Преобразуване на Гаус. Примери за решаване на блатото по метода на Гаус

Системно решение линейни уравненияМетод на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно изключванесе извикват неизвестни променливи директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича наопакиМетод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение общ изгледи след това заменете стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с такива, които имат безкрайно много решения. Или изобщо го нямат.

Какво означава Гаус?

Първо трябва да запишете нашата система от уравнения в Изглежда така. Системата е взета:

Коефициентите са изписани под формата на таблица, а вдясно в отделна колона - безплатни членове. Колоната със свободните членове е отделена за удобство, матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.

Освен това основната матрица с коефициенти трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, така че в долната лява част да има само нули:

След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, която след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.

Това описание на решението по метода на Гаус в най-много в общи линии. И какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или има безкраен брой от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани в решението по метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

Нито един скрит смисълне в матрицата. Това е просто удобен начин за запис на данни за по-късни операции. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждане на матрица триъгълна, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите могат да бъдат пропуснати, но те се подразбират.

Матрицата има размер. Неговата "ширина" е броят на редовете (m), неговата "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (обикновено се използват главни букви за тяхното означаване) писма) ще бъде означено като A m×n . Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна и m=n е нейният ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.

B не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще се окаже много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Откриването на значението му сега не си струва, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин да намерите детерминантата е чрез диагонали. Въображаеми диагонали се изчертават в матрицата; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават, а след това получените произведения се събират: диагонали с наклон надясно - със знак "плюс", с наклон наляво - със знак "минус".

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрицаможете да направите следното: от броя на редовете и броя на колоните изберете най-малкия (нека бъде k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите, разположени в пресечната точка на избраните колони и редове, ще съставят нов квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, тогава тя се нарича базов минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да продължите с решаването на системата от уравнения по метода на Гаус, не боли да изчислите детерминантата. Ако се окаже, че е нула, веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Системна класификация

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на неговия ненулев детерминант (запомняне на около основен минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).

Според това как стоят нещата с ранга, SLAE може да се раздели на:

• Става. Прина съвместните системи рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно едно, така че в допълнение ставни системиразделена на:
• - определени- наличие на уникално решение. В някои системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
• - безсрочен -с безкраен брой решения. Рангът на матриците за такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
• Несъвместим. Прив такива системи ранговете на основната и разширената матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.

Методът на Гаус е добър с това, че позволява да се получи или недвусмислено доказателство за непоследователността на системата (без да се изчисляват детерминантите на големи матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения по време на решението.

Елементарни трансформации

Преди да преминете директно към решението на системата, е възможно да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации – такива, че изпълнението им по никакъв начин не променя крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък на тези трансформации:

1. Пермутация на низове. Очевидно е, че ако променим реда на уравненията в системния запис, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно е възможно също така да се разменят редове в матрицата на тази система, без да се забравя, разбира се, за колоната на свободните членове.
2. Умножаване на всички елементи на низ по някакъв коефициент. Много полезно! Може да се използва за скъсяване големи числав матрицата или премахване на нули. Наборът от решения, както обикновено, няма да се промени и ще стане по-удобно да извършвате допълнителни операции. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
3. Изтриване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предходния параграф. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или отново повече) абсолютно еднакви реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
4. Премахване на нулевата линия. Ако в хода на трансформациите някъде се получи низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да бъде наречен нула и изхвърлен от матрицата.
5. Добавяне към елементите на един ред на елементите на друг (в съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-неясната и най-важна трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.

Добавяне на низ, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да разглобите този процес стъпка по стъпка. От матрицата се вземат два реда:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да предположим, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

След това в матрицата вторият ред се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавянето на два низа един от елементите на новия низ да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в системата, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се направи отново и да получите уравнение, което вече ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път, когато обръщаме на нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от първоначалния, тогава можем, като стъпала, да слезем до дъното на матрицата и да получим уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корена. Можете да го запишете така:

Основната матрица се съставя от коефициентите на системата. Колона с безплатни членове се добавя към разширената матрица и се разделя с лента за удобство.

• първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 / a 11);
• добавени са първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
• вместо втория ред в матрицата се вмъква резултатът от добавянето от предходния параграф;
• сега първият коефициент в нов вторилинията е a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата поредица от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно във всяка стъпка от алгоритъма елементът a 21 се заменя с 31 . След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, в която първият елемент в редовете е равен на нула. Сега трябва да забравим за ред номер едно и да изпълним същия алгоритъм, започвайки от втория ред:

• коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
• резултатът от добавянето се замества в третия, четвъртия и така нататък редове, докато първият и вторият остават непроменени;
• в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че алгоритъмът последно е изпълняван само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и свободният член са известни и чрез тях се изразява коренът: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така нататък по аналогия: всеки следващ ред съдържа нов корен, и достигайки "върха" на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единственият.

Когато няма решения

Ако в една от матрични редовевсички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на тази линия, изглежда като 0 = b. Няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава множеството от решения на цялата система е празно, тоест е изродено.

Когато има безкраен брой решения

Може да се окаже, че в намалената триъгълна матрица няма редове с един елемент - коефициентът на уравнението, и един - свободен член. Има само низове, които, когато бъдат пренаписани, биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направя?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни са тези, които стоят "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи са записани чрез свободните.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където е останала точно една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля от другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива се замества полученият за нея израз. Ако в резултат на това отново се появи израз, съдържащ само една основна променлива, той отново се изразява оттам и така нататък, докато всяка основна променлива се запише като израз със свободни променливи. Това е, което е общо решениеСЛАУ.

Можете също да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкрайно много конкретни решения.

Решение с конкретни примери

Ето я системата от уравнения.

За удобство е по-добре веднага да създадете неговата матрица

Известно е, че при решаване по метода на Гаус уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи на останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в съставената матрица ще бъде изгодно да поставите втория на мястото на първия ред.

втори ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Сега, за да не се объркате, е необходимо да запишете матрицата с междинни резултатитрансформации.

Очевидно е, че такава матрица може да се направи по-удобна за възприемане с помощта на някои операции. Например, можете да премахнете всички "минуси" от втория ред, като умножите всеки елемент по "-1".

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да съкратите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - в същото време, за да премахнете отрицателни стойности).

Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножени по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 дроби и едва тогава, когато отговорите бъдат получени, решете дали да закръглите и преведете в друга форма на нотация)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което може да се направи тук, е да се премахне от третия ред общ коефициент "-1/7".

Сега всичко е красиво. Въпросът е малък - напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и изчислете корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И първото уравнение ви позволява да намерите x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ние имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест имаща уникално решение. Отговорът се изписва в следната форма:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределена система

Решение определена системае анализиран по метода на Гаус, сега е необходимо да разгледаме случая, ако системата е неопределена, тоест за нея могат да бъдат намерени безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата поява на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на матрицата на системата вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-голям редквадратен детерминант - 4. Следователно решенията съществуват безкрайно множество, като е необходимо да се търси общата му форма. Методът на Гаус за линейни уравнения прави възможно това.

Първо, както обикновено, се компилира разширената матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да пипате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Умножавайки последователно елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти и добавяйки ги към желаните редове, получаваме матрицата следния вид:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, които са пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са еднакви, така че един от тях може да бъде премахнат незабавно, а останалите да се умножат по коефициента "-1" и да се получи ред номер 3. И отново, оставете един от двата еднакви реда.

Оказа се такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи при коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, и безплатни - всички останали.

Второто уравнение има само една основна променлива - x 2 . Следователно може да се изрази оттам, като се записват променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са свободни.

Заместваме получения израз в първото уравнение.

Оказа се уравнение, в което единствената основна променлива е x 1. Нека направим с него същото като с x 2 .

