Kako ?
Primjeri rješenja

Ako nešto negdje nedostaje, onda negdje nešto postoji

Nastavljamo sa proučavanjem rubrike "Funkcije i grafika", a sljedeća stanica našeg putovanja je. Aktivna diskusija ovaj koncept započelo u članku o skupovima i nastavilo se u prvoj lekciji na grafovi funkcija, gdje sam pogledao elementarne funkcije, a posebno njihov opseg. Stoga, preporučujem da lutke počnu s osnovama teme, jer se neću više zadržavati na nekim od osnovnih stvari.

Pretpostavlja se da čitalac poznaje obim sljedeće funkcije: linearni, kvadratni, kubna funkcija, polinomi, eksponent, sinus, kosinus. Oni su definisani na (skup svih realnih brojeva). Za tangente, arksinuse, neka bude, opraštam ti =) - rjeđi grafovi se ne pamte odmah.

Čini se da je domen definicije jednostavna stvar i postavlja se prirodno pitanje o čemu će članak biti? Na ovu lekciju Razmotrit ću uobičajene zadatke za pronalaženje opsega funkcije. Pored toga, ponovićemo nejednakosti sa jednom promenljivom, vještine za rješavanje koje će biti potrebne u drugim zadacima višu matematiku. Materijal je, inače, sav školski, tako da će biti koristan ne samo učenicima, već i učenicima. Informacija, naravno, ne pretenduje na enciklopediju, ali s druge strane, ovdje nema nategnutih „mrtvih“ primjera, već pečenih kestena, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.

Počnimo sa ekspresnim presecanjem teme. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegov domen definicije je skup "x" vrijednosti, za koji postoje značenje "igre". Razmislite uslovni primjer:

Domen ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona sindikata). Drugim riječima, ako uzmemo bilo koju vrijednost "x" iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav "x" postojati vrijednost "y".

Grubo govoreći, tamo gdje je domen definicije, postoji graf funkcije. Ali poluinterval i tačka “ce” nisu uključeni u područje definicije i tamo nema grafikona.

Kako pronaći opseg funkcije? Mnogi se sjećaju dječje rime: "kamen, makaze, papir", i in ovaj slučaj može se sigurno preformulisati: "korijen, razlomak i logaritam." Dakle, ako jesi životni put postoji razlomak, korijen ili logaritam, tada biste odmah trebali biti vrlo, vrlo oprezni! Tangenta, kotangens, arcsin, arkosinus su mnogo rjeđi, a o njima ćemo također govoriti. Ali prvo, skice iz života mrava:

Opseg funkcije koja sadrži razlomak

Pretpostavimo da je data funkcija koja sadrži neki razlomak . Kao što znate, ne možete podijeliti sa nulom: , dakle one x vrijednosti koje pretvaraju nazivnik na nulu nisu uključene u opseg ove funkcije.

Neću se zadržavati na najviše jednostavne funkcije like i tako dalje, jer svako može vidjeti tačke koje nisu uključene u njihov domen definicije. Razmotrite značajnije razlomke:

Primjer 1

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: nema ničeg posebnog u brojiocu, ali imenilac mora biti različit od nule. Izjednačimo to sa nulom i pokušajmo pronaći "loše" točke:

Rezultirajuća jednačina ima dva korijena: . Podaci o vrijednosti nije uključeno u opseg funkcije. Zaista, zamijenite ili u funkciju i vidjet ćete da imenilac ide na nulu.

Odgovori: domena:

Unos glasi kako slijedi: „domen definicije su svi realni brojevi sa izuzetkom skupa koji se sastoji od vrijednosti ". Podsjećam vas da ikona obrnute kose crte u matematici označava logičko oduzimanje, a vitičaste zagrade označavaju skup. Odgovor se može ekvivalentno napisati kao udruženje troje intervali:

Ko god voli.

U tačkama funkcija traje beskrajne pauze, i ravne linije dato jednačinama su vertikalne asimptote za graf ove funkcije. Međutim, ovo je malo drugačija tema i dalje se neću posebno fokusirati na to.

