Postoji mnogo tabela stepena prirodni brojevi. Nije moguće sve nabrojati. Ovdje dajemo primjere nekih od ovih tablica i zadatke za pronalaženje vrijednosti iz takvih tablica.

Tabela potencija prvih prirodnih brojeva

Počnimo sa tabelom za pronalaženje stepena prirodnih brojeva od $2$ do $12$ po stepenu od $1$ do $10$ (tabela 1). Imajte na umu da ne dajemo moći od $1$, jer će jedan biti jednak samom sebi za bilo koju moć.

Vrijednosti iz ove tabele potrebno je pronaći na sljedeći način: U prvoj koloni nalazimo broj čiji nas stepen zanima. Zapamtite broj ove linije. Zatim, u prvom članu, nalazimo eksponent i pamtimo pronađeni stupac. Presjek pronađenog reda i kolone će nam dati odgovor.

Primjer 1

Pronađite $8^7$

Pronalazimo broj $8$ u prvoj koloni: dobijamo 8. red.

Vidimo da je broj $2097152$ na njihovoj raskrsnici. Shodno tome

Tablice potencija prirodnih brojeva od $1$ do $100$

Tabele stepeni od $1$ do $100$ su također prilično popularne. Nemoguće ih je navesti sve, pa ćemo kao primjer dati takve tablice za kvadrate i kocke takvih prirodnih brojeva (tabela 2 i tabela 3).

Ove tablice podsjećaju na dobro poznate tablice množenja, pa mislimo da čitaocu neće biti teško koristiti ove tablice.

Primjer 2

a) Zadana vrijednost nalazimo u tabeli $2$ u tablici $8$:

b) Ovu vrijednost nalazimo u tabeli $3$ u tablici $3$:

Tabela kvadrata prirodnih brojeva od $10$ do $99$

Još jedna popularna tabela je tabela kvadrata brojeva od $10$ do $99$ (tabela 4), odnosno svih decimalnih brojeva.

Potrebno je pronaći vrijednosti iz ove tabele na sljedeći način: U prvoj koloni nalazimo broj desetica broja koji nas zanima. Zapamtite broj ove linije. Zatim u prvom terminu pronađemo broj jedinica broja od interesa i zapamtimo pronađenu kolonu. Presjek pronađenog reda i kolone će nam dati odgovor.

Primjer 3

Pronađite $37^2$

Pronalazimo broj $3$ u prvoj koloni: dobijamo 4. red.

U prvom redu nalazimo broj $7$: dobijamo 8. kolonu.

Vidimo da je na njihovoj raskrsnici broj $1369$. Shodno tome

U nastavku razgovora o stepenu nekog broja, logično je da se pozabavimo pronalaženjem vrednosti stepena. Ovaj proces je imenovan eksponencijacija. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, dok se dotičemo svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija je pronaći vrijednost stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stepena iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa razlomnim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kockasti koren: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom i na osnovu svojstava korijena, jednakosti su tačne . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni ili mješoviti broj, u ovim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, nakon čega treba izvršiti eksponencijalnost.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Rješenje.

Zapisujemo eksponent u obliku običan razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Takođe treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično naporan proces (posebno kada se brojilac i imenilac frakcioni indikator stepena su dovoljno veliki brojevi), što se obično izvodi pomoću računarske tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa, zadržaćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku stepena nule oblika: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle nula u razlomku pozitivan stepen jednako nuli, na primjer, . I nula u razlomku negativan stepen nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4.3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja sa iracionalnim eksponentom. Istovremeno, u praktične svrhe obično je dovoljno da se vrijednost stepena podigne do nekog znaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava korištenjem elektronske računarske tehnologije, od povećanja do ir racionalni stepen ručno zahtijeva veliki broj glomazne kalkulacije. Međutim, mi ćemo opisati uopšteno govoreći suština akcije.

