Как да изчислим координатите на вектор. Вектори за манекени

Най-после се докопах до една обширна и дългоочаквана тема аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел от висшата математика... Със сигурност сега си спомняте училищния курс по геометрия с многобройни теореми, техните доказателства, рисунки и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното "аналитичен"? Две щамповани математически завои веднага идват на ум: „графичен метод на решение“ и „аналитичен метод на решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченедин и същ методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични операции. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно точно да се приложат необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без рисунки, освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги доведа повече от необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна справка за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, което без шега е познато на няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, авторите - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е издържала 20 (!) Преиздания, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома. Авторите Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за висше образование, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от полезрението ми и урокът ще бъде от безценна помощ.

И двете книги са безплатни за изтегляне онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетвърху аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте повторители)

И сега ще разгледаме последователно: концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати. По-нататък препоръчвам да прочетете най-важната статия Точково произведение на вектори, както и Вектор и смесено произведение на вектори. Местната задача няма да бъде излишна - Разделяне на сегмента в това отношение. Въз основа на горната информация можете уравнение на права линия в равнинас най-простите примери за решения, което ще позволи научете как да решавате задачи по геометрия. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Концепцията за вектор. безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на отсечката е точката , краят на отсечката е точката . Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката към другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е понятието вектор да се идентифицира с движението на физическо тяло: трябва да признаете, че влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки от една равнина, пространство като т.нар нулев вектор. Такъв вектор има еднакъв край и начало.

!!! Забележка: Тук и по-долу можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага обърнаха внимание на пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че също поставят стрелка на върха! Точно така, можете да напишете със стрелка: , но допустимо и запис, който ще използвам по-късно. Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде разнообразни и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилът, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. Докато първата буква непременнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на отсечката. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака модул: ,

Как да намерим дължината на вектор, ще научим (или ще повторим, за кого как) малко по-късно.

Това беше елементарна информация за вектора, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде изчертан от всяка точка:

Използвахме да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка това е СЪЩИЯТ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в процеса на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ един или друг „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкрайно много пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има такава студентска поговорка: Всеки преподавател в f ** u във вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се прикачи и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по-често =)

Така, безплатен вектор- това е Много еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор ...“, предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е прикрепен към определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или по челото е достатъчен, за да се развие глупавият ми пример води до различни последствия. Въпреки това, не е безплатновектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правилото за разликата на векторите, умножение на вектор по число, скаларно произведение на вектори и др.Като начало повтаряме две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правило за събиране на вектори по правилото на триъгълниците

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Необходимо е да се намери сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ние отлагаме вектора от крайвектор:

Сумата от векторите е векторът . За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло направи път по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от векторите е векторът на резултантния път, започващ от точката на тръгване и завършващ в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път силно зигзагообразно или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнетевектор , тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното "колинеарни".

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съпосочен. Ако стрелките изглеждат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположно насочени.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайната икона за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са насочени противоположно).

работана ненулев вектор по число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с изображение:

Разбираме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е два пъти по-малка от дължината на вектора. Ако модулният множител е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са съпосочни. Векторите и също са съпосочни. Всеки вектор от първата група е противоположен на всеки вектор от втората група.

Какви вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са еднопосочни и имат еднаква дължина. Имайте предвид, че ко-посоката предполага, че векторите са колинеарни. Дефиницията ще бъде неточна (излишна), ако кажете: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакво насочени и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме вектори в равнина. Начертайте декартова правоъгълна координатна система и я оставете настрана от началото единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност, ние използваме думите съответно колинеарности ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния перпендикулярен знак, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Каква е основата, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, по-подробна информация можете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основаС прости думи, основата и началото на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: "орто" - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното "нормализиран" означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строг редбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено еразменете местата.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, където - числа, които се наричат векторни координатив тази основа. Но самият израз Наречен векторно разлаганебаза .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектора по базис се използват току-що разгледаните:
1) правилото за умножение на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че покварата му „ще го следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът "носи всичко със себе си". Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базови (безплатни) вектори не трябва да се отделят от началото, единият може да бъде начертан например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е нужно да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви нарисува „пас“ на неочаквано място.