Primjer 2

Pronađite opseg funkcije

Zadatak je u suštini usmeni i mnogi od vas će skoro odmah pronaći područje definicije. Odgovorite na kraju lekcije.

Hoće li razlomak uvijek biti "loš"? br. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi. Koju god vrijednost "x" da uzmemo, imenilac se neće okrenuti na nulu, štoviše, uvijek će biti pozitivan:. Dakle, opseg ove funkcije je: .

Sve funkcije kao definisano i kontinuirano na .

Malo složenija je situacija kada je nazivnik zauzet kvadratni trinom:

Primjer 3

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: Pokušajmo pronaći tačke u kojima imenilac ide na nulu. Za ovo ćemo odlučiti kvadratna jednačina:

Ispostavilo se da je diskriminant negativan, što znači da nema pravih korijena, a naša funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

Odgovori: domena:

Primjer 4

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rešenje. Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Savjetujem vam da ne budete lijeni s jednostavnim problemima, jer će se nesporazumi gomilati za daljnje primjere.

Opseg funkcije s root-om

Funkcija kvadratnog korijena definirana je samo za one vrijednosti "x" kada radikalni izraz nije negativan: . Ako se korijen nalazi u nazivniku, onda je uvjet očito pooštren: . Slični izračuni vrijede za bilo koji korijen pozitivnog parnog stepena: , međutim, korijen je već 4. stepen u studije funkcije Ne sjećam se.

Primjer 5

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti nenegativan:

Pre nego što nastavim sa rešavanjem, da vas podsetim na osnovna pravila za rad sa nejednakostima, poznata još iz škole.

ja crtam Posebna pažnja! Sada razmatramo nejednakosti sa jednom promenljivom- odnosno za nas postoji samo jedna dimenzija duž ose. Molimo nemojte brkati sa nejednakosti dvije varijable, gdje je cijeli koordinatna ravan. Međutim, postoje i prijatne koincidencije! Dakle, za nejednakost, sljedeće transformacije su ekvivalentne:

1) Uslovi se mogu prenositi s dijela na dio promjenom njihovih (uslova) znakovi.

2) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti pozitivnim brojem.

3) Ako se oba dijela nejednakosti pomnože sa negativan broj, morate promijeniti znak same nejednakosti. Na primjer, ako je bilo “više”, onda će postati “manje”; ako je bilo “manje ili jednako”, tada će postati “veće ili jednako”.

U nejednakosti prenosimo „trojku“ na desna strana sa promjenom znaka (pravilo broj 1):

Pomnožite obje strane nejednakosti sa –1 (pravilo #3):

Pomnožite obje strane nejednakosti sa (pravilo broj 2):

Odgovori: domena:

Odgovor se također može napisati u ekvivalentnoj frazi: "funkcija je definirana na".
Geometrijski, domen definicije je prikazan senčenjem odgovarajućih intervala na x-osi. U ovom slučaju:

Ponovo vas podsećam geometrijskog smisla domeni definicije - graf funkcije postoji samo u zasjenjenom području i nema ga na .

U većini slučajeva je prikladan čisto analitički nalaz domene definicije, ali kada je funkcija jako zbrkana, trebalo bi nacrtati os i napraviti bilješke.

Primjer 6

Pronađite opseg funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer.

Kada se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni binom ili trinom, situacija postaje malo složenija, a sada ćemo detaljno analizirati tehniku ​​rješenja:

Primjer 7

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno moramo riješiti nejednakost . U prvom koraku pokušavamo faktorizirati kvadratni trinom:

Diskriminant je pozitivan, tražimo korijene:

Dakle, parabola siječe x-osu u dvije tačke, što znači da se dio parabole nalazi ispod ose (nejednakost), a dio parabole iznad ose (nejednakost koja nam je potrebna).

