مقدمة. معالجة نتائج القياس في الممارسة الفيزيائية. القياسات وأخطاء القياس. تحليل نتائج القياس المباشرة

الأخطاء العشوائية لها الخصائص التالية.

مع وجود عدد كبير من القياسات ، تحدث أخطاء من نفس الحجم ولكن العكس في الإشارة في كثير من الأحيان.

من غير المرجح أن تحدث الأخطاء الكبيرة عن الأخطاء الصغيرة. من العلاقات (1) ، إعادة كتابتها بالشكل

س \ u003d × 1 + × 1

س = × 2 + × 2

س = س ن + س ن

وإضافة عمود ، يمكنك تحديد القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة على النحو التالي:

أو
.

(2)

هؤلاء. القيمة الحقيقية للكمية المقاسة تساوي المتوسط ​​الحسابي لنتائج القياس ، إذا كان هناك عدد لا نهائي منها. مع عدد محدود ، بل وأكثر من ذلك مع عدد صغير من القياسات ، والتي عادة ما نتعامل معها في الممارسة العملية ، فإن المساواة (2) تقريبية.

دع القيم التالية للكمية المقاسة X يتم الحصول عليها نتيجة لعدة قياسات: 13.4 ؛ 13.2 ؛ 13.3 ؛ 13.4 ؛ 13.3 ؛ 13.2 ؛ 13.1 ؛ 13.3 ؛ 13.3 ؛ 13.2 ؛ 13.3 ؛ 13.1. دعونا نبني رسمًا تخطيطيًا لتوزيع هذه النتائج ، ونرسم قراءات الأداة على طول محور الإحداثيات بترتيب تصاعدي. المسافات بين النقاط المجاورة على طول محور الإحداثي تساوي ضعف الحد الأقصى لخطأ القراءة على الجهاز. في حالتنا ، العد التنازلي يصل إلى 0.1. هذا يساوي تقسيمًا واحدًا للمقياس المحدد على المحور x. على المحور الإحداثي ، نرسم قيمًا تتناسب مع العدد النسبي للنتائج المقابلة لقراءة معينة للجهاز. سيتم الإشارة إلى الرقم النسبي ، أو التردد النسبي للنتائج التي تساوي x k ، بواسطة W (x k). في حالتنا هذه

نقوم بتعيين كل x لـ

(3)

حيث أ هو معامل التناسب.

يختلف الرسم التخطيطي ، الذي يُطلق عليه المدرج التكراري ، عن الرسم البياني المعتاد من حيث أن النقاط غير متصلة بخط منحنٍ ناعم ، ولكن يتم رسم الخطوات من خلالها. من الواضح أن مساحة الخطوة على قيمة معينة لـ x k تتناسب مع التكرار النسبي لحدوث هذه النتيجة. باختيار معامل التناسب في التعبير (3) بطريقة مناسبة ، يمكن جعل هذه المنطقة مساوية للتردد النسبي للنتيجة x k. ثم مجموع مناطق جميع الخطوات ، كمجموع الترددات النسبية للجميع النتائج ، يجب أن تكون مساوية لواحد

من هنا نجد A = 10. الشرط (4) يسمى حالة التطبيع للوظيفة (3).

إذا أجريت سلسلة من القياسات باستخدام n من القياسات في كل سلسلة ، فعند استخدام n صغير ، يمكن أن تختلف الترددات النسبية لنفس القيمة x k الموجودة من سلاسل مختلفة اختلافًا كبيرًا عن بعضها البعض. مع زيادة عدد القياسات في السلسلة ، تنخفض التقلبات في قيم W (x k) وتقترب هذه القيم من رقم ثابت معين ، وهو ما يسمى احتمال النتيجة x k ويشار إليه بـ P (x k ).

لنفترض أنه أثناء إجراء تجربة ، لا نحسب النتيجة إلى الأقسام الكاملة للمقياس أو حصصها ، ولكن يمكننا إصلاح النقطة التي توقف عندها السهم. بعد ذلك ، للحصول على عدد لا نهائي من القياسات ، سيزور السهم كل نقطة على المقياس. يكتسب توزيع القياس في هذه الحالة طابعًا مستمرًا ويتم وصفه بمنحنى مستمر y = f (x) بدلاً من رسم بياني متدرج. بناءً على خصائص الأخطاء العشوائية ، يمكن استنتاج أن المنحنى يجب أن يكون متماثلًا ، وبالتالي ، فإن الحد الأقصى له يقع على المتوسط ​​الحسابي لنتائج القياس ، والذي يساوي القيمة الحقيقية للكمية المقاسة. في حالة التوزيع المستمر لنتائج القياس ، فلا يوجد

