Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uslov apsolutne integrabilnosti, tako da metoda Fourierove transformacije u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, kao što je istaknuto, može se govoriti o spektralnim gustinama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustine opisane generalizovanim funkcijama.

Generalizirana Rayleighova formula. Dokažimo važnu pomoćnu izjavu koja se tiče spektralnih svojstava signala.

Neka su dva signala u opštem slučaju kompleksne vrijednosti, definirana njihovim inverznim Fourierovim transformacijama:

Nađimo skalarni proizvod ovih signala, izražavajući jedan od njih, na primjer, kroz njegovu spektralnu gustoću:

Ovdje je unutrašnji integral očito spektralna gustina signala. Dakle

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Lako pamtljiva interpretacija ove formule je sljedeća: skalarni proizvod dva signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom proizvodu njihovih spektralnih gustoća.

Generalizacija koncepta spektralne gustine.

Pretpostavljamo da je signal apsolutno integrabilna funkcija. Tada je njegova Fourierova transformacija uobičajena klasična frekvencijska funkcija. Neka, uz to, signal ne zadovoljava uslov apsolutne integrabilnosti i Fourierova transformacija ne postoji u uobičajenom klasičnom smislu. Međutim, može se proširiti koncept spektralne gustine uz pretpostavku da je to generalizovana funkcija u smislu utvrđenom u § 1.2. Da bismo to učinili, u skladu s generaliziranom Rayleighovom formulom, dovoljno je pretpostaviti da je to funkcional koji, djelujući na poznatu funkciju, daje sljedeći rezultat:

Preporučljivo je razmotriti metode za izračunavanje spektra neintegrabilnih signala na konkretnim primjerima.

Spektralna gustina vremenski konstantnog signala. Najjednostavniji neintegrabilni signal je konstantna vrijednost i . Pretpostavimo da je to proizvoljan realan apsolutno integrabilan signal sa poznatom spektralnom gustinom

Proširujući formulu (2.43), imamo

Ali, kao što je lako videti,

Dakle, na osnovu svojstva filtriranja delta funkcije, zaključujemo da je jednakost (2.43) moguća samo pod uvjetom da

Fizičko značenje dobijenog rezultata je jasno - vremenski nepromjenjiv signal ima spektralnu komponentu samo na nultoj frekvenciji.

Spektralna gustina kompleksnog eksponencijalnog signala.

Neka je kompleksni eksponencijalni signal sa datom realnom frekvencijom.Ovaj signal nije apsolutno integrabilan, jer funkcija s(t) ne teži bilo kojoj granici na . Fourierova transformacija ovog signala, posmatrana u generalizovanom smislu, mora zadovoljiti relaciju

Stoga se željena spektralna gustina S (co) izražava na sljedeći način:

Obratite pažnju na sljedeće:

1. Spektralna gustina kompleksnog eksponencijalnog signala je svuda jednaka nuli, osim u tački u kojoj ima delta singularitet.

2. Spektar ovog signala je asimetričan u odnosu na tačku i koncentrisan je u području pozitivnih ili negativnih frekvencija.

Spektralna gustina harmonijskih oscilacija. Neka Prema Ojlerovoj formuli

Spektar kompleksnog eksponencijalnog signala pronađen iznad, kao i svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, omogućavaju nam da odmah napišemo izraz za spektralnu gustinu kosinusnog signala:

Čitalac može lako sam provjeriti da li je za sinusni signal relacija

Treba napomenuti da je izraz (2.46) paran, a izraz (2.47) neparna funkcija frekvencije.

Spektralna gustina proizvoljnog periodičnog signala.

Ranije su se periodični signali proučavali metodama teorije Fourierovih redova. Sada možete proširiti svoje razumijevanje njihovih spektralnih svojstava opisujući periodične signale koristeći Fourierovu transformaciju.

Periodični signal koji daje njegov Fourierov niz u složenom obliku. Na osnovu formule (2.45), uzimajući u obzir svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, odmah dobijamo izraz za spektralnu gustinu takvog signala:

Odgovarajući grafikon spektralne gustine u svojoj konfiguraciji ponavlja uobičajeni spektralni dijagram periodičnog signala. Graf se formira od delta impulsa u frekvencijskom domenu, koji se nalaze u tačkama sa koordinatama

Spektralna gustina funkcije prebacivanja.

Izračunajmo spektralnu gustoću funkcije inkluzije, koju, radi jednostavnosti, definiramo u svim tačkama, osim u tački t = 0 [usp. sa (1.2)]:

Prije svega, napominjemo da se funkcija uključivanja dobiva prelaskom do granice iz eksponencijalnog video pulsa:

Stoga se može pokušati dobiti spektralna gustoća funkcije uključivanja prelaskom na granicu kao a - 0 u formuli za spektralnu gustoću eksponencijalne oscilacije:

Direktan prijelaz na granicu, prema kojoj vrijedi na svim frekvencijama, osim za vrijednost , kada je potrebno pažljivije razmatranje.

Prije svega, razdvajamo stvarni i imaginarni dio u spektralnoj gustoći eksponencijalnog signala:

To se može potvrditi

Zaista, granična vrijednost ovog razlomka nestaje za bilo koji, i to u isto vrijeme

bez obzira na vrijednost a, iz koje tvrdnja slijedi.

Dakle, dobili smo korespondenciju jedan-na-jedan između funkcije inkluzije i njene spektralne gustoće:

Delta singularitet na označava da funkcija uključivanja ima konstantnu komponentu jednaku 1/2.

Spektralna gustina radio impulsa.

Kao što je poznato, radio puls je dat kao proizvod nekog video impulsa, koji ima ulogu omotača, i neintegrabilne harmonijske oscilacije: .

Da bismo pronašli spektralnu gustinu radio impulsa, pretpostavljamo da je poznata funkcija spektar njegovog omotača. Spektar kosinusnog signala sa proizvoljnom početnom fazom dobija se elementarnom generalizacijom formule (2.46):

Spektar radio impulsa je konvolucija

Uzimajući u obzir svojstva filtriranja delta funkcije, dobijamo važan rezultat:

Rice. 2.8 ilustruje transformaciju spektra video impulsa kada se on pomnoži sa visokofrekventnim harmonijskim signalom.

Rice. 2.8. Frekventne zavisnosti modula spektralne gustine: a - video puls; b - radio puls

Može se vidjeti da prijelaz sa video pulsa na radio puls u spektralnom pristupu znači prijenos spektra video pulsa u visokofrekventnu regiju - umjesto jednog maksimuma spektralne gustoće na , dva maksimuma se uočavaju pri , apsolutne vrijednosti maksimuma su prepolovljene.

Imajte na umu da grafikoni na Sl. 2.8 odgovaraju situacijama u kojima frekvencija značajno premašuje efektivnu širinu spektra video impulsa (ovo je slučaj koji se obično implementira u praksi). U ovom slučaju nema primjetnog "preklapanja" spektra koji odgovaraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Međutim, može se ispostaviti da je propusni opseg spektra video impulsa toliko velik (za kratak impuls) da odabrana vrijednost frekvencije ne eliminiše efekat „preklapanja“. Kao posljedica toga, profili spektra video pulsa i radio pulsa prestaju biti slični.

Primjer 2.3. Spektralna gustina pravougaonog radio impulsa.

Radi jednostavnosti, postavili smo početnu fazu na nulu i zapisali smo matematički model radio impulsa u obliku

Poznavanje spektra odgovarajućeg video pulsa [vidi formule (2.20)], na osnovu (2.50) nalazimo traženi spektar:

Na sl. 2.9 prikazuje rezultate izračunavanja spektralne gustine upotrebom formule (2.51) za dva karakteristična slučaja,

U prvom slučaju (slika 2.9, a), envelope impuls sadrži 10 perioda visokofrekventnog punjenja, frekvencija je ovdje dovoljno visoka da se izbjegne "preklapanje". U drugom slučaju (slika 2.9, b), radio puls se sastoji od samo jednog perioda punjenja.Superpozicija komponenti koje odgovaraju oblastima pozitivnih i negativnih frekvencija dovodi do karakteristične asimetrije strukture latica grafa spektralnu gustinu radio impulsa.

Rice. 2.9. Grafikoni spektralnih gustina radio impulsa sa pravougaonim omotačem: a - at ; b - at

U statističkoj radiotehnici i fizici, pri proučavanju determinističkih signala i slučajnih procesa, široko se koristi njihova spektralna reprezentacija u obliku spektralne gustoće, koja se zasniva na Fourierovoj transformaciji.

Ako proces ima konačnu energiju i kvadratno je integrabilan (a ovo je nestacionaran proces), tada se za jednu implementaciju procesa Fourierova transformacija može definirati kao slučajna kompleksna funkcija frekvencije:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \ograničenja _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Međutim, pokazalo se da je gotovo beskorisno za opisivanje ansambla. Izlaz iz ove situacije je odbacivanje nekih parametara spektra, odnosno spektra faza, i konstruisanje funkcije koja karakterizira raspodjelu energije procesa duž ose frekvencije. Zatim, prema Parsevalovoj teoremi, energija

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Funkcija S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) tako karakteriše distribuciju energije realizacije duž ose frekvencije i naziva se spektralna gustina realizacije. Usrednjavanjem ove funkcije po svim realizacijama, može se dobiti spektralna gustoća procesa.

Okrenimo se sada široko stacionarnom stohastičkom procesu x (t) (\displaystyle x(t)), čije realizacije imaju beskonačnu energiju sa vjerovatnoćom 1 i, prema tome, nemaju Fourierovu transformaciju. Spektralna gustina snage takvog procesa može se naći na osnovu Wiener-Khinchinove teoreme kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Ako postoji direktna transformacija, onda postoji i inverzna Fourierova transformacija, koja određuje iz poznatog k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Ako pretpostavimo u formulama (3) i (4), respektivno, f = 0 (\displaystyle f=0) i τ = 0 (\displaystyle \tau =0), imamo

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Formula (6), uzimajući u obzir (2), pokazuje da varijansa određuje ukupnu energiju stacionarnog slučajnog procesa, koja je jednaka površini ispod krivulje spektralne gustine. Dimenziona vrijednost S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) može se tumačiti kao dio energije koncentriran u malom frekvencijskom rasponu od f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) prije f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Ako razume x (t) (\displaystyle x(t)) nasumična (fluktuacija) struja ili napon, zatim vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) imaće dimenziju energije [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Dakle S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) ponekad se zove energetski spektar. Često se u literaturi može naći i druga interpretacija: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- smatra se prosječnom snagom koju oslobađa struja ili napon pri otporu od 1 ohma. Istovremeno, vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) pozvao spektar snage slučajni proces.

Svojstva spektralne gustine

• Energetski spektar stacionarnog procesa (stvarnog ili složenog) je nenegativna vrijednost:

S x (f) ≥ 0 (\displaystyle S_(x)(f)\geq 0).

(7)

• Energetski spektar realne stacionarne u širem smislu slučajnog procesa je stvarna i čak funkcija frekvencije:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Signali i spektri. Teorijske osnove digitalne komunikacije

1. Signali i spektri

1.1. Obrada signala u digitalnim komunikacijama

1.1.1. zašto "digitalni"

Zašto se "brojevi" koriste u vojnim i komercijalnim komunikacijskim sistemima? Postoji mnogo razloga. Glavna prednost ovog pristupa je lakoća rekonstrukcije digitalnih signala u odnosu na analogne. Razmotrite sl. 1.1, koji prikazuje idealan binarni digitalni impuls koji se širi kroz kanal podataka. Na valni oblik utiču dva glavna mehanizma: (1) budući da svi kanali i dalekovodi imaju neidealan frekvencijski odziv, idealni impuls je izobličen; i (2) neželjeni električni šum ili druge spoljne smetnje dodatno izobličuju talasni oblik. Što je kanal duži, ovi mehanizmi značajnije iskrivljuju impuls (slika 1.1). Dok se preneseni impuls još uvijek može pouzdano detektirati (prije nego što se degradira u dvosmisleno stanje), impuls se pojačava digitalnim pojačalom, vraćajući njegov originalni idealan oblik. Zamah se "ponovo rađa" ili obnavlja. Regenerativni repetitori koji se nalaze u komunikacijskom kanalu na određenoj udaljenosti jedan od drugog odgovorni su za obnavljanje signala.

