Prvi nivo

Koordinate i vektori. Sveobuhvatan vodič (2019)

U ovom članku, ti i ja ćemo započeti raspravu o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge probleme u geometriji na jednostavnu aritmetiku. Ovaj “štapić” može vam umnogome olakšati život, posebno kada se osjećate nesigurno u građenju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo ovdje početi razmatrati, omogućit će vam da se gotovo u potpunosti apstrahujete od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatni metod". U ovom članku ćemo razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravan
2. Tačke i vektori na ravni
3. Izgradnja vektora iz dvije tačke
4. Dužina vektora (udaljenost između dvije tačke).
5. Koordinate sredine
6. Tačkasti proizvod vektora
7. Ugao između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatni metod tako zove? Istina je da je dobio takvo ime, jer ne djeluje s geometrijskim objektima, već s njihovim numeričke karakteristike(koordinate). A sama transformacija, koja omogućava prelazak sa geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sistema. Ako je originalna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom članku ćemo razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavna svrha članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatnog metoda (ponekad se ispostavi da su korisne pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerovatno s konceptom koordinatnog sistema. Sjeti se kad si je prvi put sreo. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste saznali za postojanje linearna funkcija, Na primjer. Dozvolite mi da vas podsjetim da ste ga gradili tačku po tačku. Sjećaš li se? Izabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i izračunali na ovaj način. Na primjer, ako, onda, ako, onda, itd. Šta ste dobili kao rezultat? I dobili ste bodove sa koordinatama: i. Zatim ste nacrtali "križ" (koordinatni sistem), na njemu odabrali skalu (koliko ćelija ćete imati kao jedan segment) i na njemu označili tačke koje ste dobili, koje ste zatim povezali pravom linijom, što je rezultiralo linija je graf funkcije.

Postoji nekoliko stvari koje vam treba malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na sliku

2. Pretpostavlja se da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Seku se pod pravim uglom, a tačka njihovog preseka naziva se ishodište. Označen je slovom.

4. U zapisu koordinate tačke, na primjer, lijevo u zagradama je koordinata tačke duž ose, a desno duž ose. Konkretno, jednostavno znači da je poenta

5. Za postavljanje bilo koje točke koordinatna osa, morate navesti njegove koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

7. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-osa

9. Osa se zove y-osa

Hajde sada da napravimo sledeći korak sa vama: označite dve tačke. Povežite ove dvije tačke linijom. I stavimo strelicu kao da crtamo segment od tačke do tačke: to jest, naš segment ćemo usmjeriti!

Zapamtite koji je drugi naziv za usmjereni segment? Tako je, to se zove vektor!

Dakle, ako povežemo tačku sa tačkom, i početak će biti tačka A, a kraj tačka B, tada dobijamo vektor. I ovu konstrukciju ste radili u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, kao i tačke, mogu označiti sa dva broja: ti brojevi se nazivaju koordinatama vektora. Pitanje: mislite li da je dovoljno da znamo koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! I to je vrlo lako uraditi:

Dakle, pošto je u vektoru tačka početak, a kraj, vektor ima sledeće koordinate:

Na primjer, ako, onda koordinate vektora

Sada uradimo suprotno, pronađite koordinate vektora. Šta trebamo promijeniti za ovo? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u tački, a kraj u tački. onda:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znaci u koordinatama. Oni su suprotni. Ova činjenica je napisana ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja tačka je početak vektora, a koja kraj, vektori se ne označavaju sa dva velika slova, ali jedno malo slovo, na primjer: , itd.

Sad malo praksa i pronađite koordinate sljedećih vektora:

pregled:

Sada riješite problem malo teže:

Vektorski torus sa on-cha-scrapom u tački ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite-di-te abs-cis-su tačke.

Svejedno je prilično prozaično: Neka su koordinate tačke. Onda

Sistem sam sastavio tako što sam odredio koje su koordinate vektora. Tada tačka ima koordinate. Nas zanima apscisa. Onda

odgovor:

Šta još možete učiniti s vektorima? Da, skoro sve je isto kao i sa običnim brojevima (osim što se ne može dijeliti, ali se može množiti na dva načina, od kojih ćemo o jednom govoriti malo kasnije)

1. Vektori se mogu slagati jedan s drugim
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) sa proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve ove operacije su prilično vizualne geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za sabiranje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili smanjuje ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli brojem:

Međutim, ovdje će nas zanimati pitanje šta se događa s koordinatama.

1. Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva vektora, sabiramo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Find-di-zbir ko-ili-di-nat stoljeća-to-ra.

Nađimo prvo koordinate svakog od vektora. Oba imaju isto porijeklo - početnu tačku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunavamo koordinate vektora. Tada je zbir koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Nađi zbir koordinata vektora

Provjeravamo:

Hajde da sada razmotrimo sledeći problem: imamo dve tačke koordinatna ravan. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva tačka, a druga. Označimo udaljenost između njih kao . Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Šta sam učinio? Prvo sam se povezao tačke i, a također je nacrtao liniju paralelnu osi iz tačke i nacrtao liniju paralelnu osi iz tačke. Jesu li se ukrštali u jednoj tački, formirajući divnu figuru? Zašto je divna? Da, ti i ja znamo skoro sve pravougaonog trougla. Pa, Pitagorina teorema, sigurno. Željeni segment je hipotenuza ovog trougla, a segmenti su katete. Koje su koordinate tačke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni osi i, odnosno, njihove dužine je lako pronaći: ako označimo dužine segmenata, odnosno kroz, onda

Sada upotrijebimo Pitagorinu teoremu. Znamo dužine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dvije tačke je korijenski zbir kvadrata razlika od koordinata. Ili - udaljenost između dvije tačke je dužina segmenta koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između tačaka ne ovisi o smjeru. onda:

Iz ovoga izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo u izračunavanju udaljenosti između dvije tačke:

Na primjer, ako, onda udaljenost između i je

Ili idemo drugačije: pronađite koordinate vektora

I pronađite dužinu vektora:

Kao što vidite, isto je!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronađite udaljenost između datih tačaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema za istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite-di-te kvadrat dužine kapka-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dužine kapka do-ra

Pretpostavljam da ih lako možete nositi? Provjeravamo:

1. I ovo je za pažnju) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove dužine bit će:

2. Pronađite koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove dužine

Ništa komplikovano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeće zagonetke se ne mogu jednoznačno klasificirati, one su prije za opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Nađi-di-one sinuse ugla na-klo-na-od-reza, poveži-jednu-n-tu tačku, sa osom apscise.

I

Kako ćemo to uraditi ovdje? Morate pronaći sinus ugla između i ose. A gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravouglu. Dakle, šta treba da radimo? Napravi ovaj trougao!

Pošto su koordinate tačke i, tada je segment jednak i segmentu. Moramo pronaći sinus ugla. Dozvolite mi da vas podsjetim da je sinus onda omjer suprotnog kraka i hipotenuze

Šta nam preostaje da radimo? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: pomoću Pitagorine teoreme (noge su poznate!) ili korištenjem formule za udaljenost između dvije točke (zapravo isto kao i prva metoda!). ići ću drugim putem:

odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona - na koordinatama tačke.