Всички основни променливи, от които има две, са изразени чрез три свободни, сега можете да напишете отговора в общ вид.

Можете също така да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за несъвместима система

Най-бързо е решаването на противоречиви системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и досаден, изчезва. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, матрицата се съставя:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до стъпаловидна форма:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение на формата

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът е празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод за решаване на SLAE на хартия с химикалка, тогава методът, който беше разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. AT елементарни трансформациимного по-трудно е да се объркате, отколкото се случва, ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, напр. електронни таблици, се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, второстепенни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешка, по-целесъобразно е да използвате матричен методили формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляване на детерминанти и обратни матрици.

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство "за манекени", трябва да се каже, че най-лесното място за поставяне на метода са електронни таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрици (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминантата. Ако тази отнемаща време задача се замени с една команда, е много по-бързо да се определи ранга на матрицата и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.

The онлайн калкулаторнамира решение на системата от линейни уравнения (SLE) по метода на Гаус. дадено подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите и броя на уравненията. След това въведете данните в клетките и щракнете върху „Изчисли“.

х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 = = =

Представяне на числа:

Цели числа и (или) Обикновени дроби
Цели числа и/или десетични числа

Брой цифри след десетичния разделител

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Метод на Гаус

Методът на Гаус е метод за преход от оригиналната система от линейни уравнения (с помощта на еквивалентни трансформации) към система, която е по-лесна за решаване от оригиналната система.

Еквивалентните трансформации на системата от линейни уравнения са:

• размяна на две уравнения в системата,
• умножение на всяко уравнение в системата с различно от нула реално число,
• добавяне към едно уравнение на друго уравнение, умножено по произволно число.

Помислете за система от линейни уравнения:

(1)

Записваме система (1) в матрична форма:

брадва=b

(2)

(3)

Асе нарича коефициентна матрица на системата, b − дясна частограничения х− вектор от променливи, които трябва да бъдат намерени. Нека се класира( А)=стр.

Еквивалентните трансформации не променят ранга на коефициентната матрица и ранга на разширената матрица на системата. Наборът от решения на системата също не се променя кога еквивалентни трансформации. Същността на метода на Гаус е да се приведе матрицата на коефициентите Адо диагонал или стъпало.

Нека изградим разширената матрица на системата:

На следващия етап нулираме всички елементи от колона 2, под елемента. Ако даденият елемент е нула, тогава този ред се заменя с реда, лежащ под дадения ред и имащ различен от нула елемент във втората колона. След това нулираме всички елементи от колона 2 под водещия елемент а 22. За да направите това, добавете редове 3, ... мс ред 2, умножен по − а 32 /а 22 , ..., −а m2 / а 22, съответно. Продължавайки процедурата, получаваме матрица от диагонал или стъпаловиден тип. Нека получената разширена матрица изглежда така:

(7)

защото rankA=ранг(A|b), тогава множеството от решения (7) е ( n−p) е разновидност. Следователно n−pнеизвестните могат да бъдат избрани произволно. Останалите неизвестни от системата (7) се изчисляват по следния начин. От последното уравнение изразяваме х p през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази. След това, от предпоследното уравнение, изразяваме х p−1 през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази и т.н. Помислете за метода на Гаус конкретни примери.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пример 1. Намерете общото решение на система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

Изключете елементите от 1-вата колона на матрицата под елемента аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -2/3, -1/2:

Разделяме всеки ред от матрицата на съответния водещ елемент (ако водещият елемент съществува):

Замествайки горните изрази в долните, получаваме решението.

Още от началото на 16-18 век математиците започват интензивно да изучават функциите, благодарение на които толкова много се е променило в живота ни. Компютърна технологиябез това знание просто нямаше да съществува. За решения предизвикателни задачи, създадени са линейни уравнения и функции различни концепции, теореми и методи за решаване. Един от тези универсални и рационални методи и техники за решаване на линейни уравнения и техните системи беше методът на Гаус. Матрици, техният ранг, детерминанта - всичко може да се изчисли без използване на сложни операции.

