Elementarni ishodi su klasična definicija vjerovatnoće. Tipične greške pri rješavanju zadataka koji uključuju klasično određivanje vjerovatnoće

Osnove teorije vjerovatnoće

Plan:

1. Slučajni događaji

2. Klasična definicija vjerovatnoće

3. Proračun vjerovatnoće događaja i kombinatorika

Slučajni događaji.

Slučajni fenomen- fenomen čiji ishod nije jasno definisan. Ovaj koncept se može prilično protumačiti u širem smislu. Naime: sve je u prirodi sasvim nasumično, pojava i rođenje bilo koje individue je slučajna pojava, odabir proizvoda u prodavnici je također slučajna pojava, dobivanje ocjene na ispitu je slučajna pojava, bolest i oporavak su slučajni fenomeni , itd.

Primjeri slučajnih pojava:

~ Pucanje se vrši iz pištolja postavljenog ispod dati ugao do horizonta. Pogađanje mete je slučajno, ali projektil koji pogodi određenu „rašču“ je obrazac. Možete odrediti udaljenost bliže i dalje od koje projektil neće letjeti. Dobićete neku vrstu "viljuške za disperziju projektila"

~ Isto tijelo se vaga nekoliko puta. Strogo govoreći, svaki put ćete dobiti različite rezultate, čak i ako se razlikuju neznatno, ali će biti drugačiji.

~ Avion, koji leti po istoj ruti, ima određeni koridor leta unutar kojeg avion može manevrisati, ali nikada neće imati striktno identičnu rutu

~ Sportista nikada neće moći da pretrči istu distancu za isto vreme. Njegovi rezultati će također biti unutar određenog numeričkog raspona.

Iskustvo, eksperiment, zapažanje su testovi

Suđenje– uočavanje ili ispunjenje određenog skupa uslova koji se ponavljaju i redovno ponavljaju u istom redosledu, trajanju i u skladu sa drugim identičnim parametrima.

Pogledajmo sportistu koji puca u metu. Da bi se izvršio potrebno je ispuniti uslove kao što su priprema sportiste, punjenje oružja, nišanjenje itd. „Pogođen“ i „promašen“ – događaji kao rezultat udarca.

Događaj– visokokvalitetni rezultat testa.

Događaj se može, ali i ne mora dogoditi. Događaji su označeni velikim slovima. sa latiničnim slovima. Na primjer: D = "Strijelac je pogodio metu." S="Bela lopta je izvučena." K="Uzeto nasumično srećka nema pobede."

Bacanje novčića je test. Pad njenog “grba” je jedan događaj, pad njenog “digitala” je drugi događaj.

Svaki test uključuje pojavu nekoliko događaja. Neki od njih će možda biti potrebni ovog trenutka vremena za istraživača, drugi su nepotrebni.

Događaj se naziva slučajan, ako, kada je ispunjen određeni skup uslova S može se desiti ili ne desiti. U nastavku, umjesto da kažemo “skup uslova S je ispunjen”, kratko ćemo reći: “test je obavljen”. Dakle, događaj će se smatrati rezultatom testa.

~ Strijelac puca u metu podijeljenu na četiri područja. Snimak je test. Pogađanje određenog područja mete je događaj.

~ U urni su kuglice u boji. Jedna lopta se nasumično uzima iz urne. Vađenje lopte iz urne je test. Izgled lopte određene boje- događaj.

Vrste slučajnih događaja

1. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju.

~ Dio se nasumično uklanja iz kutije za dijelove. Pojava standardnog dijela eliminira izgled nestandardnog dijela. Događaji € pojavio se standardni dio" i pojavio se nestandardni dio" - nekompatibilno.

- Bačen je novčić. Izgled "grba" isključuje izgled natpisa. Događaji “pojavio se grb” i “pojavio se natpis” su nespojivi.

Formira se nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je pouzdan događaj.

Konkretno, ako su događaji koji čine kompletnu grupu u paru nedosljedni, onda će rezultat suđenja biti jedan i samo jedan od ovih događaja poseban slučaj predstavlja za nas najveće interesovanje, pošto se dalje koristi.