Da biste dobili približnu vrijednost stepena broja a sa ir racionalni indikator, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će tačnija vrijednost stepena biti na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog indikatora: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1,17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Na ovaj način, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog stepena: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ti trebaju? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje stepena će vas približiti uspješna isporuka OGE ili USE i da upišete univerzitet svojih snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako umjesto formula vidite besmislice, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je ista matematička operacija poput sabiranja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima po dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

I koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, to će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi i treći kocka? Šta to znači? Visoko dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojanje prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen puno lakše i također ima manje grešaka u proračunima Za ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset do drugog stepena će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo vam zadatak, prebrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelije i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Uzmi ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti se mere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko će kocki metar po metar ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sveo sve na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A šta to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa, da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili lutalice i lukavi ljudi da riješe svoje životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion za svaki milion. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - šta je bilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate konkurenciju i onaj ko brže računa dobiće ove milione... Da li je vredno pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Odlično je zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prvu godinu - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milion. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako za pamćenje...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu stepena? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u osnovi.

Evo jedne slike da budete sigurni.

Pa i unutra opšti pogled da se generalizuje i bolje zapamti... Stepen sa osnovom "" i eksponentom "" čita se kao "do stepena" i piše se na sledeći način:

Moć broja sa prirodni pokazatelj

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula zapeta pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Ima li još iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskrajno decimalni. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, onda ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podignite broj do prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva diploma

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Hajde da vidimo šta je i ?

Po definiciji:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali faktore, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno mora biti iste osnove!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijete pisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to zaista nije istina.

Stepen sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U stepenima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnog i negativni brojevi?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, ispada.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzete sa znakom "") i broj.

cijeli pozitivan broj , i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se zašto je to tako?

Uzmite u obzir neku snagu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. Sa kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kom stepenu - koliko god da pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je istina u ovome? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne samo da možemo podijeliti sa nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Pored prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativni eksponent, uradimo kao u zadnji put: pomnožiti neki normalan broj sa istim u negativnom stepenu:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen je obrnut od istog broja na pozitivan stepen. Ali istovremeno baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna odluka:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti krug brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da razumem šta je "razlomni stepen" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: bilo koji broj podignut na čak stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izdvojiti korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izražavanjem?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problem: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom su vrlo korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- to je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;

...stepen sa celim brojem negativan indikator - kao da se dogodio određeni „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, u nauci se često koristi diploma sa složenim indikatorom, odnosno indikator nije paran pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo sa već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

AT ovaj slučaj,

Ispada da:

odgovor: .

2. Dajemo razlomke u eksponentima k iste vrste: Ili obje decimale ili obje normalne. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Definicija stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Potencija sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Stepen sa racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva diploma

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

Po definiciji:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobija se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

Drugi važna napomena: ovo pravilo je - samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijem pisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da to preuredimo ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to zaista nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo razgovarali samo o onome što bi trebalo da bude index stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima od prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je formulisati takve jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga setite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan na drugi, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije rastavljanja poslednje pravilo Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno ispostavilo se da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenu za prosječni nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim indikatorom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broja“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim indikatorom - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stepen sa racionalnim eksponentom

stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva diploma

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Razmotrimo niz brojeva, od kojih je prvi 1, a svaki sljedeći duplo veći: 1, 2, 4, 8, 16, ... Koristeći eksponente, može se zapisati u ekvivalentnom obliku: 2 0 , 2 1 , 2 2 . 2 3 , 2 4 , ... Zove se sasvim očekivano: niz stepena dvojke.Čini se da u njemu nema ničeg izvanrednog - niz kao niz, ni bolji ni lošiji od drugih. Međutim, ima nekoliko vrlo izvanrednih svojstava.

Bez sumnje, mnogi čitaoci su je upoznali klasična istorija o izumitelju šaha, koji je za prvu ćeliju šahovske ploče tražio od vladara kao nagradu jedno zrno pšenice, za drugu - dva, za treću - četiri, i tako redom, sve vrijeme udvostručujući broj zrna. Jasno je da je njihov ukupan broj jednak

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

No, budući da je ova količina nevjerovatno velika i višestruko premašuje godišnju žetvu žitarica širom svijeta, ispostavilo se da je žalfija ogulila vladara kao ljepljivo.

Međutim, postavimo sebi još jedno pitanje: kako izračunati vrijednost S? Vlasnici kalkulatora (ili, štaviše, kompjutera) mogu lako izvršiti množenje u predvidljivom vremenu, a zatim dodati dobijena 64 broja i dobiti odgovor: 18 446 744 073 709 551 615. A pošto je količina proračuna velika, vjerovatnoća greške je velika. visoko.

