Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ về giải quyết vấn đề
Biến ngẫu nhiên được gọi là một biến có thể nhận các giá trị nhất định tùy thuộc vào các trường hợp khác nhau và đến lượt nó, một biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là hữu hạn hoặc có thể đếm được.
Ngoài các biến ngẫu nhiên rời rạc còn có các biến ngẫu nhiên liên tục.
Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về khái niệm biến ngẫu nhiên. Trong thực tế, thường có những đại lượng có thể nhận một số giá trị nhất định, nhưng không thể dự đoán một cách chắc chắn mỗi đại lượng đó sẽ nhận giá trị nào trong thí nghiệm, hiện tượng, quan sát đang xét. Ví dụ, số lượng các bé trai sẽ được sinh ra ở Mátxcơva vào ngày hôm sau có thể khác nhau. Nó có thể bằng 0 (không có một bé trai nào được sinh ra: tất cả các bé gái sẽ được sinh ra hoặc sẽ không có trẻ sơ sinh nào cả), một, hai, v.v. cho đến một số hữu hạn N. Các giá trị này bao gồm: khối lượng rễ củ cải đường trên địa điểm, phạm vi bay của đạn pháo, số bộ phận bị lỗi trong một lô, v.v. Các giá trị như vậy sẽ được gọi là ngẫu nhiên. Chúng đặc trưng cho tất cả các kết quả có thể có của một thí nghiệm hoặc quan sát theo quan điểm định lượng.
Ví dụ về các biến ngẫu nhiên rời rạc với một số giá trị hữu hạn, số lượng trẻ em sinh ra trong ngày trong một khu định cư, số lượng hành khách đi xe buýt, số lượng hành khách được vận chuyển bằng tàu điện ngầm Moscow mỗi ngày, v.v. có thể phục vụ.
Số lượng giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể là vô hạn, nhưng nó là một tập hợp có thể đếm được. Nhưng trong mọi trường hợp, chúng có thể được đánh số theo thứ tự nào đó, hay chính xác hơn là sự tương ứng 1-1 có thể được thiết lập giữa các giá trị của một biến ngẫu nhiên và các số tự nhiên 1, 2, 3, ..., N.
Chú ý: một khái niệm mới, rất quan trọng của lý thuyết xác suất - luật phân phối
. Để cho X có thể lấy N giá trị:. Chúng tôi sẽ giả định rằng tất cả chúng đều khác nhau (nếu không thì phải kết hợp giống nhau) và sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để có đặc điểm đầy đủ của một biến ngẫu nhiên rời rạc phải được cung cấp không chỉ tất cả các giá trị của nó, mà còn cả các xác suất
, trong đó biến ngẫu nhiên nhận từng giá trị, tức là 
.
Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc bất kỳ quy tắc nào (hàm, bảng) được gọi P(x), cho phép bạn tìm xác suất của tất cả các loại sự kiện liên quan đến một biến ngẫu nhiên (ví dụ: xác suất đó là một ví dụ của một số giá trị hoặc rơi vào khoảng thời gian nào đó).
Luật phân phối đơn giản và thuận tiện nhất cho một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho dưới dạng bảng sau:
| Nghĩa | ... | |||
| Xác suất | ... |
Một bảng như vậy được gọi là gần phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. Dòng trên cùng của chuỗi phân phối liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc (x) và dòng dưới cùng liệt kê xác suất của những giá trị này ( P).
Sự phát triển 
không tương thích và là những thứ duy nhất có thể xảy ra: chúng tạo thành một hệ thống sự kiện hoàn chỉnh. Do đó, tổng các xác suất của chúng bằng một:
.
ví dụ 1 Một cuộc xổ số được tổ chức trong nhóm sinh viên. Hai thứ trị giá 1000 rúp được chơi. và một cái có giá 3000 rúp. Hãy rút ra quy luật phân phối số tiền thắng cược ròng cho một sinh viên mua một vé với giá 100 rúp. Tổng cộng 50 vé đã được bán.
Dung dịch. Biến ngẫu nhiên mà chúng tôi quan tâm X có thể nhận ba giá trị: - 100 rúp. (nếu học sinh không thắng, nhưng thực sự thua 100 rúp mà anh ta đã trả cho vé), 900 rúp. và 2900 rúp. (số tiền thắng thực tế giảm đi 100 rúp - giá vé). Kết quả đầu tiên được ủng hộ bởi 47 trong số 50 trường hợp, kết quả thứ hai là 2 và kết quả thứ ba bởi một. Vì vậy, xác suất của chúng là: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X có hình thức
| Số tiền thắng cuộc | -100 | 900 | 2900 |
| Xác suất | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc: cấu trúc
Một chuỗi phân phối chỉ có thể được xây dựng cho một biến ngẫu nhiên rời rạc (đối với một biến ngẫu nhiên không rời rạc, nó không thể được xây dựng, nếu chỉ vì tập hợp các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên như vậy là không thể đếm được, chúng không thể được liệt kê ở đầu dòng của bảng).
Dạng tổng quát nhất của luật phân phối, phù hợp với mọi biến ngẫu nhiên (cả rời rạc và không rời rạc), là hàm phân phối.
Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc hàm tích phânđược gọi là một hàm 
, xác định xác suất giá trị của biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn hoặc bằng giá trị giới hạn X.
Hàm phân phối của bất kỳ biến ngẫu nhiên rời rạc nào là một hàm bước không liên tục mà bước nhảy xảy ra tại các điểm tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và bằng xác suất của các giá trị này.
Ví dụ 2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X là số điểm ghi được khi ném một con súc sắc. Xây dựng chức năng phân phối của nó.
Dung dịch. Chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X giống như:
| Nghĩa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Xác suất | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Chức năng phân phối F(x) có 6 bước nhảy có độ lớn bằng 1/6 (trong hình bên).
Ví dụ 3 Một bình đựng 6 bi trắng và 4 bi đen. 3 quả bóng được lấy ra từ bình. Số quả bóng trắng trong số các quả bóng được rút ra là một biến ngẫu nhiên rời rạc X. Soạn luật phân phối tương ứng với nó.
X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3. Xác suất tương ứng với chúng có thể được tính toán dễ dàng nhất từ quy tắc nhân các xác suất. Chúng ta thu được luật phân phối sau cho một biến ngẫu nhiên rời rạc:
| Nghĩa | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Xác suất | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Ví dụ 4 Soạn luật phân phối cho một biến ngẫu nhiên rời rạc - số lần bắn trúng mục tiêu với bốn lần bắn, nếu xác suất bắn trúng mục tiêu của một lần bắn là 0,1.
Dung dịch. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận năm giá trị khác nhau: 1, 2, 3, 4, 5. Chúng tôi tìm xác suất tương ứng từ Công thức Bernoulli
. Tại
N = 4 ,
P = 1,1 ,
q = 1 - P = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
chúng tôi nhận được
Do đó, luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X có hình thức
Nếu xác suất của các giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được xác định bằng công thức Bernoulli, thì biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức .
Nếu số lượng thử nghiệm đủ lớn, thì xác suất để trong các thử nghiệm này, sự kiện quan tâm sẽ xảy ra chính xác m thời gian, tuân theo pháp luật Phân phối Poisson .
Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc: tính toán
Để tính toán hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc F(X), cần phải thêm xác suất của tất cả các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng giá trị biên X.
