Tính các đạo hàm của hàm ẩn được cho bởi một hệ phương trình.

Cho một hệ phương trình

hoặc ngắn gọnF(x, y)=0 (1)

Sự định nghĩa. Hệ thống (1) xác định một chức năng được xác định ngầmy= f(x) trênD R N

,

nếu x D : F(x , f(x)) = 0.

Định lý (sự tồn tại và tính duy nhất của một ánh xạ được xác định ngầm bởi một hệ phương trình). Để cho

Sau đó, trong một số khu vực lân cậnU (x 0 ) có một hàm duy nhất (ánh xạ) được xác định trong vùng lân cận nàyy = f(x), như vậy mà

 x U (x 0 ) : F(x, f(x)) = 0 vày 0 = f(x 0 ).

Chức năng này liên tục có thể phân biệt được ở một số vùng lân cận của điểmx 0 .

5. Tính đạo hàm của hàm ẩn cho bởi một hệ phương trình

Hệ thống đưa ra

(1)

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện của định lý về sự tồn tại và tính duy nhất đối với hàm ẩn được đưa ra bởi hệ phương trình này được thỏa mãn. Chúng tôi biểu thị chức năng này y= f(x) . Sau đó, trong một số vùng lân cận của điểm x 0 danh tính

(F (x, f (x)) = 0) (2)

Phân biệt những đặc điểm nhận dạng này đối với x j chúng tôi nhận được

=0 (3)

Các giá trị bằng nhau này có thể được viết dưới dạng ma trận

, (3)

hoặc mở rộng

.

Lưu ý rằng sự chuyển đổi từ bình đẳng F(x, f(x))=0 đến
, tương ứng với các quy tắc phân biệt cho trường hợp khi x và y là các điểm trong không gian một chiều. Ma trận không suy biến theo giả thiết, vì vậy phương trình ma trận
có một giải pháp
. Do đó, người ta có thể tìm thấy các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm ngầm định . Để tìm sự khác biệt, chúng tôi ký hiệu

dy = ,dx = , phân biệt sự bình đẳng (2) chúng tôi nhận được

=0 ,

hoặc ở dạng ma trận

. (4)

Đã mở rộng

.

Như trong trường hợp của đạo hàm riêng, công thức (4) chúng ta có dạng tương tự như đối với trường hợp không gian một chiều N=1, P=1. Giải pháp cho phương trình ma trận này có thể được viết dưới dạng
. Để tìm các đạo hàm riêng của bậc hai, cần phải phân biệt các đặc điểm nhận dạng (3) (để tính toán chênh lệch bậc hai, bạn cần phân biệt các đặc điểm nhận dạng (4) ). Do đó, chúng tôi nhận được

,

qua đâu Một các điều khoản không chứa các điều khoản mong muốn được chỉ định
.

Ma trận các hệ số của hệ thống này để xác định các đạo hàm
là ma trận Jacobian .

Một công thức tương tự có thể nhận được cho vi phân. Trong mỗi trường hợp này, một phương trình ma trận sẽ nhận được với cùng một ma trận các hệ số trong một hệ phương trình để xác định các đạo hàm hoặc vi phân mong muốn. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra dưới sự phân biệt sau đây.

Ví dụ 1. Tìm ,,tại điểm u=1, v=1.

Dung dịch. Phân biệt các bằng nhau đã cho

(5)

Lưu ý rằng, theo công thức của bài toán, chúng ta nên coi là các biến độc lập x, y. Sau đó, các chức năng sẽ được z, u, v. Do đó hệ thống (5) quyết định về điều chưa biết du, dv, dz . Ở dạng ma trận, nó trông như thế này

.

Hãy giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng quy tắc Cramer. Hệ số quyết định ma trận

, Yếu tố quyết định "được thay thế" thứ ba cho dz sẽ bằng (nó được tính bằng cách mở rộng trên cột cuối cùng)

, sau đó

dz =
, và
,
.

