Definicija harmonijske sredine. Aritmetička sredina i harmonijska sredina

Harmonična sredina - koristi se kada statističke informacije ne sadrži podatke o težinama za pojedinačne varijante populacije, ali su poznati proizvodi vrijednosti varijabilnog atributa i njihove odgovarajuće težine.

Opća formula za harmonijski ponderirani prosjek je sljedeća:

x je vrijednost varijabilne karakteristike,

w je proizvod vrijednosti varijabilnog obilježja i njegovih težina (xf)

U slučaju da ukupan obim pojava, tj. proizvodi vrijednosti karakteristika i njihove težine su jednaki, tada se primjenjuje harmonijska prosta sredina:

x - pojedinačne vrijednosti atributa (opcije),

n je ukupan broj opcija.

Harmonična sredina se koristi za proračune kada težine nisu jedinice populacije - nosioci osobine, već proizvodi tih jedinica i vrijednosti osobine (tj. m = Xf). Prosječno vrijeme harmonijskog zastoja treba koristiti u slučajevima određivanja, na primjer, prosječnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po dijelu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika koji se bave proizvodnjom isti tip proizvoda, isti dio, proizvod.

Geometrijska sredina i hronološka sredina.

Geometrijska sredina

Ako postoji n faktora rasta, onda je formula za prosječni koeficijent:

Ovo je formula geometrijske sredine.

Geometrijska sredina jednaka je korijenu snage n proizvoda koeficijenata rasta koji karakterizira omjer vrijednosti svakog narednog perioda prema vrijednosti prethodnog.

Hronološki prosjek - prosjek izračunat iz vrijednosti koje se mijenjaju tokom vremena. Koristi se za izračunavanje prosječnog nivoa trenutne serije. U slučaju da se dostupni podaci odnose na fiksna vremena c u jednakim intervalima, tada se koristi sljedeća formula:

X - vrijednost nivoa serije,

n je broj dostupnih indikatora.

Prosječni nivo trenutne serije dinamike s nejednako raspoređenim datumima određen je hronološki ponderiranom prosječnom formulom:

Gdje su nivoi vremenske serije

— trajanje vremenskog intervala između nivoa

Srednji kvadrat. Međusobni odnos snaga.

Ako su količine koje se usrednjavaju izražene u obliku kvadratne funkcije, prosječna kvadratni. Na primjer, koristeći srednji kvadrat, možete odrediti promjere cijevi, kotača itd.

Srednji kvadratni premium se određuje ekstrahiranjem kvadratni korijen iz količnika dijeljenja zbira kvadrata individualne vrednosti potpišite na njihov broj.

Ponderisani srednji kvadrat je:

Koncept mode. Proračun načina za diskretne i intervalne distribucijske serije.

Za karakterizaciju strukture statističke populacije koriste se indikatori koji se nazivaju strukturnim prosjecima. To uključuje mod i medijan.

Mod (Mo) je najčešća opcija. Mod je vrijednost karakteristike koja odgovara maksimalnoj tački teorijske krivulje distribucije.

Režim predstavlja najčešću ili tipičnu vrijednost.

Moda se koristi u komercijalnoj praksi za proučavanje potražnje potrošača i rekordnih cijena.

AT diskretne serije moda je varijanta sa najviša frekvencija. U nizu varijacija intervala, modom se smatra centralna varijanta intervala, koja ima najveću frekvenciju (posebnost).

Unutar intervala je potrebno pronaći vrijednost atributa, a to je mod.

gdje je ho donja granica modalnog intervala;

h je vrijednost modalnog intervala;

fm je frekvencija modalnog intervala;

ft-1 je frekvencija intervala koji prethodi modalnom;

fm+1 je frekvencija intervala nakon modalnog.

Način rada zavisi od veličine grupa, od tačnog položaja granica grupa.

Mod je broj koji se zapravo najčešće javlja (je vrijednost određenog
nnaya), u praksi ima najširu primenu (najčešći tip kupca).

Prosječan harmonik— ϶ᴛᴏ recipročna vrijednost aritmetičke sredine, ᴛ.ᴇ. obuhvata recipročne vrednosti sign.

Primjer 5 Obračun prosječnog procenta plana. Dostupni su sljedeći podaci:

U primjeru, indikatori stepena implementacije plana (opcije) djeluju kao varijabilna karakteristika, a plan se uzima kao težine (učestalosti). U ovom slučaju, prosjek se dobija kao aritmetički ponderisani prosjek:

Ako, prilikom utvrđivanja srednji stepen planirajte da težina preuzme ne zadatak, već njegovu stvarnu implementaciju, a zatim aritmetičku sredinu ovaj slučajće dati pogrešan rezultat:

Tačan rezultat pri vaganju u skladu sa stvarnom izvedbom zadatka dat će harmonički ponderirani prosjek:

gdje w— ponderisana srednja harmonijska ponderisana.

Uslovi za primjenu srednjeg harmonika

Harmonična sredina se koristi kada se kao ponderi ne koriste jedinice populacije (nosioci obilježja), već proizvodi tih jedinica vrijednostima obilježja, ᴛ.ᴇ. .

