Theo cấu trúc, ACF là một hàm chẵn, tức là . Do tính chẵn lẻ, ACF thường chỉ được tính cho.

Đối với, giá trị ACF là ước tính phương sai của trường đang nghiên cứu; đối với ACF, nó thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị trường đối với các bộ chọn lân cận (tiết lộ) và đại diện cho ước tính hệ số tương quan cho các giá trị này; đối với ACF, nó thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị trường được phân tách bằng hai dấu hiệu, v.v. d.

Trong thực tế, các giá trị chuẩn hóa của các hàm tự tương quan thường được sử dụng R n. (m). Trong trường hợp này, quá trình chuẩn hóa được thực hiện trên R (0):

(4.5)

Có thể chỉ ra rằng ước lượng các giá trị chuẩn hóa của hàm tự tương quan, với cỡ mẫu đủ (số điểm trên hồ sơ), có các giá trị sau đặc tính :

3. Hàm tự tương quan chẵn, nghĩa là, R n. (m) = R n. (-m), do đó, khi đánh giá các hàm tự tương quan, chúng thường bị giới hạn trong các giá trị của nó đối với các giá trị không âm của đối số m> = 0.

4. Hai quá trình ngẫu nhiên F 1 = (f 1, f 2,… ..f n) và F 2 = (kf 1, kf 2,… ..kf n) chỉ khác nhau bởi một hệ số không đổi k, có cùng kiểu Hàm tự tương quan chuẩn hóa R n (m).

5. Hai quá trình ngẫu nhiên F 1 = (f 1, f 2,… ..f n) và F 2 = (f 1 + k, f 2 + k,… ..f n + k) dịch chuyển tương đối với nhau bằng một hằng số giá trị k, có cùng dạng của hàm tự tương quan chuẩn hóa R n (m).

Phân tích các biểu thức 4.1 và 4.5, chúng ta có thể kết luận rằng các giá trị chuẩn hóa của hàm tự tương quan R n. (m) không có gì khác hơn là một hệ số tương quan được tính cho các điểm cách xa nhau bằng m cái cuốc. Do đó, các giá trị của hàm tương quan, đối với một đối số cụ thể m cho biết các giá trị của trường cách nhau bao xa m bộ gắp, tương quan với nhau. Vì thế nếu R (5) = 0,85, thì điều này chỉ ra rằng các giá trị của trường, cách nhau 5 bộ chọn, nói chung, khá tương quan nếu R (9) = 0,05, khi đó các giá trị của trường bị loại bỏ bởi 9 bộ chọn thực tế là độc lập (không tương quan). Cuối cùng, nếu, ví dụ, R (13) = - 0,9, thì có một mối tương quan nghịch đảo mạnh mẽ giữa các giá trị trường cách nhau 13 bộ chọn. Một quá trình ngẫu nhiên mà ngay cả với một thành kiến ​​duy nhất R (1)<=0 , đã được đặt tên quá trình hoàn toàn không liên quan (“tiếng ồn trắng”) .

Hình 4.1 cho thấy các ví dụ về tính toán các hàm tự tương quan chuẩn hóa cho các quá trình ngẫu nhiên khác nhau có dạng gần với một hằng số (1), một hình sin (2), một quá trình hoàn toàn không tương quan (3), một bậc hai (4) và một tuyến tính (5) hàm số. Theo hình thứ hai, hàm tự tương quan của một quá trình tuần hoàn cũng là tuần hoàn. Trong trường hợp này, chu kỳ của hàm tự tương quan trùng với chu kỳ của quá trình. Đối với một tín hiệu hoàn toàn không tương quan, các giá trị của hàm tự tương quan gần bằng 0 đối với mọi giá trị khác không của đối số.

Các giá trị chuẩn hóa của hàm tự tương quan của một quá trình không đổi giống hệt nhau bằng một, vì đối với bất kỳ độ lệch nào m các giá trị của quá trình ngẫu nhiên hoàn toàn trùng khớp, tức là chúng có tương quan tuyệt đối.

ACF xác định một thuộc tính quan trọng như là khoảng tương quan. Dưới khoảng thời gian hoặc bán kính tương quan hiểu khoảng cách như vậy giữa các giá trị trường r, bắt đầu từ đó các giá trị của trường và có thể được coi là không tương quan, và theo luật phân phối chuẩn - độc lập với nhau. Các kỹ thuật heuristic khác nhau được sử dụng để ước tính khoảng tương quan. Kỹ thuật phổ biến nhất là ước tính giá trị của r từ một giá trị nhất định, trong đó . Trong đó rđược lấy bằng đối số ACF, m, bắt đầu từ đó mối quan hệ được hoàn thành.

Để ước tính khoảng tương quan, các quan hệ sau cũng được sử dụng:

hoặc .

Trong thực tế, bán kính tương quan được ước tính bằng giá trị nhỏ nhất của đối số m, tại đó hàm tự tương quan đi qua trục x lần đầu tiên.

