Antiderivat funkcije i opšteg izgleda.
A)Direktna integracija.
Pronalaženje integrala funkcija na osnovu direktne primene svojstava neodređenih integrala i tabele osnovnih integracionih formula. Razmotrimo primjer pronalaženja integrala funkcije direktnom integracijom.
primjer:
∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.
U velikoj većini slučajeva imamo posla sa integralima funkcija koji se ne mogu naći direktnom integracijom. U tom slučaju potrebno je izvršiti zamjenu (zamijeniti varijablu).
b)Integracija zamjenom (zamjena varijable).
Integracija supstitucijom, ili kako je često nazivaju, promenljiva supstitucijska metoda, jedna je od efikasnijih i uobičajenih metoda integracije. Metoda supstitucije je prelazak sa date integracione varijable na drugu varijablu kako bi se pojednostavio izraz integranda i sveo na jedan od tabelarnih tipova integrala. U ovom slučaju, o izboru zamjene odlučuje izvođač pojedinačno, jer ne postoje opšta pravila koja ukazuju na koju zamenu u ovom slučaju uzmi.
primjer: Naći integral ∫ e 2h+3 d X.
Hajde da uvedemo novu varijablu t povezanu sa X sledeća zavisnost 2 X+ 3 =t.
Uzmimo diferencijale lijeve i desne strane ove jednakosti: 2d X=dt;d X=dt/2.
Sada umjesto 2 X+ 3 id X Zamijenimo njihove vrijednosti u integrand. Tada dobijamo: ∫ e 2h+3 d X=∫e t dt= e t + C. Vraćajući se na prethodnu varijablu, konačno dobijamo izraz:
∫e 2h+3 d X=e 2x+3 + C.
Da biste bili sigurni da je integral pravilno uzet, potrebna vam je antiderivativna funkcija e 2x+ 3 razlikovati i provjeriti da li će ih biti Da li je njegova derivacija jednaka funkciji integranda:
(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .
3. Definitivni integral i njegova svojstva.
Koncept određenog integrala se široko koristi u mnogim oblastima nauke i tehnologije. Uz njegovu pomoć izračunavaju se površine omeđene krivuljama, zapremine proizvoljnog oblika, snaga i rad promjenljive sile, putanja tijela koje se kreće, momenti inercije i mnoge druge veličine.
IN 
U velikoj većini slučajeva, koncept određenog integrala se uvodi prilikom rješavanja problema određivanja površine krivolinijskog trapeza. Neka postoji kontinuirana funkcija y =f( X) na segmentu [ a,c]. Figura ograničena krivom y=f( X) ordinate A Oh, V A P i segment [ a,c] x-osa se naziva krivolinijski trapez (slika 1).
Postavimo sebi zadatak: odredimo površinu S zakrivljenog trapeza A A o A P V. Da bismo to učinili, podijelimo segment [ a,c] uključeno P nije potrebno jednake dijelove i označiti tačke podjele na sljedeći način: A=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X P = in.
Iz tačaka podjele vraćamo okomice na sjecište sa krivuljom y = f( X). Tako smo cijelu oblast ograničenu krivom podijelili na P elementarni krivolinijski trapezi. Vratimo se iz proizvoljne tačke svaki segment ∆ X i ordinatef(C i) sve dok se ne siječe sa krivom y =f( X). Zatim ćemo konstruirati stepenastu figuru koja se sastoji od pravokutnika s bazom ∆ X i i visina f(C i). Elementarni trg ith pravougaonik će biti S i =f(C i)(X i -X i -1 ), i cijelo područje S P rezultirajuća stepenasta figura bit će jednaka zbroju površina pravokutnika:
S P=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C P- 1)(X P -X P- 1).
Da biste skratili unos ovog iznosa, unesite simbol 
(sigma) – znak koji označava zbir veličina. Onda
S P
=
.