Zadatak 2. Od tačke, per-pen-di-ku-lar se spušta na osu abs-cis. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnova okomice je tačka u kojoj ona siječe x-osu (os) za mene je to tačka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Nas zanima apscisa - odnosno "X" komponenta. Ona je jednaka.

odgovor: .

Zadatak 3. Pod uslovima prethodnog zadatka, naći zbir udaljenosti od tačke do koordinatnih osa.

Zadatak je općenito elementaran ako znate kolika je udaljenost od točke do osi. Ti znaš? Nadam se, ali vas ipak podsećam:

Dakle, na svom crtežu, koji se nalazi malo više, već sam prikazao jednu takvu okomitu? Koja je to osovina? do ose. I koja je onda njegova dužina? Ona je jednaka. Sada sami nacrtajte okomicu na osu i pronađite njenu dužinu. Biće ravnopravno, zar ne? Tada je njihov zbir jednak.

odgovor: .

Zadatak 4. U uslovima zadatka 2 pronaći ordinatu tačke simetrične tački oko x-ose.

Mislim da intuitivno razumete šta je simetrija? Ima ga jako mnogo objekata: mnogo zgrada, stolova, aviona, mnogo geometrijske figure: lopta, cilindar, kvadrat, romb, itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: figura se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovina. Ova simetrija se naziva aksijalna. Šta je onda osovina? To je upravo linija duž koje se figura može, relativno govoreći, "prerezati" na identične polovine (na ovoj slici osa simetrije je ravna):

Vratimo se sada našem zadatku. Znamo da tražimo tačku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova osa osa simetrije. Dakle, trebamo označiti tačku tako da os seče segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu tačku. Sada uporedi sa mojim rešenjem:

Jeste li i vi uradili isto? Fino! U pronađenoj tački nas zanima ordinata. Ona je jednaka

odgovor:

Sada mi recite, nakon što malo razmislim, kolika će biti apscisa tačke simetrične tački A oko y-ose? Šta je vaš odgovor? Tačan odgovor: .

IN opšti slučaj Pravilo se može napisati ovako:

Tačka simetrična tački oko x-ose ima koordinate:

Tačka simetrična tački oko y-ose ima koordinate:

Pa, sad je stvarno strašno. zadatak: Pronađite koordinate tačke koja je simetrična tački, u odnosu na ishodište. Prvo razmislite sami, a onda pogledajte moj crtež!

odgovor:

Sad problem paralelograma:

Zadatak 5: Bodovi su ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu tačke.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logikom i koordinatnom metodom. Prvo ću primijeniti koordinatni metod, a zatim ću vam reći kako možete odlučiti drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa tačke jednaka. (leži na okomici povučenoj od tačke do x-ose). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naša figura paralelogram, što znači da. Odredite dužinu segmenta koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke:

Spuštamo okomicu koja povezuje tačku sa osom. Tačka presjeka je označena slovom.

Dužina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem, gdje smo raspravljali o ovom trenutku), tada ćemo pronaći dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu:

Dužina segmenta je potpuno ista kao i njegova ordinata.

odgovor: .

Drugo rješenje (samo ću dati sliku koja to ilustruje)

Napredak rješenja:

1. Potrošite

2. Pronađite koordinate i dužinu tačke

3. Dokažite to.

Drugi problem dužine rezanja:

Tačke su-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Pronađite dužinu njegove srednje linije, par-ral-lel-noy.

Da li se sećate šta je to srednja linija trougao? Onda je za vas ovaj zadatak elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je linija koja spaja sredine suprotne strane. Paralelan je osnovici i jednak njenoj polovini.

Baza je segment. Ranije smo morali tražiti njegovu dužinu, jednaka je. Tada je dužina srednje linije upola manja i jednaka.

odgovor: .

Komentar: Ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se obratiti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, prilično su jednostavni, ali pomažu da “napunite ruku” koordinatnom metodom!

1. Tačke se pojavljuju-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Pronađite dužinu njegove srednje linije.

2. Poeni i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu tačke.

3. Nađite dužinu iz reza, povežite drugu tačku i

4. Pronađite-di-te područje za-crveni-shen-noy fi-gu-ry na ko-or-di-nat-noy ravni.

5. Krug sa centrom u na-cha-le ko-or-di-nat prolazi kroz tačku. Nađi-de-te njene ra-di-brkove.

6. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy blizu pravog ugla-no-ka, vrhovi-shi-ny nečega-ro-go imaju ko-ili - di-na-ti ko-od-odgovori-ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira njegovih osnova. Osnova je jednaka, ali baza. Onda

odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je da to primijetite (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektora i nije teško: . Prilikom dodavanja vektora, dodaju se koordinate. Zatim ima koordinate. Tačka ima iste koordinate, pošto je početak vektora tačka sa koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je jednaka.

odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za rastojanje između dvije tačke:

odgovor:

4. Pogledajte sliku i recite, između koje dvije figure je “stisnuto” osenčeno područje? U sendviču je između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo i sa velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je jednaka

Tada je površina velikog kvadrata

Područje željene figure nalazi se po formuli:

odgovor:

5. Ako krug ima početak kao centar i prolazi kroz tačku, tada će njegov polumjer biti tačan jednaka dužini segment (napravite crtež i shvatićete zašto je to očigledno). Pronađite dužinu ovog segmenta:

odgovor:

6. Poznato je da je poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak polovini njegove dijagonale. Nađimo dužinu bilo koje od dvije dijagonale (na kraju krajeva, u pravokutniku su jednake!)

odgovor:

Pa, jeste li sve uspjeli? Nije bilo tako teško shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - da možete napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje bukvalno još dvije stvari o kojima bih želio da prodiskutujem.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka dva boda i daju. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je tačka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i obično ne izaziva poteškoće kod učenika. Pogledajmo u kojim problemima i kako se koristi:

1. Nađi-di-te ili-di-na-tu se-re-di-us iz-reza, poveži-nya-yu-th-th point i

2. Bodovi su yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Pronađi-di-te ili-di-na-tu tačke re-re-se-che-niya njegovog dia-go-on-lei.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su centra kruga, opišite-san-noy u blizini pravokutnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nešto-ro-go ko-ili-di- na-vi ko-od-vet-stvenno-ali.

rješenja:

1. Prvi zadatak je samo klasičan. Odmah djelujemo određivanjem sredine segmenta. Ona ima koordinate. Ordinata je jednaka.

odgovor:

2. Lako je vidjeti da je dati četverougao paralelogram (čak i romb!). To možete sami dokazati tako što ćete izračunati dužine stranica i međusobno ih uporediti. Šta ja znam o paralelogramu? Njegove dijagonale su prepolovljene točkom presjeka! Aha! Dakle, šta je tačka preseka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje od dijagonala! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada tačka ima koordinate.Ordinata tačke je jednaka.

odgovor:

3. Koliki je centar kružnice opisane oko pravougaonika? Poklapa se sa točkom preseka njegovih dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika? Oni su jednaki i tačka preseka je podeljena na pola. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Tada ako je centar opisanog kruga, onda je sredina. Tražim koordinate: apscisa je jednaka.

odgovor:

Sada malo vježbajte sami, samo ću vam dati odgovore na svaki problem da se sami provjerite.

1. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy u blizini trougla-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imaju ko-or-di -ne gospodina

2. Pronađite-di-te ili-di-na-tu centar kruga, opišite san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhove-shi-imamo nešto-ro-go koordinate

3. Kakav ra-di-y-sa treba da postoji kružnica sa centrom u tački tako da dodiruje osu aps-cisa?

4. Pronađite-di-te ili-di-na-tu tačku ponovnog ponovnog-se-če-inga ose i od-reza, spojite-nya-yu-th-tu tačku i

odgovori:

Je li sve uspjelo? Zaista se tome nadam! Sada - posljednji guranje. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti nije relevantan samo za probleme jednostavne koordinatne metode u Dijelu B, već se nalazi iu cijelom problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate se koje sam operacije nad vektorima obećao uvesti, a koje sam na kraju uveo? Jesam li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio sam! Zaboravio sam da objasnim šta znači množenje vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži sa vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Vektorski proizvod je prilično težak. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. I ovdje ćemo se fokusirati na skalarni proizvod.

Već postoje dva načina koji nam omogućavaju da ga izračunamo:

Kao što ste pretpostavili, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, hajde da prvo pogledamo prvi način:

Točkasti proizvod kroz koordinate

Pronađite: - uobičajenu notaciju za tačkasti proizvod

Formula za izračun je sljedeća:

To je skalarni proizvod= zbir proizvoda vektorskih koordinata!

primjer:

Find-dee-te

Rješenje:

Pronađite koordinate svakog od vektora:

Izračunavamo skalarni proizvod po formuli:

odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplikovano!

Pa, sad probajte i sami:

Pronađi-di-te skalarno-noe pro-od-ve-de-nie stoljeća-do-rova i

Jeste li uspjeli? Možda je primetio mali trik? provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinate, postoji još jedan način izračunavanja skalarnog proizvoda, naime, kroz dužine vektora i kosinus ugla između njih:

Označava ugao između vektora i.

To jest, skalarni proizvod je jednak proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je mnogo jednostavnija, barem u njoj nema kosinusa. A to nam je potrebno da iz prve i druge formule možemo zaključiti kako pronaći ugao između vektora!

Neka onda zapamti formulu za dužinu vektora!

Zatim, ako ubacim ove podatke u formulu točkastog proizvoda, dobijem:

Ali na drugi način:

Pa šta imamo? Sada imamo formulu za izračunavanje ugla između dva vektora! Ponekad se, radi sažetosti, piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje ugla između vektora je sljedeći:

1. Izračunavamo skalarni proizvod kroz koordinate
2. Pronađite dužine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat tačke 1 rezultatom tačke 2

Vježbajmo na primjerima:

1. Pronađite ugao između očnih kapaka do-ra-mi i. Odgovor dajte u stepenima.

2. Pod uslovima prethodnog zadatka, pronaći kosinus između vektora

Hajde da uradimo ovo: pomoći ću ti da rešiš prvi problem, a drugi pokušaj da uradiš sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo razmotrili njihov skalarni proizvod i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove dužine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus ugla? Ovo je ugao.

odgovor:

Pa, sad sami riješite drugi problem, a onda uporedite! Daću samo kratko rešenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Neka je ugao između vektora i, onda

odgovor:

Treba napomenuti da su zadaci direktno na vektorima i metodu koordinata u dijelu B ispitni rad prilično rijetko. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sistema. Dakle, ovaj članak možete smatrati temeljom, na osnovu kojeg ćemo napraviti prilično zeznute konstrukcije koje trebamo riješiti izazovni zadaci.

KOORDINATE I VEKTORI. SREDNJI NIVO

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U zadnjem dijelu smo zaključili niz važne formule, koji dozvoljavaju:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Pronađite dužinu vektora (alternativno: udaljenost između dvije tačke)
3. Dodajte, oduzmite vektore. pomnožite ih sa pravi broj
4. Pronađite sredinu segmenta
5. Izračunati dot proizvod vektora
6. Pronađite ugao između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda se ne uklapa u ovih 6 tačaka. Ona leži u osnovi takve nauke kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na univerzitetu. Samo želim da izgradim temelj koji će vam omogućiti da rješavate probleme u jednoj državi. ispit. Shvatili smo zadatke dijela B u Sada je vrijeme da pređemo na kvalitet novi nivo! Ovaj članak će biti posvećen metodi za rješavanje onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost je određena onim što treba pronaći u problemu i koja je brojka data. Dakle, koristio bih koordinatnu metodu ako su pitanja:

1. Pronađite ugao između dvije ravni
2. Pronađite ugao između prave i ravni
3. Pronađite ugao između dvije prave
4. Pronađite udaljenost od tačke do ravni
5. Pronađite udaljenost od tačke do prave
6. Pronađite udaljenost od prave do ravni
7. Pronađite razmak između dvije linije

Ako je figura data u uslovu zadatka tijelo okretanja (kugla, cilindar, stožac...)

Pogodne brojke za koordinatnu metodu su:

1. kuboid
2. Piramida (trokutasta, četvorougaona, šestougaona)

Takodje po mom iskustvu neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Pronalaženje površina presjeka
2. Proračun volumena tijela

Međutim, odmah treba napomenuti da su tri „nepovoljno” situacije za koordinatni metod prilično rijetke u praksi. U većini zadataka može postati vaš spasilac, pogotovo ako niste jako jaki u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam naveo gore? Nisu više ravne, kao što su kvadrat, trokut, krug, već su voluminozne! Shodno tome, moramo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sistem. Gradi se prilično lako: samo uz apscisu i ordinate, uvest ćemo još jednu os, aplikantnu osu. Slika šematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su međusobno okomiti, sijeku se u jednoj tački, koju ćemo nazvati ishodištem. Osa apscise će, kao i do sada, biti označena, ordinatna osa - , a uvedena aplikatna osa - .

Ako je ranije svaka tačka na ravni bila okarakterisana sa dva broja - apscisa i ordinata, onda je svaka tačka u prostoru već opisana sa tri broja - apscisa, ordinata, aplikat. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikacija je .

Ponekad se apscisa tačke naziva i projekcija tačke na apscisnu osu, ordinata je projekcija tačke na osu ordinate, a aplikacija je projekcija tačke na aplikantnu osu. Prema tome, ako je data tačka, onda je tačka sa koordinatama:

zove se projekcija tačke na ravan

zove se projekcija tačke na ravan

Postavlja se prirodno pitanje: da li su sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj važeće u prostoru? Odgovor je da, samo su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili koji. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan pojam odgovoran za aplikantnu osu. Naime.

