Като начало ще анализираме теорията, след което ще решим няколко примера, за да консолидираме материала за разширяването на дробно рационална функция в сбор от прости дроби. Нека да разгледаме по-отблизо метод на несигурни коефициентии метод на частична стойност, както и техните комбинации.

Най-простите дроби често се наричат елементарни дроби.

Има следните видове прости дроби:

където A , M , N , a , p , q са числа, а дискриминантът на знаменателя в дроби 3) и 4) е по-малък от нула.

Те се наричат ​​съответно фракции от първи, втори, трети и четвърти тип.

Защо разбивате дробите на прости?

Нека направим математическа аналогия. Често трябва да опростите формата на израз, за ​​да можете да извършвате някои действия с него. И така, представянето на дробно рационална функция като сбор от прости дроби е приблизително същото. Използва се за разширяване на функциите в степенни редове, редове на Лоран и, разбира се, за намиране на интеграли.

Например, това изисква да вземете интеграл от дробно рационална функция. След разлагане на интеграла на прости дроби, всичко се свежда до сравнително прости интеграли

Но за интегралите в друг раздел.

Пример.

Разбийте дроб на най-простата.

Решение.

По принцип съотношението на полиномите се разлага на прости дроби, ако степента на полинома на числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя. В противен случай числителният полином първо се разделя на полинома на знаменателя и едва след това се разлага правилната дробно рационална функция.

Нека извършим деление по колона (ъгъл):

Следователно, оригиналната фракция ще приеме формата:

Така ще разложим на прости дроби

Алгоритъм на метода на неопределените коефициенти.

Първо, разложете на множители знаменателя.

В нашия пример всичко е просто - изваждаме x от скоби.


Второ, дробът за разширяване се представя като сбор от прости дроби с несигурни коефициенти.

Тук си струва да разгледате видовете изрази, които можете да имате в знаменателя.

Стига теория, практиката е все по-ясна.

Време е да се върнем към примера. Дробът се разлага на сбор от най-простите дроби от първия и третия тип с неопределени коефициенти A , B и C .


Трето, привеждаме получената сума от прости дроби с неопределени коефициенти към общ знаменател и групираме членовете в числителя със същите степени x.



Тоест стигаме до уравнението:


За x различен от нула това равенство се свежда до равенството на два полинома


И два полинома са равни, ако и само ако коефициентите при едни и същи степени са еднакви.

Четвърто, приравняваме коефициентите при еднакви степени на x.

В този случай получаваме система от линейни алгебрични уравнения с неопределени коефициенти като неизвестни:


Пето, ние решаваме получената система от уравнения по всякакъв начин (ако е необходимо, вижте статията), който ви харесва, намираме неопределени коефициенти.


На шесто, запишете отговора.

Моля, не бъдете мързеливи, проверете отговора си, като намалите полученото разширение до общ знаменател.

Метод на неопределени коефициентие универсален метод за разлагане на дроби на прости.

Много е удобно да се използва методът на частична стойност, ако знаменателят е продукт на линейни фактори, тоест изглежда така

Нека разгледаме пример, за да покажем предимствата на този метод.

Пример.

Разширете дроб до най-простото.

Решение.

Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, не е нужно да разделяме. Преминаваме към разлагането на знаменателя на фактори.

Нека първо извадим x от скобите.

Намираме корените на квадратен трином (например според теоремата на Виета):

Следователно квадратният трином може да се запише като

Тоест знаменателят ще приеме формата

С даден знаменател оригиналната дроб се разлага на сумата от три прости дроби от първия тип с неопределени коефициенти:

Ние намаляваме получената сума до общ знаменател, но в числителя не отваряме скобите и не даваме подобни за A, B и C (на този етап това е просто разликата от метода на неопределените коефициенти):

Така стигнахме до равенството:

И сега, за да намерим неопределени коефициенти, започваме да заместваме в полученото равенство „частни стойности“, при които знаменателят отива на нула, тоест x=0, x=2 и x=3 за нашия пример.

В x=0 имаме:

В x=2 имаме:

В x=3 имаме:

Отговор:

Както можете да видите, разликата между метода на несигурните коефициенти и метода на частичните стойности е само в начина на намиране на неизвестни. Тези методи могат да се комбинират, за да се опростят изчисленията.

Помислете за пример.

Пример.

Разширете дробно рационален израз на прости дроби.

Решение.

Тъй като степента на числителния полином е по-малка от степента на полинома на знаменателя и знаменателят вече е разложен на множители, оригиналният израз ще бъде представен като сума от прости дроби от следната форма:

Довеждаме до общ знаменател:

Приравнете числителите.

Очевидно нулите на знаменателя са стойностите x=1, x=-1 и x=3. Използваме метода на частичните стойности.

В x=1 имаме:

В x=-1 имаме:

В x=3 имаме:

Остава да се намери неизвестното и

За да направите това, ние заместваме намерените стойности в равенството на числителите:

След отваряне на скобите и намаляване на сходните членове за същите степени на x, стигаме до равенството на два полинома:

Приравняваме съответните коефициенти на едни и същи степени, като по този начин съставяме система от уравнения за намиране на останалите неизвестни и . Получаваме система от пет уравнения с две неизвестни:

От първото уравнение веднага намираме , от второто уравнение

В резултат на това получаваме разширение в прости дроби:

Забележка.

Ако веднага решим да приложим метода на неопределените коефициенти, тогава ще трябва да решим система от пет линейни алгебрични уравнения с пет неизвестни. Използването на метода на частичната стойност улесни намирането на стойностите на три от петте неизвестни, което значително опрости по-нататъшното решение.

Поздрави на всички, скъпи приятели!

Е, честито! Безопасно стигнахме до основния материал в интегрирането на рационалните дроби - метод на неопределените коефициенти. Велик и могъщ.) Какво е неговото величие и сила? И се крие в неговата гъвкавост. Има смисъл да се знае, нали? Предупреждавам ви, че ще има няколко урока по тази тема. Тъй като темата е много дълга, а материалът е изключително важен.)

Веднага трябва да кажа, че в днешния урок (и следващите също) ще се занимаваме не толкова с интеграцията, колкото ... решаване на системи от линейни уравнения!Да да! Така че тези, които имат проблеми със системите, повторете матрици, детерминанти и метода на Крамер. А за тези другари, които имат проблеми с матриците, призовавам в най-лошия случай да си опреснят паметта поне "училищните" методи за решаване на системи - методът на заместване и методът на събиране/изваждане член по член.

За да започнем запознанството си, превъртаме филма малко назад. Нека се върнем накратко към предишните уроци и да анализираме всички онези дроби, които сме интегрирали преди. Директно, без никакъв метод на неопределени коефициенти! Ето ги, тези фракции. Подредих ги в три групи.

Група 1

В знаменателя - линейна функцияили самостоятелно или до степента. С една дума, знаменателят е произведението идентичнискоби на формуляра (ха).

Например:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

И така нататък. Между другото, не позволявайте на скобите да ви заблуждават. (4x+5)или (2x+5) 3с коефициент квътре. Това е същото, по същество, скоби на формата (ха). Защото това е най-много кот такива скоби винаги могат да бъдат извадени.

Като този:

Това е всичко.) И няма значение какво точно има в числителя - просто dxили някакъв полином. Винаги сме разширявали числителя в степени на скоби (x-a), превърна голяма част в сбор от малки, донесе (където е необходимо) скоба под диференциала и интегрира.

Група 2

Какво е общото между тези дроби?

И общото е, че във всички знаменатели е квадратен триномбрадва 2 + bx+ ° С. Но не само, а именно в един екземпляр. И тук няма значение дали дискриминантът е положителен или отрицателен.

Такива дроби винаги са били интегрирани по един от двата начина - или чрез разширяване на числителя по степени на знаменателя, или чрез вземане на пълен квадрат в знаменателя и след това промяна на променливата. Всичко зависи от конкретния интегрант.

