Значение на първата производна. Производна на функцията

Ето обобщена таблица за удобство и яснота при изучаване на темата.

Постояннаy=C Силова функция y = x p (x p)" = p x p - 1	Експоненциална функцияy = x (a x)" = a x ln a По-специално, когатоа = дние имаме y = e x (e x)" = e x
логаритмична функция (log a x) " = 1 x ln a По-специално, когатоа = дние имаме y = log x (ln x)" = 1 x	Тригонометрични функции (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Обратни тригонометрични функции (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Хиперболични функции (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Нека анализираме как са получени формулите на посочената таблица или, с други думи, ще докажем извличането на формули за производни за всеки тип функция.

Производна на константа

Доказателство 1

За да изведем тази формула, ние вземаме за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число, или, с други думи, хе произволно число от областта на функцията f (x) = C . Нека запишем границата на съотношението на увеличението на функцията към приращението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, обърнете внимание, че изразът 0 ∆ x попада под знака за граница. Това не е несигурността на „нула, разделена на нула“, тъй като числителят съдържа не безкрайно малка стойност, а нула. С други думи, приращението на константна функция винаги е нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени постоянни функции:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3 . В следващия пример трябва да вземете производната на а, където а- всяко реално число. Третият пример ни дава производната на ирационалното число 4 . 13 7 22 , четвъртият - производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната на рационалната дроб - 8 7 .

Отговор:производните на дадените функции са нула за всяко реално х(в цялата област на дефиниция)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на мощностната функция

Обръщаме се към степенната функция и формулата за нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където степента стре всяко реално число.

Доказателство 2

Ето доказателството за формулата, когато степента е естествено число: p = 1 , 2 , 3 , …

Отново разчитаме на определението за производно. Нека напишем границата на съотношението на увеличението на функцията за мощност към приращението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

По този начин:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция, когато експонентът е естествено число.

Доказателство 3

Да даде доказателство за случая, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната на логаритмичната функция). За по-пълно разбиране е желателно да се проучи производната на логаритмичната функция и допълнително да се работи с производната на имплицитно зададена функция и производната на сложна функция.

Помислете за два случая: кога хположително и кога хса отрицателни.

Значи x > 0 . Тогава: x p > 0 . Вземаме логаритъма на равенството y \u003d x p към основата e и прилагаме свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

На този етап е получена имплицитно дефинирана функция. Нека дефинираме нейната производна:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х-отрицателно число.

Ако индикаторът стре четно число, тогава степенната функция също е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тогава xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стре нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен, защото ако стртогава е нечетно число п - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, ние доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Преобразуваме част от дадените функции в табличен вид y = x p , въз основа на свойствата на степента, и след това използваме формулата:

f 1 (x) = 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Доказателство 4

Извличаме формулата за производната въз основа на дефиницията:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, пишем нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход се използва формулата за преход към нова основа на логаритъма.

Нека извършим заместване в оригиналния лимит:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Припомнете си второто прекрасно ограничение и тогава получаваме формулата за производната на експоненциалната функция:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Пример 3

Дадени са експоненциалните функции:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Трябва да намерим техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Доказателство 5

Представяме доказателството на формулата за производната на логаритмичната функция за всяко хв областта на дефиницията и всички валидни стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на дефиницията на производната получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

От посочената верига от равенства се вижда, че трансформациите са построени на базата на свойството логаритъм. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Необходимо е да се изчислят техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

Така че производната на естествения логаритъм е единица, разделена на х.

Производни на тригонометрични функции

Доказателство 6

Използваме някои тригонометрични формули и първото прекрасно ограничение, за да изведем формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Накрая използваме първото прекрасно ограничение:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Така че производната на функцията грях хще бъде cos x.

Ще докажем и формулата за косинусовата производна по същия начин:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производната на функцията cos x ще бъде – грях х.

Ние извеждаме формулите за производните на допирателната и котангенса въз основа на правилата за диференциране:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Разделът за производната на обратните функции дава изчерпателна информация за доказването на формулите за производните на арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Доказателство 7

Можем да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, използвайки правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Може да се извади от табелата производно:

(af(x)"=af" (x).

Например:

Производна на алгебрична суманяколко функции (взети в постоянно число) е равно на алгебричния сбор от тях производни:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Например:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( производнопоследно срокуравнението е нула).

Ако производна на функцията g е различно от нула, тогава съотношението f/g също има крайна производна. Това свойство може да бъде записано като:

.

