Математиката е науката, която изгражда света. И ученият, и обикновеният човек - никой не може без него. Първо, малките деца се учат да броят, след това да събират, изваждат, умножават и делят, от средното училище буквените обозначения влизат в действие, а в по-старите вече не могат да се откажат от тях.

Но днес ще говорим за това, на какво се основава цялата известна математика. Относно общността от числа, наречена „граници на последователност“.

Какво представляват последователностите и къде е тяхната граница?

Значението на думата "последователност" не е трудно за тълкуване. Това е такава конструкция на нещата, където някой или нещо е разположено в определен ред или опашка. Например опашката за билети в зоологическата градина е последователност. И може да бъде само един! Ако, например, погледнете опашката до магазина, това е една последователност. И ако един човек изведнъж напусне тази опашка, тогава това е друга опашка, различен ред.

Думата "лимит" също се тълкува лесно - това е краят на нещо. Въпреки това, в математиката границите на последователностите са тези стойности на числовата линия, към които се стреми поредица от числа. Защо се стреми и не свършва? Просто е, числовата линия няма край и повечето последователности, като лъчите, имат само начало и изглеждат така:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Следователно дефиницията на последователност е функция на естествения аргумент. С по-прости думи, това е поредица от членове на някакво множество.

Как се изгражда редица от числа?

Най-простият пример за числова последователност може да изглежда така: 1, 2, 3, 4, …n…

В повечето случаи за практически цели поредиците се изграждат от числа и всеки следващ член на поредицата, нека го обозначим с X, има собствено име. Например:

x 1 - първият член на редицата;

x 2 - вторият член на редицата;

x 3 - третият член;

x n е n-тият член.

При практическите методи последователността се дава с обща формула, в която има някаква променлива. Например:

X n \u003d 3n, тогава самата поредица от числа ще изглежда така:

Струва си да запомните, че в общото обозначение на последователностите можете да използвате всякакви латински букви, а не само X. Например: y, z, k и т.н.

Аритметична прогресия като част от последователности

Преди да потърсите границите на последователностите, препоръчително е да се задълбочите в самата концепция за такава числова серия, с която всеки се е сблъсквал, когато е бил в средната класа. Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които разликата между съседни членове е постоянна.

Задача: „Нека 1 \u003d 15 и стъпката на прогресията на числовата серия d \u003d 4. Изградете първите 4 члена на този ред"

Решение: a 1 = 15 (по условие) е първият член на прогресията (числовата серия).

и 2 = 15+4=19 е вторият член на прогресията.

и 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 е третият член.

и 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 е четвъртият член.

С този метод обаче е трудно да се достигнат големи стойности, например до 125. . Специално за такива случаи беше получена формула, удобна за практика: a n \u003d a 1 + d (n-1). В този случай 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Видове последователности

Повечето от последователностите са безкрайни, заслужава си да ги запомните цял живот. Има два интересни вида числови серии. Първият се дава по формулата a n =(-1) n . Математиците често се позовават на тези мигащи последователности. Защо? Нека проверим числата му.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т.н. С този пример става ясно, че числата в последователности могат лесно да се повтарят.

факторна последователност. Лесно е да се досетите, че във формулата има факториел, който определя последователността. Например: и n = (n+1)!

Тогава последователността ще изглежда така:

и 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

и 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 и т.н.

Редица, дадена от аритметична прогресия, се нарича безкрайно намаляваща, ако неравенството -1 се спазва за всички нейни членове

и 3 \u003d - 1/8 и т.н.

Има дори последователност, състояща се от едно и също число. И така, и n \u003d 6 се състои от безкраен брой шестици.

Определяне на границата на последователност

Границите на последователността отдавна съществуват в математиката. Разбира се, те заслужават собствен компетентен дизайн. И така, време е да научите дефиницията на границите на последователността. Първо, разгледайте подробно ограничението за линейна функция:

1. Всички граници са съкратени като lim.
2. Записът за ограничение се състои от съкращението lim, някаква променлива, клоняща към определено число, нула или безкрайност, както и самата функция.

Лесно е да се разбере, че дефиницията на границата на редицата може да се формулира по следния начин: това е определено число, към което всички членове на редицата се приближават безкрайно. Прост пример: и x = 4x+1. Тогава самата последователност ще изглежда така.

5, 9, 13, 17, 21…x…

По този начин тази последователност ще нараства безкрайно, което означава, че нейната граница е равна на безкрайност при x→∞ и това трябва да се запише по следния начин:

Ако вземем подобна последователност, но x клони към 1, получаваме:

И поредицата от числа ще бъде следната: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т.н. Всеки път, когато трябва да замените числото все по-близко до единица (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). От тази серия може да се види, че границата на функцията е пет.