Digitalni kanali su manje podložni izobličenjima i smetnjama od analognih kanala. Budući da binarni digitalni kanali daju značajan signal samo kada rade u jednom od dva stanja – uključeno ili isključeno – smetnja mora biti dovoljno velika da pomjeri radnu tačku kanala iz jednog stanja u drugo. Samo dva stanja olakšavaju oporavak signala i stoga sprečavaju nakupljanje šuma ili drugih smetnji tokom prenosa. Analogni signali, s druge strane, nisu signali sa dva stanja; oni mogu uzeti beskonačan broj forme. U analognim kanalima, čak i mala smetnja može neprepoznatljivo izobličiti signal. Jednom kada je analogni signal izobličen, smetnja se ne može ukloniti pojačavanjem. Budući da je akumulacija šuma neraskidivo povezana s analognim signalima, kao rezultat toga, oni se ne mogu savršeno reproducirati. Uz digitalnu tehnologiju, vrlo niska stopa grešaka plus primjena postupaka otkrivanja i ispravljanja grešaka omogućavaju visoku vjernost signala. Ostaje samo napomenuti da takvi postupci nisu dostupni kod analognih tehnologija.

Sl.1.1. Distorzija i oporavak zamaha

Postoje i druge važne prednosti digitalne komunikacije. Digitalni kanali su pouzdaniji i mogu se proizvoditi po nižim cijenama od analognih kanala. Osim toga, digitalni softver omogućava više fleksibilna implementacija od analogne (npr. mikroprocesori, digitalna komutacija i integrirana kola velikih razmjera (LSI)). Upotreba digitalnih signala i multipleksiranja s vremenskim podjelom (TDM) jednostavnija je od analognih signala i multipleksiranja s frekvencijskom podjelom (FDM). U prijenosu i komutaciji, različite vrste digitalnih signala (podaci, telegraf, telefon, televizija) mogu se smatrati identičnima: na kraju krajeva, bit je bit. Osim toga, radi lakšeg prebacivanja i obrade, digitalne poruke se mogu grupirati u autonomne jedinice koje se nazivaju paketi. Digitalne tehnologije prirodno uključuju funkcije koje štite od smetnji i potiskivanja signala, ili pružaju šifriranje ili privatnost. (O takvim tehnologijama se govori u poglavljima 12 i 14.) Osim toga, komunikacija je uglavnom između dva računara, ili između računara i digitalnih uređaja ili terminala. Takvi digitalni terminali bolje (i prirodniji!) opslužuju digitalne komunikacijske kanale.

Šta plaćamo za prednosti digitalnih komunikacijskih sistema? Digitalni sistemi zahtevaju više obrade od analognih sistema. Osim toga, digitalni sistemi zahtijevaju značajnu količinu resursa koji će se dodijeliti za sinhronizaciju na različitim nivoima (vidi Poglavlje 10). Analogne sisteme, s druge strane, lakše je sinhronizovati. Još jedan nedostatak digitalnih komunikacionih sistema je da je degradacija kvaliteta granične prirode. Ako omjer signal-šum padne ispod određenog praga, kvalitet usluge se može iznenada promijeniti iz vrlo dobrog u vrlo loš. U analognim sistemima, međutim, degradacija se odvija lakše.

1.1.2. Tipični okvir dijagram i osnovne transformacije

Funkcionalni blok dijagram prikazan na sl. 1.2 ilustruje korake širenja i obrade signala u tipičnom digitalnom komunikacijskom sistemu (DCS). Gornji blokovi - formatiranje, kodiranje izvora, enkripcija, kanalno kodiranje, multipleksiranje, pulsna modulacija, propusna modulacija, prošireni spektar i višestruki pristup - odražavaju transformacije signala na putu od izvora do predajnika. Donji blokovi dijagrama su transformacije signala na putu od primaoca do primaoca informacije, a zapravo su suprotni gornjim blokovima. Jedinice za modulaciju i demodulaciju/detekciju zajednički se nazivaju modemom. Termin "modem" često kombinuje nekoliko koraka obrade signala, prikazanih na Sl. 1.2; u ovom slučaju, modem se može smatrati "mozakom" sistema. Predajnik i prijemnik se mogu posmatrati kao "mišići" sistema. Za bežične aplikacije, predajnik se sastoji od kruga za povećanje radio frekvencije (RF), pojačivača snage i antene, a prijemnik se sastoji od antene i niskošumnog pojačala (LNA). Reverzna redukcija frekvencije vrši se na izlazu prijemnika i/ili demodulatora.

Na sl. 1.2 ilustruje korespondenciju između blokova gornjeg (predajnog) i donjeg (prijemnog) dijela sistema. Koraci obrade signala koji se odvijaju u predajniku su uglavnom obrnuti koracima prijemnika. Na sl. 1.2 izvorne informacije se pretvaraju u binarne cifre (bitove); bitovi se zatim grupišu u digitalne poruke ili znakove poruke. Svaki takav znak ( gdje ) može se smatrati elementom konačnog alfabeta koji sadrži M elementi. Stoga, za M=2 simbol poruke je binarni (tj. sastoji se od jednog bita). Iako se binarni znakovi mogu klasificirati kao M-ary (sa M=2), obično ime " M-ary" se koristi za slučajeve M>2; stoga se takvi simboli sastoje od niza od dva ili više bitova. (Uporedite sličnu konačnu abecedu DCS sistema sa onim što imamo u analognim sistemima, gde je signal poruke element beskonačnog skupa mogućih signala.) Za sisteme koji koriste kodiranje kanala (kodove za ispravljanje grešaka), sekvenca simbola poruke je konvertovan u niz znakova simbola kanala), a svaki karakter kanala je označen sa . Budući da se simboli poruke ili simboli kanala mogu sastojati od jednog bita ili grupe bitova, niz takvih simbola naziva se tok bitova (slika 1.2).

Razmotrite ključne blokove obrade signala prikazane na Sl. 1.2; samo su koraci formatiranja, modulacije, demodulacije/detekcije i sinhronizacije neophodni za DCS sisteme.

Formatiranje pretvara originalnu informaciju u bitove, čime se osigurava da su funkcije obrade informacija i signala kompatibilne sa DCS sistemom. Od ove tačke na slici pa do bloka impulsne modulacije, informacija ostaje u obliku toka bitova.

Rice. 1.2. Blok dijagram tipičnog digitalnog komunikacionog sistema

Modulacija je proces kojim se simboli poruke ili simboli kanala (ako se koristi kanalsko kodiranje) pretvaraju u signale koji su kompatibilni sa zahtjevima koje nameće kanal podataka. Impulsna modulacija je još jedan neophodan korak jer svaki simbol koji se šalje mora prvo biti konvertovan iz binarne reprezentacije (nivoi napona predstavljaju binarne 0s i 1s) u uskopojasni oblik signala. Termin "uskopojasni" (baseband) definira signal čiji spektar počinje od (ili blizu) konstantne komponente i završava nekom konačnom vrijednošću (obično ne većom od nekoliko megaherca). PCM blok obično uključuje filtriranje kako bi se minimizirao propusni opseg prijenosa. Kada se impulsna modulacija primjenjuje na binarne simbole, rezultirajući binarni signal naziva se PCM (pulse-code modulation) kodirani signal. Postoji nekoliko tipova PCM signala (opisanih u Poglavlju 2); u telefonskim aplikacijama, ovi signali se često nazivaju kodovima kanala. Kada se impulsna modulacija primjenjuje na nebinarne simbole, rezultirajući signal se naziva M-arno pulsno modulirano. Postoji nekoliko tipova takvih signala, koji su takođe opisani u poglavlju 2, koje se fokusira na pulsno-amplitudnu modulaciju (PAM). Nakon impulsne modulacije, svaki simbol poruke ili simbol kanala poprima oblik propusnog signala, gdje je . U bilo kojoj elektronskoj implementaciji, tok bitova koji prethodi impulsnoj modulaciji je predstavljen nivoima napona. Može se postaviti pitanje zašto postoji poseban blok za impulsnu modulaciju, a zapravo se nivoi napona za binarne nule i jedinice već mogu smatrati idealnim pravokutnim impulsima od kojih je trajanje svakog jednako vremenu prijenosa jednog bita? Postoje dvije važne razlike između ovih nivoa napona i propusnih signala koji se koriste za modulaciju. Prvo, blok pulsne modulacije omogućava korištenje binarnih i M-arnih signala. Odjeljak 2.8.2 opisuje različite korisne parametre ovih tipova signala. Drugo, filtriranje izvedeno u bloku impulsne modulacije generiše impulse čije je trajanje duže od vremena prijenosa jednog bita. Filtriranje vam omogućava da koristite duže impulse; na taj način, impulsi su raspoređeni po susednim bitnim vremenskim slotovima. Ovaj proces se ponekad naziva oblikovanjem pulsa; koristi se za zadržavanje širine opsega prijenosa unutar nekog željenog područja spektra.

Za aplikacije koje uključuju radio frekvencijski prijenos, sljedeći važan korak je propusna modulacija; potrebno je kad god prijenosni medij ne podržava širenje impulsnih signala. U takvim slučajevima, okolina zahtijeva propusni signal, gdje je . Termin "propusni opseg" koristi se da se odrazi da je uskopojasni signal pomaknut nosećim valom na frekvenciji mnogo većoj od spektralnih komponenti. Kako se signal širi kroz kanal, na njega utiču karakteristike kanala, koje se mogu izraziti u terminima impulsnog odziva (vidjeti dio 1.6.1). Takođe, na različitim tačkama duž putanje signala, dodatni nasumični šum izobličava primljeni signal, tako da se prijem mora izraziti u smislu oštećene verzije signala od predajnika. Primljeni signal se može izraziti na sljedeći način:

pri čemu znak "*" predstavlja operaciju konvolucije (pogledajte Dodatak A) i predstavlja proces buke (vidi Odjeljak 1.5.5).

U obrnutom smjeru, prednji kraj prijemnika i/ili demodulator obezbjeđuju smanjenje frekvencije za svaki propusni signal. U pripremi za detekciju, demodulator rekonstruiše uskopojasni signal kao optimalni omotač. Obično je nekoliko filtera povezano sa prijemnikom i demodulatorom - filtriranje se radi kako bi se uklonile neželjene visokofrekventne komponente (tokom konverzije propusnog signala u uskopojasni) i oblikovanje impulsa. Ekvalizacija se može opisati kao vrsta filtriranja koja se koristi u demodulatoru (ili nakon demodulatora) za uklanjanje svih efekata degradacije signala koji mogu biti uzrokovani kanalom. Ekvalizacija je neophodna ako je impulsni odziv kanala toliko loš da je primljeni signal ozbiljno izobličen. Ekvilajzer (ekvilajzer) je implementiran da kompenzira (tj. ukloni ili priguši) bilo koje izobličenje signala uzrokovano neidealnim odgovorom. Konačno, korak uzorkovanja pretvara oblikovani impuls u uzorak kako bi se povratio (približno) simbol kanala ili simbol poruke (ako se ne koristi kanalno kodiranje). Neki autori koriste termine "demodulacija" i "detekcija" naizmjenično. U ovoj knjizi demodulacija se odnosi na obnavljanje signala (pulsa širine pojasa), a detekcija se odnosi na donošenje odluke o digitalnoj vrijednosti tog signala.

Preostale faze obrade signala u modemu su opcione i imaju za cilj zadovoljavanje specifičnih potreba sistema. Izvorno kodiranje je konverzija analognog signala u digitalni (za analogne izvore) i uklanjanje suvišnih (nepotrebnih) informacija. Imajte na umu da tipičan DCS sistem može koristiti ili izvorno kodiranje (za digitalizaciju i kompresiju originalnih informacija) ili jednostavniju transformaciju formatiranja (samo za digitalizaciju). Sistem ne može primijeniti i izvorno kodiranje i formatiranje u isto vrijeme, jer prvo već uključuje neophodan korak digitalizacije informacija. Šifriranje, koje se koristi za osiguranje tajnosti komunikacije, sprječava neovlaštenog korisnika da razumije poruku i unese lažne poruke u sistem. Kodiranje kanala pri datoj brzini podataka može smanjiti vjerovatnoću PE greške ili smanjiti omjer signal-šum potreban da bi se dobila željena PE vjerovatnoća povećanjem propusnog opsega prijenosa ili kompliciranjem dekodera. Procedure multipleksiranja i višestrukog pristupa kombinuju signale koji mogu imati različite karakteristike ili mogu doći iz različitih izvora tako da mogu dijeliti neke od komunikacionih resursa (npr. spektar, vrijeme). Širenje frekvencije može pružiti signal koji je relativno imun na smetnje (i prirodne i namjerne) i može se koristiti za povećanje privatnosti strana koje komuniciraju. To je također vrijedna tehnologija koja se koristi za višestruki pristup.

Blokovi za obradu signala prikazani na sl. 1.2 predstavljaju tipičan dijagram digitalnog komunikacionog sistema; međutim, ovi blokovi se ponekad implementiraju u malo drugačijem redoslijedu. Na primjer, multipleksiranje se može dogoditi prije kanalnog kodiranja ili modulacije, ili, u dvostepenom procesu modulacije (podnosač i nosilac), može se dogoditi između dva stupnja modulacije. Slično, blok proširenja frekvencije može se nalaziti na različitim mjestima u gornjem redu na Sl. 1.2; njegova točna lokacija ovisi o specifičnoj tehnologiji koja se koristi. Sinhronizacija i njen ključni element, sinhronizacijski signal, uključeni su u sve faze obrade signala u DCS sistemu. Radi jednostavnosti, blok za sinhronizaciju na Sl. 1.2 je prikazan bez obzira na bilo šta, iako on u stvari učestvuje u regulisanju operacija u skoro svakom bloku prikazanom na slici.