Какво е SLAU

В математиката съществува понятието SLAE - линейна система алгебрични уравнения. Какво представлява тя? Това е набор от m уравнения с необходимите n неизвестни, обикновено обозначени като x, y, z или x 1 , x 2 ... x n или други символи. Решете по метода на Гаус тази система- означава да се намерят всички необходими неизвестни. Ако системата има същото числонеизвестни и уравнения, тогава тя се нарича система от n-ти ред.

Най-популярните методи за решаване на SLAE

AT образователни институциисредното образование изучават различни техники за решаване на такива системи. Най-често това прости уравнения, състоящ се от две неизвестни, така че всяко съществуващ методняма да отнеме много време да намерим отговори на тях. Може да бъде като метод на заместване, когато друго уравнение се извлича от едно уравнение и се замества в оригиналното. Или член по член изваждане и събиране. Но методът на Гаус се счита за най-лесният и универсален. Това дава възможност за решаване на уравнения с произволен брой неизвестни. Защо тази техника се счита за рационална? Всичко е просто. Матричен методхубавото е, че тук не се изисква да пренаписвате ненужни знаци няколко пъти под формата на неизвестни, достатъчно е да правите аритметични операции с коефициентите - и ще получите надежден резултат.

Къде се използват SLAE на практика?

Решението на SLAE са точките на пресичане на прави върху графиките на функциите. В нашата високотехнологична компютърна ера хората, които са тясно ангажирани с разработването на игри и други програми, трябва да знаят как да решават такива системи, какво представляват и как да проверят правилността на получения резултат. Най-често програмистите разработват специални калкулатори за линейна алгебра, това включва система от линейни уравнения. Методът на Гаус ви позволява да изчислите всички съществуващи решения. Използват се и други опростени формули и техники.

Критерий за съвместимост на SLAE

Такава система може да бъде решена само ако е съвместима. За по-голяма яснота представяме SLAE във формата Ax=b. Има решение, ако rang(A) е равно на rang(A,b). В този случай (A,b) е матрица с разширена форма, която може да бъде получена от матрица A чрез пренаписването й със свободни членове. Оказва се, че решаването на линейни уравнения по метода на Гаус е доста лесно.

Може би някои обозначения не са напълно ясни, така че е необходимо да се разгледа всичко с пример. Да кажем, че има система: x+y=1; 2x-3y=6. Състои се само от две уравнения, в които има 2 неизвестни. Системата ще има решение само ако рангът на нейната матрица е равен на ранга на разширената матрица. Какво е ранг? Това е броят на независимите линии на системата. В нашия случай рангът на матрицата е 2. Матрица А ще се състои от коефициентите, разположени близо до неизвестните, а коефициентите зад знака "=" също ще се поберат в разширената матрица.

Защо SLAE може да бъде представен в матрична форма

Въз основа на критерия за съвместимост съгласно доказаната теорема на Кронекер-Капели, системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде представена в матрична форма. Използвайки каскадния метод на Гаус, можете да решите матрицата и да получите единствения надежден отговор за цялата система. Ако рангът на обикновена матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица, но по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой отговори.

Матрични трансформации

Преди да преминете към решаване на матрици, е необходимо да знаете какви действия могат да се извършват върху техните елементи. Има няколко елементарни трансформации:

• Пренаписване на системата към матричен изгледи реализирайки неговото решение, е възможно всички елементи на серията да се умножат по един и същи коефициент.
• За да се преобразува матрица в канонична форма, два паралелни реда могат да бъдат разменени. Каноничната форма предполага, че всички елементи на матрицата, които са разположени по главния диагонал, стават единици, а останалите стават нули.
• Съответните елементи на паралелните редове на матрицата могат да се добавят един към друг.

