều sạch sẽ và minh bạch! Sau cùng, chúng ta đã biết rằng bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều có thể được gọi là góc dương và góc âm! Hoàn toàn bất kỳ. Kể cả trên một số trục tọa độ. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi cần phủ định tính toán các góc. Vì vậy, chúng tôi cắt tất cả các góc thành trừ.)

Bây giờ vẽ góc -200 ° bên phải không có vấn đề gì. Đây là -180 ° và dấu trừ 20 ° khác. Chúng tôi bắt đầu quanh co từ 0 đến âm: chúng tôi bay qua phần tư thứ tư, phần thứ ba cũng đã qua, chúng tôi đạt -180 °. Hai mươi còn lại đi đâu? Vâng, tất cả đều ổn ở đó! Theo đồng hồ.) Tổng góc -200 ° rơi vào thứ hai phần tư.

Bây giờ bạn đã hiểu tầm quan trọng của việc ghi nhớ các góc trên trục tọa độ rồi chứ?

Các góc trên trục tọa độ (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) phải được ghi nhớ chính xác để xác định chính xác phần tư nơi góc rơi!

Và nếu góc lớn, với một số lần quay đầy đủ? Được rồi! Nó tạo ra sự khác biệt nào khi quay các tốc độ tối đa này - cộng hoặc trừ? Một điểm trên đường tròn sẽ không thay đổi vị trí của nó!

Ví dụ:

Góc -2000 ° rơi ở góc phần tư nào?

Tất cả đều giống nhau! Để bắt đầu, chúng tôi xem xét có bao nhiêu cuộc cách mạng đầy đủ nằm trong góc xấu xa này. Để không nhầm lẫn các dấu hiệu, bây giờ chúng ta hãy để số trừ một mình và chỉ cần chia 2000 cho 360. Chúng ta nhận được 5 với một đuôi. Cái đuôi chưa làm phiền chúng ta, chút nữa chúng ta sẽ tính sau khi kẻ góc. Chúng tôi tin tưởng năm vòng quay đầy đủ theo độ:

5 360 ° = 1800 °

Bỏ phiếu. Đó là bao nhiêu độ phụ bạn có thể ném ra khỏi góc của chúng tôi một cách an toàn mà không gây hại cho sức khỏe.

Chúng tôi đếm phần đuôi còn lại:

2000 ° - 1800 ° = 200 °

Và bây giờ bạn cũng có thể nhớ về dấu trừ.) Chúng ta sẽ cuộn đuôi 200 ° ở đâu? Tất nhiên là giảm sút! Chúng tôi được cung cấp một góc âm.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Vì vậy, chúng tôi vẽ một góc -200 °, chỉ mà không có thêm lượt. Tôi chỉ mới vẽ nó, nhưng thôi, tôi sẽ vẽ nó một lần nữa. Bằng tay.

Hạt tiêu rõ ràng rằng góc đã cho -2000 °, cũng như -200 °, rơi vào quý II.

Vì vậy, chúng tôi cuốn mình vào một vòng tròn ... xin lỗi ... trên một bộ ria mép:

Nếu cho một góc âm rất lớn, thì phần đầu tiên của quá trình làm việc với nó (tìm số vòng quay đầy đủ và loại bỏ chúng) giống như khi làm việc với góc dương. Dấu trừ không đóng bất kỳ vai trò nào trong giai đoạn này của giải pháp. Dấu hiệu chỉ được tính đến ở phần cuối, khi làm việc với góc còn lại sau khi loại bỏ hết lượt.

Như bạn thấy, vẽ các góc âm trên một đường tròn không khó hơn vẽ các góc dương.

Mọi thứ vẫn như cũ, chỉ khác là theo hướng khác! Theo giờ!

Và bây giờ - thú vị nhất! Chúng tôi đã đề cập đến các góc tích cực, góc tiêu cực, góc lớn, góc nhỏ - đầy đủ. Chúng tôi cũng phát hiện ra rằng bất kỳ điểm nào trên đường tròn có thể được gọi là góc âm và dương, chúng tôi đã loại bỏ các lượt đi đầy đủ ... Không có suy nghĩ? Nên hoãn lại ...

Đúng! Bất kỳ điểm nào trên vòng tròn bạn lấy, nó sẽ tương ứng với góc vô tận! Lớn và không như vậy, tích cực và tiêu cực - tất cả mọi người! Và sự khác biệt giữa các góc độ này sẽ là trọn số lượt hoàn chỉnh. Luôn luôn! Vì vậy, đường tròn lượng giác được sắp xếp, có ...) Đó là lý do tại sao đảo ngược nhiệm vụ là tìm góc của sin / cosine / tiếp tuyến / cotang đã biết - đã được giải quyết mơ hồ. Và khó hơn nhiều. Ngược lại với bài toán trực tiếp - tìm toàn bộ tập hợp các hàm lượng giác của nó cho một góc cho trước. Và trong các chủ đề nghiêm túc hơn về lượng giác ( vòm, lượng giác phương trình và sự bất bình đẳng ) chúng ta sẽ gặp phải con chip này liên tục. Đang làm quen dần.)

