ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебричната форма на комплексното число е да се запише комплексното число \(\ z \) като \(\ z=x+i y \), където \(\ x \) и \(\ y \) са реални числа, \ (\ i \ ) е въображаема единица, която удовлетворява отношението \(\ i^(2)=-1 \)

Числото \(\ x \) се нарича реална част от комплексното число \(\ z \) и се обозначава \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Числото \(\ y \) се нарича въображаема част от комплексното число \(\ z \) и се обозначава \(\ y=\operatorname(Im) z \)

Например:

Комплексното число \(\ z=3-2 i \) и свързаното с него число \(\ \overline(z)=3+2 i \) се записват в алгебрична форма.

Въображаемата стойност \(\ z=5 i \) се записва в алгебрична форма.

Освен това, в зависимост от решавания проблем, можете да преобразувате комплексно число в тригонометрично или експоненциално число.

Задача

Запишете числото \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) в алгебрична форма, намерете неговите реални и въображаеми части, както и спрегнатото число.

Решение.

Прилагайки термина разделяне на дроби и правилото за събиране на дроби, получаваме:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) i \)

Следователно, реалната част от комплексното число \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) е числото \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , въображаемата част е число \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Конюгатно число: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Отговор

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Действия на комплексни числа в алгебрична форма на сравнение

Две комплексни числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) са равни, ако \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) т.е. Техните реални и въображаеми части са равни.

Задача

Определете за кои x и y две комплексни числа \(\ z_(1)=13+y i \) и \(\ z_(2)=x+5 i \) са равни.

Решение

По дефиниция две комплексни числа са равни, ако техните реални и въображаеми части са равни, т.е. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Отговор \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

допълнение

Добавянето на комплексни числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) се извършва чрез директно сумиране на реалната и въображаемата част:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\вляво(y_(1)+y_(2)\вдясно)\)

Задача

Намерете сбора от комплексни числа \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Решение.

Реалната част от комплексното число \(\ z_(1)=-7+5 i \) е числото \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \), въображаемото част е числото \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Реалните и въображаемите части на комплексното число \(\ z_(2)=13-4 i \) са \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) и \(\ y_ (2 )=\име на оператор(Im) z_(2)=-4 \) .

Следователно сборът от комплексни числа е:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Отговор

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Прочетете повече за добавянето на комплексни числа в отделна статия: Добавяне на комплексни числа.

Изваждане

Изваждането на комплексни числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) и \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) се извършва чрез директно изваждане на реалните и въображаемите части:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

Задача

намерете разликата на комплексните числа \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Решение.

Намерете реалните и въображаемите части на комплексните числа \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \):

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Значи разликата на комплексните числа е:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Отговор

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) умножение

Умножението на комплексни числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) и \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) се извършва директно чрез генериране на числа в алгебрична форма, като се вземе предвид свойството на въображаемата единица \(\ i^(2)=-1 \):

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\вдясно)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\вдясно) \)

Задача

Намерете произведението на комплексни числа \(\ z_(1)=1-5 i \)

Решение.

Комплекс от комплексни числа:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Отговор

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) разделяне

Коефициентът на комплексни числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) и \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) се определя чрез умножаване на числител и знаменател на спрегнато число със знаменател:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Задача

За да разделите числото 1 на комплексното число \(\ z=1+2 i \).

Решение.

Тъй като имагинерната част от реалното число 1 е нула, факторът е:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Отговор

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Комплексните числа са разширение на набора от реални числа, обикновено означавани с . Всяко комплексно число може да бъде представено като формална сума, където и са реални числа, е въображаема единица.

Записването на комплексно число във формата , , се нарича алгебрична форма на комплексно число.

Свойства на комплексните числа. Геометрична интерпретация на комплексно число.

Действия върху комплексни числа, дадени в алгебрична форма:

Помислете за правилата, по които се извършват аритметичните операции върху комплексни числа.