Ko je lukaviji vidi se u ovom nizu geometrijska progresija. Oni koji nisu upoznati s ovim konceptom (ili oni koji su jednostavno zaboravili standardna formula iznosi geometrijska progresija) može koristiti sljedeće rezonovanje. Pomnožimo obje strane jednakosti (1) sa 2. Pošto pri udvostručenju stepena dvojke, njegov eksponent raste za 1, dobijamo

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Sada od (2) oduzmite (1). Na lijevoj strani, naravno, ispada 2 S – S = S. Na desnoj strani će doći do masovnog međusobnog uništenja gotovo svih stepena dvojke - od 2 1 do 2 63 uključujući, a ostat će samo 2 64 - 2 0 = 2 64 - 1. Dakle:

S= 2 64 – 1.

Pa, izraz je znatno pojednostavljen, a sada, sa kalkulatorom koji vam omogućava da dižete na stepen, možete pronaći vrijednost ove količine bez ikakvih problema.

A ako nema kalkulatora - šta da radim? Pomnožiti u koloni od 64 dvojke? Šta je još nedostajalo! Iskusni inženjer ili primijenjeni matematičar za koga glavni faktor- Vreme, moglo brzo procjena odgovor, tj. pronađite ga približno sa prihvatljivom tačnošću. Po pravilu, u svakodnevnom životu (i u većini prirodne nauke) greška od 2–3% je sasvim prihvatljiva, a ako ne prelazi 1%, onda je ovo jednostavno odlično! Ispostavilo se da je moguće izračunati naša zrna s takvom greškom i bez kalkulatora, i to za samo nekoliko minuta. Kako? Sad ćeš vidjeti.

Dakle, potrebno je što preciznije pronaći proizvod 64 dvojke (odmah ćemo odbaciti jedinicu zbog njene beznačajnosti). Podijelimo ih u posebnu grupu od 4 dvojke i još 6 grupa po 10 dvojki. Proizvod dvojaka u odvojena grupa jednako 2 4 = 16. A proizvod 10 dvojki u svakoj od ostalih grupa je 2 10 = 1024 (provjeri ko sumnja!). Ali 1024 je oko 1000, tj. 10 3 . Zbog toga S treba biti blizak umnošku broja 16 sa 6 brojeva, od kojih je svaki jednak 10 3 , tj. S ≈ 16 10 18 (jer je 18 = 3 6). Istina, greška je i dalje prilično velika: na kraju krajeva, 6 puta pri zamjeni 1024 sa 1000 pogriješili smo 1.024 puta, a ukupno smo pogriješili, kao što je lako vidjeti, 1.024 6 puta. Pa sada - dodatno pomnoži 1,024 šest puta sam po sebi? Ne, idemo! Poznato je da za broj X, što je višestruko manje od 1, sa visoka preciznost vrijedi sljedeća približna formula: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Dakle 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Dakle, trebamo pomnožiti broj 16 10 18 koji smo pronašli sa brojem 1.144, što rezultira 18.304.000.000.000.000.000, a to se razlikuje od tačnog odgovora za manje od 1%. Šta smo tražili!

U ovom slučaju, imali smo veliku sreću: jedna od potencija dvojke (naime, deseta) se pokazala vrlo blizu jednoj od potencija desetice (naime, treća). Ovo nam omogućava da brzo procijenimo vrijednost bilo kojeg stepena dvojke, ne nužno 64. Među moćima drugih brojeva, ovo nije uobičajeno. Na primjer, 5 10 se razlikuje od 10 7 također za 1,024 puta, ali ... u manjem smjeru. Međutim, ovo je bobica istog polja: od 2 10 5 10 \u003d 10 10, koliko puta 2 10 nadmašuje 10 3 , isti broj puta 5 10 manje od 10 7 .