من المنطقي التحدث عن احتمال أي من قيمهم ، لأن هناك قيم قريبة بشكل تعسفي من القيمة قيد الدراسة. الآن يجب أن نطرح بالفعل مسألة احتمال الاجتماع أثناء القياسات النتيجة في فترة زمنية معينة حول قيمة x k ، تساوي
,
. تمامًا كما هو الحال في الرسم البياني ، فإن التردد النسبي للنتيجة x يساوي مساحة الخطوة المبنية على هذه النتيجة ، على الرسم البياني للتوزيع المستمر ، احتمالية العثور على النتيجة في الفاصل الزمني (
,
) يساوي مساحة شبه المنحني المنحني الخطي الذي تم بناؤه خلال هذه الفترة ويحده المنحنى f (x). التدوين الرياضي لهذه النتيجة هو

لو
قليلا ، أي يتم استبدال مساحة شبه المنحني المنحني الفقس بالمساحة التقريبية لمستطيل له نفس القاعدة وارتفاع يساوي f (xk). تسمى الوظيفة f (x) الكثافة الاحتمالية لتوزيع نتائج القياس. احتمال إيجاد x في فترة ما يساوي كثافة الاحتمال للفترة المحددة مضروبة في طولها.

منحنى توزيع نتائج القياس التي تم الحصول عليها تجريبياً لقسم معين من مقياس الأداة ، إذا استمر ، التقريب المقارب لمحور الإحداثيات من اليسار واليمين ، يتم وصفه بشكل جيد من الناحية التحليلية بواسطة دالة من النموذج

(5)

تمامًا كما كانت المساحة الإجمالية لجميع الخطوات على المدرج التكراري تساوي واحدًا ، فإن المنطقة بأكملها بين منحنى f (x) ومحور الإحداثي ، والتي لها معنى احتمال تلبية بعض قيمة x على الأقل أثناء القياسات تساوي أيضًا واحدًا. التوزيع الموصوف بواسطة هذه الوظيفة يسمى التوزيع الطبيعي. المعلمة الرئيسية للتوزيع الطبيعي هي التباين  2. يمكن العثور على القيمة التقريبية للتشتت من نتائج القياس باستخدام الصيغة

(6)

تعطي هذه الصيغة تشتتًا قريبًا من القيمة الحقيقية فقط لعدد كبير من القياسات. على سبيل المثال ، σ 2 الموجود من نتائج 100 قياس قد يكون له انحراف عن القيمة الفعلية 15٪ ، وجدت من 10 قياسات بالفعل 40٪. يحدد التباين شكل منحنى التوزيع الطبيعي. عندما تكون الأخطاء العشوائية صغيرة ، يكون التشتت ، كما يلي من (6) ، صغيرًا. يكون المنحنى f (x) في هذه الحالة أضيق وأكثر حدة بالقرب من القيمة الحقيقية لـ X ويميل إلى الصفر بشكل أسرع عند الابتعاد عنه مقارنة بالأخطاء الكبيرة. سيوضح الشكل التالي كيف يتغير شكل المنحنى f (x) للتوزيع الطبيعي اعتمادًا على σ.

في نظرية الاحتمالات ، ثبت أنه إذا لم نأخذ في الاعتبار توزيع نتائج القياس ، ولكن توزيع قيم المتوسط ​​الحسابي الموجود من سلسلة من القياسات n في كل سلسلة ، فإنه يخضع أيضًا للقانون العادي ، ولكن مع تشتت هذا أصغر بمقدار n مرة.

احتمالية إيجاد نتيجة القياس في فترة زمنية معينة (
) بالقرب من القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة تساوي مساحة شبه المنحني المنحني المبني على هذه الفترة والمحددة من الأعلى بالمنحنى f (x). قيمة الفاصل
يقاس عادةً بوحدات متناسبة مع الجذر التربيعي للتباين
اعتمادًا على قيمة k لكل فترة
يوجد شبه منحني منحني الأضلاع لمنطقة أكبر أو أصغر ، أي

حيث F (k) هي بعض وظائف k. تظهر الحسابات ذلك لـ

ك = 1 ،

ك = 2 ،

ك = 3 ،

هذا يدل على ذلك في الفاصل الزمني
تمثل حوالي 95٪ من المساحة الواقعة تحت المنحنى f (x). تتوافق هذه الحقيقة تمامًا مع الخاصية الثانية للأخطاء العشوائية ، والتي تنص على أنه من غير المحتمل حدوث أخطاء كبيرة. أخطاء أكبر من
، يحدث مع احتمال أقل من 5٪. التعبير (7) المعاد كتابته لتوزيع المتوسط ​​الحسابي للقياسات n يأخذ الشكل

(8)

قيمة في (7) و (8) يمكن تحديدها على أساس نتائج القياس فقط تقريبًا بواسطة الصيغة (6)

استبدال هذه القيمة في التعبير (8) ، سنحصل على اليمين ليس F (k) ، ولكن بعض الوظائف الجديدة ، اعتمادًا ليس فقط على حجم الفاصل الزمني المدروس للقيم X ، ولكن أيضًا على عدد القياسات التي تم إجراؤها
و

لان فقط لعدد كبير جدًا من القياسات ، تصبح الصيغة (6) دقيقة بدرجة كافية.