Ако са дадени две комплексни числа α = a + bi и β = c + di, тогава

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (единадесет)

Това следва от дефиницията на операциите събиране и изваждане на две подредени двойки реални числа (виж формули (1) и (3)). Получихме правилата за събиране и изваждане на комплексни числа: за да се съберат две комплексни числа, трябва отделно да се съберат реалните им части и съответно имагинерните части; за да се извади друго от едно комплексно число, е необходимо да се извадят реалната и мнимата им част, съответно.

Числото - α \u003d - a - bi се нарича обратното на числото α \u003d a + bi. Сумата от тези две числа е нула: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

За да получим правилото за умножение за комплексни числа, използваме формула (6), т.е. факта, че i2 = -1. Като вземем предвид това съотношение, намираме (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Тази формула съответства на формула (2), която дефинира умножението на подредени двойки реални числа.

Забележете, че сборът и произведението на две комплексно спрегнати числа са реални числа. Наистина, ако α = a + bi, = a – bi, тогава α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Когато разделяме две комплексни числа в алгебрична форма, трябва да очакваме, че частното също се изразява с число от същия тип, т.е. α/β = u + vi, където u, v R. Нека изведем правило за деление на комплекс числа. Нека са дадени числа α = a + bi, β = c + di и β ≠ 0, т.е. c2 + d2 ≠ 0. Последното неравенство означава, че c и d не изчезват едновременно (случаят, когато c = 0, d = 0). Прилагайки формула (12) и второто от равенства (13), намираме:

Следователно, частното на две комплексни числа се дава от:

съответната формула (4).

Използвайки получената формула за числото β = c + di, можете да намерите реципрочната стойност на него β-1 = 1/β. Ако приемем във формула (14) a = 1, b = 0, получаваме

Тази формула определя реципрочната стойност на дадено ненулево комплексно число; това число също е сложно.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Действия върху комплексни числа в алгебрична форма.

55. Аргумент на комплексно число. Тригонометрична форма на запис на комплексно число (изход).

Arg.comm.number – между положителната посока на реалната ос X от вектора, представляващ даденото число.

тригон формула. Числа: ,

Комплексни числа

Въображаем и комплексни числа. Абциса и ордината

комплексно число. Конюгирайте комплексни числа.

Операции с комплексни числа. Геометричен

представяне на комплексни числа. сложна равнина.

Модул и аргумент на комплексно число. тригонометричен

форма на комплексно число. Операции с комплекс

числа в тригонометричен вид. Moivre формула.

Основна информация за въображаем и комплексни числа са дадени в раздела "Въображаеми и комплексни числа". Необходимостта от тези числа от нов тип се появи при решаването на квадратни уравнения за случаяд< 0 (здесь де дискриминантът на квадратното уравнение). Дълго време тези числа не намират физическа употреба, поради което се наричат ​​"въображаеми" числа. Сега обаче те се използват много широко в различни области на физиката.

и технологии: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват като:a+bi. Тук аи б – реални числа , а и – въображаема единица.д. и 2 = –1. номер аНаречен абсциса, а b - ординатакомплексно числоa + b .Две комплексни числаa+biи а-би Наречен конюгираникомплексни числа.

Основни споразумения:

1. Реално числоаможе да се запише и във форматакомплексно число:а + 0 иили а - 0 и. Например записи 5 + 0ии 5 - 0 иозначава едно и също число 5 .

2. Комплексно число 0 + биНаречен чисто въображаемо номер. Записванебиозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числаa+bi иc + diсе считат за равни, акоa = cи b = d. В противен случай комплексните числа не са равни.

Добавяне. Сборът от комплексни числаa+biи c + diсе нарича комплексно число (a+c ) + (b+d ) азПо този начин, при добавяне комплексни числа, техните абциси и ординати се добавят отделно.

Това определение следва правилата за работа с обикновени полиноми.

Изваждане. Разликата между две комплексни числаa+bi(намалено) и c + di(изваден) се нарича комплексно число (a-c ) + (б-г ) аз

По този начин, при изваждане на две комплексни числа техните абциси и ординати се изваждат поотделно.

Умножение. Произведение на комплексни числаa+biи c + di се нарича комплексно число.