1. Ako su date dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije tačke (ili vektorska dužina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su data dva vektora: i, onda:

• Njihov tačkasti proizvod je:
• Kosinus ugla između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanje još jedne koordinate uvodi značajnu raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za dalju naraciju, moram da uvedem neku, grubo rečeno, "generalizaciju" prave linije. Ova "generalizacija" će biti avion. Šta znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje šta je avion? Veoma je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je neka vrsta beskonačnog "lista" gurnutog u svemir. "Beskonačnost" treba shvatiti da se ravan proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prste" ne daje ni najmanju predstavu o strukturi aviona. I bićemo zainteresovani za to.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• u dva razne tačke ravninom prolazi prava linija, štaviše, samo jedna:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu ravne linije iz dvije date tačke, to uopće nije teško: ako prva tačka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba ravne linije biti sljedeća:

Prošao si kroz ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba prave linije izgleda ovako: imamo dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba prave koja prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, linija prolazi kroz tačke:

Kako ovo treba shvatiti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: tačka leži na pravoj ako njene koordinate zadovoljavaju sljedeći sistem:

Jednačina prave linije nas neće mnogo zanimati, ali moramo obratiti pažnju na veoma važan koncept usmeravajućeg vektora prave linije. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka biti točka koja leži na pravoj liniji, i biti njen usmjeravajući vektor. Tada se jednačina prave linije može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neću baš biti zainteresovan za jednadžbu prave linije, ali zaista treba da zapamtite šta je vektor pravca! opet: to je BILO KOJI ne-nulti vektor koji leži na pravoj ili paralelan s njom.

Povuci se jednadžba u tri tačke ravni više nije tako trivijalan, i obično se ovo pitanje ne razmatra na kursu srednja škola. Ali uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste puni želje da naučite nešto novo? Štaviše, moći ćete da impresionirate svog profesora na fakultetu kada se pokaže da već znate kako da koristite tehniku ​​koja se obično izučava na kursu analitičke geometrije. Pa počnimo.

Jednačina ravnine se ne razlikuje previše od jednačine prave na ravni, naime, ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), ali varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravni se ne razlikuje mnogo od jednačine prave (linearne funkcije). Međutim, sećate se šta smo se svađali s vama? Rekli smo da ako imamo tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj, onda se jednačina ravnine jedinstveno obnavlja iz njih. Ali kako? Pokušaću da ti objasnim.

Pošto je jednadžba ravni:

I tačke pripadaju ovoj ravni, onda kada zamenimo koordinate svake tačke u jednadžbu ravnine, treba da dobijemo tačan identitet:

Dakle, postoji potreba da se reše tri jednačine već sa nepoznanicama! Dilema! Međutim, uvijek možemo pretpostaviti da (za ovo moramo podijeliti sa). Tako dobijamo tri jednadžbe sa tri nepoznanice:

Međutim, nećemo rješavati takav sistem, već ćemo ispisati kriptični izraz koji iz njega slijedi:

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stani! Šta je još ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekat koji vidite ispred sebe nema nikakve veze sa modulom. Ovaj objekat se naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se bavite metodom koordinata na ravni, često ćete naići na ove determinante. Šta je determinanta trećeg reda? Čudno, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji ćemo konkretni broj uporediti s determinantom.

Hajde da prvo zapišemo determinantu trećeg reda u više opšti pogled:

Gdje su neki brojevi. Štaviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj reda, a pod indeksom - broj kolone. Na primjer, to znači dati broj stoji na raskrsnici drugog reda i treće kolone. Hajde da stavimo sljedeće pitanje: kako ćemo tačno izračunati takvu determinantu? Odnosno, s kojim konkretnim brojem ćemo ga uporediti? Za determinantu upravo trećeg reda postoji pravilo heurističkog (vizuelnog) trougla, koje izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gore lijevo do dolje desno) proizvod elemenata koji čine prvi trokut "okomito" na glavnu dijagonalu proizvod elemenata koji čine drugi trokut "okomit" na glavnu dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog ugla do donjeg lijevog) proizvod elemenata koji čine prvi trokut "okomito" sekundarne dijagonale proizvod elemenata koji čine drugi trokut "okomito" sekundarne dijagonale
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobijenih u koraku i

Ako sve ovo zapišemo brojevima, onda ćemo dobiti sljedeći izraz:

Međutim, ne morate pamtiti način izračuna u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati trokute u glavi i samu ideju šta se čemu dodaje, a šta se onda oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunajte determinantu:

Hajde da shvatimo šta dodajemo, a šta oduzimamo:

Uslovi koji dolaze sa "plus":

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajemo tri broja:

Termini koji dolaze sa "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajemo tri broja:

Sve što ostaje da se uradi je da se od zbira plus članova oduzme zbir minus članova:

dakle,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog i natprirodnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Jednostavno je važno zapamtiti trouglove i ne praviti aritmetičke greške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbir plus uslova:
4. Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
5. Drugi trokut, okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbir članova sa minusom:
7. Zbir plus članova minus zbir minus članova:

Evo još par odrednica za vas, sami izračunajte njihove vrijednosti i uporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, da li se sve poklopilo? Odlično, onda možete dalje! Ako postoje poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: na internetu postoji gomila programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je da smislite svoju determinantu, sami je izračunate, a zatim uporedite sa onim što program izračunava. I tako sve dok rezultati ne počnu da se poklapaju. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sada na odrednicu koju sam napisao kada sam govorio o jednačini ravni koja prolazi kroz tri date bodove:

Sve što treba da uradite je da direktno izračunate njegovu vrednost (pomoću metode trougla) i postavite rezultat na nulu. Naravno, pošto su varijable, dobićete izraz koji zavisi od njih. Taj izraz će biti jednačina ravnine koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na jednoj pravoj!

Ilustrirajmo ovo jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Sastavljamo odrednicu za ove tri tačke:

Pojednostavljenje:

Sada ga izračunavamo direktno prema pravilu trokuta:

\[(\left| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \left((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \desno) + \left((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednačina ravnine koja prolazi kroz tačke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Pa, hajde da sada razgovaramo o rješenju:

Pravimo odrednicu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili, smanjivanjem za, dobijamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmite tri tačke iz glave (sa velikim stepenom vjerovatnoće neće ležati na jednoj pravoj liniji), izgradite na njima ravan. A onda se provjeri na internetu. Na primjer, na web stranici:

Međutim, uz pomoć determinanti konstruisaćemo ne samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo tačkasti proizvod. Postoji i vektor, kao i mješoviti proizvod. A ako će skalarni proizvod dva vektora biti broj, onda će vektorski proizvod dva vektora biti vektor, a ovaj vektor će biti okomit na date:

I njegov modul će biti jednaka površini paralelogram izgrađen na vektorima i. Ovaj vektor moramo izračunati udaljenost od tačke do prave. Kako možemo izračunati unakrsni proizvod vektora i ako su date njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi odrednica trećeg reda. Međutim, prije nego što pređem na algoritam za izračunavanje unakrsnog proizvoda, moram napraviti malu lirsku digresiju.