بعد حل نظام متراجعتين بين قوسين على الجانب الأيسر من هذا التعبير فيما يتعلق بالقيمة الحقيقية لـ X ، يمكننا إعادة كتابته بالصورة

يحدد التعبير (9) الاحتمال الذي تكون به القيمة الحقيقية لـ X في فترة معينة من الطول حول القيمة . يسمى هذا الاحتمال في نظرية الأخطاء الموثوقية ، ويسمى الفاصل الزمني المقابل له للقيمة الحقيقية بفاصل الثقة. وظيفة
محسوبة على أساس t n و n وتم تجميع جدول مفصل لها. يحتوي الجدول على مدخلين: pt n و n. بمساعدتها ، لعدد معين من القياسات n ، من الممكن العثور ، مع إعطاء قيمة معينة من الموثوقية Р ، على قيمة t n ، والتي تسمى معامل الطالب.

يوضح تحليل الجدول أنه بالنسبة لعدد معين من القياسات مع متطلبات زيادة الموثوقية ، نحصل على قيم متزايدة لـ t n ، أي زيادة في فترة الثقة. الموثوقية التي تساوي واحد تتوافق مع فاصل ثقة يساوي اللانهاية. بالنظر إلى موثوقية معينة ، يمكننا أن نجعل فاصل الثقة للقيمة الحقيقية أضيق من خلال زيادة عدد القياسات ، لأن S n لا يتغير كثيرًا ، و ينقص بإنقاص البسط وزيادة المقام. بعد إجراء عدد كافٍ من التجارب ، من الممكن عمل فاصل ثقة لأي قيمة صغيرة. ولكن بالنسبة لـ n الكبيرة ، تؤدي الزيادة الإضافية في عدد التجارب ببطء شديد إلى تقليل فترة الثقة ، ويزيد مقدار العمل الحسابي كثيرًا. في بعض الأحيان يكون من المناسب في العمل العملي استخدام قاعدة تقريبية: لتقليل فاصل الثقة الموجود من عدد صغير من القياسات عدة مرات ، من الضروري زيادة عدد القياسات بنفس العامل.

مثال على معالجة نتائج القياس المباشر

لنأخذ بيانات تجريبية أول ثلاث نتائج من أصل 12 ، والتي وفقًا لها تم بناء الرسم البياني X: 13.4 ؛ 13.2 ؛ 13.3.

دعنا نسأل أنفسنا عن الموثوقية التي عادة ما يتم قبولها في المختبر التعليمي ، P = 95٪. من الجدول P = 0.95 و n = 3 نجد t n = 4.3.

أو

مع موثوقية 95٪. عادة ما يتم كتابة النتيجة الأخيرة على أنها مساواة

إذا كانت فترة الثقة لمثل هذه القيمة لا تتناسب (على سبيل المثال ، في الحالة التي يكون فيها الخطأ الآلي 0.1) ، ونريد خفضها إلى النصف ، فيجب علينا مضاعفة عدد القياسات.

إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، آخر 6 قيم من نفس النتائج الـ 12 (بالنسبة للستة الأولى ، يُقترح إجراء الحساب بنفسك)

X: 13.1 ؛ 13.3 ؛ 13.3 ؛ 13.2 ؛ 13.3 ؛ 13.1 ،

من ثم

تم العثور على قيمة المعامل t n من الجدول لـ Р = 0.95 و n = 6 ؛ tn = 2.6.

في هذه الحالة
دعنا نرسم فاصل الثقة للقيمة الحقيقية في الحالتين الأولى والثانية على المحور العددي.

الفترة المحسوبة من 6 قياسات هي ، كما هو متوقع ، ضمن الفترة الزمنية التي تم العثور عليها من ثلاثة قياسات.