Budući da je koeficijent , onda grane parabole izgledaju gore. Iz navedenog proizilazi da je nejednakost zadovoljena na intervalima (grane parabole idu do beskonačnosti), a vrh parabole se nalazi na intervalu ispod ose apscise, što odgovara nejednakosti:

! Bilješka: ako ne razumijete u potpunosti objašnjenja, nacrtajte drugu os i cijelu parabolu! Preporučljivo je da se vratite na članak i priručnik Matematičke formule vruće škole.

Imajte na umu da su same tačke izbušene (nisu uključene u rješenje), jer je naša nejednakost stroga.

Odgovori: domena:

Općenito, mnoge nejednakosti (uključujući i razmatranu) rješavaju se univerzalom intervalna metoda, ponovo poznat iz školski program. Ali u slučajevima kvadratnog dvo- i tročlanog, po mom mišljenju, mnogo je zgodnije i brže analizirati položaj parabole u odnosu na os. A glavnu metodu - metodu intervala, detaljno ćemo analizirati u članku. Null funkcije. Intervali konstantnosti.

Primjer 8

Pronađite opseg funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Uzorak je detaljno komentirao logiku zaključivanja + drugi način rješavanja i još jednu važnu transformaciju nejednakosti, a da ne zna koju će učenik šepati na jednu nogu..., ... hmm ... na račun stopalo, možda se uzbudio, radije - na jednom prstu. Thumb.

Može li se funkcija s kvadratnim korijenom definirati na cijeloj brojevnoj pravoj? Naravno. Sva poznata lica: . Ili sličan zbroj s eksponentom: . Zaista, za bilo koje vrijednosti "x" i "ka": , dakle, čak i više.

Evo manje očiglednog primjera: . Ovdje je diskriminant negativan (parabola ne prelazi x-osu), dok su grane parabole usmjerene prema gore, otuda i domen definicije: .

Pitanje je suprotno: može li opseg funkcije biti prazan? Da, i primitivan primjer se odmah nameće , gdje je izraz radikala negativan za bilo koju vrijednost "x", a domen definicije je: (ikona prazna skupa). Takva funkcija uopće nije definirana (naravno, i graf je iluzoran).

sa čudnim korenima itd. stvari su mnogo bolje - evo korijenski izraz također može biti negativan. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Međutim, funkcija ima jednu tačku koja još uvijek nije uključena u domenu definicije, budući da je nazivnik okrenut na nulu. Iz istog razloga za funkciju bodovi su isključeni.

Domen funkcije s logaritmom

Treća uobičajena funkcija je logaritam. Kao primjer, nacrtaću prirodni logaritam, koji se susreće u oko 99 primjera od 100. Ako neka funkcija sadrži logaritam, tada bi njena domena definicije trebala uključivati ​​samo one x vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost . Ako je logaritam u nazivniku: onda dodatno uslov je nametnut (jer ).

Primjer 9

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: u skladu sa navedenim sastavljamo i rješavamo sistem:

Grafičko rješenje za lutke:

Odgovori: domena:

Zadržat ću se na još jednoj tehničkoj stvari - na kraju krajeva, nemam skalu i podjele duž osi. Postavlja se pitanje: kako napraviti takve crteže u bilježnici na kariranom papiru? Da li je moguće izmjeriti udaljenost između tačaka u ćelijama striktno prema mjerilu? Kanonički je i stroži, naravno, u mjerilu, ali shematski crtež koji u osnovi odražava situaciju je također sasvim prihvatljiv.

Primjer 10

Pronađite opseg funkcije

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu iz prethodnog paragrafa - analizirati kako se parabola nalazi u odnosu na x-os. Odgovorite na kraju lekcije.

Kao što vidite, u području logaritama sve je vrlo slično situaciji s kvadratnim korijenom: funkcija (kvadratni trinom iz primjera br. 7) je definiran na intervalima , i funkcija (kvadratni binom iz primjera br. 6) na intervalu . Sramotno je čak i reći da su funkcije tipa definirane na cijeloj brojevnoj liniji.