Ova digresija se tiče baznih vektora.

Šematski su prikazani na slici:

Šta mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očigledna, jer:

vektorski proizvod

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada dajmo nekoliko primjera izračunavanja unakrsnog proizvoda:

Primjer 1: Pronađite unakrsni proizvod vektora:

Rješenje: pravim odrednicu:

I ja izračunam:

Sada, od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

ovako:

Sada probaj.

Spreman? Provjeravamo:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:
2. Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti proizvod tri vektora

Posljednja konstrukcija koja mi treba je mješoviti proizvod tri vektora. On je, kao skalar, broj. Postoje dva načina da se izračuna. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, recimo da imamo tri vektora:

Tada se mješoviti proizvod tri vektora, označen sa može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti proizvod je skalarni proizvod vektora i vektorski proizvod dva druga vektora

Na primjer, mješoviti proizvod tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati koristeći vektorski proizvod i uvjerite se da se rezultati podudaraju!

Opet dva primjera nezavisno rešenje:

odgovori:

Izbor koordinatnog sistema

Pa, sada imamo sav potreban temelj znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što pređemo direktno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno odabrati koordinatni sistem za određenu figuru. Na kraju krajeva, izbor relativnog položaja koordinatnog sistema i figure u prostoru će na kraju odrediti koliko će proračuni biti glomazni.

Podsjećam vas da u ovom dijelu razmatramo sljedeće brojke:

1. kuboid
2. Prava prizma (trouglasta, heksagonalna...)
3. Piramida (trokutasta, četvorougaona)
4. Tetraedar (isto kao trouglasta piramida)

Za kocku ili kocku preporučujem sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postaviću figuru „u ugao“. Kocka i kutija su veoma dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrha:

Naravno, ne morate ovo zapamtiti, ali zapamtite kako najbolje pozicionirati kocku ili kuboid- poželjno.

ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Možete ga rasporediti u prostoru na različite načine. Ipak, mislim da je sledeća opcija najbolja:

Trouglasta prizma:

Odnosno, jednu od stranica trokuta stavljamo u potpunosti na osu, a jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem, a jedna od stranica leži na osi.

Četvorougaona i šestougaona piramida:

Situacija slična kocki: kombiniramo dvije strane baze s koordinatnim osa, kombiniramo jedan od vrhova s ​​ishodištem. Jedina mala poteškoća bit će izračunavanje koordinata tačke.

Za heksagonalnu piramidu - isto kao i za heksagonalnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti u pronalaženju koordinata vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trouglastu prizmu: jedan vrh se poklapa sa ishodištem, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

E, sad smo ti i ja konačno blizu početka rješavanja problema. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema spada u 2 kategorije: problemi za ugao i problemi za udaljenost. Prvo ćemo razmotriti probleme za pronalaženje ugla. Oni su, pak, podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se složenost povećava):

Problemi sa pronalaženjem uglova

1. Pronalaženje ugla između dvije prave
2. Pronalaženje ugla između dvije ravni

Razmotrimo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem ugla između dvije prave. Hajde, zapamti, nismo li ti i ja odlučili slični primjeri ranije? Sjećate se, jer smo već imali nešto slično... Tražili smo ugao između dva vektora. Podsjećam vas, ako su data dva vektora: i, onda se ugao između njih nalazi iz relacije:

Sada imamo cilj - pronaći ugao između dvije prave. Okrenimo se "ravnoj slici":

Koliko uglova dobijemo kada se dve prave seku? Već stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su drugi okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji bi ugao trebali uzeti u obzir ugao između dvije prave: ili? Ovdje je pravilo: ugao između dvije prave uvijek nije veći od stepeni. Odnosno, iz dva ugla, uvek ćemo birati ugao sa najmanjim stepen mera. To jest, na ovoj slici je ugao između dve prave jednak. Kako se ne bi mučili svaki put s pronalaženjem najmanjeg od dva ugla, lukavi matematičari su predložili korištenje modula. Dakle, ugao između dve prave linije određuje se formulom:

Vi, kao pažljivi čitalac, trebalo je da imate pitanje: odakle, u stvari, dobijamo baš te brojeve koji su nam potrebni da izračunamo kosinus ugla? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera linija! Dakle, algoritam za pronalaženje ugla između dve linije je sledeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve prave linije
2. Tražimo koordinate vektora smjera druge linije
3. Izračunajte modul njihovog skalarnog proizvoda
4. Tražimo dužinu prvog vektora
5. Tražimo dužinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz tačke 4 sa rezultatom iz tačke 5
7. Podijelimo rezultat tačke 3 rezultatom tačke 6. Dobijamo kosinus ugla između pravih
8. Ako dati rezultat omogućava vam da precizno izračunate ugao, mi ga tražimo
9. U suprotnom, pišemo kroz arkosinus

E, sad je vrijeme da pređemo na zadatke: detaljno ću demonstrirati rješenje prva dva, rješenje drugog ću predstaviti u sažetak, a za zadnja dva problema dat ću samo odgovore, sve proračune za njih morate izvršiti sami.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-re, pronađite-di-te ugao između vas-tako-ta tet-ra-ed-ra i me-di-a-noy bo-ko-how strane.

2. U desno-naprijed šest ugljen-pi-ra-mi-de, sto-ro-na-os-no-va-niya su nekako jednake, a bočna rebra su jednaka, pronađite ugao između ravnih linije i.

3. Dužine svih ivica desnog četiri-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy jednake su jedna drugoj. Pronađite ugao između pravih i ako je od-re-zok - vi-tako-da dato pi-ra-mi-dy, tačka je se-re-di-na njenom bo-ko- th rebru

4. Na rubu kocke od-me-che-do tačke tako da nađete-di-te ugao između pravih i

5. Tačka - se-re-di-na ivicama kocke Nai-di-te ugao između pravih i.

Nije slučajno da sam zadatke rasporedio ovim redom. Dok još niste imali vremena da počnete navigirati koordinatnom metodom, ja ću analizirati najproblematičnije figure, a vas ću ostaviti da se bavite najjednostavnijom kockom! Postepeno morate naučiti kako raditi sa svim figurama, povećavaću složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, postavite ga u koordinatni sistem kao što sam ranije predložio. Pošto je tetraedar pravilan, onda su i sve njegove strane (uključujući bazu). pravilni trouglovi. Pošto nam nije data dužina stranice, mogu je uzeti jednakom. Mislim da razumete da ugao neće baš zavisiti od toga koliko će naš tetraedar biti "rastegnut"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću nacrtati njegovu osnovu (i nama će dobro doći).

Moram pronaći ugao između i. šta mi znamo? Znamo samo koordinate tačke. Dakle, moramo pronaći više koordinata tačaka. Sada mislimo: tačka je tačka preseka visina (ili simetrala ili medijana) trougla. Tačka je povišena tačka. Tačka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate tačaka: .

