Đường phân giác của tam giác là đoạn chia một góc của tam giác thành hai góc bằng nhau. Ví dụ: nếu góc của một tam giác là 120 0 , thì bằng cách vẽ đường phân giác, chúng ta sẽ dựng được hai góc là 60 0 .

Và vì có ba góc trong một tam giác nên có thể vẽ được ba đường phân giác. Tất cả đều có cùng một điểm cắt. Điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Nói cách khác, giao điểm này được gọi là tâm của tam giác.

Khi hai đường phân giác của một góc trong và góc ngoài cắt nhau thì được một góc 90 0 . Góc ngoài của tam giác là góc kề với góc trong của tam giác.

Cơm. 1. Tam giác có 3 đường phân giác

Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn có mối liên hệ với các cạnh:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Các điểm thuộc tia phân giác thì cách đều các cạnh của góc, nghĩa là chúng cách các cạnh của góc một khoảng bằng nhau. Nghĩa là, nếu từ bất kỳ điểm nào của đường phân giác ta kẻ các đường vuông góc với mỗi cạnh của góc của tam giác thì các đường vuông góc này sẽ bằng ..

Nếu bạn vẽ một đường trung tuyến, đường phân giác và chiều cao từ một đỉnh, thì trung tuyến sẽ là đoạn dài nhất và chiều cao là đoạn ngắn nhất.

Một số tính chất của đường phân giác

TRONG một số loại tam giác thì đường phân giác có tính chất đặc biệt. Trước hết, điều này áp dụng cho tam giác cân. Con số này có hai mặt giống hệt nhau và mặt thứ ba được gọi là cơ sở.

Nếu từ trên cùng của góc Tam giác cân kẻ một đường phân giác tới đáy thì nó sẽ có tính chất của cả chiều cao và trung tuyến. Theo đó, độ dài đường phân giác trùng với độ dài đường trung bình và chiều cao.

Các định nghĩa:

• Chiều caoĐường vuông góc kẻ từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện.
• Trung bìnhĐoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

Cơm. 2. Đường phân giác trong tam giác cân

Điều này cũng áp dụng cho tam giác đều, tức là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

ví dụ về nhiệm vụ

Cho tam giác ABC: BR là tia phân giác có AB = 6 cm, BC = 4 cm, RC = 2 cm trừ đi độ dài cạnh thứ ba.

Cơm. 3. Đường phân giác trong tam giác

Giải pháp:

Đường phân giác chia cạnh của tam giác theo một tỷ lệ nhất định. Hãy sử dụng tỷ lệ này và thể hiện AR. Sau khi chúng ta tìm thấy độ dài của cạnh thứ ba là tổng của các đoạn mà cạnh này được chia cho đường phân giác.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Khi đó cả đoạn AC = RC + AR

AC = 3+2=5 cm.

Tổng số đánh giá nhận được: 107.

Đường phân giác của một góc là gì? Đối với câu hỏi này, một số người có con chuột khét tiếng chạy quanh các góc và chia đôi góc. "Nếu câu trả lời nên là" với sự hài hước ", thì có lẽ nó đúng. Nhưng với điểm khoa học Theo quan điểm, câu trả lời cho câu hỏi này lẽ ra phải giống như thế này: bắt đầu từ đỉnh của góc và chia góc sau thành hai phần bằng nhau." Trong hình học, hình này cũng được coi là một đoạn của đường phân giác cho đến khi nó cắt với cạnh đối diện của tam giác. Đây không phải là một quan điểm sai lầm. Nhưng còn điều gì khác được biết về đường phân giác của một góc ngoài định nghĩa của nó?

Giống như bất kỳ quỹ tích điểm nào, nó có những đặc điểm riêng. Điều đầu tiên trong số chúng thậm chí không phải là một dấu hiệu, mà là một định lý có thể được diễn đạt ngắn gọn như sau: "Nếu một đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần, thì tỷ số của chúng sẽ tương ứng với tỷ số của các cạnh của một đường phân giác lớn. Tam giác."

Thuộc tính thứ hai mà nó có: giao điểm của các đường phân giác của tất cả các góc được gọi là tâm.

Dấu hiệu thứ ba: các đường phân giác của một góc trong và hai góc ngoài của một tam giác cắt nhau tại tâm của một trong ba đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Tính chất thứ tư của đường phân giác của một tam giác là nếu mỗi đường phân giác bằng nhau thì đường phân giác cuối cùng là cân.

Dấu hiệu thứ năm cũng liên quan đến một tam giác cân và là hướng dẫn chính để nhận biết nó trong bản vẽ bằng các đường phân giác, cụ thể là: trong một tam giác cân, nó đồng thời đóng vai trò là trung tuyến và chiều cao.