Phân biệt (5) lại ( x, y – biến độc lập)

Ma trận hệ số của hệ thống giống nhau, yếu tố quyết định thứ ba

Giải quyết hệ thống này, chúng tôi nhận được một biểu thức cho d 2 z nơi bạn có thể tìm thấy phái sinh mong muốn.

Như bạn đã biết, một hàm cho trước hoàn toàn của một biến được định nghĩa như sau: một hàm của một biến độc lập x được gọi là hàm ẩn nếu nó được cho bởi một phương trình không được giải theo y:

Ví dụ 1.11.

Phương trình

xác định ngầm hai chức năng:

Và phương trình

không xác định bất kỳ chức năng nào.

Định lý 1.2 (tồn tại một hàm không tường minh).

Cho hàm z \ u003d f (x, y) và các đạo hàm riêng f "x và f" y của nó được xác định và liên tục trong một số lân cận UM0 của điểm M0 (x0y0). Ngoài ra, f (x0, y0) = 0 và f "(x0, y0) ≠ 0, thì phương trình (1.33) xác định trong vùng lân cận của UM0 một hàm ẩn y = y (x), liên tục và có thể phân biệt trong một khoảng nào đó D với tâm tại điểm x0 và y (x0) = y0.

Không cần bằng chứng.

Từ Định lý 1.2, suy ra rằng trên khoảng D này:

nghĩa là, có một danh tính trong

trong đó đạo hàm "tổng" được tìm thấy theo (1.31)

Nghĩa là, (1.35) đưa ra một công thức để tìm đạo hàm của một hàm số đã cho ngầm định của một biến x.

Một hàm ngầm định của hai hoặc nhiều biến được định nghĩa tương tự.

Ví dụ, nếu trong một vùng V nào đó của không gian Oxyz, phương trình sau là đúng:

thì trong các điều kiện nhất định trên hàm F, nó sẽ định nghĩa một cách ngầm định hàm

Đồng thời, bằng cách tương tự với (1.35), các đạo hàm riêng của nó được tìm thấy như sau:

Ví dụ 1.12. Giả sử rằng phương trình

xác định ngầm một chức năng

tìm z "x, z" y.

do đó, theo (1.37), chúng tôi có được câu trả lời.

11. Sử dụng đạo hàm riêng trong hình học.

12. Cực trị của hàm hai biến.

Các khái niệm về cực đại, cực tiểu, cực trị của một hàm hai biến tương tự như các khái niệm tương ứng của một hàm một biến độc lập (xem Mục 25.4).

Cho hàm z = ƒ (х; у) được xác định trong miền D nào đó, điểm N (x0; y0) н D.

Một điểm (x0; y0) được gọi là điểm cực đại của hàm z = ƒ (x; y) nếu tồn tại lân cận d của điểm (x0; y0) mà với mỗi điểm (x; y) khác (xo; yo), vùng lân cận này thỏa mãn bất đẳng thức ƒ (х; у)<ƒ(хо;уо).

NHƯNG điểm cực tiểu của hàm được xác định một cách logic: đối với mọi điểm (x; y) khác (x0; y0), bất đẳng thức sau tuân theo lân cận d của điểm (xo; yo): ƒ (x; y) > ƒ (x0; y0).

Trong hình 210: N1 là điểm cực đại và N2 là điểm cực tiểu của hàm z = ƒ (x; y).

Giá trị của hàm số tại điểm đạt cực đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số. Cực đại và cực tiểu của một hàm được gọi là cực trị của nó.

Lưu ý rằng, theo định nghĩa, điểm cực trị của hàm nằm bên trong miền của hàm; cực đại và cực tiểu có ký tự cục bộ (cục bộ): giá trị của hàm tại điểm (x0; y0) được so sánh với giá trị của nó tại các điểm đủ gần với (x0; y0). Trong vùng D, hàm có thể có một số cực trị hoặc không có.

46,2. Điều kiện cần và đủ để có một cực đại

Xét các điều kiện để tồn tại cực trị của một hàm số.