يقدم الخطأ الآلي خطأ منهجيًا في النتائج ، مما يوسع فترات الثقة الموضحة على المحور بمقدار 0.1. لذلك ، فإن النتائج المكتوبة مع الأخذ في الاعتبار الخطأ الآلي لها الشكل

1)
2)

في الحالة العامة ، يكون الإجراء الخاص بمعالجة نتائج القياسات المباشرة كما يلي (من المفترض أنه لا توجد أخطاء منهجية).

حالة 1عدد القياسات أقل من خمسة.

1) وفقًا للصيغة (6) ، تم العثور على متوسط ​​النتيجة x، يُعرَّف بأنه الوسط الحسابي لنتائج جميع القياسات ، أي

2) حسب المعادلة (12) تحسب الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية

.

3) حسب المعادلة (14) يتم تحديد متوسط ​​الخطأ المطلق

.

4) وفقًا للمعادلة (15) ، يتم حساب متوسط ​​الخطأ النسبي لنتيجة القياس

.

5) سجل النتيجة النهائية في النموذج التالي:

، في
.

الحالة 2. عدد القياسات أكثر من خمسة.

1) وفقًا للصيغة (6) ، تم العثور على متوسط ​​النتيجة

.

2) وفقًا للصيغة (12) ، يتم تحديد الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية

.

3) وفقًا للصيغة (7) ، يتم حساب متوسط ​​الخطأ التربيعي للقياس الفردي

.

4) يحسب الانحراف المعياري لمتوسط ​​قيمة القيمة المقاسة بالصيغة (9).

.

5) يتم تسجيل النتيجة النهائية في النموذج التالي

.

في بعض الأحيان ، قد تكون أخطاء القياس العشوائية أقل من القيمة التي يستطيع جهاز القياس (الأداة) تسجيلها. في هذه الحالة ، لأي عدد من القياسات ، يتم الحصول على نفس النتيجة. في مثل هذه الحالات ، يكون متوسط ​​الخطأ المطلق
خذ نصف تقسيم المقياس للأداة (الأداة). تسمى هذه القيمة أحيانًا الخطأ المحدود أو الأداتي ويتم الإشارة إليها
(للأدوات الورنية وساعة الإيقاف
يساوي دقة الصك).

تقييم مصداقية نتائج القياس

في أي تجربة ، يكون عدد قياسات الكمية المادية محدودًا دائمًا لسبب أو لآخر. حق معقد تكون هذه مهمة تقييم موثوقية النتيجة. بمعنى آخر ، حدد باحتمالية يمكن القول بأن الخطأ الذي حدث في هذه الحالة لا يتجاوز القيمة المحددة مسبقًا ε. يسمى هذا الاحتمال احتمال الثقة. دعنا نشير إليها بحرف.

يمكن أيضًا طرح مشكلة عكسية: لتحديد حدود الفترة الزمنية
بحيث مع وجود احتمال معين يمكن القول بأن القيمة الحقيقية لقياسات الكمية لن تتجاوز ما يسمى بفاصل الثقة المحدد.

يميز فاصل الثقة دقة النتيجة التي تم الحصول عليها ، ويميز فاصل الثقة مدى موثوقيتها. طرق حل هاتين المجموعتين من المشاكل متاحة وتم تطويرها بتفصيل خاص للحالة التي يتم فيها توزيع أخطاء القياس وفقًا للقانون العادي. توفر نظرية الاحتمالية أيضًا طرقًا لتحديد عدد التجارب (القياسات المتكررة) التي توفر دقة وموثوقية معينة للنتيجة المتوقعة. في هذا العمل ، لا يتم النظر في هذه الأساليب (سنقتصر على ذكرها) ، حيث لا يتم طرح مثل هذه المهام عادة عند أداء العمل المخبري.

ومع ذلك ، فإن حالة تقييم موثوقية نتيجة قياسات الكميات المادية مع عدد صغير جدًا من القياسات المتكررة تحظى بأهمية خاصة. علي سبيل المثال،
. هذه هي الحالة التي نلتقي بها غالبًا في أداء العمل المخبري في الفيزياء. عند حل هذا النوع من المشكلات ، يوصى باستخدام الطريقة بناءً على توزيع الطلاب (القانون).

لتسهيل التطبيق العملي للطريقة قيد الدراسة ، توجد جداول يمكنك من خلالها تحديد فترة الثقة
يتوافق مع مستوى ثقة معين أو يحل المشكلة العكسية.

فيما يلي أجزاء الجداول المذكورة التي قد تكون مطلوبة عند تقييم نتائج القياسات في فصول المختبر.

دعونا ، على سبيل المثال ، أنتجت قياسات متساوية (تحت نفس الظروف) لبعض الكمية المادية وحساب متوسط ​​قيمته . مطلوب للعثور على فاصل الثقة يتوافق مع مستوى الثقة المحدد . يتم حل المشكلة بشكل عام بالطريقة التالية.