~ Kupljene su dvije srećke za gotovinu i odjeću. Jedan i samo jedan od sljedećih događaja će se sigurno dogoditi:

1. “dobitak je pao na prvi tiket, a nije pao na drugi,”

2. “dobitak nije pao na prvi tiket, a pao je na drugi,”

3. "dobiti su pali na oba tiketa",

4. "oba tiketa nisu osvojena."

Ovi događaji čine kompletnu grupu u parovima Ne zajedničkih događaja,

~ Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nespojiva događaja takođe čine kompletnu grupu.

2. Događaji se pozivaju jednako moguće, ako postoji razlog vjerovati da nijedno od njih nije moguće više od drugog.

~ Pojava “grba” i pojava natpisa pri bacanju novčića podjednako su mogući događaji. Zaista, pretpostavlja se da je novčić napravljen od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisustvo kovanja ne utiče na gubitak jedne ili druge strane novčića.

~ Pojava jednog ili drugog broja poena na bačenoj kocki podjednako su mogući događaji. Zaista, pretpostavlja se da je matrica napravljena od homogenog materijala i da ima oblik pravilan poliedar, a prisustvo bodova ne utiče na gubitak bilo koje strane.

3. Događaj je pozvan pouzdan, ako ne može da se ne desi

4. Događaj se zove nepouzdan, ako se to ne može desiti.

5. Događaj se zove suprotno na neki događaj ako se sastoji od nenastupanja ovog događaja. Suprotni događaji nisu kompatibilni, ali jedan od njih se nužno mora dogoditi. Suprotni događaji se obično označavaju kao negacije, tj. Iznad slova je ispisana crtica. Suprotni događaji: A i Ā; U i Ū, itd. .

Klasična definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća je jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće.

Postoji nekoliko definicija ovog koncepta. Hajde da damo definiciju koja se zove klasična. Zatim ukazujemo slabe strane ovu definiciju i dati druge definicije koje nam omogućavaju da prevaziđemo nedostatke klasične definicije.

Razmotrite situaciju: kutija sadrži 6 identičnih loptica, 2 su crvene, 3 plave i 1 bijela. Očigledno je da je mogućnost izvlačenja obojene (tj. crvene ili plave) lopte iz urne nasumično veća od mogućnosti izvlačenja bijele lopte. Ova mogućnost se može okarakterisati brojem, koji se naziva vjerovatnoća događaja (pojava obojene lopte).

Vjerovatnoća- broj koji karakteriše stepen mogućnosti da se neki događaj desi.

U situaciji koja se razmatra, označavamo:

Događaj A = "Izvlačenje obojene lopte."

Svaki od mogućih rezultata testa (test se sastoji od vađenja lopte iz urne) će biti pozvan elementarni (mogući) ishod i događaj. Elementarni ishodi se mogu označiti slovima sa indeksima ispod, na primjer: k 1, k 2.

U našem primjeru postoji 6 loptica, tako da postoji 6 mogućih ishoda: pojavljuje se bijela lopta; pojavila se crvena lopta; pojavila se plava lopta itd. Lako je uočiti da ovi ishodi čine potpunu grupu parno nekompatibilnih događaja (pojaviće se samo jedna loptica) i podjednako su mogući (loptica se izvlači nasumično, loptice su identične i temeljito izmiješane).

Nazovimo elementarne ishode u kojima se događa događaj koji nas zanima povoljni ishodi ovaj događaj. U našem primjeru, događaj je favoriziran A(pojava obojene lopte) sljedećih 5 ishoda:

Dakle, događaj A se posmatra ako je jedan od elementarnih ishoda povoljan za A. Ovo je izgled bilo koje kuglice u boji, kojih ima 5 u kutiji

U primjeru koji se razmatra, postoji 6 elementarnih ishoda; Njih 5 favorizuje događaj A. dakle, P(A)= 5/6. Ovaj broj daje kvantitativnu procjenu stepena mogućnosti pojave kuglice u boji.

Definicija vjerovatnoće:

Vjerovatnoća događaja A naziva se omjer broja ishoda povoljnih za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu.

P(A)=m/n ili P(A)=m: n, gdje je:

m je broj povoljnih elementarnih ishoda A;

P- broj svih mogućih ishoda osnovnog testa.

Ovdje se pretpostavlja da su elementarni ishodi nespojivi, podjednako mogući i čine kompletnu grupu.