Định lý 46.1 (điều kiện cần để có cực trị). Nếu tại điểm N (x0; y0) hàm phân biệt z \ u003d ƒ (x; y) có cực trị thì các đạo hàm riêng của nó tại điểm này bằng 0: ƒ "x (x0; y0) \ u003d 0, ƒ "y (x0; y0) = 0.

Chúng tôi sửa một trong các biến. Giả sử, chẳng hạn, y = y0. Khi đó ta được hàm ƒ (x; y0) = φ (x) một biến có cực trị tại x = x0. Do đó, theo điều kiện cần thiết để đạt cực trị của hàm một biến (xem đoạn 25.4), thì φ "(x0) \ u003d 0, tức là, ƒ" x (x0; y0) \ u003d 0.

Tương tự, có thể chỉ ra rằng ƒ "y (x0; y0) \ u003d 0.

Về mặt hình học, các giá trị bằng nhau ƒ "x (x0; y0) \ u003d 0 và ƒ" y (x0; y0) \ u003d 0 có nghĩa là tại điểm cực trị của hàm z \ u003d ƒ (x; y), mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt mô tả hàm ƒ (x; y), song song với mặt phẳng Oxy, vì phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến là z = z0 (xem công thức (45.2)).

Z Ghi chú. Một hàm có thể có cực trị tại những điểm mà ít nhất một trong các đạo hàm riêng không tồn tại. Ví dụ, hàm có cực đại tại điểm O (0; 0) (xem Hình 211), nhưng không có đạo hàm riêng tại điểm này.

Điểm tại đó đạo hàm riêng bậc nhất của hàm z ≈ ƒ (x; y) bằng 0, tức là f "x = 0, f" y = 0, được gọi là điểm dừng của hàm z.

Điểm đứng yên và điểm mà ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại được gọi là điểm tới hạn.

Tại các điểm tới hạn, hàm có thể có hoặc không có cực trị. Bằng 0 của đạo hàm riêng là điều kiện cần nhưng không đủ để tồn tại một cực trị. Ví dụ, hãy xem xét hàm z = xy. Đối với cô ấy, điểm O (0; 0) là quan trọng (trong đó z "x \ u003d y và z" y - x biến mất). Tuy nhiên, hàm z = xy không có cực trị vì trong một lân cận đủ nhỏ của điểm O (0; 0) có các điểm mà z> 0 (điểm I và III thuộc phần tư) và z< 0 (точки II и IV четвертей).

Do đó, để tìm cực trị của hàm trong một vùng nhất định, cần phải nghiên cứu thêm từng điểm tới hạn của hàm vào một nghiên cứu bổ sung.

Định lý 46.2 (điều kiện đủ để có cực trị). Cho hàm ƒ (x; y) có đạo hàm riêng liên tục lên đến bậc hai bao hàm tại một điểm đứng yên (xo; yo) và một số lân cận của nó. Chúng ta hãy tính tại điểm (x0; y0) các giá trị A = f "" xx (x0; y0), B = ƒ "" xy (x0; y0), C = ƒ "" yy (x0; y0) . Chứng tỏ

1. nếu Δ> 0 thì hàm số ƒ (x; y) tại điểm (x0; y0) có cực trị: cực đại nếu A< 0; минимум, если А > 0;

2. nếu Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Trong trường hợp Δ = 0, có thể có hoặc không có cực trị tại điểm (x0; y0). Nghiên cứu thêm là cần thiết.

NHIỆM VỤ

1.