Na sl. Slika 1.3 prikazuje glavne funkcije obrade signala (koje se mogu smatrati transformacijama signala) podijeljene u sljedećih devet grupa.

Sl.1.3. Glavne transformacije digitalnih komunikacija

1. Formatiranje i kodiranje izvora

2. Uskopojasna signalizacija

3. Signalizacija propusnog opsega

4. Niveliranje

5. Kodiranje kanala

6. Zaptivanje i višestruki pristup

7. Širenje spektra

8. Enkripcija

9. Sinhronizacija

Na sl. 1.3 Uskopojasni signalni blok sadrži listu binarnih alternativa kada se koristi PCM modulacija ili linijski kodovi. Ovaj blok također specificira nebinarnu kategoriju signala koja se zove M-arnu pulsnu modulaciju. Još jedna transformacija na Sl. 1.3, označena kao signalizacija širine pojasa, podijeljena je u dva glavna bloka, koherentni i nekoherentni. Demodulacija se obično izvodi pomoću referentnih signala. Koristeći poznate signale kao mjeru svih parametara signala (naročito faze), kaže se da je proces demodulacije koherentan; kada se informacije o fazi ne koriste, proces je nekoherentan.

Kodiranje kanala se bavi tehnikama koje se koriste za poboljšanje digitalnih signala, koji kao rezultat postaju manje osjetljivi na faktore degradacije kao što su šum, bledenje i potiskivanje signala. Na sl. 1.3, kanalno kodiranje je podijeljeno u dva bloka, blok kodiranja valnog oblika i blok strukturirane sekvence. Kodiranje talasnog oblika uključuje upotrebu novih signala koji donose poboljšani kvalitet detekcije u odnosu na originalni signal. Strukturirane sekvence uključuju upotrebu dodatnih bitova za određivanje da li postoji greška uzrokovana šumom u kanalu. Jedna takva tehnologija, automatski zahtjev za ponavljanje (ARQ), jednostavno prepoznaje pojavu greške i traži od pošiljaoca da ponovo pošalje poruku; druga tehnika, poznata kao ispravljanje grešaka unapred (FEC), omogućava automatsko ispravljanje grešaka (sa određenim ograničenjima). Kada razmatramo strukturirane sekvence, raspravljat ćemo o tri uobičajene metode - blokovnom, konvolucionom i turbo kodiranju.

U digitalnim komunikacijama, mjerenje vremena uključuje računanje vremena i frekvencije. Kao što je prikazano na sl. 1.3, sinhronizacija se vrši na pet nivoa. Referentne frekvencije koherentnih sistema moraju biti sinhronizovane sa nosiocem (i eventualno podnosećim) u frekvenciji i fazi. Za nekoherentne sisteme, fazna sinhronizacija nije neophodna. Osnovni proces sinhronizacije vremena je sinhronizacija simbola (ili sinhronizacija bitova za binarne simbole). Demodulator i detektor moraju znati kada započeti i završiti proces detekcije simbola i bita; greška u sinhronizaciji dovodi do smanjenja efikasnosti detekcije. Sljedeći nivo vremenske sinhronizacije, sinhronizacija okvira, omogućava preuređenje poruka. I posljednji nivo, mrežna sinhronizacija, omogućava vam koordinaciju sa drugim korisnicima kako biste efikasno koristili resurse.

1.1.3. Osnovna terminologija digitalne komunikacije

U nastavku su neki od glavnih pojmova koji se obično koriste u području digitalnih komunikacija.

Izvor informacija(izvor informacija). Uređaj koji prenosi informacije kroz DCS sistem. Izvor informacija može biti analogni ili diskretni. Izlaz analognog izvora može poprimiti bilo koju vrijednost iz kontinuiranog raspona amplituda, dok izlaz diskretnog izvora informacija može uzeti vrijednosti iz konačnog skupa amplituda. Analogni izvori informacija se konvertuju u digitalne putem uzorkovanja ili kvantizacije. Metode uzorkovanja i kvantizacije koje se nazivaju izvorno formatiranje i kodiranje (slika 1.3).

Tekstualna poruka(tekstualna poruka). Niz znakova (slika 1.4, a). U digitalnom prijenosu podataka, poruka je niz brojeva ili znakova koji pripadaju konačnom skupu znakova ili abecedi.

Potpiši(Karakter). Element abecede ili skupa znakova (slika 1.4, b). Znakovi se mogu mapirati u niz binarnih cifara. Postoji nekoliko standardiziranih kodova koji se koriste za kodiranje znakova, uključujući ASCII (Američki standardni kod za razmjenu informacija), EBCDIC (Prošireni binarno kodirani decimalni kod za razmjenu), Hollerith kod (Hollerith kod), Baudot kod, Murray kod i Morzeov kod.

Sl.1.4. Ilustracija pojmova: a) tekstualne poruke; b) simboli;

c) tok bitova (7-bitni ASCII kod); d) simboli, ;

e) propusni digitalni signal

binarna cifra(binarna cifra) (bit) (bit). Osnovna jedinica informacija za sve digitalne sisteme. Termin "bit" se također koristi kao jedinica informacija, što je opisano u Poglavlju 9.

bit stream(bitstream). Niz binarnih cifara (nula i jedinica). Bitstream se često naziva signalom osnovnog pojasa; ovo implicira da se njegove spektralne komponente kreću od (ili oko) DC do neke konačne vrijednosti, obično ne više od nekoliko megaherca. Na sl. 1.4, poruka "KAKO" je predstavljena pomoću sedmobitnog ASCII koda, a tok bitova je prikazan u obliku dvostepenih impulsa. Niz impulsa je prikazan visoko stiliziranim (savršeno pravokutnim) valnim oblicima sa prazninama između susjednih impulsa. U stvarnom sistemu impulsi nikada neće izgledati ovako, jer su takve praznine apsolutno beskorisne. Pri datoj brzini podataka, praznine će povećati propusni opseg potreban za prijenos; ili će, s obzirom na propusni opseg, povećati vremensko kašnjenje potrebno za primanje poruke.

Simbol(simbol) (digitalna poruka) (digitalna poruka). Simbol je grupa k delovi posmatrani kao celina. Dalje ćemo ovaj blok nazvati simbolom poruke () iz konačnog skupa simbola ili abecede (slika 1.4, d.) Veličina abecede M jednako , gdje k je broj bitova u znaku. U uskopojasnom prijenosu, svaki od simbola će biti predstavljen jednim od niza uskopojasnih impulsnih signala . Ponekad, kada se prenosi niz takvih impulsa, jedinica bauda (baud) se koristi za izražavanje brzine pulsa (brzine simbola). Za tipičan propusni prijenos, svaki impuls će biti predstavljen jednim od skupa propusnih impulsnih signala . Dakle, za bežične sisteme, simbol se šalje prenosom digitalnog signala za T sekundi. Sledeći znak se šalje tokom sledećeg vremenskog intervala, T. Činjenica da je skup karaktera koji prenosi DCS sistem konačan je glavna razlika između ovih sistema i analognih komunikacionih sistema. DCS prijemnik samo treba da odredi koji M mogući signali su preneseni; dok analogni prijemnik mora precizno odrediti vrijednost koja pripada kontinuiranom rasponu signala.

digitalni signal(digitalni talasni oblik). Opisan nivoom napona ili struje, signal (puls za uskopojasni prenos ili sinusni talas za propusni opseg) predstavlja digitalni karakter. Karakteristike signala (za impulse - amplituda, trajanje i lokacija, ili za sinusoidu - amplituda, frekvencija i faza) omogućavaju da se identifikuje kao jedan od simbola konačnog alfabeta. Na sl. 1.4 d prikazan je primjer propusnog digitalnog signala. Iako je signal sinusoidan i stoga ima analogni oblik, on se i dalje naziva digitalnim jer kodira digitalne informacije. Na ovoj slici, digitalna vrijednost je prikazana prijenosom tokom svakog vremenskog intervala T signal određene frekvencije.

Brzina prijenosa(brzina prenosa podataka). Ova vrijednost u bitovima u sekundi (bps) je data sa (bps) gdje k bitovi definiraju znak iz abecede znakova - i T je trajanje to-bitni karakter.

1.1.4. Digitalne i analogne performanse

Osnovna razlika između analognih i digitalnih komunikacionih sistema je vezana za način vrednovanja njihovih performansi. Signali analognog sistema su u kontinuumu, tako da prijemnik mora raditi sa beskonačnim brojem mogućih signala. Mera performansi analognih komunikacionih sistema je tačnost, kao što je odnos signal-šum, procenat izobličenja ili očekivana RMS greška između prenetih i primljenih signala.

Za razliku od analognih, digitalni komunikacioni sistemi prenose signale koji predstavljaju brojeve. Ove cifre formiraju konačan skup ili abecedu, a ovaj skup je poznat primaocu a priori. Kriterijum za kvalitet digitalnih komunikacionih sistema je verovatnoća netačne detekcije cifre ili verovatnoća greške ().

1.2. Klasifikacija signala

1.2.1. Deterministički i slučajni signali

Signal se može klasificirati kao deterministički (kada nema nesigurnosti u vezi njegove vrijednosti u bilo kojem trenutku) ili nasumičan u suprotnom. Deterministički signali su modelirani matematičkim izrazom. Nemoguće je napisati takav izraz za slučajni signal. Međutim, kada se posmatra slučajni signal (koji se naziva i slučajni proces) tokom dovoljno dugog vremenskog perioda, mogu se uočiti neki obrasci koji se mogu opisati u smislu vjerovatnoće i statističkog prosjeka. Takav model, u formi probabilističkog opisa slučajnog procesa, posebno je koristan za opisivanje karakteristika signala i šuma u komunikacionim sistemima.

1.2.2. Periodični i neperiodični signali

Za signal se kaže da je periodičan u vremenu ako postoji konstanta , takva da

za (1.2)

gde kroz t vreme je naznačeno. Najmanja vrijednost koja zadovoljava ovaj uvjet naziva se period signala. Period određuje trajanje jednog punog ciklusa funkcije. Signal za koji ne postoji vrijednost koja zadovoljava jednačinu (1.2) naziva se neperiodični.

1.2.3. Analogni i diskretni signali

Analogni signal je kontinuirana funkcija vremena, tj. jedinstveno definisano za sve t. Električni analogni signal nastaje kada neki uređaj pretvara fizički signal (kao što je govor) u električni signal. Za poređenje, diskretni signal je signal koji postoji u diskretnim vremenskim intervalima; karakteriše ga niz brojeva definisanih za svaku tačku u vremenu, kT, gdje k je cijeli broj, i T- fiksni vremenski period.

1.2.4. Signali izraženi kao energija ili snaga

Električni signal se može zamisliti kao promjena napona ili struje s trenutnom snagom koja se primjenjuje na otpor R:

U komunikacionim sistemima snaga je često normalizovana (pretpostavlja se da je otpor R jednak je 1 Ohm, iako u stvarnom kanalu može biti bilo šta). Ako je potrebno odrediti stvarnu vrijednost snage, ona se dobiva "denormalizacijom" normalizirane vrijednosti. U normalizovanom slučaju, jednačine (1.3.a) i (1.3.6) imaju isti oblik. Stoga, bez obzira da li je signal predstavljen naponom ili strujom, normalizirani oblik nam omogućava da izrazimo trenutnu snagu kao

gdje je ili napon ili struja. Disipacija energije tokom vremenskog intervala () realnog signala sa trenutnom snagom dobijenom pomoću jednačine (1.4) može se zapisati na sledeći način.

(1.5)

Prosječna snaga raspršena signalom tokom ovog intervala je sljedeća.

(1.6)

Performanse komunikacijskog sistema zavise od energije primljenog signala; signali sa većom energijom se pouzdanije detektuju (sa manje grešaka) - posao detekcije obavlja primljena energija. S druge strane, snaga je stopa uložene energije. Ova tačka je važna iz nekoliko razloga. Snaga određuje napon koji se primjenjuje na predajnik i jačinu elektromagnetnih polja koja treba uzeti u obzir u radio sistemima (tj. polja u talasovodima koji povezuju predajnik sa antenom i polja oko zračećih elemenata antene).