Метод на Джордан-Гаус

Същността на решаването на системи от линейни хомогенни и нехомогенни уравненияМетодът на Гаус е постепенното премахване на неизвестните. Да кажем, че имаме система от две уравнения, в които има две неизвестни. За да ги намерите, трябва да проверите системата за съвместимост. Уравнението на Гаус се решава много просто. Необходимо е да се изпишат коефициентите, разположени близо до всяко неизвестно в матрична форма. За да разрешите системата, трябва да напишете разширената матрица. Ако едно от уравненията съдържа по-малък брой неизвестни, тогава на мястото на липсващия елемент трябва да се постави "0". Към матрицата се прилагат всички известни методи на трансформация: умножение, деление на число, добавяне на съответните елементи на редовете един към друг и други. Оказва се, че във всеки ред е необходимо да оставите една променлива със стойност "1", останалите водят до нулев ум. За по-точно разбиране е необходимо да разгледаме метода на Гаус с примери.

Прост пример за решаване на система 2x2

Като начало, нека вземем проста система от алгебрични уравнения, в която ще има 2 неизвестни.

Нека го пренапишем в разширена матрица.

За решаването на тази система от линейни уравнения са необходими само две операции. Трябва да доведем матрицата до канонична форма, така че да има единици по главния диагонал. И така, превеждайки от матричната форма обратно в системата, получаваме уравненията: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, където b1 и b2 са отговорите, получени в процеса на решаване.

1. Първата стъпка в решаването на разширената матрица ще бъде следната: първият ред трябва да се умножи по -7 и съответните елементи да се добавят съответно към втория ред, за да се отърве от едно неизвестно във второто уравнение.
2. Тъй като решението на уравненията по метода на Гаус предполага привеждане на матрицата в канонична форма, тогава е необходимо да се направят същите операции с първото уравнение и да се премахне втората променлива. За да направим това, изваждаме втория ред от първия и получаваме необходимия отговор - решението на SLAE. Или, както е показано на фигурата, умножаваме втория ред по коефициент -1 и добавяме елементите от втория ред към първия ред. Това е същото.

Както можете да видите, нашата система е решена по метода на Джордан-Гаус. Преписваме го в необходимата форма: x=-5, y=7.

Пример за решаване на SLAE 3x3

Да предположим, че имаме по-сложна система от линейни уравнения. Методът на Гаус дава възможност да се изчисли отговорът дори и за най-на пръв поглед объркваща система. Следователно, за да се задълбочите в методологията на изчисление, можете да преминете към повече сложен примерс три неизвестни.

Както в предишния пример, ние пренаписваме системата под формата на разширена матрица и започваме да я довеждаме до каноничната форма.

За да разрешите тази система, ще трябва да извършите много повече действия, отколкото в предишния пример.

1. Първо трябва да направите в първата колона един единствен елемент, а останалите нули. За да направите това, умножете първото уравнение по -1 и добавете второто уравнение към него. Важно е да запомните, че пренаписваме първия ред в оригиналната му форма, а вторият - вече в модифициран вид.
2. След това премахваме същото първо неизвестно от третото уравнение. За целта умножаваме елементите от първия ред по -2 и ги добавяме към третия ред. Сега първият и вторият ред са пренаписани в оригиналния си вид, а третият - вече с промени. Както можете да видите от резултата, имаме първото в началото на главния диагонал на матрицата, а останалите са нули. Още няколко действия и системата от уравнения по метода на Гаус ще бъде надеждно решена.
3. Сега трябва да извършите операции с други елементи на редовете. Третата и четвъртата стъпка могат да бъдат комбинирани в една. Трябва да разделим втория и третия ред на -1, за да се отървем от отрицателните по диагонала. Вече сме довели третия ред до необходимата форма.
4. След това канонизираме втория ред. За целта умножаваме елементите на третия ред по -3 и ги добавяме към втория ред на матрицата. От резултата се вижда, че вторият ред също е намален до необходимата ни форма. Остава да направим още няколко операции и да премахнем коефициентите на неизвестните от първия ред.
5. За да направите 0 от втория елемент на реда, трябва да умножите третия ред по -3 и да го добавите към първия ред.
6. Следващата решаваща стъпка е да добавите необходимите елементи от втория ред към първия ред. Така получаваме каноничната форма на матрицата и съответно отговора.