Ví dụ 5 Bảng chứa dữ liệu về sự phụ thuộc của số lượng các cuộc hôn nhân bị giải tán trong năm vào thời gian của cuộc hôn nhân. Tìm xác suất để cuộc hôn nhân ly hôn tiếp theo kéo dài ít hơn hoặc bằng 5 năm.
| Thời gian kết hôn (năm) | Con số | Xác suất | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 trở lên | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Tổng cộng | 6010 | 1 |
Dung dịch. Xác suất được tính bằng cách chia số cuộc hôn nhân ly hôn có liên quan cho tổng số 6010. Xác suất cuộc hôn nhân ly hôn tiếp theo kéo dài 5 năm là 0,056. Xác suất để thời gian của một cuộc hôn nhân ly hôn tiếp theo nhỏ hơn hoặc bằng 5 năm là 0,186. Chúng tôi có được nó bằng cách thêm vào giá trị F(x) đối với các cuộc hôn nhân có thời hạn 4 năm, tính cả xác suất đối với các cuộc hôn nhân có thời hạn là 5 năm.
Mối quan hệ giữa luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc với kỳ vọng toán học và phương sai
Thường không phải tất cả các giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc đều được biết, nhưng một số giá trị hoặc xác suất từ chuỗi được biết, và kỳ vọng toán học và (hoặc) phương sai của một biến ngẫu nhiên mà một bài học riêng biệt được dành cho.
Dưới đây là một số công thức từ bài học này có thể giúp ích khi rút ra quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc và phân tích các ví dụ giải các bài toán đó.
Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của các giá trị này:
(1)
Công thức cho sự phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc theo định nghĩa là:
Thường thì công thức phương sai sau sẽ thuận tiện hơn cho việc tính toán:
, (2)
ở đâu 
.
Ví dụ 6 Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có thể nhận hai giá trị. Nó nhận giá trị nhỏ hơn với xác suất P= 0,6. Tìm luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, nếu biết rằng kỳ vọng toán học và phương sai của nó là.
Dung dịch. Xác suất để một biến ngẫu nhiên có giá trị lớn hơn x2 , bằng 1 - 0,6 = 4. Sử dụng công thức (1) của kỳ vọng toán học, chúng ta sẽ lập một phương trình trong đó ẩn số là giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc của chúng ta:
Sử dụng công thức (2) của độ phân tán, chúng tôi lập một phương trình khác trong đó các ẩn số cũng là giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc:
Hệ hai phương trình thu được
giải bằng phương pháp thay thế. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được
Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai, sau các phép biến đổi đơn giản, chúng ta thu được phương trình bậc hai
,
trong đó có hai gốc: 7/5 và −1. Gốc đầu tiên không đáp ứng các điều kiện của vấn đề, vì x2 < x 1 . Do đó, các giá trị mà một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận X theo các điều kiện của ví dụ của chúng tôi, đều x1 = −1 và x2 = 2 .
Một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra. Tìm xác suất thiếu và vẽ đồ thị của hàm phân phối. Tính kỳ vọng toán học và phương sai của giá trị này.
Biến ngẫu nhiên X chỉ nhận bốn giá trị: -4, -3, 1 và 2. Nó nhận mỗi giá trị này với một xác suất xác định. Vì tổng tất cả các xác suất phải bằng 1 nên xác suất thiếu bằng:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Lập hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Biết rằng hàm phân phối thì:
Do đó,
Hãy vẽ hàm F(x) .
Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc bằng tổng các tích của giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng, tức là
Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tìm thấy bằng công thức:
RUỘT THỪA
Các yếu tố của tổ hợp Đây: - giai thừa của một số |
||||||||||
Hành động trên các sự kiệnMột sự kiện là bất kỳ sự kiện nào có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra do trải nghiệm. Hợp nhất các sự kiện NHƯNG và TẠI- sự kiện này TỪ, bao gồm sự xuất hiện hoặc sự kiện NHƯNG, hoặc các sự kiện TẠI, hoặc cả hai sự kiện cùng một lúc. Chỉ định: Giao điểm của các sự kiện NHƯNG và TẠI- sự kiện này TỪ, bao gồm sự xuất hiện đồng thời của cả hai sự kiện. Chỉ định:  |
||||||||||
Định nghĩa cổ điển của xác suấtXác suất sự kiện NHƯNG là tỷ lệ của số lượng thí nghiệm
|
||||||||||
Công thức nhân xác suấtXác suất sự kiện
Nếu các sự kiện A và B là độc lập (sự xuất hiện của sự kiện này không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của sự kiện kia), thì xác suất của sự kiện là: |
||||||||||
Công thức cộng xác suấtXác suất sự kiện Xác suất sự kiện NHƯNG, Xác suất sự kiện TẠI,
Nếu các sự kiện A và B không tương thích (chúng không thể xảy ra đồng thời), thì xác suất của sự kiện là: |
||||||||||
Công thức xác suất tổngHãy để sự kiện NHƯNG có thể xảy ra đồng thời với một trong các sự kiện |
||||||||||
Đề án BernoulliCho n phép thử độc lập được thực hiện. Xác suất xảy ra (thành công) của một sự kiện NHƯNG trong mỗi chúng là không đổi và bằng nhau P, xác suất thất bại (tức là không xảy ra sự kiện NHƯNG) q = 1 - P. Khi đó xác suất xảy ra k thành công trong N các bài kiểm tra có thể được tìm thấy bằng công thức Bernoulli:
Số lần thành công nhiều nhất |
||||||||||
biến ngẫu nhiênrời rạc liên tục (ví dụ: số trẻ em gái trong một gia đình có 5 trẻ em) (ví dụ: thời gian hoạt động của ấm đun nước) Đặc điểm số của các biến ngẫu nhiên rời rạcHãy để giá trị rời rạc được cho bởi một chuỗi phân phối:
,,…, - giá trị của một biến ngẫu nhiên X; ,,…, Là các xác suất tương ứng. Chức năng phân phốiHàm phân phối của một biến ngẫu nhiên Xđược gọi là một hàm đã cho trên toàn bộ trục số và bằng xác suất X Sẽ ít hơn X: |
;
;
, thuận lợi cho sự xuất hiện của sự kiện NHƯNG, đến tổng số thử nghiệm 
:
có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:
- xác suất sự kiện NHƯNG,
- xác suất sự kiện TẠI,
- xác suất sự kiện TẠI với điều kiện là sự kiện NHƯNG vừa mới xảy ra.
có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:
- xác suất xuất hiện chung của các sự kiện NHƯNG và TẠI.
,
,
…,
Hãy gọi chúng là giả thuyết. Cũng được biết đến 
- xác suất hoàn thành tôi-giả thuyết thứ và 
- xác suất xảy ra sự kiện A trong quá trình thực thi tôi giả thuyết thứ. Khi đó xác suất của sự kiện NHƯNG có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:
trong lược đồ Bernoulli, đây là số lần xuất hiện của một số sự kiện, tương ứng với xác suất cao nhất. Có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:
Câu hỏi cho kỳ thi
Sự kiện. Hoạt động trên các sự kiện ngẫu nhiên.
Khái niệm về xác suất của một sự kiện.
Quy tắc cộng và nhân các xác suất. Xác suất có điều kiện.
Công thức xác suất tổng. Công thức Bayes.
Đề án Bernoulli.
Biến ngẫu nhiên, hàm phân phối và chuỗi phân phối của nó.
Các tính chất cơ bản của hàm phân phối.
Gia trị được ki vọng. Các tính chất của kỳ vọng toán học.
Sự phân tán. Tính chất phân tán.
Mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên một chiều.
Các dạng phân phối: phân phối đều, mũ, chuẩn, nhị thức và Poisson.
Các định lý tích phân và cục bộ của Moivre-Laplace.
Luật và hàm phân phối của hệ hai biến ngẫu nhiên.