Thí dụ. Tìm khoảng thời gian tăng và giảm của cơ số. Dung dịch. Bước đầu tiên là tìm vùng của các định nghĩa hàm. Trong ví dụ của chúng tôi, biểu thức ở mẫu số không được biến mất. Hãy chuyển sang hàm đạo hàm: Để xác định khoảng tăng và giảm của một hàm theo một tiêu chí đủ, chúng ta giải các bất đẳng thức và trên miền định nghĩa. Hãy để chúng tôi sử dụng một cách tổng quát của phương pháp khoảng. Căn thực duy nhất của tử số là x = 2, và mẫu số biến mất ở x = 0. Các điểm này chia miền định nghĩa thành các khoảng trong đó đạo hàm của hàm số vẫn giữ nguyên dấu của nó. Hãy đánh dấu những điểm này trên trục số. Bằng các điểm cộng và điểm trừ, chúng ta biểu thị một cách có điều kiện các khoảng mà đạo hàm là dương hoặc âm. Các mũi tên bên dưới hiển thị sơ đồ mức tăng hoặc giảm của hàm trên khoảng thời gian tương ứng. Bằng cách này, và . Tại điểm x = 2 hàm là xác định và liên tục, vì vậy nó phải được thêm vào cả khoảng tăng và khoảng giảm. Tại điểm x = 0 chức năng không được xác định, vì vậy điểm này không được bao gồm trong các khoảng bắt buộc. Ta trình bày đồ thị của hàm số để so sánh kết quả thu được với nó. Câu trả lời: chức năng tăng lên với , giảm trong khoảng thời gian (0; 2] .

2.

Các ví dụ.

Đặt khoảng thời gian cho độ lồi và độ lõm của đường cong y = 2 – x 2 .

Hãy tìm y"" và xác định vị trí đạo hàm cấp hai là dương và vị trí nào là âm. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Tại vì y"" = e x> 0 cho bất kỳ x, sau đó đường cong bị lõm ở mọi nơi.

y = x 3 . Tại vì y"" = 6x, sau đó y"" < 0 при x < 0 и y""> 0 khi x> 0. Do đó, lúc x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 là mặt lõm.

3.

4. Cho hàm số z = x ^ 2-y ^ 2 + 5x + 4y, vectơ l = 3i-4j và điểm A (3,2). Tìm dz / dl (theo tôi hiểu, đạo hàm của hàm theo hướng của vectơ), gradz (A), | gradz (A) |. Tìm đạo hàm riêng: z (theo x) = 2x + 5 z (theo y) = - 2y + 4 Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm A (3,2): z (theo x) (3,2) = 2 * 3 + 5 = 11 z (theo y) (3,2) = - 2 * 2 + 4 = 0 ^ 2) = 11 Đạo hàm của hàm z theo hướng của vectơ l: dz / dl = z ( theo x) * cosa + z (theo y) * cosb, a, b góc của vectơ l với các trục tọa độ. cosa = lх / | l |, cosb = ly / | l |, | l | = sqrt (lx ^ 2 + ly ^ 2) lx = 3, ly = -4, | l | = 5. cosa = 3/5, cosb = (- 4) / 5. dz / dl = 11 * 3/5 + 0 * (- 4) /5=6,6.

Chúng ta sẽ học cách tìm các đạo hàm của các hàm được cho một cách ngầm định, tức là, được cho bởi một số phương trình liên hệ giữa các biến với nhau x và y. Ví dụ về các hàm được định nghĩa ngầm:

,

,

Các dẫn xuất của các hàm ngầm định, hoặc các dẫn xuất của các hàm ngầm định, khá dễ tìm. Bây giờ chúng ta hãy phân tích quy tắc và ví dụ tương ứng, sau đó tìm hiểu lý do tại sao điều này lại cần thiết.