Вектори, илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е сънасочен с базисния вектор, векторът е насочен срещуположно на базисния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, тя може да бъде щателно написана, както следва:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не ви казах за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. И така, разширенията на векторите "de" и "e" се записват спокойно като сума: . Следвайте чертежа, за да видите колко добре работи доброто старо събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледана декомпозиция на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата орт(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите варианта на запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега помислете за векторите в триизмерното пространство, тук всичко е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се изпълняват триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от произхода:

Всякакви 3d космически вектор единствения начинразширяване в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадения базис.

Пример от снимката: . Нека да видим как работят правилата за векторни действия тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са свободни, опитайте се психически да отложите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разширяване „остава с него“.

Подобно на случая със самолета, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава вместо тях се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам .

Базисните вектори се записват, както следва:

Тук може би са всички минимални теоретични знания, необходими за решаване на задачи на аналитичната геометрия. Може би има твърде много термини и определения, така че препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок за по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална база, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в това, което следва. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на субекта. За подробна теоретична информация моля да се поклоните на професор Атанасян.

Сега да преминем към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Задачите, които ще се разглеждат, е силно желателно да се научите да ги решавате напълно автоматично, а формулите запаметявам, дори не го помнете нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки. Не е нужно да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули ... ще видите сами.

Как да намеря вектор с две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати векторно начало.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки в равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следната нотация:

Естетите ще решат така:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Съгласно условието не е необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да обясня някои точки на манекени, няма да бъда твърде мързелив:

Трябва да се разбере разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точкиса обичайните координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да начертае точки в координатната равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на същия векторе нейното разширяване спрямо основата , в случая . Всеки вектор е свободен, следователно, ако желаете или е необходимо, можем лесно да го отложим от друга точка в равнината. Интересното е, че за вектори изобщо не можете да построите оси, правоъгълна координатна система, имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на точкови координати и векторни координати изглеждат подобни: , и чувство за координатиабсолютно различно, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за космоса.

Дами и господа, пълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки и . Намерете вектори и .
в) Дадени точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би достатъчно. Това са примери за самостоятелно решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Чертежи не са задължителни. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи на аналитичната геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Извинявам се предварително ако съм сгрешил =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 cm (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но в него има няколко важни момента, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важен технически трик – изваждане на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждане на множителя изпод корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, оставянето на отговора във формуляра няма да е грешка – но определено е недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често се получава достатъчно голям брой под корена, например. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете напълно, така: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим напълно неизвличащо се число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В процеса на решаване на различни задачи често се откриват корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележката на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и другите степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

На абсцисата и ординатната ос се наричат координати вектор. Координатите на вектора обикновено се посочват във формуляра (x, y), а самият вектор като: = (x, y).

Формулата за определяне на координатите на вектор за двумерни задачи.

В случай на двумерна задача, вектор с известни координати на точки A(x 1; y 1)и Б(х 2 ; г 2 ) може да се изчисли:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формулата за определяне на координатите на вектор за пространствени задачи.

В случай на пространствен проблем, вектор с известни координати на точкиА (x 1; y 1;z 1 ) и Б (х 2 ; г 2 ; z 2 ) може да се изчисли по формулата:

= (х 2 - х 1 ; г 2 - г 1 ; z 2 - z 1 ).

Координатите дават цялостно описание на вектора, тъй като е възможно да се конструира самият вектор от координатите. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли и дължина на вектора. (Имот 3 по-долу).

Свойства на векторните координати.

1. Всякакви равни векторив една координатна система имат равни координати.