Iz ovog pravila proizilazi da je harmonična sredina u statistici u suštini transformisana aritmetička sredina, koja se koristi kada je veličina populacije nepoznata i potrebno je odmeriti opcije prema obimu atributa.

2. Ako je vaga apsolutne vrijednosti, svaka posredna radnja u izračunavanju prosjeka treba da daje ekonomski značajne rezultate.

Na primjer, prilikom izračunavanja prosječnog procenta ispunjenosti plana, množimo indikator ispunjenosti plana sa planiranim zadatkom i dobijemo stvarno ispunjenje plana. Ako se, međutim, pokazatelj implementacije plana pomnoži sa njegovom stvarnom implementacijom, onda će s ekonomske tačke gledišta rezultat biti apsurdan. To znači da je prosječni obrazac pogrešno primijenjen).

Pročitajte također

— Prosječni harmonik

Kada statistička informacija ne sadrži frekvencije za pojedinačne populacijske opcije, već se prikazuje kao njihov proizvod, tj. frekvencija se mora računati odvojeno na osnovu poznate varijante X i proizvoda X f , primjenjuje se harmonijska sredina. Prosjek… [pročitajte više].

— Prosječni harmonik.

Harmonična sredina je primitivni oblik aritmetičke sredine. Izračunava se u onim slučajevima kada ponderi fi nisu dati direktno, već su uključeni kao faktor u jedan od dostupnih indikatora. Baš kao i aritmetička sredina, harmonijska sredina može biti… [pročitajte više].

— Prosječni harmonik

— Prosječni harmonik.

Uz aritmetičku sredinu, statistika koristi harmonijsku sredinu, recipročnu vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti atributa. Kao i aritmetička sredina, može biti jednostavna i ponderirana. Karakteristike varijacionih serija, zajedno sa ... [pročitajte više].

— Harmonični ponderisani prosek

Ponderisana aritmetička sredina Primjenjuje se kada su ponderi koji se koriste pokazatelji broja robe u u naturi; gdje je pq promet u rubljama. Koristi se kada se podaci o prodaji koriste kao ponderi...

Srednje vrijednosti i indikatori varijacije

— Prosječni harmonik.

Uz aritmetičku sredinu, statistika koristi harmonijsku sredinu, recipročnu vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti atributa. Kao i aritmetička sredina, može biti jednostavna i ponderirana. Dakle, formula za izračunavanje prosjeka ... [pročitajte više].

— Aritmetička sredina i sredina harmonijska količina

Suština i značenje prosječnih vrijednosti, njihove vrste Najčešći oblik statistički indikator je prosječna vrijednost. Pokazatelj u obliku prosječne vrijednosti izražava tipičan nivo osobina u agregatu. Široka upotreba prosjeka… [pročitajte više].

— Prosječni harmonik.

— Harmonična sredina, geometrijska sredina, kvadratna sredina, zakon stepena

Prilikom rješavanja zadataka računanje srednja veličina počinje sastavljanjem početne relacije – logičke verbalne formule prosjeka. Sastavljen je na osnovu teorijske i logičke analize. Ponekad se ne može koristiti aritmetička sredina. U ovom slučaju, u… [pročitajte više].

— Prosječna harmonijska vrijednost

Ako je, prema uslovima zadatka, neophodno da zbir vrednosti recipročnih pojedinačnih vrednosti atributa ostane nepromenjen tokom usrednjavanja, tada je prosečna vrednost harmonična sredina. Formula za harmonijsku sredinu je: Na primjer, automobil sa… [pročitajte više].

70. Harmonična sredina

Prosječan harmonik pozitivni brojevi o, b je broj čija je recipročna aritmetička sredina između , tj. broj

Zadatak 358. Dokazati da harmonijska sredina ne prelazi geometrijsku sredinu.

Prosječne vrijednosti u statistici: suština, svojstva, vrste. Primjeri rješavanja problema

Recipročna vrijednost harmonijske sredine je srednja vrijednost aritmetički brojevi recipročna vrijednost geometrijske sredine je geometrijska sredina brojeva, pa ostaje da se osvrnemo na nejednakost o aritmetičkoj i geometrijskoj sredini.

Zadatak 359. Brojevi su pozitivni. Dokaži to

Rješenje. Željena nejednakost se može prepisati kao

tj. potrebno je dokazati da je aritmetička sredina brojeva veća ili jednaka njihovoj harmonijskoj sredini. Ovo postaje jasno ako između njih ubacimo geometrijsku sredinu:

posljednja nejednakost se svodi na nejednakost o aritmetičkoj sredini i geometrijski brojevi.

Drugo rješenje koristi sljedeći trik. Dokažimo više opšta nejednakost(nazvana nejednakost Cauchy-Bunyakovsky)

(ako ga zamenimo dobijamo traženi).

Da biste dokazali nejednakost Cauchy-Bunyakovsky, razmotrite kvadratni trinom

Otvarajući zagrade u njemu i grupirajući članove prema stepenu x, dobijamo tročlan

Za bilo koji x, ovaj trinom je nenegativan – na kraju krajeva, to je zbir kvadrata. Dakle, njegov diskriminant nije Iznad nule, tj.

Kako vam se dopao ovaj trik?

