Koordinate na koordinatnoj ravni. Video lekcija „Koordinatna ravan

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ili x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nakon što ste naučili rješavati jednačine prvog stepena, naravno, želite raditi s drugima, posebno s jednačinama drugog stepena, koje se inače nazivaju kvadratnim.

Kvadratne jednadžbe su jednadžbe poput ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi su a, b, c, gdje a nije jednako nuli.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, onda će ova jednačina biti klasifikovana kao nepotpuna kvadratna jednačina.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu ako su učenici do sada mogli riješiti samo jednačine prvog stepena? Razmotrite nepotpune kvadratne jednadžbe različite vrste i jednostavnim načinima za njihovo rješavanje.

a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b nije jednak nuli, tada se ax ² + bx + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + bx = 0.

Da biste riješili takvu jednačinu, morate znati formulu za rješavanje nepotpune kvadratna jednačina, koji se sastoji u faktorizaciji njegove lijeve strane i kasnijem korištenju uvjeta da je proizvod jednak nuli.

Na primjer, 5x² - 20x = 0. Lijevu stranu jednačine činimo na faktore, dok radimo uobičajeno matematička operacija: pomeranje ukupnog faktora iz zagrada

5x (x - 4) = 0

Koristimo uslov da su proizvodi jednaki nuli.

5 x = 0 ili x - 4 = 0

Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.

b) Ako je b = 0, a slobodni član nije jednak nuli, onda se jednačina ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + c = 0. Jednačine se rješavaju na dva načina : a) faktoringom polinoma jednadžbe na lijevoj strani; b) koristeći svojstva aritmetike kvadratni korijen. Takva jednačina se može riješiti pomoću jedne od metoda, na primjer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor će biti: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je jednak - 5/2.

c) Ako je b jednako 0, a c jednako 0, tada se ax ² + 0 + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² = 0. U takvoj jednačini x će biti jednako 0.

Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe ne mogu imati više od dva korijena.

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *U daljem tekstu “KU”. Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ove informacije, kakve veze ovo ljeto ima i šta će se među njima dogoditi školske godine— biće duplo više zahteva. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su davno završili školu i spremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe svoje pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji vam govore kako da rešite ovu jednačinu, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetitelji dolaze na moju stranicu na osnovu ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema “KU”, dat ću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, sa a≠0.

IN školski kurs materijal je dat sljedeći obrazac– jednačine su podijeljene u tri klase:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imajte samo jedan korijen.

3. Nemaju korijene. Ovdje je posebno vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

S tim u vezi, kada je diskriminanta jednaka nuli, školski kurs kaže da se dobija jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je tačno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netačna. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednakih korena, a da budemo matematički precizni, odgovor bi trebao sadržavati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete to zapisati i reći da postoji jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne može uzeti, pa su rješenja u u ovom slučaju br.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c – dati brojevi, sa a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa “y” jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminanta je negativna). Detalji o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješi 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moguće je odmah otići i desna strana podijeliti jednačinu sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Otkrili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Da li znate nešto o tome kompleksni brojevi? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici ovo je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne dodatak.

Imaginarna jedinica je jednaka korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobijamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Mogu se lako riješiti bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina postaje:

transformirajmo:

primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina postaje:

Transformirajmo i faktorizirajmo:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućavaju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a + b+ c = 0, To

- ako za koeficijente jednačine Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a+ s =b, To

Ova svojstva pomažu pri odlučivanju određeni tip jednačine

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost važi a+ s =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu"a", tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednačini ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” je jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” numerički jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednačini ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuski matematičar Francois Vieta. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Osim toga, Vietin teorem. Pogodno je po tome što se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način (preko diskriminanta) mogu provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom metodom koeficijent “a” se množi slobodnim pojmom, kao da mu je “bačen”, zbog čega se naziva metodom "transfera". Ova metoda se koristi kada možete lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietinu teoremu u jednačini (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Pogledaj šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su jednake:

Ako pogledate korijene jednadžbi, samo ćete dobiti različiti imenioci, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijene koji su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako prebacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti sa 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE MOĆI DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednačine (uključujući i geometrijske).