Hình dạng của ACF và khoảng tương quan được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác nhau về xử lý dữ liệu địa vật lý, trong đó chúng tôi làm nổi bật những điều sau:

1) Đánh giá các đặc tính tương quan của tín hiệu và nhiễu. Nếu không có mối tương quan giữa tín hiệu và tiếng ồn, thường được mặc định, tức là Sự xuất hiện của tín hiệu không phụ thuộc vào nhiễu, ACF được biểu diễn bằng tổng ACF của tín hiệu và ACF của nhiễu, vì:

Từ biểu thức này, ở cường độ tiếng ồn thấp so với cường độ tín hiệu, ACF đại diện cho một ước tính về các thuộc tính tương quan của tín hiệu và ngược lại, trong khoảng thời gian mà tín hiệu không có, ACF ước tính các thuộc tính của tiếng ồn;

2) ACF của tín hiệu và nhiễu là cơ sở để tính toán tất cả các bộ lọc tối ưu được thảo luận trong Chương VII;

3) Nếu hình dạng tín hiệu và hình dạng ACF của giao thoa trùng khớp, không có quá trình xử lý bổ sung nào để tách chúng ra sẽ tạo ra bất kỳ điều gì mới, vì trong trường hợp này các dải tần của tín hiệu và giao thoa hoàn toàn trùng lặp với nhau;

4) Phân chia thành các khu vực đồng nhất về mặt thống kê cho mục đích lập bản đồ địa chất. Với mục đích này, giá trị trung bình, phương sai và khoảng tương quan, được tính toán trong cửa sổ trượt, thường được sử dụng đồng thời;

5) Đánh giá độ phân giải của hồ sơ địa chấn bằng giá trị của tỷ lệ , ở đâu T- thời gian ghi chép. Tại Hđoàn kết chặt chẽ, độ phân giải cao, với H£ 0,5 - thấp;

6) Sử dụng khoảng tương quan để ước tính độ sâu của sự cố hđối tượng theo trường tiềm năng.

Về mối quan hệ đơn giản này giữa chiều sâu h và khoảng tương quan r, được thực hiện chính xác đối với các vật thể ở dạng hình trụ kéo dài vô hạn, các phương pháp hấp dẫn, do A.M. Petrishchevsky đề xuất, và tương quan, do A.V. Petrov đề xuất, dựa trên việc thăm dò các trường tiềm năng;

7) Ước tính thời gian thực hiện, ví dụ, độ dài của hồ sơ mà ACF được tính toán. Trong trường hợp chung, độ phân tán của ACF được xác định bằng biểu thức , từ đó có khả năng ước tính thời gian thực hiện chính nó N.

3.2. Tìm giá trị trung bình của chuỗi và độ lệch chuẩn t, vẽ chúng trên đồ thị:

3.3. Tìm hệ số tự tương quan cho độ trễ τ = 1; 2.

Dung dịch. Chúng ta sẽ thực hiện phép tính theo công thức

Đối với τ = 1 và các giá trị của chúng ta, công thức có dạng:

Hình 4.1 - Quá trình tăng trưởng doanh thu ngẫu nhiên không cố định

Xem bảng 4.2 cho tất cả các phép tính trung gian. Cuối cùng:

Tương tự đối với r (2), xem Bảng 4.3:

Bảng 4.2 - Trễ τ = 1

3.4. Xây dựng một hàm tự tương quan cho ba điểm (0,00; 1,00), (1,00; 0,32), (2,00; 0,10).

Dung dịch. Xem hình 4.1.

Hình 4.1 Hàm tự tương quan cho một quá trình ngẫu nhiên

Lưu ý: Điểm 4 và 5 là tùy chọn.

Bảng 4.3 - Trễ τ = 2

1. Mnatsakanyan, A.G. Hướng dẫn thiết kế các tác phẩm văn bản giáo dục (tóm tắt, kiểm soát, các môn học, các bài kiểm tra trình độ cuối cùng) / A.G. Mnatsakanyan, Yu.Ya. Nastin, E.S. Kruglov. - Kaliningrad, NXB KSTU, 2017. - 22 tr.

2. Kremer, N.Sh. Kinh tế lượng: SGK / N.Sh. Kremer, B.A. Putko. - Kinh tế lượng: SGK. - M.: UNITI-DANA, 2012. - 387 tr.

3. Nastin, Yu, Ya. Kinh tế lượng: vị trí sách giáo khoa. / Yu. Ya. Nastin. - Kaliningrad: NOU VPO BIEF, 2004. - 82 tr.

4. Nastin, Yu.Ya. Kinh tế lượng: Phương pháp. Án Lệnh. và các nhiệm vụ cho công việc kiểm soát / Yu.Ya. Nastin. - Kaliningrad: FGOU VPO KSTU, 2015. - 40 tr.

5. Pakhnutov, I.A. Giới thiệu về kinh tế lượng: phương pháp giáo dục pos. / I.A. Pakhnutov. - Kaliningrad: FGOU VPO "KSTU", 2009. - 108 tr.

6. Buravlev, A.I. Kinh tế lượng: SGK / A.I. Buravlev. - M.: Binom. Phòng thí nghiệm Tri thức, 2012. - 164 tr.

7. Utkin, V.B. Kinh tế lượng: SGK / V.B. Utkin - ed. Thứ 2 - M.: Dashkov i K, 2011. - 564 tr.

8. Kinh tế lượng: SGK / ed. I.I. Eliseeva. –M: Prospekt, 2011.-288 tr.

9. Valentinov, V.A. Kinh tế lượng: SGK / V.A. Valentinov - biên tập. Thứ 2 - M.: Dashkov i K, 2010. - 448 tr.

10. Magnus, Ya.R. Kinh tế lượng: một khóa học ban đầu / Ya.R. Magnus, P.K. Katyshev, A.A. Peresetsky. - Tái bản lần thứ 8, M .: Delo, 2008. - 504 tr.

11. http://window.edu.ru/resource/022/45022 Sklyarov Yu.S. Kinh tế lượng. Khoá học ngắn hạn: Sách giáo khoa. - St.Petersburg: GUAP, 2007. - 140 tr.