Primjer : Utvrditi prosečne starosti student formular za odsustvo obuku na podacima datim u sljedećoj tabeli:

Starost učenika, godine ( X)	Broj učenika, ljudi ( f)	prosječna vrijednost intervala (x’,xcentral)	*xifi**





26 i više godina
Ukupno:

Da biste izračunali prosjek u nizu intervala, prvo odredite prosječnu vrijednost intervala kao poluzbir gornje i donje granice, a zatim izračunajte prosječnu vrijednost koristeći formulu ponderirane aritmetičke sredine.

Gore navedeni primjer sa jednakim intervalima, pri čemu su prvi i posljednji otvoreni.

odgovor: prosječna starost studenata je 22,6 godina ili otprilike 23 godine.

Prosječan harmonik ima složeniju strukturu od aritmetičke sredine. Koristi se u slučajevima kada statističke informacije ne sadrže frekvencije za pojedinca karakteristične vrijednosti, a predstavljen je umnoškom karakteristične vrijednosti po frekvencija . Harmonička sredina kao neka vrsta srednje vrijednosti snage izgleda ovako:

U zavisnosti od oblika prikaza početnih podataka, harmonijska sredina se može izračunati kao jednostavna i kao ponderisana. Ako su izvorni podaci negrupisani, onda prosjek harmonic simple :

Njime se pribjegava u slučajevima određivanja, na primjer, prosječne cijene rada, materijala itd.

Prosječni harmonik jednostavan i ponderiran

po jedinici proizvodnje za nekoliko preduzeća.

Kada radite sa grupisanim podacima, koristite harmonska ponderisana sredina:

Geometrijska sredinavaži u tim slučajevima kada je ukupni volumen prosječne karakteristike multiplikativna vrijednost, one. se ne određuje zbrajanjem, već množenjem pojedinačnih vrijednosti atributa.

Oblik geometrijske ponderisane sredine u praktičnim proračunima nije primjenjivo .

srednji kvadratni korijen koristi se u slučajevima kada je, prilikom zamjene pojedinačnih vrijednosti karakteristike prosječnom vrijednošću, potrebno zadržati zbir kvadrata originalnih vrijednosti nepromijenjenim .

Dom obim njegove upotrebe - mjerenje stepena fluktuacije pojedinačnih vrijednosti osobine u odnosu na aritmetičku sredinu(prosjek standardna devijacija). Osim toga, srednji kvadratni korijen se koristi u slučajevima kada je potrebno izračunati prosječnu vrijednost osobine izražene u kvadratu ili kubne jedinice mjerenja (prilikom izračunavanja prosječne veličine kvadratnih presjeka, prosječnih prečnika cijevi, šahtova itd.).

Srednji kvadrat izračunava se u dva oblika:

Sva sredstva snage se međusobno razlikuju po vrijednostima eksponenta. pri čemu, što je eksponent veći, to višekvantitativna vrijednost prosjeka:

Ovo svojstvo moćnih sredstava naziva se svojstvo većine sredstava.

Prosječna harmonijska vrijednost

Pod uslovom zamene u opšta formula(6.1) mogu se dobiti vrijednosti k= –1 srednja harmonijska vrednost, koji ima jednostavne i ponderisane forme.

Za rangiranu seriju koristi se harmonijska sredina jednostavno vrijednost, koja se može zapisati na sljedeći način.

gdje je n ukupna snaga opcija; - obrnuto značenje opcija.

Pretpostavimo da postoje dokazi da je pri transportu krumpira brzina automobila s teretom 30 km / h, bez tereta - 60 km / h. Treba pronaći prosječna brzina kretanje vozila. Na prvi pogled izgleda vrlo jednostavno rješenje problema: primijeniti metodu aritmetičke sredine proste vrijednosti, tj.

Međutim, ako imamo na umu da je brzina kretanja jednaka pređenoj udaljenosti podijeljenoj s proteklim vremenom, onda je sasvim očito da se rezultat (45 km/h) pokazuje netačnim, jer za prolazak istim putem autom sa teretom i bez tereta (tamo i nazad) utrošeno vrijeme će značajno varirati. Stoga se preciznija prosječna brzina automobila s teretom i bez tereta može izračunati iz prosječne harmonijske jednostavne vrijednosti:

Dakle, prosječna brzina automobila s teretom i bez tereta nije 45, već 40 km/h.

Diskretni ili intervalni nizovi koriste harmonijsku sredinu ponderisano vrijednost:

gdje je W proizvod opcija i frekvencije (ponderisana opcija, xf).

Razmislite primjer. Intenzitet rada proizvodnje 1 tone krompira u prvom odjeljenju poljoprivredne organizacije je 10 čovjek-sati, u drugom - 30 čovjek-sati. U oba odjela u proizvodnju krompira utrošeno je 30 hiljada radnih sati. Potrebno je izračunati prosječni aritmetički intenzitet rada krompira u poljoprivrednoj organizaciji. Čini se da je prosječan radni intenzitet lako pronaći kao polovinu zbroja intenziteta rada krompira u dva podjela, odnosno metodom aritmetičkog prosjeka proste vrijednosti:

Međutim, u ovoj odluci postoje dvije greške. Prva, fundamentalna greška je da se pri izračunavanju prosječnog intenziteta rada metodom aritmetičkog prosjeka proste vrijednosti suština samog intenziteta rada, koji se nalazi kao odnos direktnih troškova rada i obima proizvodnje, je nije uzeto u obzir. Druga greška je što rješenje ne uzima u obzir konkretan iznos troškova rada za proizvodnju krompira koji je dat uslovom problema (po 30 hiljada rubalja).