وفقًا للصيغة ، مع مراعاة (7) ، احسب

ثم لقيم معينة نونجد القيمة وفقًا للجدول (الجدول 2) . يتم حساب القيمة التي تبحث عنها بناءً على الصيغة

(16)

عند حل المشكلة العكسية ، يتم حساب المعلمة أولاً باستخدام الصيغة (16). يتم أخذ القيمة المرغوبة لاحتمالية الثقة من الجدول (الجدول 3) لرقم معين والمعلمة المحسوبة .

الجدول 2.قيمة المعلمة لعدد معين من التجارب

ومستوى الثقة

الجدول 3قيمة احتمالية الثقة لعدد معين من التجارب نوالمعلمة ε

يتم تحديد الأحكام الرئيسية لطرق معالجة نتائج القياسات المباشرة مع الملاحظات المتعددة في GOST 8.207-76.

خذ نتيجة القياس معدل البيانات نالملاحظات ، والتي يتم استبعاد الأخطاء المنهجية منها. من المفترض أن نتائج الملاحظات بعد استبعاد الأخطاء المنهجية منها تنتمي إلى التوزيع الطبيعي. لحساب نتيجة القياس ، من الضروري استبعاد الخطأ المنهجي من كل ملاحظة ، ونتيجة لذلك ، الحصول على النتيجة المصححة أناالملاحظة -th. ثم يتم حساب المتوسط ​​الحسابي لهذه النتائج المصححة ويتم أخذها على أنها نتيجة القياس. المتوسط ​​الحسابي هو تقدير متسق وغير متحيز وفعال لمقياس في ظل التوزيع الطبيعي لبيانات المراقبة.

وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الأحيان في الأدب ، بدلا من المصطلح نتيجة المراقبةالمصطلح يستخدم في بعض الأحيان نتيجة قياس واحدة، والتي يتم استبعاد الأخطاء المنهجية منها. في الوقت نفسه ، تُفهم قيمة المتوسط ​​الحسابي على أنها نتيجة القياس في هذه السلسلة من عدة قياسات. هذا لا يغير جوهر إجراءات معالجة النتائج الواردة أدناه.

عند المعالجة الإحصائية لمجموعات نتائج المراقبة ، يجب القيام بما يلي: عمليات :

1. القضاء على الخطأ النظامي المعروف من كل ملاحظة والحصول على النتيجة المصححة للملاحظة الفردية x.

2. احسب المتوسط ​​الحسابي لنتائج الملاحظة المصححة ، التي تؤخذ على أنها نتيجة القياس:

3. احسب تقدير الانحراف المعياري

مجموعات المراقبة:

التحقق من الصلاحية أخطاء جسيمة - هل هناك أي قيم تتجاوز ± 3 س. مع قانون التوزيع العادي مع احتمال يساوي عمليًا 1 (0.997) ، يجب ألا تتجاوز قيم هذا الاختلاف الحدود المحددة. إذا كانت كذلك ، فيجب استبعاد القيم المقابلة من الاعتبار ويجب تكرار الحسابات والتقييم مرة أخرى. س.

4. احسب تقدير RMS لنتيجة القياس (متوسط

علم الحساب)

5. اختبر فرضية التوزيع الطبيعي لنتائج الملاحظات.

هناك طرق تقريبية مختلفة للتحقق من الحالة الطبيعية لتوزيع نتائج المراقبة. بعضها ورد في GOST 8.207-76. إذا كان عدد الملاحظات أقل من 15 ، وفقًا لهذا GOST ، فلن يتم التحقق من انتمائهم إلى التوزيع الطبيعي. يتم تحديد حدود الثقة للخطأ العشوائي فقط إذا كان معروفًا مسبقًا أن نتائج الملاحظات تنتمي إلى هذا التوزيع. تقريبًا ، يمكن الحكم على طبيعة التوزيع من خلال إنشاء رسم بياني لنتائج الملاحظات. تتم مناقشة الأساليب الرياضية للتحقق من الحالة الطبيعية للتوزيع في الأدبيات المتخصصة.

6. احسب حدود الثقة e للخطأ العشوائي (المكون العشوائي للخطأ) لنتيجة القياس

أين ر ف- معامل الطالب حسب عدد الملاحظات ومستوى الثقة. على سبيل المثال ، متى ن= 14, ص= 0,95 ر ف= 2.16. وترد قيم هذا المعامل في ملحق المعيار المحدد.

7. احسب حدود إجمالي الخطأ النظامي غير المستبعد (TSE) لنتيجة القياس Q (وفقًا للصيغ الواردة في القسم 4.6).