Có thể dựng đường phân giác của một góc bằng compa và thước kẻ:

Quy tắc thứ sáu nói rằng không thể dựng một tam giác chỉ bằng cách sử dụng tam giác với các đường phân giác có sẵn, cũng như không thể dựng một hình lập phương nhân đôi, một hình vuông của một hình tròn và một tam giác của một góc theo cách này. Nói đúng ra, đây là tất cả các tính chất của đường phân giác của một góc trong một tam giác.

Nếu bạn đọc kỹ đoạn trước, thì có lẽ bạn đã quan tâm đến một cụm từ. "Thế nào là tam giác của một góc?" - bạn chắc chắn sẽ hỏi. Trisectrix hơi giống với đường phân giác, nhưng nếu bạn vẽ cái sau, thì góc sẽ được chia thành hai phần bằng nhau và khi xây dựng một tam giác, thành ba. Đương nhiên, đường phân giác của một góc sẽ dễ nhớ hơn vì đường phân giác không được dạy ở trường. Nhưng để cho đầy đủ, tôi sẽ kể cho bạn nghe về nó.

Đường tam giác, như tôi đã nói, không thể chỉ được dựng bằng compa và thước kẻ, nhưng nó có thể được tạo bằng quy tắc Fujita và một số đường cong: ốc sên Pascal, phép bậc hai, hình nón Nicomedes, tiết diện hình nón,

Các vấn đề về tam giác của một góc được giải quyết khá đơn giản với sự trợ giúp của nevsis.

Trong hình học, có một định lý về đường ba góc. Nó được gọi là định lý Morley (Morley). Cô ấy nói rằng giao điểm của các đường tam giác ở giữa mỗi góc sẽ là các đỉnh

Một hình tam giác nhỏ màu đen bên trong một hình lớn sẽ luôn bằng nhau. Định lý này được phát hiện bởi nhà khoa học người Anh Frank Morley vào năm 1904.

Đây là mức độ bạn có thể tìm hiểu về phép chia một góc: đường phân giác và đường phân giác của một góc luôn cần lời giải chi tiết. Nhưng ở đây nhiều định nghĩa đã được đưa ra mà tôi chưa tiết lộ: ốc sên Pascal, ốc sên Nicomedes, v.v. Không còn nghi ngờ gì nữa, có thể viết nhiều hơn về họ.

mức trung bình

Đường phân giác của một tam giác. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Đường phân giác của tam giác và tính chất của nó

Bạn có biết trung điểm của một đoạn thẳng là gì không? Tất nhiên bạn làm. Và tâm của vòng tròn? Như nhau. Trung điểm của một góc là gì? Bạn có thể nói rằng điều này không xảy ra. Nhưng tại sao đoạn thẳng có thể chia đôi còn góc thì không? Hoàn toàn có thể - không chỉ là một dấu chấm, mà là .... đường kẻ.

Hãy nhớ câu nói đùa: đường phân giác là con chuột chạy quanh các góc và chia đôi góc đó. Vì vậy, định nghĩa thực sự của đường phân giác rất giống với trò đùa này:

Đường phân giác của một tam giác là một đoạn thẳng của tia phân giác của một góc, nối đỉnh của góc này với một điểm ở cạnh đối diện.

Ngày xửa ngày xưa, các nhà thiên văn học và toán học cổ đại đã phát hiện ra rất nhiều tính chất thú vị của đường phân giác. Kiến thức này đã đơn giản hóa rất nhiều cuộc sống của mọi người. Việc xây dựng, tính toán khoảng cách, thậm chí điều chỉnh việc bắn đại bác đã trở nên dễ dàng hơn ... Nhưng kiến ​​​​thức về các tính chất này sẽ giúp chúng ta giải quyết một số nhiệm vụ của Kỳ thi GIA và Nhà nước thống nhất!

Kiến thức đầu tiên sẽ giúp ích trong việc này - phân giác của một tam giác cân.

Nhân tiện, bạn có nhớ tất cả các thuật ngữ này không? Bạn có nhớ chúng khác nhau như thế nào không? KHÔNG? Không đáng sợ. Bây giờ chúng ta hãy tìm ra nó.

Vì thế, đáy của tam giác cân- đây là mặt không bằng mặt nào. Nhìn vào bức tranh, bạn nghĩ đó là bên nào? Đúng vậy - đó là một bên.

Trung tuyến là một đường kẻ từ đỉnh của một tam giác và chia đôi cạnh đối diện (điều này một lần nữa).

Lưu ý rằng chúng ta không nói, "Đường trung tuyến của một tam giác cân." Bạn có biết tại sao? Vì đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của một tam giác chia đôi cạnh đối diện trong BẤT KỲ tam giác nào.

Chà, chiều cao là một đường được vẽ từ đỉnh và vuông góc với đáy. Bạn có để ý không? Một lần nữa chúng ta đang nói về bất kỳ tam giác nào, không chỉ tam giác cân. Đường cao trong mọi tam giác luôn vuông góc với đáy.