Група 3

Това бяха най-лошите фракции за интегриране. Знаменателят е неразложим квадратен трином и дори в степента н. Но отново в един екземпляр. Защото освен тричлена в знаменателя няма други фактори. Такива фракции се интегрират върху . Или директно, или намалено до него, след като изберете пълния квадрат в знаменателя и след това промените променливата.

Но, за съжаление, цялото богато разнообразие от рационални дроби не се ограничава само до тези три разглеждани групи.

Но какво ще стане, ако знаменателят е различнискоби? Например нещо като:

(x-1)(x+1)(x+2)

Или в същото време скоба (ха)и квадратен трином, нещо подобно (x-10)(x 2 -2x+17)? А в други подобни случаи? Тук точно в такива случаи идва на помощ. метод на неопределените коефициенти!

Трябва да кажа веднага: за момента ще работим само с правилнофракции. Тези, при които степента на числителя е строго по-малка от степента на знаменателя. Как да се справим с неправилните дроби е описано подробно във дроби. Необходимо е да се избере цялата част (полином). Чрез разделяне на ъгъла на числителя на знаменателя или чрез разширяване на числителя - както желаете. И дори примерът е разглобен. И някак си интегрираш полинома. Вече не е малко.) Но ще решаваме и примери за неправилни дроби!

Сега нека се опознаем. За разлика от повечето учебници по висша математика, ние няма да започнем запознаването си със суха и тежка теория за основната теорема на алгебрата, теоремата на Безут, за разширяването на рационална дроб в сбора от най-простите (повече за тези дроби по-късно) и друга досада, но ще започнем с прост пример.

Например, трябва да намерим следния неопределен интеграл:

Първо погледнете интегралната функция. Знаменателят е произведение на три скоби:

(x-1)(x+3)(x+5)

И всички скоби различни. Следователно нашата стара технология с разширяване на числителя в степени на знаменателя този път не работи: коя скоба трябва да бъде подчертана в числителя? (x-1)? (x+3)? Не е ясно ... Изборът на пълния квадрат в знаменателя също не е в касата: има полином третистепен (ако умножите всички скоби). Какво да правя?

При гледане на нашата фракция възниква напълно естествено желание... Направо неустоимо! От нашата голяма фракция, която неудобноинтегрирайте, някак си направете три малки. Поне така:

Защо трябва да се търси този тип? И всичко това, защото в тази форма нашата начална фракция вече е удобнода интегрирам! Добавете знаменателя на всяка малка дроб и напред.)

Възможно ли е изобщо да се получи такова разлагане? Новината е добра! Съответната теорема на математиката гласи − да, можеш! Такова разлагане съществува и е уникално.

Но има един проблем: коефициентите НО, ATи ОТние чаоние не знаем. И сега основната ни задача ще бъде справедлива дефинирайте ги. Разберете на какво са равни нашите букви НО, ATи ОТ. Оттук и името, методът несигуренкоефициенти. Да започнем нашето приказно пътешествие!

И така, имаме равенство, от което започваме да танцуваме:

Нека доведем трите дроби вдясно до общ знаменател и добавим:

Сега можете спокойно да изхвърлите знаменателите (защото са еднакви) и просто да изравните числителите. Всичко е както обикновено

Следваща стъпка отворете всички скоби(коефициенти НО, ATи ОТ чаопо-добре остави навън)

И сега (важно!) Изграждаме цялата си структура отдясно по старшинство: първо събираме всички членове с x 2 в купчина, след това - само с x и накрая събираме безплатни членове. Всъщност ние просто даваме подобни и групираме термините според степените на x.

Като този:

И сега разбираме резултата. Вляво е нашият оригинален полином. Втора специалност. Числителят на нашия интегрант. Точно също някакъв полином от втора степен.нос неизвестни коефициенти.Това равенство трябва да е валидно за всички валидни x стойности. Дробите отляво и отдясно бяха еднакви (според нашето условие)! Това означава, че техните числители (т.е. нашите полиноми) също са еднакви. Така че коефициентите със същите степени на хтези полиноми трябва да имат бъдете равни!

Започваме с най-високата степен. От площада. Да видим какви коефициенти имаме х 2 ляво и дясно. Вдясно имаме сбора от коефициентите A+B+C, а отляво - двойка. Така че имаме първото уравнение.

Записваме:

A+B+C = 2

Има. Първото уравнение е направено.)

След това тръгваме по намаляваща траектория - разглеждаме членове с x в първа степен. Вдясно при x имаме 8A+4B+2C. Добре. И какво имаме с x отляво? Хм... Вляво изобщо няма термин с Х! Има само 2x 2 - 3. Как да бъдем? Много просто! Това означава, че коефициентът при x отляво имаме равно на нула!Можем да напишем лявата си страна така:

И какво? Имаме пълно право.) Оттук второто уравнение изглежда така:

8 А+4 Б+2 ° С = 0

Е, практически, това е всичко. Остава да приравним свободните условия:

15A-5B-3C = -3

С една дума, изравняването на коефициентите при едни и същи степени на x се извършва по следната схема:

И трите наши равенства трябва да бъдат изпълнени едновременно.Следователно, ние събираме система от нашите писмени уравнения:

Системата не е най-трудната за един усърден ученик – три уравнения и три неизвестни. Решете както желаете. Можете да използвате метода на Крамер чрез матрици с детерминанти, можете да използвате метода на Гаус, можете дори да използвате обичайното заместване на училището.

Като начало ще реша тази система по начина, по който студентите по култура обикновено решават такива системи. А именно методът на Крамер.

Започваме решението с компилиране на системната матрица. Напомням ви, че тази матрица е просто таблица, съставена от коефициенти за неизвестни.

Ето я:

На първо място, ние изчисляваме детерминанта на системната матрица.Или накратко, системен идентификатор.Обикновено се обозначава с гръцката буква ∆ („делта“):

Страхотно, системният детерминант не е нула (-48≠0) . От теорията на системите от линейни уравнения този факт означава, че нашата система е съвместима и има уникално решение.

Следващата стъпка е да изчислите детерминанти на неизвестните ∆A, ∆B, ∆C. Напомням, че всяка от тези три детерминанта се получава от главния детерминант на системата, като колоните с коефициенти за съответните неизвестни се заменят с колона със свободни членове.

Така че съставяме детерминантите и разглеждаме:

Тук няма да обяснявам подробно техниката за изчисляване на детерминантите от трети ред. И не питай. Това вече е доста отклонение от темата ще бъде.) Който е в темата, той разбира за какво става дума. И може би вече се досещате как точно изчислих тези три детерминанта.)

Това е всичко и готово.)

Така културните ученици обикновено решават системите. Но... Не всички ученици са приятели с детерминантите. За жалост. За някои тези прости понятия от висшата математика завинаги остават китайска буква и мистериозно чудовище в мъглата...

Е, специално за такива некултурни студенти, предлагам по-познат начин за решаване - метод за последователно елиминиране на неизвестни.Всъщност това е усъвършенстван "училищен" метод на заместване. Само ще има още стъпки.) Но същността е същата. На първо място, ще изключа променливата ОТ. За това ще изразя ОТот първото уравнение и го заменете с второто и третото:

Ние опростяваме, даваме подобни и получаваме нова система, вече с двенеизвестен:

Сега, в тази нова система, е възможно също да се изрази една от променливите по отношение на другата. Но най-внимателните ученици вероятно ще забележат, че коефициентите пред променливата Б – противоположно. Две и минус две. Следователно ще бъде много удобно да се съберат двете уравнения заедно, за да се елиминира променливата ATи оставете само писмото НО.

Добавяме лявата и дясната част, умствено намаляваме 2Ви -2Bи решаване на уравнението само по отношение на НО:

Има. Първи открит коефициент: A = -1/24.