От тази част си струва да запомните каква е границата на числова последователност, определението и метода за решаване на прости задачи.

Обща нотация за границата на последователностите

След като анализирахме границата на числовата последователност, нейната дефиниция и примери, можем да преминем към по-сложна тема. Абсолютно всички граници на последователностите могат да бъдат формулирани с една формула, която обикновено се анализира през първия семестър.

И така, какво означава този набор от букви, модули и знаци за неравенство?

∀ е универсален квантификатор, заместващ изразите „за всички“, „за всичко“ и т.н.

∃ е квантор на съществуване, в този случай означава, че има някаква стойност N, принадлежаща на множеството от естествени числа.

Дълга вертикална пръчка след N означава, че даденото множество N е "такова, че". На практика може да означава "такъв, че", "такъв, че" и т.н.

За да консолидирате материала, прочетете формулата на глас.

Несигурност и сигурност на границата

Методът за намиране на границата на последователностите, който беше обсъден по-горе, въпреки че е лесен за използване, не е толкова рационален на практика. Опитайте се да намерите ограничението за тази функция:

Ако заместим различни стойности x (увеличаващи се всеки път: 10, 100, 1000 и т.н.), тогава получаваме ∞ в числителя, но също и ∞ в знаменателя. Оказва се доста странна фракция:

Но наистина ли е така? Изчисляването на границата на числовата последователност в този случай изглежда достатъчно лесно. Би било възможно да оставите всичко както е, защото отговорът е готов и е получен при разумни условия, но има друг начин специално за такива случаи.

Първо, нека намерим най-високата степен в числителя на дробта - това е 1, тъй като x може да бъде представено като x 1.

Сега нека намерим най-високата степен в знаменателя. Също така 1.

Разделете числителя и знаменателя на променливата в най-висока степен. В този случай разделяме дроба на x 1.

След това нека намерим към каква стойност клони всеки член, съдържащ променливата. В този случай се разглеждат дроби. Когато x→∞, стойността на всяка от дробите клони към нула. Когато правите писмена работа, струва си да направите следните бележки под линия:

Получава се следният израз:

Разбира се, дробите, съдържащи x, не са станали нули! Но тяхната стойност е толкова малка, че е напълно допустимо да не се вземе предвид при изчисленията. Всъщност х никога няма да бъде равно на 0 в този случай, защото не можете да делите на нула.

Какво е квартал?

Да приемем, че професорът има на разположение сложна последователност, зададена, очевидно, от не по-малко сложна формула. Професорът намери отговора, но пасва ли? В крайна сметка всички хора правят грешки.

Огюст Коши измисли страхотен начин да докаже границите на последователностите. Неговият метод се нарича операция по съседство.

Да предположим, че има някаква точка a, нейната околност в двете посоки на реалната права е равна на ε („епсилон“). Тъй като последната променлива е разстоянието, нейната стойност винаги е положителна.

Сега нека зададем някаква редица x n и да предположим, че десетият член на редицата (x 10) е включен в околността на a. Как да напиша този факт на математически език?

Да предположим, че x 10 е вдясно от точка a, тогава разстоянието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Сега е време да обясним на практика формулата, спомената по-горе. Справедливо е да се нарече някакво число a крайна точка на редица, ако неравенството ε>0 е в сила за някоя от нейните граници и цялата околност има собствено естествено число N, така че всички членове на редицата с по-високи числа ще бъдат вътре в последователността |x n - a|< ε.

С такова знание е лесно да се решат границите на редица, да се докаже или отхвърли готов отговор.

Теореми

Теоремите за границите на последователностите са важен компонент на теорията, без който практиката е невъзможна. Има само четири основни теореми, запомняйки които, можете значително да улесните процеса на решаване или доказване:

1. Уникалност на границата на последователност. Всяка последователност може да има само едно ограничение или изобщо да няма. Същият пример с опашка, която може да има само един край.
2. Ако поредица от числа има ограничение, тогава последователността от тези числа е ограничена.
3. Границата на сумата (разликата, произведението) на последователностите е равна на сумата (разликата, произведението) на техните граници.
4. Частното ограничение на две последователности е равно на частното на границите тогава и само ако знаменателят не е равен на нула.

Доказателство за последователност

Понякога се изисква да се реши обратна задача, да се докаже дадена граница на числова редица. Нека разгледаме един пример.

Докажете, че границата на редицата, дадена от формулата, е равна на нула.

Съгласно горното правило, за всяка последователност неравенството |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Нека изразим n чрез "епсилон", за да покажем съществуването на определено число и да докажем съществуването на граница на последователност.

На този етап е важно да си припомним, че "epsilon" и "en" са положителни числа и не са равни на нула. Сега можете да продължите по-нататъшни трансформации, като използвате знанията за неравенствата, придобити в гимназията.