Vì vậy, bạn đã tìm ra nó? Hầu hết. Để hiểu rõ hơn và ghi nhớ mãi mãi đường phân giác, trung tuyến và chiều cao là gì, chúng cần được so sánh với nhau và hiểu chúng giống nhau như thế nào và chúng khác nhau như thế nào. Đồng thời, để ghi nhớ tốt hơn, tốt hơn là nên mô tả mọi thứ " tiếng người“. Sau đó, bạn sẽ dễ dàng vận hành với ngôn ngữ toán học, nhưng lúc đầu bạn không hiểu ngôn ngữ này và bạn cần hiểu mọi thứ bằng ngôn ngữ của mình.

Vậy chúng giống nhau như thế nào? Đường phân giác, đường trung tuyến và chiều cao - tất cả chúng đều "đi ra ngoài" từ đỉnh của tam giác và tiếp giáp với hướng ngược lại và "làm điều gì đó" với góc mà chúng đi ra hoặc với phía đối diện. Tôi nghĩ nó đơn giản, phải không?

Và chúng khác nhau như thế nào?

• Tia phân giác chia góc mà nó thoát ra.
• Đường trung tuyến chia đôi cạnh đối diện.
• Chiều cao luôn vuông góc với cạnh đối diện.

Đó là nó. Để hiểu là dễ dàng. Một khi bạn hiểu, bạn có thể nhớ.

Hiện nay câu hỏi tiếp theo. Vậy thì tại sao trong trường hợp tam giác cân, đường phân giác lại đồng thời vừa là đường trung tuyến vừa là chiều cao?

Bạn chỉ cần nhìn vào hình và đảm bảo rằng đường trung bình chia thành hai hoàn toàn tam giác bằng nhau. Đó là tất cả! Nhưng các nhà toán học không muốn tin vào mắt mình. Họ cần phải chứng minh mọi thứ. Từ đáng sợ? Không có gì giống như nó - mọi thứ đều đơn giản! Nhìn: và có các cạnh bằng nhau và, chúng có một cạnh chung và. (- phân giác!) Và như vậy, hóa ra hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng. Ta nhớ lại dấu hiệu đầu tiên về sự bằng nhau của tam giác (bạn nào không nhớ thì xem lại đề) và kết luận rằng, nghĩa là = và.

Điều này đã tốt rồi - điều đó có nghĩa là nó đã trở thành trung vị.

Nhưng nó là gì?

Hãy nhìn vào hình ảnh -. Và chúng tôi đã nhận được điều đó. Như vậy quá! Cuối cùng, hoan hô! Và.

Bạn có thấy chứng minh này khó không? Nhìn vào hình ảnh - hai hình tam giác giống hệt nhau nói cho chính họ.

Trong mọi trường hợp, hãy nhớ:

Bây giờ thì khó hơn: chúng ta sẽ tính góc giữa các đường phân giác trong bất kỳ tam giác nào!Đừng sợ, nó không khó lắm đâu. Nhìn vào bức tranh:

Hãy đếm nó. bạn có nhớ điều đó không tổng các góc của một tam giác là?

Hãy áp dụng thực tế tuyệt vời này.

Một mặt, từ:

Đó là.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào:

Nhưng đường phân giác, đường phân giác!

Hãy nhớ về:

Bây giờ thông qua các chữ cái

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Nó không phải là nó đáng ngạc nhiên? Hóa ra nó như thế này góc giữa hai tia phân giác của hai góc chỉ phụ thuộc vào góc thứ ba!

Vâng, chúng tôi đã xem xét hai đường phân giác. Nếu có ba thì sao?!! Tất cả chúng sẽ giao nhau tại cùng một điểm?

Hay nó sẽ được?

Bạn nghĩ như thế nào? Ở đây các nhà toán học đã suy nghĩ và suy nghĩ và chứng minh:

Thực sự tuyệt vời?

Bạn có muốn biết tại sao điều này xảy ra?

Vậy ... hai tam giác vuông: và . Họ có:

• cạnh huyền chung.
• (vì - đường phân giác!)

Vì vậy - theo góc và cạnh huyền. Do đó, các chân tương ứng của các hình tam giác này bằng nhau! Đó là.

Ta chứng minh được điểm cách đều (hoặc cách đều) các cạnh của góc. Điểm 1 đã được xử lý. Bây giờ hãy chuyển sang điểm 2.

Tại sao là 2 đúng?

Và kết nối các dấu chấm.

Vì vậy, đó là, nằm trên đường phân giác!

Đó là tất cả!

Làm thế nào tất cả điều này có thể được áp dụng để giải quyết vấn đề? Ví dụ, trong các nhiệm vụ thường có cụm từ như vậy: "Hình tròn chạm vào các cạnh của góc ...". Vâng, bạn cần phải tìm một cái gì đó.

Bạn nhanh chóng nhận ra rằng

Và bạn có thể sử dụng bình đẳng.

3. Ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm

Từ tính chất của đường phân giác là nơi hình họcđiểm cách đều hai cạnh của góc thì phát biểu sau:

Làm thế nào chính xác nó chảy? Nhưng hãy nhìn xem: hai đường phân giác chắc chắn sẽ cắt nhau, phải không?

Và đường phân giác thứ ba có thể như sau:

Nhưng trên thực tế, mọi thứ tốt hơn nhiều!

Hãy xét giao điểm của hai đường phân giác. Hãy gọi cho cô ấy.

Những gì chúng tôi đã sử dụng ở đây cả hai lần? Đúng Đoạn 1, tất nhiên rồi! Nếu một điểm nằm trên tia phân giác thì nó cách đều các cạnh của góc.

Và vì vậy nó đã xảy ra.

Nhưng hãy xem kỹ hai đẳng thức này! Rốt cuộc, họ suy ra điều đó và do đó, .

Và bây giờ nó sẽ hoạt động điểm 2: nếu khoảng cách đến các cạnh của góc bằng nhau thì điểm nằm trên tia phân giác ... của góc nào? Nhìn vào bức tranh một lần nữa:

và là khoảng cách đến các cạnh của góc và chúng bằng nhau, nghĩa là điểm nằm trên tia phân giác của góc. Đường phân giác thứ ba đi qua cùng một điểm! Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm! Và, như một món quà bổ sung -

bán kính ghi hình tròn.

(Để biết độ trung thực, hãy xem chủ đề khác).

Chà, bây giờ bạn sẽ không bao giờ quên:

Giao điểm của các đường phân giác của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Hãy chuyển sang tài sản tiếp theo... Wow, và một đường phân giác có rất nhiều thuộc tính phải không? Và điều này thật tuyệt, vì càng nhiều thuộc tính thì càng có nhiều công cụ để giải các bài toán về đường phân giác.

4. Tia phân giác và tia song song, tia phân giác của các góc kề nhau

Việc đường phân giác chia đôi góc trong một số trường hợp dẫn đến kết quả hoàn toàn bất ngờ. Ví dụ,

Trường hợp 1

Thật tuyệt phải không? Hãy hiểu tại sao.

Một mặt, chúng ta đang vẽ một đường phân giác!

Nhưng mặt khác, - giống như các góc nằm ngang (nhớ chủ đề).

Và bây giờ nó chỉ ra rằng; ném ra giữa: ! - cân!

Trường hợp 2

Hãy tưởng tượng một hình tam giác (hoặc nhìn vào một bức tranh)

Hãy tiếp tục từng điểm một. Bây giờ có hai góc:

• - góc trong
• - góc ngoài - nó ở bên ngoài phải không?

Vì vậy, bây giờ ai đó muốn vẽ không phải một mà là hai đường phân giác cùng một lúc: cả cho và cho. Chuyện gì sẽ xảy ra?

Và nó sẽ bật ra hình hộp chữ nhật!

Đáng ngạc nhiên, đó chính xác là những gì nó được.

Chúng ta hiểu.

Bạn nghĩ số tiền là bao nhiêu?

Tất nhiên, bởi vì tất cả chúng cùng nhau tạo thành một góc nên nó trở thành một đường thẳng.

Và bây giờ chúng ta nhớ lại rằng và là tia phân giác và chúng ta sẽ thấy rằng bên trong góc chính xác một nửa từ tổng của cả bốn góc: và - - chính xác là như vậy. Nó cũng có thể được viết dưới dạng một phương trình:

Vì vậy, khó tin nhưng có thật:

Góc giữa các đường phân giác của góc trong và góc ngoài của tam giác bằng nhau.

trường hợp 3

Bạn có thấy rằng mọi thứ đều giống nhau ở đây đối với các góc bên trong và bên ngoài không?

Hay chúng ta nghĩ lại tại sao lại như vậy?

Một lần nữa, đối với góc liền kề,

(như tương ứng với các cơ sở song song).

Và một lần nữa, trang điểm chính xác một nửa từ tổng

Phần kết luận: Nếu có đường phân giác trong bài toán có liên quan góc hoặc đường phân giác tương ứng các góc của hình bình hành hoặc hình thang thì trong bài toán này chắc chắn có liên quan tam giác vuông, và thậm chí có thể là cả một hình chữ nhật.

5. Phân giác và cạnh đối

Nó chỉ ra rằng đường phân giác của một góc tam giác chia cạnh đối diện không phải bằng cách nào đó, mà theo một cách đặc biệt và rất thú vị:

Đó là:

Thực tế tuyệt vời, phải không?

Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh sự thật này, nhưng hãy sẵn sàng: nó sẽ khó hơn trước một chút.

Một lần nữa - lối ra vào "không gian" - một tòa nhà bổ sung!

Hãy đi thẳng.

Để làm gì? Bây giờ chúng ta sẽ xem.

Chúng tôi tiếp tục phân giác đến giao điểm với dòng.