Mật độ phân phối của một hệ thống hai biến ngẫu nhiên.
Các luật phân phối có điều kiện, kỳ vọng toán học có điều kiện.
Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc và độc lập. Hệ số tương quan.
Vật mẫu. Xử lý mẫu. Biểu đồ đa giác và tần số. Hàm phân phối thực nghiệm.
Khái niệm về ước lượng các tham số phân phối. Các yêu cầu đánh giá. Khoảng tin cậy. Xây dựng khoảng thời gian để ước tính kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn.
các giả thuyết thống kê. Tiêu chí về sự đồng ý.
Các ví dụ về giải các bài toán về chủ đề "Biến ngẫu nhiên".
Một nhiệm vụ 1 . Có 100 vé được phát hành trong cuộc xổ số. Một trận thắng 50 USD đã được chơi. và mười lần thắng 10 đô la mỗi lần. Tìm quy luật phân phối giá trị X - chi phí của một khoản thu nhập có thể có.
Dung dịch. Giá trị có thể có của X: x 1 = 0; x 2 = 10 và x 3 = 50. Vì có 89 vé "trống" nên p 1 = 0,89, xác suất trúng thưởng là 10 c.u. (10 vé) - p 2 = 0,10 và để thắng là 50 c.u. -P 3 = 0,01. Theo cách này:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Dễ dàng kiểm soát:.
Một nhiệm vụ 2. Xác suất để người mua đã làm quen với quảng cáo của sản phẩm trước là 0,6 (p = 0,6). Việc kiểm tra chất lượng có chọn lọc của quảng cáo được thực hiện bằng cách thăm dò ý kiến người mua trước người đầu tiên đã nghiên cứu trước về quảng cáo. Thực hiện một loạt phân phối số lượng người mua được phỏng vấn.
Dung dịch. Theo điều kiện của bài toán p = 0,6. Từ: q = 1 -p = 0,4. Thay thế các giá trị này, chúng tôi nhận được: và xây dựng một chuỗi phân phối:
|
số Pi |
0,24 |
Một nhiệm vụ 3. Máy tính bao gồm ba phần tử hoạt động độc lập: đơn vị hệ thống, màn hình và bàn phím. Với một điện áp tăng mạnh duy nhất, xác suất hỏng hóc của mỗi phần tử là 0,1. Dựa trên phân phối Bernoulli, hãy lập luật phân phối cho số phần tử bị lỗi trong quá trình tăng điện trong mạng.
Dung dịch. Xem xét Phân phối Bernoulli(hoặc nhị thức): xác suất trong N kiểm tra, sự kiện A sẽ xuất hiện chính xác k Một lần: 
, hoặc:
|
q N |
P N |
TẠI chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ.
Các giá trị có thể có của X (số lỗi):
x 0 = 0 - không có phần tử nào bị lỗi;
x 1 = 1 - lỗi của một phần tử;
x 2 = 2 - hư hỏng của hai phần tử;
x 3 = 3 - lỗi của tất cả các phần tử.
Vì theo điều kiện, p = 0,1 thì q = 1 - p = 0,9. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng tôi nhận được
, ,
, .
Điều khiển: .
Do đó, luật phân phối mong muốn:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Nhiệm vụ 4. Đã sản xuất 5000 vòng. Xác suất một hộp mực bị lỗi 
. Xác suất để có đúng 3 hộp mực bị lỗi trong cả lô là bao nhiêu?
Dung dịch. Áp dụng Phân phối Poisson: phân phối này được sử dụng để xác định xác suất
số lần thử nghiệm (thử nghiệm hàng loạt), trong mỗi lần thử xác suất của sự kiện A là rất nhỏ, sự kiện A sẽ xảy ra k lần: 
, ở đâu .
Ở đây n \ u003d 5000, p \ u003d 0,0002, k \ u003d 3. Chúng tôi tìm thấy xác suất mong muốn: 
.
Nhiệm vụ 5. Khi bắn trước phát thứ nhất với xác suất bắn trúng p = 0,6 cho một lần bắn, bạn cần tìm xác suất để lần bắn trúng đó xảy ra ở lần bắn thứ ba.
Dung dịch. Hãy áp dụng phân phối hình học: cho phép thực hiện các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử A có xác suất xuất hiện p (và không xảy ra q = 1 - p). Thử nghiệm kết thúc ngay sau khi sự kiện A xảy ra.
Trong các điều kiện đó, xác suất để biến cố A xảy ra trong lần kiểm tra thứ k được xác định theo công thức:. Ở đây p = 0,6; q \ u003d 1 - 0,6 \ u003d 0,4; k \ u003d 3. Do đó,.
Nhiệm vụ 6. Cho luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X:
Tìm kỳ vọng toán học.
Dung dịch. .
Lưu ý rằng ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.
Nhiệm vụ 7. Tìm phương sai của một biến ngẫu nhiên X theo luật phân phối sau:
Dung dịch. Nơi đây .
Quy luật phân phối bình phương của X 2 :
|
X 2 |
|||
Phương sai yêu cầu:.
Độ phân tán đặc trưng cho mức độ lệch (tán xạ) của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó.
Nhiệm vụ 8. Giả sử biến ngẫu nhiên được cho bởi phân phối:
|
10m |
|||
Tìm đặc điểm số của nó.
Lời giải: m, m 2 ,
M 2 , m.
Về một biến ngẫu nhiên X, người ta có thể nói một trong hai - kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với phương sai là 13,04 m 2 , hoặc - kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với độ lệch m. Công thức thứ hai rõ ràng hơn.
Một nhiệm vụ 9.
Giá trị ngẫu nhiên X được cung cấp bởi hàm phân phối: 
.
Tìm xác suất để theo kết quả của phép thử, giá trị X sẽ nhận một giá trị nằm trong khoảng 
.
Dung dịch. Xác suất để X nhận một giá trị trong một khoảng thời gian nhất định bằng với số gia của hàm tích phân trong khoảng này, tức là . Trong trường hợp của chúng tôi và do đó
.
Một nhiệm vụ 10. Biến ngẫu nhiên rời rạc X do luật phân phối đưa ra:
Tìm hàm phân phối F (x ) và xây dựng đồ thị của nó.
Dung dịch. Kể từ khi chức năng phân phối
vì 
, sau đó
tại ;
tại ;
tại ;
tại ;
Biểu đồ liên quan:
Nhiệm vụ 11. Biến ngẫu nhiên liên tục X được cho bởi hàm phân phối vi phân: 
.
Tìm xác suất bắn trúng X đến khoảng thời gian
Dung dịch. Lưu ý rằng đây là một trường hợp đặc biệt của luật phân phối hàm mũ.
Hãy sử dụng công thức: 
.
Một nhiệm vụ 12. Tìm các đặc điểm số của biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho bởi luật phân phối:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2:
|
là hàm Laplace.Trên trang này, chúng tôi đã thu thập các ví dụ về việc giải quyết vấn đề giáo dục vấn đề về biến ngẫu nhiên rời rạc. Đây là một phần khá bao quát: các luật phân phối khác nhau (nhị thức, hình học, siêu hình học, Poisson và những người khác), các thuộc tính và đặc điểm số được nghiên cứu, các biểu diễn đồ họa có thể được xây dựng cho mỗi chuỗi phân phối: một đa giác (polygon) xác suất, một hàm phân phối .
Dưới đây, bạn sẽ tìm thấy các ví dụ về các quyết định về các biến ngẫu nhiên rời rạc, trong đó yêu cầu áp dụng kiến thức từ các phần trước của lý thuyết xác suất để đưa ra luật phân phối, sau đó tính toán kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn, xây dựng hàm phân phối , trả lời các câu hỏi về DSV, v.v. P.