12. http://window.edu.ru/resource/537/74537 Shanchenko, N. I. Kinh tế lượng: hội thảo trong phòng thí nghiệm: hướng dẫn nghiên cứu / N. I. Shanchenko. - Ulyanovsk: UlGTU, 2011. - 117 tr.

13. Berndt, E.R. Thực hành kinh tế lượng: kinh điển và hiện đại: Sách giáo khoa / dịch từ tiếng Anh / E.R. Berndt. - M.: UNITI-DANA, 2005. - 863 tr.

phụ lục A

Giá trị của hàm Laplace

Chức năng tự tương quan- sự phụ thuộc của mối quan hệ giữa hàm (tín hiệu) và bản sao dịch chuyển của nó vào độ lớn của dịch chuyển thời gian.

Đối với các tín hiệu xác định chức năng tự tương quan (ACF) dấu hiệu f (t) (\ displaystyle f (t))được xác định bởi tích phân:

ở đâu E () (\ displaystyle \ mathbb (E) \ (\ \))- kỳ vọng toán học, dấu hoa thị có nghĩa là liên hợp phức tạp.

Nếu hàm số ban đầu là tuần hoàn nghiêm ngặt, thì đồ thị của hàm số tự tương quan cũng sẽ có một hàm số tuần hoàn nghiêm ngặt. Do đó, từ biểu đồ này, người ta có thể đánh giá tính tuần hoàn của hàm ban đầu, và do đó, các đặc tính tần số của nó. Chức năng tự tương quan được sử dụng để phân tích các dao động phức tạp, ví dụ, điện não đồ của con người.

YouTube bách khoa

1 / 3

Chức năng tự tương quan

Tự tương quan là gì?

Hàm tự tương quan một phần

Phụ đề

Thật không may, các hệ số của quá trình trung bình động được giải thích kém. 2ε (t- 1) + 3ε (t- 2) nghĩa là gì hoàn toàn không thể hiểu được. Và để giải thích, cái gọi là hàm tự tương quan của quá trình được sử dụng: ρk hoặc Corr (Yt, Yt-k) - hàm này được gọi là hàm tự tương quan của quá trình. Theo ý nghĩa của một quá trình cố định với những người chơi được phân phối chuẩn, ρk cho thấy Y của ngày hôm nay sẽ thay đổi trung bình bao nhiêu nếu Y k-giai đoạn trước, tức là Yt-k, tăng thêm 1. Hãy sử dụng cùng một MA (2) - như một ví dụ, quá trình di chuyển trung bình của quá trình bậc 2, chúng tôi tính toán và giải thích hàm tự tương quan lần này. Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến ρk, tức là, nó là Corr (tương quan) giữa Yt và Y k-giai đoạn trước. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhận thấy một số cân nhắc chung về cách tính hàm tự tương quan cho bất kỳ quá trình nào. Theo định nghĩa của tương quan: Corr (Yt, Yt- k) nó là Cov (Yt, Yt- k) chia cho gốc của tích các phương sai: Var (Yt) * Var (Yt-k). Tuy nhiên, chúng tôi có một quy trình tĩnh. Ở đây chúng tôi sử dụng thực tế là quá trình là tĩnh, cụ thể là, các phương sai của nó là như nhau. Var (Yt) = Var (Yt-k). Vâng, theo đó, vì hai phương sai này bằng nhau, nên căn của chúng đơn giản bằng - một trong số chúng, bất kỳ - Cov (Yt, Yt- k) ở tử số không đổi, và ở mẫu số, căn của tích của hai số giống nhau chỉ đơn giản là số đầu tiên trong số các số này. Và theo đó, chúng tôi đồng ý rằng đây là - đây là hàm tự thay đổi - đây là γk, và đây là phương sai hoặc γ0. Theo đó, chúng ta đã thu được rằng ρk trên thực tế là một hàm tự tương quan. Nó chỉ là một phương sai tỷ lệ. Tôi sẽ nhớ lại các kết quả trước đó. Trong bài tập trước, chúng ta đã phát hiện ra rằng γk = 14ς bình phương, nếu k = 0, đây là phương sai; - 3ς bình phương nếu k = 1; - 2ς bình phương nếu k = 2 và 0 đối với các giá trị lớn của k, cụ thể là lớn hơn hoặc bằng 3. Dựa vào công thức chung, chúng ta nhận được rằng ρ0 là γ0 trên γ0, điều này luôn 1 cho bất kỳ quá trình nào, vì vậy đây là một chỉ báo không thú vị, nhưng các chỉ báo còn lại đã thú vị hơn. ρ1 là γ1 / γ0, trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi nhận được 3/14. ρ2 - đây là γ2 / γ0, đây là - 2/14. Và theo đó, ρ3 = ρ4 = ... = 0. Theo đó, chúng ta có thể giải thích các hệ số này. P1 có nghĩa là gì? Có nghĩa là nếu chúng ta biết rằng Yt-1 (Y của ngày hôm qua) đã tăng lên một đơn vị, thì điều này dẫn đến thực tế là, trung bình, Yt giảm 3/14. Điều này chúng ta có thể giải thích ρ1. Và theo đó, chúng tôi giải thích ρ2 theo cách tương tự. Nếu biết rằng Yt- 2 (nghĩa là giá trị của Y ngày hôm trước) hóa ra lớn hơn giá trị trung bình 1, tức là nó đã tăng một đơn vị so với giá trị trung bình nào đó, thì chúng ta có thể kết luận rằng Yt sẽ giảm trung bình vào 14/2. Đây là cách chúng tôi giải thích hệ số này. Vâng, tương ứng, ρ3, ρ4, v.v. được hiểu như sau, rằng thông tin về giá trị của Yt- 3 nó không còn mang bất kỳ thông tin nào về Yt hiện tại và đặc biệt, là vô ích trong dự báo. Nhưng hai giá trị trước đó là quan trọng đối với chúng tôi.