Определете втория коефициент AT. Например от горното уравнение:

От тук получаваме:

Отлично. Вторият коефициент също се намира: Б = -15/8 . Все още остава писмо ОТ. За да го определим, използваме най-горното уравнение, където го изразяваме чрез НОи AT:

Така:

Добре, всичко свърши сега. Намерени са неизвестни коефициенти! Няма значение дали е чрез Cramer или чрез заместване. Основното нещо, правонамерено.)

И така, нашето разширяване на голяма част в сбор от малки ще изглежда така:

И не се обърквайте от получените дробни коефициенти: в тази процедура (метод на неопределените коефициенти) това е най-често срещаното явление. :)

И сега е много желателно да проверим дали сме намерили правилно нашите коефициенти А, Би ОТ. Така че сега вземаме чернова и си спомняме осми клас - събираме обратно и трите ни малки дроби.

Ако получим оригиналната голяма фракция, тогава всичко е наред. Не, това означава да ме победиш и да потърсиш грешка.

Общият знаменател очевидно ще бъде 24(x-1)(x+3)(x+5).

Отивам:

Да!!! Вземете оригиналната дроб. Което трябваше да се провери. Всичко е наред. Така че, моля, не ме удряйте.)

И сега се връщаме към нашия първоначален интеграл. През това време не е станало по-лесно, да. Но сега, когато нашата фракция е разложена на сбор от малки, интегрирането й се превърна в истинско удоволствие!

Вижте сами! Вмъкваме нашето разширение в оригиналния интеграл.

Получаваме:

Използваме свойствата на линейността и разбиваме нашия голям интеграл на сбор от малки, изваждаме всички константи извън знаците на интеграла.

Получаваме:

И получените три малки интеграла вече лесно се вземат .

Продължаваме интеграцията:

Това е всичко.) И не ме питайте в този урок откъде идват логаритмите в отговора! Който се сети, той е в темата и ще разбере всичко. И който не помни - вървим по връзките. Не ги слагам просто.

Краен отговор:

Ето такава красива троица: три логаритма - страхливец, опитен и глупав. :) И опитайте, познайте такъв хитър отговор веднага! Помага само методът на неопределените коефициенти, да.) Всъщност ние проучваме за тази цел. Какво, как и къде.

Като тренировъчно упражнение ви предлагам да практикувате метода и да интегрирате следната фракция:

Практикувайте, намерете интеграла, не го приемайте за работа! Трябва да получите такъв отговор:

Методът на неопределените коефициенти е мощно нещо. Спестява дори и в най-безнадеждна ситуация, когато все пак преобразувате дроба и т.н. И тук някои внимателни и заинтересовани читатели може да имат редица въпроси:

- Ами ако полиномът в знаменателя изобщо не се разлага на множители?

- КАК трябва да се търси разлагането на всяка голяма рационална дроб в сбор от малки? Под каквато и да е форма? Защо в това, а не в това?

- Ами ако има множество фактори в разширяването на знаменателя? Или скоби в степени като (x-1) 2? В каква форма да търсим разлагане?

- Ами ако освен простите скоби с формата (x-a), знаменателят едновременно съдържа и неразложим квадратен трином? Да кажем x 2 +4x+5 ? В каква форма да търсим разлагане?

Е, време е да разберем напълно откъде растат краката. в следващия урок.)

Интегриране на дробно-рационална функция.
Метод на неопределени коефициенти

Продължаваме да работим по интегрирането на дроби. Вече разгледахме интеграли от някои видове дроби в урока и този урок в известен смисъл може да се счита за продължение. За успешно разбиране на материала са необходими основни умения за интеграция, така че ако току-що сте започнали да изучавате интеграли, тоест сте чайник, тогава трябва да започнете със статията Неопределен интеграл. Примери за решение.

Колкото и да е странно, сега ще се занимаваме не толкова с намирането на интеграли, колкото ... решаването на системи от линейни уравнения. В тази връзка силноПрепоръчвам да посетите урока. А именно, трябва да сте добре запознати с методите за заместване (методът „училище“ и методът за събиране (изваждане) член по член на системни уравнения).

Какво е дробна рационална функция? По-просто казано, дробно-рационална функция е дроб, в числителя и знаменателя на които са полиноми или произведения на полиноми. В същото време дробите са по-сложни от тези, разгледани в статията. Интегриране на някои дроби.

Интегриране на правилната дробно-рационална функция

Веднага пример и типичен алгоритъм за решаване на интеграла от дробна рационална функция.

Пример 1

Етап 1.Първото нещо, което ВИНАГИ правим, когато решаваме интеграл от рационално-дробна функция, е да зададем следния въпрос: правилна ли е дробът?Тази стъпка се прави устно и сега ще обясня как:

Първо погледнете числителя и разберете висша степенполином:

Най-високата степен на числителя е две.

Сега погледнете знаменателя и разберете висша степензнаменател. Очевидният начин е да отворите скобите и да въведете подобни термини, но можете да го направите по-лесно всекискоби намерете най-високата степен

и мислено умножете: - по този начин най-високата степен на знаменателя е равна на три. Съвсем очевидно е, че ако наистина отворим скобите, тогава няма да получим степен по-голяма от три.

Заключение: Най-висока степен на числителя СТРОГОпо-малка от най-високата степен на знаменателя, тогава дробът е правилен.

Ако в този пример числителят съдържаше полином 3, 4, 5 и т.н. степен, тогава фракцията ще бъде погрешно.

Сега ще разгледаме само правилните дробно-рационални функции. Случаят, когато степента на числителя е по-голяма или равна на степента на знаменателя, ще анализираме в края на урока.

Стъпка 2Да разложим на множители знаменателя. Нека погледнем нашия знаменател:

Най-общо казано, тук вече е продукт на фактори, но въпреки това се питаме: възможно ли е да разширим нещо друго? Обектът на мъчение, разбира се, ще бъде квадратният тричлен. Решаваме квадратното уравнение:

Дискриминантът е по-голям от нула, което означава, че триномът наистина е разложен на множители:

Общо правило: ВСИЧКО, което в знаменателя МОЖЕ да бъде разложено на множители - разложете на множители

Да започнем да вземаме решение:

Стъпка 3Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегралната функция в сбор от прости (елементарни) дроби. Сега ще стане по-ясно.

Нека разгледаме нашата интегрална функция:

И, знаете ли, някак се промъква интуитивна мисъл, че би било хубаво да превърнем нашата голяма фракция в няколко малки. Например, като това:

Възниква въпросът дали изобщо е възможно да се направи това? Да си отдъхнем с облекчение, гласи съответната теорема на математическия анализ – ВЪЗМОЖНО Е. Такова разлагане съществува и е уникално.

Има само една уловка, коефициентите ние чаоне знаем, откъдето идва и името - методът на неопределените коефициенти.

Познахте, последващите жестове така, не кикайте! ще бъде насочена само към НАУЧАВАНЕТО им – да разберем на какво са равни.

Внимавай, обяснявам подробно веднъж!

И така, нека започнем да танцуваме от:

От лявата страна привеждаме израза към общ знаменател:

Сега безопасно се отърваваме от знаменателите (защото са еднакви):

От лявата страна отваряме скобите, докато все още не докосваме неизвестните коефициенти:

В същото време повтаряме училищното правило за умножаване на полиноми. Когато бях учител, се научих да казвам това правило с право лице: За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член от един полином по всеки член на другия полином.

От гледна точка на ясно обяснение, по-добре е коефициентите да се поставят в скоби (въпреки че аз лично никога не правя това, за да спестя време):

Съставяме система от линейни уравнения.
Първо, търсим висши степени:

И ние записваме съответните коефициенти в първото уравнение на системата:

Добре запомнете следния нюанс. Какво би станало, ако дясната страна изобщо не съществуваше? Кажете, щеше ли просто да се покаже без квадрат? В този случай в уравнението на системата би било необходимо да се постави нула вдясно: . Защо нула? И тъй като от дясната страна винаги можете да припишете точно този квадрат с нула: Ако няма променливи или (и) свободен член от дясната страна, тогава поставяме нули от дясната страна на съответните уравнения на системата.