Prilikom analize komunikacijskih signala često je poželjno raditi sa energijom signala. Nazvat ćemo ga energetskim signalom ako i samo ako ima konačnu energiju različitu od nule u bilo kojem trenutku vremena (), gdje

(1.7)

U stvarnoj situaciji uvijek prenosimo signale sa konačnom energijom (). Međutim, da bismo opisali periodične signale, koji po definiciji (jednačina (1.2)) uvijek postoje i stoga imaju beskonačnu energiju, te da bismo radili sa slučajnim signalima koji također imaju neograničenu energiju, zgodno je definirati klasu signala izraženih u terminima moći. Dakle, zgodno je predstaviti signal koristeći snagu ako je periodičan i u bilo kojem trenutku ima konačnu snagu različitu od nule (), gdje je

(1.8)

Određeni signal se može pripisati ili energetskom ili periodičnom. Energetski signal ima konačnu energiju, ali nultu prosječnu snagu, dok periodični signal ima nultu prosječnu snagu, ali beskonačnu energiju. Signal u sistemu se može izraziti u smislu njegove energije ili periodičnih vrijednosti. Kao opšte pravilo, periodični i nasumični signali se izražavaju u terminima snage, a signali koji su deterministički i neperiodični izražavaju se u terminima energije.

Energija i snaga signala su dva važna parametra u opisivanju komunikacijskog sistema. Klasifikacija signala kao energetskog ili periodičnog je zgodan model koji olakšava matematičku obradu različitih signala i šuma. Odjeljak 3.1.5 razvija ove ideje u kontekstu digitalnih komunikacionih sistema.

1.2.5. Jedinična impulsna funkcija

Korisna funkcija u teoriji komunikacije je jedinični impuls ili Diracova delta funkcija. Funkcija impulsa je apstrakcija, impuls beskonačne amplitude, nulte širine i jedinične težine (površine ispod impulsa), koncentrisan u tački gdje je vrijednost njenog argumenta nula. Jedinični impuls je dat sljedećim relacijama.

Neograničeno u jednom trenutku (1.11)

(1.12)

Jedinični impuls nije funkcija u uobičajenom smislu riječi. Ako ulazi u bilo koju operaciju, zgodno ga je posmatrati kao impuls konačne amplitude, jedinične površine i trajanja različitog od nule, nakon čega je potrebno uzeti u obzir granicu jer trajanje impulsa teži nuli. Grafički se može prikazati kao vrh koji se nalazi u tački čija je visina jednaka njegovom integralu ili njegovoj površini. Dakle, sa konstantom ALI predstavlja impulsnu funkciju čija je površina (ili težina). ALI, a vrijednost je nula svuda osim za tačku .

Jednačina (1.12) je poznata kao svojstvo prosijavanja (ili kvantizacije) jedinične impulsne funkcije; integral jediničnog impulsa i proizvoljne funkcije daje uzorak funkcije u tački .

1.3. Spektralna gustina

Spektralna gustina karakteristika signala je distribucija energije ili snage signala u rasponu frekvencija. Ovaj koncept je od posebnog značaja kada se razmatra filtriranje u komunikacionim sistemima. Moramo biti u stanju procijeniti signal i šum na izlazu filtera. Prilikom provođenja takve procjene koristi se spektralna gustina energije (ESD) ili spektralna gustina snage (power spectral density - PSD).

1.3.1. Spektralna gustina energije

Ukupna energija signala realne energije definiranog u intervalu opisana je jednadžbom (1.7). Koristeći Parsevalovu teoremu, možemo povezati energiju takvog signala izraženu u vremenskom domenu sa energijom izraženom u frekvencijskom domenu:

, (1.13)

gdje je Fourierova transformacija neperiodičnog signala . (Sažetak Fourierove analize može se naći u Dodatku A.) Označite pravokutnim amplitudnim spektrom definiranim kao

(1.14)

Količina je spektralna gustoća energije (ESD) signala. Stoga se iz jednačine (1.13) može izraziti ukupna energija integracijom spektralne gustine u odnosu na frekvenciju.

(1.15)

Ova jednadžba pokazuje da je energija signala jednaka površini ispod grafikona u frekvencijskom domenu. Spektralna gustina energije opisuje energiju signala po jedinici propusnog opsega i mjeri se u J/Hz. Pozitivna i negativna frekvencijska komponenta daju jednak doprinos energije, tako da je za stvarni signal vrijednost parna funkcija frekvencije. Stoga je spektralna gustina energije frekvencijsko simetrična u odnosu na ishodište, a ukupna energija signala može se izraziti na sljedeći način.

(1.16)

1.3.2. Spektralna gustina snage

Prosječna snaga realnog signala u periodičnom prikazu određena je jednačinom (1.8). Ako je periodični signal s periodom , klasificira se kao signal u periodičnom prikazu. Izraz za prosječnu snagu periodičnog signala dat je formulom (1.6), gdje se vremenski prosjek uzima za jedan period.

(1.17a)

Parsevalova teorema za pravi periodični signal ima oblik

, (1.17,b)

gdje su članovi kompleksni koeficijenti Fourierovog reda za periodični signal (vidi Dodatak A).

Za korištenje jednačine (1.17.6) potrebno je samo znati vrijednosti koeficijenata . Spektralna gustina snage (PSD) periodičnog signala, koja je realna, parna i nenegativna funkcija frekvencije i daje distribuciju snage signala u frekventnom opsegu, definirana je kako slijedi.

(1.18)

Jednačina (1.18) definira spektralnu gustinu snage periodičnog signala kao niz ponderiranih delta funkcija. Stoga je PSD periodičnog signala diskretna funkcija frekvencije. Koristeći PSD definisan u jednačini (1.18), može se napisati prosječna normalizirana snaga realnog signala.

(1.19)

Jednačina (1.18) opisuje samo PSD periodičnih signala. Ako je neperiodični signal, ne može se izraziti u terminima Fourierovog reda; ako je to neperiodični signal u periodičnoj reprezentaciji (sa beskonačnom energijom), možda neće imati Fourierovu transformaciju. Međutim, još uvijek možemo izraziti spektralnu gustoću snage takvih signala u granicama. Ako formiramo skraćenu verziju neperiodskog signala u periodičnom prikazu, uzimajući za to samo njegove vrijednosti iz intervala (), tada će imati konačnu energiju i odgovarajuću Fourierovu transformaciju. Može se pokazati da je spektralna gustina snage neperiodičnih signala definirana kao granica.

(1.20)

Primjer 1.1. Prosječna nazivna snaga

a) Pronađite prosječnu normaliziranu jačinu signala koristeći usrednjavanje vremena.

b) Izvršite stavku a sumiranjem spektralnih koeficijenata.

Odluka

a) Koristeći jednačinu (1.17, a), imamo sljedeće.

b) Koristeći jednačine (1.18) i (1.19), dobijamo sljedeće.

(vidi dodatak A)

1.4. autokorelacija

1.4.1. Autokorelacija energetskog signala

Korelacija je proces uparivanja; autokorelacija je uparivanje signala s njegovom vlastitom odgođenom verzijom. Autokorelacija signala realne energije definirana je na sljedeći način.

za (1.21)

Funkcija autokorelacije daje mjeru sličnosti signala s njegovom vlastitom kopijom, pomjerenu za jedinice vremena. Varijabla igra ulogu parametra skeniranja ili pretraživanja. nije funkcija vremena; to je samo funkcija vremenske razlike između signala i njegove pomaknute kopije.

Autokorelacija signala realne energije ima sljedeća svojstva.

1.

3. autokorelacija i ESD su Fourierove transformacije jedna od druge, što je označeno dvosmjernom strelicom

4. vrijednost na nuli jednaka je energiji signala

Nakon ispunjenja st. 1-3 je autokorelacija funkcija. Uslov 4 je posljedica uvjeta 3, tako da ga nije potrebno uključiti u glavni skup za testiranje autokorelacijske funkcije.

1.4.2. Autokorelacija periodičnog signala

Autokorelacija realnog periodičnog signala definirana je na sljedeći način.

za (1.22)

Ako je signal periodičan sa periodom, vremenski prosjek u jednačini (1.22) može se uzeti za jedan period, a autokorelacija se može izraziti na sljedeći način.

za (1.23)

Autokorelacija periodičnog signala koji uzima stvarne vrijednosti ima svojstva slična onima energetskog signala.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve, maksimalna vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i ESD su Fourierove transformacije jedna od druge

4.

1.5. nasumični signali

Glavni zadatak komunikacionog sistema je da prenosi informacije preko komunikacionog kanala. Svi korisni signali poruka pojavljuju se nasumično, tj. primalac ne zna unapred koji od mogućih znakova poruke će biti preneti. Osim toga, zbog različitih električnih procesa nastaje šum koji prati informacijske signale. Stoga nam je potreban efikasan način da opišemo slučajne signale.

1.5.1. slučajne varijable

Neka je slučajna varijabla HA) predstavlja funkcionalni odnos između slučajnog događaja ALI i pravi broj. Radi lakšeg označavanja, slučajnu varijablu označavamo sa X, i njegova funkcionalna ovisnost o ALI smatraće se eksplicitnim. Slučajna varijabla može biti diskretna ili kontinuirana. Distribucija slučajne varijable X nalazi se izrazom:

, (1.24)

gdje je vjerovatnoća da je vrijednost prihvaćena; slučajna varijabla X manji od realnog broja X ili jednako tome. Funkcija distribucije ima sljedeća svojstva.

2. ako

Još jedna korisna funkcija vezana za slučajnu varijablu X, je gustina vjerovatnoće, koja se piše na sljedeći način.

(1.25,a)

Kao i kod funkcije distribucije, gustina vjerovatnoće je funkcija realnog broja X. Naziv "funkcija gustine" proizašao je iz činjenice da je vjerovatnoća događaja jednaka sljedećem.

Koristeći jednačinu (1.25.6), možemo približno zapisati vjerovatnoću da će slučajna varijabla X ima vrijednost koja pripada vrlo malom intervalu između i .

Dakle, u granici koja teži nuli možemo napisati sljedeće.

Gustina vjerovatnoće ima sljedeća svojstva.

2. .

Dakle, gustina vjerovatnoće je uvijek nenegativna i ima jediničnu površinu. U tekstu knjige koristićemo notaciju da označimo gustinu vjerovatnoće za kontinuiranu slučajnu varijablu. Radi lakšeg označavanja, često ćemo izostaviti indeks X i pišite jednostavno. Ako je slučajna varijabla X može uzeti samo diskretne vrijednosti, koristićemo notaciju .

1.5.1.1. Ensemble mean

Srednja vrijednost ili očekivana vrijednost slučajne varijable X je definisan izrazom

, (1.26)

gdje se naziva operator očekivane vrijednosti. momenat n distribucija vjerovatnoće -tog reda slučajne varijable X zove se sljedeća vrijednost.

(1.27)

Za analizu komunikacionih sistema važna su prva dva momenta varijable X. Da, u n=1 jednačina (1.27) daje gore razmatrani trenutak i kada n= 1 - srednja kvadratna vrijednost X.

(1.28)

Također se mogu definirati centralni momenti, koji su momenti razlike X i . Centralni moment drugog reda (koji se naziva i disperzija) je kako slijedi.

Disperzija X također se zapisuje kao , a kvadratni korijen ove vrijednosti, , naziva se standardna devijacija X. Disperzija je mjera "raspršenosti" slučajne varijable X. Određivanje varijanse slučajne varijable ograničava širinu funkcije gustoće vjerovatnoće. Disperzija i RMS su povezani sljedećim odnosom.

Dakle, varijansa je jednaka razlici između kvadrata srednje vrijednosti i kvadrata srednje vrijednosti.

1.5.2. slučajni procesi

Nasumični proces se može posmatrati kao funkcija dve varijable: događaja ALI i vrijeme. Na sl. 1.5 pokazuje primjer slučajnog procesa. Showing N uzorak funkcija vremena. Svaka od funkcija uzorka može se posmatrati kao izlaz zasebnog generatora šuma. Za svaki događaj imamo jednu funkciju vremena (tj. funkcija uzorka). Skup svih funkcija uzorka naziva se ansambl. U svakom trenutku, , je slučajna varijabla čija vrijednost ovisi o događaju. I posljednji, za određeni događaj i za određeno vrijeme, je redovan broj. Radi lakšeg označavanja, slučajni proces ćemo označiti kao X(t), te funkcionalna ovisnost o ALI smatraće se eksplicitnim.

Sl.1.5. Proces slučajnog šuma

1.5.2.1. Statistička sredina slučajnog procesa

Pošto je vrijednost slučajnog procesa u svakom sljedećem trenutku nepoznata, slučajni proces čije su funkcije distribucije kontinuirane može se opisati statistički u smislu gustine vjerovatnoće. Općenito, u različito vrijeme ova funkcija za slučajni proces će imati drugačiji oblik. U većini slučajeva, nerealno je empirijski odrediti distribuciju vjerovatnoće slučajnog procesa. Istovremeno, za potrebe komunikacionih sistema često je dovoljan parcijalni opis, uključujući srednju vrednost i funkciju autokorelacije. Dakle, hajde da definišemo prosek slučajnog procesa X(t) as

, (1.30)

gdje je slučajna varijabla dobijena razmatranjem slučajnog procesa u trenutku , a je gustina vjerovatnoće (gustina preko ansambla događaja u trenutku ).