Ứng dụng trong công nghệ

Các đặc tính tương quan của chuỗi mã được sử dụng trong hệ thống băng rộng phụ thuộc vào loại chuỗi mã, độ dài của nó, tần số của các ký hiệu và cấu trúc từng ký hiệu của nó.

Nghiên cứu ACFđóng một vai trò quan trọng trong việc lựa chọn trình tự mã trong điều kiện xác suất thiết lập đồng bộ hóa sai là thấp nhất.

Các mục đích sử dụng khác

Hàm tự tương quan đóng một vai trò quan trọng trong mô hình toán học và phân tích chuỗi thời gian, hiển thị thời gian đặc trưng cho các quá trình đang nghiên cứu (ví dụ: xem: Turchin P. V.Động lực lịch sử. Moscow: URSS, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). Đặc biệt, các chu kỳ trong hành vi của hệ động lực tương ứng với cực đại của hàm tự tương quan của một số tham số đặc trưng.

Máy tính tốc độ

Thường cần tính hàm tự tương quan cho một chuỗi thời gian x i (\ displaystyle x_ (i)). Tính toán trực tiếp hoạt động cho O (T 2) (\ displaystyle O (T ^ (2))). Tuy nhiên, có một cách để làm điều đó cho.

Thực chất của phương pháp này như sau. Bạn có thể thực hiện một số kiểu biến đổi nghịch đảo 1-1 của dữ liệu, được gọi là phép biến đổi Fourier, phép biến đổi này sẽ đưa chúng vào một tương ứng 1-1 với tập dữ liệu trong một không gian khác, được gọi là không gian tần số. Các phép toán trên dữ liệu trong không gian thông thường của chúng ta, chẳng hạn như cộng, nhân và quan trọng nhất là tự tương quan, có các tương ứng 1-1 trong không gian tần số Fourier. Thay vì tính toán tự tương quan "trực tiếp" trên dữ liệu ban đầu của chúng ta, chúng ta sẽ thực hiện phép toán tương ứng trên dữ liệu tương ứng trong không gian tần số phổ Fourier, được thực hiện trong thời gian tuyến tính O (T) - tự tương quan trong không gian tần số tương ứng với a phép nhân đơn giản. Sau đó, theo dữ liệu nhận được, chúng tôi sẽ khôi phục những cái tương ứng trong không gian thông thường. Việc chuyển đổi từ không gian thông thường sang không gian tần số và ngược lại được thực hiện bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh cho O (T log ⁡ T) (\ displaystyle O (T \ log T)), phép tính độ tương tự của tự tương quan trong không gian tần số là O (T). Như vậy, chúng ta đã thu được lợi nhuận trong thời gian tính toán. và tỷ lệ thuận với n (\ displaystyle n) yếu tố trình tự

Bình phương của mô-đun phức hợp được lấy theo phần tử: | a → | 2 = (Re 2 ⁡ a i + Im 2 ⁡ a i) (\ displaystyle \ left | (\ vec (a)) \ right | ^ (2) = \ left \ (\ operatorname (Re) ^ (2) a_ (i ) + \ tên toán tử (Im) ^ (2) a_ (i) \ right \)). Nếu không có lỗi tính toán, phần ảo sẽ bằng không. Hệ số tỷ lệ được xác định từ yêu cầu Ψ (0) = 1 (\ displaystyle \ Psi (0) = 1).

Tất nhiên, khi nghiên cứu ACF của một gói các xung video hình chữ nhật, người đọc đã thu hút sự chú ý đến thực tế là biểu đồ tương ứng có một hình dạng cánh hoa cụ thể. Từ quan điểm thực tế, hãy ghi nhớ việc sử dụng ACF để giải quyết vấn đề phát hiện một tín hiệu như vậy hoặc đo các thông số của nó, việc các thùy riêng lẻ có hình tam giác là hoàn toàn không đáng kể. Chỉ mức tương đối của chúng so với mức cực đại trung tâm tại là quan trọng.

Nhiệm vụ tiếp theo của chúng ta là thay đổi định nghĩa của hàm tự tương quan theo cách mà chúng ta có thể trích xuất thông tin hữu ích từ nó, trừu tượng hóa khỏi các chi tiết thứ cấp. Cơ sở cho điều này là ý tưởng về mô hình toán học của tín hiệu rời rạc (xem Chương 1).

Mô tả các tín hiệu phức tạp có cấu trúc rời rạc.

Một gói các xung video hình chữ nhật giống hệt nhau là đại diện đơn giản nhất của loại tín hiệu phức tạp được xây dựng theo nguyên tắc sau. Toàn bộ khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu được chia thành một số nguyên M> 1 trong những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là vị trí. Tại mỗi vị trí, tín hiệu có thể ở một trong hai trạng thái, tương ứng với các số +1 và -1.

Cơm. 3.6 giải thích một số cách tạo tín hiệu phức đa vị trí. Để xác định, ở đây M = 3.

Có thể thấy rằng sự xuất hiện vật lý của một tín hiệu rời rạc có thể khác nhau.