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:

1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.

Zaista, ako je događaj pouzdan, onda svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju m = n dakle p=1

2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan od elementarnih ishoda testa ne favorizuje događaj. U ovom slučaju m=0, dakle p=0.

3.Vjerovatnoća slučajni događaj Tu je pozitivan broj, zatvoren između nule i jedan. 0ukupan broj ishodi osnovnih testova. U ovom slučaju 0< T< n.

U narednim temama biće date teoreme koje omogućavaju da se pronađu verovatnoće drugih događaja koristeći poznate verovatnoće nekih događaja.

Measurement. U grupi učenika je 6 djevojčica i 4 dječaka. Kolika je vjerovatnoća da će slučajno odabrana učenica biti djevojčica? hoće li biti mladića?

p dev = 6 / 10 =0,6 p yun = 4 / 10 = 0,4

Koncept “vjerovatnosti” u modernim rigoroznim kursevima teorije vjerovatnoće izgrađen je na teorijskoj osnovi. Pogledajmo neke aspekte ovog pristupa.

Neka se kao rezultat testa dogodi jedan i samo jedan od događaja: w i(i=1, 2, .... p). Događaji w i- zvao elementarni događaji (elementarni ishodi). O Odavde slijedi da su elementarni događaji parno nekompatibilni. Poziva se skup svih elementarnih događaja koji se mogu dogoditi u testu prostor elementarnih događajaΩ (grčko veliko slovo omega), a sami elementarni događaji su tačke ovog prostora..

Događaj A identifikovan sa podskupom (prostora Ω), čiji su elementi elementarni ishodi povoljni A; događaj IN je podskup Ω čiji su elementi ishodi povoljni IN, itd. Dakle, skup svih događaja koji se mogu dogoditi u testu je skup svih podskupova Ω koji se sam pojavljuje za bilo koji ishod testa, stoga je Ω pouzdan događaj. prazan podskup prostora Ω - je nemoguć događaj (ne javlja se ni pod kojim ishodom testa).

Elementarni događaji se razlikuju od svih tematskih događaja, „svaki od njih sadrži samo jedan element Ω

Svaki elementarni ishod w i odgovara pozitivnom broju p i- vjerovatnoća ovog ishoda i zbir svega p i jednak 1 ili sa predznakom zbira, ova činjenica će biti zapisana u obliku izraza:

Po definiciji, vjerovatnoća P(A) događaji A jednak zbiru vjerovatnoća elementarnih povoljnih ishoda A. Stoga je vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka jedan, nemogućeg događaja je nula, a proizvoljan događaj je između nule i jedan.

Razmotrimo važan poseban slučaj kada su svi ishodi jednako mogući. Broj ishoda je n, zbir vjerovatnoća svih ishoda je jednak jedan; stoga je vjerovatnoća svakog ishoda 1/p. Neka događaj A favorizuje m ishode.

Vjerovatnoća događaja A jednak zbiru vjerovatnoća povoljnih ishoda O:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Primljeno klasična definicija vjerovatnoće.

Postoji također aksiomatski pristup konceptu "vjerovatnosti". U sistemu predloženih aksioma. Kolmogorov A.N., nedefinisani koncepti su elementarni događaj i vjerovatnoća. Izgradnja logički potpune teorije vjerovatnoće zasniva se na aksiomatskoj definiciji slučajnog događaja i njegove vjerovatnoće.

Evo aksioma koji definiraju vjerovatnoću:

1. Svaki događaj A dodijeljen realan broj koji nije negativan R(A). Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja A.

2. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan:

3. Vjerovatnoća pojave barem jednog od parno nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja.

Na osnovu ovih aksioma, svojstva vjerovatnoća i ovisnosti između njih se izvode kao teoreme.

Vjerovatnoća događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji su povoljni za dati događaj i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojem se ovaj događaj može pojaviti. Verovatnoća događaja A označava se sa P(A) (ovde je P prvo slovo francuske reči probabilite - verovatnoća). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda povoljnih za događaj A; - broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda eksperimenta, koji čine kompletnu grupu događaja.
Ova definicija vjerovatnoće se naziva klasičnom. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerovatnoće.

