Kako pretvoriti logaritam u zajedničku bazu. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

\(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednak stepenu, na koji se \(2\) mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovom nivou, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. I ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stepena treba podići bazu da biste dobili argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očigledno drugi. Zbog toga:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? I koji stepen čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobio \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba podići \(3\) da bi se dobio \(\sqrt(3)\)? Odatle znamo šta je razlomni stepen, pa je kvadratni korijen snaga \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada koristimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica ulevo\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stepena: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost indikatora
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe sa \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednačinu: \(3^(x)=9\). Samo uparite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednačinu: \(3^(x)=8\). jednako x? To je poenta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako tačno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim da naglasim da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratak. Jer ako bismo to htjeli napisati u formi decimalni razlomak, tada bi to izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednačinu \(4^(5x-4)=10\)

Rješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) se ne mogu svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo definiciju logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Pred nama. Pomaknite \(4\) udesno. I ne plašite se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednačinu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama, postoje dvije koje se tako često javljaju da je izmišljen poseban kratki zapis za logaritme s njima:

Prirodni logaritam: logaritam čija je osnova Ojlerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Glavni logaritamski identitet' i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo slijedi direktno iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

Podsjetimo se kratka napomena definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Rješenje :

Odgovori : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično sa \(\log_(5)(25)\), i sa \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispostavilo se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam sa bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednakosti) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i sa trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I sa jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam sa bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rješenje :

Odgovori : \(1\)

(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevi b razumom a formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije slijedi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.

Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimajući logaritam. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.

Vrlo često se koriste realni logaritmi sa bazama 2 (binarni), e Eulerov broj e ≈ 2,718 ( prirodni logaritam) i 10 (decimalno).

Na ovoj fazi prikladno razmotriti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer je u prvom od njih negativan broj stavljen ispod znaka logaritma, u drugom - negativan broj u bazi, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.

Uslovi za određivanje logaritma.

Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz definicije logaritma date gore.

Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.

Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen različit od nule nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, budući da je eksponent s racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za ne-negativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.

I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, jer je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.

Osobine logaritama.

Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prijelazu "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

4. gdje .

Primjer 2 Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ta pravila se moraju znati - bez njih ni jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na osnovu ove činjenice, mnogi test papiri. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je to vidjeti poslednje pravilo prati prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer potrebno je pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričke izraze. Koliko su zgodne moguće je procijeniti tek prilikom odlučivanja logaritamske jednačine i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istu bazu, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takav stepen x () pri kojem je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) se često susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Radi razumijevanja materijala, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski program i univerzitete.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. gdje .

Po izgledu složen izraz korištenje niza pravila je pojednostavljeno u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x ako

Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jedno važna tema- logaritamske nejednakosti...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Uputstvo

Zapišite dati logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, tada se piše izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Prilikom pronalaženja zbroja dvije funkcije, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti drugom i dodati izvod druge funkcije, pomnoženu prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je, od umnožaka izvoda dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja, oduzeti umnožak izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako se da složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti izvod unutrašnje funkcije i izvod vanjske. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i zadaci za izračunavanje derivacije u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8

Povezani video zapisi

Korisni savjeti

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će uštedjeti mnogo vremena.

Izvori:

konstantni derivat

Pa šta je drugačije ir racionalna jednačina od racionalnog? Ako je nepoznata varijabla ispod znaka kvadratni korijen, tada se jednačina smatra iracionalnom.

Uputstvo

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda podizanja oba dijela jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Takvu jednačinu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednačini umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Stoga je 1 vanjski korijen, i stoga zadata jednačina nema korijena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja oba njena dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je nužno odrezati strani koreni. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u originalnu jednadžbu.

Razmotrite još jednu.
2x+vx-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Transfer Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, desna strana a zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Shodno tome, dobićete jednačinu kao što je 2y2+y-3=0. Odnosno, uobičajeno kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijen, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. Ovo zahteva da se uradi identične transformacije dok se cilj ne postigne. Dakle, uz pomoć jednostavnih aritmetičke operacije zadatak će biti riješen.

Trebaće ti

- papir;
- olovku.

Uputstvo

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, ima ih mnogo trigonometrijske formule, koji su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plusa dvostruki proizvod prvi na drugi i plus kvadrat drugog, tj. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Ponovite udžbenik matematička analiza ili višu matematiku, što je definitivni integral. Kao što znate, rešenje definitivni integral postoji funkcija čiji će izvod dati integrand. Ova funkcija naziva se primitivnim. Po ovom principu konstruišu se osnovni integrali.
Odredite oblikom integranda koji od tabličnih integrala pripada ovaj slučaj. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.

Metoda zamjene varijable

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, čiji je argument neki polinom, a zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na osnovu omjera između nove i stare varijable odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti nova vrsta prethodni integral, blizak ili čak korespondirajući sa bilo kojim tabelarnim.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prelazak sa ovih integrala na skalarne. Jedno takvo pravilo je Ostrogradsky-Gaussov omjer. Ovaj zakon omogućava vam da pređete sa toka rotora na neki vektorska funkcija na trostruki integral nad divergencijom datog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo uključite vrijednost gornja granica u izraz za antiderivat. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj, rezultirajuću donju granicu antiderivata. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda je zamijenite u antiderivativna funkcija potrebno je ići do granice i pronaći čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati predstaviti geometrijske granice integracije da biste razumjeli kako izračunati integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji treba integrirati.