Prosječan harmonik

čovjek-sat u oba odeljenja). Ovo vam omogućava da izračunate frekvenciju (težine) za uloženi rad krompira i na taj način pronađete aritmetički ponderisani radni input, koji će se uspješno zamijeniti primjenom harmonijskog ponderiranog prosjeka:

Dakle, prosječni intenzitet rada krompira u poljoprivrednoj organizaciji nije 20, kako je ranije izračunato, već 15 ljudi. h/t.

Srednja harmonijska vrijednost se koristi uglavnom u slučajevima kada su varijante serije predstavljene recipročnim vrijednostima, a frekvencije (težine) su skrivene u ukupnom volumenu osobine koja se proučava.

Strukturni proseci

U nekim slučajevima, da bi se dobila generalizirajuća karakteristika statističke populacije za neki atribut, potrebno je koristiti tzv. strukturni proseci. Oni uključuju moda i medijana.

Moda predstavlja varijantu koja se najčešće javlja u datoj statističkoj populaciji. U rangiranoj seriji, mod se obično ne određuje, jer svaka varijanta odgovara frekvenciji jednakoj jedinici.

Režim u diskretnoj seriji odgovara varijanti sa najvećom frekvencijom, dok slučajna vrijednost može imati više modova. U prisustvu jednog od njih obično se naziva distribucija statističke populacije unimodalni, u prisustvu dva načina - bimodalni, tri ili više načina - multimodalni. Prisustvo nekoliko modova često znači kombinaciju statističkih jedinica različitog kvaliteta u jednom skupu.

Režim za intervalnu seriju sa jednakim intervalima izračunava se po formuli

(6.12)

gdje je x mo sub> donja granica modalnog intervala; i mo - vrijednost intervala;

f mo je frekvencija modalnog intervala; f dmo je frekvencija premodalnog intervala; f zmo je frekvencija vanmodalnog intervala.

Pretpostavimo da su se tržišne cijene jabuka u regionalnim centrima regiona razvile na sljedeći način (tabela 6.8). Na osnovu ovih podataka potrebno je izračunati način tržišnih cijena krompira.

T a b l e 6.8. Tržišne cijene za jabuke

Iz podataka u tabeli. 6.8 pokazuje da je maksimalan broj tržišta koncentrisan u trećem intervalu, a distribucija statističke populacije je unimodalna. Za izračunavanje načina tržišnih cijena jabuka koristimo formulu (6.12):

Tako je modalna tržišna cijena za jabuke u regionalnim centrima regije 1690 R/kg.

Modalna varijanta u karakterizaciji statističke populacije može se koristiti u slučajevima kada je izračunavanje prosječne vrijednosti teško ili nemoguće, na primjer, u tržišnim uslovima kada se proučava ponuda i potražnja, nivoi cijena itd.

Medijan- opcije koje se nalaze u sredini serije varijacija. Medijan u rangiranoj seriji je sljedeći. Prvo izračunajte broj medijana opcija:

gdje je nme broj srednjih varijanti; n je ukupan broj opcija u redu.

Drugo, u rangiranoj seriji određuje se vrijednost medijane opcija: ako je ukupan broj opcija neparan, tada medijan odgovara broju izračunatom po formuli (6.13).

Recimo da se rangirana serija sastoji od 99 jedinica raspoređenih po prinosu šećerne repe. Srednji broj opcija nalazi se po formuli (6.13): .

To znači da je pod rednim brojem 50 željeni srednji prinos, koji iznosi, na primjer, 500c/ha.

Ako je ukupan broj opcija paran, tada je medijana jednaka polovini zbroja dvije susjedne medijane opcije. Na primjer, u rangiranoj seriji ima 100 statističkih jedinica, opet raspoređenih prema prinosu šećerne repe. Dakle, postoje dva medijana broja u takvom nizu, što se može vidjeti iz sljedećeg izračuna pomoću formule (6.13):

Stoga se u ovom slučaju smatra da su medijani brojevi 50 i 51, a medijan prinosa šećerne repe, na primjer, može se izračunati kao sljedeći polovični zbir dva susjedna prinosa, tj.

Za diskretnu seriju distribucije, medijana se izračunava iz akumuliranih frekvencija: prvo se nalazi polu-zbir akumuliranih frekvencija; drugo, određuju korespondenciju ovog poluzbira određenoj varijanti, koja će biti medijana.

Na primjer, godišnji prinos mlijeka krava je raspoređen kao diskretna serija, u kojoj je zbir akumuliranih frekvencija 200 jedinica i, shodno tome, poluzbroj je 100 jedinica.

Ovaj srednji broj je u grupi statističkih jedinica diskretne serije i odgovara godišnjem prinosu mlijeka od 5000 kg mlijeka, što je medijana diskretne serije.

