složene derivate. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati obrađeni materijal, razmotriti složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim trikovima i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Za one čitaoce koji nizak nivo priprema, pogledajte članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenjašto će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat složene funkcije, razumjeti i riješiti sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija logično treći po redu, a nakon što ga savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je držati se stava „Gdje drugdje? I dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnosti kontrolni radovi i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat složene funkcije razmotrili smo niz primjera sa detaljnim komentarima. Tokom proučavanja diferencijalnog računa i drugih sekcija matematička analiza- morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) detaljno slikati primjere. Stoga ćemo vježbati u usmenom pronalaženju izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Po pravilu diferencijacije složena funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student može pronaći slične derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro bilo a telefonski poziv, i prijatnog glasa pitao: "Kolika je derivacija tangente dva x?". Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će biti odmah namijenjen nezavisna odluka.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednom koraku, na primjer: . Da biste dovršili zadatak, trebate samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se već nije sjetila). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri s 3-4-5 dodataka funkcija bit će manje zastrašujući. Možda će se sljedeća dva primjera nekom učiniti komplikovana, ali ako se razumiju (neko će patiti), onda je gotovo sve ostalo diferencijalni račun izgledat će kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno u pravu RAZUMIJETE INVESTICIJE. U slučajevima kada postoji sumnja, podsjećam korisna tehnika: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti datu vrijednost u užasan izraz.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, tako da je zbir najdublje ugniježđenje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je Kvadratni korijen:

Formula za diferencijaciju složenih funkcija prijaviti se obrnutim redosledom, od najudaljenije funkcije do najunutarnje. Odlučujemo:

Izgleda da nema greške...

(1) Uzimamo derivaciju kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je jednak nuli. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzimamo derivaciju kosinusa.

(5) Uzimamo derivaciju logaritma.

(6) Konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg gniježđenja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete sav šarm i jednostavnost analiziranog derivata. Primetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu da bi proverili da li student razume kako da pronađe izvod kompleksne funkcije, ili ne razume.

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto kompaktnije i ljepše.
Nije neuobičajeno da se u primjeru navede proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivat od proizvoda od tri multiplikatori?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo, pogledamo, ali je li moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u ovom primjeru, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sukcesivno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što za "y" označavamo proizvod dvije funkcije: , a za "ve" - ​​logaritam:. Zašto se to može uraditi? Je li - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Još uvijek možete izopačiti i izvaditi nešto iz zagrada, ali unutra ovaj slučaj bolje je ostaviti odgovor u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Gornji primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje, u uzorku se rješava na prvi način.

Razmotrimo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje se može zapisati kompaktnije ako, prije svega, koristimo pravilo diferencijacije kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi u ovom obliku, neće biti greška. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt, ali da li je moguće pojednostaviti odgovor? Dovodimo izraz brojioca na zajednički imenilac i osloboditi se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivata, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo tehnike za pronalaženje derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo diferencijacije složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu od razlomni stepen, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "fensi" logaritma, prethodno je pojednostavljen pomoću dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule upravo tamo. Ako nemate bilježnicu, nacrtajte je na komadu papira, jer će se ostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može formulirati ovako:

Transformirajmo funkciju:

Nalazimo derivat:

Preliminarna transformacija same funkcije uvelike je pojednostavila rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera za samostalno rješenje:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori na kraju lekcije.

logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Slične primjere smo nedavno razmatrali. sta da radim? Može se sukcesivno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim i pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što dobijate ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji nestaju kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje je po defaultu kompleks vrijednosti. Ali ako sa svom strogošću, onda je u oba slučaja potrebno rezervisati to.

Sada morate što više „razbiti“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo potezom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći s povjerenjem da se nosite s njom.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “y” ispod logaritma?”.

Činjenica je da ovo "jedno slovo y" - JE FUNKCIJA ZA SEBI(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije implicitno specificirane). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Nadalje, prema pravilu proporcije, bacamo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se sjetimo o kakvoj smo "igri"-funkciji govorili prilikom razlikovanja? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Primjer predloška dizajna ovog tipa na kraju lekcije.