Записваме съответните коефициенти във второто уравнение на системата:

И накрая, минерална вода, ние избираме безплатни членове.

Ех... пошегувах се. Шегите настрана – математиката е сериозна наука. В нашата институтска група никой не се засмя, когато асистентката каза, че ще разпръсне членовете по числова права и ще избере най-големия от тях. Хайде да станем сериозни. Въпреки че... който доживее до края на този урок, пак ще се усмихне тихо.

Готова система:

Ние решаваме системата:

(1) От първото уравнение го изразяваме и заместваме във 2-рото и 3-тото уравнение на системата. Всъщност беше възможно да се изрази (или друга буква) от друго уравнение, но в този случай е изгодно да се изрази от 1-во уравнение, тъй като има най-малките коефициенти.

(2) Представяме подобни членове във 2-рото и 3-тото уравнение.

(3) Събираме 2-ро и 3-то уравнение член по член, като получаваме равенството , от което следва, че

(4) Заместваме във второто (или третото) уравнение, от което намираме, че

(5) Ние заместваме и в първото уравнение, получавайки .

Ако имате някакви затруднения с методите за решаване на системата, отработете ги в клас. Как да решим система от линейни уравнения?

След като решите системата, винаги е полезно да направите проверка - да замените намерените стойности във всекиуравнението на системата, в резултат на това всичко трябва да се „сближи“.

Почти пристигна. Коефициентите се намират, докато:

Чистата работа трябва да изглежда така:

Както можете да видите, основната трудност на задачата беше да се състави (правилно!) и да се реши (правилно!) система от линейни уравнения. И на последния етап всичко не е толкова трудно: използваме свойствата на линейността на неопределения интеграл и интегрираме. Обръщам вниманието ви на факта, че под всеки от трите интеграла имаме „безплатна“ комплексна функция, говорих за особеностите на нейното интегриране в урока Метод на промяна на променливата в неопределен интеграл.

Проверка: Разграничете отговора:

Получава се оригиналният интеграл, което означава, че интегралът е намерен правилно.
По време на проверката беше необходимо изразът да се доведе до общ знаменател и това не е случайно. Методът на неопределените коефициенти и привеждането на израза до общ знаменател са взаимно обратни действия.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл.

Нека се върнем към дроба от първия пример: . Лесно е да се види, че в знаменателя всички фактори са РАЗЛИЧНИ. Възниква въпросът какво да правя, ако например е дадена такава дроб: ? Тук имаме степени в знаменателя или, математически казано, множество фактори. Освен това има неразложим квадратен трином (лесно е да се провери, че дискриминантът на уравнението е отрицателен, така че триномът не може да бъде разложен по никакъв начин). Какво да правя? Разширяването в сбор от елементарни дроби ще изглежда така с неизвестни коефициенти отгоре или по някакъв друг начин?

Пример 3

Изпратете функция

Етап 1.Проверяваме дали имаме правилна дроб
Най-висока степен на числителя: 2
Най-висок знаменател: 8
, така че дробът е правилен.

Стъпка 2Може ли нещо да се разложи в знаменателя? Очевидно не, всичко вече е изложено. Квадратният трином не се разширява в продукт поради горните причини. Добре. По-малко работа.

Стъпка 3Нека представим дробно-рационална функция като сума от елементарни дроби.
В този случай разлагането има следната форма:

Нека погледнем нашия знаменател:
При разлагане на дробно-рационална функция в сбор от елементарни дроби могат да се разграничат три основни точки:

1) Ако знаменателят съдържа "самотен" фактор в първа степен (в нашия случай), тогава поставяме неопределен коефициент на върха (в нашия случай). Примери № 1,2 се състоят само от такива "самотни" фактори.

2) Ако знаменателят съдържа многократнимножител, тогава трябва да разложите, както следва:
- тоест последователно сортирайте всички степени на "x" от първа до n-та степен. В нашия пример има два множество фактора: и , погледнете отново разлагането, което дадох, и се уверете, че те са разложени точно според това правило.

3) Ако знаменателят съдържа неразложим полином от втора степен (в нашия случай), тогава при разширяване в числителя трябва да напишете линейна функция с неопределени коефициенти (в нашия случай с неопределени коефициенти и ).

Всъщност има и 4-ти случай, но ще премълча за него, тъй като на практика е изключително рядък.

Пример 4

Изпратете функция като сбор от елементарни дроби с неизвестни коефициенти.

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.
Спазвайте стриктно алгоритъма!

Ако сте разбрали принципите, по които трябва да декомпозирате дробно-рационална функция в сума, тогава можете да разбиете почти всеки интеграл от разглеждания тип.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Етап 1.Очевидно дробът е правилен:

Стъпка 2Може ли нещо да се разложи в знаменателя? Мога. Ето сумата от кубчета . Разлагане на множители на знаменателя с помощта на съкратената формула за умножение

Стъпка 3Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегралната функция в сума от елементарни дроби:

Имайте предвид, че полиномът е неразложим (проверете дали дискриминантът е отрицателен), така че в горната част поставяме линейна функция с неизвестни коефициенти, а не само една буква.

Привеждаме дробта до общ знаменател:

Нека създадем и решим системата:

(1) От първото уравнение изразяваме и заместваме във второто уравнение на системата (това е най-рационалният начин).

(2) Представяме подобни членове във второто уравнение.

(3) Събираме второто и третото уравнение на системата член по член.

Всички следващи изчисления по принцип са устни, тъй като системата е проста.

(1) Записваме сумата от дроби в съответствие с намерените коефициенти.

(2) Използваме свойствата на линейността на неопределения интеграл. Какво се случи във втория интеграл? Можете да намерите този метод в последния параграф на урока. Интегриране на някои дроби.

(3) Отново използваме свойствата на линейността. В третия интеграл започваме да избираме пълен квадрат (предпоследният параграф на урока Интегриране на някои дроби).

(4) Взимаме втория интеграл, в третия избираме пълния квадрат.

(5) Вземаме третия интеграл. Готов.

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО НА РЕПУБЛИКА БАШКОРТО СТАН

GAOU SPO Башкирски колеж по архитектура и строителство

Халиулин Асхат Аделзянович,

учител по математика Башкир

Колеж по архитектура и строителство

UFA

2014 г

Въведение ___________________________________________________3

Глава аз Теоретични аспекти на използването на метода на неопределените коефициенти _______________________________________________4

Глава II. Търсене на решения на задачи с полиноми по метода на неопределените коефициенти ________________________________7

2.1. Разлагане на полином _____________________ 7

2.2. Задачи с параметри_____________________________________ 10

2.3. Решаване на уравнения ___________________________________14

2.4. Функционални уравнения __________________________19

Заключение________________________________________________23

Списък на литературата __________________________24

Приложение ________________________________________________25

Въведение.

Тази работа е посветена на теоретичните и практическите аспекти на въвеждането на метода на неопределените коефициенти в училищния курс по математика. Актуалността на тази тема се определя от следните обстоятелства.

Никой няма да спори с факта, че математиката като наука не стои на едно място, тя се развива непрекъснато, появяват се нови задачи с повишена сложност, което често причинява определени трудности, тъй като тези задачи обикновено са свързани с изследвания. През последните години подобни задачи се предлагат на училищни, областни и републикански олимпиади по математика, те се предлагат и във версиите на USE. Затова беше необходим специален метод, който да позволи да се решат поне някои от тях най-бързо, ефективно и достъпно. В тази работа по достъпен начин е представено съдържанието на метода на неопределените коефициенти, който се използва широко в най-различни области на математиката, от въпроси, включени в курса на общообразователното училище, до най-напредналите му части. Особено интересни и ефективни са приложенията на метода на неопределените коефициенти при решаване на задачи с параметри, дробни рационални и функционални уравнения; те лесно могат да заинтересуват всеки, който се интересува от математика. Основната цел на предложената работа и подбора на проблеми е да предостави широки възможности за усъвършенстване и развитие на способността за намиране на кратки и нестандартни решения.