Vjerovatnoća događaja je sljedeća svojstva:
1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan. Označimo pouzdan događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Označimo nemoguć događaj slovom . Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerovatnoća slučajnog događaja se izražava kao pozitivan broj manji od jedan. Budući da su za slučajni događaj nejednakosti , ili , su zadovoljeni, onda
(1.2.4)
4. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
Ovo proizilazi iz relacija (1.2.2) - (1.2.4).

Primjer 1. Urna sadrži 10 kuglica jednake veličine i težine, od kojih su 4 crvene i 6 plave. Jedna lopta se izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da će izvučena lopta biti plava?

Rješenje. Događaj „izvučena loptica je ispala plava“ označavamo slovom A. Ovaj test ima 10 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 favorizuju događaj A. U skladu sa formulom (1.2.1) dobijamo

Primjer 2. Svi prirodni brojevi od 1 do 30 napisani su na identičnim karticama i stavljeni u urnu. Nakon temeljitog miješanja karata, jedna karta se vadi iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je broj na uzetoj kartici višestruki od 5?

Rješenje. Označimo sa A događaj "broj na uzetoj kartici je višekratnik 5." U ovom testu postoji 30 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih je događaj A favorizovan sa 6 ishoda (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). dakle,

Primjer 3. Bacaju se dvije kockice i izračunava se ukupan broj bodova. gornja lica. Odrediti vjerovatnoću događaja B tako da gornje strane kockice imaju ukupno 9 bodova.

Rješenje. U ovom testu postoji samo 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda. Događaju B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dakle

Primjer 4. Odabrano nasumično prirodni broj, ne prelazi 10. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?

Rješenje. Označimo slovom C događaj “odabrani broj je prost”. U ovom slučaju, n = 10, m = 4 (prosti brojevi 2, 3, 5, 7). Dakle, tražena vjerovatnoća

Primjer 5. Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerovatnoća da se na gornjim stranama oba novčića nalaze brojevi?

Rješenje. Označimo slovom D događaj „postoji broj na gornjoj strani svakog novčića“. U ovom testu postoje 4 podjednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da prvi novčić ima grb, a drugi broj). Događaju D favorizuje jedan elementarni ishod (C, C). Pošto je m = 1, n = 4, onda

Primjer 6. Kolika je vjerovatnoća da nasumično odabran dvocifreni broj ima iste cifre?

Rješenje. Dvocifreni brojevi su brojevi od 10 do 99; Ukupno ima 90 takvih brojeva, 9 brojeva imaju identične cifre (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pošto je u ovom slučaju m = 9, n = 90, onda
,
gdje je A događaj „broj sa identičnim znamenkama“.

Primjer 7. Od slova riječi diferencijal Jedno slovo se bira nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će ovo slovo biti: a) samoglasnik, b) suglasnik, c) slovo h?

Rješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih su 5 samoglasnici, a 7 suglasnici. Pisma h nema u ovoj reči. Označimo događaje: A - "samoglasno slovo", B - "slovo suglasnika", C - "slovo h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Pošto je n = 12, onda
, I .

Primjer 8. Bacaju se dvije kockice i bilježi se broj bodova na vrhu svake kocke. Odrediti vjerovatnoću da obje kockice pokažu isti broj bodova.

Rješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaju A favorizuje 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Ukupan broj jednako mogućih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. To znači da je tražena vjerovatnoća

Primjer 9. Knjiga ima 300 stranica. Kolika je vjerovatnoća da će slučajno otvorena stranica imati serijski broj djeljiv sa 5?

Rješenje. Iz uslova zadatka proizilazi da će svi jednako mogući elementarni ishodi koji čine kompletnu grupu događaja biti n = 300. Od toga, m = 60 pogoduje nastanku navedenog događaja. Zaista, broj koji je višekratnik od 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, i , odakle . dakle,
, gdje A - događaj "stranica" ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Bacaju se dvije kocke i izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 7 ili 8?