Počnimo s najjednostavnijim: koordinatama tačaka. Pogledajte sliku: Jasno je da je primjena tačke jednaka nuli (tačka leži na ravni). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijana). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako radi na osnovu Pitagorine teoreme: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak Tada:

Konačno imamo:

Sada pronađimo koordinate tačke. Jasno je da je njegova primjena opet jednaka nuli, a ordinata jednaka onoj tačke, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo je učinjeno prilično trivijalno ako se toga setite visine jednakostranični trougao tačka preseka je podeljena proporcionalno računajući od vrha. Pošto: , tada željena apscisa tačke, jednaka dužini segment je jednak: . Dakle, koordinate tačke su:

Nađimo koordinate tačke. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. A aplikacija je jednaka dužini segmenta. - ovo je jedan od krakova trougla. Hipotenuza trougla je segment - krak. Traže se razlozi koje sam podebljao:

Tačka je sredina segmenta. Zatim moramo zapamtiti formulu za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: sve podatke zamjenjujemo u formulu:

dakle,

odgovor:

Ne treba se plašiti takvih „užasnih“ odgovora: za probleme C2 ovo je uobičajena praksa. Radije bih bio iznenađen "lijepim" odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktično nisam pribjegao ničemu drugom osim Pitagorinoj teoremi i svojstvu visina jednakostraničnog trougla. Odnosno, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome se djelimično "ugasi" prilično glomaznim proračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu zajedno sa koordinatnim sistemom, kao i njenu osnovu:

Moramo pronaći ugao između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata tačaka: . Naći ćemo koordinate posljednje tri iz malog crteža, a koordinatu temena pronaći ćemo kroz koordinatu tačke. Puno posla, ali moram početi!

a) Koordinata: jasno je da su njena aplikacija i ordinata nula. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmislite o pravokutnom trokutu. Avaj, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušaćemo da pronađemo nogu (jer je jasno da će nam dupla dužina kateta dati apscisu tačke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šestougao. Šta to znači? To znači da su sve strane i svi uglovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kutak. Ima li ideja? Ima mnogo ideja, ali postoji formula:

Zbir uglova regularni n-gon je jednako .

Dakle, zbir uglova pravilnog šestougla je stepeni. Tada je svaki od uglova jednak:

Pogledajmo ponovo sliku. Jasno je da je segment simetrala ugla. Zatim ugao jednaka stepenima. onda:

Onda gde.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možemo lako pronaći koordinate tačke: .

c) Pronađite koordinate tačke. Pošto se njena apscisa poklapa sa dužinom segmenta, ona je jednaka. Pronalaženje ordinate također nije teško: ako povežemo tačke i i označimo tačku presjeka prave, recimo za. (uradite sami jednostavnu konstrukciju). Tada je ordinata tačke B jednaka zbiru dužina segmenata. Pogledajmo ponovo trougao. Onda

Tada od Tada tačka ima koordinate

d) Sada pronađite koordinate tačke. Razmotrimo pravougaonik i dokažimo da su koordinate tačke:

e) Ostaje pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. Hajde da pronađemo aplikaciju. Od tada. Razmotrimo pravougli trougao. Po uslovu problema, bočna ivica. Ovo je hipotenuza mog trougla. Tada je visina piramide noga.

Tada tačka ima koordinate:

To je to, imam koordinate svih tačaka koje me zanimaju. Tražim koordinate usmjeravajućih vektora pravih linija:

Tražimo ugao između ovih vektora:

odgovor:

Opet, prilikom rješavanja ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane trikove, osim formule za zbir uglova pravilnog n-ugla, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Pošto nam opet nisu date dužine ivica u piramidi, prebrojaću ih jednako jedan. Dakle, pošto su SVE ivice, a ne samo bočne, jednake jedna drugoj, tada u osnovi piramide i mene leži kvadrat, i bočne strane su pravougli trouglovi. Hajde da prikažemo takvu piramidu, kao i njenu osnovu na ravni, označavajući sve podatke date u tekstu problema:

Tražimo ugao između i. Napraviću vrlo kratke proračune kada tražim koordinate tačaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Naći ću dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu u trouglu. Naći ću po Pitagorinoj teoremi u trouglu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Traženje ugla:

kocka - najjednostavnija figura. Siguran sam da to možete sami shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje ugla između prave i ravni

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još teži. Da bismo pronašli ugao između prave i ravni, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Koristeći tri tačke gradimo jednačinu ravnine
   ,
   koristeći determinantu trećeg reda.
2. Po dvije tačke tražimo koordinate vektora usmjeravanja prave:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje ugla između prave i ravnine:

Kao što vidite, ova formula je vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje uglova između dvije prave. Struktura desne strane je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus, kao prije. Pa, dodata je jedna gadna radnja - traženje jednačine ravnine.

Nemojmo odlagati rješavanje primjera:

1. Os-no-va-ni-em ravno-moja nagrada-mi smo-la-et-xia jednaki-ali-siromašni-ren-ny trougao-nick ti-sa-tom nagradom-mi smo jednaki. Pronađite ugao između prave i ravni

2. U pravougaonom pa-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nai-di-te ugao između prave i ravni

3. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Pronađite ugao između prave i ravni.

4. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni-em sa zapada rebra Nai-di-te ugla, ob-ra-zo-van -ny ravan os -no-va-nija i pravo-moja, prolazeći kroz se-re-di-na rebara i

5. Dužine svih ivica pravog četvorougaonog pi-ra-mi-dy sa vrhom jednake su jedna drugoj. Pronađite ugao između prave i ravni, ako je tačka se-re-di-na bo-ko-in-toj ivici pi-ra-mi-dy.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći - ukratko, a zadnja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste se morali nositi s trokutastim i četvorougaone piramide, ali sa prizmama - još ne.

rješenja:

1. Nacrtajte prizmu, kao i njenu osnovu. Kombinirajmo ga sa koordinatnim sistemom i označimo sve podatke koji su dati u iskazu problema:

Izvinjavam se zbog nepoštovanja proporcija, ali za rješavanje problema to, zapravo, nije toliko bitno. Avion je samo "zadnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednačina takve ravni ima oblik:

Međutim, ovo se može prikazati i direktno:

Mi biramo proizvoljne tri tačke na ovoj ravni: na primjer, .