U nizu varijacije intervala, medijan se izračunava po formuli

, (6.14)

gdje je M e medijan intervalnog niza; hme je donja granica srednjeg intervala; i me - vrijednost srednjeg intervala; Σf je zbir akumuliranih frekvencija u nizu intervala; f n - akumulirana frekvencija premedijalnog intervala; fme je frekvencija srednjeg intervala.

Za izračunavanje medijane u nizu intervala koristit ćemo sljedeće podatke (Tablica 6.9).

T a b l e 6.9.

Prinos krompira na privatnim parcelama

Domaćinstva stanovništva

Iz podataka u tabeli. 6.9 pre svega je vidljivo da je četvrti interval medijan. Osim toga, jednostavna kalkulacija pokazuje da je zbir kumulativnih frekvencija (ukupni broj farmi) 200 jedinica, a kumulativna frekvencija premedijalnog intervala je 90 jedinica.

Koristimo formulu (6.14) i izračunavamo srednji prinos krompira:

Dakle, medijan prinosa krompira na privatnim parcelama stanovništva iznosi 256 q/ha.

Upotreba medijane ima specifičan karakter. Dakle, ako je niz varijacija relativno mali, onda na vrijednost aritmetičke sredine mogu utjecati slučajne fluktuacije ekstremnih opcija, koje neće utjecati na veličinu medijane.

Prethodna45678910111213141516171819Sljedeća

Harmonična sredina je aritmetička sredina, izračunata iz recipročnih vrijednosti predznaka prosjeka. Zavisno od prirode raspoloživog materijala, koristi se kada se težine ne moraju množiti, već dijeliti sa opcijama, ili, što je isto, množiti njihovom obrnutom vrijednošću. Dakle, harmonijska sredina se izračunava kada su poznati podaci o karakteristikama zapremine (W=hf) i individualne vrednosti karakteristika (x) i nepoznate težine (φ). Pošto su zapremine karakteristika proizvod vrednosti karakteristika (X) na frekvenciju f, tada je frekvencija f određena sa removable = W: x.

Harmonične jednostavne i ponderisane srednje formule su:

Kao što vidite, harmonijska sredina je transformisani oblik aritmetičke sredine. Umjesto harmonijskog, uvijek možete izračunati aritmetičku sredinu, nakon što ste prethodno odredili težine pojedinačnih vrijednosti značajke. Prilikom izračunavanja prosječne harmonijske težine su zapremine znakova.

Harmonična prosta sredina se koristi u slučajevima kada je obim fenomena za svaki nivo atributa.

Na primjer, tri kombajna rade na žetvi žitarica. Prvi kombajn koji je obrao 1 ha tokom 7-časovne smene potrošio je 35 minuta, drugi - 31 minut, treći - 33 minuta. Potrebno je utvrditi prosječne troškove rada za žetvu 1 hektara žitarica.

Izračunavanje prosječnog vremena utrošenog na žetvu 1 ha žitarica korištenjem jednostavne formule aritmetičke sredine bilo bi ispravno

kada su svi kombajni u toku smene sakupili 1 hektar ili isto toliko hektara žitarica. Međutim, tokom smjene, pojedinačni kombinatori su prikupljali različito područježitarice.

Nelegitimnost primjene formule aritmetičke sredine objašnjava se i činjenicom da je pokazatelj troškova rada po jedinici rada (žetva 1 hektar žitarica) suprotan pokazatelju produktivnosti rada (žetva žitarica u jedinici vremena) .

Prosječno vrijeme potrebno za žetvu 1 hektara žitarica za sve kombajnere definira se kao omjer vremena provedenog od strane svih kombajnera do ukupno požnjevenih hektara. U našem primjeru nema informacija o broju hektara koje je požnjeo svaki kombajn. Međutim, ove se količine mogu izračunati korištenjem sljedećeg odnosa:

pri čemu će ukupno vrijeme provedeno za svaki kombinator biti 420 minuta (7 godina ili 60 minuta).

Tada se prosječno vrijeme utrošeno na žetvu 1 hektara žitarica može odrediti formulom:

Izračuni se mogu uvelike pojednostaviti ako koristimo jednostavnu formulu harmonijske srednje vrijednosti:

Dakle, prema ovom setu kombajnera, za žetvu 1 hektara žitarica u proseku se troši 32,9 minuta.

Proceduru za izračunavanje harmonijskog ponderisanog prosjeka razmotrit ćemo na sljedećem primjeru (Tabela 4.3).

Tabela 4.3. Podaci za izračunavanje harmonijskog ponderisanog prosjeka

Budući da je prosječan prinos omjer bruto žetve i zasijane površine, prvo odredimo zasijanu površinu krompira za svako gazdinstvo, a zatim prosječan prinos:

Prema jednom od svojstava, harmonijska sredina se neće promijeniti ako se volumeni fenomena, koji su težine pojedinačnih opcija, pomnože ili podijele bilo kojim proizvoljnim brojem. To omogućava da se prilikom izračunavanja koristi ne apsolutni pokazatelji, i njihov specifična gravitacija. Pretpostavimo da trebate odrediti prosječnu prodajnu cijenu krumpira prema sljedećim podacima (tabela 4.4).