Korisne informacije : funkcija tipa je zanimljiva, definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj osim na tački. Prema svojstvu logaritma, "dva" se može izvaditi faktorom izvan logaritma, ali da se funkcija ne bi promijenila, "x" mora biti zatvoreno ispod znaka modula: . Evo još jednog za tebe praktična upotreba» modul =). To je ono što trebate učiniti u većini slučajeva kada rušite čak stepen, na primjer: . Ako je osnova stepena očigledno pozitivna, na primer, onda nema potrebe za znakom modula i dovoljno je da se snađete sa zagradama: .

Da se ne bismo ponavljali, zakomplikujmo zadatak:

Primjer 11

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: u ovoj funkciji imamo i korijen i logaritam.

Korijenski izraz mora biti nenegativan: , a izraz pod predznakom logaritma mora biti striktno pozitivan: . Dakle, potrebno je riješiti sistem:

Mnogi od vas vrlo dobro znaju ili intuitivno nagađaju da rješenje sistema mora zadovoljiti svakome stanje.

Ispitujući položaj parabole u odnosu na osu, dolazimo do zaključka da interval zadovoljava nejednakost (plavo sjenčanje):

Nejednakost, očigledno, odgovara "crvenom" poluintervalu.

Pošto oba uslova moraju biti ispunjena istovremeno, tada je rješenje sistema presjek ovih intervala. " Zajednički interesi» se posmatraju na poluintervalu .

Odgovori: domena:

Tipičnu nejednakost, kao što je pokazano u Primjeru br. 8, nije teško analitički riješiti.

Pronađena domena definicije neće se promijeniti za "slične funkcije", na primjer, za ili . Također možete dodati neke kontinuirane funkcije, na primjer: , ili ovako: , ili čak ovako: . Kako kažu, korijen i logaritam su tvrdoglave stvari. Jedina stvar je da ako se jedna od funkcija “resetuje” na nazivnik, tada će se promijeniti domen definicije (iako u opšti slučaj ovo nije uvek tačno). Pa, u teoriji matana o ovom verbalnom... oh... postoje teoreme.

Primjer 12

Pronađite opseg funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Korištenje nacrta je sasvim prikladno, jer funkcija nije najjednostavnija.

Još nekoliko primjera za jačanje materijala:

Primjer 13

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: sastaviti i riješiti sistem:

Sve radnje su već riješene u toku članka. Na numeričkoj liniji nacrtajte interval koji odgovara nejednakosti i, prema drugom uvjetu, isključite dvije točke:

Ispostavilo se da je vrijednost potpuno nebitna.

Odgovori: domena

Mala matematička igra riječi na varijaciji 13. primjera:

Primjer 14

Pronađite opseg funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Ko je promašio taj je u letu ;-)

Završni dio lekcije posvećen je rijetkijim, ali i "radnim" funkcijama:

Opsezi funkcija
sa tangentama, kotangensima, arksinusima, arkosinusima

Ako neka funkcija uključuje , onda iz svoje domene definicije isključeno bodova , gdje Z je skup cijelih brojeva. Konkretno, kao što je navedeno u članku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, funkcija ima sljedeće vrijednosti:

To jest, domen definicije tangente: .

Nećemo mnogo ubijati:

Primjer 15

Pronađite opseg funkcije

Rješenje: u ovom slučaju, sljedeće tačke neće biti uključene u domenu definicije:

Spustimo "dvojku" lijeve strane u imenilac desne strane:

Kao rezultat :

Odgovori: domena: .

U principu, odgovor se može napisati i kao unija beskonačnog broja intervala, ali će se konstrukcija pokazati vrlo glomaznom:

Analitičko rješenje je u potpunosti u skladu sa grafika geometrijske transformacije: ako se argument funkcije pomnoži sa 2, tada će se njegov graf dvaput smanjiti na os. Primijetite kako se period funkcije prepolovio, i tačke prekida povećana dva puta. tahikardija.