2. Координати колинеарни векторипропорционален. При условие, че нито един от векторите не е равен на нула.

3. Квадратът на дължината на произволен вектор е равен на сумата от неговите квадрати координати.

4.Когато операцията векторни умноженияна реално числовсяка негова координата се умножава по това число.

5. По време на операцията на векторно добавяне, ние изчисляваме сумата на съответния векторни координати.

6. Скаларно произведениена два вектора е равно на сумата от произведенията на съответните им координати.

Намирането на координатите на вектор е доста често срещано условие за много задачи в математиката. Способността да намерите координатите на вектор ще ви помогне при други, по-сложни задачи с подобни теми. В тази статия ще разгледаме формулата за намиране на координатите на вектор и няколко задачи.

Намиране на координатите на вектор в равнина

Какво е самолет? Равнината е двуизмерно пространство, пространство с две измерения (измерение x и измерение y). Например хартията е плоска. Повърхността на масата е плоска. Всяка необемна фигура (квадрат, триъгълник, трапец) също е равнина. По този начин, ако в условието на проблема е необходимо да се намерят координатите на вектор, който лежи на равнина, веднага си спомняме x и y. Можете да намерите координатите на такъв вектор, както следва: AB координати на вектора = (xB - xA; yB - xA). От формулата се вижда, че координатите на началната точка трябва да се извадят от координатите на крайната точка.

Пример:

• Векторът CD има начална (5; 6) и крайна (7; 8) координати.
• Намерете координатите на самия вектор.
• Използвайки горната формула, получаваме следния израз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Така координатите на вектора CD = (2; 2).
• Съответно координатата x е равна на две, координатата y също е две.

Намиране на координатите на вектор в пространството

Какво е пространство? Пространството вече е триизмерно измерение, където са дадени 3 координати: x, y, z. Ако трябва да намерите вектор, който лежи в пространството, формулата практически не се променя. Добавя се само една координата. За да намерите вектора, трябва да извадите началните координати от крайните координати. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Пример:

• Вектор DF има начален (2; 3; 1) и краен (1; 5; 2).
• Прилагайки горната формула, получаваме: Векторни координати DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Не забравяйте, че стойността на координатите може да бъде отрицателна, няма проблем с това.

Как да намеря векторни координати онлайн?

Ако по някаква причина не искате сами да намерите координатите, можете да използвате онлайн калкулатора. Първо изберете размера на вектора. Размерността на вектора отговаря за неговите размери. Размерност 3 означава, че векторът е в пространството, размерност 2 означава, че е в равнината. След това въведете координатите на точките в съответните полета и програмата сама ще определи координатите на вектора. Всичко е много просто.

Като щракнете върху бутона, страницата автоматично ще се превърти надолу и ще ви даде правилния отговор заедно със стъпките за решение.

Препоръчително е тази тема да се изучава добре, тъй като концепцията за вектор се намира не само в математиката, но и във физиката. Студентите от Факултета по информационни технологии също изучават темата за векторите, но на по-комплексно ниво.

Аналитична геометрия

		седмица	Оценка за модула в точки
		контрол на модула
			Максимум		минимум
Семестър 1
ДЗ №1, част 1
ДЗ №1, част 2
Модулно управление №1
наградни точки
Модулно управление №2
наградни точки

Контролни дейности и срокове за изпълнението им Модул 1

1. ДЗ №1 част 1 "Векторна алгебра" Срок на издаване 2 седмици, срок - 7 седмици

2. ДЗ №1 част 2 "Прави и равнини"

Срок на доставка 1 седмица, срок на доставка - 9 седмици

3. Модулен контрол № 1 (РК № 1) "Векторна алгебра, прави и равнини." Срок - 10 седмици

1. ДЗ № 2 „Криви и повърхнини 2-ра поръчка „Срок на издаване 6 седмици, срок на доставка – 13 седмици

5. Тест „Криви и повърхнини 2-ра поръчка. Срок - 14 седмици

6. Модулен контрол № 2 (РК № 2) "Матрици и системи от линейни алгебрични уравнения"

Срок - 16 седмици

Типични задачи, използвани при формиране на варианти за текущ контрол

1. Домашна работа номер 1. „Векторна алгебра и аналитична геометрия“

Дадени са: точки A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0) ; числа 30,				b1; ъгъл
1. Намерете дължината на вектора |		n | , ако			p aq,	n bp q	и p, q са единица

вектори, ъгълът между които е равен.