Cơm. 3.6. Tín hiệu phức hợp ba vị trí: a - mã hóa biên độ; b - mã hóa pha

Trong trường hợp a, ký hiệu tương ứng với giá trị dương của độ cao của xung video truyền tại vị trí tương ứng; ký tự -1 tương ứng với một giá trị âm -. Người ta nói rằng mã hóa biên độ của một tín hiệu phức tạp được thực hiện trong trường hợp này. Trong trường hợp b, mã hóa pha xảy ra. Để truyền một ký hiệu +1 tại vị trí tương ứng, một đoạn của tín hiệu hài có pha ban đầu bằng không được tạo ra. Để hiển thị ký hiệu -1, một đoạn sóng hình sin có cùng thời lượng và tần số được sử dụng, nhưng pha của nó bị dịch chuyển thêm 180 °.

Bất chấp sự khác biệt trong đồ thị của những tín hiệu daukh này, về bản chất, người ta có thể thiết lập sự đồng nhất hoàn toàn giữa chúng theo quan điểm của các mô hình toán học của chúng. Thật vậy, mô hình của bất kỳ tín hiệu nào như vậy là một chuỗi số trong đó mỗi ký hiệu nhận một trong hai giá trị có thể có +1. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ đồng ý trong tương lai để bổ sung một chuỗi như vậy với các số không tại các vị trí "trống", nơi tín hiệu không được xác định. Trong trường hợp này, ví dụ: dạng mở rộng của việc ghi một tín hiệu rời rạc (1 1, -1, 1) sẽ giống như

Hoạt động quan trọng nhất trong quá trình xử lý tín hiệu rời rạc là dịch chuyển tín hiệu như vậy theo một số vị trí nhất định so với vị trí ban đầu mà không có. thay đổi hình dạng của nó. Ví dụ: dưới đây là một số tín hiệu gốc (dòng đầu tiên) và các bản sao của nó (các dòng tiếp theo), được dịch chuyển theo vị trí 1, 2 và 3 theo hướng trễ:

Chức năng tự tương quan rời rạc.

Chúng tôi sẽ cố gắng tổng quát hóa công thức (3.15) theo cách có thể tính toán tương tự rời rạc của ACF khi áp dụng cho các tín hiệu đa vị trí. Rõ ràng là phép toán tích hợp ở đây nên được thay thế bằng phép tính tổng, và thay vì một biến, nên sử dụng một số nguyên (dương hoặc âm), cho biết bản sao được dịch chuyển bao nhiêu vị trí so với tín hiệu ban đầu.

Vì mô hình toán học của tín hiệu chứa các số không ở các vị trí "trống", chúng tôi viết ACF rời rạc dưới dạng

Hàm đối số nguyên này đương nhiên có nhiều thuộc tính đã biết của hàm tự tương quan thông thường. Vì vậy, dễ dàng nhận thấy rằng ACF rời rạc là đồng đều:

Với Bullet shift, ACF này xác định năng lượng của tín hiệu rời rạc:

Vài ví dụ.

Để minh họa điều trên, hãy tính ACF rời rạc của tín hiệu ba vị trí có cùng giá trị tại mỗi vị trí: Hãy viết tín hiệu này cùng với các bản sao được dịch chuyển theo vị trí 1, 2 và 3:

Có thể thấy rằng tại thời điểm đó, tín hiệu và bản sao không còn chồng lên nhau, do đó các tích trong công thức (3.29) trở nên bằng 0 tại. Tính tổng, chúng tôi nhận được

Các thùy bên của hàm tự tương quan giảm tuyến tính khi tăng số lượng và giống như trong trường hợp của hàm tự tương quan của ba xung video tương tự.

Hãy xem xét một tín hiệu rời rạc khác với tín hiệu trước đó trong dấu hiệu đếm ngược ở vị trí thứ hai:

Tiến hành theo cách tương tự, chúng tôi tính các giá trị của hàm tự tương quan rời rạc cho tín hiệu này:

Có thể thấy rằng thùy bên thứ nhất thay đổi dấu hiệu của nó trong khi vẫn không thay đổi về giá trị tuyệt đối.

Cuối cùng, hãy xem xét một tín hiệu rời rạc ba vị trí với một mô hình toán học có dạng

Hàm tự tương quan của nó là:

Trong số ba tín hiệu rời rạc được nghiên cứu ở đây, tín hiệu thứ ba là hoàn hảo nhất về đặc tính tương quan, vì mức thấp nhất của các thùy bên của hàm tự tương quan được thực hiện trong trường hợp này.

Tín hiệu Barker.

Các tín hiệu rời rạc có cấu trúc tốt nhất của hàm tự tương quan là đối tượng nghiên cứu chuyên sâu của các chuyên gia trong lĩnh vực kỹ thuật vô tuyến lý thuyết và toán học ứng dụng vào những năm 1950 và 1960. Toàn bộ các lớp tín hiệu có đặc tính tương quan hoàn hảo đã được tìm thấy. Trong số đó, cái gọi là tín hiệu Barker (mã) đã trở nên phổ biến rộng rãi. Các tín hiệu này có một đặc tính duy nhất: bất kể số vị trí M là bao nhiêu, giá trị của các hàm tự tương quan được tính theo công thức (3.29) không vượt quá sự thống nhất cho tất cả. Đồng thời, năng lượng của các tín hiệu này, tức là, giá trị bằng M về mặt số.

Tín hiệu Barker chỉ có thể được nhận ra khi số vị trí M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 và 13. Trường hợp này là nhỏ. Tín hiệu Barker tại đã được chúng tôi kiểm tra ở cuối phần trước. Các mô hình toán học của tín hiệu Barker và các hàm tự tương quan tương ứng được đưa ra trong Bảng. 3.2.