Откъдето излиза, че n > -3 + 1/ε. Тъй като си струва да запомните, че говорим за естествени числа, резултатът може да бъде закръглен, като го поставите в квадратни скоби. Така беше доказано, че за всяка стойност на околността „епсилон“ на точката a = 0 е намерена такава стойност, че първоначалното неравенство е изпълнено. От това можем спокойно да твърдим, че числото a е границата на дадената редица. Q.E.D.

С такъв удобен метод можете да докажете границата на числова редица, колкото и сложна да изглежда на пръв поглед. Основното нещо е да не се паникьосвате при вида на задачата.

Или може би той не съществува?

Съществуването на ограничение на последователността на практика не е необходимо. Лесно е да се намерят такива серии от числа, които наистина нямат край. Например, същият мигач x n = (-1) n. очевидно е, че последователност, състояща се само от две циклично повтарящи се цифри, не може да има ограничение.

Същата история се повтаря с последователности, състоящи се от едно число, дробно, имащо в хода на изчисленията несигурност от всякакъв ред (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т.н.). Трябва обаче да се помни, че има и неправилно изчисление. Понякога повторната проверка на вашето собствено решение ще ви помогне да намерите лимита на приемственостите.

монотонна последователност

По-горе разгледахме няколко примера за последователности, методи за решаването им, а сега нека се опитаме да вземем по-конкретен случай и да го наречем "монотонна последователност".

Определение: справедливо е всяка последователност да се нарича монотонно нарастваща, ако тя удовлетворява строгото неравенство x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Наред с тези две условия съществуват и подобни нестроги неравенства. Съответно, x n ≤ x n +1 (ненамаляваща редица) и x n ≥ x n +1 (ненарастваща редица).

Но е по-лесно да разберете това с примери.

Последователността, дадена от формулата x n \u003d 2 + n, образува следната серия от числа: 4, 5, 6 и т.н. Това е монотонно нарастваща последователност.

И ако вземем x n \u003d 1 / n, тогава получаваме серия: 1/3, ¼, 1/5 и т.н. Това е монотонно намаляваща последователност.

Предел на конвергентна и ограничена последователност

Ограничена последователност е последователност, която има граница. Конвергентната последователност е поредица от числа, която има безкрайно малка граница.

По този начин границата на ограничена последователност е всяко реално или комплексно число. Не забравяйте, че може да има само едно ограничение.

Границата на конвергентна последователност е безкрайно малка величина (реална или комплексна). Ако начертаете диаграма на последователност, тогава в определена точка тя, така да се каже, ще се сближи, има тенденция да се превърне в определена стойност. Оттук и името - конвергентна последователност.

Граница на монотонна последователност

Такава последователност може или не може да има ограничение. Първо, полезно е да разберете кога е, от тук можете да започнете, когато доказвате липсата на лимит.

Сред монотонните последователности се разграничават конвергентни и дивергентни. Конвергентна - това е последователност, която се образува от множеството x и има реална или комплексна граница в това множество. Дивергентна - последователност, която няма ограничение в своето множество (нито реална, нито комплексна).

Освен това последователността се сближава, ако нейните горни и долни граници се събират в геометрично представяне.

Границата на конвергентна последователност може в много случаи да бъде равна на нула, тъй като всяка безкрайно малка последователност има известна граница (нула).

Която и конвергентна последователност да вземете, всички те са ограничени, но далеч не всички ограничени последователности се събират.

Сумата, разликата, произведението на две конвергентни редица също е конвергентна редица. Коефициентът обаче може също да се сближи, ако е дефиниран!

Различни действия с ограничения

Ограниченията на последователностите са със същата значима (в повечето случаи) стойност като числата и числата: 1, 2, 15, 24, 362 и т.н. Оказва се, че някои операции могат да се извършват с ограничения.

Първо, точно като цифрите и числата, границите на всяка последователност могат да се добавят и изваждат. Въз основа на третата теорема за границите на редицата е вярно следното равенство: границата на сбора от редицата е равна на сумата от техните граници.

Второ, въз основа на четвъртата теорема за границите на последователностите е вярно следното равенство: границата на произведението на n-тия брой последователности е равна на произведението на техните граници. Същото важи и за делението: границата на частното на две последователности е равна на частното на техните граници, при условие че границата не е равна на нула. В крайна сметка, ако границата на последователностите е равна на нула, тогава ще се получи разделяне на нула, което е невъзможно.