Тази работа се състои от две глави. Първият се занимава с теоретичните аспекти на използването

метод на несигурни коефициенти, във втория - практически и методически аспекти на такова използване.

Приложението към работата съдържа условията на конкретни задачи за самостоятелно решаване.

Глава аз . Теоретични аспекти на употребаметод на несигурни коефициенти

„Човекът... е роден да бъде господар,

господар, цар на природата, но мъдрост,

с които той трябва да управлява не му е дадено

от раждането: придобива се чрез учене"

Н. И. Лобачевски

Има различни начини и методи за решаване на проблеми, но един от най-удобните, най-ефективните, оригинални, елегантни и в същото време много прости и разбираеми за всеки е методът на неопределените коефициенти. Методът на неопределените коефициенти е метод, използван в математиката за намиране на коефициентите на изрази, чийто вид е известен предварително.

Преди да разгледаме приложението на метода на неопределените коефициенти за решаване на различни видове задачи, ние представяме редица теоретични сведения.

Нека им се дават

А н (х) = а 0 х н + а 1 х n-1 + а 2 х n-2 + ··· + а n-1 х + а н

Б м (х ) = б 0 х м + б 1 х м -1 + б 2 х м -2 + ··· + б m-1 х + б м ,

полиноми по отношение на хс произволно съотношение.

Теорема. Два полинома в зависимост от един и от същия аргумент са идентично равни тогава и само акон = м и съответните им коефициенти саа 0 = б 0 , а 1 = б 1 , а 2 = б 2 ,··· , а н -1 = б м -1 , а н = б м и T. д.

Очевидно е, че за всички стойности се приемат равни полиноми хсъщите стойности. Обратно, ако стойностите на два полинома са равни за всички стойности х, след това полиномите са равни, тоест техните коефициенти при еднакви степенихсъвпада.

Следователно идеята за прилагане на метода на неопределените коефициенти за решаване на задачи е следната.

Нека знаем, че в резултат на някои трансформации се получава израз с определен вид и само коефициентите в този израз са неизвестни. Тогава тези коефициенти се обозначават с букви и се считат за неизвестни. След това се съставя система от уравнения, за да се определят тези неизвестни.

Например, в случай на полиноми, тези уравнения са съставени от условието за равенство на коефициентите при едни и същи степени хза два равни полинома.

Ще покажем горното със следните конкретни примери и ще започнем с най-простите.

Така например, въз основа на теоретични съображения, дробът

може да се представи като сума

, където а , б и ° С - коефициенти, които трябва да бъдат определени. За да ги намерим, приравняваме втория израз с първия:

=

и да се отървем от знаменателя и да съберем вляво членовете със същите мощности х, получаваме:

(а + б + ° С )х 2 + ( б - ° С )х - а = 2х 2 – 5 х– 1

Тъй като последното равенство трябва да важи за всички стойности х, то коефициентите при същите степенихдясното и лявото трябва да са еднакви. Така се получават три уравнения за определяне на трите неизвестни коефициента:

a+b+c = 2

б - ° С = - 5

а= 1 , откъдето а = 1 , б = - 2 , ° С = 3

следователно,

=
,

валидността на това равенство е лесно да се провери директно.

Нека също да си представим дроб

като а + б
+ ° С
+ д
, където а , б , ° С и д- неизвестни рационални коефициенти. Приравнете втория израз към първия:

а + б
+ ° С
+ д
=
или, като се отървем от знаменателя, извадим, където е възможно, рационални фактори изпод знаците на корените и изведем подобни членове от лявата страна, получаваме:

(а- 2 б + 3 ° С ) + (- а+б +3 д )
+ (a+c - 2 д )
+

+ (б-в + д )
= 1 +
-
.

Но такова равенство е възможно само в случай, когато рационалните членове на двете части и коефициентите при едни и същи радикали са равни. Така се получават четири уравнения за намиране на неизвестни коефициенти а , б , ° С и д :

а- 2b+ 3° С = 1

- а+б +3 д = 1

a+c - 2 д = - 1

б - ° С + д= 0 , откъдето а = 0 ; б = - ; ° С = 0 ; д= , тоест
= -
+
.

Глава II. Търсене на решения на задачи с полиноми метод на несигурни коефициенти.

„Нищо не допринася за усвояването на субекта

как да действам с него в различни ситуации"

Академик Б. В. Гнеденко

2. 1. Разлагане на полином на фактори.

Методи за разлагане на полиноми:

1) изваждане на общия множител от скоби 2) метод на групиране; 3) прилагане на основни формули за умножение; 4) въвеждане на помощни термини 5) предварително преобразуване на даден полином с помощта на различни формули; 6) разширяване чрез намиране на корените на даден полином; 7) метод за въвеждане на параметри; 8) метод на несигурни коефициенти.

Задача 1. Разложете полинома на реални фактори х 4 + х 2 + 1 .

Решение. Няма корени между делителите на свободния член на този полином. Не можем да намерим корените на полином с други елементарни средства. Следователно не е възможно да се извърши необходимото разширение, като първо се намерят корените на този полином. Остава да се търси решение на проблема или чрез въвеждане на помощни термини, или чрез метода на неопределените коефициенти. Очевидно е, че х 4 + х 2 + 1 = х 4 + х 3 + х 2 - х 3 - х 2 - х + х 2 + х + 1 =

= х 2 (х 2 + х + 1) - х (х 2 + х + 1) + х 2 + х + 1 =

= (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Получените квадратни тричлени нямат корени и следователно не могат да бъдат разложени на реални линейни фактори.

Описаният метод е технически прост, но труден поради своята изкуственост. Наистина е много трудно да се измислят необходимите спомагателни термини. Само едно предположение ни помогна да намерим това разлагане. Но

Има по-надеждни начини за решаване на подобни проблеми.

Може да се процедира по следния начин: да предположим, че даденият полином се разширява в произведение

(х 2 + а х + б )(х 2 + ° С х + д )

два квадратни тричлена с цели коефициенти.

Така ще имаме това

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + а х + б )(х 2 + ° С х + д )

Остава да се определят коефициентитеа , б , ° С и д .

Умножавайки полиномите от дясната страна на последното равенство, получаваме:х 4 + х 2 + 1 = х 4 +

+ (а + в ) х 3 + (б + а ° С + д ) х 2 + (реклама + пр. н. е ) х + бд .

Но тъй като се нуждаем от дясната страна на това равенство, за да се превърне в същия полином, който е от лявата страна, ние изискваме да бъдат изпълнени следните условия:

а + в = 0

б + а ° С + д = 1

реклама + пр. н. е = 0

бд = 1 .

Резултатът е система от четири уравнения с четири неизвестниа , б , ° С и д . Лесно е да се намерят коефициенти от тази системаа = 1 , б = 1 , ° С = -1 и д = 1.

Сега проблемът е напълно решен. имаме:

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Задача 2. Разложете полинома на реални фактори х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 .

Решение. Представяме този полином във формата

х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х + а )(х 2 + bx + ° С) , където а , б и С - все още неопределени коефициенти. Тъй като два полинома са идентично равни, ако и само ако коефициентите на едни и същи степених са равни, тогава, приравнявайки коефициентите, съответно, atх 2 , х и свободни членове, получаваме система от три уравнения с три неизвестни:

а+б= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Решението на тази система ще бъде значително опростено, ако вземем предвид, че числото 3 (делителят на свободния член) е коренът на това уравнение и следователно,а = - 3 ,

б = - 3 и С = 5 .