Bảng 3.2 Các mô hình tín hiệu Barker

Để minh họa trong hình. 3.7 cho thấy dạng xem của tín hiệu Barker 13 vị trí được sử dụng phổ biến nhất với hai phương pháp mã hóa, cũng như biểu diễn đồ họa của ACF của nó.

Cơm. 3.7. Tín hiệu Barker tại M = 13: a - mã hóa biên độ; b - mã hóa pha; c - hàm tự tương quan

Kết luận, chúng tôi lưu ý rằng việc nghiên cứu một số thuộc tính của tín hiệu rời rạc và các chức năng tự tương quan của chúng, được thực hiện trong chương này, mang tính chất sơ bộ, mang tính giới thiệu. Một nghiên cứu có hệ thống về loạt câu hỏi này sẽ được thực hiện trong Chap. mười lăm.

Chức năng tự tương quan. Thư tín.

Nếu có xu hướng và thay đổi theo chu kỳ trong chuỗi thời gian, các giá trị của mức tiếp theo của chuỗi phụ thuộc vào mức trước đó. Mối quan hệ giữa các mức liên tiếp của chuỗi thời gian được gọi là tự tương quan giữa các mức của chuỗi.

Nó có thể được đo lường một cách định lượng bằng cách sử dụng chỉ số tương quan giữa các mức của chuỗi thời gian gốc và các mức của chuỗi này, được dịch chuyển theo một số bước theo thời gian.

Hãy để một chuỗi thời gian được đưa ra: u, u, ... u và để có một mối tương quan tuyến tính giữa y t và y t -1.

Xác định hệ số tương quan giữa các chuỗi lúc t và ở t -1.

Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức sau:

nghiêng x j = y t -1, y j = y t -1, chúng tôi nhận được

(5.1)

Hệ số tự tương quan của bậc thứ hai trở lên được xác định tương tự. Như vậy, hệ số tự tương quan bậc 2 đặc trưng cho mức độ chặt chẽ của mối quan hệ giữa các mức tại và tại và được xác định theo công thức:

(5.2)

Thứ tự của mức độ của chuỗi tự tương quan được gọi là độ trễ.

Đối với công thức (5.1), độ trễ bằng một, đối với (5.3), nó bằng hai.

Chuỗi các hệ số tự tương quan của các mức bậc nhất, bậc hai, v.v. đơn đặt hàng được gọi là hàm tự tương quan của chuỗi thời gian (ACF).

Biểu đồ của sự phụ thuộc của các giá trị của nó vào độ lớn của độ trễ được gọi là một đồ thị tương quan.

ACF và biểu đồ tương quan giúp xác định độ trễ mà tại đó tự tương quan là cao nhất, và do đó, độ trễ mà tại đó mối quan hệ giữa mức hiện tại và mức trước đó của chuỗi là gần nhất, tức là chúng có thể được sử dụng để tiết lộ cấu trúc của bộ truyện.

Nên sử dụng hệ số tự tương quan và ACF để xác định sự hiện diện hay vắng mặt của thành phần xu hướng và thành phần chu kỳ trong một chuỗi thời gian:

nếu hệ số tự tương quan của bậc 1 hóa ra là cao nhất, thì chuỗi đang nghiên cứu chỉ chứa một xu hướng;

nếu hệ số tự tương quan của bậc k hóa ra là cao nhất, thì chuỗi chứa các dao động tuần hoàn với chu kỳ k điểm thời gian;

nếu không có hệ số nào là có ý nghĩa thì có thể đưa ra một trong hai giả thiết liên quan đến cấu trúc của chuỗi này: hoặc là chuỗi không chứa các xu hướng và thay đổi theo chu kỳ và có cấu trúc tương tự như cấu trúc của chuỗi được trình bày trong Hình 5.1c hoặc chuỗi chứa một xu hướng phi tuyến tính mạnh, yêu cầu phân tích bổ sung để xác định.

49. Mô hình hồi quy tổng quát. Phương pháp tổng quát của bình phương nhỏ nhất. Định lý Aitken

Ví dụ: khi xây dựng một mô hình, một chế độ xem tuyến tính

Y \ u003d a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 + ... + b p * x p + ε (59,1)

biến ngẫu nhiên  là một biến không thể quan sát được. Đối với các thông số kỹ thuật của mô hình khác nhau, sự khác biệt giữa giá trị lý thuyết và thực tế có thể khác nhau. Nhiệm vụ của phân tích hồi quy không chỉ bao gồm việc xây dựng bản thân mô hình mà còn nghiên cứu độ lệch ngẫu nhiên tức là các giá trị còn lại. Sau khi xây dựng phương trình hồi quy, chúng tôi kiểm tra xem các ước lượng  i có các thuộc tính nhất định hay không. Các đặc tính này của các ước lượng thu được bởi OLS có tầm quan trọng thực tế rất lớn trong việc sử dụng các kết quả hồi quy và tương quan.

Các hệ số hồi quy b i, được tìm thấy trên cơ sở của một hệ phương trình thông thường và đại diện cho các ước lượng có chọn lọc về các đặc tính của độ bền liên kết, phải có tính chất không thiên vị. Ước lượng không chệch có nghĩa là giá trị trung bình của các phần dư bằng không.

Điều này có nghĩa là tham số hồi quy tìm được b i có thể được coi là giá trị trung bình của các giá trị có thể có của các hệ số hồi quy với các ước lượng không chệch của các phần dư.