8. تحليل نسبة Q و:

إذا تم إهمال NSP مقارنة بالأخطاء العشوائية ، وحد الخطأ للنتيجة د = هـ ..إذا كانت> 8 ، فيمكن إهمال الخطأ العشوائي وحد الخطأ للنتيجة د =Θ . إذا لم يتم استيفاء كلا التفاوتين ، فسيتم العثور على هامش الخطأ في النتيجة من خلال تكوين تركيبة لتوزيعات الأخطاء العشوائية و NSP وفقًا للصيغة: ، حيث ل- معامل يعتمد على نسبة الخطأ العشوائي و NSP ؛ ه- تقييم الانحراف المعياري الكلي لنتيجة القياس. يتم حساب تقدير إجمالي الانحراف المعياري بواسطة الصيغة:

.

يُحسب المعامل K بالصيغة التجريبية:

.

يجب أن يكون مستوى الثقة للحساب هو نفسه.

يصل الخطأ من تطبيق الصيغة الأخيرة لتكوين التوزيعات الموحدة (لـ NSP) والعادي (للخطأ العشوائي) إلى 12٪ عند مستوى ثقة 0.99.

9. سجل نتيجة القياس. هناك خياران لكتابة نتيجة القياس ، لأنه من الضروري التمييز بين القياسات ، عندما يكون الحصول على قيمة الكمية المقاسة هو الهدف النهائي ، والقياسات ، والتي سيتم استخدام نتائجها لمزيد من الحسابات أو التحليل.

في الحالة الأولى ، يكفي معرفة الخطأ الكلي لنتيجة القياس ، ومع وجود خطأ ثقة متماثل ، يتم تقديم نتائج القياس بالشكل التالي: ، أين

أين هي نتيجة القياس.

في الحالة الثانية ، يجب معرفة خصائص مكونات خطأ القياس - تقدير الانحراف المعياري لنتيجة القياس ، وحدود NSP ، وعدد الملاحظات التي تم إجراؤها. في حالة عدم وجود بيانات عن شكل وظائف التوزيع لمكونات الخطأ للنتيجة والحاجة إلى مزيد من المعالجة للنتائج أو تحليل الأخطاء ، يتم تقديم نتائج القياس في النموذج:

إذا تم حساب حدود NSP وفقًا للبند 4.6 ، فسيتم الإشارة إلى احتمال الثقة P بالإضافة إلى ذلك.

يمكن التعبير عن تقديرات ومشتقات قيمتها في كل من الشكل المطلق ، أي بوحدات الكمية المقاسة ، والنسبية ، أي كنسبة القيمة المطلقة لكمية معينة إلى نتيجة القياس. في هذه الحالة ، يجب إجراء الحسابات وفقًا للصيغ الواردة في هذا القسم باستخدام كميات معبر عنها فقط في شكل مطلق أو نسبي.

الفيزياء هي علم تجريبي ، مما يعني أن القوانين الفيزيائية يتم وضعها واختبارها من خلال تجميع ومقارنة البيانات التجريبية. الهدف من ورشة العمل المادية هو أن يختبر الطلاب الظواهر الفيزيائية الأساسية ، ويتعلموا كيفية قياس القيم العددية للكميات المادية بشكل صحيح ومقارنتها بالصيغ النظرية.

يمكن تقسيم جميع القياسات إلى نوعين - مباشرةو غير مباشر.

في مباشرةفي القياسات ، يتم الحصول على قيمة الكمية المطلوبة مباشرة من قراءات أداة القياس. لذلك ، على سبيل المثال ، يُقاس الطول بالمسطرة ، والوقت بالساعة ، إلخ.

إذا كان لا يمكن قياس الكمية المادية المرغوبة مباشرة بواسطة الجهاز ، ولكن يتم التعبير عنها من خلال الكميات المقاسة بواسطة معادلة ، عندئذٍ تسمى هذه القياسات غير مباشر.

لا يعطي قياس أي كمية قيمة دقيقة تمامًا لهذه الكمية. يحتوي كل قياس دائمًا على بعض الأخطاء (خطأ). الخطأ هو الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة الحقيقية.

تنقسم الأخطاء إلى منهجيو عشوائي.

منهجييسمى الخطأ الذي يظل ثابتًا طوال سلسلة القياسات. تعود هذه الأخطاء إلى النقص في أداة القياس (على سبيل المثال ، صفر إزاحة للجهاز) أو طريقة القياس ويمكن ، من حيث المبدأ ، استبعادها من النتيجة النهائية عن طريق إدخال تصحيح مناسب.