Nešto vredno pažnje!

1. Oblik pisanja jednačine može biti „implicitan“. Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Više na jednostavan način. Da biste to učinili, stavite z iz zagrada. Dobićete: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, pošto oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomičemo udesno s drugačijim predznakom. Odavde dobijamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako ima nepotpuna jednačina oblika az² + s = 0, u ovom slučaju se nalaze jednostavnim pomeranjem slobodnog člana na desnu stranu jednačine. Takođe promenite njen znak. Rezultat će biti az² = -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivna i negativno značenje kvadratni korijen.

Bilješka

Kada je prisutan u jednadžbi fractional kvote pomnožite cijelu jednačinu odgovarajućim faktorom da biste eliminirali razlomke.

Znanje o rješavanju kvadratnih jednačina je neophodno i za školsku djecu i za studente, ponekad to može pomoći i odrasloj osobi običan život. Ima ih nekoliko određene metode odluke.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c su numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak “+” može promijeniti u znak “-”.

Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminanta. Najčešća metoda je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.

Da biste pronašli diskriminanta (D), potrebno je da napišete formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, tada ostaje samo jedan korijen, točnije možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminanta, koristite formule da pronađete x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, gdje je sqrt funkcija koja znači uzimanje kvadratnog korijena od dati broj. Nakon izračunavanja ovih izraza, naći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednačina smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda i dalje ima korijene. U školi ovaj odeljak praktično nije proučavan. Studenti bi trebali biti svjesni onoga što se pojavljuje negativan broj ispod korena. Oslobode ga se isticanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije dobijamo D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješavanje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena kao što je gore opisano.

Vietin teorem se sastoji od odabira vrijednosti x(1) i x(2). Dva se koriste identične jednačine: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. I veoma važna tačka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan od onog u jednadžbi. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, ali pri rješavanju ćete se suočiti s činjenicom da ćete morati odabrati brojeve.

Elementi rješavanja kvadratnih jednačina

Prema pravilima matematike, neki se mogu faktorizirati: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ako ste uspjeli transformirati ovu kvadratnu jednačinu na sličan način koristeći matematičke formule, onda slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) će biti jednaki susednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako nema ništa ispred x^2 ili x, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Opštinski budžet obrazovne ustanove prosjek sveobuhvatne škole № 11

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Istorija kvadratnih jednačina

Babilon

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog stepena, već i drugog u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje područja zemljišne parcele, sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednačina, postavljena u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapaju sa modernim, ali u tim tekstovima ne postoji koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

Ancient Greece

Rješavanje kvadratnih jednačina je također rađeno u Ancient Greece kao naučnici kao što su Diofant, Euklid i Heron. Diofant Diofant iz Aleksandrije je starogrčki matematičar koji je verovatno živeo u 3. veku nove ere. Glavno Diofantovo djelo je “Aritmetika” u 13 knjiga. Euclid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je do nas došla, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. veku nove ere. daje čisto algebarski način rješavanja kvadratne jednadžbe

Indija

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Aryabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na unificiranu kanonski oblik: ax2 + bh = s, a> 0. (1) U jednačini (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše. Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako ucen covek zasjenit će svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

„Jato žustrih majmuna

I dvanaest uz vinovu lozu, pojevši do mile volje, zabavljalo se

Počeli su skakati, vješati se

Osmi dio njih na kvadrat

Koliko je majmuna bilo?