Ostalo zanimljiva karakteristika niza koji se razmatra je da se iz bilo kojeg prirodnog broja može konstruirati razne potencije dvojke, i jedini način. Na primjer, za broj tekuće godine imamo

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Tu mogućnost i jedinstvenost nije teško dokazati. Počnimo sa sposobnosti. Pretpostavimo da treba da predstavimo u obliku sume raznih stepeni dva je neki prirodan broj N. Prvo, zapisujemo ga kao zbir N jedinice. Pošto je jedinica 2 0, onda u početku N postoji suma identičan moći dvojke. Onda ćemo početi da ih uparujemo. Zbir dva broja jednaka 2 0 je 2 1 , pa je rezultat očigledno manje broj članova jednak 2 1 , i, eventualno, jedan broj 2 0 ako nije pronašao par. Zatim, kombinujemo iste članove 2 1 u parove, dobijajući još manji broj brojeva 2 2 (ovde je moguća i pojava nesparenog stepena dva 2 1). Zatim ponovo kombinujemo jednake članove u parovima, i tako dalje. Prije ili kasnije, proces će se završiti, jer se broj identičnih potencija dva smanjuje nakon svakog spoja. Kada postane jednako 1 - gotovo je. Ostaje zbrojiti sve rezultirajuće neuparene potencije dvojke - i reprezentacija je spremna.

Što se tiče dokaza jedinstvenost reprezentacija, onda je metoda "preko kontradikcije" ovdje dobro prikladna. Neka isti broj N mogao predstaviti u formi dva skupovi različitih stepena 2 koji se ne poklapaju u potpunosti (tj. postoje potencije 2 koje su u jednom skupu, ali ne u drugom, i obrnuto). Prvo, odbacimo sve podudarne potencije dvojke iz oba skupa (ako ih ima). Dobijate dva prikaza istog broja (manje ili jednako N) kao zbir različitih potencija dva, i sve stepena u podnescima drugačije. U svakom od prikaza odaberite najveći stepen. Na osnovu gore navedenog, za dva prikaza ovi stepeni drugačije. Reprezentacija za koju je ovaj stepen veći se zove prvo, ostalo - sekunda. Dakle, neka je u prvom prikazu najveća snaga 2 m, onda u drugom očigledno ne prelazi 2 m-jedan. Ali pošto (a to smo već sreli gore, računajući zrna na šahovskoj tabli), jednakost

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

zatim 2 m striktno više zbir svih stepena dvojke ne prelazi 2 m-jedan. Iz tog razloga, najveći stepen dvojke uključen u prvi prikaz je vjerovatno veći od zbira sve moći dvojke uključene u drugu reprezentaciju. Kontradikcija!

Zapravo, upravo smo opravdali mogućnost upisivanja brojeva binarni sistem brojeva. Kao što znate, koristi samo dvije cifre - nulu i jedan, a svaki prirodni broj je zapisan u binarnom sistemu na jedinstven način (na primjer, gore spomenuta 2012. - kao 11 111 011 100). Ako cifre (binarne cifre) numerišemo s desna na lijevo, počevši od nule, tada će brojevi onih cifara u kojima postoje jedinice biti samo eksponenti potencija dvojke uključenih u reprezentaciju.

Manje poznato slijedeća nekretnina skupovi cijelih nenegativnih potencija dvojke. Neka od njih proizvoljno dodijelimo znak minus, odnosno od pozitivnih ćemo ih učiniti negativnim. Jedini uslov je da rezultat i pozitivnih i negativnih brojeva bude beskonačan broj. Na primjer, svakom petom stepenu dvojke možete dodijeliti znak minus, ili, recimo, ostaviti pozitivne samo brojeve 2 10 , 2 100 , 2 1000 i tako dalje - opcija ima koliko god želite.

Iznenađujuće, bilo koji cijeli broj se može (i, štaviše, na jedinstven način) predstaviti kao zbir različitih članova našeg "pozitivno-negativnog" niza. I to nije teško dokazati (na primjer, indukcijom na eksponentima dvojke). glavna ideja dokaz - prisustvo proizvoljno velikih apsolutna vrijednost i pozitivne i negativne termine. Pokušajte sami da izvedete dokaz.

Zanimljivo je posmatrati poslednje cifre članova niza stepena dvojke. Budući da se svaki sljedeći broj u nizu dobije udvostručavanjem prethodnog, posljednja znamenka svakog od njih u potpunosti je određena posljednjom znamenkom prethodni datum. I od tada razni brojevi ograničeni broj, niz zadnjih cifara stepena dvojke je jednostavan obavezan budite periodični! Dužina perioda, naravno, ne prelazi 10 (pošto toliko cifara koristimo), ali ovo je jako precijenjena vrijednost. Pokušajmo to procijeniti bez pisanja samog niza. Jasno je da posljednje cifre svih stepena dvojke, počevši od 2 1 , čak. Osim toga, nula ne može biti među njima - jer je broj koji završava na nulu djeljiv sa 5, za koji se ne može posumnjati da ima stepen dvojke. A pošto postoje samo četiri parne cifre bez nule, dužina perioda ne prelazi 4.