تشمل الأخطاء المنهجية أيضًا خطأ أدوات القياس. دقة أي جهاز محدودة وتتميز بفئة دقتها ، والتي ، كقاعدة عامة ، يشار إليها على مقياس القياس.

عشوائييسمى خطأ ، والذي يختلف باختلاف التجارب ويمكن أن يكون موجبًا وسلبيًا. تعود الأخطاء العشوائية إلى أسباب تعتمد على جهاز القياس (الاحتكاك ، الفجوات ، إلخ) والظروف الخارجية (الاهتزازات ، تقلبات الجهد في الشبكة ، إلخ).

لا يمكن استبعاد الأخطاء العشوائية من الناحية التجريبية ، ولكن يمكن تقليل تأثيرها على النتيجة من خلال القياسات المتكررة.

حساب الخطأ في القياسات المباشرة ومتوسط ​​القيمة ومتوسط ​​الخطأ المطلق.

افترض أننا نجري سلسلة من قياسات X. نظرًا لوجود أخطاء عشوائية ، نحصل عليها نمعان مختلفة:

X 1 ، X 2 ، X 3 ... X n

كنتيجة للقياس ، عادة ما يتم أخذ متوسط ​​القيمة

الفرق بين المتوسط ​​والنتيجة أنا-يسمى القياس الخطأ المطلق لهذا القياس

كمقياس لخطأ القيمة المتوسطة ، يمكن للمرء أن يأخذ القيمة المتوسطة للخطأ المطلق لقياس واحد

(2)

قيمة
يسمى المتوسط ​​الحسابي (أو يعني الخطأ المطلق).

ثم يجب كتابة نتيجة القياس في النموذج

(3)

لتوصيف دقة القياسات ، يتم استخدام الخطأ النسبي ، والذي يتم التعبير عنه عادةً كنسبة مئوية

(4)

في الحالة العامة ، يكون الإجراء الخاص بمعالجة نتائج القياسات المباشرة كما يلي (من المفترض أنه لا توجد أخطاء منهجية).

حالة 1عدد القياسات أقل من خمسة.

x، يُعرَّف بأنه الوسط الحسابي لنتائج جميع القياسات ، أي

2) حسب المعادلة (12) تحسب الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية

3) حسب المعادلة (14) يتم تحديد متوسط ​​الخطأ المطلق

.

4) وفقًا للمعادلة (15) ، يتم حساب متوسط ​​الخطأ النسبي لنتيجة القياس

5) سجل النتيجة النهائية في النموذج التالي:

الحالة 2. عدد القياسات أكثر من خمسة.

1) وفقًا للصيغة (6) ، تم العثور على متوسط ​​النتيجة

2) وفقًا للصيغة (12) ، يتم تحديد الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية

3) وفقًا للصيغة (7) ، يتم حساب متوسط ​​الخطأ التربيعي للقياس الفردي

.

4) يحسب الانحراف المعياري لمتوسط ​​قيمة القيمة المقاسة بالصيغة (9).

5) يتم تسجيل النتيجة النهائية في النموذج التالي

في بعض الأحيان ، قد تكون أخطاء القياس العشوائية أقل من القيمة التي يستطيع جهاز القياس (الأداة) تسجيلها. في هذه الحالة ، لأي عدد من القياسات ، يتم الحصول على نفس النتيجة. في مثل هذه الحالات ، يتم أخذ نصف قيمة قسمة مقياس الجهاز (الأداة) على أنه متوسط ​​الخطأ المطلق. تسمى هذه القيمة أحيانًا الخطأ المحدود أو الأداتي ويتم الإشارة إليها (بالنسبة للأدوات الورنية وساعة الإيقاف ، فهي تساوي دقة الأداة).

تقييم مصداقية نتائج القياس

في أي تجربة ، يكون عدد قياسات الكمية المادية محدودًا دائمًا لسبب أو لآخر. في هذا الصدد ، يمكن تعيين المهمة لتقييم موثوقية النتيجة. بمعنى آخر ، حدد باحتمالية يمكن القول بأن الخطأ الذي حدث في هذه الحالة لا يتجاوز القيمة المحددة مسبقًا ε. يسمى هذا الاحتمال احتمال الثقة. دعنا نشير إليها بحرف.

يمكن أيضًا تعيين مشكلة عكسية: لتحديد حدود الفاصل الزمني ، بحيث يمكن القول ، مع وجود احتمال معين ، أن القيمة الحقيقية لقياسات الكمية لن تتجاوز ما يسمى بفاصل الثقة المحدد.