Zabavljao sam se na čistini

Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. Bhaskar zapisuje jednačinu koja odgovara problemu kao x2 - 64x = - 768 i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednačine na kvadrat, dodaje 322 na obje strane, a zatim dobija: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne jednadžbe u Evropa XVII veka

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na Al-Khorezmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako iz zemalja islama tako i iz antičke Grčke, odlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavajući probleme i prvi u Evropi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz Knjige Abakusa korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. - 17. veka. i dijelom XVIII. Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opšti pogled Viet ga ima, ali Viet je samo prepoznao pozitivni koreni. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzimaju u obzir, pored pozitivnih, i negativni koreni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući djelima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnim putem rješavanje kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratnom.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe (prije x²), a ≠ 0 b je drugi koeficijent (bez x);

Koja od ovih jednačina nije kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Ime	Opšti oblik jednačine	Karakteristika (koji su koeficijenti)	Primjeri jednadžbi
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - brojevi koji nisu 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Nepotpuno
			x 2 - 1/5x = 0
Dato	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redukovana je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednako jedan. Takva jednačina se može dobiti dijeljenjem cijelog izraza vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna jednačina se naziva kompletnom ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Kvadratna jednačina se naziva nepotpunom u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim glavnog (ili drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Metoda I Opća formula za izračunavanje korijena

Pronaći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 V opšti slučaj trebalo bi da koristite algoritam ispod:

Izračunajte vrijednost diskriminanta kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Derivacija formule:

Bilješka: Očigledno je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobivene zamjenom jednakosti D=0 u nju, i zaključka o odsustvu realnih korijena na D0, i (stil prikaza (sqrt ( -1))=i) = i.

Predstavljena metoda je univerzalna, ali daleko od toga da je jedina. Rješavanju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, a preferencije obično zavise od rješavača. Osim toga, često se u tu svrhu neke od metoda pokažu mnogo elegantnijim, jednostavnijim i manje radno intenzivnim od standardnih.

Metoda II. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III metoda. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV metoda. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti međusobno povezani, što ih čini mnogo lakšim za rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbir prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan stav slobodni termin na vodeći koeficijent ( -c/a).

Stoga, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednadžbe, trebate provjeriti mogućnost primjene ove teoreme na nju: uporedite zbir vodećeg koeficijenta i slobodnog člana sa drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbir svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbir svih njenih koeficijenata nula, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana i vodećeg koeficijenta ( c/a).

Stoga, prije rješavanja jednadžbe standardnim metodama, trebate provjeriti primjenjivost ove teoreme na nju: sabrati sve koeficijente zadata jednačina i vidi da li je ovaj iznos jednak nuli.

V metoda. Faktorovanje kvadratnog trinoma u linearne faktore

Ako je trinom u obliku (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao proizvod linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- oni će, na kraju krajeva, biti -m/k i n/l (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0Duga lijevodesnostrelica kx+m=0šalica lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, i riješivši navedeno linearne jednačine, dobijamo gore navedeno. Zapiši to kvadratni trinom ne razlaže se uvijek na linearne faktore sa realnim koeficijentima: to je moguće ako odgovarajuća jednačina ima realne korijene.

Razmotrimo neke posebne slučajeve

Koristeći formulu sume (razlike) na kvadrat

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , onda primjenom gornje formule na njega možemo ga razložiti u linearne faktore i , dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Odabir pun kvadrat iznosi (razlike)

Gornja formula se također koristi metodom koja se zove “odabir punog kvadrata zbira (razlike)”. U odnosu na gornju kvadratnu jednačinu sa prethodno uvedenom notacijom, to znači sljedeće:

Bilješka: ako ste primetili ovu formulu poklapa se sa onim predloženim u odeljku „Koreni redukovane kvadratne jednačine“, koji se, pak, može dobiti iz opšte formule (1) zamenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: koristeći opisanu metodu, iako uz dodatno obrazloženje, moguće je zaključiti opšta formula, te također dokazati svojstva diskriminanta.

VI metoda. Koristeći direktnu i inverznu Vietinu teoremu

Vietina direktna teorema (vidi dolje u istoimenom dijelu) i njena inverzna teorema omogućavaju vam da usmeno riješite gornje kvadratne jednačine, bez pribjegavanja prilično glomaznim proračunima koristeći formulu (1).

Prema obrnuto od teoreme, svaki par brojeva (broj) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2 kao rješenje sistema jednadžbi ispod su korijeni jednadžbe

U opštem slučaju, to jest za neredukovanu kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Direktna teorema će vam pomoći da pronađete brojeve koji usmeno zadovoljavaju ove jednačine. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, trebate slijediti pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, onda korijeni imaju drugačiji znak, a najveći modul korijena je znak suprotan znak drugi koeficijent jednačine;

2) ako je slobodni član pozitivan, onda oba korijena imaju sa istim znakom, a ovo je znak suprotan predznaku drugog koeficijenta.