2. Намерете координатите на точката M, разделяща вектора AB спрямо a :1 .

3. Проверете дали е възможно на вектори AB и AD построяват успоредник. Ако да, тогава намерете дължините на страните на успоредника.

4. Намерете ъглите между диагоналите на успоредника ABCD.

5. Намерете лицето на успоредника ABCD.

6. Уверете се, че векторите AB , AD , AA 1 можете да построите паралелепипед. Намерете обема на този паралелепипед и дължината на височината му.

7. Намерете векторни координати AH , насочена по височината на паралелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , прекаран от точка A към основната равнина A 1 B 1 C 1 D 1 ,

координатите на точката H и координатите на единичния вектор, съвпадащ по посока с вектора AH .

8. Намерете разлагането на вектора AH чрез вектори AB , AD , AA 1 .

9. Намерете проекцията на вектор AH към вектор AA 1 .

10. Напишете уравненията на равнините: а) P, минаващи през точките A, B, D;

b) P1, минаваща през точка A и права A1 B1 ;

в) P2, минаваща през точка A1 успоредна на равнината P; d) P3, съдържащ линии AD и AA1;

д) P4, минаваща през точки A и C1 перпендикулярно на равнината P.

11. Намерете разстоянието между правите, на които лежат ръбовете AB и CCедин ; напишете каноничните и параметричните уравнения на общия перпендикуляр към тях.

12. Намерете точка A 2, симетрична на точка A1 по отношение на равнината на основата

13. Намерете ъгъла между правата, върху която лежи диагоналът A 1 C и основна равнина ABCD.

14. Намерете остър ъгъл между равнините ABC 1 D (равнина P) и ABB1 A1 (равнина P1).

2. Домашна работа #2. "Криви и повърхнини от втори ред"

В задачи 1–2 даденото уравнение на правата от втори ред се привежда до каноничен вид и кривата се построява в координатната система OXY.

AT задача 3, като използвате дадените данни, намерете уравнението на кривата в координатната система OXY. За задачи 1–3 означават:

1) канонична форма на уравнението на линията;

2) паралелна трансферна трансформация, водеща до канонична форма;

3) при елипса: полуоси, ексцентричност, център, върхове, фокуси, разстояния от точка С до фокуси; при хипербола: полуоси, ексцентричност, център, върхове, фокуси, разстояния от точка С до фокуси, асимптотни уравнения; в случай на парабола: параметър, връх, фокус, уравнение на директрисата, разстояния от точка C до фокуса и директрисата;

4) за точка C проверете свойството, характеризиращо дадения тип криви като геометрично място на точките.

AT В задача 4 посочете паралелната транслационна трансформация, която редуцира даденото уравнение на повърхността до каноничната форма, каноничната форма на уравнението на повърхността и вида на повърхността. Построяване на повърхност в каноничната координатна система OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Параболата е симетрична спрямо правата y 1 0 , има фокус							; 1 ,
	пресича оста OX в точка С				; 0 , а клоновете му лежат в полуравнината	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Модулен контрол № 1 „Векторна алгебра. Аналитична геометрия"

1. Дясна и лява тройка вектори. Дефиниция на кръстосано произведение на вектори. Формулирайте свойствата на векторното произведение на векторите. Изведете формула за изчисляване на кръстосаното произведение на два вектора, дадени от техните координати в ортонормална основа.