Свойства на стойността на последователността

Изглежда, че границата на числовата последователност вече е анализирана в някои подробности, но такива фрази като „безкрайно малки“ и „безкрайно големи“ числа се споменават повече от веднъж. Очевидно, ако има последователност 1/x, където x→∞, тогава такава фракция е безкрайно малка и ако същата последователност, но границата клони към нула (x→0), тогава фракцията става безкрайно голяма стойност . И такива стойности имат свои собствени характеристики. Свойствата на границата на последователност с произволни малки или големи стойности са както следва:

1. Сборът от произволен брой произволно малки количества също ще бъде малко количество.
2. Сумата от произволен брой големи стойности ще бъде безкрайно голяма стойност.
3. Продуктът на произволно малки количества е безкрайно малък.
4. Произведението на произволно големи числа е безкрайно голямо количество.
5. Ако оригиналната последователност клони към безкрайно число, тогава нейната реципрочна стойност ще бъде безкрайно малка и ще клони към нула.

Всъщност изчисляването на границата на последователност не е толкова трудна задача, ако знаете прост алгоритъм. Но границите на последователностите са тема, която изисква максимално внимание и постоянство. Разбира се, достатъчно е просто да разберете същността на решението на такива изрази. Започвайки с малко, с течение на времето можете да достигнете големи висоти.

Дадени са формулировки на основните теореми и свойства на числови редици с граници. Съдържа дефиницията на последователност и нейната граница. Разглеждат се аритметични операции с редица, свойства, свързани с неравенства, критерии за сходимост, свойства на безкрайно малки и безкрайно големи редица.

Съдържание

Свойства на крайни граници на последователности

Основни свойства

Точка a е границата на последователност тогава и само ако е извън всяка околност на тази точка краен брой елементипоследователности или празното множество.

Ако числото a не е границата на редицата, то съществува такава околност на точка a, извън която има безкраен брой елементи на последователност.

Теорема за уникалност за границата на числова редица. Ако една последователност има ограничение, тя е уникална.

Ако една последователност има крайна граница, тогава тя ограничен.

Ако всеки елемент от редицата е равно на същото число C : , то тази редица има граница, равна на числото C .

Ако последователността добавяне, премахване или промяна на първите m елемента, тогава това няма да повлияе на неговата конвергенция.

Доказателства за основни свойствададени на страницата
Основни свойства на крайните граници на редицата >>> .

Аритметика с граници

Нека има крайни граници и последователности и . И нека C е константа, тоест дадено число. Тогава
;
;
;
, ако .
В случая на частното се приема, че за всички n .

Ако, тогава.

Доказателства за аритметични свойствададени на страницата
Аритметични свойства на крайни граници на редица >>> .

Свойства, свързани с неравенства

Ако елементите на редицата, започвайки от някакво число, удовлетворяват неравенството , то границата a на тази редица също удовлетворява неравенството .

Ако елементите на редицата, започвайки от някакво число, принадлежат на затворен интервал (сегмент) , тогава границата a също принадлежи на този интервал: .

Ако и и елементи на последователности, като се започне от някои номер, отговарят на неравенството , тогава .

Ако и, започвайки от някакво число, , Тогава .
По-специално, ако, започвайки от някакво число, , тогава
ако , тогава ;
ако , тогава .

Ако и , тогава .

Нека и . Ако < b , тогава има естествено число N, такова че за всички n > Ннеравенството е изпълнено.

Доказателства на свойства, свързани с неравенствададени на страницата
Свойства на граници на последователност, свързани с >>> неравенства.

Безкрайно малки и безкрайно малки последователности

Безкрайно малка последователност

Безкрайно малка последователност е последователност, чиято граница е нула:
.

Сбор и разликакраен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

Произведение на ограничена последователностдо безкрайно малко е безкрайно малка последователност.

Произведение на крайно числобезкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност.

За да има последователност граница a , е необходимо и достатъчно , където е безкрайно малка последователност.

Доказателства за свойства на безкрайно малки последователностидадени на страницата
Безкрайно малки последователности - определение и свойства >>> .

Безкрайно голяма последователност

Безкрайно голяма последователност е последователност, която има безкрайно голяма граница. Тоест, ако за всяко положително число има такова естествено число N , в зависимост от , че за всички естествени числа неравенството
.
В този случай пишете
.
Или при .
Казват, че клони към безкрайност.

Ако , започвайки от някакво число N , тогава
.
Ако , тогава
.

Ако последователностите са безкрайно големи, тогава започвайки от някакво число N, се дефинира последователност, която е безкрайно малка. Ако са безкрайно малка последователност с ненулеви елементи, тогава последователността е безкрайно голяма.

Ако последователността е безкрайно голяма и последователността е ограничена, тогава
.

Ако абсолютните стойности на елементите на последователността са ограничени отдолу с положително число () и са безкрайно малки с ненулеви елементи, тогава
.