Rješenje. Označimo događaje: A - „Bacano je 7 poena“, B – „Bacano je 8 poena“. Događaj A favorizira 6 osnovnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a događaj B favorizira po 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Svi jednako mogući elementarni ishodi su n = 6 2 = 36. To znači i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobijanje ukupno 7 bodova je vjerovatniji događaj od dobivanja ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj višekratnik od 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice, identične veličine i težine. Kolika je vjerovatnoća da će kuglica izvučena nasumično iz ove urne biti plava?
3. Nasumično se bira broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj djelitelj 30?
4. U urni A plava i b crvene kuglice, identične veličine i težine. Jedna lopta se uzima iz ove urne i ostavlja na stranu. Ispostavilo se da je ova lopta crvena. Nakon toga iz urne se izvlači još jedna lopta. Nađite vjerovatnoću da je i druga lopta crvena.
5. Nasumično se bira nacionalni broj koji ne prelazi 50. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?
6. Bacaju se tri kockice i izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kockice i izračunava se zbir bačenih poena. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - vjerovatnoća da se dobije ukupno 9 bodova; p 2 = 27/216 - vjerovatnoća da se dobije ukupno 10 bodova; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Kako se zove vjerovatnoća događaja?
2. Kolika je vjerovatnoća pouzdanog događaja?
3. Kolika je vjerovatnoća nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerovatnoće slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerovatnoće bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerovatnoće naziva klasičnom?

U ekonomiji, kao i u drugim oblastima ljudska aktivnost ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu tačno predvideti. Dakle, obim prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, kada organizirate proizvodnju i obavljate prodaju, ishod takvih aktivnosti morate predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično, ako se kao rezultat iskustva može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovo iskustvo, And nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativna mjera mogućnost da se dogodi neki događaj.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

Iznos događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji je događaj koji se sastoji od istovremene pojave svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji od pojavljivanja dvije robe u prodavnici u isto vrijeme je proizvod događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih sigurno dogodi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo brodova na vezovima, - prisustvo jednog broda na jednom od veza, - prisustvo dva broda na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen sa , Tada suprotan događaj obično se označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest elementarnih ishoda na osnovu broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete kreirati složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka dotičnog događaja je vjerovatnoća.

Većina široku upotrebu dobio dvije definicije vjerovatnoće događaja: klasična I statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljno na dati događaj ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru dotični događaj je čak broj bodova na ispuštenoj strani ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj ishoda povoljnih za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizuje (zapostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerovatnoća događaja se uzima kao relativna frekvencija u dovoljnoj mjeri veliki broj testovi.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), često se koriste kombinatoričke formule koje se koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

Kratka teorija

Za kvantitativno upoređivanje događaja prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerovatnoća događaja. Vjerovatnoća slučajnog događaja je broj koji izražava mjeru objektivne mogućnosti da se događaj dogodi.

Količine koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi za očekivanje nastanka događaja karakteriziraju se vjerovatnoćom događaja. Mora se naglasiti da je vjerovatnoća objektivna veličina koja postoji nezavisno od poznavaoca i uslovljena je čitavim skupom uslova koji doprinose nastanku događaja.

Objašnjenja koja smo dali za koncept vjerovatnoće nisu matematička definicija, budući da ne definiraju ovaj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerovatnoće slučajnog događaja, koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasični, aksiomatski, statistički itd.).

Klasična definicija vjerovatnoće događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako mogućih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kocka homogena kocka, tada će gubitak bilo kojeg lica ove kocke biti jednako mogući događaji.

Neka se pouzdani događaj podijeli na jednako moguće slučajeve, čiji zbir daje događaj. Odnosno, slučajevi na koje se raspada nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava nastanak.

Vjerovatnoća događaja će biti označena simbolom.

Vjerovatnoća događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su za njega povoljni, od ukupnog broja jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerovatnoće. Dakle, da bi se pronašla vjerovatnoća događaja, potrebno je, uzimajući u obzir različite ishode testa, pronaći skup jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj slučajeva m povoljan za dati događaj, a zatim izvršite proračun koristeći gornju formulu.

Vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja povoljan događaj ishode eksperimenta na ukupan broj ishoda eksperimenta naziva se klasična verovatnoća slučajni događaj.

Iz definicije slijede sljedeća svojstva vjerovatnoće:

Svojstvo 1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.

Svojstvo 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerovatnoća nastanka događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Svojstvo 5. Vjerovatnoća nastanka suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerovatnoća nastanka događaja A.