Napravimo jednačinu ravnine:

Vježba za vas: sami izračunajte ovu determinantu. Jeste li uspjeli? Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili jednostavno

dakle,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate usmjeravajućeg vektora prave linije. Pošto se tačka poklapala sa ishodištem, koordinate vektora će se jednostavno poklapati sa koordinatama tačke.Da bismo to uradili, prvo pronađemo koordinate tačke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (ona je i medijana i simetrala) od vrha. Pošto je tada ordinata tačke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove tačke, moramo izračunati dužinu segmenta. Po Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada tačka ima koordinate:

Tačka je "podignuta" na tački:

Zatim koordinate vektora:

odgovor:

Kao što vidite, nema ništa suštinski teško u rješavanju takvih problema. Zapravo, "pravost" figure kao što je prizma malo više pojednostavljuje proces. Sada pređimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtamo paralelepiped, nacrtamo ravan i pravu liniju u njemu, a također posebno nacrtamo njegovu donju osnovu:

Prvo, nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate tri tačke koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate se dobijaju na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći sa slike iz tačke). Zatim sastavljamo jednačinu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora pravca: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju sa koordinatama tačke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate tačke, podignute duž aplikativne ose za jedan! . Zatim tražimo željeni ugao:

odgovor:

3. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu, a zatim u njoj nacrtajte ravan i pravu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravan, da ne spominjemo rješenje ovog problema, ali koordinatni metod nije briga! Upravo u njegovoj svestranosti leži njegova glavna prednost!

Avion prolazi kroz tri tačke: . Tražimo njihove koordinate:

1) . Sami prikažite koordinate za posljednje dvije točke. Za ovo ćete morati riješiti problem sa heksagonalnom piramidom!

2) Gradimo jednačinu ravni:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovo problem trokutaste piramide!)

3) Tražimo ugao:

odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ništa natprirodno teško. Samo treba da budete veoma oprezni sa korenima. Na poslednja dva problema daću samo odgovore:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema je svugdje ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u neke formule. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu zadataka za izračunavanje uglova, i to:

Izračunavanje uglova između dve ravni

Algoritam rješenja će biti sljedeći:

1. Za tri tačke tražimo jednačinu prve ravni:
2. Za ostale tri tačke tražimo jednačinu druge ravni:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnoj dvije, uz pomoć kojih smo tražili uglove između pravih i između prave i ravni. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Pređimo odmah na problem:

1. Sto-ro-na osnovu desne trouglaste prizme je jednaka, a dijagonala bočne strane je jednaka. Pronađite ugao između ravnine i ravni osnove nagrade.

2. U desno-naprijed četiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, sve ivice nekoga su jednake, pronađite sinus ugla između ravnine i ravni Ko-Stu, koja prolazi kroz tačka per-pen-di-ku-lyar-ali pravo-moj.

3. U pravilnoj prizmi sa četiri uglja, stranice os-no-va-nije su jednake, a bočne ivice jednake. Na ivici od-me-če-do tačke tako da. Pronađite ugao između ravnina i

4. U pravoj četverougaonoj prizmi stranice osnova su jednake, a bočne ivice jednake. Na rubu od-me-che-do točke tako da Nađite ugao između ravnina i.

5. U kocki pronađite ko-sinus ugla između ravni i

Rješenja problema:

1. Nacrtam ispravan (u osnovi je jednakostranični trokut) trouglasta prizma i na njemu označavam ravnine koje se pojavljuju u stanju problema:

Moramo pronaći jednačine dvije ravni: Osnovna jednačina se dobija trivijalno: možete napraviti odgovarajuću determinantu za tri tačke, ali ja ću odmah napraviti jednadžbu:

Sada pronađimo jednačinu Tačka ima koordinate Tačka - Pošto - medijana i visina trougla, lako je pronaći po Pitagorinoj teoremi u trouglu. Tada tačka ima koordinate: Pronađite aplikaciju tačke Da biste to uradili, razmotrite pravougli trougao

Tada dobijamo sledeće koordinate: Sastavljamo jednačinu ravni.

Izračunavamo ugao između ravnina:

odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je shvatiti kakva je to misteriozna ravan, koja prolazi kroz tačku okomito. Pa, glavno je šta je to? Glavna stvar je pažnja! Zaista, linija je okomita. Linija je također okomita. Tada će ravan koja prolazi kroz ove dvije prave biti okomita na pravu i, usput, proći će kroz tačku. Ova ravan takođe prolazi kroz vrh piramide. Onda željeni avion - I avion nam je već dat. Tražimo koordinate tačaka.

Pronalazimo koordinatu tačke kroz tačku. Lako je zaključiti iz malog crteža da će koordinate tačke biti sljedeće: Šta je sada preostalo za pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Još treba izračunati njegovu visinu. Ovo se radi pomoću iste Pitagorine teoreme: prvo to dokažite (trivijalno od malih trokuta koji formiraju kvadrat na bazi). Pošto po uslovu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednačinu ravnine:

Već ste stručnjak za izračunavanje determinanti. Lako ćete dobiti:

Ili drugačije (ako oba dijela pomnožimo korijenom iz dva)

Sada pronađimo jednačinu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobijamo jednačinu ravnine, zar ne? Ako ne razumeš odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vratimo na definiciju jednačine ravni! Jednostavno se uvek ispostavilo da je moj avion je pripadao poreklu!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednačina ravni poklopila sa jednačinom prave koja prolazi kroz tačke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo ugao:

Moramo pronaći sinus:

odgovor:

3. Šaljivo pitanje: šta je pravougaona prizma, Kako misliš? To vam je samo dobro poznati paralelepiped! Crtanje odmah! Ne možete čak ni zasebno prikazati bazu, od nje je malo koristi ovdje:

Ravan je, kao što smo ranije napomenuli, zapisana kao jednačina:

Sada pravimo avion

Odmah sastavljamo jednačinu ravnine:

Tražim ugao

Sada odgovori na zadnja dva problema:

Pa, sada je vrijeme za pauzu, jer ti i ja smo super i uradili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredni nivo

U ovom članku ćemo s vama razgovarati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti korištenjem koordinatnog metoda: problemi udaljenosti. Naime, razmotrićemo sledećim slučajevima:

1. Izračunavanje udaljenosti između kosih linija.

Zadate zadatke sam naručivao kako se njihova složenost povećava. Najlakše je pronaći udaljenost od tačke do ravni a najteže je pronaći udaljenost između linija koje se seku. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni

Šta nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate tačaka

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako gradimo jednačinu ravnine iz prethodnih zadataka koje sam analizirao u prošlom dijelu. Hajdemo odmah na posao. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam da odlučite, i u nekim detaljima, 3, 4 - samo odgovor, vi sami donosite odluku i uporedite. Počelo!

Zadaci:

1. Zadana kocka. Dužina ivice kocke je Find-di-te udaljenost od se-re-di-ny od reza do ravnog

2. S obzirom na pravo-vil-naya četiri-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe ivica sto-ro-na os-no-va-nia je jednaka. Nađi-di-one udaljenosti od tačke do ravni gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni-em, druga ivica je jednaka, a sto-ro-on os-no-vaniya je jednako. Pronađite-di-te udaljenosti od vrha do ravnine.

4. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Nađi-di-te udaljenosti od tačke do ravni.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku sa pojedinačnim ivicama, napravite segment i ravan, označite sredinu segmenta slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate tačke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednačinu ravnine na tri tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi da tražim udaljenost:

2. Počinjemo ponovo sa crtežom, na kojem obeležavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njenu osnovu.

Čak i činjenica da crtam kao kokošja šapa neće nas spriječiti da lako riješimo ovaj problem!