1. Góc -345 ° rơi vào phần tư nào?

2. Góc 666 ° rơi vào phần tư nào?

3. Góc 5555 ° rơi vào phần tư nào?

4. Góc -3700 ° rơi vào phần tư nào?

5. Dấu hiệu là gìcos999 °?

6. Dấu hiệu là gìctg999 °?

Và nó đã hoạt động? Tuyệt vời! Có một vấn đề? Sau đó, bạn.

Câu trả lời:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Lần này, các câu trả lời được đưa ra theo thứ tự, phá vỡ truyền thống. Vì chỉ có bốn phần tư, và chỉ có hai dấu hiệu. Bạn sẽ không chạy trốn ...)

Trong bài tiếp theo, chúng ta sẽ nói về radian, về con số bí ẩn "pi", chúng ta sẽ học cách chuyển đổi radian sang độ và ngược lại một cách dễ dàng và đơn giản. Và chúng ta sẽ ngạc nhiên khi thấy rằng ngay cả những kiến ​​thức và kỹ năng đơn giản này cũng đã đủ để chúng ta giải thành công nhiều vấn đề không nhỏ trong lượng giác!

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi mất mát, trộm cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Một cặp tia Oa và Ob khác nhau cùng đi ra khỏi cùng một điểm O được gọi là một góc và được kí hiệu là (a, b). Điểm O được gọi là đỉnh của góc và tia Oa u Ob là cạnh của góc. Nếu A và B là hai điểm thuộc tia Oa và Ob thì (a, b) cũng được kí hiệu là AOB (Hình 1.1).

Góc (a, b) được gọi là góc mở ra nếu các tia Oa và Ob, ló ra từ một điểm, nằm trên cùng một đường thẳng và không trùng nhau (tức là chúng hướng đối nhau).

Hình.1.1

Hai góc được coi là bằng nhau nếu có thể chồng một góc lên góc kia sao cho các cạnh của góc đó trùng nhau. Tia phân giác là tia bắt đầu từ đỉnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Họ nói rằng tia OS phát ra từ đỉnh của góc AOB nằm giữa các cạnh của nó nếu nó cắt đoạn AB (Hình 1.2). Một điểm C được cho là nằm giữa các cạnh của một góc nếu một tia có thể được vẽ qua điểm này, bắt đầu từ đỉnh của góc và nằm giữa các cạnh của góc. Tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng nằm giữa các cạnh của góc tạo thành miền trong của góc (Hình 1.3). Tập hợp các điểm trong mặt phẳng không thuộc miền trong và các cạnh của góc tạo thành miền ngoài của góc.

Góc (a, b) được coi là lớn hơn góc (c, d) nếu góc (c, d) có thể chồng lên góc (a, b) sao cho sau khi ghép một cặp cạnh thì cạnh thứ hai của góc (c, d) sẽ nằm giữa các cạnh của góc (a, b). Trên hình. 1.4 AOB lớn hơn AOC.

Cho tia c nằm giữa các cạnh của góc (a, b) (Hình 1.5). Các cặp tia a, c và c, b tạo thành hai góc. Góc (a, b) được cho là tổng của hai góc (a, c) và (c, b), và chúng viết: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Hình 1.3

Thông thường trong hình học, chúng xử lý các góc nhỏ hơn góc mở rộng. Tuy nhiên, do thêm hai góc, bạn có thể nhận được một góc lớn hơn góc được mở rộng. Trong trường hợp này, phần đó của mặt phẳng, được coi là vùng bên trong của góc, được đánh dấu bằng một cung tròn. Trên hình. 1,6 phần bên trong của góc AOB, thu được do phép cộng các góc AOC và COB và góc mở rộng lớn hơn, được đánh dấu bằng một cung tròn.

Hình 1.5

Cũng có những góc lớn hơn 360 °. Các góc như vậy được hình thành, ví dụ, do chuyển động quay của cánh quạt máy bay, chuyển động quay của trống mà dây được quấn, v.v.

Trong tương lai, khi xem xét từng góc độ, chúng ta sẽ thống nhất coi một trong các cạnh của góc này là cạnh ban đầu và cạnh còn lại là cạnh cuối cùng của nó.

Bất kỳ góc nào, chẳng hạn như góc AOB (Hình 1.7), có thể nhận được khi quay chùm chuyển động quanh đỉnh O từ cạnh ban đầu của góc (OA) đến cạnh cuối cùng của nó (OB). Chúng tôi sẽ đo góc này, có tính đến tổng số vòng quay được thực hiện xung quanh điểm O, cũng như hướng mà chuyển động quay xảy ra.

Các góc âm và dương.