Definirajmo funkciju autokorelacije slučajnog procesa X(t) kao funkcija dvije varijable i

gdje su i slučajne varijable dobivene razmatranjem X(t) s vremena na vrijeme i respektivno. Funkcija autokorelacije je mjera odnosa između dva vremenska uzorka jednog slučajnog procesa.

1.5.2.2. stacionarnost

slučajni proces X(t) naziva se stacionarnim u strogom smislu ako ni na jednu njegovu statistiku ne utiče prenos porekla vremena. Slučajni proces se naziva stacionarnim u širem smislu ako se dvije njegove statistike, srednja vrijednost i funkcija autokorelacije, ne mijenjaju kada se pomjeri početak vremena. Dakle, proces je uglavnom stacionaran ako

Stacionarnost u užem smislu podrazumeva stacionarnost u širem smislu, ali ne i obrnuto. Većina korisnih rezultata teorije komunikacija zasniva se na pretpostavci da su nasumični informacijski signali i šum stacionarni u širem smislu. S praktične tačke gledišta, slučajni proces ne mora uvijek biti stacionaran, dovoljno je da bude stacionaran u nekom vidljivom vremenskom intervalu od praktičnog interesa.

Za stacionarne procese, funkcija autokorelacije u jednadžbi (1.33) ne zavisi od vremena, već samo od razlike. Drugim riječima, svi parovi vrijednosti X(t) u vremenima razdvojenim intervalom , imaju istu vrijednost korelacije. Stoga, za stacionarne sisteme, funkcija se može napisati jednostavno kao .

1.5.2.3. Autokorelacija slučajnih procesa, stacionarnih u širem smislu

Baš kao što varijansa nudi mjeru slučajnosti za slučajne varijable, funkcija autokorelacije nudi sličnu mjeru za slučajne procese. Za procese koji su stacionarni u širem smislu, funkcija autokorelacije zavisi samo od vremenske razlike.

Za široko stacionarni proces sa nultom srednjom sredinom, funkcija pokazuje koliko su statistički korelirane slučajne varijable procesa razdvojene sekundama. Drugim riječima, daje informacije o frekvencijskom odzivu povezanom sa slučajnim procesom. Ako se polako mijenja kako se povećava od nule do neke vrijednosti, to pokazuje da su u prosjeku vrijednosti uzorka X(t), uzeti na vrijeme i , su skoro jednaki. Stoga to imamo pravo očekivati ​​u frekvencijskoj zastupljenosti X(t) niske frekvencije će dominirati. S druge strane, ako se brzo smanjuje s povećanjem, moglo bi se to očekivati X(t)će se brzo mijenjati s vremenom i stoga će uključivati ​​pretežno visoke frekvencije.

Funkcija autokorelacije procesa koji je stacionaran u širem smislu i uzima realne vrijednosti ima sljedeća svojstva.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve maksimalna vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i spektralna gustina snage su jedna od druge Fourierove transformacije

4. vrijednost na nuli jednaka je prosječnoj jačini signala

1.5.3. Usrednjavanje vremena i ergodicnost

Da bismo izračunali i usrednjavanjem po ansamblu, potrebno je da ih usredsredimo po svim funkcijama uzorka procesa, pa su nam stoga potrebne potpune informacije o međusobnoj distribuciji funkcija gustoće verovatnoće u prvoj i drugoj aproksimaciji. U opštem slučaju, takve informacije u pravilu nisu dostupne.

Ako slučajni proces pripada posebnoj klasi zvanoj klasa ergodičkih procesa, njegov vremenski prosjek je jednak prosjeku ansambla, a statistička svojstva procesa mogu se odrediti usrednjavanjem tokom vremena jedne funkcije uzorka procesa. Da bi slučajni proces bio ergodičan, mora biti stacionaran u strogom smislu (obrnuto nije neophodno). Međutim, za komunikacione sisteme, gdje nam je stacionarnost u širem smislu dovoljna, zanimaju nas samo srednja vrijednost i autokorelacija.

Za slučajni proces se kaže da je ergodičan u odnosu na srednju vrijednost if

(1.35)

i ergodičan u odnosu na funkciju autokorelacije if

(1.36)

Testiranje nasumičnog procesa na ergodičnost je obično prilično teško. U praksi se po pravilu koristi intuitivna pretpostavka o svrsishodnosti zamjene prosjeka ansambla vremenskim prosjekima. Kada se analizira većina signala u komunikacijskim kanalima (u odsustvu impulsnih efekata), razumno je pretpostaviti da su slučajni signali ergodični u odnosu na autokorelacione funkcije. Budući da su za ergodičke procese vremenski prosjeci jednaki prosjekima ansambla, osnovni električni parametri, kao što su amplituda jednosmjerne komponente, srednja kvadratna vrijednost i prosječna snaga, mogu se povezati s momentima ergodičkog slučajnog procesa.

1. Vrijednost je jednaka DC komponenti signala.

2. Vrijednost je jednaka normaliziranoj snazi ​​DC komponente.

3. Trenutak drugog reda X(t), , jednako je ukupnoj prosječnoj normaliziranoj snazi.

4. Vrijednost je jednaka efektivnoj vrijednosti signala izraženoj kroz struju ili napon.

5. Disperzija je jednaka prosječnoj normaliziranoj snazi ​​naizmjeničnog signala.

6. Ako je srednja vrijednost procesa nula (tj. ), tada , i varijansa je jednaka efektivnoj vrijednosti ili (drugim riječima) varijansa predstavlja ukupnu snagu u normaliziranom opterećenju.

7. Standardna devijacija je standardna vrijednost promjenjivog signala.

8. Ako je , tada je RMS vrijednost signala.

1.5.4. Spektralna gustina snage i autokorelacija stohastičkog procesa

slučajni proces X(t) može se pripisati periodičnom signalu koji ima takvu spektralnu gustinu snage kao što je naznačeno u jednačini (1.20). Funkcija je posebno korisna u komunikacijskim sistemima jer opisuje distribuciju snage signala u frekventnom opsegu. Spektralna gustina snage vam omogućava da procijenite snagu signala koji će se prenositi kroz mrežu sa poznatim frekvencijskim karakteristikama. Glavna svojstva funkcija spektralne gustoće snage mogu se formulirati na sljedeći način.

1. uvijek uzima stvarne vrijednosti

2. za X(t) uzimajući prave vrednosti

3. autokorelacija i spektralna gustina snage su jedna od druge Fourierove transformacije

4. odnos između prosječne normalizirane snage i spektralne gustine snage

Na sl. 1.6 prikazuje vizualni prikaz autokorelacijske funkcije i funkcije spektralne gustoće snage. Šta znači pojam "korelacija"? Kada nas zanima korelacija dvaju fenomena, pitamo se koliko su usko povezani u ponašanju ili izgledu i koliko se poklapaju. U matematici, funkcija autokorelacije signala (u vremenskom domenu) opisuje korespondenciju signala samom sebi, pomjerenu za određeno vrijeme. Smatra se da je tačna kopija stvorena i lokalizirana na minus beskonačno. Zatim sekvencijalno pomičemo kopiju u pozitivnom smjeru vremenske ose i pitamo kako one (originalna verzija i kopija) odgovaraju jedna drugoj. Zatim pomjerimo kopiju još jedan korak u pozitivnom smjeru i pitamo koliko se sada poklapaju, i tako dalje. Korelacija između dva signala je prikazana kao funkcija vremena, označena sa ; u ovom slučaju, vrijeme se može smatrati parametrom skeniranja.

Na sl. 1.6 a-d gore opisana situacija je prikazana u nekim vremenskim trenucima. Rice. 1.6 a ilustruje jedan signal široko stacionarnog slučajnog procesa X(t). Signal je nasumični binarni niz sa pozitivnim i negativnim (bipolarnim) impulsima jedinične amplitude. Pozitivni i negativni impulsi se pojavljuju sa jednakom vjerovatnoćom. Trajanje svakog impulsa (binarne cifre) je T sekundi, a prosjek, ili vrijednost konstantne komponente slučajnog niza, je nula. Na sl. 1.6 b prikazan je isti niz, pomaknut u vremenu za sekunde. Prema prihvaćenoj notaciji, ovaj niz se označava sa . Pretpostavimo proces X(t) je ergodičan u odnosu na funkciju autokorelacije, tako da za pronalaženje možemo koristiti usrednjavanje vremena umjesto usrednjavanja ansambla. Vrijednost se dobija množenjem dva niza X(t) i sa naknadnim pronalaženjem prosjeka pomoću jednačine (1.36), koja vrijedi za ergodičke procese samo u granici. Međutim, integracija kroz cijeli broj perioda može nam dati neku procjenu od . Obratite pažnju na ono što se može dobiti pomicanjem X(t) kako u pozitivnom tako i u negativnom smjeru. Sličan slučaj je ilustrovan na sl. 1.6 in, na kojem se koristi originalna sekvenca uzorka (slika 1.6, a) i njegovu pomaknutu kopiju (slika 1.6, b). Zasjenjena područja ispod krivulje proizvoda doprinose pozitivno proizvodu, dok sive zone doprinose negativno. Integracija kroz vrijeme prijenosa daje tačku na krivulji. Slijed se može dalje pomicati za i svaki takav pomak će dati poentu na ukupnoj autokorelacionoj funkciji, prikazanoj na Sl. 1.6 G. Drugim riječima, svaki slučajni niz bipolarnih impulsa odgovara autokorelacijskoj tački na općoj krivulji prikazanoj na Sl. 1.6 G. Maksimum funkcije je u točki (najbolje odgovara kada je , jednako nuli, jer za sve ), a funkcija pada kao . Na sl. 1.6 G prikazane su tačke koje odgovaraju i.

Analitički izraz za autokorelacione funkcije, prikazan na sl. 1.6 G, ima sljedeći oblik.

(1.37)

Imajte na umu da nam funkcija autokorelacije daje informacije o frekvenciji; govori nam nešto o propusnosti signala. U isto vrijeme, autokorelacija je vremenska funkcija; u formuli (1.37) nema pojmova koji zavise od frekvencije. Pa kako nam daje informacije o propusnosti?

Sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustoća snage

Sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustina snage (kraj)

Pretpostavimo da se signal kreće veoma sporo (signal ima mali propusni opseg). Ako kopiju signala pomjerimo duž ose, postavljajući u svakoj fazi pomaka pitanje koliko kopija i original odgovaraju jedno drugom, korespondencija će biti prilično jaka dugo vremena. Drugim riječima, trokutna autokorelacija funkcija (slika 1.6, G i formula 1.37) će se polako smanjivati ​​sa povećanjem . Pretpostavimo sada da se signal mijenja dovoljno brzo (tj. imamo veliki opseg). U ovom slučaju, čak i mala promjena će uzrokovati da korelacija bude nula, a funkcija autokorelacije će imati vrlo uski oblik. Stoga, poređenje autokorelacijskih funkcija prema obliku daje nam neke informacije o propusnosti signala. Da li se funkcija postepeno smanjuje? U ovom slučaju imamo signal sa uskim opsegom. Podsjeća li oblik funkcije na uski vrh? Tada signal ima široki opseg.

Funkcija autokorelacije omogućava vam da eksplicitno izrazite spektralnu gustoću snage slučajnog signala. Budući da su spektralna gustina snage i autokorelacijske funkcije jedna druge Fourierove transformacije, spektralna gustina snage, , slučajnog niza bipolarnih impulsa može se naći kao Fourierova transformacija funkcije , čiji je analitički izraz dat u jednadžbi (1.37) . Da biste to učinili, možete koristiti tablicu. A.1. primeti, to

(1.38)

Opšti prikaz funkcije prikazan je na sl. 1.6 d.

Imajte na umu da područje ispod krive spektralne gustine snage predstavlja prosječnu snagu signala. Jedna zgodna mjera propusnog opsega je širina glavnog spektralnog režnja (vidi Odjeljak 1.7.2). Na sl. 1.6 d pokazano je da je propusni opseg signala povezan sa recipročnim trajanjem simbola ili širinom impulsa. Rice. 1.6 f-k formalno ponoviti Sl. 1.6 pakao, osim što je na sljedećim slikama trajanje impulsa kraće. Imajte na umu da je za kraće impulse funkcija uža (slika 1.6, i) nego za duže (slika 1.6, G). Na sl. 1.6 i; drugim riječima, u slučaju kraćeg trajanja impulsa, pomak od , dovoljan je za stvaranje nultog podudaranja ili za potpuni gubitak korelacije između pomjerenih sekvenci. Pošto na sl. 1.6 e trajanje pulsa T manje (veća brzina prijenosa pulsa) nego na sl. 1.6 a, popunjenost opsega na Sl. 1.6 to veća zauzetost opsega za nižu frekvenciju impulsa prikazanu na sl. 1.6 d.