Uz pomoć logaritamskog izvoda bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije

Ova funkcija još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima a stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer, koji će vam biti dat u bilo kom udžbeniku ili na bilo kom predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti upravo razmatranu tehniku ​​- logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

U pravilu, stepen se vadi ispod logaritma na desnoj strani:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati po standardna formula .

Pronalazimo derivaciju, za to stavljamo oba dijela ispod poteza:

Dalje akcije su jednostavne:

konačno:

Ako neka transformacija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera 11.

AT praktični zadaci eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora - "x" i "logaritam logaritma od x" (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja konstante, kao što se sjećamo, bolje je odmah izvaditi iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primijeniti poznato pravilo :

Kada trebamo razlikovati eksponencijalnu funkciju oblika y = (f (x)) g (x) ili transformirati glomazan izraz s razlomcima, možemo koristiti logaritamski izvod. U okviru ovog materijala daćemo nekoliko primjera primjene ove formule.

Da biste razumjeli ovu temu, morate znati kako koristiti tablicu izvoda, biti upoznati s osnovnim pravilima diferencijacije i razumjeti šta je izvod složene funkcije.

Kako izvesti formulu za logaritamski izvod

Da biste dobili ovu formulu, prvo morate uzeti logaritam na bazu e, a zatim pojednostaviti rezultirajuću funkciju primjenom osnovna svojstva logaritam. Nakon toga morate izračunati derivaciju implicitno zadane funkcije:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y(ln(f(x)))"

Primjeri upotrebe formule

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Primjer 1

Izračunajte izvod eksponencijalne funkcije varijable x na stepen x.

Rješenje

Izvodimo logaritam u navedenoj bazi i dobijamo ln y = ln x x . Uzimajući u obzir svojstva logaritma, ovo se može izraziti kao ln y = x · ln x . Sada razlikujemo lijevi i desni dio jednakosti i dobivamo rezultat:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

odgovor: x x "= x x (ln x + 1)

Ovaj problem se može riješiti na drugi način, bez logaritamskog izvoda. Prvo, moramo transformirati originalni izraz tako da od diferenciranja eksponencijalne funkcije snage pređemo na izračunavanje derivacije kompleksne funkcije, na primjer:

y = x x = e ln x x = e x ln x ⇒ y " = (e x ln x)" = e x ln x x ln x " = x x x" ln x + x (ln x)" = = x x 1 ln x + x 1 x = x x ln x + 1

Hajde da razmotrimo još jedan problem.

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Rješenje

Originalna funkcija je predstavljena kao razlomak, što znači da možemo riješiti problem pomoću diferencijacije. Međutim, ova funkcija je prilično složena, što znači da će biti potrebno mnogo transformacija. Zato je bolje da ovdje koristimo logaritamski izvod y " = y · ln (f (x)) " . Objasnimo zašto je takav izračun pogodniji.

Počnimo od pronalaženja ln (f (x)) . Za dalju transformaciju nam je potrebna sljedeća svojstva logaritam:

• logaritam razlomka može se predstaviti kao razlika logaritama;
• logaritam proizvoda se može predstaviti kao zbir;
• ako izraz pod logaritmom ima stepen, možemo ga uzeti kao koeficijent.

Transformirajmo izraz:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Kao rezultat toga, dobili smo prilično jednostavan izraz, čiji je derivat lako izračunati:

(ln (f (x))) "= 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x" == 1 3 ln (x 2 + 1) "- 3 2 ln x" - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Sada ono što smo uradili treba zamijeniti u formulu za logaritamski izvod.

odgovor: y " \u003d y ln (f (x)) " \u003d x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Da biste konsolidirali materijal, proučite nekoliko sljedećih primjera. Ovdje će biti date samo kalkulacije sa minimumom komentara.