يميز فاصل الثقة دقة النتيجة التي تم الحصول عليها ، ويميز فاصل الثقة مدى موثوقيتها. طرق حل هاتين المجموعتين من المشاكل متاحة وتم تطويرها بتفصيل خاص للحالة التي يتم فيها توزيع أخطاء القياس وفقًا للقانون العادي. توفر نظرية الاحتمالية أيضًا طرقًا لتحديد عدد التجارب (القياسات المتكررة) التي توفر دقة وموثوقية معينة للنتيجة المتوقعة. في هذا العمل ، لا يتم النظر في هذه الأساليب (سنقتصر على ذكرها) ، حيث لا يتم طرح مثل هذه المهام عادة عند أداء العمل المخبري.

ومع ذلك ، فإن حالة تقييم موثوقية نتيجة قياسات الكميات المادية مع عدد صغير جدًا من القياسات المتكررة تحظى بأهمية خاصة. علي سبيل المثال، . هذه هي الحالة التي نلتقي بها غالبًا في أداء العمل المخبري في الفيزياء. عند حل هذا النوع من المشكلات ، يوصى باستخدام الطريقة بناءً على توزيع الطلاب (القانون).

لتسهيل التطبيق العملي للطريقة قيد الدراسة ، توجد جداول يمكنك من خلالها تحديد فاصل الثقة المقابل لاحتمالية ثقة معينة أو حل المشكلة العكسية.

فيما يلي أجزاء الجداول المذكورة التي قد تكون مطلوبة عند تقييم نتائج القياسات في فصول المختبر.

دعنا ، على سبيل المثال ، يتم إجراء قياسات متساوية الدقة (في ظل نفس الظروف) لكمية فيزيائية معينة وحساب متوسط ​​قيمتها. مطلوب للعثور على فاصل ثقة يتوافق مع مستوى ثقة معين. يتم حل المشكلة بشكل عام بالطريقة التالية.

وفقًا للصيغة ، مع مراعاة (7) ، احسب

ثم لقيم معينة نوإيجاد القيمة وفقًا للجدول (الجدول 2). يتم حساب القيمة التي تبحث عنها بناءً على الصيغة

عند حل المشكلة العكسية ، يتم حساب المعلمة أولاً بواسطة الصيغة (16). يتم أخذ القيمة المرغوبة لاحتمال الثقة من الجدول (الجدول 3) لرقم معين ومعلمة محسوبة.

الجدول 2.قيمة المعلمة لعدد معين من التجارب

ومستوى الثقة

ن	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

الجدول 3قيمة احتمالية الثقة لعدد معين من التجارب نوالمعلمة ε

ن		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
ب	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

معالجة نتائج القياسات غير المباشرة

نادرًا جدًا ما يتم اختزال محتوى العمل المخبري أو التجربة العلمية للحصول على نتيجة القياس المباشر. بالنسبة للجزء الأكبر ، الكمية المطلوبة هي دالة في عدة كميات أخرى.

تتمثل مهمة معالجة التجارب بالقياسات غير المباشرة في حساب القيمة الأكثر احتمالية للقيمة المرغوبة وتقدير خطأ القياسات غير المباشرة بناءً على نتائج القياسات المباشرة لكميات معينة (الحجج) المرتبطة بالقيمة المرغوبة من خلال اعتماد وظيفي معين.

هناك عدة طرق للتعامل مع القياسات غير المباشرة. ضع في اعتبارك الطريقتين التاليتين.

دع بعض الكمية المادية تحدد بطريقة القياسات غير المباشرة.

يتم إعطاء نتائج القياسات المباشرة لوسائلها x ، y ، z في الجدول. 4.

الجدول 4

رقم الخبرة	x	ذ	ض	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
ن				…

الطريقة الأولى لمعالجة النتائج هي كما يلي. باستخدام الصيغة المحسوبة (17) ، يتم حساب القيمة المرغوبة بناءً على نتائج كل تجربة

(17)

الطريقة الموصوفة لمعالجة النتائج قابلة للتطبيق ، من حيث المبدأ ، في جميع حالات القياسات غير المباشرة دون استثناء. ومع ذلك ، فمن الأنسب استخدامه عندما يكون عدد القياسات المتكررة للوسيطات صغيرًا ، وتكون معادلة حساب القيمة المقاسة بشكل غير مباشر بسيطة نسبيًا.

في الطريقة الثانية لمعالجة نتائج التجارب ، أولاً ، باستخدام نتائج القياسات المباشرة (الجدول 4) ، يتم أولاً حساب القيم المتوسطة الحسابية لكل من الوسيطات ، وكذلك أخطاء قياسها. أستعاض , , ، ... في صيغة الحساب (17) ، حدد القيمة الأكثر احتمالا للكمية المقاسة

(17*)