Một hình ảnh quen thuộc? Vâng, vâng, vâng, giống hệt như trong đoạn 4, trường hợp 1 - hóa ra là (- đường phân giác)

Giống như nằm ngang

Vì vậy, đây cũng là.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các hình tam giác và.

Có thể nói gì về họ?

Chúng tương tự nhau. Vâng, vâng, các góc của chúng bằng nhau như phương thẳng đứng. Vậy hai góc.

Bây giờ chúng tôi có quyền viết các mối quan hệ của các bên tương ứng.

Và bây giờ trong ký hiệu ngắn:

Ồ! Nhắc nhở tôi về một cái gì đó, phải không? Đó không phải là những gì chúng tôi muốn chứng minh? Vâng, vâng, đó là nó!

Bạn thấy "cuộc đi bộ ngoài không gian" đã được chứng minh là tuyệt vời như thế nào - việc xây dựng thêm một đường thẳng - sẽ không có gì xảy ra nếu không có nó! Và như vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng

Bây giờ bạn có thể sử dụng nó một cách an toàn! Hãy phân tích thêm một tính chất của các đường phân giác của các góc trong tam giác - đừng sợ, bây giờ điều khó khăn nhất đã qua - nó sẽ dễ dàng hơn.

Chúng tôi hiểu điều đó

Định lý 1:

Định lý 2:

Định lý 3:

Định lý 4:

Định lý 5:

Định lý 6:

định lý. phân giác góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh kề nhau.

Bằng chứng. Xét tam giác ABC (Hình 259) và đường phân giác của góc B. Kẻ đường thẳng CM đi qua đỉnh C, song song với đường phân giác VC, cho đến khi nó cắt đường phân giác tại điểm M với phần tiếp theo của cạnh AB. Vì VC là tia phân giác của góc ABC nên . Hơn nữa, dưới dạng các góc tương ứng tại các đường thẳng song song và dưới dạng các góc nằm ngang tại các đường thẳng song song. Từ đây và do đó - cân, từ đâu. Theo định lý về các đường thẳng song song cắt các cạnh của góc, chúng ta có và theo quan điểm này, chúng ta có được điều cần phải chứng minh.

Đường phân giác của góc ngoài B của tam giác ABC (Hình 260) có tính chất tương tự: các đoạn thẳng AL và CL kẻ từ đỉnh A và C đến giao điểm L của đường phân giác với tiếp tuyến của cạnh AC là tỉ lệ với các cạnh của tam giác:

Tính chất này được chứng minh theo cách tương tự như tính chất trước: trong Hình. 260 kẻ đường thẳng phụ SM song song với tia phân giác BL. Bản thân người đọc sẽ bị thuyết phục về sự bằng nhau của các góc BMC và BCM, và do đó các cạnh BM và BC của tam giác BMC, sau đó sẽ có được tỷ lệ cần thiết ngay lập tức.

Ta có thể nói rằng tia phân giác của góc ngoài cũng chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh kề nhau; chỉ cần đồng ý cho phép “ngoại chia” phân khúc là được.

Điểm L nằm ngoài đoạn thẳng AC (tiếp tục) chia bề ngoàiđối với nếu Vậy, các đường phân giác của góc của tam giác (trong và ngoài) chia cạnh đối diện (trong và ngoài) thành các phần tỷ lệ với các cạnh kề nhau.

Bài toán 1. Các cạnh của hình thang là 12 và 15, các đáy là 24 và 16. Tìm các cạnh của tam giác được tạo bởi đáy lớn của hình thang và các cạnh bên kéo dài của nó.

Giải pháp. Trong ký hiệu của Hình. 261 chúng ta có đối với đoạn đóng vai trò là phần tiếp theo của cạnh bên, tỷ lệ mà từ đó chúng ta dễ dàng tìm thấy Theo cách tương tự, chúng ta xác định cạnh thứ hai của tam giác Cạnh thứ ba trùng với đáy lớn: .

Bài toán 2. Các đáy của hình thang là 6 và 15. Đoạn thẳng song song với các đáy và chia các cạnh của hình thang theo tỉ lệ 1:2 kể từ các đỉnh của đáy nhỏ có độ dài là bao nhiêu?

Giải pháp. Hãy chuyển sang hình. 262 mô tả một hình thang. Qua đỉnh C của đáy nhỏ kẻ đường thẳng song song với cạnh bên AB, cắt một hình bình hành của hình thang. Vì , thì từ đây ta tìm . Do đó chưa biết cả đoạn KL bằng Lưu ý để giải bài toán này ta không cần biết các cạnh của hình thang.

Bài 3. Tia phân giác của góc trong B của tam giác ABC cắt cạnh AC thành các đoạn thẳng cách hai đỉnh A và C một khoảng bằng bao nhiêu thì tia phân giác của góc ngoài B cắt tia kéo dài AC?