Để tìm đạo hàm của một hàm số đã cho, cần phải phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x. Những số hạng mà trong đó chỉ có x sẽ biến thành đạo hàm thông thường của một hàm của x. Và các số hạng với y phải được phân biệt bằng cách sử dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức, vì y là một hàm của x. Nếu nó khá đơn giản, thì trong đạo hàm kết quả của số hạng với x, nó sẽ trở thành: đạo hàm của hàm từ y, nhân với đạo hàm từ y. Ví dụ, đạo hàm của số hạng sẽ được viết là, đạo hàm của số hạng sẽ được viết là. Hơn nữa, từ tất cả những điều này, cần phải biểu thị "nét y" này và sẽ thu được đạo hàm mong muốn của hàm đã cho một cách ngầm định. Hãy xem điều này với một ví dụ.

ví dụ 1

Dung dịch. Chúng ta phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x, giả sử rằng y là một hàm của x:

Từ đây, chúng tôi nhận được đạo hàm được yêu cầu trong tác vụ:

Bây giờ là điều gì đó về thuộc tính không rõ ràng của các hàm được xác định ngầm và tại sao cần có các quy tắc đặc biệt để phân biệt chúng. Trong một số trường hợp, bạn có thể đảm bảo rằng sự thay thế trong một phương trình đã cho (xem các ví dụ ở trên) thay vì y của biểu thức của nó qua x dẫn đến thực tế là phương trình này biến thành một đồng nhất. Vì thế. phương trình trên xác định ngầm các chức năng sau:

Sau khi thay biểu thức y bình phương qua x vào phương trình ban đầu, chúng ta nhận được danh tính:

.

Các biểu thức mà chúng tôi thay thế nhận được bằng cách giải phương trình cho y.

Nếu chúng ta phân biệt hàm rõ ràng tương ứng

thì chúng ta sẽ nhận được một phản hồi như trong ví dụ 1 - từ một hàm được chỉ định ngầm:

Nhưng không phải mọi hàm được cung cấp ngầm đều có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) . Vì vậy, ví dụ, các hàm được định nghĩa ngầm

không được thể hiện dưới dạng các hàm cơ bản, tức là, những phương trình này không thể giải được đối với người chơi. Do đó, có một quy tắc để phân biệt một hàm được cung cấp ngầm, mà chúng tôi đã nghiên cứu và sẽ được áp dụng nhất quán trong các ví dụ khác.

Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của một hàm số cho trước một cách hoàn toàn:

.

Chúng tôi biểu diễn số nguyên tố y và - ở đầu ra - đạo hàm của hàm đã cho một cách ngầm hiểu:

Ví dụ 3 Tìm đạo hàm của một hàm số cho trước một cách hoàn toàn:

.

Dung dịch. Phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x:

.

Ví dụ 4 Tìm đạo hàm của một hàm số cho trước một cách hoàn toàn:

.

Dung dịch. Phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x:

.

Chúng tôi biểu diễn và lấy đạo hàm:

.

Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của một hàm số cho trước một cách hoàn toàn:

Dung dịch. Chúng tôi chuyển các số hạng ở bên phải của phương trình sang bên trái và để lại số 0 ở bên phải. Phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x.

Hàm ngầm định được xác định bởi một hệ phương trình

Cho một hệ phương trình

hoặc ngắn gọn F(x, y)= 0. (6.7)

Sự định nghĩa. Hệ thống(6.7)định nghĩa một hàm ngầm định y = f(x)đến DÌR n

nếu "xОD:F(x, f(x)) = 0.

Định lý (sự tồn tại và tính duy nhất của một ánh xạ được xác định ngầm bởi một hệ phương trình).Để cho

1) F i(x, y)từ (6.4) được xác định và có các đạo hàm riêng liên tục của bậc đầu tiên, (i = 1,…, P, k = 1,…, N, j = 1,…, P) trong khu phố U(M 0)điểm M 0 (x 0 , y 0), x 0 =, y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Sau đó, trong một số khu phố U(x 0)có một hàm duy nhất (ánh xạ) được xác định trong vùng lân cận này y = f(x), như vậy mà

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0và y 0 = f(x 0).

Hàm này liên tục có thể phân biệt được trong một số vùng lân cận của điểm x 0 .