Slična priča sa kotangensom. Ako neka funkcija uključuje , tada su točke isključene iz njezine domene definicije. Konkretno, za funkciju snimamo sljedeće vrijednosti s rafalom automata:

Drugim riječima:

Počnimo sa pronalaženjem domenu definicije zbira funkcija. Jasno je da takva funkcija ima smisla za sve takve vrijednosti varijable za koje sve funkcije koje čine zbir imaju smisla. Stoga, nema sumnje u valjanost sljedeće izjave:

Ako je funkcija f zbir n funkcija f 1 , f 2 , …, f n , to jest, funkcija f je data formulom y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ) , tada je domen funkcije f presjek domena funkcija f 1 , f 2 , …, f n . Zapišimo to kao .

Hajde da se dogovorimo da nastavimo da koristimo zapise poput poslednjeg, pod kojim mislimo na ispisano unutar vitičaste zagrade, ili istovremeno ispunjavanje bilo kojih uslova. Ovo je zgodno i sasvim prirodno rezonira sa značenjem sistema.

Primjer.

Zadata je funkcija y=x 7 +x+5+tgx i trebamo pronaći njenu domenu.

Rješenje.

Funkcija f je predstavljena zbirom četiri funkcije: f 1 - funkcija stepena sa eksponentom 7, f 2 - funkcija stepena sa eksponentom 1, f 3 - stalna funkcija i f 4 su tangentne funkcije.

Gledajući tabelu područja definicije glavnog elementarne funkcije, nalazimo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) i domen tangenta je skup svih realni brojevi osim brojeva .

Domen funkcije f je presjek domena funkcija f 1 , f 2 , f 3 i f 4 . Sasvim je očigledno da je ovo skup svih realnih brojeva, sa izuzetkom brojeva .

odgovor:

skup svih realnih brojeva osim .

Idemo dalje na pronalaženje domene proizvoda funkcija. Za ovaj slučaj vrijedi slično pravilo:

Ako je funkcija f proizvod n funkcija f 1 , f 2 , …, f n , to jest, funkcija f je data formulom y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), tada je domen funkcije f presjek domena funkcija f 1 , f 2 , …, f n . Dakle, .

Razumljivo je da su u naznačenom području definirane sve funkcije proizvoda, a time i sama funkcija f.

Primjer.

Y=3 arctgx lnx .

Rješenje.

Struktura desne strane formule koja definira funkciju može se posmatrati na sljedeći način: f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , gdje je f 1 konstantna funkcija, f 2 je funkcija tangente luka, a f 3 je logaritamska funkcija sa bazom e.

Znamo da je D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞) i D(f 3)=(0, +∞) . Onda .

odgovor:

domena funkcije y=3 arctgx lnx je skup svih realnih pozitivnih brojeva.

Zaustavimo se posebno na pronalaženju domena definicije funkcije date formulom y=C·f(x) , gdje je C neki realni broj. Lako je pokazati da se domena ove funkcije i domena funkcije f podudaraju. Zaista, funkcija y=C f(x) je proizvod konstantne funkcije i funkcije f. Domen konstantne funkcije je skup svih realnih brojeva, a domen funkcije f je D(f) . Tada je domen funkcije y=C f(x). , koji je trebao biti prikazan.

Dakle, domeni funkcija y=f(x) i y=C·f(x) , gdje je S neki realni broj, se poklapaju. Na primjer, ako je domena korijena , postaje jasno da je D(f) skup svih x iz domene funkcije f 2 za koju je f 2 (x) uključeno u domenu funkcije f 1 .

Na ovaj način, domenu kompleksne funkcije y=f 1 (f 2 (x)) je presjek dva skupa: skup svih x takvih da je x∈D(f 2) i skup svih x takvih da je f 2 (x)∈D(f 1 ) . To jest, u našoj notaciji (ovo je u suštini sistem nejednakosti).