(ac-bd ) + (ad+bc ) азТова определение произтича от две изисквания:

1) числа a+biи c + diтрябва да се умножава като алгебричнобиноми,

2) номер иима основно свойство:и 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а + би )(а-би) = а 2 +b 2 . следователно, работа

две спрегнати комплексни числа е равно на реалното

положително число.

дивизия. Разделяне на комплексно числоa+bi (делимо) на другоc + di(разделител) - означава да се намери третото числоe + fi(чат), което, когато се умножи по делителc + di, което води до дивидентa + b .

Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8+и ) : (2 – 3 и) .

Решение. Нека пренапишем това съотношение като дроб:

Умножаване на числителя и знаменателя му по 2 + 3и

И след извършване на всички трансформации, получаваме:

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата права:

Тук е смисълът Аозначава число -3, точкаБе числото 2 и О- нула. За разлика от тях, комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За това избираме правоъгълни (декартови) координати със същите мащаби и на двете оси. След това комплексното числоa+bi ще бъде представена с точка P с абциса a и ордината b (виж фиг.). Тази координатна система се нарича сложна равнина .

модул комплексното число се нарича дължина на вектораОП, изобразяващ комплексно число върху координатата ( интегриран) самолет. Комплексен числов модулa+biозначено с | a+bi| или писмо r

Помислете за квадратно уравнение.

Нека дефинираме нейните корени.

Няма реално число, чийто квадрат е -1. Но ако формулата дефинира оператора икато въображаема единица, тогава решението на това уравнение може да бъде записано във формата . При което и - комплексни числа, в които -1 е реалната част, 2 или във втория случай -2 е въображаемата част. Въображаемата част също е реално (реално) число. Въображаемата част, умножена по въображаемата единица, означава вече въображаемо число.

Като цяло комплексното число има формата

z = х + iy ,

където x, yса реални числа, е въображаема единица. В редица приложни науки, например в електротехниката, електрониката, теорията на сигналите, въображаемата единица се означава с j. Реални числа x = Re(z)и y=Аз съм(z)Наречен реални и въображаеми частичисла z.Изразът се нарича алгебрична формазапис на комплексно число.

Всяко реално число е частен случай на комплексно число във формата . Въображаемо число също е частен случай на комплексно число. .

Определение на множеството комплексни числа C

Този израз гласи както следва: set ОТ, състояща се от такива елементи, че хи гпринадлежат към множеството реални числа Ри е въображаемата единица. Имайте предвид, че и др.

Две комплексни числа и са равни тогава и само ако техните реални и въображаеми части са равни, т.е. и .

Комплексните числа и функции се използват широко в науката и технологиите, по-специално в механиката, анализа и изчисляването на AC вериги, аналоговата електроника, теорията и обработката на сигналите, теорията на автоматичното управление и други приложни науки.

1. Аритметика на комплексни числа

Събирането на две комплексни числа се състои в събиране на техните реални и въображаеми части, т.е.

Съответно разликата на две комплексни числа

Комплексно число Наречен комплекс конюгираниномер z=х +i.y.

Комплексно спрегнатите числа z и z * се различават по знаците на имагинерната част. Очевидно е, че

.

Всяко равенство между сложни изрази остава валидно, ако в това равенство навсякъде изаменен от - и, т.е. отидете на равенството на спрегнатите числа. Числа ии – иса алгебрично неразличими, защото .

Произведението (умножението) на две комплексни числа може да се изчисли, както следва:

Деление на две комплексни числа:

Пример:

1. Сложна равнина

Комплексно число може да бъде графично представено в правоъгълна координатна система. Нека зададем правоъгълна координатна система в равнината (x, y).

на ос волще подредим истинските части х, нарича се реална (реална) ос, на оста Ой– въображаеми части гкомплексни числа. Тя носи името въображаема ос. Освен това всяко комплексно число съответства на определена точка от равнината и такава равнина се нарича сложна равнина. Точка НОкомплексната равнина ще съответства на вектора ОА.

номер хНаречен абсцисакомплексно число, число г – ординат.

Двойка комплексно спрегнати числа се показва като точки, разположени симетрично около реалната ос.