вектори

аз н,

м н,

1, m, n

Може би,

векторно разлагане

c 3 i

12j6k

вектори

3 j 2 k и b 2 i 3 j 4 k .

Напишете уравнение за равнината

минаваща през точките M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 и

перпендикулярна на равнината

6x 5y 4z 1 0. Настройте канонични уравнения

права, минаваща през точката M 0 0, 2,1 и ортогонална на намерената равнина.

Тест "Криви и повърхнини от втори ред"

1. Дефиниция на елипса като геометрично място на точките. Извеждане на каноничното уравнение на елипса в правоъгълна декартова координатна система. Основните параметри на кривата.

2. Уравнение на повърхността x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 води до каноничното

ум. Направете чертеж в каноничната координатна система. Посочете името на тази повърхност.

3. Напишете уравнение за равноосна хипербола, ако са известни нейният център O 1 1, 1 и един от фокусите й F 1 3, 1. Направете рисунка.

Модулен контрол № 2 „Криви и повърхнини от втори ред. Матрици и системи от линейни алгебрични уравнения»

1. Хомогенни системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Форми за писане на еднородна СЛАЕ. Доказателство за критерий за съществуването на ненулеви решения на хомогенна SLAE.

2. Решете матричното уравнение AX B,

Направете проверка.

3. а) Решете SLAE. б) Намерете нормална фундаментална система от решения на съответната хомогенна система, частно решение на нееднородната система; напишете чрез тях общото решение на тази нехомогенна система:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Въпроси за подготовка за модулни контролни, контролни, контролни и изпитни

1. Геометрични вектори. Безплатни вектори. Дефиниция на колинеарни и компланарни вектори. Линейни операции върху вектори и техните свойства.

2. Определение за линейна зависимост и линейна независимост на векторите. Доказателство за условията на линейна зависимост 2 и 3 вектора.

3. Дефиниране на базис в пространства от вектори V1, V2, V3. Доказателство на теоремата за съществуването и единствеността на разлагането на вектор по базис. Линейни операции върху вектори, зададени от техните координати в базиса.

4. Определение на скаларното произведение на векторите, връзката му с ортогоналната проекция на вектор върху ос. Свойства на скаларното произведение, тяхното доказателство. Извеждане на формулата за изчисляване на скаларното произведение на вектори в ортонормиран базис.

5. Дефиниция на ортонормална основа. Връзка между координатите на вектор в ортонормална база и неговите ортогонални проекции върху векторите на тази база. Извеждане на формули за изчисляване на дължината на вектор, неговите насочващи косинуси, ъгъла между два вектора в ортонормална основа.

6. Дясна и лява тройка вектори. Определение на кръстосаното произведение на вектори, неговото механично и геометрично значение. Кръстосани свойства на продукта (бездок-ва). Извеждане на формулата за изчисляване на кръстосаното произведение в ортонормална база.

7. Дефиниция на смесеното произведение на вектори. Обемът на паралелепипеда и обемът на пирамидата, изградени върху некомпланарни вектори. Условие на компланарност за три вектора. Свойства на смесен продукт. Извеждане на формулата за изчисляване на смесения продукт в ортонормална база.

8. Дефиниция на правоъгълна декартова координатна система. Решение на най-простите задачи на аналитичната геометрия.

9. Различни видове уравнение на права линия в равнина: векторно, параметрично, канонично. Векторът на посоката е прав.

10. Извеждане на уравнението на права, минаваща през две дадени точки.

11. Доказателство на теоремата, че в правоъгълна декартова координатна система върху равнина уравнение от първа степен определя права линия. Дефиниция на нормален вектор на права линия.

12. Уравнение с наклонен коефициент, уравнение на права линия “отсечки”. Геометричното значение на параметрите, включени в уравненията. Ъгъл между две прави. Условия на паралелност и перпендикулярност на две прави, дадени от техните общи или канонични уравнения.

13. Извеждане на формулата за разстоянието от точка до права на равнина.