Giải pháp. Mỗi tia phân giác của góc B chia AC theo cùng một tỷ lệ, nhưng một bên trong và một bên ngoài. Ta ký hiệu L là giao điểm của tia phân giác AC và đường phân giác của góc ngoài B. Vì AK Ta ký hiệu khoảng cách chưa biết là AL khi đó ta sẽ có tỉ số Giải phương trình cho ta khoảng cách cần thiết

Tự vẽ.

bài tập

1. Một hình thang có các đáy là 8 và 18 được chia bởi các đường thẳng song song với các đáy thành sáu dải có chiều rộng bằng nhau. Tìm độ dài các đoạn thẳng chia hình thang thành các dải.

2. Chu vi của tam giác là 32. Tia phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai phần lần lượt là 5 và 3. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.

3. Đáy của tam giác cân là a, cạnh bên là b. Tìm độ dài đoạn thẳng nối giao điểm của các đường phân giác của các góc của đáy với các cạnh.

Chỉ dẫn

Nếu một tam giác đã cho là cân hoặc đều, nghĩa là nó có
hai hoặc ba cạnh, sau đó phân giác của nó, theo tài sản Tam giác, cũng sẽ là trung vị. Và, do đó, đối diện sẽ chia đôi đường phân giác.

Đo cạnh đối diện bằng thước Tam giácđường phân giác sẽ hướng về đâu. Chia đôi mặt này và đặt một dấu chấm ở giữa mặt bên.

Vẽ đường thẳng đi qua điểm đã dựng và đỉnh đối diện. Đây sẽ là đường phân giác Tam giác.

Nguồn:

• Đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của tam giác

Việc chia một nửa góc và tính toán độ dài của một đường vẽ từ đỉnh của nó sang cạnh đối diện là cần thiết đối với thợ cắt, người khảo sát, thợ lắp và những người thuộc một số ngành nghề khác.

Bạn sẽ cần

• Dụng cụ Bút chì Thước đo góc Bảng sin và cosin công thức toán học và các khái niệm: Định nghĩa đường phân giác Các định lý sin và cosin Định lý về đường phân giác

Chỉ dẫn

Xây dựng một hình tam giác cần thiết và độ lớn, tùy thuộc vào những gì bạn được đưa ra? dfe cạnh và góc giữa chúng, ba cạnh hoặc hai góc và cạnh nằm giữa chúng.

Ký hiệu các đỉnh của các góc và các cạnh bằng chữ Latinh truyền thống A, B và C. Các đỉnh của các góc được ký hiệu, các cạnh đối diện là chữ thường. Dán nhãn các góc bằng các chữ cái Hy Lạp ?,? Và?

Sử dụng các định lý sin và cosin, tính các góc và các cạnh Tam giác.

Nhớ đường phân giác. Bisector - chia góc làm đôi. tia phân giác của góc Tam giác chia đoạn đối diện thành hai đoạn có tỉ số hai cạnh kề nhau bằng nhau Tam giác.

Vẽ đường phân giác của góc. Dán nhãn các phân đoạn kết quả với tên của các góc được viết chữ thường, với chỉ số l. Mặt c được chia thành các đoạn a và b có chỉ số l.

Tính độ dài của các đoạn kết quả bằng cách sử dụng định lý sin.

video liên quan

ghi chú

Độ dài của đoạn, đồng thời là cạnh của tam giác được tạo bởi một trong các cạnh của tam giác ban đầu, đường phân giác và chính đoạn đó, được tính bằng định lý sin. Để tính độ dài của một đoạn khác của cùng một cạnh, hãy sử dụng tỷ lệ của các đoạn kết quả và các cạnh liền kề của tam giác ban đầu.

Lời khuyên hữu ích

Để không bị nhầm lẫn, hãy vẽ các đường phân giác của các góc khác nhau màu khác.

đường phân giác gócđược gọi là một tia bắt đầu tại một đỉnh góc và chia thành hai phần bằng nhau. Những thứ kia. chi tiêu đường phân giác, bạn cần tìm ở giữa góc. Cách dễ nhất để làm điều này là với một la bàn. Trong trường hợp này, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào và kết quả sẽ không phụ thuộc vào việc giá trị có góc toàn bộ số.

Bạn sẽ cần

• compa, bút chì, thước kẻ.

Chỉ dẫn

Giữ nguyên chiều rộng của la bàn mở, đặt kim ở cuối đoạn ở một trong các cạnh và vẽ một phần của vòng tròn sao cho nó nằm bên trong góc. Làm tương tự với cái thứ hai. Bạn sẽ nhận được hai phần của các vòng tròn sẽ giao nhau bên trong góc- xấp xỉ ở giữa. Các phần của vòng tròn có thể giao nhau tại một hoặc hai điểm.

video liên quan

Lời khuyên hữu ích

Bạn có thể sử dụng thước đo góc để dựng đường phân giác của góc, nhưng phương pháp này đòi hỏi độ chính xác cao hơn. Trong trường hợp này, nếu giá trị góc không phải là số nguyên, xác suất xảy ra lỗi trong quá trình xây dựng đường phân giác sẽ tăng lên.