В детайли дефиниция на безкрайно голяма редица с примеридадени на страницата
Дефиниция на безкрайно голяма редица >>> .
Доказателства за свойства на безкрайно големи последователностидадени на страницата
Свойства на безкрайно големи последователности >>> .

Критерии за конвергенция на последователност

Монотонни последователности

Строго нарастваща последователност е последователност за всички елементи, за която са валидни следните неравенства:
.

Подобни неравенства определят други монотонни последователности.

Строго намаляваща последователност:
.
Ненамаляваща последователност:
.
Ненарастваща последователност:
.

От това следва, че една строго нарастваща последователност също е ненамаляваща. Строго намаляваща последователност също е ненарастваща.

Монотонната последователност е ненамаляваща или ненарастваща последователност.

Монотонна последователност е ограничена поне от едната страна от . Ненамаляваща редица е ограничена отдолу: . Ненарастваща редица е ограничена отгоре: .

Теорема на Вайерщрас. За да има краен предел една ненамаляваща (ненарастваща) редица е необходимо и достатъчно тя да бъде ограничена отгоре (отдолу). Тук М е някакво число.

Тъй като всяка ненамаляваща (ненарастваща) последователност е ограничена отдолу (отгоре), теоремата на Вайерщрас може да бъде перифразирана, както следва:

За да има една монотонна последователност краен предел, е необходимо и достатъчно тя да бъде ограничена: .

Монотонна неограничена последователностима безкраен лимит, равен за ненамаляваща и ненарастваща последователности.

Доказателство на теоремата на Вайерщрасдадени на страницата
Теорема на Вайерщрас за границата на монотонна редица >>> .

Критерий на Коши за сходимост на последователност

Състояние на Коши
Консистенцията удовлетворява Състояние на Коши, ако за всяко съществува естествено число, такова че за всички естествени числа n и m, отговарящи на условието, неравенството
.

Фундаменталната последователност е последователност, която удовлетворява състоянието на Коши.

Критерий на Коши за сходимост на последователност. За да има крайна граница една последователност, е необходимо и достатъчно тя да отговаря на условието на Коши.

Доказателство за критерия за конвергенция на Кошидадени на страницата
Критерий за сходимост на Коши за редица >>> .

Последователности

Теорема на Болцано-Вайерщрас. От всяка ограничена последователност може да се разграничи конвергентна подпоследователност. И от всяка неограничена последователност - безкрайно голяма подпоследователност, сходна към или към .

Доказателство на теоремата на Болцано-Вайерщрасдадени на страницата
Теорема на Болцано–Вайерщрас >>> .

Дефиниции, теореми и свойства на подпоследователности и частични граници се обсъждат на страницата
Подпоредици и частични граници на поредици >>>.

Препратки:
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
В.А. Зорич. Математически анализ. Част 1. Москва, 1997 г.
В.А. Илин, Е.Г. Позняк. Основи на математическия анализ. Част 1. Москва, 2005 г.

Вижте също:

Xn са елементи или членове на последователност, n е член на последователност. Ако функцията f(n) е дадена аналитично, тоест чрез формула, тогава xn=f(n) се нарича формула на член на редицата.

Числото a се нарича граница на редицата (xn), ако за всяко ε>0 съществува число n=n(ε), започващо от което неравенството |xn-a |

Пример 2. Докажете, че при условията на пример 1 числото a=1 не е границата на редицата от предходния пример. Решение. Опростете отново общия член на последователността. Вземете ε=1 (това е всяко число >

Проблемите с директното изчисляване на границата на последователност са доста монотонни. Всички те съдържат съотношения на полиноми спрямо n или ирационални изрази спрямо тези полиноми. Когато започвате да решавате, извадете скобите (знака за радикал) на компонента, който е в най-висока степен. Да предположим, че за числителя на оригиналния израз това ще доведе до появата на фактора a^p, а за знаменателя b^q. Очевидно всички останали членове имат формата C / (n-k) и клонят към нула, когато n>

Първият начин за изчисляване на границата на последователност се основава на нейната дефиниция. Вярно е, че трябва да се помни, че той не дава начини за директно търсене на границата, а само ви позволява да докажете, че дадено число a е (или не е) граница Пример 1. Докажете, че последователността (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) има граница a=3. Решение. Докажете, като приложите определението в обратен ред. Тоест от дясно на ляво. Първо проверете дали е възможно да се опрости формулата за xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2).Разгледайте неравенството |(3n+1)/(n+2)-3|0 можете да намерите всяко естествено число nε по-голямо отколкото -2+ 5/ε.