Ví dụ về luật phân phối xác suất phổ biến:
Máy tính cho các đặc điểm của DSV
- Tính toán kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của DSV.
Các vấn đề đã được giải quyết về DSV
Phân bố gần với hình học
Nhiệm vụ 1. Trên đường đi của ô tô có 4 đèn giao thông, mỗi đèn cấm ô tô chuyển động tiếp với xác suất là 0,5. Tìm số phân bố số đèn giao thông của ô tô trước điểm dừng đầu tiên. Kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên này là gì?
Nhiệm vụ 2. Người thợ săn bắn vào trò chơi trước cú đánh đầu tiên, nhưng cố gắng thực hiện không quá bốn lần. Viết luật phân phối cho số lần bắn trượt nếu xác suất bắn trúng mục tiêu của một lần bắn là 0,7. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên này.
Nhiệm vụ 3. Người bắn, có 3 băng đạn, bắn vào mục tiêu cho đến khi phát trúng đầu tiên. Xác suất bắn trúng phát thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $ \ xi $ - số hộp mực còn lại. Biên dịch một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên, tìm kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn của r.v., xây dựng hàm phân phối của r.v., tìm $ P (| \ xi-m | \ le \ sigma $.
Nhiệm vụ 4. Hộp gồm 7 bộ phận tiêu chuẩn và 3 bộ phận bị lỗi. Các bộ phận được lấy ra tuần tự cho đến khi bộ tiêu chuẩn xuất hiện mà không cần trả lại chúng. $ \ xi $ - số bộ phận bị lỗi được lấy ra.
Soạn luật phân phối cho biến ngẫu nhiên rời rạc $ \ xi $, tính kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn của nó, vẽ đa giác phân phối và đồ thị của hàm phân phối.
Nhiệm vụ với các sự kiện độc lập
Nhiệm vụ 5. 3 sinh viên đến thi lại môn lý thuyết xác suất. Xác suất để người thứ nhất trúng tuyển là 0,8, người thứ hai - 0,7, người thứ ba - 0,9. Tìm chuỗi phân phối của biến ngẫu nhiên $ \ xi $ của số học sinh trúng tuyển, xây dựng đồ thị của hàm phân phối, tìm $ M (\ xi), D (\ xi) $.
Nhiệm vụ 6. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,8 và giảm xuống mỗi lần bắn 0,1. Rút ra luật phân phối số lần bắn trúng mục tiêu nếu bắn ba phát. Tìm kỳ vọng toán học, phương sai và S.K.O. biến ngẫu nhiên này. Vẽ đồ thị hàm phân phối.
Nhiệm vụ 7. 4 viên được bắn vào mục tiêu. Trong trường hợp này, xác suất bắn trúng tăng lên như sau: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Tìm luật phân phối của biến ngẫu nhiên $ X $ - số lần truy cập. Tìm xác suất để $ X \ ge 1 $.
Nhiệm vụ 8. Hai đồng tiền đối xứng nhau được tung ra, đếm số lượng áo giáp ở hai mặt trên của đồng tiền. Chúng tôi xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ - số vòng tay trên cả hai đồng tiền. Viết quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên $ X $, tìm kỳ vọng toán học của nó.
Các nhiệm vụ khác và luật phân phối DSV
Nhiệm vụ 9. Hai cầu thủ bóng rổ thực hiện ba lần ném rổ. Xác suất ném trúng của cầu thủ bóng rổ thứ nhất là 0,6, của cầu thủ thứ hai là 0,7. Gọi $ X $ là hiệu số giữa số lần ném thành công của cầu thủ bóng rổ thứ nhất và thứ hai. Tìm chuỗi phân phối, chế độ và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên $ X $. Xây dựng một đa giác phân phối và vẽ đồ thị hàm phân phối. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn. Tìm xác suất của biến cố $ (- 2 \ lt X \ le 1) $.
Nhiệm vụ 10. Số lượng tàu không cư trú đến hàng ngày để xếp hàng tại một cảng nhất định là một giá trị ngẫu nhiên $ X $, được cho như sau:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) đảm bảo rằng chuỗi phân phối được thiết lập,
B) tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên $ X $,
C) nếu có hơn ba tàu đến trong một ngày nhất định, cảng sẽ chịu trách nhiệm về các chi phí do cần phải thuê thêm người lái và người bốc xếp. Xác suất mà cảng sẽ phát sinh thêm chi phí là bao nhiêu?
D) tìm kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên $ X $.
Nhiệm vụ 11. Ném 4 viên xúc xắc. Tìm kỳ vọng toán học của tổng số điểm sẽ rơi trên tất cả các mặt.
Nhiệm vụ 12. Hai người chơi lần lượt tung đồng xu cho đến khi xuất hiện quốc huy đầu tiên. Người chơi có huy hiệu bị rơi ra ngoài nhận được 1 rúp từ người chơi khác. Tìm kỳ vọng toán học về phần thưởng của mỗi người chơi.
Chương 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
§ 1. Khái niệm về một biến ngẫu nhiên.
Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
Sự định nghĩa : Ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của phép thử chỉ nhận một giá trị trong số một tập các giá trị có thể có của nó, chưa biết trước và phụ thuộc vào các nguyên nhân ngẫu nhiên.
Có hai loại biến ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục.
Sự định nghĩa : Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc (không liên tục) nếu tập hợp các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng có thể đếm được.
Nói cách khác, các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được đánh số lại.
Bạn có thể mô tả một biến ngẫu nhiên bằng cách sử dụng luật phân phối của nó.
Sự định nghĩa : Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của chúng.
Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể được cho dưới dạng một bảng, ở dòng đầu tiên, tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên được biểu thị theo thứ tự tăng dần và ở dòng thứ hai là các xác suất tương ứng trong số các giá trị này, tức là
trong đó р1 + р2 +… + рn = 1
Một bảng như vậy được gọi là một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
Nếu tập các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên là vô hạn, thì chuỗi р1 + р2 +… + рn +… hội tụ và tổng của nó bằng 1.
Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể được mô tả bằng đồ thị, trong đó một đường đa giác được xây dựng trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, nối liên tiếp các điểm có tọa độ (xi; pi), i = 1,2,… n. Dòng kết quả được gọi là đa giác phân phối (Hình 1).
Hóa hữu cơ "href =" / text / category / organcheskaya_hiimya / "rel =" bookmark "> của hóa hữu cơ lần lượt là 0,7 và 0,8. Hãy vẽ quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên X - số bài thi mà học sinh sẽ thi đi qua.
Dung dịch. Theo kết quả của kỳ thi, biến ngẫu nhiên X đang xét có thể nhận một trong các giá trị sau: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.
Hãy tìm xác suất của các giá trị này. Biểu thị các sự kiện:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg "width =" 259 "height =" 66 src = ">
 |
Vì vậy, luật phân phối của biến ngẫu nhiên X được cho bởi bảng:
Kiểm soát: 0,6 + 0,38 + 0,56 = 1.
§ 2. Chức năng phân phối
Một mô tả đầy đủ về một biến ngẫu nhiên cũng được đưa ra bởi hàm phân phối.
Sự định nghĩa: Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X hàm F (x) được gọi, xác định với mỗi giá trị x xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x:
F (x) = P (X<х)
Về mặt hình học, hàm phân phối được hiểu là xác suất để biến ngẫu nhiên X sẽ nhận giá trị được mô tả trên trục số bởi một điểm ở bên trái điểm x.