Provjera pokazuje da je to tako, a periodičnost se pojavljuje gotovo odmah: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - u potpunosti u skladu sa teorijom!

Ništa manje uspješno se može procijeniti dužina perioda posljednjeg para cifara u nizu stepena dvojke. Budući da su svi stepeni dvojke, počevši od 2 2 , djeljivi sa 4, brojevi formirani od njihove posljednje dvije cifre su također djeljivi sa 4. Ne više od dvocifrenim brojevima, djeljivo sa 4, ima samo 25 (za jednocifrene brojeve smatramo nulu pretposljednjom cifrom), ali iz njih se mora izbaciti pet brojeva koji završavaju nulom: 00, 20, 40, 60 i 80. Dakle, period ne može sadržavati više od 25 - 5 = 20 brojeva. Provjera pokazuje da jeste, period počinje brojem 2 2 i sadrži parove brojeva: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36 , 72 , 44, 88, 76, 52, pa opet 04 i tako dalje.

Slično, može se dokazati da je dužina perioda posljednjeg m cifre niza stepena dvojke ne prelaze 4 5 m–1 (štaviše, u stvari, ona je jednako 4 5 m–1, ali to je mnogo teže dokazati).

Dakle, prilično su stroga ograničenja nametnuta posljednjim ciframa stepena dvojke. O čemu prvo brojevi? Ovdje je situacija gotovo suprotna. Ispostavilo se da za bilo koji skup cifara (od kojih prva nije nula) postoji stepen dva počevši od ovog skupa cifara. I takve moći dvojke beskonačno mnogo! Na primjer, postoji beskonačan broj stepena dvojke počevši od cifara 2012 ili, recimo, 3,333,333,333,333,333,333,333.

A ako uzmemo u obzir samo jednu prvu cifru različitih stepena dvojke - koje vrijednosti može uzeti? Lako je osigurati bilo koji - od 1 do 9 uključujući (naravno, među njima nema nule). Ali koji su češći, a koji rjeđi? Nekako nije odmah jasno zašto se jedan broj javlja češće od drugog. Međutim, dublja razmišljanja pokazuju da se ne može očekivati ​​samo isto pojavljivanje brojeva. Zaista, ako je prva znamenka bilo kojeg stepena dvojke 5, 6, 7, 8 ili 9, tada će prva znamenka stepena dvojke koja slijedi nužno biti jedinica! Dakle, mora postojati "košenje", barem prema jedinstvu. Stoga je malo vjerovatno da će i ostale figure biti "jednako zastupljene".

Praksa (naime, direktno kompjutersko računanje za prvih nekoliko desetina hiljada stepena dvojke) potvrđuje naše sumnje. Evo relativne proporcije prvih cifara stepena dvojke, zaokruženih na 4 decimale:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Kao što vidite, ova vrijednost opada s porastom cifara (i stoga je za istu jedinicu oko 6,5 puta veća vjerovatnoća da će biti prva znamenka stepena dva nego devet). Ma koliko čudno izgledalo, ali praktički isti omjer broja prvih cifara imat će se za gotovo bilo koji niz stupnjeva - ne samo dva, već, recimo, tri, pet, osam i općenito skoro bilo koji brojevi, uključujući one koji nisu cijeli (jedini izuzeci su neki "posebni" brojevi). Razlozi za to su veoma duboki i složeni, a da bi ih se razumelo potrebno je poznavati logaritme. Za one koji su upoznati s njima, hajde da podignemo veo: ispostavilo se da je relativni udio stepena dvojke, decimalni zapis koji počinju brojem F(za F= 1, 2, ..., 9) je lg ( F+ 1) – lg ( F), gdje je lg tzv decimalni logaritam, jednak eksponentu na koji se broj 10 mora podići da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Koristeći pomenutu vezu između stepena dva i pet, A. Kanel je otkrio zanimljiv fenomen. Odaberimo nekoliko cifara iz niza prvih cifara stepena dvojke (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) ugovor i upiši ih obrnutim redosledom. Ispostavilo se da će se ovi brojevi sigurno ispuniti takođe u nizu, počevši od nekog mjesta, u nizu prvih cifara stepena pet.