Tabela 4.4. Podaci za izračunavanje prosječne prodajne cijene krompira

U navedenom primjeru nema podataka o prihodu od prodaje pojedinih sorti krompira, koji je umnožak prodajne cijene od 1 centnera i broja prodanih krumpira. Stoga, umjesto volumena pojava, možete koristiti njihov omjer, tj specifična gravitacija pojedine sorte krompira u ukupnom prihodu. Koristeći tabelarne podatke, utvrđujemo prosječnu prodajnu cijenu krumpira:

Harmonička sredina se koristi i za određivanje prosječnog prinosa za grupu homogenih kultura, ako su poznati bruto žetva i prinos pojedinih kultura, za izračunavanje prosječnog procenta ispunjenosti plana proizvodnje i prodaje proizvoda za homogena populacija, ako podaci o stvarno proizvedenim ili prodatim proizvodima i procentima plana za pojedine objekte itd.

Najčešći oblik statistike je prosjekmagnitude. Indikator u obliku prosječne vrijednosti izražava tipičan nivo osobine u populaciji. Široko rasprostranjena upotreba prosječnih vrijednosti objašnjava se činjenicom da vam omogućavaju da uporedite vrijednosti atributa u jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Na primjer, može se uporediti prosječna dužina radnog dana, prosječna kategorija plaće radnika, prosječan nivo plate za razna preduzeća.

Suština prosječnih vrijednosti je u tome što one poništavaju odstupanja vrijednosti atributa u pojedinim jedinicama populacije, zbog djelovanja slučajnih faktora. Stoga se prosjeci moraju izračunati za dovoljno velike populacije (u skladu sa zakonom velikih brojeva). Pouzdanost prosječnih vrijednosti ovisi i o fluktuaciji vrijednosti osobine u agregatu. AT opšti slučaj, što je manja varijacija atributa i što je veća populacija kojom je određena prosječna vrijednost, to je ona pouzdanija.

Tipičnost prosječne vrijednosti je također direktno povezana sa homogenost statističke populacije. Prosječna vrijednost će odražavati tipičan nivo znaka samo kada se izračunava iz kvalitativno homogene populacije. Inače, prosječna metoda se koristi zajedno s metodom grupiranja. Ako je populacija heterogena, onda se opšti proseci zamenjuju ili dopunjuju grupnim prosecima izračunatim za kvalitativno homogene grupe.

Odabir vrste prosjeka određuje se ekonomskim sadržajem proučavanog indikatora i početnim podacima. Najčešće se koristi u statistici sledeće vrste proseci: proseci snage (aritmetički, harmonijski, geometrijski, kvadratni, kubni, itd.), hronološki prosek, kao i strukturni proseci (mod i medijan).

Aritmetička sredina najčešće se nalaze u socio-ekonomskim studijama. Aritmetička sredina se koristi u obliku jednostavnog prosjeka i ponderiranog prosjeka.

Izračunato iz negrupisanih podataka na osnovu formule (4.1):

gdje x- pojedinačne vrijednosti atributa (opcije);

n- broj populacijskih jedinica.

Primjer. Potrebno je pronaći prosječan učinak radnika u timu od 15 ljudi, ako je poznat broj proizvoda koje proizvodi jedan radnik (komada): 21; dvadeset; dvadeset; 19; 21; 19; osamnaest; 22; 19; dvadeset; 21; dvadeset; osamnaest; 19; dvadeset.

jednostavna aritmetička sredina izračunato iz negrupisanih podataka na osnovu formule (4.2):

gdje je f učestalost ponavljanja odgovarajuće vrijednosti karakteristike (varijante);

∑f je ukupan broj jedinica stanovništva (∑f = n).

Primjer. Na osnovu raspoloživih podataka o raspodjeli radne brigade po broju proizvoda koje su proizveli, potrebno je pronaći prosječan učinak radnika u brigadi.

Napomena 1. Prosječna vrijednost osobine u populaciji može se izračunati kako na osnovu pojedinačnih vrijednosti osobine, tako i na osnovu grupnih (privatnih) prosjeka izračunatih za pojedine dijelove populacije. U ovom slučaju se koristi formula ponderisane aritmetičke sredine i grupni (privatni) proseci ( xj).

Primjer. Postoje podaci o prosječnom radnom stažu radnika u radnjama pogona. Potrebno je odrediti prosječan radni staž radnika u cijelom pogonu.

Napomena 2. U slučaju kada su vrijednosti prosječnog atributa date u obliku intervala, prilikom izračunavanja prosjeka aritmetička vrijednost kao vrijednosti karakteristike u grupama uzimaju se prosječne vrijednosti ovih intervala ( X') . Na ovaj način, intervalne serije konvertovano u diskretno. U ovom slučaju, vrijednost otvorenih intervala, ako ih ima (u pravilu, to su prvi i posljednji), uvjetno se izjednačava s vrijednošću intervala koji su im susjedni.

Primjer. Postoje podaci o rasporedu radnika u preduzeću prema visini zarada.

Prosječna harmonijska vrijednost je modifikacija aritmetičke sredine. Koristi se u slučajevima kada su poznate pojedinačne vrijednosti atributa, tj. varijante ( x), i proizvodi varijante po frekvenciji (xf = M), ali su same frekvencije nepoznate ( f).