14. Доказателство на теоремата, че в правоъгълна декартова координатна система в пространството уравнение от първа степен определя равнина. Общо уравнение на равнината. Дефиниция на нормалния вектор на равнината. Извеждане на уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки. Уравнение на равнината "в сегменти".

15. Ъгъл между равнините. Условия на успоредност и перпендикулярност на две равнини.

16. Извеждане на формулата за разстоянието от точка до равнина.

17. Общи уравнения на права линия в пространството. Извеждане на векторни, канонични и параметрични уравнения на права линия в пространството.

18. Ъгъл между две прави в пространството, условия на успоредност и перпендикулярност на две прави. Условия две прави да принадлежат на една и съща равнина.

19. Ъгъл между права и равнина, условия на успоредност и перпендикулярност на права и равнина. Условието за принадлежност към права от дадена равнина.

20. Проблемът за намиране на разстоянието между пресичащи се или успоредни прави.

21. Дефиниция на елипса като геометрично място на точките. Извеждане на каноничното уравнение на елипсата.

22. Дефиниция на хипербола като геометрично място на точки. Извеждане на каноничното уравнение на хипербола.

23. Дефиниция на парабола като геометрично място на точки. Извеждане на уравнението на каноничната парабола.

24. Дефиниция на цилиндрична повърхност. Канонични уравнения на цилиндрични повърхнини 2-ра поръчка.

25. Концепцията за повърхността на въртене. Канонични уравнения на повърхнини, образувани от въртенето на елипса, хипербола и парабола.

26. Канонични уравнения на елипсоид и конус. Изследване на формата на тези повърхности по метода на сечението.

27. Канонични уравнения на хиперболоиди. Изследване на формата на хиперболоидите по метода на сеченията.

28. Канонични уравнения на параболоиди. Изследване на формата на параболоидите по метода на сеченията.

29. Концепцията за матрица. Видове матрици. Матрично равенство. Линейни операции върху матрици и техните свойства. Транспониране на матрица.

30. Матрично умножение. Свойства на операцията умножение на матрица.

31. Дефиниция на обратна матрица. Доказателство за уникалността на обратната матрица. Доказателство на теоремата за обратната матрица за произведението на две обратими матрици.

32. Критерий за съществуване на обратна матрица. Концепцията за асоциираната матрица, нейната връзка с обратната матрица.

33. Извеждане на формулите на Крамер за решаване на система от линейни уравнения с неизродена квадратна матрица.

34. Линейна зависимост и линейна независимост на редове (колони) на матрица. Доказателство на критерия за линейна зависимост на редове (колони).

35. Дефиниция на матричен минор. Основен минор. Основна малка теорема (без докуа). Доказателство на неговото следствие за квадратни матрици.

36. Метод на периферни второстепенни за намиране на ранга на матрица.

37. Елементарни трансформации на редове (колони) на матрица. Намиране на обратната матрица чрез метода на елементарните трансформации.

38. Теорема за инвариантност на ранга на матрицата при елементарни трансформации. Намиране на ранг на матрица по метода на елементарните преобразувания.

39. Системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Различни форми на писане на SLAE. Ставни и неставни SLAE. Доказателство за критерия на Кронекер-Капели за съвместимост на SLAE.

40. Хомогенни системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Свойства на техните разтвори.

41. Дефиниция на фундаментална система от решения (FSR) на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Теорема за структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Изграждане на FSR.

42. Нехомогенни системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Доказателство на теоремата за структурата на общото решение на нехомогенна СЛАУ.