1.5.5. Buka u komunikacionim sistemima

Termin "šum" odnosi se na neželjene električne signale koji su uvijek prisutni u električnim sistemima. Prisutnost buke koja je superponirana na signalu "zamračuje" ili maskira signal; ovo ograničava sposobnost primaoca da donese tačne odluke o značenju simbola, i samim tim ograničava brzinu informacija. Priroda buke je raznolika i uključuje prirodne i umjetne izvore. Šumovi koje je stvorio čovjek su šum paljenja iskre, šum impulsa prebacivanja i šum drugih srodnih izvora elektromagnetnog zračenja. Prirodna buka dolazi iz atmosfere, sunca i drugih galaktičkih izvora.

Dobar inženjerski dizajn može eliminisati većinu šuma ili njegove neželjene efekte kroz filtriranje, ekranizaciju, odabir modulacije i optimalnu lokaciju prijemnika. Na primjer, osjetljiva radioastronomska mjerenja obično se izvode u udaljenim pustinjskim područjima, daleko od prirodnih izvora buke. Međutim, postoji jedna prirodna buka, nazvana termalna buka, koja se ne može eliminisati. Toplotni šum nastaje toplinskim kretanjem elektrona u svim disipativnim komponentama - otpornicima, provodnicima itd. Isti elektroni koji su odgovorni za električnu provodljivost odgovorni su i za termalni šum.

Toplotni šum se može opisati kao Gausov slučajni proces sa nultom srednjom sredinom. Gausov proces n(t) je slučajna funkcija, čija vrijednost i u proizvoljnom trenutku t je statistički karakteriziran Gausovom funkcijom gustoće vjerovatnoće:

, (1.40)

gdje je varijansa n. Normalizirana Gaussova funkcija gustoće procesa s nultom srednjom vrijednosti dobiva se pod pretpostavkom da je . Šematski normalizirana funkcija gustoće vjerovatnoće prikazana je na sl. 1.7.

Evo nasumcenog signala, a- signal u komunikacijskom kanalu, i n je slučajna varijabla koja izražava Gausov šum. Tada se funkcija gustoće vjerovatnoće izražava kao

, (1.41)

gdje je, kao gore, varijansa n.

Sl.1.7. Normalizirana () Gausova funkcija gustoće vjerovatnoće

Gausova distribucija se često koristi kao model za buku u sistemu, jer postoji teorema o centralnoj granici, koja navodi da, pod vrlo opštim uslovima, distribucija verovatnoće sume j statistički nezavisne slučajne varijable pokoravaju se Gausovoj raspodeli, a oblik pojedinačnih funkcija distribucije nije bitan. Dakle, čak i ako će pojedinačni mehanizmi šuma imati ne-Gausovu distribuciju, skup mnogih takvih mehanizama težit će Gausovoj distribuciji.

1.5.5.1. Bijeli šum

Glavna spektralna karakteristika termičkog šuma je da je njegova spektralna gustina snage ista za sve frekvencije od interesa u većini komunikacionih sistema; drugim riječima, izvor termičkog šuma na svim frekvencijama zrači jednakom snagom po jedinici širine pojasa - od istosmjerne do frekvencije reda Hz. Stoga, jednostavan model termičkog šuma pretpostavlja da je njegova spektralna gustina snage uniformna za sve frekvencije, kao što je prikazano na Sl. 1.8 a, a piše se u sljedećem obliku.

(1.42)

Ovdje je uključen faktor 2 kako bi se pokazalo da je dvostrana spektralna gustina snage. Kada snaga šuma ima tako ujednačenu spektralnu gustinu, ovaj šum nazivamo bijelim. Pridjev "bijelo" koristi se u istom značenju kao i za bijelo svjetlo, koje sadrži jednake dijelove svih frekvencija u vidljivom elektromagnetnom spektru.

Sl.1.8. Bijeli šum: a) spektralna gustina snage;

b) autokorelacione funkcije

Funkcija autokorelacije bijelog šuma data je inverznom Fourierovom transformacijom spektralne gustine snage šuma (vidi tabelu A.1) i zapisuje se na sljedeći način.

(1.43)

Dakle, autokorelacija bijelog šuma je delta funkcija, ponderirana faktorom i smještena u tački, kao što je prikazano na Sl. 1.8 b. Imajte na umu da je jednako nuli za , tj. dva različita uzorka bijelog šuma nisu u korelaciji, bez obzira koliko su bliski.

Prosječna snaga bijelog šuma je beskonačna jer je propusni opseg bijelog šuma beskonačan. To se može vidjeti dobivanjem sljedećeg izraza iz jednačina (1.19) i (1.42).

(1.44)

Iako je bijeli šum vrlo korisna apstrakcija, nijedan proces šuma zapravo ne može biti bijeli; međutim, šum koji se pojavljuje u mnogim stvarnim sistemima se vjerovatno može smatrati bijelim. Takav šum možemo uočiti tek nakon što prođe kroz pravi sistem sa ograničenim propusnim opsegom. Stoga, sve dok je propusni opseg šuma znatno veći od propusnog opsega koji koristi sistem, može se smatrati da šum ima beskonačan propusni opseg.

Delta funkcija u jednadžbi (1.43) znači da signal šuma n(t) apsolutno nije u korelaciji s vlastitom pristrasnom verzijom za bilo koji . Jednačina (1.43) pokazuje da bilo koja dva uzorka procesa bijelog šuma nisu u korelaciji. Budući da je termalni šum Gausov proces i njegovi uzorci nisu u korelaciji, uzorci buke su također nezavisni. Dakle, efekat aditivnog kanala bele Gausove buke na proces detekcije je da šum nezavisno utiče na svaki emitovani simbol. Takav kanal se naziva kanal bez memorije. Termin "aditiv" znači da se šum jednostavno nadovezuje ili dodaje signalu - ne postoje multiplikativni mehanizmi.

Budući da je termalni šum prisutan u svim komunikacionim sistemima i značajan je izvor buke za većinu sistema, karakteristike toplotnog šuma (aditivni, bijeli i Gaussov) se često koriste za modeliranje buke u komunikacijskim sistemima. Budući da je Gaussov šum nulte srednje vrijednosti u potpunosti karakteriziran svojom varijansom, ovaj model je posebno jednostavan za korištenje u detekciji signala i optimalnom dizajnu prijemnika. U ovoj knjizi ćemo pretpostaviti (osim ako nije drugačije navedeno) da je sistem oštećen aditivnim bijelim Gausovim šumom sa nultom srednjom vrijednosti, iako će ponekad ovo pojednostavljenje biti previše snažno.

1.6. Prenos signala kroz sisteme linija

Nakon što smo razvili skup modela signala i šuma, pogledajmo karakteristike sistema i njihov uticaj na signale i šum. Pošto se sistem može okarakterisati sa jednakim uspehom iu frekvencijskom iu vremenskom domenu, u oba slučaja su razvijene metode za analizu odgovora linearnog sistema na proizvoljan ulazni signal. Signal primijenjen na ulaz sistema (slika 1.9) može se opisati ili kao vremenski signal, , ili kroz njegovu Fourierovu transformaciju, . Upotreba vremenske analize daje vremenski izlaz, a u procesu će se odrediti funkcija, impulsni odziv ili impulsni odziv mreže. Kada razmatramo ulaz u frekvencijskom domenu, moramo odrediti frekvencijski odziv sistema, odnosno funkciju prijenosa, koja će odrediti frekvencijski izlaz. Pretpostavlja se da je sistem linearan i invarijantan u odnosu na vrijeme. Takođe se pretpostavlja da sistem nema latentnu energiju u trenutku kada je dat ulazni signal.

Sl.1.9. Linearni sistem i njegovi ključni parametri

1.6.1. impulsni odgovor

Linearni, vremenski nepromjenjiv sistem ili mreža prikazana na sl. 1.9 je opisan (u vremenskom domenu) impulsnim odzivom, koji je odgovor sistema kada se jedan impuls primeni na njegov ulaz.

Razmislite o terminu "impulsni odgovor", koji je izuzetno prikladan za ovaj događaj. Opis karakteristika sistema kroz njegov impulsni odziv ima direktnu fizičku interpretaciju. Na ulaz sistema primenjujemo jedan impuls (nerealan signal beskonačne amplitude, nulte širine i jedinične površine), kao što je prikazano na Sl. 1.10, a. Snabdevanje takvog impulsa sistemu može se smatrati „trenutnim uticajem“. Kako će sistem reagovati („reagovati“) na takvu primenu sile (impulsa)? Izlazni signal je impulsni odziv sistema. (Mogući oblik ovog odgovora je prikazan na slici 1.10, b.)

Odgovor mreže na proizvoljan signal je konvolucija sa , koja se piše na sljedeći način.

(1.46)

Sl.1.10. Ilustracija koncepta "impulsnog odgovora": a) ulazni signal je jedinična impulsna funkcija; b) izlazni signal je impulsni odziv sistema

Ovdje znak "*" označava operaciju konvolucije (vidi klauzulu A.5). Pretpostavlja se da je sistem kauzalni, što znači da nema signala na izlazu do trenutka kada se signal primijeni na ulaz. Stoga se donja granica integracije može uzeti jednakom nuli, a izlaz se može izraziti na nešto drugačiji način.

(1.47,a)

ili u formi

(1.47b)

Izrazi u jednačinama (1.46) i (1.47) nazivaju se konvolucijskim integralima. Konvolucija je osnovni matematički alat koji igra važnu ulogu u razumijevanju svih komunikacijskih sistema. Ako čitalac nije upoznat sa ovom operacijom, treba da pogleda odeljak A.5 za izvođenje jednačina (1.46) i (1.47).

1.6.2. Funkcija prijenosa frekvencije

Frekvencijski izlaz se dobija primjenom Fourierove transformacije na obje strane jednačine (1.46). Kako se konvolucija u vremenskom domenu pretvara u množenje u frekvencijskom domenu (i obrnuto), iz jednačine (1.46) dobijamo sljedeće.

(Pretpostavlja se, naravno, da za sve.) Evo , Fourierova transformacija impulsnog odziva, nazvana funkcija prijenosa frekvencije, frekvencijski odziv ili frekvencijski odziv mreže. Općenito, funkcija je složena i može se napisati kao

, (1.50)

gdje je modul odziva. Faza odgovora je definirana na sljedeći način.

(1.51)

(i označi stvarne i imaginarne dijelove argumenta.)

Funkcija prijenosa frekvencije linearne, vremenski nepromjenjive mreže može se lako izmjeriti u laboratoriji - u mreži sa generatorom harmonika na ulazu i osciloskopom na izlazu. Ako je ulazni signal izražen kao

,

onda se izlaz može napisati na sljedeći način.

Ulazna frekvencija se pomera za vrednost koja nas zanima; prema tome, mjerenja na ulazu i izlazu omogućavaju određivanje vrste.

1.6.2.1. Slučajni procesi i linearni sistemi

Ako slučajni proces formira ulaz linearnog, vremenski nepromjenjivog sistema, tada na izlazu ovog sistema dobijamo i slučajni proces. Drugim riječima, svaka funkcija uzorka ulaznog procesa daje funkciju uzorka izlaznog procesa. Spectralna gustina ulazne snage i spektralna gustina izlazne snage povezane su sljedećom relacijom.

(1.53)

Jednačina (1.53) pruža jednostavan način za pronalaženje spektralne gustine snage na izlazu linearnog, vremenski nepromjenjivog sistema kada se kao ulaz primjenjuje nasumični proces.

U poglavljima 3 i 4, pogledaćemo detekciju signala u Gausovom šumu. Glavno svojstvo Gausovih procesa će se primijeniti na linearni sistem. Pokazat će se da ako se Gaussov proces unese u vremenski nepromjenjiv linearni filter, onda je slučajni proces, koji se izlazi, također Gausov.

1.6.3. Prenos bez izobličenja

Šta je potrebno da bi se mreža ponašala kao idealan kanal za prijenos? Signal na izlazu idealnog komunikacionog kanala može biti odgođen u odnosu na signal na ulazu; osim toga, ovi signali mogu imati različite amplitude (jednostavno rescaling), ali kao i za sve ostalo - signal ne bi trebao biti izobličen, tj. mora imati isti oblik kao i ulazni signal. Stoga, za idealan neiskrivljeni prijenos, možemo opisati izlazni signal kao

, (1.54)

gdje i su konstante. Primjenom Fourierove transformacije na oba dijela (vidi odjeljak A.3.1), imamo sljedeće.