Pogledajmo nekoliko primjera. U ovom procesu nećemo detaljno opisivati, jer je to izvan okvira ovog članka.

Primjer.

Naći domenu funkcije y=lnx 2 .

Rješenje.

Originalna funkcija se može predstaviti kao y \u003d f 1 (f 2 (x)), gdje je f 1 logaritam s bazom e, a f 2 je funkcija snage sa indikatorom 2.

Okrećući se poznata područja definicije osnovnih elementarnih funkcija, imamo D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=(−∞, +∞) .

Onda

Tako smo pronašli domen definicije funkcije koja nam je potrebna, to je skup svih realnih brojeva osim nule.

odgovor:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Primjer.

Koji je opseg funkcije ?

Rješenje.

Ova funkcija kompleksa, može se smatrati kao y = f 1 (f 2 (x)) , gdje je f 1 funkcija stepena s eksponentom, a f 2 je arcsinusna funkcija i moramo pronaći njenu domenu.

Hajde da vidimo šta znamo: D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=[−1, 1] . Ostaje pronaći presjek skupova vrijednosti x tako da su x∈D(f 2) i f 2 (x)∈D(f 1) :

Za arcsinx>0, prisjetimo se svojstava funkcije arcsinus. Arksinus raste u cijelom domenu definicije [−1, 1] i nestaje na x=0, dakle, arcsinx>0 za bilo koji x iz intervala (0, 1] .

Vratimo se na sistem:

Dakle, željeni domen definicije funkcije je poluinterval (0, 1] .

odgovor:

(0, 1] .

Pređimo sada na složene funkcije opšti pogled y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Domen funkcije f u ovom slučaju nalazi se kao .

Primjer.

Pronađite opseg funkcije .

Rješenje.

Zadata kompleksna funkcija može se napisati kao y = f 1 (f 2 (f 3 (x))), gdje je f 1 - sin, f 2 - funkcija korijena četvrtog stepena, f 3 - lg.

Znamo da D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)= uključuje vrijednosti -2 i 2, ali ne uključuje vrijednost 10.

Parcela kvadratna funkcija. Graf takve funkcije je parabola, čije su grane usmjerene gore ili dolje. Budući da se parabola povećava ili smanjuje duž cijele X-ose, domena kvadratne funkcije su svi realni brojevi. Drugim riječima, domen takve funkcije je skup R (R označava sve realne brojeve).

• Za bolje razumijevanje koncepta funkcije, odaberite bilo koju vrijednost "x", zamijenite je u funkciju i pronađite vrijednost "y". Par vrijednosti "x" i "y" predstavlja tačku sa koordinatama (x, y), koja leži na grafu funkcije.
• Ucrtajte ovu tačku na koordinatnu ravan i uradite opisani proces sa drugom vrednošću x.
• Postavljanjem nekoliko tačaka na koordinatnu ravan, dobijate opšta ideja o obliku grafa funkcije.

Ako funkcija sadrži razlomak, postavite njen nazivnik na nulu. Zapamtite da ne možete podijeliti sa nulom. Stoga, izjednačavanjem nazivnika sa nulom, naći ćete vrijednosti "x" koje nisu uključene u opseg funkcije.

• Na primjer, pronađite domenu funkcije f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
• Ovdje je imenilac: (x - 1).
• Izjednačite nazivnik sa nulom i pronađite "x": x - 1 = 0; x = 1.
• Zapišite opseg funkcije. Područje definicije ne uključuje 1, odnosno uključuje sve realne brojeve osim 1. Dakle, domena funkcije je: (-∞,1) U (1,∞).
• Zapis (-∞,1) U (1,∞) glasi: skup svih realnih brojeva osim 1. Simbol beskonačnosti ∞ označava sve realne brojeve. U našem primjeru, svi realni brojevi koji su veći od 1 i manji od 1 su uključeni u opseg.