Khi xây dựng hoặc phát triển các dự án thiết kế nhà, thường phải xây dựng góc bằng cái đã có. Mẫu đến để giải cứu kiến thức học đường hình học.

Chỉ dẫn

Một góc tạo bởi hai đường thẳng xuất phát từ cùng một điểm. Điểm này sẽ được gọi là đỉnh của góc và các đường thẳng sẽ là các cạnh của góc.

Sử dụng ba để chỉ các góc: một ở trên cùng, hai ở hai bên. được gọi là góc, bắt đầu bằng chữ cái đứng một bên, sau đó gọi là chữ cái ở trên cùng, rồi đến chữ cái ở bên kia. Sử dụng những cái khác để đánh dấu các góc nếu bạn thích khác. Đôi khi chỉ có một chữ cái được gọi, ở trên cùng. Và bạn có thể biểu thị các góc bằng các chữ cái Hy Lạp, ví dụ: α, β, γ.

Có những tình huống cần thiết gócđể nó đã được đưa ra góc. Nếu không thể sử dụng thước đo góc khi xây dựng, bạn chỉ có thể thực hiện bằng thước kẻ và la bàn. Giả sử, trên dòng được đánh dấu bằng các chữ cái MN, bạn cần xây dựng góc tại điểm K sao cho bằng góc B. Tức là từ điểm K kẻ đường thẳng MN góc, sẽ bằng góc B.

Đầu tiên, đánh dấu một điểm trên mỗi cạnh của góc này, chẳng hạn như điểm A và C, sau đó nối điểm C và A bằng một đường thẳng. nhận tre góc nike ABC.

Bây giờ dựng ba đường thẳng MN giống nhau gócđỉnh B nằm trên đường thẳng tại điểm K. Sử dụng quy tắc dựng tam giác góc ba giờ. Tách đoạn KL ra khỏi điểm K. Nó phải bằng đoạn BC. Lấy điểm L.

Từ điểm K vẽ đường tròn bán kính bằng đoạn BA. Từ L vẽ đường tròn bán kính CA. Nối giao điểm (P) của giao điểm hai đường tròn với K. Lấy ba góc nick KPL, sẽ bằng ba góc ví dụ ABC. Vì vậy, bạn nhận được góc K. Nó sẽ bằng góc B. Để thuận tiện hơn và nhanh hơn, hãy dành các đoạn bằng nhau từ đỉnh B, sử dụng một giải pháp la bàn, không di chuyển chân, mô tả một vòng tròn có cùng bán kính từ điểm K.

video liên quan

Mẹo 5: Cách vẽ tam giác có hai cạnh và đường trung bình

Tam giác là đơn giản nhất hình hình học, có ba đỉnh được nối thành từng cặp bằng các đoạn tạo thành các cạnh của đa giác này. Đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện gọi là trung tuyến. Biết độ dài của hai cạnh và trung tuyến nối tại một trong các đỉnh, bạn có thể dựng một tam giác mà không cần biết độ dài của cạnh thứ ba hoặc các góc.

Chỉ dẫn

Vẽ một đoạn từ điểm A, độ dài của đoạn này là một trong các cạnh đã biết của tam giác (a). Đánh dấu điểm cuối của đoạn này bằng chữ B. Sau đó, một trong các cạnh (AB) của tam giác mong muốn có thể được coi là đã được xây dựng.

Dùng compa vẽ đường tròn có bán kính bằng 2 lần độ dài trung tuyến (2∗m) và có tâm là A.

Dùng compa vẽ đường tròn thứ hai có bán kính bằng chiều dài bên đã biết(b) và có tâm là điểm B. Đặt la bàn sang một bên một lúc, nhưng để lại la bàn đã đo - bạn sẽ cần lại nó sau một thời gian ngắn.

Dựng đoạn thẳng nối điểm A với giao điểm của hai điểm đã vẽ. Một nửa đoạn này sẽ là đoạn bạn đang xây dựng - đo nửa này và đặt điểm M. Tại thời điểm này, bạn có một cạnh của tam giác mong muốn (AB) và trung tuyến của nó (AM).

Sử dụng compa để vẽ một đường tròn có bán kính bằng độ dài của cạnh thứ hai đã biết (b) và có tâm tại điểm A.

Vẽ một đoạn bắt đầu tại điểm B, đi qua điểm M và kết thúc tại giao điểm của đường thẳng với đường tròn mà bạn đã vẽ ở bước trước. Chỉ định giao điểm bằng chữ C. Bây giờ, ở phía cần thiết, cạnh BC, không xác định bởi các điều kiện của vấn đề, cũng được xây dựng.