Sada je lako pronaći koordinate tačke

Pošto su koordinate tačke

2. Pošto su koordinate tačke a sredina segmenta, onda

Lako možemo pronaći koordinate još dvije tačke na ravni.Sastavljamo jednačinu ravnine i pojednostavljujemo je:

\[\lijevo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Pošto tačka ima koordinate: , tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (veoma retko!):

Pa, jeste li razumjeli? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo s vama razmatrali u prethodnom dijelu. Tako da sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od prave do ravni

U stvari, tu nema ničeg novog. Kako se prava i ravan mogu locirati jedna u odnosu na drugu? Imaju sve mogućnosti: da se preseku, ili je prava paralelna sa ravninom. Šta mislite kolika je udaljenost od prave do ravni sa kojom se data prava seče? Čini mi se da je jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, pošto je prava paralelna sa ravninom, tada je svaka tačka prave jednako udaljena od ove ravni:

ovako:

A to znači da je moj zadatak sveden na prethodni: tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od tačke do ravnine. Zapravo, takvi zadaci na ispitu su izuzetno rijetki. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatni metod nije bio baš primjenjiv na njega!

Sada pređimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti tačke do linije

Šta će nam trebati?

1. Koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj liniji

3. Vektorske koordinate pravca

Koju formulu koristimo?

Šta za vas znači imenilac ovog razlomka i zato bi trebalo da bude jasno: ovo je dužina usmeravajućeg vektora prave linije. Evo vrlo lukavog brojača! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog proizvoda vektora i Kako izračunati vektorski proizvod, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Osvježite svoje znanje, sada će nam biti od velike koristi!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj do koje tražimo udaljenost:

3. Izgradnja vektora

4. Gradimo vektor pravca prave linije

5. Izračunajte unakrsni proizvod

6. Tražimo dužinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Sada usmjerite svu svoju pažnju!

1. Dana je desnoruki trouglasti pi-ra-mi-da sa vrhom. Sto-ro-na os-no-va-nija pi-ra-mi-dy je jednako, ti-so-ta je jednako. Pronađite-di-one udaljenosti od se-re-di-ny bo-ko-te ivice do prave linije, gdje su tačke i se-re-di-ny rebara i ko-od-vet -stven-ali.

2. Dužine rebara i pravog ugla-no-para-ral-le-le-pi-pe-da su jednake, respektivno, a Find-di-te udaljenost od top-shi-ny do ravno-my

3. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice roja su jednake find-di-one udaljenosti od tačke do prave linije

rješenja:

1. Napravimo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla za vas! Prvo bih želio riječima opisati šta ćemo tražiti i kojim redoslijedom:

1. Koordinate tačaka i

2. Koordinate tačaka

3. Koordinate tačaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov unakrsni proizvod

6. Dužina vektora

7. Dužina vektorskog proizvoda

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Zasucimo rukave!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate tačke kojoj je aplikat nula, a ordinata jednaka njenoj apscisi. Konačno, dobili smo koordinate:

Koordinate tačaka

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

midpoint

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski proizvod:

6. Dužina vektora: najlakši način je zamijeniti da je segment srednja linija trougla, što znači da je jednak polovini osnovice. Dakle.

7. Razmatramo dužinu vektorskog proizvoda:

8. Konačno, pronađite udaljenost:

Fuj, to je sve! Iskreno ću vam reći: rješenje ovog problema tradicionalne metode(putem gradnje) bi bilo mnogo brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je algoritam rješenja jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva problema. Uporedite odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) rješavati ove probleme kroz konstrukcije, a ne pribjegavati koordinatni metod. Ovo rješenje sam demonstrirao samo da bih vam pokazao univerzalna metoda, što omogućava da se "ništa ne završi".

Konačno, razmislite zadnji čas zadaci:

Izračunavanje udaljenosti između kosih linija

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. šta imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje tačke prve i druge prave:

Kako pronalazimo udaljenost između linija?

Formula je:

Brojilac je modul mješovitog proizvoda (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je isti kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog proizvoda usmjeravajućih vektora pravih, udaljenost između kojih smo traže).

Podsjetit ću vas na to

Onda formula udaljenosti može se prepisati kao:

Podijelite ovu determinantu sa determinantom! Mada, da budem iskren, ovde nisam raspoložen za šale! Ova formula, u stvari, veoma je glomazan i dovodi do prilično komplikovanih proračuna. Da sam na tvom mjestu, koristio bih ga samo kao posljednje sredstvo!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema koristeći gornju metodu:

1. U pravoj trokutastoj prizmi, sve ivice su nekako jednake, pronađite rastojanje između pravih i.

2. S obzirom na pravougaonu trouglastu prizmu, sve ivice os-no-va-niya nekoga jednake su Se-che-tionu, prolazeći kroz drugo rebro i se-re-di-nu rebra su yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie između ravno-mi-mi i

Ja odlučujem o prvom, a na osnovu njega vi odlučujete o drugom!

1. Nacrtam prizmu i označim linije i

Koordinate tačke C: tada

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niz))\kraj(niz)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Razmatramo unakrsni proizvod između vektora i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(niz)(l)\begin(niz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(niz)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niz)\kraj(niz) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sada razmatramo njegovu dužinu:

odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na to će biti:.

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - dužina segmenta koji predstavlja vektor. Označeno kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbir vektora: .

Proizvod vektora:

Tačkasti proizvod vektora:

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice od tačke do prave. IN deskriptivna geometrija definisano je grafički prema algoritmu ispod.

Algoritam

1. Prava linija se prenosi u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz tačke na pravu. U srži ovu konstrukciju je teorema projekcije pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje pretvaranjem njenih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika je složeni crtež tačke M i prave b, dato segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju u položaj paralelan s ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon transformacije stvarna udaljenost između tačke i prave ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine, koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

U nastavku su prikazani rezultati prve faze izgradnje. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. IN novi sistem(P 1 , P 4) tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X1 kao C"", D"", M"" od X ose.

Izvodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u punoj veličini. Određujemo položaj tačke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

On završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Da bismo to uradili, gradimo pravougaoni trougao M"" 1 N"" 1 N 0, u kojem je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 - Y N 1) uklanjanja tačaka M " i N" od ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno sa CD uvodimo novu frontalnu ravan P 4 . Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa metodom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C"" 1 D"" 1 gradimo dodatnu horizontalnoj ravni P 5, na koju je prava b projektovana u tačku C "2 = b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave linije b određena je dužinom segmenta M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci:

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Saznajte relativni položaj linija:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razloga da ponudim nešto za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su prave paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "te".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijsko značenje dva linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati točku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti tačku raskrsnice analitička metoda. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Zadatak se zgodno može podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na ovo ću se više puta fokusirati.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo sa tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu smo naučili kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Je li naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao obavezno označite njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu) strelicom.

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrite dvije linije dato jednačinama Uglavnom:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Većina veliku pažnju okrenite se nazivniku - to je tačno skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Korišćenjem inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti prave linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.