Позволявам функции y = f(x) и y = g(x) имат крайни производнив точката x 0 . Тогава функции f ± g и f g също имат крайни производни втова точка. Тогава получаваме:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Производна на сложна функция.

Позволявам функция y = f(x) има крайна производна в точка x 0 , функцията z = s(y) има крайна производна в точката y 0 = f(x 0).

Тогава сложна функция z = s (f(x)) също има крайна производна в тази точка. Това може да бъде написано във формата:

.

Производна на обратната функция.

Нека функцията y = f(x) има обратна функция x = g(y) върху някои интервал(a, b) и съществува ненула крайна производнатази функция в точката x 0 , която принадлежи домейни, т.е. x 0 ∈ (a, b).

Тогава обратна функцияТо има производнов точката y 0 = f(x 0):

.

Производна на неявна функция.

Ако функция y = f(x) е имплицитно дефинирано уравнение F(x, y(x)) = 0, тогава нейното производносе намира от условието:

.

Казват, че функция y = f(x) зададен имплицитно, Ако тя идентичноудовлетворява отношението:

където F(x, y) е някаква функция от два аргумента.

Производна на функция, зададена параметрично.

Ако функция y = f(x) се задава параметрично, като се използва разглежданото

Производната на функция е една от най-трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия просто и ясно обяснява какво е производно и защо е необходимо.. Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си спомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функцията.

Фигурата показва графики на три функции. Кое според вас расте най-бързо?

Отговорът е очевиден – третото. Той има най-висока скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как се промениха доходите им през годината:

Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Доходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. А доходите на Матю намаляха до нула. Началните условия са еднакви, но скоростта на промяна на функцията, т.е. производно, - различно. Що се отнася до Матвей, производната на неговия доход като цяло е отрицателна.

Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно графиката на функцията върви нагоре (или надолу). С други думи, колко бързо y се променя с x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различна стойност на производната – тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се означава с .

Нека покажем как да намерите с помощта на графиката.

Начертава се графика на някаква функция. Вземете точка върху него с абциса. Начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се издига графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на наклона на допирателната.

Производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на наклон на допирателната, ние приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат каква е допирателната към графиката на функция. Това е права линия, която има единствената обща точка с графиката в този раздел, освен това, както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Да намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на отношението на противоположния катет към съседния. От триъгълник:

Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номера.

Има още една важна корелация. Припомнете си, че правата линия е дадена от уравнението

Количеството в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклон на правата линия към оста.

.

Ние разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричното значение на производната.

Производната на функция в дадена точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на допирателната на наклона на допирателната.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други и с различни темпове. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Така че производната е положителна в точката.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако функцията се увеличава, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

И какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на наклона на допирателната в тези точки е нула, а производната също е нула.

Точката е максималната точка. В този момент увеличаването на функцията се заменя с намаляване. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".

В точката - минималната точка - производната също е равна на нула, но знакът й се променя от "минус" на "плюс".

Заключение: с помощта на производната можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функцията.

Ако производната е положителна, тогава функцията се увеличава.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от плюс на минус.

В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.

Записваме тези констатации под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намалява	минимална точка	се увеличава
+	0	-	0	+

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате изпитни задачи. Друга – през първата година, с по-сериозно проучване на функциите и производните.

Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална, а производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията се увеличи - и след точката тя продължава да се увеличава. Знакът на производната не се променя - той е останал положителен, както е бил.

Също така се случва, че в точката на максимум или минимум производната не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Но как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай се прилага

Абсолютно невъзможно е да се решават физически задачи или примери по математика без познания за производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия на математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физическо и геометрично значение, как да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометричен и физически смисъл на производната

Нека има функция f(x) , даден в някакъв интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разлика в неговите стойности x-x0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяната или увеличението на функция е разликата между стойностите на функцията в две точки. Дефиниция на производната:

Производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на приращението на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът от намирането на такава граница? Но коя:

производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физическото значение на производната: времевата производна на пътя е равна на скоростта на праволинейното движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е личен път. x=f(t) и времето T . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило първо: извадете константата

Константата може да бъде извадена от знака на производната. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете като правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Правило второ: производна на сбора от функции

Производната на сбора от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функция:

Правило трето: производната на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да се каже за изчисляването на производни на сложни функции. Производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент на производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо разглеждаме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: Производната на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частно от две функции:

Опитахме се да говорим за деривати за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото звучи, така че бъдете предупредени: често има клопки в примерите, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производните.

При всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентския сервиз. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния контрол и да се справите със задачи, дори ако никога досега не сте се занимавали с изчисляване на производни.