Khả năng chia bất kỳ góc nào bằng đường phân giác là cần thiết không chỉ để đạt điểm "A" trong toán học. Kiến thức này sẽ rất hữu ích cho người xây dựng, nhà thiết kế, người khảo sát và thợ may. Có nhiều thứ trong cuộc sống cần được chia ra.

Mọi người ở trường đã dạy một trò đùa về một con chuột chạy quanh các góc và chia đôi góc. Loài gặm nhấm nhanh nhẹn và thông minh này được gọi là Bisector. Không biết con chuột chia góc như thế nào, nhưng có thể gợi ý cho các nhà toán học trong sách giáo khoa "Hình học" những cách sau.

Với sự giúp đỡ của một thước đo góc

Cách dễ nhất để vẽ một đường phân giác là sử dụng một thiết bị. Cần gắn thước đo góc vào một bên của góc, căn chỉnh điểm tham chiếu với đầu O. Sau đó, đo góc theo độ hoặc radian và chia cho hai. Với sự trợ giúp của cùng một thước đo góc, đặt các độ thu được từ một trong các cạnh sang một bên và vẽ một đường thẳng, đường thẳng này sẽ trở thành đường phân giác, đến điểm bắt đầu góc O.

Với sự giúp đỡ của một vòng tròn

Bạn cần lấy một chiếc la bàn và tạo nó theo bất kỳ kích thước tùy ý nào (trong bản vẽ). Sau khi đặt đầu nhọn tại điểm bắt đầu của góc O, vẽ một cung cắt các tia, đánh dấu hai điểm trên chúng. Chỉ định chúng A1 và A2. Sau đó, đặt la bàn xen kẽ tại các điểm này, hai vòng tròn có cùng đường kính tùy ý sẽ được vẽ (theo tỷ lệ của bản vẽ). Giao điểm của chúng được chỉ định là C và B. Tiếp theo, bạn cần vẽ một đường thẳng đi qua các điểm O, C và B, đây sẽ là đường phân giác mong muốn.

Với một người cai trị

Để vẽ đường phân giác của một góc bằng thước kẻ, bạn cần kẻ các đoạn từ điểm O trên các tia (các cạnh) cùng chiều dài và đánh dấu chúng bằng các điểm A và B. Sau đó, bạn nên nối chúng bằng một đường thẳng và dùng thước để chia đôi đoạn kết quả, đánh dấu điểm C. Đường phân giác sẽ xuất hiện nếu bạn vẽ một đường thẳng đi qua các điểm C và O .

không có dụng cụ

Nếu không có công cụ đo lường, bạn có thể sử dụng sự khéo léo. Chỉ cần vẽ một góc trên giấy can hoặc giấy mỏng thông thường và cẩn thận gấp tờ giấy sao cho các tia của góc thẳng hàng. Đường gấp trong bản vẽ sẽ là đường phân giác mong muốn.

Góc mở rộng

Một góc lớn hơn 180 độ có thể được chia bởi một đường phân giác theo cách tương tự. Chỉ cần chia không phải nó, mà là cái liền kề với nó góc nhọn, còn lại từ vòng tròn. Phần tiếp theo của đường phân giác tìm được sẽ trở thành đường thẳng mong muốn, chia đôi góc mở rộng.

Các góc trong một tam giác

Cần nhớ rằng trong Tam giác đềuđường phân giác cũng là trung tuyến và chiều cao. Do đó, đường phân giác trong nó có thể được tìm thấy bằng cách hạ thấp đường vuông góc xuống cạnh đối diện với góc (chiều cao) hoặc chia cạnh này làm đôi và nối trung điểm với góc đối diện (trung tuyến).

video liên quan

Quy tắc ghi nhớ “đường phân giác là con chuột chạy quanh các góc và chia đôi chúng” mô tả bản chất của khái niệm này, nhưng không đưa ra khuyến nghị để xây dựng đường phân giác. Để vẽ nó, ngoài quy tắc, bạn sẽ cần một la bàn và thước kẻ.

Chỉ dẫn

Giả sử bạn cần xây dựng đường phân giác góc A. Lấy một chiếc compa, đặt nó có mũi nhọn tại điểm A (góc) và vẽ một đường tròn bất kỳ . Nơi nó cắt các cạnh của góc, đặt các điểm B và C.

Đo bán kính của hình tròn đầu tiên. Vẽ một cái khác có cùng bán kính, đặt la bàn tại điểm B.

Vẽ vòng tròn tiếp theo (có kích thước bằng với vòng tròn trước đó) có tâm là điểm C.

Cả ba đường tròn phải cắt nhau tại một điểm - hãy gọi nó là F. Dùng thước kẻ, vẽ một tia đi qua các điểm A và F. Đây sẽ là tia phân giác mong muốn của góc A.

Có một số quy tắc để giúp bạn tìm thấy. Chẳng hạn, nó đối nhau trong , bằng tỉ số của hai cạnh kề nhau. ở dạng cân