1) 0≤F (x) ≤1;
2) F (x) là hàm số không giảm trên (-∞; + ∞);
3) F (x) - liên tục từ bên trái tại các điểm x = xi (i = 1,2,… n) và liên tục tại tất cả các điểm khác;
4) F (-∞) = P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F (+ ∞) = P (X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Nếu luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho dưới dạng bảng:
thì hàm phân phối F (x) được xác định theo công thức:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif "height =" 110 ">
0 cho x≤ x1,
p1 tại x1< х≤ x2,
F (x) = p1 + p2 tại x2< х≤ х3
1 cho x> xn.
Đồ thị của nó được thể hiện trong Hình 2:
§ 3. Đặc điểm số của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
Kỳ vọng toán học là một trong những đặc điểm số quan trọng.
Sự định nghĩa: Kỳ vọng toán học M (X) Biến ngẫu nhiên rời rạc X là tổng của tất cả các giá trị của nó và xác suất tương ứng của chúng:
M (X) = ∑ xiрi = x1р1 + x2р2 +… + xnрn
Kỳ vọng toán học đóng vai trò như một đặc trưng của giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.
Các thuộc tính của kỳ vọng toán học:
1) M (C) = C, với C là một giá trị không đổi;
2) M (C X) \ u003d C M (X),
3) M (X ± Y) = M (X) ± M (Y);
4) M (X Y) = M (X) M (Y), trong đó X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập;
5) M (X ± C) = M (X) ± C, trong đó C là một giá trị không đổi;
Để mô tả mức độ phân tán của các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc xung quanh giá trị trung bình của nó, phương sai được sử dụng.
Sự định nghĩa: sự phân tán D ( X ) biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó:
Thuộc tính phân tán:
1) D (C) = 0, trong đó C là một giá trị không đổi;
2) D (X)> 0, trong đó X là biến ngẫu nhiên;
3) D (C X) = C2 D (X), trong đó C là một giá trị không đổi;
4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), trong đó X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập;
Để tính toán phương sai, thường thuận tiện hơn khi sử dụng công thức:
D (X) = M (X2) - (M (X)) 2,
trong đó М (Х) = ∑ xi2рi = x12р1 + x22р2 +… + xn2рn
Phương sai D (X) có thứ nguyên là bình phương của một biến ngẫu nhiên, điều này không phải lúc nào cũng thuận tiện. Do đó, giá trị √D (X) cũng được sử dụng như một chỉ báo về sự phân tán các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên.
Sự định nghĩa: Độ lệch chuẩn σ (X) biến ngẫu nhiên X được gọi là căn bậc hai của phương sai:
Nhiệm vụ số 2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho bởi luật phân phối:
Tìm P2, hàm phân phối F (x) và vẽ đồ thị của nó, cũng như M (X), D (X), σ (X).
Dung dịch: Vì tổng xác suất của các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X bằng 1 nên
Р2 = 1- (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,3) = 0,1
Tìm hàm phân phối F (x) = P (X Về mặt hình học, đẳng thức này có thể được hiểu như sau: F (x) là xác suất mà một biến ngẫu nhiên sẽ nhận giá trị được mô tả trên trục thực bởi một điểm ở bên trái của x. Nếu x≤-1, thì F (x) = 0, vì không có một giá trị nào của biến ngẫu nhiên này trên (-∞; x); Nếu -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Nếu 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞; х) hai giá trị x1 = -1 và x2 = 0 giảm; Nếu 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Nếu 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Nếu x> 3 thì F (x) = P (X = -1) + P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0,1 +0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,3 = 1, do bốn giá trị x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2 rơi vào khoảng (-∞; x) và x5 = 3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif "width =" 14 height = 2 "height =" 2 "> 0 cho x≤-1, 0,1 ở -1<х≤0, 0,2 ở 0<х≤1, F (x) = 0,5 tại 1<х≤2, 0,7 lúc 2<х≤3, 1 cho x> 3 Hãy biểu diễn hàm F (x) bằng đồ thị (Hình 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg "width =" 158 height = 29 "height =" 29 "> ≈1.2845. §
4. Luật phân phối nhị thức biến ngẫu nhiên rời rạc, định luật Poisson. Sự định nghĩa: Nhị thức
được gọi là luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X - số lần xuất hiện của biến cố A trong n lần thử nghiệm lặp lại độc lập, trong mỗi phép thử A có thể xảy ra với xác suất p hoặc không xảy ra với xác suất q = 1-p. Khi đó Р (Х = m) - khả năng xuất hiện của biến cố A chính xác m lần trong n phép thử được tính theo công thức Bernoulli: P (X = m) = Сmnpmqn-m Kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên X, được phân phối theo luật nhị phân, được tìm thấy tương ứng bằng các công thức: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif "width =" 26 "> Xác suất của sự kiện A -" nhận được năm "trong mỗi thử nghiệm là như nhau và bằng 1/6, tức là P (A) = p = 1/6, thì P (A) = 1-p = q = 5/6, trong đó - "giọt không phải là năm." Biến ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị: 0; 1; 2; 3. Chúng tôi tìm xác suất của mỗi giá trị có thể có của X bằng công thức Bernoulli: P (X = 0) = P3 (0) = C03p0q3 = 1 (1/6) 0 (5/6) 3 = 125/216; P (X = 1) = P3 (1) = C13p1q2 = 3 (1/6) 1 (5/6) 2 = 75/216; P (X = 2) = P3 (2) = C23p2q = 3 (1/6) 2 (5/6) 1 = 15/216; P (X = 3) = P3 (3) = C33p3q0 = 1 (1/6) 3 (5/6) 0 = 1/216. Cái đó. luật phân phối của biến ngẫu nhiên X có dạng: Kiểm soát: 125/216 + 75/216 + 15/216 + 1/216 = 1. Hãy tìm các đặc điểm số của biến ngẫu nhiên X: M (X) = np = 3 (1/6) = 1/2, D (X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12, Nhiệm vụ số 4. Máy tự động dán tem các bộ phận. Xác suất để một bộ phận được chế tạo bị lỗi là 0,002. Tìm xác suất để trong 1000 bộ phận được chọn có: a) 5 khuyết tật; b) ít nhất một bị lỗi. Dung dịch:
Số n = 1000 là lớn, xác suất chế tạo một bộ phận bị lỗi p = 0,002 là nhỏ, và các sự kiện đang xét (bộ phận bị lỗi) là độc lập, do đó công thức Poisson xảy ra: Рn (m) = e-
λ
λm Hãy tìm λ = np = 1000 0,002 = 2. a) Tìm xác suất để có 5 bộ phận bị hỏng (m = 5): P1000 (5) = e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Tìm xác suất để có ít nhất một bộ phận bị hỏng. Sự kiện A - "ít nhất một trong các bộ phận được chọn bị lỗi" ngược lại với sự kiện - "tất cả các bộ phận được chọn không bị lỗi". Do đó, P (A) \ u003d 1-P (). Do đó xác suất mong muốn bằng: Р (А) = 1-Р1000 (0) = 1- e-2
20
\ u003d 1-e-2 \ u003d 1-0.13534≈0.865. Nhiệm vụ làm việc độc lập.
1.1
1.2.
Biến ngẫu nhiên phân tán X được cho bởi luật phân phối: Tìm p4, hàm phân phối F (X) và vẽ đồ thị của nó, cũng như M (X), D (X), σ (X). 1.3.
Trong hộp có 9 chiếc bút dạ, trong đó có 2 chiếc không viết được nữa. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc bút dạ. Biến ngẫu nhiên X - số bút dạ dùng để viết trong số những chiếc đã lấy. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên. 1.4.