Както можете да видите, решението на уравненията по метода на Гаус е доста просто.

Пример за решаване на система от уравнения 4x4

Нещо повече сложни системиуравненията могат да се решават по метода на Гаус с помощта на компютърни програми. Необходимо е да се въвеждат коефициенти за неизвестни в съществуващите празни клетки и програмата ще изчисли необходимия резултат стъпка по стъпка, описвайки подробно всяко действие.

Описано по-долу стъпка по стъпка инструкциярешения на този пример.

В първата стъпка в празни клетки се въвеждат свободни коефициенти и числа за неизвестни. Така получаваме същата разширена матрица, която пишем на ръка.

И се извършват всички необходими аритметични операции, за да се приведе разширената матрица в канонична форма. Трябва да се разбере, че отговорът на система от уравнения не винаги е цели числа. Понякога решението може да бъде от дробни числа.

Проверка на верността на решението

Методът на Йордан-Гаус предвижда проверка на коректността на резултата. За да разберете дали коефициентите са изчислени правилно, просто трябва да замените резултата в оригиналната система от уравнения. Лява странана уравнението трябва да съвпада с дясната страна, която е зад знака за равенство. Ако отговорите не съвпадат, тогава трябва да преизчислите системата или да опитате да приложите друг познат ви метод за решаване на SLAE, като заместване или изваждане и събиране член по член. В крайна сметка математиката е наука, която има голяма сума различни техникирешения. Но помнете: резултатът винаги трябва да е един и същ, без значение какъв метод на решение сте използвали.

Метод на Гаус: най-честите грешки при решаване на SLAE

При решаването на линейни системи от уравнения най-често възникват грешки, като например неправилно прехвърляне на коефициенти в матрична форма. Има системи, в които някои неизвестни липсват в едно от уравненията, след което, прехвърляйки данните в разширената матрица, те могат да бъдат загубени. В резултат на това при решаването на тази система резултатът може да не съответства на реалния.

Друга от основните грешки може да бъде неправилното изписване на крайния резултат. Трябва ясно да се разбере, че първият коефициент ще съответства на първия неизвестен от системата, вторият - на втория и т.н.

Методът на Гаус описва подробно решаването на линейни уравнения. Благодарение на него е лесно да се извършат необходимите операции и да се намери правилният резултат. Освен това това универсален лекза търсене на надежден отговор на уравнения с всякаква сложност. Може би затова се използва толкова често при решаването на SLAE.

Нека системата е дадена, ∆≠0. (един)
Метод на Гаусе метод за последователно елиминиране на неизвестни.

Същността на метода на Гаус е да преобразува (1) в система с триъгълна матрица, от която след това последователно (обратно) се получават стойностите на всички неизвестни. Нека разгледаме една от изчислителните схеми. Тази верига се нарича верига с единично деление. Така че нека да разгледаме тази диаграма. Нека 11 ≠0 (водещ елемент) раздели на 11 първото уравнение. Вземете
(2)
Използвайки уравнение (2), е лесно да изключите неизвестното x 1 от останалите уравнения на системата (за това е достатъчно да извадите уравнение (2) от всяко уравнение, предварително умножено по съответния коефициент при x 1), т.е. , на първата стъпка получаваме
.
С други думи, на стъпка 1 всеки елемент от следващите редове, започвайки от втория, е равен на разликата между оригиналния елемент и продукта на неговата „проекция“ върху първата колона и първия (трансформиран) ред.
След това, оставяйки само първото уравнение, ще извършим подобна трансформация върху останалите уравнения на системата, получени на първата стъпка: избираме измежду тях уравнение с водещ елемент и го използваме, за да изключим x 2 от останалите уравнения (стъпка 2).
След n стъпки вместо (1) получаваме еквивалентна система
(3)
Така на първия етап ще получим триъгълна система (3). Тази стъпка се нарича напред.
На втория етап (обратно движение) последователно намираме от (3) стойностите x n , x n -1 , …, x 1 .
Нека означим полученото решение като x 0 . Тогава разликата ε=b-A x 0 се нарича остатъчен.
Ако ε=0, то намереното решение x 0 е правилно.