Пример 2. Докажете, че при условията на пример 1 числото a=1 не е границата на редицата от предходния пример. Решение. Опростете отново общия член на последователността. Вземете ε=1 (това е всяко число >0) Запишете последното неравенство на общата дефиниция |(3n+1)/(n+2)-1|

Проблемите с директното изчисляване на границата на последователност са доста монотонни. Всички те съдържат съотношения на полиноми спрямо n или ирационални изрази спрямо тези полиноми. Когато започвате да решавате, извадете скобите (знака за радикал) на компонента, който е в най-висока степен. Да предположим, че за числителя на оригиналния израз това ще доведе до появата на фактора a^p, а за знаменателя b^q. Очевидно всички останали членове имат вида С/(n-k) и клонят към нула при n>k (n клони към безкрайност). След това запишете отговора: 0 ако pq.

Нека посочим един нетрадиционен начин за намиране на границата на редица и безкрайни суми. Ще използваме функционални последователности (техните функционални членове, дефинирани на някакъв интервал (a,b)) Пример 3. Намерете сумата от формата 1+1/2! +1/3! +...+1/n! +…=s .Решение. Всяко число a^0=1. Поставете 1=exp(0) и разгледайте функционалната последователност (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Числова последователност.
Как?

В този урок ще научим много интересни неща от живота на членовете на голяма общност, наречена Vkontakte числови последователности. Разглежданата тема се отнася не само до курса на математическия анализ, но също така засяга осн. дискретна математика. В допълнение, материалът ще бъде необходим за разработването на други секции на кулата, по-специално по време на проучването числова серияи функционални редове. Можете банално да кажете, че това е важно, можете да кажете успокоително, че е просто, можете да кажете много повече дежурни фрази, но днес е първата, необичайно мързелива учебна седмица, така че ужасно ме скъсва да напиша първия параграф = ) Вече запазих файла в сърцето си и се приготвих да спя, изведнъж... идеята за откровена изповед озари главата, което невероятно облекчи душата и подтикна към по-нататъшно почукване на пръстите по клавиатурата.

Нека се отклоним от летните спомени и да погледнем в този завладяващ и позитивен свят на една нова социална мрежа:

Концепцията за числова редица

Първо, нека помислим за самата дума: какво е последователност? Съгласуваност е, когато нещо се намира зад нещо. Например последователността на действията, последователността на сезоните. Или когато някой се намира зад някого. Например поредица от хора на опашка, поредица от слонове по пътека към водопой.

Нека веднага да изясним характерните особености на последователността. първо, членове на последователносттасе намират строго в определен ред. Така че, ако двама души в опашката са разменени, тогава това вече ще бъде другподпоследователност. Второ, на всеки член на последователносттаможете да зададете сериен номер:

Същото е и с числата. Позволявам за всекиприродна стойност според някакво правилосъпоставени с реално число. Тогава казваме, че е дадена числова редица.

Да, в математическите задачи, за разлика от житейските ситуации, последователността почти винаги съдържа безкрайно многочисла.

при което:
Наречен първи членпоследователности;
– втори членпоследователности;
– трети членпоследователности;
…
– n-тоили общ членпоследователности;
…

На практика последователността обикновено е дадена обща терминна формула, например:
е поредица от положителни четни числа:

По този начин записът еднозначно определя всички членове на редицата - това е правилото (формулата), според което естествените стойности числата съвпадат. Следователно последователността често се обозначава накратко с общ член и могат да се използват други латински букви вместо "x", например:

Поредица от положителни нечетни числа:

Друга често срещана последователност:

Както вероятно мнозина са забелязали, променливата "en" играе ролята на вид брояч.

Всъщност ние се занимавахме с числови последователности още в средното училище. Да си припомним аритметична прогресия. Няма да пренаписвам определението, нека се докоснем до самата същност с конкретен пример. Нека е първият член и стъпкааритметична прогресия. Тогава:
е вторият член на тази прогресия;
е третият член на тази прогресия;
- четвърти;
- пети;
…
И, очевидно, n-тият член е попитан рецидивиращформула

Забележка : в рекурсивна формула всеки следващ термин се изразява чрез предходния термин или дори чрез цял набор от предишни термини.

Получената формула е малко полезна на практика - за да стигнете, да речем, до , трябва да преминете през всички предишни членове. А в математиката се извежда по-удобен израз за n-тия член на аритметичната прогресия: . В нашия случай:

Заменете естествените числа във формулата и проверете правилността на построената по-горе числова последователност.

Подобни изчисления могат да бъдат направени за геометрична прогресия, чийто n-ти член е даден с формулата , където е първият член , и е знаменателпрогресии. При присвояването на матан първият член често е равен на единица.

прогресията определя последователността ;
прогресия задава последователността;
прогресия задава последователността ;
прогресия задава последователността .

Надявам се всички знаят, че -1 на нечетна степен е -1, а на четна степен е едно.

Прогресията се нарича безкрайно намаляваща, ако (последните два случая).