Тогава х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х – 3)(х 2 – 3 х + 5).

Приложеният метод на неопределените коефициенти, в сравнение с горния метод за въвеждане на помощни термини, не съдържа нищо изкуствено, но от друга страна изисква прилагането на много теоретични положения и е придружен от доста големи изчисления. За полиноми от по-висока степен този метод на неопределени коефициенти води до тромави системи от уравнения.

2.2 Задачи и с параметри.

През последните години се предлагат задачи с параметри във вариантите на USE. Тяхното решение често причинява определени трудности. При решаване на задачи с параметри, наред с други методи, е възможно ефективно прилагане на метода на неопределените коефициенти. Именно този метод прави много по-лесно решаването им и бързото получаване на отговор.

Задача 3. Определете при какви стойности на параметъра ауравнение 2 х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = 0 има точно два корена.

Решение. 1 начин. С помощта на производно.

Представяме това уравнение под формата на две функции

2x 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 = – а .

е (х) = 2x 3 - 3 х 2 – 36 х– 3 и φ( х ) = – а .

Изследване на функциятае (х) = 2x 3 - 3 х 2 – 36 х - 3 с помощта на производна и построете нейната графика схематично (фиг. 1.).

f( – х )е (х ) , е (– х ) – е (х ). Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3. Намерете критичните точки на функцията, нейните интервали на нарастване и намаляване, екстремуми. е / (х ) = 6 х 2 – 6 х – 36. д (е / ) = Р , така че намираме всички критични точки на функцията чрез решаване на уравнението е / (х ) = 0 .

6(х 2 – х– 6) = 0 ,

х 2 – х– 6 = 0 ,

х 1 = 3 , х 2 = – 2 по теоремата, обратна на теоремата на Виета.

е / (х ) = 6(х – 3)(х + 2).

+ макс - мин +

2 3 х

е / (х) > 0 за всички х< – 2 и х > 3 и функцията е непрекъсната в точкитех =– 2 и х = 3, следователно се увеличава на всеки от интервалите (- ; - 2] и [3; ).

е / (х ) < 0 при - 2 < х< 3 , следователно намалява на интервала [- 2; 3 ].

х = - 2 максимални точки, т.к в този момент знакът на производната се променя от"+" до "-".

е (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

х = 3 е минималната точка, тъй като в този момент знакът на производната се променя"-" до "+".

е (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Графика на функцията φ(х ) = – а е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0; – а ). Графиките имат две общи точки в −а= 41, т.е. а =- 41 и - а= - 84 , т.е. а = 84 .

при

41 φ( х)

2 3 х

3 е ( х ) = 2x 3 – 3 х 2 – 36 х – 3

2 начин. Метод на несигурни коефициенти.

Тъй като според условието на задачата това уравнение трябва да има само два корена, изпълнението на равенството е очевидно:

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = (х + б ) 2 (2 х + ° С ) ,

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = 2 х 3 + (4 б + ° С ) х 2 + (2 б 2 + +2 пр. н. е ) х + б 2 ° С ,

Сега приравняваме коефициентите при същите степени х, получаваме система от уравнения

4 b + c = - 3

2б 2 + 2bc=- 36

б 2 ° С = а – 3 .

От първите две уравнения на системата намирамеб 2 + б – 6 = 0, откъдето б 1 = - 3 или б 2 = 2 . Съответни стойностиС 1 и С 2 лесно е да се намери от първото уравнение на системата:С 1 = 9 или С 2 = - 11 . И накрая, желаната стойност на параметъра може да се определи от последното уравнение на системата:

а = б 2 ° С + 3 , а 1 = - 41 или а 2 = 84.

Отговор: това уравнение има точно две различни

корен в а= - 41 и а= 84 .

Задача 4. Намерете най-голямата стойност на параметъраа , за което уравнениетох 3 + 5 х 2 + ох + б = 0

с цели коефициенти има три различни корена, единият от които е - 2 .

Решение. 1 начин. Заместване х= - 2 от лявата страна на уравнението, получаваме

8 + 20 – 2 а + б= 0, което означава б = 2 а – 12 .

Тъй като числото - 2 е коренът, можете да извадите общия множител х + 2:

х 3 + 5 х 2 + ох + б = х 3 + 2 х 2 + 3 х 2 + ох + (2 а – 12) =

= х 2 (х + 2) + 3 х (х + 2) – 6 х + ох + (2 а – 12) =

= х 2 (х + 2) + 3 х (х + 2) + (а – 6)(х +2) - 2(а – 6)+ (2 а - 12) =

= (х + 2)(х 2 + 3 х + (а – 6) ) .

Според условието има още два корена на уравнението. Следователно дискриминантът на втория фактор е положителен.

д =3 2 - 4 (а – 6) = 33 – 4 а > 0, тоест а < 8,25 .

Изглежда, че отговорът ще бъде а =осем . Но когато заменим числото 8 в оригиналното уравнение, получаваме:

х 3 + 5 х 2 + ох + б = х 3 + 5 х 2 + 8 х + 4 = (х + 2)(х 2 + 3 х + 2 ) =

= (х + 1) (х + 2) 2 ,

тоест, уравнението има само два различни корена. Но при а = 7 наистина получава три различни корена.

2 начин. Метод на неопределени коефициенти.

Ако уравнението х 3 + 5 х 2 + ох + б = 0 има корен х = - 2, тогава винаги можете да вземете числа° С и д така че за всичких равенството беше вярно

х 3 + 5 х 2 + ох + б = (х + 2)(х 2 + С х + д ).

За намиране на числа° С и д отворете скобите от дясната страна, дайте подобни термини и вземете

х 3 + 5 х 2 + ох + б = х 3 + (2 + С ) х 2 +(2 с + д ) х + 2 д

Приравняване на коефициентите при съответните степени химаме система

2 + С = 5

2 С + д = а

2 д = б , където c = 3 .

следователно, х 2 + 3 х + д = 0 , д = 9 – 4 д > 0 или

д < 2,25, значи д (- ; 2 ].

Условието на задачата се удовлетворява от стойността д = един . Крайната желана стойност на параметъраа = 7.

A n e t: кога а = 7 това уравнение има три различни корена.

2.3. Решение на уравнения.

„Помнете, че когато решавате малки проблеми, вие

подгответе се за решаване на големи и трудни

задачи.”

Академик С. Л. Соболев

При решаването на някои уравнения е възможно и необходимо да се прояви находчивост и остроумие, да се прилагат специални техники. Владеенето на различни методи за трансформации и способността за провеждане на логически разсъждения е от голямо значение в математиката. Един от тези трикове е да добавяте и изваждате някакъв добре подбран израз или число. Самият посочен факт, разбира се, е добре известен на всички - основната трудност е да се видят в конкретна конфигурация онези трансформации на уравнения, към които е удобно и целесъобразно да се приложи.

На просто алгебрично уравнение илюстрираме един нестандартен метод за решаване на уравнения.

Задача 5. Решете уравнението

=
.

Решение. Умножете двете страни на това уравнение по 5 и пренапишете, както следва

= 0 ; х 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 или
= 0

Решаваме получените уравнения по метода на неопределените коефициенти

х 4 - х 3 –7 х – 3 = (х 2 + ах + б )(х 2 + cx + д ) = 0

х 4 - х 3 –7 х – 3 = х 4 + (а + в ) х 3 + (б + а ° С + д ) х 2 + (реклама + пр. н. е ) x++ бд

Приравняване на коефициентите при х 3 , х 2 , хи безплатни условия, получаваме системата

а + в = -1

б + а ° С + д = 0

реклама + пр. н. е = -7

бд = -3 , откъдето намираме:а = -2 ; б = - 1 ;

С = 1 ; д = 3 .