Moći dvojke su i svojevrsni "generator" za proizvodnju dobro poznatih savršeni brojevi, koji je jednak zbiru svih njegovih djelitelja, isključujući samog sebe. Na primjer, broj 6 ima četiri djelitelja: 1, 2, 3 i 6. Odbacimo onaj koji je jednak samom broju 6. Ostala su tri djelitelja čiji je zbir tačno jednak 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, 6 je savršen broj.

Da biste dobili savršen broj, uzmite dva uzastopna stepena dva: 2 n-1 i 2 n. Najveći od njih smanjimo za 1, dobićemo 2 n– 1. Ispada da ako je ovo prost broj, onda množenjem sa prethodnim stepenom dva, formiramo savršen broj 2 n –1 (2n- jedan). Na primjer, kada P= 3 dobijamo originalne brojeve 4 i 8. Pošto je 8 - 1 = 7 prost broj, onda je 4 7 = 28 savršen broj. Štaviše, svojevremeno je to sve dokazao Leonhard Euler čak savršeni brojevi izgledaju ovako. Neparni savršeni brojevi još nisu otkriveni (i malo ljudi vjeruje u njihovo postojanje).

Moći dvojke su usko povezane sa tzv Katalonski brojevi, čiji niz ima oblik 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Često nastaju prilikom rješavanja raznih kombinatorni problemi. Na primjer, na koliko načina može konveksna n-gon u trouglove sa dijagonalama koje se ne seku? Svejedno je Euler otkrio da je ova vrijednost jednaka ( n- 1) broj katalonskog (označavamo ga K n-1), i to je pronašao K n = K n-četrnaest n – 6)/n. Katalonski brojčani niz ima mnogo zanimljivih svojstava, a jedno od njih (upravo vezano za temu ovog članka) je da redni brojevi svi neparni katalonski brojevi su stepen dvojke!

Moći dvojke se često nalaze u raznim problemima, ne samo u uslovima, već iu odgovorima. Uzmimo, na primjer, nekada popularnu (i dalje nezaboravnu) toranj u Hanoju. Ovo je bio naziv slagalice izmišljene u 19. veku. francuski matematičar E. Luca. Sadrži tri štapa, od kojih je jedan istrošen n diskovi sa rupom u sredini svakog. Prečnici svih diskova su različiti, a poređani su u opadajućem redosledu odozdo prema gore, tj. najveći disk je na dnu (vidi sliku). Ispalo je kao kula od diskova.

Potrebno je prebaciti ovaj toranj na drugi štap, poštujući sljedeća pravila: diskove mijenjati tačno jedan po jedan (skidajući gornji disk sa bilo koje šipke) i uvijek stavljati samo manji disk na veći, ali ne obrnuto. Pitanje je: koji je minimalni broj poteza potreban za to? (Pokretom nazivamo uklanjanje diska s jedne šipke i stavljanje na drugu.) Odgovor: jednak je 2 n– 1, što se lako dokazuje indukcijom.

Neka za n diskova, potreban minimalni broj poteza je X n. Hajde da nađemo X n+1 . U procesu rada, prije ili kasnije će biti potrebno ukloniti najveći disk sa šipke, na koju su svi diskovi prvobitno stavljeni. S obzirom da se ovaj disk može staviti samo na prazan štap (inače će „pritisnuti“ manji disk, što je zabranjeno), onda sve gornje n diskovi će se prvo morati prebaciti na treći štap. Ovo neće zahtijevati ništa manje X n potezi. Zatim najveći disk prenosimo na prazan štap - evo još jednog poteza. Na kraju, kako bi ga odozgo “stisnuli” manjim n diskova, opet neće trebati ništa manje X n potezi. dakle, X n +1 ≥Xn + 1 +Xn = 2X n+ 1. S druge strane, gore opisane radnje pokazuju kako se tačno možete nositi sa zadatkom 2 X n+ 1 potez. Stoga, konačno X n +1 =2X n+ 1. Primljeno relacija recidiva, ali da bismo ga doveli u "normalan" oblik, moramo i pronaći X jedan . Pa, to je tako jednostavno: X 1 = 1 (jednostavno ne može biti manje!). Nije teško, na osnovu ovih podataka, to saznati X n = 2n– 1.