Primjer 3

Dana otkriva funkcija snage y = (x 2 + x + 1) x 3 . Izračunajte njegovu derivaciju.

Rješenje:

y "= y (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " \u003d \ u003d (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

odgovor: y "= y (ln (f(x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Primjer 4

Izračunajte derivaciju izraza y = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Rješenje

Primjenjujemo formulu za logaritamski izvod.

y " = y ln x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " == y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

odgovor:

y "= x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2x + 2 2 (x 2 + 2x + 2) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mislite li da ima još dosta vremena do ispita? Je li to mjesec dana? Dva? Godina? Praksa pokazuje da se student najbolje nosi sa ispitom ako se za njega počeo pripremati unaprijed. Ima ih mnogo na ispitu teške zadatke, koji stoje na putu studentu i budućem aplikantu do najviših bodova. Ove prepreke treba naučiti savladati, osim toga, to nije teško učiniti. Morate razumjeti princip rada s raznim zadacima iz tiketa. Tada neće biti problema sa novima.

Logaritmi na prvi pogled izgledaju neverovatno složeni, ali pažljivijom analizom situacija postaje mnogo jednostavnija. Ako želite da položite ispit najviša ocjena, trebali biste razumjeti koncept o kojem je riječ, što predlažemo da uradite u ovom članku.

Prvo, razdvojimo ove definicije. Šta je logaritam (log)? Ovo je snaga do koje se baza mora podići da bi se dobila specificirani broj. Ako nije jasno, analizirat ćemo elementarni primjer.

U ovom slučaju, baza ispod se mora podići na drugi stepen da bi se dobio broj 4.

Sada se pozabavimo drugim konceptom. Derivat funkcije u bilo kojem obliku naziva se koncept koji karakterizira promjenu funkcije u datoj tački. Međutim, ovo školski program, a ako imate problema s ovim konceptima odvojeno, vrijedi ponoviti temu.

Derivat logaritma

AT USE zadatke Može se navesti nekoliko primjera na ovu temu. Počnimo s najjednostavnijim logaritamskim izvodom. Moramo pronaći derivaciju sljedeće funkcije.

Moramo pronaći sljedeći izvod

Postoji posebna formula.

U ovom slučaju x=u, log3x=v. Zamijenite vrijednosti iz naše funkcije u formulu.

Derivat od x će biti jednak jedan. Logaritam je malo teži. Ali razumjet ćete princip ako samo zamijenite vrijednosti. Podsjetimo da je izvod lg x izvod decimalni logaritam, a izvod ln x je izvod prirodnog logaritma (zasnovano na e).

Sada samo zamijenite dobivene vrijednosti u formulu. Probajte sami, a zatim provjerite odgovor.

Šta bi nekima ovdje mogao biti problem? Uveli smo koncept prirodni logaritam. Razgovarajmo o tome, a u isto vrijeme smislimo kako riješiti probleme s tim. Nećete vidjeti ništa komplicirano, pogotovo kada shvatite princip njegovog rada. Trebalo bi se naviknuti na to, jer se često koristi u matematici (u viš obrazovne institucije posebno).

Derivat prirodnog logaritma

U svojoj osnovi, ovo je izvod logaritma na osnovu e (ovo je iracionalan broj, što je otprilike 2,7). U stvari, ln je vrlo jednostavan, zbog čega se često koristi u matematici općenito. Zapravo, ni rješavanje problema s njim neće biti problem. Vrijedi zapamtiti da će derivacija prirodnog logaritma prema bazi e biti jednaka jedinici podijeljenoj sa x. Rješenje sljedećeg primjera će biti najindikativnije.

Zamislite to kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije jednostavne.

dovoljno da se transformiše

Tražimo derivaciju od u u odnosu na x

Neka
(1)
je diferencijabilna funkcija od x . Prvo ćemo ga razmotriti na skupu x vrijednosti za koje y uzima pozitivne vrijednosti: . U nastavku ćemo pokazati da su svi dobijeni rezultati primjenjivi i na negativne vrijednosti.