(1.55)

Zamjenom izraza (1.55) u jednačinu (1.49) vidimo da neophodna prijenosna funkcija sistema za prijenos bez izobličenja ima sljedeći oblik.

(1.56)

Stoga, da bi se postigao idealan prijenos bez izobličenja, ukupni odziv sistema mora imati konstantan modul, a fazni pomak mora biti linearan u frekvenciji. Nije dovoljno da sistem podjednako pojačava ili smanjuje sve frekvencijske komponente. Svi harmonici signala moraju stići na izlaz sa istim zakašnjenjem kako bi se mogli zbrojiti. Budući da je kašnjenje povezano sa faznim pomakom i cikličnom frekvencijom relacijom

, (1.57,a)

očigledno je da, da bi kašnjenje svih komponenti bilo isto, fazni pomak mora biti proporcionalan frekvenciji. Za mjerenje izobličenja signala uzrokovanog kašnjenjem, često se koristi karakteristika koja se naziva grupno kašnjenje; definira se na sljedeći način.

(1.57b)

Dakle, za prijenos bez izobličenja, imamo dva ekvivalentna zahtjeva: faza mora biti linearna po frekvenciji, ili grupno kašnjenje mora biti jednako konstanti. U praksi, signal će biti izobličen dok prolazi kroz neke dijelove sistema. Da bi se eliminisalo ovo izobličenje, u sistem se mogu uvesti krugovi za korekciju faze ili amplitude (izjednačavanje). Općenito, izobličenje je opšta I/O karakteristika sistema koja određuje njegove performanse.

1.6.3.1. Idealan filter

Nerealno je izgraditi idealnu mrežu opisanu jednadžbom (1.56). Problem je u tome što jednačina (1.56) pretpostavlja beskonačnu širinu pojasa, pri čemu je širina opsega sistema određena opsegom pozitivnih frekvencija u kojima modul ima datu vrijednost. (Općenito, postoji nekoliko mjera propusnog opsega; najčešće su navedene u Odjeljku 1.7.) Kao aproksimaciju idealnoj mreži sa beskonačnim propusnim opsegom, biramo skraćenu mrežu koja propušta bez izobličenja sve harmonike s frekvencijama između i gdje je donja granična frekvencija, a gornja, kao što je prikazano na sl. 1.11. Sve takve mreže nazivaju se idealnim filterima. Pretpostavlja se da je izvan opsega, koji se naziva propusni opseg (passband), amplituda odziva idealnog filtera nula. Efektivni propusni opseg je određen propusnim opsegom filtera i iznosi Hz.

Ako i , filter se naziva transmisivni (slika 1.11, a). Ako i ima konačnu vrijednost, naziva se niskopropusni filter (slika 1.11, b). Ako ima vrijednost različitu od nule i , naziva se visokopropusni filter (slika 1.11, in).

Sl.1.11. Prijenosna funkcija idealnih filtera: a) idealni prijenosni filter; b) idealan niskopropusni filter; c) idealan niskopropusni filter

Koristeći jednačinu (1.59) i pretpostavivši da je idealan niskopropusni filter sa Hz propusnim opsegom prikazanim na sl. 1.11 b, prijenosna funkcija se može napisati na sljedeći način.

(1.58)

Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera, prikazan na sl. 1.12 izražava se sljedećom formulom.

Sl.1.12. Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera

gdje je funkcija definirana u jednačini (1.39). Impulsni odziv prikazan na sl. 1.12 nije uzročno; to znači da u trenutku kada se signal primjenjuje na ulaz (), na izlazu filtera postoji odziv različit od nule. Stoga bi trebalo biti očigledno da se idealni filter opisan jednadžbom (1.58) zapravo ne pojavljuje.

Primjer 1.2. Propuštanje bijelog šuma kroz idealan filter

Bijeli šum sa spektralnom gustinom snage prikazano na slici 1.8, a, se primjenjuje na ulaz idealnog niskopropusnog filtera prikazanog na Sl. 1.11 b. Odredite spektralnu gustoću snage i autokorelacione funkcije izlaznog signala.

Odluka

Funkcija autokorelacije je rezultat primjene inverzne Fourierove transformacije na spektralnu gustoću snage. Funkcija autokorelacije određena je sljedećim izrazom (vidi tabelu A.1).

Upoređujući rezultat dobijen formulom (1.62), vidimo da on ima isti oblik kao impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera prikazanog na Sl. 1.12. U ovom primjeru, idealan niskopropusni filtar pretvara autokorelacijsko funkciju bijelog šuma (definiranu u smislu delta funkcije) u funkciju. Nakon filtriranja, sistem više neće imati bijeli šum. Izlazni signal šuma će imati samo nultu korelaciju sa svojim pomaknutim kopijama kada se pomakne za , gdje je bilo koji cijeli broj različit od nule.

1.6.3.2. Implementirani filteri

Najjednostavniji niskopropusni filter koji se može implementirati sastoji se od otpora (R) i kapacitivnosti (C), kao što je prikazano na sl. 1.13 a; ovaj filter se naziva RC filter i njegova prijenosna funkcija se može izraziti na sljedeći način.

, (1.63)

gdje . Amplitudna i fazna karakteristika su prikazane na sl. 1.13 b, in. Širina pojasa niskopropusnog filtera je određena na tački polovine snage; ova tačka je frekvencija na kojoj je snaga izlaznog signala polovina maksimalne vrijednosti, ili frekvencija na kojoj je amplituda izlaznog napona jednaka maksimalnoj vrijednosti.

Općenito, tačka polusnage je izražena u decibelima (dB) kao tačka -3 dB, ili tačka 3 dB ispod maksimalne vrijednosti. Po definiciji, vrijednost u decibelima određena je omjerom snaga i .

(1.64, a)

Ovdje i su naponi, a i su otpori. U komunikacijskim sistemima, normalizirana snaga se obično koristi za analizu; u ovom slučaju, otpori i se smatraju jednakim 1 ohm, tada

Sl.1.13. RC filter i njegova prijenosna funkcija: a) RC filter; b) amplitudna karakteristika RC filtera; c) fazni odziv RC filtera

(1.64, b)

Amplitudni odziv se može izraziti u decibelima kao

, (1,64, in)

gdje su i ulazni i izlazni naponi, a ulazni i izlazni otpori se pretpostavljaju jednaki.

Iz jednačine (1.63) lako je provjeriti da li tačka polovine snage RC niskopropusnog filtera odgovara rad/s, ili Hz. Dakle, širina pojasa u hercima je . Faktor forme filtera je mjera koliko je pravi filter približan idealnom. Obično se definiše kao omjer opsega filtera -60 dB i -6 dB. Dovoljno mali faktor forme (oko 2) može se dobiti u transmisionom filteru sa vrlo oštrim presekom. Poređenja radi, faktor oblika jednostavnog RC niskopropusnog filtera je oko 600.

Postoji nekoliko korisnih aproksimacija karakteristike idealnog niskopropusnog filtera. Jedan od njih je Butterworthov filter, koji aproksimira idealni niskopropusni filter sa funkcijom

, (1.65)

gdje je gornja granična frekvencija (-3 dB) i red filtera. Što je veći red, to je veća složenost i cijena implementacije filtera. Na sl. 1.14 prikazuje grafikone amplitude za nekoliko vrijednosti. Imajte na umu da kako i rastu, amplituda se približava karakteristikama idealnog filtera. Butterworth filteri su popularni jer su najbolja aproksimacija idealnog slučaja u smislu maksimalnog propusnog opsega filtera.

Periodični nastavak impulsa. Koncept spektralne gustine signala Inverzna Fourierova transformacija. Uslov za postojanje spektralne gustine signala Odnos između trajanja impulsa i širine njegovog spektra Generalizovana Rayleighova formula Međusobna spektralna gustina signala. Energetski spektar Korelaciona analiza signala Poređenje signala pomerenih u vremenu.

Svrha predavanja:

Dobiti spektralne karakteristike neperiodičnih (impulsnih) signala generalizacijom Fourierovih redova. Odredite zahtjeve za propusni opseg radio uređaja. Predstavljaju signale u smislu njihove spektralne gustine. Koristite energetski spektar da dobijete različite inženjerske procjene. Shvatite kako se javlja potreba za signalima sa posebno odabranim svojstvima.

Neka je s (t) jedan impulsni signal konačnog trajanja. Dopunjujući ga mentalno istim signalima koji periodično prate kroz određeni vremenski interval T, dobijamo prethodno proučavani periodični niz S per (t), koji se može predstaviti kao složeni Fourierov red

(12.1) sa koeficijentima . (12.2)

Da bismo se vratili na jedan impulsni signal, postavimo period ponavljanja na beskonačnost T. U ovom slučaju je očigledno:

a) frekvencije susjednih harmonika nω 1 i (n+ l)ω 1 će biti proizvoljno bliske, tako da se u formulama (12.1) i (12.2) diskretna varijabla nω 1 može zamijeniti kontinuiranom varijablom ω - trenutnom frekvencijom;

b) amplitudski koeficijenti C n će postati beskonačno mali zbog prisustva T u nazivniku formule (12.2).

Naš zadatak je sada pronaći granični oblik formule (12.1) kao T→∞.

Razmotrimo mali frekvencijski interval Δω, koji čini susjedstvo neke odabrane frekvencijske vrijednosti ω 0 . Unutar ovog intervala će sadržavati N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) pojedinačnih parova spektralnih komponenti, čije se frekvencije razlikuju koliko god želite. Stoga se komponente mogu dodati kao kao da svi imaju istu frekvenciju i da ih karakteriziraju iste kompleksne amplitude

Kao rezultat, nalazimo kompleksnu amplitudu ekvivalentnog harmonijskog signala, koja odražava doprinos svih spektralnih komponenti sadržanih u intervalu Δω

. (12.3)

Funkcija (12.4)

se zove spektralna gustina signal s (t). Formula (12.4) implementira Fourierova transformacija ovaj signal.

Rešimo inverzni problem spektralne teorije signala: pronađimo signal po njegovoj spektralnoj gustini, što ćemo smatrati datim.

Budući da se u granici frekvencijski intervali između susjednih harmonika neograničeno smanjuju, posljednji zbir treba zamijeniti integralom

. (12.5)

Ova važna formula se zove inverzna Fourierova transformacija za signal s(t).

Hajde da konačno formulišemo osnovni rezultat: signal s(t) i njegova spektralna gustoća S(ω) su jedan-prema jedan povezani direktnim i inverznim Fourierovim transformacijama

, (12.6)

.

Spektralno predstavljanje signala otvara direktan put ka analizi prolaska signala kroz široku klasu radio kola, uređaja i sistema.

Signal s(t) se može povezati sa njegovom spektralnom gustinom s(ω) ako je ovaj signal apsolutno integrabilno, tj. postoji integral

Takav uslov značajno sužava klasu dozvoljenih signala. Dakle, u naznačenom klasičnom smislu, nemoguće je govoriti o spektralnoj gustoći harmonijskog signala i(t) = U m cosω 0 t , postoji kroz beskonačnu os vremena.

Važan prilog: što je kraće trajanje pulsa, širi je njegov spektar.

Pod širinom spektra se podrazumijeva interval frekvencije unutar kojeg modul spektralne gustine nije manji od nekog unaprijed određenog nivoa, na primjer, varira od |S| max , do 0,1|S| max.

Umnožak širine pulsnog spektra i njegovog trajanja je konstantan broj koji zavisi samo od oblika impulsa i po pravilu ima red jedinice: Što je trajanje impulsa kraće, širina je širine odgovarajućeg pulsa. pojačalo bi trebalo da bude. Kratki impulsni šum ima širok spektar i stoga može pogoršati uslove radio prijema u velikom frekventnom opsegu.

Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uslov apsolutne integrabilnosti, tako da metoda Fourierove transformacije u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, možemo govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustine opisane generaliziranim funkcijama.

Neka dva signala u(t) i v(t), općenito kompleksne vrijednosti, definirane njihovim inverznim Fourierovim transformacijama.

Nađimo skalarni proizvod ovih signala izražavanjem jednog od njih, na primjer v(t), kroz svoju spektralnu gustinu

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Lako pamtljiva interpretacija ove formule je sljedeća: skalarni proizvod dva signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom proizvodu njihovih spektralnih gustoća. Ako se signali poklapaju identično, tada skalarni proizvod postaje jednak energiji

. (12.7)

Hajde da pozovemo uzajamni energetski spektar stvarni signali u(t) i v(t) funkcija

, (12.8)

takav da

. (4.9)

Lako je vidjeti da je Re W UV(ω)-par, i Im W UV(ω)-neparna frekvencijska funkcija. Integral (12.9) samo doprinosi realnom dijelu, dakle

. (12.10)

Posljednja formula omogućava analizu "fine strukture" međusobnog povezivanja signala.