Hệ thống đưa ra

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện của định lý về sự tồn tại và tính duy nhất đối với hàm ẩn được đưa ra bởi hệ phương trình này được thỏa mãn. Chúng tôi biểu thị chức năng này y = f(x) . Sau đó, trong một số vùng lân cận của điểm x 0 danh tính là đúng

Phân biệt những đặc điểm nhận dạng này đối với x j chúng tôi nhận được

= 0.(6.9)

Các giá trị bằng nhau này có thể được viết dưới dạng ma trận

hoặc mở rộng

Lưu ý rằng sự chuyển đổi từ bình đẳng F(x, f(x)) = 0k , tương ứng với các quy tắc phân biệt cho trường hợp khi x và y là các điểm trong không gian một chiều. Ma trận không suy biến theo điều kiện nên phương trình ma trận có nghiệm. Như vậy, có thể tìm được các đạo hàm riêng cấp một của hàm không tường minh. Để tìm sự khác biệt, chúng tôi ký hiệu

dy = , dx =, phân biệt các giá trị bằng nhau (6.8), chúng tôi thu được

hoặc ở dạng ma trận

Đã mở rộng

Cũng giống như trong trường hợp đạo hàm riêng, công thức (6.10) có dạng giống như trong trường hợp không gian một chiều n = 1, p = 1. Nghiệm của phương trình ma trận này có thể được viết dưới dạng Để tìm đạo hàm riêng cấp hai, cần phải phân biệt đồng dạng (6.9) (để tính vi phân cấp hai, cần phân biệt đồng dạng (6.10)). Do đó, chúng tôi nhận được

qua đâu Một các điều khoản không chứa các điều khoản mong muốn được biểu thị.

Ma trận hệ số của hệ thống này để xác định các đạo hàm là ma trận Jacobian.

Một công thức tương tự có thể nhận được cho vi phân. Trong mỗi trường hợp này, một phương trình ma trận sẽ nhận được với cùng một ma trận các hệ số trong hệ phương trình để xác định các đạo hàm hoặc vi phân mong muốn. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra dưới sự phân biệt sau đây.

ví dụ 1 Tìm, tại một điểm u = 1, v = 1.

Dung dịch. Phân biệt các bằng nhau đã cho

Lưu ý rằng nó tuân theo điều kiện của bài toán mà chúng ta nên coi là các biến độc lập x, y. Sau đó, các chức năng sẽ được z, u, v. Do đó, hệ thống (6.11) cần được giải quyết đối với các ẩn số du, dv, dz.Ở dạng ma trận, nó trông như thế này

Hãy giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng quy tắc Cramer. Hệ số quyết định ma trận

Yếu tố quyết định "được thay thế" thứ ba cho dz sẽ bằng (nó được tính bằng cách mở rộng trên cột cuối cùng)

dz =, và, .

Chúng ta lại phân biệt (6,11) ( x, y- biến độc lập)

Ma trận hệ số của hệ thống giống nhau, yếu tố quyết định thứ ba

Giải quyết hệ thống này, chúng tôi nhận được một biểu thức cho d2z nơi bạn có thể tìm thấy phái sinh mong muốn.

6.3. Các ánh xạ có thể phân biệt

Các ánh xạ đạo hàm. Hiển thị thường xuyên. Điều kiện cần và đủ để có sự phụ thuộc hàm.

Để hàm được đưa ra một cách hoàn toàn bằng cách sử dụng phương trình
(1) .
Và để phương trình này, đối với một số giá trị, có nghiệm duy nhất. Hãy để hàm là một hàm có thể phân biệt được tại điểm, và
.
Sau đó, với giá trị này, có một đạo hàm, được xác định bằng công thức:
(2) .

Bằng chứng

Để chứng minh, hãy coi hàm số là một hàm số phức của biến số:
.
Chúng ta áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức và tìm đạo hàm đối với biến của vế trái và vế phải của phương trình
(3) :
.
Vì đạo hàm của hằng số bằng 0 và nên
(4) ;
.

Công thức đã được chứng minh.

Phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn

Hãy để chúng tôi viết lại phương trình (4) bằng cách sử dụng ký hiệu khác:
(4) .
Hơn nữa, và là các hàm phức tạp của biến:
;
.
Sự phụ thuộc xác định phương trình (1):
(1) .

Chúng ta tìm đạo hàm đối với biến từ vế trái và vế phải của phương trình (4).
Theo công thức tính đạo hàm của một hàm số phức, ta có:
;
.
Theo công thức sản phẩm phái sinh:

.
Theo công thức tính tổng đạo hàm:


.

Vì đạo hàm của vế phải của phương trình (4) bằng 0 nên
(5) .
Thay đạo hàm ở đây, chúng ta nhận được giá trị của đạo hàm cấp hai ở dạng ẩn.

Phân biệt phương trình (5) theo cách tương tự, ta thu được phương trình chứa đạo hàm cấp ba:
.
Thay vào đây các giá trị tìm được của đạo hàm bậc nhất và bậc hai, ta tìm được giá trị của đạo hàm bậc ba.

Tiếp tục phân hóa, người ta có thể tìm thấy đạo hàm của bất kỳ lệnh nào.

Các ví dụ

ví dụ 1

Tìm đạo hàm cấp một của hàm số được cho bởi phương trình:
(P1) .

Giải pháp công thức 2

Ta tìm đạo hàm theo công thức (2):
(2) .

Hãy chuyển tất cả các biến sang vế trái để phương trình có dạng.
.
Từ đây.

Chúng tôi tìm đạo hàm đối với, giả sử rằng nó là hằng số.
;
;
;
.

Chúng ta tìm đạo hàm đối với biến, giả sử biến là hằng số.
;
;
;
.

Theo công thức (2) ta tìm được:
.

Chúng ta có thể đơn giản hóa kết quả nếu chúng ta lưu ý rằng theo phương trình ban đầu (A.1) ,. Thay thế :
.
Nhân tử số và mẫu số với:
.

Giải pháp theo cách thứ hai

Hãy giải quyết ví dụ này theo cách thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm đối với biến của phần bên trái và bên phải của phương trình ban đầu (P1).

Chúng tôi áp dụng:
.
Chúng tôi áp dụng công thức cho đạo hàm của một phân số:
;
.
Chúng tôi áp dụng công thức cho đạo hàm của một hàm phức:
.
Chúng tôi phân biệt phương trình ban đầu (P1).
(P1) ;
;
.
Nhân với và nhóm các điều khoản.
;
.

Thay thế (từ phương trình (P1)):
.
Hãy nhân với:
.

Câu trả lời

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm đã cho bằng phương trình:
(P2.1) .

Dung dịch

Phân biệt phương trình ban đầu với biến số, giả sử rằng nó là một hàm của:
;
.
Chúng tôi áp dụng công thức cho đạo hàm của một hàm phức.
.

Chúng tôi phân biệt phương trình ban đầu (A2.1):
;
.
Nó tuân theo phương trình ban đầu (A2.1) đó. Thay thế :
.
Mở rộng dấu ngoặc và nhóm các thành viên:
;
(P2.2) .
Chúng tôi tìm đạo hàm của bậc đầu tiên:
(P2.3) .

Để tìm đạo hàm cấp hai, ta phân biệt phương trình (A2.2).
;
;
;
.
Chúng tôi thay thế biểu thức cho đạo hàm bậc nhất (A2.3):
.
Hãy nhân với:

;
.
Từ đây ta tìm được đạo hàm cấp hai.

Câu trả lời

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm bậc ba của hàm đã cho bằng cách sử dụng phương trình:
(P3.1) .

Dung dịch

Phân biệt phương trình ban đầu đối với biến số, giả sử rằng đó là một hàm của.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Chúng tôi phân biệt phương trình (A3.2) đối với biến số.
;
;
;
;
;
(P3.3) .

Chúng tôi phân biệt phương trình (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

Từ các phương trình (A3.2), (A3.3) và (A3.4) ta tìm được giá trị của các đạo hàm tại.
;
;
.