Ako funkcija sadrži Kvadratni korijen, tada korijenski izraz mora biti veći ili jednak nuli. Zapamtite da se kvadratni korijen negativnih brojeva ne uzima. Stoga, svaka vrijednost "x" pri kojoj radikalni izraz postaje negativan mora biti isključena iz opsega funkcije.

• Na primjer, pronaći domenu funkcije f(x) = √(x + 3).
• Radikalni izraz: (x + 3).
• Korijenski izraz mora biti veći ili jednak nuli: (x + 3) ≥ 0.
• Pronađite "x": x ≥ -3.
• Domen ove funkcije uključuje skup svih realnih brojeva koji su veći ili jednaki -3. Dakle, domen definicije je: [-3,∞).

Dio 2

Pronalaženje opsega kvadratne funkcije

1. Provjerite je li vam data kvadratna funkcija. Kvadratna funkcija ima oblik: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Graf takve funkcije je parabola, čije su grane usmjerene gore ili dolje. Postoji razne metode pronalaženje opsega kvadratne funkcije.

   • Najlakši način da pronađete raspon funkcije koja sadrži korijen ili razlomak je da nacrtate takvu funkciju pomoću grafičkog kalkulatora.

2. Pronađite x-koordinatu vrha grafa funkcije. U slučaju kvadratne funkcije, pronađite x-koordinatu vrha parabole. Zapamtite da je kvadratna funkcija: ax 2 + bx + c. Za izračunavanje koordinate "x" koristite sljedeću jednačinu: x = -b/2a. Ova jednadžba je derivat osnovne kvadratne funkcije i opisuje tangentu, nagib koji je jednak nuli (tangenta na vrh parabole je paralelna sa X osi).

   • Na primjer, pronađite raspon funkcije 3x 2 + 6x -2.
   • Izračunajte "x" koordinatu vrha parabole: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

3. Pronađite y-koordinatu vrha grafa funkcije. Da biste to učinili, zamijenite pronađenu x-koordinatu u funkciju. Koordinata pretraživanja"y" predstavlja graničnu vrijednost opsega funkcije.

   • Izračunajte y koordinatu: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
   • Koordinate vrha parabole ove funkcije: (-1,-5).

4. Odredite smjer parabole tako što ćete u funkciju uključiti barem jednu vrijednost x. Odaberite bilo koju drugu vrijednost x i priključite je u funkciju da izračunate odgovarajuću vrijednost y. Ako je pronađena vrijednost "y" veća od koordinate "y" vrha parabole, tada je parabola usmjerena prema gore. Ako je pronađena vrijednost "y" manja od "y" koordinate vrha parabole, tada je parabola usmjerena naniže.

   • Zamijenite x = -2 u funkciju: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Koordinate tačke koja leži na paraboli: (-2,-2).
   • Pronađene koordinate pokazuju da su grane parabole usmjerene prema gore. Dakle, raspon funkcije uključuje sve vrijednosti "y" koje su veće ili jednake -5.
   • Raspon ove funkcije: [-5, ∞)

5. Opseg funkcije piše se slično kao i opseg funkcije. Uglata zagrada primjenjuje se kada je vrijednost unutar opsega funkcije; ako je vrijednost izvan opsega, koristi se zagrada. Ako funkcija ima nekoliko nesusjednih raspona, između njih se stavlja znak "U".

   • Na primjer, raspon [-2,10) U(10,2] uključuje vrijednosti -2 i 2, ali ne uključuje vrijednost 10.
   • Zagrade se uvijek koriste sa simbolom beskonačnosti ∞.

U matematici postoji prilično mali broj elementarnih funkcija čiji je domen definicije ograničen. Sve ostale "složene" funkcije su samo njihove kombinacije i kombinacije.

1. Funkcija razlomka - ograničenje na nazivnik.

2. Koren parnog stepena je ograničenje radikalnog izraza.

3. Logaritmi - ograničenje na osnovu logaritma i podlogaritamskog izraza.

3. Trigonometrijski tg(x) i ctg(x) - ograničenje na argument.

za tangentu:

4. Inverzne trigonometrijske funkcije.

Arcsine	Arc kosinus	Arc tangenta, Arc tangenta

Nadalje, rješavaju se sljedeći primjeri na temu "Opseg funkcija".