Harmonski ponderisani prosjek izračunava se po formuli (4.3):

Primjer. Obavezno definirati prosječne veličine plate zaposlenih u udruženju koje se sastoji od tri preduzeća, ako su poznati fond zarada i prosečna plata zaposlenih za svako preduzeće.

Prosječna harmonička jednostavna statistika u praksi se koristi izuzetno rijetko. U onim slučajevima kada je xf = Mm = const, prosječna ponderirana harmonika pretvara se u prosječnu harmonijsku prostu (4.4):

Primjer. Dva automobila su išla istim putem. Istovremeno, jedan od njih se kretao brzinom od 60 km / h, drugi - brzinom od 80 km / h. Potrebno je odrediti prosječnu brzinu automobila na putu.

Druge vrste proseka snage. Prosječno hronološki

Za izračunavanje prosječne dinamike koristi se geometrijska sredina. Geometrijska sredina se primjenjuje u obliku jednostavnog prosjeka (za negrupisane podatke) i ponderiranog prosjeka (za grupisane podatke).

Geometrijska sredina jednostavna (4.5):

gdje je n broj vrijednosti karakteristika;

P je znak rada.

Geometrijski ponderisani prosjek(4.6):

Srednje kvadratna vrijednost koristi se u proračunu indikatora varijacije. Koristi se u obliku jednostavnog i ponderisanog.

Srednja kvadratna jednostavna (4.7):

Ponderisani srednji kvadrat (4.8):

Prosječna kubična vrijednost se koristi u izračunavanju indikatora asimetrije i ekscesa. Primjenjuje se u obliku jednostavnog pondera.

Prosječni kubični jednostavni (4,9):

Prosječna kubična težina (4.10) :

Hronološki prosjek se koristi za izračunavanje prosječnog nivoa vremenske serije (4.11):

Strukturni proseci

Pored proseka o kojima se govorilo iznad, statistika koristi strukturne proseke, koji uključuju mod i medijan.

Moda(Mo) je vrijednost proučavane osobine (varijante) koja se najčešće nalazi u agregatu. U diskretnoj seriji način se određuje vrlo jednostavno - indeksom maksimalne frekvencije. U nizu varijacije intervala, mod približno odgovara centru modalnog intervala, odnosno intervalu koji ima visoku frekvenciju (frekvenciju).

Specifična vrijednost režima izračunava se po formuli (4.12):

gdje je donja granica modalnog intervala;

širina modalnog intervala;

frekvencija koja odgovara modalnom intervalu;

učestalost intervala koji prethodi modalnom;

učestalost intervala nakon modalnog.

Medijan (Me) je vrijednost karakteristike koja se nalazi u sredini rangirane serije. Pod rangiranim nizom se podrazumijeva niz poređan uzlaznim ili silaznim redoslijedom vrijednosti atributa. Medijan dijeli rangiranu seriju na dva dijela, od kojih jedan ima vrijednosti karakteristika koje nisu veće od medijane, a drugi ne manje.

Za rangiranu seriju sa neparnim brojem članova, medijan je varijanta koja se nalazi u centru serije. Položaj medijane je određen serijskim brojem jedinice serije u skladu sa formulom (4.13):

gdje je n broj članova rangirane serije.

Za rangiranu seriju s parnim brojem članova, medijan je aritmetička sredina dvije susjedne vrijednosti u centru serije.

U nizu intervalnih varijacija, sljedeća formula (4.14) se koristi za pronalaženje medijane:

gdje je donja granica srednjeg intervala;

srednja širina intervala;

akumulirana frekvencija intervala koji prethodi medijani;
frekvencija srednjeg intervala.

Primjer. Radna brigada koju čini 9 osoba, imaju sljedeću tarifu rangovi: 4; 3; četiri; 5; 3; 3; 6; 2;6. Potrebno je odrediti modalne i srednje vrijednosti tarifne kategorije.

Pošto ovaj tim ima najviše radnika 3. kategorije, ova kategorija će biti modalna, tj. Mo = 3.

Za određivanje medijane rangirajmo originalni niz uzlaznim redoslijedom vrijednosti atributa:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Peta vrijednost atributa je centralna u ovoj seriji. Prema tome, Me = 4.

Primjer.Potrebno je odrediti modalnu i srednju tarifnu kategoriju radnika u fabrici prema podacima sledeće distributivne serije.

Budući da je početni niz distribucije diskretan, modalna vrijednost je određena indeksom maksimalne frekvencije. U ovom primjeru pogon ima najviše radnika 3. kategorije (f max = 30), tj. ovo pražnjenje je modalno (Mo = 3).

Odredimo poziciju medijane. Početna serija distribucije se gradi na osnovu rangiranog niza, sortiranog uzlaznim redoslijedom vrijednosti atributa. Sredina reda je između 50. i 51 serijski brojevi vrijednosti atributa. Hajde da saznamo kojoj grupi pripadaju radnici sa ovim serijskim brojevima. Za to izračunavamo akumulirane frekvencije. Akumulirane frekvencije pokazuju da je srednja vrijednost tarifne kategorije jednaka tri (Me = 3), budući da su vrijednosti karakteristike sa serijskim brojevima od 39 do 68, uključujući 50 i 51, jednake 3.