Нека добавим двама нови приятели към нашия списък, единият от които току-що почука на матрицата на монитора:

Последователността на математически жаргон се нарича "мигач":

По този начин, членовете на последователността могат да се повтарят. И така, в разглеждания пример редицата се състои от две безкрайно редуващи се числа.

Случва ли се редицата да се състои от еднакви числа? Разбира се. Например, задава безкраен брой "тройки". За естетите има случай, когато "en" все още формално присъства във формулата:

Нека поканим обикновена приятелка на танц:

Какво се случва, когато "en" се увеличи до безкрайност? Очевидно условията на последователността ще безкрайно близоподход към нулата. Това е границата на тази последователност, която е написана по следния начин:

Ако границата на последователност е нула, тогава тя се извиква безкрайно малък.

В теорията на математическия анализ се дава стриктно дефиниране на границата на последователносттапрез така наречения ипсилон квартал. Следващата статия ще бъде посветена на това определение, но засега нека анализираме значението му:

Нека изобразим членовете на последователността и околността симетрични по отношение на нула (граница) на реалната линия:


Сега задръжте синия квартал с ръбовете на дланите си и започнете да го намалявате, издърпвайки го до границата (червена точка). Числото е границата на последователност, ако ЗА ВСЯКА предварително избрана -съседност (произволно малък)вътре ще бъде безкрайно многочленове на редицата, а ИЗВЪН нея - само финалброй членове (или нито един). Тоест кварталът на епсилон може да бъде микроскопичен и дори по-малко, но „безкрайната опашка“ на последователността трябва рано или късно напълновлезте в тази зона.

Последователността също е безкрайно малка: с тази разлика, че нейните членове не скачат напред-назад, а се доближават до границата изключително отдясно.

Естествено границата може да бъде равна на всяко друго крайно число, елементарен пример:

Тук фракцията клони към нула и съответно границата е равна на "две".

Ако последователността има ограничена граница, тогава се нарича сближаване(по-специално, безкрайно малъкпри ). В противен случай - разнопосочни, като са възможни два варианта: или лимитът изобщо не съществува, или е безкраен. В последния случай се извиква последователността безкрайно голям. Нека препуснем през примерите от първия параграф:

Последователности са безкрайно голям, тъй като техните членове се движат стабилно към „плюс безкрайност“:

Аритметична прогресия с първия член и стъпка също е безкрайно голяма:

Между другото, всяка аритметична прогресия също се различава, с изключение на случая с нулева стъпка - когато се добавя безкрайно към определено число. Пределът на такава редица съществува и съвпада с първия член.

Последователностите имат подобна съдба:

Всяка безкрайно намаляваща геометрична прогресия, както подсказва името, безкрайно малък:

Ако знаменателят е геометрична прогресия, тогава последователността е безкрайно голяма A:

Ако, например, тогава изобщо няма ограничение, тъй като членовете неуморно скачат или до „плюс безкрайност“, след това до „минус безкрайност“. А здравият разум и теоремите на Матан предполагат, че ако нещо се стреми някъде, то това заветно място е уникално.

След малко разкритие става ясно, че мигачът е виновен за необузданото хвърляне, което между другото се разминава от само себе си.
Наистина, за последователност е лесно да се избере -съседство, което, да речем, захваща само числото -1. В резултат на това безкраен брой членове на последователност („плюс единици“) ще останат извън дадения квартал. Но по дефиниция "безкрайната опашка" на редицата от определен момент (естествено число) трябва напълновъведете ВСИЧКИ квартал от неговия лимит. Извод: няма ограничение.

Факториал е безкрайно голямпоследователност:

Освен това той расте главоломно, така че е число, което има повече от 100 цифри (цифри)! Защо точно 70? Той моли за милост моя инженерен калкулатор.

С контролен изстрел всичко е малко по-сложно и току-що стигнахме до практическата част на лекцията, в която ще анализираме бойни примери:

Но сега е необходимо да можете да решите границите на функциите, поне на нивото на два основни урока: Ограничения. Примери за решенияи Забележителни граници. Тъй като много методи за решение ще бъдат подобни. Но първо, нека анализираме основните разлики между границата на последователност и границата на функция:

В границите на последователността "динамичната" променлива "en" може да се стреми към само до "плюс безкрайност"– в посока нарастване на естествените числа .
В границата на функцията "x" може да бъде насочено навсякъде - към "плюс / минус безкрайност" или към произволно реално число.

Последователност отделен(прекъснат), т.е. състои се от отделни изолирани членове. Едно, две, три, четири, пет, зайчето излезе на разходка. Аргументът на функцията се характеризира с непрекъснатост, тоест "x" плавно, без инциденти, се стреми към една или друга стойност. И съответно стойностите на функцията също непрекъснато ще се приближават до границата си.