Đối với các mục đích thực tế, không chỉ tính không thiên vị là quan trọng mà còn là hiệu quả của các ước tính. Các ước lượng được coi là hiệu quả nếu chúng có phương sai nhỏ nhất.

Để khoảng tin cậy của các tham số hồi quy là thực tế, các ước lượng phải nhất quán. Tính nhất quán của các ước tính đặc trưng cho sự gia tăng độ chính xác của chúng khi kích thước mẫu tăng lên.

Các nghiên cứu còn lại  tôi liên quan đến việc kiểm tra sự hiện diện của năm cơ sở OLS sau:

bản chất ngẫu nhiên của các dư lượng;

giá trị thặng dư trung bình bằng không, không phụ thuộc vào x i;

đồng biến - phương sai của mỗi độ lệch  i là như nhau đối với mọi giá trị x;

không có tự tương quan của phần dư. Các giá trị của phần dư  i được phân phối độc lập với nhau;

phần còn lại tuân theo một phân phối chuẩn.

Nếu phân phối các phần dư ngẫu nhiên  i không tương ứng với một số giả định LSM, thì mô hình cần được hiệu chỉnh.

Trước hết, tính chất ngẫu nhiên của các phần dư  i được kiểm tra.

Nếu trên đồ thị thu được một dải phân bố ngang của phần dư thì phần dư là các biến ngẫu nhiên và bình phương nhỏ nhất là hợp lý, các giá trị lý thuyết của y x gần đúng với giá trị thực của y.

Các trường hợp sau có thể xảy ra: nếu  i. phụ thuộc vào y x thì:

phần còn lại  i. không phải ngẫu nhiên

phần còn lại  i. không có sự phân tán liên tục

phần còn lại  i. có hệ thống

Trong những trường hợp này, cần phải áp dụng một hàm khác hoặc nhập thông tin bổ sung và xây dựng lại phương trình hồi quy cho đến khi các phần dư  i là các biến ngẫu nhiên.

Tiền đề thứ hai có nghĩa là giá trị trung bình của các phần dư bằng 0:

. (59.2)

Tiền đề thứ ba của bình phương nhỏ nhất yêu cầu phương sai của các phần dư phải đồng biến. Điều này có nghĩa là với mỗi giá trị của thừa số x j, các phần dư  i có cùng phương sai. Nếu điều kiện này để áp dụng LSM không được đáp ứng, thì phương sai thay đổi xảy ra.

50. Hình vuông nhỏ nhất tổng quát có thể truy cập

Phương pháp bình phương tối thiểu. Một số loại mô hình hồi quy tổng quát hơn được thảo luận trong phần Các loại mô hình phi tuyến tính cơ bản. Sau khi chọn một mô hình, câu hỏi được đặt ra: làm thế nào để có thể đánh giá những mô hình này? Nếu bạn đã quen thuộc với các phương pháp hồi quy tuyến tính (được mô tả trong phần Hồi quy bội) hoặc phân tích phương sai (được mô tả trong phần Phân tích phương sai), thì bạn biết rằng tất cả các phương pháp này đều sử dụng ước lượng bình phương nhỏ nhất. Điểm chính của phương pháp này là giảm thiểu tổng bình phương độ lệch của các giá trị quan sát của biến phụ thuộc so với các giá trị mà mô hình dự đoán. (Thuật ngữ bình phương nhỏ nhất được sử dụng lần đầu tiên bởi Legendre - Legendre, 1805.)
Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số. Phương pháp phổ biến thứ ba, ngoài phương pháp bình phương nhỏ nhất và được sử dụng để ước tính tổng các độ lệch tuyệt đối (xem ở trên), là phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số. Phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường giả định rằng sự phân tán của các phần dư là như nhau đối với tất cả các giá trị của các biến độc lập. Nói cách khác, phương sai sai số được giả định là giống nhau đối với tất cả các phép đo. Thông thường, giả định này không thực tế. Đặc biệt, các sai lệch so với nó được tìm thấy trong kinh doanh, kinh tế, các ứng dụng trong sinh học (lưu ý rằng các ước lượng tham số sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số cũng có thể được thu thập bằng cách sử dụng mô-đun hồi quy nhiều lần).

Ví dụ, bạn muốn nghiên cứu mối quan hệ giữa chi phí dự kiến ​​của việc xây dựng một tòa nhà và số tiền thực sự chi tiêu. Điều này có thể hữu ích để nhận được ước tính về số lần vượt dự kiến. Trong trường hợp này, sẽ hợp lý khi giả định rằng giá trị tuyệt đối của chi phí vượt chi phí (tính bằng đô la) tỷ lệ thuận với chi phí của dự án. Do đó, để phù hợp với mô hình hồi quy tuyến tính, nên sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số. Ví dụ, hàm mất mát có thể là hàm này (xem Neter, Wasserman và Kutner, 1985, trang 168):

Mất mát = (người quan sát-dự đoán) 2 * (1 / x 2)

Trong phương trình này, phần đầu tiên của hàm tổn thất có nghĩa là hàm tổn thất bình phương nhỏ nhất tiêu chuẩn (quan sát trừ bình phương dự đoán; tức là bình phương của các phần dư), và phần thứ hai bằng "trọng lượng" của tổn thất này trong mỗi trường hợp - một chia cho bình phương của biến độc lập (x) cho mỗi lần quan sát. Trong một tình huống ước tính thực tế, chương trình sẽ tính tổng các giá trị của hàm mất mát trên tất cả các quan sát (ví dụ, các dự án thiết kế) như được mô tả ở trên và chọn các tham số tối thiểu hóa tổng. Quay trở lại ví dụ đã xem xét, dự án càng lớn (x), thì chúng ta càng ít mắc lỗi tương tự trong việc dự đoán chi phí của nó. Phương pháp này đưa ra các ước tính chắc chắn hơn cho các tham số hồi quy (xem Neter, Wasserman và Kutner. 1985 để biết thêm chi tiết).