Evo još jednog zanimljivog izazova:

Pronađite sve prirodne brojeve koji se ne mogu predstaviti kao zbir nekoliko (najmanje dva) uzastopna prirodna broja.

Hajde da prvo proverimo najmanji brojevi. Jasno je da je broj 1 in specificirani oblik nezamislivo. Ali svi neparni koji su veći od 1 mogu, naravno, biti predstavljeni. Zaista, bilo koji čak broj veće od 1 može se napisati kao 2 k + 1 (k- prirodni), koji je zbir dva uzastopna prirodna broja: 2 k + 1 = k + (k + 1).

Šta je sa parnim brojevima? Lako je vidjeti da se brojevi 2 i 4 ne mogu predstaviti u traženom obliku. Možda je isto za sve parne brojeve? Nažalost, sljedeći paran broj pobija našu pretpostavku: 6 = 1 + 2 + 3. Ali broj 8 opet ne odgovara. istina, sledeći brojevi opet popustiti pred jurišom: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, ali 16 je opet nezamislivo.

Pa, akumulirane informacije nam omogućavaju da izvučemo preliminarne zaključke. Napominjemo: nije moguće prikazati u navedenom obliku samo stepen dvojke. Da li je to tačno za ostale brojeve? Ispostavilo se da da! Zaista, razmotrite zbir svih prirodnih brojeva iz m prije n inkluzivno. Pošto ih ima najmanje dva, onda n > m. Kao što je poznato, zbir uzastopnih članova aritmetička progresija(a to je ono s čim imamo posla!) jednak je proizvodu poluzbira prvog i posljednjeg člana i njihovog broja. Polovična suma je ( n + m)/2, a broj brojeva je n – m+ 1. Dakle, zbir je ( n + m)(n – m+ 1)/2. Imajte na umu da brojilac sadrži dva faktora, od kojih svaki striktno više 1, a njihov paritet je drugačiji. Ispada da je zbir svih prirodnih brojeva iz m prije n inkluzivno je djeljivo neparnim brojem većim od 1, pa stoga ne može biti stepen dva. Dakle, sada je jasno zašto nije bilo moguće predstaviti moći dvojke u pravom obliku.

Ostaje da se u to uvjerimo nije stepen dvojke može se zamisliti. Što se tiče neparnih brojeva, već smo se pozabavili njima iznad. Uzmite bilo koji paran broj koji nije stepen dvojke. Neka je najveći stepen od 2 deljiv sa 2 a (a- prirodno). Zatim ako se broj podijeli sa 2 a, već će odd broj veći od 1, koji ćemo napisati u poznatom obliku - kao 2 k+ 1 (k- takođe prirodno). Dakle, generalno, naš paran broj, koji nije stepen dvojke, je 2 a (2k+ 1). Pogledajmo sada dvije opcije:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Uzmi zbir 2 k+ 1 uzastopni prirodni broj, prosjek od čega je jednako 2 a. Lako je to onda vidjeti najmanje od čega je jednako 2 a-k, a najveći je 2 a + k, a najmanji (a samim tim i svi ostali) je pozitivan, odnosno zaista prirodan. Pa, zbir je, očigledno, samo 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Uzmi zbir 2 a+1 uzastopni prirodni brojevi. Ovdje se ne može navesti. prosjek broj, jer je broj brojeva paran, ali označava par srednjih brojevi koje možete: neka budu brojevi k i k+ 1. Onda najmanje svih brojeva je k+ 1 – 2a(i takođe pozitivan!) i najveći je jednak k+ 2a. Njihov zbir je takođe 2 a(2k + 1).

To je sve. Dakle, odgovor je: nereprezentabilni brojevi su stepen dvojke, i samo oni.