Štaviše, generalizovana Rayleighova formula, predstavljena u obliku (12.10), ukazuje na fundamentalni način da se smanji stepen povezanosti između dva signala, postižući njihovu ortogonalnost u granici. Da bi se to postiglo, jedan od signala mora biti obrađen u posebnom fizičkom sistemu tzv frekvencijski filter. Ovaj filter je neophodan da na izlaz ne prođe spektralne komponente koje se nalaze unutar frekvencijskog intervala, gdje je stvarni dio međusobnog energetskog spektra velik. Frekvencijska ovisnost koeficijenta prijenosa takvih ortogonalni filter imaće izražen minimum unutar naznačenog frekvencijskog opsega.

Spektralni prikaz energije signala može se lako dobiti iz generalizirane Rayleighove formule ako se signali u njoj u(t) i v(t) razmotriti isto. Formula (12.8), koja izražava spektralnu gustinu energije, poprima oblik

Poziva se vrijednost W u (ω). spektralna gustina energije signal u(t), ili, ukratko, njegov energetski spektar. Formula (3.2) će se tada napisati kao

. (12.12)

Relacija (4.12) je poznata kao Rayleigh formula(u užem smislu), koji kaže sljedeće: energija bilo kojeg signala je rezultat sumiranja doprinosa iz različitih intervala frekvencijske ose.

Kada proučavamo signal koristeći njegov energetski spektar, neminovno gubimo informacije sadržane u faznom spektru signala, budući da je, u skladu sa formulom (4.11), energetski spektar kvadrat modula spektralne gustine i ne zavisi od njegovu fazu.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje dometa do cilja. Ovdje je informacija o objektu mjerenja ugrađena u vrijednost τ - vremensko kašnjenje između sondiranog i primljenog signala. Obrasci za ispitivanje i(t) i prihvaćeno i(t-τ) signali su isti za bilo koje kašnjenje. Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala dizajniranog za određivanje dometa može izgledati kao onaj prikazan na slici 12.1.

Slika 12.1 - Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Razmotrimo takozvani energetski oblik Fourierovog integrala. U poglavlju 5 prikazane su formule (7.15) i (7.16) koje daju prijelaz sa vremenske funkcije na Fourierovu sliku i obrnuto. Ako se uzme u obzir neka slučajna funkcija vremena x (s), onda se za nju ove formule mogu napisati u obliku

i integrisati preko svega

zamijeniti izrazom (11.54):

Vrijednost u uglastim zagradama (11.57), kao što je lako vidjeti, je originalna funkcija vremena (11.55). Dakle, rezultat je takozvana Rayleighova formula (Parsevalov teorem), koja odgovara energetskom obliku Fourierovog integrala:

Desna strana (11.58) i (11.39) je veličina proporcionalna energiji procesa koji se razmatra. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir struju koja teče kroz određeni otpornik s otporom K, tada će energija oslobođena u ovom otporniku tokom vremena biti

Formule (11.58) i (11.59) i izražavaju oblik energije Fourierovog integrala.

Međutim, ove formule su nezgodne jer za većinu procesa energija takođe teži beskonačnosti u beskonačnom vremenskom intervalu. Stoga je prikladnije baviti se ne energijom, već prosječnom snagom procesa, koja će se dobiti ako se energija podijeli s intervalom promatranja. Tada se formula (11.58) može predstaviti kao

Predstavljamo notaciju

naziva se spektralna gustina. bitan

Prema svom fizičkom značenju, spektralna gustina je veličina koja je proporcionalna prosječnoj snazi ​​procesa u opsegu frekvencija od co do co + d?co.

U nekim slučajevima, spektralna gustoća se razmatra samo za pozitivne frekvencije, udvostručujući je u isto vrijeme, što se može učiniti, budući da je spektralna gustoća parna funkcija frekvencije. Tada, na primjer, formulu (11.62) treba napisati kao

- spektralna gustina za pozitivne frekvencije.

budući da u ovom slučaju formule postaju simetričnije.

Vrlo važna okolnost je da su spektralna gustoća i korelacijske funkcije slučajnih procesa međusobne Fourierove transformacije, odnosno povezane su integralnim ovisnostima tipa (11.54) i (11.55). Ovo svojstvo je dato bez dokaza.

Dakle, mogu se napisati sljedeće formule:

Budući da su spektralna gustina i korelacija čak i realne funkcije, ponekad se formule (11.65) i (11.66) prikazuju u jednostavnijem obliku;

)

Ovo proizilazi iz činjenice da se jednakosti dešavaju:

a imaginarni dijelovi se mogu odbaciti nakon zamjene u (11.65) i (11.66), jer su realne funkcije na lijevoj strani.

leži u činjenici da što je grafik spektralne gustine uži (slika 11.16, a), tj. što su frekvencije niže zastupljene u spektralnoj gustini, to se vrijednost x sporije mijenja tokom vremena. Naprotiv, što je širi grafik spektralne gustine (slika 11.16, b), tj. što su veće frekvencije predstavljene u spektralnoj gustini, to je finija struktura funkcije x (r) i brže promene u vremenu .

Kao što se može vidjeti iz ovog razmatranja, odnos između vrste spektralne gustine i tipa vremenske funkcije dobija se obrnuto u odnosu na odnos između korelacione funkcije i samog procesa (slika 11.14). Iz ovoga slijedi da uži graf korelacijske funkcije treba da odgovara širem grafikonu spektralne gustine i obrnuto.

I 8 (co). Ove funkcije, za razliku od impulsnih funkcija o kojima se govori u poglavlju 4, su parne. To znači da se funkcija 8(m) nalazi simetrično u odnosu na ishodište i može se definirati na sljedeći način;

Slična definicija se odnosi na funkciju 8(co). Ponekad se u obzir uvodi normalizirana spektralna gustoća, što je Fourierova slika normalizirane korelacijske funkcije (11.52):

i stoga

gdje je O disperzija.

Međusobne spektralne gustine su također mjera odnosa između dvije slučajne varijable. U nedostatku komunikacije, međusobne spektralne gustine su jednake nuli.

Pogledajmo neke primjere.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.17 a. Fourierova slika koja joj odgovara na osnovu tabele. 11.3 će

Spektar procesa se sastoji od jednog vrha tipa impulsne funkcije koji se nalazi na početku koordinata (slika 11.17, b).

To znači da je sva snaga procesa koji se razmatra koncentrisana na frekvenciji metka, što je i očekivano.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.18, a, U skladu sa tabelom. 11.3 spektralna gustina će biti

3. Za periodičnu funkciju proširenu u Fourierov red

osim periodičnog dijela će sadržavati neperiodičnu komponentu, tada će spektar ove funkcije sadržavati, uz pojedinačne linije tipa impulsne funkcije, i kontinuirani dio (slika 11.20). Pojedinačni vrhovi na grafu spektralne gustine ukazuju na prisustvo skrivenih nepravilnosti u funkciji koja se proučava.

ne sadrži periodični dio, tada će imati kontinuirani spektar bez izraženih pikova.

Razmotrimo neke stacionarne slučajne procese koji su važni u proučavanju upravljačkih sistema. Smatraćemo samo centriranim

U ovom slučaju, srednji kvadrat slučajne varijable će biti jednak varijansi:

uzimanje u obzir konstantnog pomaka u sistemu upravljanja je elementarno.

(Sl. 11.21, a):

Primjer takvog procesa je termalni šum otpornika, koji daje nivo spektralne gustine haotičnog napona na ovom otporniku.

apsolutna temperatura.

Na osnovu (11.68), spektralna gustina (11.71) odgovara korelacionoj funkciji

ne postoji korelacija između narednih i prethodnih vrijednosti slučajne varijable x.

a time i beskonačna moć.

Da bismo dobili fizički realan proces, zgodno je uvesti koncept belog šuma sa ograničenom spektralnom gustinom (slika 11.21, b):

Širina pojasa za spektralnu gustinu.

Ovaj proces odgovara korelacionoj funkciji

RMS vrijednost slučajne varijable proporcionalna je kvadratnom korijenu frekvencijskog pojasa:

Često je zgodnije aproksimirati zavisnost (11.73) glatkom krivom. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti izraz

Faktor koji određuje širinu pojasa.

Proces se približava bijelom šumu, dakle

sto se tice ovih frekvencija

Integracija (11.77) po svim frekvencijama omogućava određivanje disperzije:

Stoga se spektralna gustina (11.77) može zapisati u drugom obliku:

Korelaciona funkcija za ovaj proces

Korelaciona funkcija je takođe prikazana na sl. 11.21, c.

Prijelaz s jedne vrijednosti na drugu je trenutan. Vremenski intervali poštuju Poissonov zakon raspodjele (11.4).

Grafikon ovog tipa dobija se, na primjer, u prvoj aproksimaciji pri praćenju pokretnog cilja radarom. Konstantna vrijednost brzine odgovara kretanju mete u pravoj liniji. Promjena znaka ili veličine brzine odgovara manevru cilja.

Biće prosječna vrijednost vremenskog intervala tokom kojeg ugaona brzina ostaje konstantna. Za radar, ova vrijednost će biti prosječno vrijeme kada se cilj kreće pravolinijski.

Za određivanje korelacijske funkcije potrebno je pronaći prosječnu vrijednost proizvoda

Prilikom pronalaska ovog djela mogu postojati dva slučaja.

pripadaju istom intervalu. Tada će prosječna vrijednost proizvoda ugaonih brzina biti jednaka srednjem kvadratu ugaone brzine ili disperzije:

pripadaju različitim intervalima. Tada će prosječna vrijednost proizvoda brzina biti jednaka metku:

budući da će proizvodi sa pozitivnim i negativnim predznacima biti podjednako vjerojatni. Korelaciona funkcija će biti jednaka

Vjerovatnoća njihovog pronalaženja u različitim intervalima.

Vjerovatnoća izostanka

Za vremenski interval

pošto su ti događaji nezavisni.

Kao rezultat, za konačan interval Am dobijamo

Predznak modula na m je postavljen jer izraz (11.80) mora odgovarati parnoj funkciji. Izraz za korelacijske funkcije poklapa se sa (11.79). Prema tome, spektralna gustina procesa koji se razmatra mora se poklapati sa (11.78):

Imajte na umu da je, za razliku od (11.78), formula spektralne gustine (11.81) napisana za ugaonu brzinu procesa (slika 11.22). Ako se krećemo od ugaone brzine do kuta, onda ćemo dobiti nestacionarni slučajni proces s varijansom koja teži beskonačnosti. Međutim, u većini slučajeva servo sistem, na čijem ulazu radi ovaj proces, ima astatičnost prvog i višeg reda. Dakle, prvi koeficijent greške c0 servo sistema jednak je nuli, a njegova greška će biti određena samo ulaznom brzinom i derivatima viših redova, u odnosu na koje je proces stacionaran. Ovo omogućava korištenje spektralne gustine (11.81) u izračunavanju dinamičke greške sistema za praćenje.

3. Nepravilno bacanje. Neki objekti, kao što su brodovi, avioni i drugi, koji su pod uticajem nepravilnih smetnji (nepravilni talasi, atmosferski poremećaji, itd.), kreću se po slučajnom zakonu frekvencije perturbacije koje su bliske njihovoj frekvenciji prirodnog oscilovanja. Rezultirajuće nasumično kretanje objekta naziva se nepravilno kotrljanje, za razliku od redovnog kotrljanja, koje je periodično kretanje.

Tipičan dijagram nepravilnog nagiba prikazan je na sl. 11.23. Iz razmatranja ovog grafikona može se vidjeti da je, uprkos nasumičnoj prirodi, ovo

kretanje je prilično blisko periodičnom.

U praksi, korelaciona funkcija nepravilnog kotrljanja često se aproksimira izrazom

Disperzija.

obično se pronalaze obradom eksperimentalnih podataka (terenski testovi).

Korelaciona funkcija (11.82) odgovara spektralnoj gustini (vidi tabelu 11.3)

Nepogodnost aproksimacije (11.82) je u tome što ova formula može opisati ponašanje bilo koje količine nepravilnog kotrljanja (ugao, ugaona brzina ili ugaono ubrzanje), u ovom slučaju, vrednost O će odgovarati disperziji ugla, brzine ili ubrzanje.

Ako je, na primjer, formula (11.82) napisana za ugao, tada će ovaj proces odgovarati nepravilnom damastu s disperzijom za ugaone brzine koje teže beskonačnosti, odnosno bit će to fizički nerealan proces.

Pogodnija formula za aproksimaciju ugla nagiba

Međutim, ova aproksimacija također odgovara fizički nerealnom procesu, jer se ispostavlja da disperzija kutnog ubrzanja teži beskonačnosti.

Da bi se dobila konačna disperzija kutnog ubrzanja, potrebne su još složenije aproksimacijske formule koje ovdje nisu prikazane.

Tipične krive korelacijske funkcije i spektralne gustine nepravilnog kotrljanja prikazane su na sl. 11.24.