51. Thử nghiệm Chow

Một thử nghiệm thống kê chính thức để đánh giá mô hình xu hướng chuỗi thời gian với sự hiện diện của những thay đổi cấu trúc đã được đề xuất bởi Gregory Chow *. Ứng dụng của thử nghiệm này liên quan đến việc tính toán các tham số của phương trình xu hướng. Chúng tôi giới thiệu ký hiệu được đưa ra trong Bảng.

Bảng 3 - Chú giải cho thuật toán kiểm tra Chow

Giả sử rằng giả thuyết H0 khẳng định sự ổn định cấu trúc của xu hướng của chuỗi thời gian được nghiên cứu. Tổng dư của bình phương theo mô hình tuyến tính mảnh (C cl ost) có thể được tìm thấy dưới dạng tổng của C 1 vòng quay và C 2 vòng quay

C cl ost \ u003d C 1 ost + C 2 ost (62,1)

Số bậc tự do tương ứng sẽ là:

(n 1 - k 1) + (n 2 - k 2) = n - k 1 - k 2 (62,2)

Sau đó, việc giảm phương sai dư trong quá trình chuyển đổi phương trình xu hướng thống nhất sang mô hình tuyến tính từng đoạn được xác định như sau:

Phần còn lại DC = phần còn lại C 3 - phần còn lại của C cl (62,3)

Số bậc tự do tương ứng với DC, có tính đến quan hệ (23), sẽ là:

n - k 3 - (n - n 1 - k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62,4)

Sau đó, theo G. Chow, phương pháp G. Chow được sử dụng để tìm giá trị thực của tiêu chí F cho các độ phân tán sau trên một bậc tự do biến thiên:

(62.5)

Giá trị tìm được của dữ kiện F được so sánh với giá trị dạng bảng, (Bảng phân phối của Fisher cho mức ý nghĩa α ‚A và số bậc tự do (k 1 + k 2 - k 3) và (n - k 1 - k 2)

Nếu F thực tế> F bảng, thì giả thuyết về sự ổn định cấu trúc của xu hướng bị bác bỏ và ảnh hưởng của những thay đổi cấu trúc đến động lực của chỉ số được nghiên cứu được công nhận là có ý nghĩa. Trong trường hợp này, mô hình hóa xu hướng của chuỗi thời gian nên được thực hiện bằng cách sử dụng mô hình tuyến tính từng đoạn. Nếu một

F thực tế< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Các tính năng của ứng dụng của bài kiểm tra Chow.

1. Nếu số tham số trong tất cả các phương trình từ Bảng 3 (1), (2), (3) là như nhau và bằng k, thì công thức (56) được đơn giản hóa:

(62.6)

2. Phép thử Chow giúp đưa ra kết luận về sự hiện diện hay không có sự ổn định của cấu trúc trong chuỗi thời gian đã nghiên cứu. Nếu F là một dữ kiện< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >Bảng F, giả thuyết về ổn định kết cấu bị bác bỏ, có nghĩa là sự khác biệt trong ước lượng các tham số của phương trình (1) và (2) là có ý nghĩa thống kê.

3. Việc áp dụng kiểm định Chow giả định rằng các giả định về phân phối chuẩn của các phần dư trong phương trình (1) và (2) được đáp ứng và phân phối của chúng là độc lập.

Nếu giả thuyết về sự ổn định cấu trúc của xu hướng của chuỗi y bị bác bỏ, thì phân tích sâu hơn có thể bao gồm việc xem xét nguyên nhân của những khác biệt về cấu trúc này và nghiên cứu thêm về bản chất của sự thay đổi trong xu hướng. Trong ký hiệu được chấp nhận, những lý do này xác định sự khác biệt trong ước lượng của các tham số của phương trình (1) và (2).

Có thể có những sự kết hợp thay đổi sau đây trong ước lượng số của các tham số của các phương trình này:

Thay đổi ước tính số của thời hạn tự do của phương trình xu hướng một 2 so với một 1 với điều kiện là sự khác biệt b 1 và b 2 không có ý nghĩa thống kê. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là các đường thẳng (1) (2) là song song. Có sự thay đổi đột ngột về cấp độ của chuỗi y t, tại thời điểm t‚Và mức tăng trưởng tuyệt đối bình quân không thay đổi trong kỳ;

Thay đổi ước tính số của một tham số b 2 so sánh với b 1 miễn là sự khác biệt giữa điểm 1 và điểm 2 không có ý nghĩa thống kê. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là các đường (1) và (2) cắt trục tọa độ tại một điểm. Sự thay đổi trong xu hướng xảy ra thông qua sự thay đổi mức tăng tuyệt đối trung bình trong chuỗi thời gian, bắt đầu từ thời điểm t‚Với mức ban đầu không đổi của chuỗi tại thời điểm t=0

Thay đổi ước tính số của các tham số a 1 và a 2, cũng như b 1 và b 2. Trên biểu đồ, điều này được thể hiện bằng sự thay đổi của mức ban đầu và mức trung bình trong giai đoạn tăng trưởng tuyệt đối