Ta có một góc tạo bởi tia OA và OB (Hình 1.8). Chùm tia chuyển động quay quanh điểm O từ vị trí ban đầu (OA) có thể đến vị trí cuối cùng (OB) với hai hướng quay khác nhau. Các hướng này được thể hiện trong Hình 1.8 bằng các mũi tên tương ứng.

Hình 1.7

Cũng giống như trên trục số, một trong hai hướng được coi là dương và hướng khác là âm, hai hướng quay khác nhau của chùm chuyển động cũng được phân biệt. Chúng tôi nhất trí coi chiều quay thuận là chiều ngược với chiều quay của chiều kim đồng hồ. Chiều quay trùng với chiều quay của kim giờ được coi là chiều âm.

Theo các định nghĩa này, các góc cũng được chia thành tích cực và tiêu cực.

Góc dương là góc tạo thành do chuyển động quay của chùm tia chuyển động quanh điểm xuất phát theo chiều dương.

Hình 1.9 cho thấy một số góc dương. (Hướng quay của chùm tia chuyển động được thể hiện bằng các mũi tên trong hình vẽ.)

Góc âm là góc được tạo thành bởi sự quay của chùm tia chuyển động quanh điểm xuất phát theo chiều âm.

Hình 1.10 cho thấy một số góc âm. (Hướng quay của chùm tia chuyển động được thể hiện bằng các mũi tên trong hình vẽ.)

Nhưng hai chùm sáng trùng nhau cũng có thể tạo thành các góc + 360 ° n và -360 ° n (n = 0,1,2,3, ...). Gọi b là góc quay không âm nhỏ nhất có thể có phép tịnh tiến tia OA tới vị trí OB. Nếu bây giờ chùm OB tạo thêm một vòng quay hoàn toàn xung quanh điểm O, thì chúng ta nhận được một giá trị góc khác, đó là: ABO \ u003d b + 360 °.

Đo góc với cung tròn. Đơn vị cung và góc

Trong một số trường hợp, có thể thuận tiện để đo góc bằng cách sử dụng cung tròn. Khả năng của phép đo như vậy dựa trên đề xuất nổi tiếng về phép đo phẳng rằng trong một đường tròn (hoặc trong các đường tròn bằng nhau), các góc ở tâm và các cung tương ứng với chúng tỷ lệ thuận với nhau.

Gọi một số cung của một đường tròn đã cho làm đơn vị đo các cung. Góc ở tâm tương ứng với cung này sẽ được lấy làm đơn vị đo các góc. Trong điều kiện này, bất kỳ cung tròn nào và góc ở tâm tương ứng với cung này sẽ chứa cùng một số đơn vị. Do đó, bằng cách đo các cung của một đường tròn, có thể xác định được giá trị của các góc ở tâm tương ứng với các cung này.

Hãy xem xét hai hệ thống phổ biến nhất để đo cung và góc.

Độ đo góc

Khi đo góc theo độ, đơn vị đo cơ bản của góc (góc tham chiếu mà các góc khác nhau được so sánh với nhau) được lấy là góc một độ (ký hiệu là 1?). Góc một độ là góc bằng 1/180 góc thẳng. Góc bằng 1/60 của góc trong 1 ° thì góc bằng 1 phút (kí hiệu là 1 "). Góc bằng 1/60 của góc trong một phút là góc bằng giây (kí hiệu là 1").

Số đo rađi của các góc

Cùng với thước đo độ của góc trong hình học và lượng giác, một thước đo góc khác được sử dụng, được gọi là radian. Xét đường tròn bán kính R có tâm O. Vẽ hai bán kính O A và OB sao cho độ dài dây cung AB bằng bán kính đường tròn (Hình 1.12). Góc trung tâm AOB thu được sẽ là một góc một radian. Góc 1 radian được lấy làm đơn vị đo cho số đo góc rađian. Khi đo góc bằng radian, góc khai triển bằng p radian.

Đơn vị đo độ và radian của các góc có liên quan với nhau bằng các giá trị bằng nhau:

1 radian \ u003d 180? / P57 ° 17 "45"; 1? \ U003d p / 180 radian 0,017453 radian;

1 "= p / 180 * 60 radian0.000291 radian;

1 "" = p / 180 * 60 * 60 radian0.000005 radian.

Số đo độ (hay radian) của một góc còn được gọi là độ lớn của góc. Giá trị của góc AOB đôi khi được ký hiệu là /

Phân loại góc

Một góc bằng 90 °, hoặc theo đơn vị đo radian p / 2, được gọi là góc vuông; nó thường được ký hiệu bằng chữ d. Góc nhỏ hơn 90 ° được gọi là góc nhọn; Góc lớn hơn 90 ° nhưng nhỏ hơn 180 ° được gọi là góc tù.

Hai góc có chung cạnh và cộng lại với nhau bằng 180 ° được gọi là góc kề nhau. Hai góc có chung cạnh và cộng lại với nhau 90 ° được gọi là góc bù nhau.