Primjer. Potrebno je odrediti modalnu i srednju platu radnika u fabrici prema sljedećoj seriji raspodjele.

Pošto je početni niz distribucije interval, modalna vrijednost plata se izračunava po formuli. U ovom slučaju, modalni interval je 360-420 sa maksimalnom frekvencijom jednakom 30.

Srednja vrijednost plate se takođe obračunavaju po formuli. U ovom slučaju medijana je interval 360-420, čija je kumulativna frekvencija 70, dok je kumulativna frekvencija prethodnog intervala bila samo 40 na ukupan broj jedinice jednake 100.

Srednje vrijednosti su podijeljene u dvije velike klase: sredstva snage i sredstva strukture

Prosjeci snage:

Aritmetika

harmonic

Geometrijski

kvadratni

Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, pri određivanju kojeg se ukupni volumen datog atributa u skupu podataka jednako raspoređuje između svih jedinica uključenih u ovaj skup. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po radniku je količina outputa koja bi pala na svakog zaposlenog da je cjelokupni obim outputa jednako raspoređen na sve zaposlene u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se po formuli:

jednostavna aritmetička sredina- Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti atributa i broja atributa u zbiru

Aritmetički ponderisani prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njegove količine i cene jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Ovo predstavljamo u obliku sljedeće formule:

Ponderisana aritmetička sredina- jednak je omjeru (zbir proizvoda vrijednosti atributa na učestalost ponavljanja ovog atributa) prema (zbir frekvencija svih atributa). Koristi se kada se varijante proučavane populacije javljaju nejednake broj puta.

Aritmetička sredina za intervalni niz

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prvo odredite prosjek za svaki interval kao poluzbir gornje i donje granice, a zatim prosjek cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala je određena vrijednošću intervala koji se nalaze uz njih.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko je stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala ujednačena.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutnih, već i relativne vrijednosti(učestalost):

Prosječan harmonik- koristi se u onim slučajevima kada su pojedinačne vrijednosti atributa i proizvoda poznate, a frekvencije nepoznate.

U primjeru ispod - prinos je poznat, - površina je nepoznata (iako se može izračunati dijeljenjem bruto žetve zrna sa prinosom), - bruto žetva žitarica je poznata.

Harmonična srednja vrijednost može se odrediti sljedećom formulom:

Formula harmonijske srednje vrijednosti:

harmonic simple

U slučajevima kada je proizvod isti ili jednak 1 (z = 1), za izračun se koristi prosječni harmonijski jednostavni, izračunat po formuli:

Mean harmonic simple - indikator koji je inverzan od proste aritmetičke sredine, izračunate iz recipročnih vrijednosti atributa.

Geometrijska srednja vrijednost omogućava nepromijenjenom ne sumu, već proizvod pojedinačnih vrijednosti date količine. Može se odrediti sljedećom formulom:

U analizi stopa rasta ekonomskih pokazatelja najčešće se koriste geometrijske srednje vrijednosti.

Prosječan harmonik

Naziv parametra	Značenje
Tema članka:	Prosječan harmonik
Rubrika (tematska kategorija)	kulture

Prosječan harmonik- ϶ᴛᴏ recipročna vrijednost aritmetičke sredine, ᴛ.ᴇ. sastoji se od inverznih vrijednosti karakteristike.

Primjer 5 Obračun prosječnog procenta plana. Dostupni su sljedeći podaci:

Ako pri određivanju prosječnog stepena ispunjenosti plana ne uzmemo zadatak kao težine, već njegovo stvarno izvršenje, tada će aritmetička sredina u ovom slučaju dati pogrešan rezultat:

Tačan rezultat pri vaganju u skladu sa stvarnom izvedbom zadatka dat će harmonički ponderirani prosjek:

gdje w- ponderisana srednja harmonijska ponderisana.

Uslovi za primjenu srednjeg harmonika

1. Harmonička sredina se koristi kada se kao težine ne koriste jedinice populacije (nosioci atributa), već proizvodi tih jedinica vrijednostima atributa, ᴛ.ᴇ. .

2. Ako apsolutne vrijednosti djeluju kao ponderi, bilo koja posredna radnja u izračunavanju prosjeka bi trebala dati ekonomski značajne rezultate.

Prosječni harmonik - pojam i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Harmonik" 2017, 2018.

- Prosečan harmonik.

- Prosečan harmonik

- Prosečan harmonik.

- Prosečno ponderisano harmonikom

Aritmetički ponderisani prosjek Primjenjuje se u slučaju kada se kao ponderi koriste pokazatelji količine robe u fizičkom smislu; gdje je pq promet u rubljama. Primjenjivo kada se podaci o prodaji... koriste kao težina.

- Prosečan harmonik.

- Aritmetička sredina i harmonijska sredina

Suština i značenje prosječnih vrijednosti, njihove vrste Najčešći oblik statističkog indikatora je prosječna vrijednost. Indikator u obliku prosječne vrijednosti izražava tipičan nivo osobine u populaciji. Široka primena srednjih...