U nekim slučajevima, za pronalaženje derivacije funkcije (1), zgodno je prethodno uzeti logaritam
,
a zatim izračunati izvod. Zatim, prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije,
.
Odavde
(2) .

Izvod logaritma funkcije naziva se logaritamski izvod:
.

Logaritamski izvod funkcije y = f(x) je derivacija prirodnog logaritma ove funkcije: (log f(x))′.

Slučaj negativnih y vrijednosti

Sada razmotrite slučaj kada varijabla može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. U ovom slučaju, uzmite logaritam modula i pronađite njegovu derivaciju:
.
Odavde
(3) .
To jest, u opšti slučaj, potrebno je pronaći izvod logaritma modula funkcije.

Upoređujući (2) i (3) imamo:
.
Odnosno, formalni rezultat izračunavanja logaritamskog izvoda ne zavisi od toga da li smo uzeli modul ili ne. Stoga, kada izračunavamo logaritamski izvod, ne moramo da brinemo o tome koji predznak ima funkcija.

Ova situacija se može razjasniti uz pomoć kompleksnih brojeva. Neka je za neke vrijednosti x negativna: . Ako samo uzmemo u obzir realni brojevi, tada funkcija nije definirana. Međutim, ako uzmemo u obzir kompleksni brojevi, tada dobijamo sljedeće:
.
To jest, funkcije i razlikuju se po kompleksnoj konstanti:
.
Pošto je derivacija konstante nula, onda
.

Svojstvo logaritamskog izvoda

Iz takvog razmatranja proizilazi da logaritamski izvod se ne mijenja ako se funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom :
.
Zaista, prijavljivanje svojstva logaritma, formule derivat suma i derivat konstante, imamo:

.

Primjena logaritamskog izvoda

Pogodno je koristiti logaritamski izvod u slučajevima kada se originalna funkcija sastoji od umnožaka stepena ili eksponencijalne funkcije. U ovom slučaju, logaritamska operacija pretvara proizvod funkcija u njihov zbir. Ovo pojednostavljuje izračunavanje derivacije.

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije:
.

Rješenje

Uzimamo logaritam originalne funkcije:
.

Diferencirati s obzirom na x .
U tabeli derivata nalazimo:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.
;
;
;
;
(P1.1) .
Pomnožimo sa:

.

Dakle, pronašli smo logaritamski izvod:
.
Odavde nalazimo derivaciju originalne funkcije:
.

Bilješka

Ako želimo koristiti samo realne brojeve, onda bismo trebali uzeti logaritam modula originalne funkcije:
.
Onda
;
.
I dobili smo formulu (A1.1). Dakle, rezultat se nije promijenio.

Odgovori

Primjer 2

Koristeći logaritamski izvod, pronađite izvod funkcije
.

Rješenje

logaritam:
(P2.1) .
Diferenciraj u odnosu na x:
;
;

;
;
;
.

Pomnožimo sa:
.
Odavde dobijamo logaritamski izvod:
.

Derivat originalne funkcije:
.

Bilješka

Ovdje je originalna funkcija nenegativna: . Definiran je na . Ako ne pretpostavimo da se logaritam može odrediti za negativne vrijednosti argumenta, tada formulu (A2.1) treba napisati na sljedeći način:
.
Zbog

i
,
onda to neće uticati konačni rezultat.

Odgovori

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Rješenje

Diferencijacija se vrši pomoću logaritamskog izvoda. Logaritam, s obzirom da:
(P3.1) .

Diferenciranjem dobijamo logaritamski izvod.
;
;
;
(P3.2) .

Jer, onda

.

Bilješka

Uradimo proračune bez pretpostavke da se logaritam može definirati za negativne vrijednosti argumenta. Da biste to učinili, uzmite logaritam modula originalne funkcije:
.
Tada umjesto (A3.1) imamo:
;

.
Upoređujući sa (A3.2) vidimo da se rezultat nije promijenio.