Изчисленията по метода на Гаус се извършват на два етапа:

1. Първият етап се нарича директен ход на метода. На първия етап оригиналната система се преобразува в триъгълна форма.
2. Вторият етап се нарича обратен. На втория етап се решава триъгълна система, еквивалентна на оригиналната.

Коефициентите a 11 , a 22 , ..., се наричат ​​водещи елементи.
На всяка стъпка се приема, че водещият елемент е различен от нула. Ако това не е така, тогава всеки друг елемент може да се използва като лидер, сякаш пренарежда уравненията на системата.

Предназначение на метода на Гаус

Методът на Гаус е предназначен за решаване на системи от линейни уравнения. Отнася се за директни методи на решение.

Видове метод на Гаус

1. Класически метод на Гаус;
2. Модификации на метода на Гаус. Една от модификациите на метода на Гаус е схемата с избора на основния елемент. Характеристика на метода на Гаус с избора на основния елемент е такава пермутация на уравненията, така че на k-тата стъпка водещият елемент е най-големият елемент в k-тата колона.
3. метод на Джордан-Гаус;

Разликата между метода на Джордан-Гаус и класическия Метод на Гауссе състои в прилагане на правилото на правоъгълника, когато посоката на търсене на решение се случва по главния диагонал (трансформация към матрица на идентичността). При метода на Гаус посоката на търсене на решение се случва по колоните (трансформация към система с триъгълна матрица).
Илюстрирайте разликата Метод на Джордан-Гаусот метода на Гаус на примери.

Пример за решение на Гаус
Нека решим системата:

За удобство на изчисленията разменяме редовете:

Умножете втория ред по (2). Добавете третия ред към втория

Умножете втория ред по (-1). Добавете 2-ри ред към 1-ви

От 1-ви ред изразяваме x 3:
От 2-ри ред изразяваме x 2:
От 3-ти ред изразяваме x 1:

Пример за решение по метода на Йордан-Гаус
Ще решим същата SLAE, използвайки метода на Йордано-Гаус.

Последователно ще изберем разрешаващия елемент на РЕ, който лежи на главния диагонал на матрицата.
Активиращият елемент е равен на (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - позволяващ елемент (1), A и B - матрични елементи, образуващи правоъгълник с елементи на STE и RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Активиращият елемент е равен на (3).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.

х 1	x2	х 3	б
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Активиращият елемент е (-4).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Отговор: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Прилагане на метода на Гаус

Методът на Гаус се прилага в много езици за програмиране, по-специално: Pascal, C ++, php, Delphi, а има и онлайн изпълнение на метода на Гаус.

Използване на метода на Гаус

Приложение на метода на Гаус в теорията на игрите

В теорията на игрите при намиране на максималната оптимална стратегия на даден играч се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Гаус при решаване на диференциални уравнения

За да търсите конкретно решение на диференциално уравнение, първо намерете производните на съответната степен за писменото конкретно решение (y=f(A,B,C,D)), които се заместват в оригиналното уравнение. Следваща за намиране променливи A,B,C,Dсъставя се система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Йордано-Гаус в линейното програмиране

AT линейно програмиране, по-специално, в симплексния метод за трансформиране на симплексна таблица при всяка итерация се използва правилото на правоъгълника, което използва метода на Джордан-Гаус.