VII metod. Metod prenosa

Metoda tzv. “transfera” omogućava vam da rješenje nereduciranih i nesvodljivih jednadžbi svedete na oblik reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima tako što ćete ih podijeliti vodećim koeficijentom na rješenje redukovanih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. to je kako slijedi:

Zatim se jednačina rješava usmeno na gore opisan način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 =ax 1 I y 2 =ax 2 .(style prikaza y_(2)=ax_(2))

Geometrijsko značenje

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole sa osom apscise. Ako je opisana parabola kvadratna funkcija, ne seče sa x-osom, jednadžba nema realne korene. Ako parabola siječe x-osu u jednoj tački (u vrhu parabole), jednačina ima jedan pravi korijen (takođe se kaže da jednačina ima dva podudarna korijena). Ako parabola siječe x-osu u dvije tačke, jednadžba ima dva realna korijena (pogledajte sliku desno.)

Ako koeficijent (način prikaza a) a pozitivne, grane parabole su usmjerene prema gore i obrnuto. Ako je koeficijent (stil prikaza b) bpozitivan (ako je pozitivan (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednadžba se široko koristi. Koristi se u mnogim proračunima, konstrukcijama, sportovima, ali i oko nas.

Razmotrimo i damo nekoliko primjera primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Visoki skokovi: tokom skakačevog zaleta pogoditi što jasnije šipku za uzlet i letjeti visoko koristiti proračune koji uključuju parabole.

Takođe, slične kalkulacije su potrebne i u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanja planeta se mogu naći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let avionom. Polijetanje aviona je glavna komponenta leta. Ovdje uzimamo proračun za mali otpor i ubrzanje uzlijetanja.

Kvadratne jednačine se također koriste u raznim ekonomske discipline, u programima za obradu audio, video, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog posla, pokazalo se da su kvadratne jednačine privlačile naučnike još u antičko doba, već su se susreli s njima prilikom rješavanja nekih problema i pokušavali ih riješiti. Razmatrati razne načine rješavajući kvadratne jednačine, došao sam do zaključka da nisu sve jednostavne. Po mom mišljenju najviše najbolji način rješavanje kvadratnih jednadžbi je rješavanje formulama. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednačine široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme, naučio sam mnogo zanimljivosti o kvadratnim jednadžbama, njihovoj upotrebi, primjeni, vrstama, rješenjima. I rado ću ih nastaviti proučavati. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Spisak korišćene literature

Materijali sajta:

Wikipedia

Otvori lekciju.rf

Priručnik za osnovnu matematiku Vygodsky M. Ya.

Nadam se da sam studirao Ovaj članak, naučit ćete pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Koristeći diskriminant, rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? Ovo jednačine oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili potpunu kvadratnu jednačinu, trebamo izračunati diskriminanta D.

D = b 2 – 4ac.

U zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, zapisaćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminanta nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj(D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednačinu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe koristeći dijagram na slici 1.

Koristeći ove formule možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo treba da budeš pažljiv jednačina je napisana kao polinom standardni pogled

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednačina ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje za primjer 2 iznad).

Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom sa najvećim eksponentom treba da bude prvi, tj. A x 2 , zatim sa manje – bx a zatim slobodan član With.

Prilikom rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako je u potpunoj kvadratnoj jednadžbi koeficijent na drugom članu paran (b = 2k), onda možete riješiti jednačinu koristeći formule date u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba se naziva redukovanom ako je koeficijent at x 2 je jednako jedan i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednačina se može dati za rješavanje, ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom A, stoji na x 2 .

Na slici 3 prikazan je dijagram za rješavanje redukovanog kvadrata
jednačine. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednačinu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent od x u ovoj jednačini paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i izvršivši podjelu, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednačinu koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu
jednadžbe na slici 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednačine koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.