Broj slučajeva koji favorizuju pojavu suprotnog događaja. Stoga je vjerovatnoća pojave suprotnog događaja jednaka razlici između jedinice i vjerovatnoće pojave događaja A:

Važna prednost klasične definicije vjerovatnoće događaja je da se uz njenu pomoć vjerovatnoća događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na osnovu logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uslova, pouzdan događaj će se sigurno dogoditi, ali nemoguć događaj se definitivno neće dogoditi. Među događajima koji se mogu ili ne moraju dogoditi kada se stvori niz uslova, na pojavu nekih se može računati s dobrim razlogom, a na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, ima više bijelih kuglica u urni nego crnih, onda se nadajte pojavi bela lopta kada se nasumično vuče iz urne, više je razloga nego za pojavu crne lopte.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih loptica. 3 kuglice se izvlače nasumično. Nađite vjerovatnoće sljedećih događaja: – izvučena je najmanje 1 crvena kugla, – postoje najmanje 2 kuglice iste boje, – ima najmanje 1 crvena i 1 bijela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda testa nalazimo kao broj kombinacija od 19 (8+4+7) elemenata od 3:

Nađimo vjerovatnoću događaja– izvučena je najmanje 1 crvena loptica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoje najmanje 2 lopte iste boje (2 ili 3 bijele, 2 ili 3 crne i 2 ili 3 crvene lopte)

Broj ishoda povoljnih za događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i 1 bela lopta

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda povoljnih za događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kocke. Pronađite vjerovatnoću da je zbir bodova najmanje 5.

Rješenje

Neka događaj bude rezultat najmanje 5

Koristimo klasičnu definiciju vjerovatnoće:

Ukupan broj mogućih ishoda testa

Broj pokušaja koji favorizuju događaj od interesa

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedan bod, dva boda..., šest bodova. Slično, šest ishoda je moguće prilikom bacanja druge kocke. Svaki od ishoda bacanja prve kockice može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih ishoda elementarnog testa jednak je broju plasmana sa ponavljanjima (izbor sa plasmanima od 2 elementa iz seta 6. volumena):

Nađimo vjerovatnoću suprotnog događaja - zbir bodova je manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova će favorizirati događaj:

№

1. kost

2nd kost

Predstavljena je geometrijska definicija vjerovatnoće i dato je rješenje dobro poznatog problema sastanka.

U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala temeljna nauka. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće

Dvije osobe kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge od svojih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je prezbiterijanski sveštenik. Očigledno, želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o izvesnoj Fortuni, koja svojim miljenicima daje sreću, dala je podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, u stvari, bilo koji kockanje sa svojim pobedama i porazima, to je samo simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti gospodina de Merea, koji jednako kao kockar i osoba koja nije ravnodušna prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: „Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?“ Drugo pitanje, koje je gospodina veoma zanimalo: „Kako podijeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?“ Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matematičar nikada nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može opravdati matematički. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.

Šta je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.

Da bismo mogli raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatnoća slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerovatnoće, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerovatnoća događaja se izražava u numerički oblik mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerovatnoće razlikuju:

pouzdan zagarantovano je da će se događaj dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
nasumično događaj se nalazi između pouzdanog i nemogućeg, odnosno verovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (verovatnoća slučajnog događaja je uvek u opsegu 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi između događaja

Uzimaju se u obzir i jedan i zbir događaja A+B, kada se događaj računa kada je barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B, ispunjena.

U međusobnoj vezi događaji mogu biti:

Jednako moguće.
Kompatibilan.
Nekompatibilno.
Suprotnost (međusobno isključiva).
Zavisni.

Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerovatnoću pojave događaja B, tada kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilni događaji sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao “ne A”). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.

Zavisni događaji imaju uzajamni uticaj, smanjujući ili povećavajući vjerovatnoću jedni druge.

Odnosi između događaja. Primjeri

Koristeći primjere, mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se izvoditi sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda eksperimenta - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.

Test br. 1. Uključeno je 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima na sebi, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test br. 2. Uključeno 6 lopti plave boje sa brojevima od jedan do šest.

Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

Pouzdan događaj. Na španskom Događaj broj 2 „dobi plavu kuglu“ je pouzdan, jer je verovatnoća njegovog nastanka jednaka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj „dobijanja ljubičaste lopte“ je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
Jednako mogući događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su mogući događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
Kompatibilni događaji. Dobiti šesticu dva puta zaredom dok bacate kocku je kompatibilan događaj.
Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Broj 1, događaji „dobiti crvenu loptu” i „dobiti loptu sa neparnim brojem” ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
Suprotni događaji. Većina sjajan primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava ekvivalentno ne izvlačenju repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (cijela grupa).
Zavisni događaji. Dakle, na španskom Br. 1, možete postaviti cilj da izvučete crvenu loptu dva puta zaredom. Da li će biti preuzet prvi put ili ne, utiče na vjerovatnoću da će biti preuzet drugi put.

Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatnoće događaja

Prelazak sa proricanja sudbine na precizne podatke događa se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što je „velika verovatnoća” ili „minimalna verovatnoća” mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati i unositi takav materijal u složenije proračune.

Sa računske tačke gledišta, određivanje vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u vezi sa određenim događajem. Verovatnoća je označena sa P(A), gde P označava reč „verovatno“, što je sa francuskog prevedeno kao „verovatnoća“.

Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer

Uzmimo španski. Br. 1 sa loptama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

A - crvena lopta ispada. Postoje 3 crvene kuglice, a postoji ukupno 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerovatnoća događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
C - kotrljanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupan broj mogući ishodi 6. Vjerovatnoća događaja C jednaka je P(C)=4/6=0,67.

Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj vjerovatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nekompatibilni događaji

Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1 nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kocki istovremeno.

Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov proizvod AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir više događaja je događaj koji pretpostavlja nastanak barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba veznika "i" označava zbir, a veznik "ili" - množenje. Formule sa primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja

Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka sabiranju njihovih vjerovatnoća:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: hajde da izračunamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama pojaviće se broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća dobijanja broja 2 je 1/6, verovatnoća dobijanja broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotan događaj Ā, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerovatnoća nastanka nekompatibilnih događaja

Množenje vjerovatnoće se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatnoća da na španskom Br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja loptica, izvuku samo plave kuglice je 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se nastanak jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, vjerovatnoća se uzima u obzir Ne zavisni događaji. Na primjer, bacanje dvije kockice može dati rezultat kada se na obje pojavi broj 6 Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema. uticaj na to.

Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.

Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer

Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbiru vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog nastanka (odnosno njihovog zajedničkog nastupa):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da možete pogoditi metu i prvim i drugim hicima. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (barem jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje glasi: „Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica je 64%.“

Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.

Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće

Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Zapiši to geometrijska rješenja- nije neuobičajeno u teoriji vjerovatnoće.

Određivanje vjerovatnoće zbira mnogih (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju zavisnim ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih događaja uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B, podložna nastanku događaja A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja je potrebna i može se uzeti u obzir u izvršenim proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo zavisne događaje. Moramo odrediti vjerovatnoću da će druga karta izvučena iz špila biti od dijamanata ako je prva izvučena karta:

Bubnovaya.
Drugačija boja.

Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je prva opcija tačna, da u špilu ima 1 karta (35) i 1 romb (8) manje, vjerovatnoća događaja B:

R A (B) =8/35=0,23

Ako je druga opcija tačna, onda špil sada ima 35 karata i to puni broj tambura (9), tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:

R A (B) =9/35=0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.

Umnožavanje zavisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini on ima slučajni karakter. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno izvlačenja dijamanta iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi praktične svrhe, onda je pošteno primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.

Prema teoremi o umnošku vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (ovisno o A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte s odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

A vjerovatnoća da se prvo ne izvuku dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerovatnoća da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje osim dijamanata. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerovatnoća događaja

Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višeslojan, ne može se izračunati korišćenjem konvencionalnih metoda. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Dakle formula puna verovatnoća za događaj B sa kompletnom grupom slučajnih događaja A1, A2,..., i n je jednako:

Pogled u budućnost

Vjerovatnoća slučajnog događaja je izuzetno neophodna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnoće, potrebne su posebne radne metode. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se utvrdi mogućnost greške ili kvara.

Možemo reći da učenjem vjerovatnoće na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.