Така х 4 - х 3 –7х– 3 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + х + 3) = 0 ,

х 2 – 2 х– 1 = 0 или х 2 + х + 3 = 0

х 1,2 =
няма корени.

По същия начин имаме

х 4 – 12х – 5 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + 2х + 5) = 0 ,

където х 2 + 2 х + 5 = 0 , д = - 16 < 0 , нет корней.

Отговор: х 1,2 =

Задача 6. Решете уравнението

= 10.

Решение. За да решите това уравнение, е необходимо да изберете числатааи б така че числителите и на двете дроби да са еднакви. Следователно имаме система:

= 0 , х 0; -1 ; -

= - 10

По този начин задачата е да съберете числатааи б , за което равенството

(а + 6) х 2 + ах- 5 = х 2 + (5 + 2 б ) х + б

Сега, според теоремата за равенството на полиномите, е необходимо дясната страна на това равенство да се превърне в същия полином, който е от лявата страна.

С други думи, отношенията трябва да се запазят

а + 6 = 1

а = 5 + 2 б

– 5 = б , от което намираме стойноститеа = - 5 ;

б = - 5 .

С тези стойностиаи б равенство а + б = - 10 също е валидно.

= 0 , х 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(х 2 – 5х– 5)(х 2 + 3х + 1) = 0 ,

х 2 – 5х– 5 = 0 или х 2 + 3х + 1 = 0 ,

х 1,2 =
, х 3,4 =

Отговор: х 1,2 =
, х 3,4 =

Задача 7. Решете уравнението

= 4

Решение. Това уравнение е по-сложно от предишните и затова го групираме по такъв начин, че х 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

От условието за равенство на два полинома

ох 2 + (а + 6) х + 12 = х 2 + (б + 11) х – 3 б ,

получаваме и решаваме системата от уравнения за неизвестни коефициентиаи б :

а = 1

а + 6 = б + 11

12 = – 3 б , където а = 1 , б = - 4 .

Полиноми - 3 - 6х + cx 2 + 8 cxи х 2 + 21 + 12 д – dx са идентични един с друг само когато

С = 1

8 с - 6 = - д

3 = 21 + 12 д , С = 1 , д = - 2 .

За ценностиа = 1 , б = - 4 , С = 1 , д = - 2

равенство
= - 4 е справедливо.

В резултат на това това уравнение приема следната форма:

= 0 или
= 0 или
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

От разгледаните примери става ясно как умелото използване на метода на несигурните коефициенти,

помага за опростяване на решението на доста сложно, необичайно уравнение.

2.4. Функционални уравнения.

„Най-висшата цел на математиката... се състои

за да намерите скрития ред в

хаос, който ни заобикаля

Н. Винер

Функционалните уравнения са много общ клас уравнения, в които желаната функция е определена. Функционално уравнение в тесния смисъл на думата се разбира като уравнения, в които желаните функции са свързани с известни функции на една или повече променливи, като се използва операцията за формиране на сложна функция. Функционалното уравнение може да се разглежда и като израз на свойство, което характеризира определен клас функции

[ например функционалното уравнение е ( х ) = е (- х ) характеризира класа на четните функции, функционалното уравнениее (х + 1) = е (х ) е класът на функциите с период 1 и т.н.].

Едно от най-простите функционални уравнения е уравнениетое (х + г ) = е (х ) + е (г ). Непрекъснатите решения на това функционално уравнение имат формата

е (х ) = ° Сх . Но в класа на прекъснатите функции това функционално уравнение има и други решения. Разглежданото функционално уравнение е свързано

е (х + г ) = е (х ) · е (г ), е (х г ) = е (х ) + е (г ), е (х г ) = е (х )· е (г ),

непрекъснати решения, които съответно имат формата

д cx , ОТвътрешенх , х α (х > 0).

По този начин тези функционални уравнения могат да служат за дефиниране на експоненциални, логаритмични и степенни функции.

Най-широко използвани са уравненията, в чиито комплексни функции желаните са външни функции. Теоретични и практически приложения

именно такива уравнения подтикнаха изтъкнатите математици да ги изучават.

Например, приподравняване

е 2 (х) = е (х - г)· е (х + г)

Н. И. Лобачевскиизползван при определяне на ъгъла на успоредност в неговата геометрия.

През последните години на математически олимпиади доста често се предлагат задачи, свързани с решаването на функционални уравнения. Тяхното решение не изисква знания, които излизат извън обхвата на учебната програма по математика на общообразователните училища. Решаването на функционални уравнения обаче често причинява определени трудности.

Един от начините за намиране на решения на функционални уравнения е методът на неопределените коефициенти. Може да се използва, когато външният вид на уравнението може да се използва за определяне на общата форма на желаната функция. Това се отнася преди всичко за онези случаи, когато решенията на уравненията трябва да се търсят между цели или дробно-рационални функции.

Нека обясним същността на тази техника, като решим следните проблеми.

Задача 8. Функцияе (х ) е дефиниран за всички реални x и удовлетворява за всичких Р състояние

3 е(х) - 2 е(1- х) = х 2 .

намираме (х ).

Решение. Тъй като от лявата страна на това уравнение над независимата променлива x и стойностите на функциятае извършват се само линейни операции, а дясната страна на уравнението е квадратна функция, естествено е да се приеме, че желаната функция също е квадратична:

е (х) = брадва 2 + bx + ° С , къдетоа, б, ° С – коефициенти за определяне, т.е. неопределени коефициенти.

Замествайки функцията в уравнението, стигаме до идентичността:

3(брадва 2 + bx+c) – 2(а(1 – х) 2 + б(1 – х) + ° С) = х 2 .

брадва 2 + (5 б + 4 а) х + (° С – 2 а – 2 б) = х 2 .

Два полинома ще бъдат идентично равни, ако са равни

коефициенти при същите степени на променливата:

а = 1

5б + 4а = 0

° С– 2 а – 2 б = 0.

От тази система намираме коефициентите

а = 1 , б = - , ° С = , същоудовлетворяваравенство

3 е (х ) - 2 е (1- х ) = х 2 върху множеството на всички реални числа. В същото време имах 0 Задача 9. Функцияy=е(х) за всички x е дефинирано, непрекъснато и удовлетворява условиетое (е (х)) – е(х) = 1 + 2 х . Намерете две такива функции.

Решение. Върху желаната функция се извършват две действия - операцията по компилиране на сложна функция и

изваждане. Като се има предвид, че дясната страна на уравнението е линейна функция, естествено е да се приеме, че желаната функция също е линейна:е(х) = брадва +б , къдетоа иб са неопределени коефициенти. Заместване на тази функция ве (е ( (х ) = - х - 1 ;

е 2 (х ) = 2 х+ , които са решения на функционалното уравнениее (е (х)) – е(х) = 1 + 2 х .

Заключение.

В заключение трябва да се отбележи, че тази работа със сигурност ще допринесе за по-нататъшното изучаване на оригинален и ефективен метод за решаване на различни математически задачи, които са проблеми с повишена трудност и изискват задълбочено познаване на училищния курс по математика и висока логическа култура. Всеки, който иска сам да задълбочи знанията си по математика, също ще намери в тази статия материал за размисъл и интересни задачи, чието решаване ще донесе полза и удовлетворение.

В работата, в рамките на съществуващата училищна програма и в достъпна за ефективно възприемане форма, е представен методът на неопределените коефициенти, който допринася за задълбочаването на училищния курс по математика.

Разбира се, всички възможности на метода на неопределените коефициенти не могат да бъдат показани в една работа. Всъщност методът все още изисква допълнително проучване и изследване.

Списък на използваната литература.

Glazer G.I. История на математиката в училище.-М.: Образование, 1983.

Гомонов С.А. Функционални уравнения в училищния курс по математика // Математика в училище. - 2000 г. -№10 .

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Ръководство по математика.- М.: Наука, 1972.

Курош А. Г. Алгебрични уравнения на произволни степени.-М.: Наука, 1983.