Ако е в самолета полярна координатна система, след това всяко комплексно число zопределя се от полярните координати. При което модулчисла е полярният радиус на точката и ъгълът - неговия полярен ъгъл или аргумент за комплексно число z.

Комплексен числов модул винаги неотрицателен. Аргументът на комплексно число не е еднозначно дефиниран. Основната стойност на аргумента трябва да отговаря на условието . Всяка точка от комплексната равнина съответства и на общата стойност на аргумента. Аргументите, които се различават с кратно на 2π, се считат за равни. Числовият аргумент нула не е дефиниран.

Основната стойност на аргумента се определя от изразите:

Очевидно е, че

При което
, .

Представяне на комплексно число zкато

Наречен тригонометрична формакомплексно число.

Пример.

1. Експоненциална форма на комплексни числа

Разлагане в Серия Маклоренза реални аргументни функции изглежда като:

За експоненциалната функция на сложен аргумент zразлагането е подобно

.

Разширението в редицата на Маклорен за експоненциалната функция на въображаемия аргумент може да бъде представено като

Получената идентичност се нарича формула на Ойлер.

За отрицателен аргумент изглежда

Чрез комбиниране на тези изрази можем да дефинираме следните изрази за синус и косинус

.

Използвайки формулата на Ойлер, от тригонометричната форма на представяне на комплексни числа

на разположение демонстративен(експоненциална, полярна) форма на комплексно число, т.е. представянето му във формата

,

където - полярни координати на точка с правоъгълни координати ( х,г).

Конюгатът на комплексно число се записва в експоненциална форма, както следва.

За експоненциална форма е лесно да се дефинират следните формули за умножение и деление на комплексни числа

Тоест в експоненциална форма произведението и разделянето на комплексни числа е по-лесно, отколкото в алгебрична форма. При умножение модулите на факторите се умножават, а аргументите се добавят. Това правило важи за произволен брой фактори. По-специално, когато се умножава комплексно число zна ивектор zсе върти обратно на часовниковата стрелка с 90

При деление модулът на числителя се разделя на модула на знаменателя, а аргументът на знаменателя се изважда от аргумента на числителя.

Използвайки експоненциалната форма на комплексни числа, може да се получат изрази за добре познати тригонометрични идентичности. Например от самоличността

използвайки формулата на Ойлер, можем да запишем

Приравнявайки реалната и въображаемата част в този израз, получаваме изрази за косинус и синус на сумата от ъглите

1. Степени, корени и логаритми на комплексни числа

Повишаване на комплексно число в естествена степен нпроизведени по формулата

Пример. Изчислете .

Представете си число в тригонометричен вид

’

Прилагайки формулата за степенуване, получаваме

Поставяне на стойността в израза r= 1, получаваме т.нар Формулата на Де Моавр, с който можете да определите изразите за синусите и косинусите на множество ъгли.

корен нстепен на комплексно число zТо има нразлични стойности, определени от израза

Пример. Да намерим.

За да направите това, изразяваме комплексното число () в тригонометричната форма

.

По формулата за изчисляване на корена на комплексно число получаваме

Логаритъм на комплексно число zе число w, за което . Естественият логаритъм на комплексно число има безкраен брой стойности и се изчислява по формулата

Състои се от реални (косинус) и въображаеми (синусови) части. Такова напрежение може да се представи като вектор на дължина U m, начална фаза (ъгъл), въртяща се с ъглова скорост ω .

Освен това, ако се добавят сложни функции, тогава се добавят техните реални и въображаеми части. Ако сложна функция се умножи по константа или по реална функция, тогава нейните реални и въображаеми части се умножават по един и същ фактор. Диференцирането/интегрирането на такава сложна функция се свежда до диференциране/интегриране на реалната и въображаемата част.

Например, диференцирането на сложното изразяване на стреса

е да го умножим по iω е реалната част от функцията f(z) и е въображаемата част от функцията. Примери: .

смисъл zе представена от точка в комплексната z равнина и съответната стойност w- точка в комплексната равнина w. Когато се покаже w = f(z)равнинни линии zпреминават в линиите на самолета w, фигури от една равнина в фигури на друга, но формите на линиите или фигурите могат значително да се променят.