Защото дискретноств рамките на последователностите има свои собствени маркови неща, като факториали, мигачи, прогресии и т.н. И сега ще се опитам да анализирам границите, които са характерни за последователностите.

Да започнем с прогресиите:

Пример 1

Намерете границата на последователност

Решение: нещо подобно на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, но наистина ли е? За по-голяма яснота записваме първите няколко условия:

От , говорим за сумачленове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, която се изчислява по формулата .

Вземане на решение:

Използваме формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия: . В този случай: - първият член, - знаменателят на прогресията.

Пример 2

Напишете първите четири члена на редицата и намерете нейната граница

Това е пример за решение „направи си сам“. За да елиминирате несигурността в числителя, ще трябва да приложите формулата за сумата от първите членове на аритметичната прогресия:
, където е първият и е n-тият член на прогресията.

Тъй като в последователностите "en" винаги клони към "плюс безкрайност", не е изненадващо, че неопределеността е една от най-популярните.
И много примери се решават точно по същия начин като границите на функциите!

Или може би нещо по-сложно като ? Вижте пример №3 от статията Методи за решаване на граници.

От формална гледна точка разликата ще бъде само в една буква - има "x", а тук "en".
Приемът е същият - числителят и знаменателят трябва да бъдат разделени на "ен" в най-висока степен.

Също така, в рамките на последователности, несигурността е доста често срещана. Можете да научите как да решавате ограничения като от примери № 11-13 от същата статия.

За да се справите с ограничението, вижте Пример #7 от урока Забележителни граници(втората забележителна граница е валидна и за дискретния случай). Решението отново ще бъде като копие с разлика в една буква.

Следващите четири примера (№ 3-6) също са „двулики“, но на практика по някаква причина са по-типични за границите на последователностите, отколкото за границите на функциите:

Пример 3

Намерете границата на последователност

Решение: първо пълно решение, след това стъпка по стъпка коментари:

(1) В числителя използваме формулата два пъти.

(2) Даваме подобни членове в числителя.

(3) За да премахнем несигурността, разделяме числителя и знаменателя на ("en" в най-висока степен).

Както можете да видите, нищо сложно.

Пример 4

Намерете границата на последователност

Това е пример за решение „направи си сам“, формули за съкратено умножениеда помогна.

В рамките на s демонстративенпоследователностите използват подобен метод за разделяне на числителя и знаменателя:

Пример 5

Намерете границата на последователност

Решениенека го направим по същия начин:

Между другото, подобна теорема е вярна и за функциите: произведението на ограничена функция от безкрайно малка функция е безкрайно малка функция.

Пример 9

Намерете границата на последователност

Ограничение на последователността от номерае границата на последователността от елементи на числовото пространство. Числовото пространство е метрично пространство, в което разстоянието се определя като модул на разликата между елементите. Следователно номерът се нарича ограничение на последователността, ако за всяко съществува число в зависимост от такова, че неравенството е валидно за всяко .

Концепцията за границата на последователност от реални числа се формулира доста просто и в случая на комплексни числа съществуването на граница на последователност е еквивалентно на съществуването на граници на съответните последователности от реални и въображаеми части на комплекса числа.

Границата (на числова последователност) е едно от основните понятия на математическия анализ. Всяко реално число може да бъде представено като граница на поредица от приближения до желаната стойност. Бройната система осигурява такава последователност от уточнения. Целите ирационални числа се описват с периодични поредици от приближения, докато ирационалните числа се описват с непериодични поредици от приближения.

При числените методи, където се използва представянето на числа с краен брой знаци, изборът на системата от приближения играе специална роля. Критерият за качеството на системата от приближения е скоростта на сходимост. В това отношение представянето на числата под формата на непрекъснати дроби е ефективно.

Определение

Номерът се нарича границата на числовата последователност, ако редицата е безкрайно малка, т.е. всички нейни елементи, започвайки от някои, са по-малки от всяко положително число, взето предварително.

В случай, че числова редица има граница под формата на реално число, тя се извиква сближаване към този номер. В противен случай се извиква последователността разнопосочни . Ако освен това е неограничен, тогава неговата граница се приема за равна на безкрайност.

Освен това, ако всички елементи на неограничена редица, започвайки от някакво число, имат положителен знак, тогава казваме, че границата на такава редица е равна на плюс безкрайност .

Ако елементите на неограничена редица, започвайки от някакво число, имат отрицателен знак, тогава те казват, че границата на такава редица е равна на минус безкрайност .

Това определение има неизбежен недостатък: то обяснява какво е лимит, но не дава начин за изчисляването му, нито информация за неговото съществуване. Всичко това се извежда от доказаните по-долу свойства на границата.