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Primjer 4

Primjer 5

Primjer 6

Primjer 7

Primjer 8

Primjer 9

Primjer 10

Primjer 11

Primjer 12

Primjer 13

Primjer 14

Primjer 15

Primjer 16

Primjer pronalaženja opsega funkcije br. 1

Pronalaženje domene bilo koje linearne funkcije, tj. funkcije prvog stepena:

y=2x+3 - jednačina definiše pravu liniju na ravni.

Pogledajmo pomno funkciju i razmislimo koje numeričke vrijednosti možemo zamijeniti u jednadžbu umjesto varijable x?

Pokušajmo zamijeniti vrijednost x=0

Pošto je y = 2 0 + 3 = 3 - dobili smo numerička vrijednost, stoga funkcija postoji za datu vrijednost varijable x=0.

Pokušajmo zamijeniti vrijednost x=10

budući da y = 2 10 + 3 = 23 - funkcija postoji kada se uzme vrijednost varijable x = 10.

Pokušajmo zamijeniti vrijednost x=-10

budući da y = 2 (-10) + 3 = -17 - funkcija postoji kada se uzme vrijednost varijable x = -10.

Jednačina definira ravnu liniju na ravni, a ravna linija nema početak ni kraj, tako da postoji za bilo koju vrijednost x.

Imajte na umu da bez obzira koje numeričke vrijednosti zamijenimo u datu funkciju umjesto x, uvijek ćemo dobiti numeričku vrijednost varijable y.

Dakle, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x ∈ R, ili je pišemo na sljedeći način: D(f) = R

Oblici odgovora: D(f)=R ili D(f)=(-∞:+∞)ili x∈R ili x∈(-∞:+∞)

da zaključimo:

Za bilo koju funkciju oblika y = ax + b, domen definicije je skup realnih brojeva.

Primjer pronalaženja opsega funkcije br. 2

Zadata je funkcija forme:

y = 10/(x + 5) - jednadžba hiperbole

Kada se bavite frakcijskom funkcijom, zapamtite da ne možete dijeliti sa nulom. Dakle, funkcija će postojati za sve vrijednosti x koje nisu

postavite imenilac na nulu. Pokušajmo zamijeniti neke proizvoljne vrijednosti x.

Za x = 0 imamo y = 10/(0 + 5) = 2 - funkcija postoji.

Za x = 10 imamo y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- funkcija postoji.

Za x = -5 imamo y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - funkcija u ovoj tački ne postoji.

One. ako datu funkciju razlomka, onda je potrebno izjednačiti nazivnik sa nulom i pronaći tačku u kojoj funkcija ne postoji.

u našem slučaju:

x + 5 = 0 → x = -5 - u ovom trenutku data funkcija ne postoji.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Hajde da to grafički prikažemo radi jasnoće:

Na grafikonu takođe vidimo da se hiperbola približava pravoj liniji x = -5 što je bliže moguće, ali ne dostiže samu vrednost -5.

Vidimo da data funkcija postoji u svim tačkama realne ose, osim u tački x = -5

Obrasci za snimanje odgovora: D(f)=R\(-5) ili D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) ili x ∈ R\(-5) ili x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Ako je data funkcija razlomka, tada prisustvo nazivnika nameće uslov da nazivnik nije jednak nuli.

Primjer pronalaženja opsega funkcije br. 3

Razmotrimo primjer pronalaženja domene funkcije s korijenom parnog stupnja:

Budući da kvadratni korijen možemo izdvojiti samo iz nenegativnog broja, dakle, funkcija ispod korijena nije negativna.

2x - 8 ≥ 0

Riješimo jednostavnu nejednačinu:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Zadata funkcija postoji samo za pronađene vrijednosti x ≥ 4 ili D(f)=)