I evo još jednog problema (prvi ga je predložio V. Proizvolov, ali u malo drugačijoj formulaciji):

Okućnica je ograđena čvrstom ogradom od N dasaka. Po nalogu tetke Poli, Tom Sojer kreči ogradu, ali sopstveni sistem: cijelo vrijeme se kreće u smjeru kazaljke na satu, prvo izbijeli proizvoljnu ploču, zatim preskoči jednu ploču i izbijeli drugu, zatim preskoči dvije ploče i izbijeli slijedeću, zatim preskoči tri ploče i izbijeli sljedeću, i tako redom, svaki put preskačući još jednu ploču (sa nekim pločama može se izbjeliti nekoliko puta - Tome to ne smeta).

Tom smatra da će po takvoj šemi prije ili kasnije sve daske biti izbijeljene, a teta Poli je sigurna da će barem jedna daska ostati neobijeljena, ma koliko Tom radio. Pod kojim N je Tom u pravu, a pod kojim tetka Poli?

Opisani sistem krečenja djeluje prilično haotično, pa se u početku može činiti da za bilo koji (ili skoro bilo koji) N svaka ploča će jednog dana dobiti svoj dio kreča, tj. uglavnom, tačno Tom. Ali prvi utisak je varljiv, jer je Tom zapravo samo za vrijednosti N, što su stepen dvojke. Za druge N postoji daska koja će zauvek ostati neobeljena. Dokaz ove činjenice je prilično glomazan (iako, u principu, nije težak). Pozivamo čitaoca da to uradi sam.

To su oni - moći dvojke. Izgleda jednostavnije nego jednostavno, ali dok kopate... I ovdje se nismo dotakli svih nevjerovatnih i misterioznih svojstava ovog niza, već samo onih koji su nam zapeli za oko. Pa, čitatelju se daje pravo da samostalno nastavi istraživanja u ovoj oblasti. Bez sumnje će biti plodonosne.

Nulti broj).
I ne samo dvojke, kao što je ranije navedeno!
Žedni detalja, možete pročitati članak V. Boltjanskog „Da li moći dvojke često počinju sa jednim?“ („Quantum“ br. 5, 1978), kao i članak V. Arnolda „Statistika prvih cifara stepena dvojke i podjela svijeta“ („Quantum“, br. 1, 1998).
Vidi problem M1599 iz "Kvant" problemske knjige ("Kvant" br. 6 za 1997.).
Trenutno su poznata 43 savršena broja, od kojih je najveći 2 30402456 (2 30402457 - 1). Sadrži preko 18 miliona cifre.

Tabela stepena 2 (dvojke) od 0 do 32

Gornja tabela, pored stepena dvojke, pokazuje maksimalne brojeve koje računar može pohraniti za dati broj bitova. I za cijele brojeve i za brojeve sa predznakom.

Istorijski gledano, računari su koristili binarni brojevni sistem i, shodno tome, skladištenje podataka. Dakle, bilo koji broj može biti predstavljen kao niz nula i jedinica (bitova informacija). Postoji nekoliko načina da se brojevi predstave kao binarni niz.

Razmotrimo najjednostavniji od njih - ovo je pozitivan cijeli broj. Šta onda više broja treba da zapišemo, duži niz bitova nam je potreban.

Ispod je tabela stepena broja 2. To će nam dati prikaz potrebnog broja bitova koji su nam potrebni za pohranjivanje brojeva.

Kako koristiti tabela stepena dvojke?

Prva kolona je moć dvojke, što istovremeno označava broj bitova koji predstavlja broj.

Druga kolona - vrijednost dvojke na odgovarajuću potenciju (n).

Primjer pronalaženja stepena broja 2. U prvom stupcu nalazimo broj 7. Gledamo duž linije desno i nalazimo vrijednost dva na sedmu potenciju(2 7 ) je 128

Treća kolona - maksimalni broj koji se može predstaviti datim brojem bitova(u prvoj koloni).

Primjer određivanja maksimalnog cijelog broja bez predznaka. Koristeći podatke iz prethodnog primjera, znamo da je 2 7 = 128 . Ovo je tačno ako želimo da shvatimo šta količina brojeva, može se predstaviti korištenjem sedam bitova. Ali pošto prvi broj je nula, tada je maksimalni broj koji se može predstaviti pomoću sedam bitova 128 - 1 = 127. Ovo je vrijednost treće kolone.

Potencija dva (n)	Moć dvije vrijednosti 2n	Maksimalni nepotpisani broj, napisano sa n bitova	Maksimalni potpisani broj, napisano sa n bitova
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647