Лихтарников Л. М. Елементарно въведение във функционалните уравнения. - Санкт Петербург. : Lan, 1997.

Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Обяснителен речник на математическите термини.-М.: Просвещение, 1971 г.

Моденов В.П. Ръководство по математика. Ч.1.-М.: Московски държавен университет, 1977.

Моденов В.П. Проблеми с параметрите.-М.: Изпит, 2006г.

Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ на елементарни функции.- М.: Наука, 1980.

Khaliullin A.A. Възможно е да се реши по-лесно // Математика в училище. – 2003 . - №8 .

Халиулин.

4. Разширете полином 2х 4 – 5х 3 + 9х 2 – 5х+ 3 за множители с цели коефициенти.

5. На каква стойност а х 3 + 6х 2 + ох+ 12 на х+ 4 ?

6. При каква стойност на параметъраа уравнениетох 3 +5 х 2 + + ох + б = 0 с цели коефициенти има два различни корена, единият от които е равен на 1 ?

7. Сред корените на полином х 4 + х 3 – 18х 2 + ох + б с целочислени коефициенти има три равни числа. Намерете стойността б .

8. Намерете най-голямата целочислена стойност на параметъра а,при което уравнението х 3 – 8х 2 + ах +б = 0 с цели коефициенти има три различни корена, единият от които е равен на 2.

9. При какви стойности аи б деление без остатък х 4 + 3х 3 – 2х 2 + ох + б на х 2 – 3х + 2 ?

10. Разложете полиноми на множители:

а)х 4 + 2 х 2 – х + 2 в)х 4 – 4х 3 +9х 2 –8х + 5 д)х 4 + 12х – 5

б)х 4 + 3х 2 + 2х + 3 ж)х 4 – 3х –2 д)х 4 – 7х 2 + 1 .

11. Решете уравненията:

а)
= 2 = 2 е (1 – х ) = х 2 .

намирам е (х) .

13. Функция при= е (х) за всички хе дефиниран, непрекъснат и удовлетворява условието е ( е (х)) = е (х) + Х.Намерете две такива функции.

Методът е приложим за минимизиране на функциите на логическата алгебра на произволен брой променливи.

Помислете за случая на три променливи. Булева функция в DNF може да бъде представена под формата на всички възможни конюнктивни членове, които могат да бъдат включени в DNF:

където kн(0,1) са коефициенти. Методът се състои в подбор на коефициентите по такъв начин, че полученият DNF да е минимален.

Ако сега зададем всички възможни стойности на променливите от 000 до 111, тогава получаваме 2 n (2 3 =8) уравнения за определяне на коефициентите к:

Като се имат предвид множествата, на които функцията приема нулева стойност, определете коефициентите, които са равни на 0, и ги изтрийте от уравненията, от дясната страна на които е 1. От останалите коефициенти във всяко уравнение, един коефициент се равнява на един, който определя конюнкцията на най-малкия ранг. Останалите коефициенти се равняват на 0. И така, единични коефициенти копределят съответната минимална форма.

Пример. Минимизирайте дадена функция

ако са известни стойности:
;
;
;
;
;
;
;
.

Решение.

След изтриване на нулеви коефициенти получаваме:

=1;

=1;

=1;

=1.

Приравнете на единство коефициента , съответстваща на конюнкцията на най-малкия ранг и превръщайки последните четири уравнения в 1, а в първото уравнение е препоръчително коефициентът да се приравни на 1 . Останалите коефициенти са настроени на 0.

Отговор: вид минимизирана функция.

Трябва да се отбележи, че методът на несигурните коефициенти е ефективен, когато броят на променливите е малък и не надвишава 5-6.

Многоизмерен куб

Помислете за графично представяне на функция под формата на многомерен куб. Всеки връх н-размерният куб може да се постави в съответствие с единичната съставна част.

Подмножеството от маркирани върхове е съпоставяне на н-размерен куб на булевата функция от нпроменливи в SDNF.

За показване на функцията от нпроменливи, представени във всеки DNF, е необходимо да се установи съответствие между неговите минитерми и елементи н- размерен куб.

Минитерм (n-1)-ти ранг
може да се разглежда като резултат от залепването на две минитерми н-ти ранг, т.е.

=

На н-размерен куб, това съответства на замяна на два върха, които се различават само по координатни стойности х исвързване на тези върхове с ръб (казва се, че ръбът покрива инцидентните му върхове).

По този начин минитерми ( н-1)-ти ред съответстват на ръбовете на n-мерния куб.

По същия начин кореспонденцията на минитерми ( н-2)-ти порядък лица н-размерен куб, всеки от който покрива четири върха (и четири ръба).

Елементи н-размерен куб, характеризиращ се с Ссе наричат ​​измервания С- кубчета.

И така, върховете са 0-кубове, ръбовете са 1-кубове, лицата са 2-куба и т.н.

Обобщавайки, можем да кажем, че минитермът ( n-S) ранг в DNF за функцията нсе показват променливи С-куб и всеки С-cube обхваща всички онези кубове с по-ниско измерение, които са свързани само с неговите върхове.

Пример. На фиг. дадено картографиране

Тук минитерми
и
отговарят на 1-кубчета ( С=3-2=1) и минитерм х 3 картографиран на 2-куба ( С=3-1=2).

И така, всеки DNF се съпоставя с н- размерен комплект куб С-кубове, които покриват всички върхове, съответстващи на съставните части на единиците (0-куб).

Съставни части. За променливи х 1 ,х 2 ,…х низразяване
се нарича съставна част на единицата и
- съставната част на нула ( означава или , или ).

Този компонент на единица (нула) се превръща в единица (нула) само с един набор от стойности на променливи, съответстващи на него, което се получава, ако всички променливи се вземат равни на единица (нула), а техните отрицания - на нула (едно) .

Например: съставна единица
съответства на множеството (1011) и нулевата съставна част
- комплект (1001).

Тъй като SD(K)NF е дизюнкция (конюнкция) на съставните части на единицата (нула), може да се твърди, че булевата функция, която представлява е(х 1 , х 2 ,…, х н) става единица (нула) само за набори от стойности на променливи х 1 , х 2 ,…, х нсъответстващи на тези копия. При други набори тази функция се превръща в 0 (едно).

Обратното твърдение също е вярно, на което начин за представяне като формула произволенбулева функция, дефинирана от таблица.

За да направите това, е необходимо да напишете дизюнкциите (конюнкциите) на съставните части на едно (нула), съответстващи на наборите от стойности на променливи, на които функцията приема стойност, равна на единица (нула).

Например функцията, дадена от таблицата

отговарят

Получените изрази могат да бъдат преобразувани в друга форма въз основа на свойствата на алгебрата на логиката.

Обратното твърдение също е вярно: ако някои множество С-cubes обхваща множеството от всички върхове, съответстващи на единичните стойности на функцията, след което дизюнкцията, съответстваща на тези С-cubes of miniterms е изразът на дадената функция в DNF.

Казват, че такъв комплект С-cubes (или минитерми, съответстващи на тях) образува покритие на функцията. Желанието за минимална форма интуитивно се разбира като търсене на такава корица, числото С-кубовете, от които биха били по-малки, и тяхното измерение С- Повече ▼. Покритието, съответстващо на минималната форма, се нарича минимално покритие.

Например за функцията при=
покритие отговаря на неминималната форма:

ориз а) при=,

a покрития на фиг. б) при=
, ориз в) при=
минимален.

Ориз. Покритие на функциите при=:

а) неминимални; б), в) минимум.

Функционалното картографиране е включено н-размерни ясно и просто с н3. Четириизмерен куб може да бъде изобразен, както е показано на фиг., което показва функциите на четири променливи и неговото минимално покритие, съответстващо на израза при=

Използването на този метод за н>4 изисква толкова сложни конструкции, че губи всичките си предимства.