Có 6 cuốn sách giáo khoa được đặt ngẫu nhiên trên giá thư viện, 4 cuốn sách trong số đó được đóng gáy. Thủ thư lấy ngẫu nhiên 4 cuốn sách giáo khoa. Biến ngẫu nhiên X là số sách giáo khoa bị ràng buộc trong số các sách được lấy. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên. 1.5.
Vé có hai nhiệm vụ. Xác suất giải đúng bài toán thứ nhất là 0,9, bài toán thứ hai là 0,7. Biến ngẫu nhiên X là số bài toán được giải đúng trong phiếu. Soạn luật phân phối, tính kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên này, đồng thời tìm hàm phân phối F (x) và xây dựng đồ thị của nó. 1.6.
Ba người bắn cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn của người bắn thứ nhất là 0,5, của người thứ hai - 0,8, của người thứ ba - 0,7. Biến ngẫu nhiên X là số lần bắn trúng mục tiêu nếu người bắn mỗi người bắn một phát. Tìm luật phân phối, M (X), D (X). 1.7.
Một cầu thủ bóng rổ ném bóng vào rổ với xác suất trúng đích trên mỗi lần ném là 0,8. Với mỗi cú đánh, anh ta nhận được 10 điểm, và trong trường hợp đánh trượt, anh ta không được cộng điểm. Soạn luật phân phối số điểm X biến ngẫu nhiên mà một cầu thủ bóng rổ nhận được trong 3 lần ném. Tìm M (X), D (X) và cả xác suất để anh ta được hơn 10 điểm. 1.8.
Các chữ cái được viết trên thẻ, chỉ có 5 nguyên âm và 3 phụ âm. 3 thẻ được chọn ngẫu nhiên và mỗi lần lấy thẻ sẽ được trả lại. Biến ngẫu nhiên X là số nguyên âm trong số những nguyên âm được lấy. Lập luật phân phối và tìm M (X), D (X), σ (X). 1.9.
Trung bình, dưới 60% số hợp đồng, công ty bảo hiểm trả số tiền bảo hiểm khi xảy ra sự kiện được bảo hiểm. Lập luật phân phối cho một biến ngẫu nhiên X - số hợp đồng mà số tiền bảo hiểm đã được thanh toán trong số bốn hợp đồng được chọn ngẫu nhiên. Tìm đặc điểm số của đại lượng này. 1.10.
Đài phát thanh trong những khoảng thời gian nhất định sẽ gửi các dấu hiệu cuộc gọi (không quá bốn) cho đến khi thiết lập liên lạc hai chiều. Xác suất nhận được phản hồi cho một dấu hiệu cuộc gọi là 0,3. Biến ngẫu nhiên X-số lượng lệnh gọi đã gửi. Lập luật phân phối và tìm F (x). 1.11.
Có 3 chìa khóa, trong đó chỉ có một chiếc phù hợp với ổ khóa. Lập luật phân phối cho biến ngẫu nhiên X-số lần thử mở khóa, nếu khóa đã thử không tham gia vào các lần thử tiếp theo. Tìm M (X), D (X). 1.12.
Các thử nghiệm độc lập tuần tự của ba thiết bị về độ tin cậy được thực hiện. Mỗi thiết bị tiếp theo chỉ được thử nghiệm nếu thiết bị trước đó trở nên đáng tin cậy. Xác suất vượt qua bài kiểm tra của mỗi dụng cụ là 0,9. Biên dịch luật phân phối của biến ngẫu nhiên X-số thiết bị được thử nghiệm. 1.13
. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có ba giá trị có thể có: x1 = 1, x2, x3 và x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Khối của thiết bị điện tử chứa 100 phần tử giống nhau. Xác suất hỏng hóc của mỗi phần tử trong thời gian T đều bằng 0,002. Các phần tử hoạt động độc lập. Tìm xác suất để trong thời gian T có không quá hai phần tử bị hỏng. 1.15.
Sách giáo khoa đã được xuất bản với 50.000 bản. Xác suất mà sách giáo khoa bị ràng buộc không chính xác là 0,0002. Tìm xác suất để vòng tuần hoàn chứa: a) bốn cuốn sách bị lỗi, b) ít hơn hai quyển sách bị lỗi. 1
.16.
Số lượng cuộc gọi đến tổng đài mỗi phút được phân bố theo định luật Poisson với tham số λ = 1,5. Tìm xác suất để trong một phút có: a) hai cuộc gọi; b) ít nhất một cuộc gọi. 1.17.
Tìm M (Z), D (Z) nếu Z = 3X + Y. 1.18.
Quy luật phân phối của hai biến ngẫu nhiên độc lập được đưa ra: Tìm M (Z), D (Z) nếu Z = X + 2Y. Câu trả lời:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif "height =" 110 "> 1.1.
p3 = 0,4; 0 cho x≤-2, 0,3 ở -2<х≤0, F (x) = 0,5 ở 0<х≤2, 0,9 ở 2<х≤5, 1 cho x> 5 0,3 ở -1<х≤0, 0,4 ở 0<х≤1, F (x) = 0,6 tại 1<х≤2, 0,7 lúc 2<х≤3, 1 cho x> 3 M (X) = 1; D (X) = 2,6; σ (X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif "width =" 2 height = 98 "height =" 98 "> 0 cho x≤0, 0,03 ở 0<х≤1, F (x) = 0,37 tại 1<х≤2, 1 cho x> 2 M (X) = 2; D (X) = 0,62 M (X) = 2,4; D (X) = 0,48, P (X> 10) = 0,896 1.
8
.
M (X) = 15/8; D (X) = 45/64; σ (Х) ≈ M (X) = 2,4; D (X) = 0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif "width =" 14 "> 1.11.
M (X) = 2; D (X) = 2/3 1.14.
1,22e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. chương 2 Biến ngẫu nhiên liên tục
Sự định nghĩa: tiếp diễn
đặt tên cho giá trị, tất cả các giá trị có thể có trong đó hoàn toàn lấp đầy khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của trục số. Rõ ràng, số lượng các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên liên tục là vô hạn. Một biến ngẫu nhiên liên tục có thể được chỉ định bằng cách sử dụng một hàm phân phối. Sự định nghĩa: F Chức năng phân phối
biến ngẫu nhiên liên tục X là một hàm F (x), xác định cho mỗi giá trị xhttps: //pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg "width =" 14 "height =" 13 "> R Hàm phân phối đôi khi được gọi là hàm phân phối tích lũy. Thuộc tính hàm phân phối:
1) 1≤F (x) ≤1 2) Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, hàm phân phối là liên tục tại bất kỳ điểm nào và có thể phân biệt được ở mọi nơi, ngoại trừ có lẽ tại các điểm riêng lẻ. 3) Xác suất để một biến ngẫu nhiên X thuộc một trong các khoảng (a; b), [a; b), [a; b], bằng hiệu giữa các giá trị của hàm F (x) tại điểm a và b, tức là P (a<Х 4) Xác suất để một biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị duy nhất là 0. 5) F (-∞) = 0, F (+ ∞) = 1 Việc chỉ định một biến ngẫu nhiên liên tục bằng cách sử dụng hàm phân phối không phải là duy nhất. Chúng ta hãy giới thiệu khái niệm mật độ phân phối xác suất (mật độ phân phối). Sự định nghĩa
:
Mật độ xác suất
f
(
x
)
biến ngẫu nhiên liên tục X là đạo hàm của hàm phân phối của nó, tức là: Mật độ phân phối xác suất đôi khi được gọi là hàm phân phối vi phân hoặc luật phân phối vi phân. Đồ thị mật độ của phân phối xác suất f (x) được gọi là đường cong phân phối xác suất
.