Контролно събитие	Брой задачи	Точки за задачата
ДЗ №1, част 1
Спечелени точки
Контролно събитие	Брой задачи	Точки за задачата
ДЗ №1, част 2
Спечелени точки

Контролно събитие				Брой задачи			Точки за задачата
Модулно управление №1				1 теория и 3 задачи			теория - 0; 3; 6
							задачи - 0; един; 2
			Спечелени точки
Контролно събитие				Брой задачи			Точки за задачата
	Спечелени точки
Контролно събитие				Брой задачи			Точки за задачата
				1 теория и 3 задачи			теория - 0; 3; 6
							задачи - 0; един; 2
			Спечелени точки
						01 теория и 3 задачи			теория - 0; 3; 6
		задачи - 0; един; 2
			Спечелени точки

Правила за оценяване на дневника

1. Точки за ДЗ. Точките за ДЗ се определят следващата седмица след термина, съгласно съответната таблица. Студентът има право да предава индивидуални задачи за проверка преди крайния срок и да коригира отбелязаните от преподавателя грешки, като получава необходимите консултации. Ако до крайния срок за подаване на ДЗ ученикът доведе решението на задачата до верния вариант, тогава му се дава максимална оценка за тази задача. След изтичане на срока за предаване на ДЗ ученик, който не е изкарал минималния бал за ДЗ, може да продължи да работи по заданието. В същото време, в случай на успешна работа, ученикът получава минимален резултат за DZ.

2. Точки за CR. Ако студентът не достигне минималния резултат за CR навреме, тогава през семестъра той може да пренапише тази работа два пъти. При положителен резултат (набор от точки не по-малко от установения минимум) на студента се дава минималната оценка за KR.

3. Точки за "модулен контрол".Като “модулен контрол” се предлага писмена работа, състояща се от теоретична и практическа част. Всяка част от контролния модул се оценява отделно. Студент, който е получил оценка не по-ниска от минималната в една от частите на контрола, се счита за издържал тази част и се освобождава от нейното провеждане в бъдеще. По преценка на преподавателя може да се проведе събеседване върху теоретичната част на заданието. Ако студентът не получи минималния резултат за всяка част от работата, тогава през семестъра той има два опита за всяка част, за да коригира ситуацията. С положителен

В резултат (набор от точки не по-малко от установения минимум) на студента се дава минималната оценка за "модулен контрол".

4. Оценка по модул.Ако студентът е изпълнил всички текущи контролни дейности на модула (постигнал поне установения минимален резултат),

тогава оценката за модула е сборът от точки за всички контролни дейности на модула (в този случай студентът автоматично постига най-малко минималния праг). Окончателните точки от модула се вписват в дневника след приключване на всички контролни дейности.

5. Общ резултат. Сбор от точки за два модула.

6. Оценяване. Окончателното удостоверяване (изпит, диференциран тест, тест) се извършва въз основа на резултатите от работата през семестъра, след като студентът е изпълнил планирания обем учебна работа и е получил оценка за всеки модул, която не е по-ниска от установения минимум. Максималната оценка за всички модули, включително точките за старание, е 100, минималната е 60. Сумата от точките за всички модули формира рейтингова оценка за дисциплината за семестъра. Студент, издържал всички контролни мерки, получава окончателна оценка по дисциплината за семестъра в съответствие със скалата:

		оценка от изпита,	Оценка при офсет
		диференцирано класиране
		задоволително
		незадоволителен

Можете да увеличите рейтинга си и следователно оценката от изпита на финалния изпит (писмената работа върху материала на дисциплината като цяло се извършва по време на изпитната сесия), максималната оценка е 30, минималната е 16. Тези точки се сумират с получените точки за всички модули по дисциплината. В същото време, за да се повиши оценката до „добър“ за изпита, студентът трябва да получи най-малко 21 точки, до „отличен“ ─ поне 26 точки. За специалности, в които се дава кредит по дисциплина, оценката не се повишава. Студентите, които към началото на изпитната сесия имат рейтинг от 0 до 59, получават необходимия минимум за положителна оценка по дисциплината чрез повторно полагане на незачетени по-рано контролни събития за отделните модули. В същото време студентите, които нямат основателна причина, могат евентуално (до края на изпитната сесия) да получат оценка не по-висока от „задоволителна“.