Thuộc tính mật độ xác suất:
1) f (x) ≥0, khi xhttps: //pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg "width =" 285 "height =" 141 ">. Gif" width = "14" height = "62 src ="> 0 cho x≤2, f (x) = c (x-2) ở 2<х≤6, 0 cho x> 6. Tìm: a) giá trị của c; b) hàm phân phối F (x) và xây dựng đồ thị của nó; c) Р (3≤х<5) Dung dịch:
+
∞ a) Tìm giá trị của c từ điều kiện chuẩn hóa: ∫ f (x) dx = 1. Do đó, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "height =" 38 src = "> -∞ 2 2 x nếu 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8 (x2 / 2-2x + 2) = 1/16 (x-2) 2; Gif "width =" 14 "height =" 62 "> 0 cho x≤2, F (x) \ u003d (x-2) 2/16 lúc 2<х≤6, 1 cho x> 6. Đồ thị của hàm F (x) được thể hiện trong hình 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif "width =" 14 "height =" 62 src = "> 0 cho x≤0, F (x) \ u003d (3 arctg x) / π ở 0<х≤√3, 1 với x> √3. Tìm hàm phân phối f (x) Dung dịch:
Vì f (x) \ u003d F '(x) nên https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg "width =" 118 "height =" 24 "> Tất cả các thuộc tính của kỳ vọng toán học và sự phân tán được xem xét trước đó đối với các biến ngẫu nhiên phân tán cũng có giá trị đối với các biến liên tục. Nhiệm vụ số 3. Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm vi phân f (x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif "height =" 38 "> -∞ 2 X3 / 9 + x2 / 6 = 8 / 9-0 + 9 / 6-4 / 6 = 31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "height =" 38 "> + ∞ D (X) = ∫ x2 f (x) dx- (M (x)) 2 = ∫ x2 x / 3 dx + ∫1 / 3x2 dx = (31/18) 2 = x4 / 12 + x3 / 9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "height =" 38 "> P (1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập.
2.1.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho bởi một hàm phân phối: 0 cho x≤0, F (x) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 cho x≤ π / 6, F (х) = - cos 3x tại π / 6<х≤ π/3, 1 với x> π / 3. Tìm hàm phân phối f (x) và cả Р (2π / 9<Х< π /2). 2.3.
0 cho x≤2, f (x) = với x là 2<х≤4, 0 cho x> 4. 2.4.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho bởi mật độ phân phối: 0 cho x≤0, f (х) = с √х tại 0<х≤1, 0 với x> 1. Tìm: a) số c; b) M (X), D (X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg "width =" 36 "height =" 39 "> đối với x, 0 tại x. Tìm: a) F (x) và vẽ đồ thị của nó; b) M (X), D (X), σ (X); c) xác suất để trong bốn phép thử độc lập, giá trị X nhận đúng 2 lần giá trị thuộc khoảng (1; 4). 2.6.
Mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho là: f (x) \ u003d 2 (x-2) cho x, 0 tại x. Tìm: a) F (x) và vẽ đồ thị của nó; b) M (X), D (X), σ (X); c) xác suất để trong ba phép thử độc lập, giá trị X nhận đúng 2 lần giá trị thuộc khoảng. 2.7.
Hàm f (x) được cho là: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg "width =" 43 "height =" 38 src = ">. jpg" width = "16" height = "15"> [- √ 3/2; √3 / 2]. 2.8.
Hàm f (x) được cho là: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg "width =" 45 "height =" 36 src = "> .jpg" width = "16" height = "15"> [- π / bốn; π / 4]. Tìm: a) giá trị của hằng số c, tại đó hàm sẽ là mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên X nào đó; b) hàm phân phối F (x). 2.9.
Biến ngẫu nhiên Х, tập trung trên khoảng (3; 7), được cho bởi hàm phân phối F (х) =. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X sẽ nhận giá trị: a) nhỏ hơn 5, b) không nhỏ hơn 7. 2.10.
Biến ngẫu nhiên X, tập trung trên khoảng (-1; 4), được cho bởi hàm phân phối F (x) =. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X sẽ nhận giá trị: a) nhỏ hơn 2, b) không nhỏ hơn 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg "width =" 43 "height =" 44 src = "> .jpg" width = "16" height = "15">. Tìm: a) số c; b) M (X); c) xác suất P (X> M (X)). 2.12.
Biến ngẫu nhiên được cung cấp bởi hàm phân phối vi phân: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg "width =" 60 "height =" 38 src = ">. jpg" width = "16 height = 15" height = "15"> . Tìm: a) M (X); b) xác suất Р (Х≤М (Х)) 2.13.
Phân phối thời gian được cho bởi mật độ xác suất: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg "width =" 46 "height =" 37 "> cho x ≥0. Chứng minh rằng f (x) thực sự là một phân phối mật độ xác suất. 2.14.
Mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho là: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg "width =" 174 "height =" 136 src = "> (hình 4) 2.16.
Biến ngẫu nhiên X được phân phối theo luật “tam giác vuông” trong khoảng (0; 4) (Hình 5). Tìm biểu thức phân tích cho mật độ xác suất f (x) trên toàn bộ trục thực. Câu trả lời
0 cho x≤0, f (x) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 cho x≤ π / 6, F (x) = 3sin 3x tại π / 6<х≤ π/3, 0 với x> π / 3. Một biến ngẫu nhiên liên tục X có luật phân phối đều trên một khoảng nào đó (a; b), mà tất cả các giá trị có thể có của X đều thuộc về, nếu mật độ phân phối xác suất f (x) không đổi trên khoảng này và bằng 0 bên ngoài nó, tức là 0 cho x≤a, f (x) = cho a<х 0 cho x≥b. Đồ thị của hàm số f (x) được hiển thị trong hình. một F (х) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg "width =" 30 "height =" 37 ">, D (X) =, σ (Х) =. Nhiệm vụ số 1. Biến ngẫu nhiên X phân bố đều trên đoạn. Tìm thấy: a) mật độ phân phối xác suất f (x) và xây dựng đồ thị của nó; b) hàm phân phối F (x) và xây dựng đồ thị của nó; c) M (X), D (X), σ (X). Dung dịch:
Sử dụng các công thức đã thảo luận ở trên, với a = 3, b = 7, chúng ta tìm thấy: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg "width =" 22 "height =" 39 "> at 3≤х≤7, 0 cho x> 7 Hãy xây dựng đồ thị của nó (Hình 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 src = "> 0 cho x≤3, F (х) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg "width =" 203 "height =" 119 src = "> hình 4 D (X) = == https: //pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg "width =" 37 "height =" 43 "> == https://pandia.ru/text/ 78/455 / images / image092_10.gif "width =" 14 "height =" 49 src = "> 0 cho x<0, f (х) = λе-λх tại х≥0. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X, được phân phối theo luật hàm mũ, được cho bởi công thức: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg "width =" 191 "height =" 126 src = "> fig..jpg" width = "22" height = "30">, D (X) =, σ (X) = Do đó, kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của phân phối hàm mũ là bằng nhau. Xác suất để X rơi vào khoảng (a; b) được tính theo công thức: Р (a<Х Nhiệm vụ số 2. Thời gian hoạt động trung bình của thiết bị là 100 giờ. Giả sử rằng thời gian hoạt động của thiết bị có luật phân phối hàm mũ, hãy tìm: a) mật độ phân phối xác suất; b) chức năng phân phối; c) xác suất để thời gian hoạt động không hỏng hóc của thiết bị vượt quá 120 giờ. Dung dịch:
Theo điều kiện, phân phối toán học M (X) = https: //pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif "height =" 43 src = "> 0 cho x<0, a) f (x) = 0,01e -0,01x với x≥0. b) F (x) = 0 đối với x<0, 1-e -0,01x tại x≥0. c) Chúng tôi tìm xác suất mong muốn bằng cách sử dụng hàm phân phối: P (X> 120) = 1-F (120) = 1- (1-e-1.2) = e-1.2≈0.3. §
3. luật phân phối bình thường Sự định nghĩa:
Một biến ngẫu nhiên liên tục X có luật phân phối chuẩn (luật Gaussian),
nếu mật độ phân bố của nó có dạng: trong đó m = M (X), σ2 = D (X), σ> 0. Đường cong phân phối chuẩn được gọi là đường cong bình thường hoặc gaussian
(hình 7) Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X, có phân phối theo luật chuẩn, được biểu diễn thông qua hàm Laplace Ф (х) theo công thức: đâu là hàm Laplace. Bình luận:
Hàm Ф (х) là hàm lẻ (Ф (-х) = - Ф (х)), ngoài ra nếu x> 5 thì ta có thể coi là Ф (х) ≈1 / 2. Đồ thị của hàm phân phối F (x) được thể hiện trong hình. tám https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg "width =" 218 "height =" 33 "> Xác suất để giá trị tuyệt đối của độ lệch nhỏ hơn một số dương δ được tính theo công thức: Đặc biệt, đối với m = 0, đẳng thức là đúng: "Quy tắc ba Sigma"
Nếu biến ngẫu nhiên X có luật phân phối chuẩn với các tham số m và σ thì thực tế chắc chắn rằng giá trị của nó nằm trong khoảng (a-3σ; a + 3σ), vì https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg "width =" 157 "height =" 57 src = "> a) b) Hãy sử dụng công thức: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg "width =" 369 "height =" 38 src = "> Theo bảng giá trị của hàm Ф (х) ta tìm được Ф (1,5) = 0,4332, Ф (1) = 0,3413. Vì vậy, xác suất mong muốn là: P (28 Nhiệm vụ làm việc độc lập
3.1.
Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trong khoảng (-3; 5). Tìm thấy: b) hàm phân phối F (x); c) các đặc tính số; d) xác suất P (4<х<6). 3.2.
Biến ngẫu nhiên X phân bố đều trên đoạn. Tìm thấy: a) mật độ phân phối f (x); b) hàm phân phối F (x); c) các đặc tính số; d) xác suất Р (3≤х≤6). 3.3.
Trên đường cao tốc được lắp đặt đèn giao thông tự động, trong đó đèn xanh bật trong 2 phút cho các loại xe, đèn vàng trong 3 giây và đèn đỏ trong 30 giây, v.v ... Xe ô tô đi dọc theo đường cao tốc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để ô tô vượt đèn giao thông mà không dừng lại. 3.4.
Các chuyến tàu điện ngầm chạy thường xuyên cách nhau 2 phút. Hành khách vào sân ga vào một thời điểm ngẫu nhiên. Tính xác suất để hành khách phải đợi tàu hơn 50 giây? Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X - thời gian chờ của đoàn tàu. 3.5.
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối mũ được cho bởi hàm phân phối: F (x) = 0 tại x<0, 1-e-8x cho x≥0. 3.6.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho bởi mật độ phân phối xác suất: f (x) = 0 tại x<0, 0,7 e-0,7x ở x≥0. a) Kể tên quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên đang xét. b) Tìm hàm phân phối F (X) và các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên X. 3.7.
Biến ngẫu nhiên X được phân phối theo luật hàm mũ, được cho bởi mật độ phân phối xác suất: f (x) = 0 tại x<0, 0,4 e-0,4 x tại x≥0. Tìm xác suất để kết quả của phép thử X nhận một giá trị trong khoảng (2,5; 5). 3.8.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được phân phối theo luật hàm mũ được cho bởi hàm phân phối: F (x) = 0 tại x<0, 1-0,6 lần tại x≥0 Tìm xác suất để kết quả của phép thử X nhận một giá trị trong khoảng thời gian. 3.9.
Kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn lần lượt là 8 và 2. Tìm: a) mật độ phân phối f (x); b) xác suất để theo kết quả của phép thử, X nhận một giá trị trong khoảng (10; 14). 3.10.
Biến ngẫu nhiên X được phân phối chuẩn với giá trị trung bình 3,5 và phương sai 0,04. Tìm thấy: a) mật độ phân phối f (x); b) xác suất mà theo kết quả của phép thử, X sẽ nhận một giá trị trong khoảng thời gian. 3.11.
Biến ngẫu nhiên X được phân phối chuẩn với M (X) = 0 và D (X) = 1. Biến cố nào: | X | ≤0.6 hoặc | X | ≥0.6 có xác suất cao hơn? 3.12.
Biến ngẫu nhiên X được phân phối chuẩn với M (X) = 0 và D (X) = 1. Từ khoảng (-0,5; -0,1) hoặc (1; 2) trong một phép thử, nó sẽ nhận giá trị lớn hơn xác suất? 3.13.
Giá hiện tại trên mỗi cổ phiếu có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng phân phối chuẩn với M (X) = 10den. các đơn vị và σ (X) = 0,3 den. các đơn vị Tìm thấy: a) xác suất để giá cổ phiếu hiện tại là từ 9,8 den. các đơn vị lên đến 10,4 den. các đơn vị; b) sử dụng "quy tắc ba dấu hiệu" để tìm ranh giới mà giá hiện tại của cổ phiếu sẽ nằm. 3.14.
Chất được cân mà không có sai số hệ thống. Sai số cân ngẫu nhiên tuân theo luật thông thường với tỷ lệ căn bậc hai σ = 5r. Tìm xác suất để trong bốn thí nghiệm độc lập, sai số trong ba lần cân không xảy ra ở giá trị tuyệt đối 3r. 3.15.
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với M (X) = 12,6. Xác suất để một biến ngẫu nhiên rơi vào khoảng (11,4; 13,8) là 0,6826. Tìm độ lệch chuẩn σ. 3.16.
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với M (X) = 12 và D (X) = 36. Tìm khoảng thời gian mà với xác suất 0,9973, biến ngẫu nhiên X sẽ giảm theo kết quả của phép thử. 3.17.
Một bộ phận do máy tự động chế tạo được coi là bị lỗi nếu độ lệch X của thông số được kiểm soát của nó so với giá trị danh nghĩa vượt quá 2 đơn vị đo tính theo mô đun. Giả thiết rằng biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với M (X) = 0 và σ (X) = 0,7. Bao nhiêu phần trăm các bộ phận bị lỗi máy tính? 3.18.
Tham số chi tiết X được phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học là 2 bằng giá trị danh nghĩa và độ lệch chuẩn là 0,014. Tìm xác suất để độ lệch của X so với môđun mệnh giá không vượt quá 1% mệnh giá. Câu trả lời
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif "width =" 14 "height =" 110 src = "> b) 0 đối với x≤-3, F (x) = left "> 3.10.
a) f (x) =, b) Р (3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
| x | ≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) Р (9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ = 1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%.
1.2.
p4 = 0,1; 0 cho x≤-1,
(hình 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 cho x≤a,
,
Đường cong pháp tuyến đối xứng với đường thẳng x = m, có cực đại tại x = a bằng.
,
Chú Vanya cốt truyện của vở kịch. “Chú Ivan. Thái độ đối với giáo sư của những người khác
Tsakhes nhỏ, biệt danh Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - tiểu sử ngắn