Ovaj iznos S P, koji se naziva integralni zbir, može biti veći ili manji od prave vrijednosti date površine. Najbliža vrijednost pravoj vrijednosti površine će biti granica sume, pod uslovom da će se elementarni segmenti zgnječiti ( p→
), i samu dužinu veliki segment ∆X maxće težiti nuli, tj.:
S=
(4)
Ovo ograničenje kumulativne sume (ako postoji) se poziva definitivni integral iz funkcijef( X) na segmentu [ A,V] i označite: 
=
(5)
(čita se „definitivni integral od A prije V ef od x de x”).
Brojevi A I V nazivaju se donja i gornja granica integracije, respektivno, f( X) – podintegralna funkcija; X– integraciona varijabla. Koristeći formule (4) i (5) možemo pisati. Da je površina krivolinijskog trapeza brojčano jednaka integralu funkcije koja ograničava trapez, uzetom u intervalu integracije [A,V]:
.
Ova činjenica izražava geometrijsko značenje određenog integrala.
Razmotrimo svojstva određenog integrala.
1. Definitivni integral ne zavisi od oznake varijable, tj.: 
=
.
2. Definitivni integral algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru određenih integrala svakog člana:
=
f 1 ( X)d x +
f 2 ( X)d X+ ….
Vidjeli smo da derivat ima brojne namjene: izvod je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); derivat je nagib tangenta na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali unutra pravi zivot moraju odlučiti i inverzni problemi: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i problem vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1. Kreće se pravolinijski materijalna tačka, brzina njegovog kretanja u trenutku t je data formulom u = tg. Pronađite zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). To znači da za rješavanje problema morate odabrati funkcija s = s(t), čiji je izvod jednak tg. Nije teško to pogoditi
Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Otkrili smo da, zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koju funkciju oblika 
proizvoljna konstanta može poslužiti kao zakon kretanja, jer
Da bismo zadatak učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakosti dobijamo s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan:
U matematici se dodeljuju recipročne operacije različita imena, smislite posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i izdvajanje kvadratni korijen sinus(sinh) i arcsine(arcsin x) itd. Proces nalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije - integracija.
Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnim terminima“: funkcija y - f(x) „proizvodi u postojanje“ nova funkcija y"= f"(x) Funkcija y = f(x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne zovu "roditelj" ili "proizvođač", već kažu da je, u odnosu na funkcija y"=f"(x), primarna slika, ili, ukratko, antiderivat.
Definicija 1. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na datom intervalu X ako za sve x iz X vrijedi jednakost F"(x)=f(x).
U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).
Evo nekoliko primjera:
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer je za sve x tačna jednakost (x 2)" = 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivativna za funkciju y-3x 2, jer je za sve x tačna jednakost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkcija y-sinh je antiderivativna za funkciju y = cosx, jer je za sve x tačna jednakost (sinx)" = cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer je za sve x > 0 jednakost tačna
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.
Nadamo se da razumete kako je ova tabela sastavljena: derivacija funkcije, koja je napisana u drugom stupcu, jednaka je funkciji koja je napisana u odgovarajućem redu prve kolone (provjerite, ne budite lijeni, veoma je korisno). Na primjer, za funkciju y = x 5 antiderivat je, kao što ćete ustanoviti, funkcija (pogledajte četvrti red tabele).
napomene: 1. U nastavku ćemo dokazati teoremu da ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati pojam C svuda u drugom stupcu tabele, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi kratkoće, ponekad umjesto fraze „funkcija y = F(x) je antiderivat funkcije y = f(x)“, kažu da je F(x) antiderivat od f(x) .”
2. Pravila za pronalaženje antiderivata
Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i kod pronalaženja izvoda, ne koriste se samo formule (navedene su u tabeli na str. 196), već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.
Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.
Skrećemo vam pažnju na donekle „lakoću“ ove formulacije. U stvari, treba formulirati teoremu: ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju antiderivate na intervalu X, odnosno y-F(x) i y-G(x), tada je zbir funkcija y = f(x)+g(x) ima antiderivat na intervalu X, a taj antiderivat je funkcija y = F(x)+G(x). Ali obično, kada se formulišu pravila (a ne teoreme), oni ostavljaju samo ključne riječi- ovo čini praktičnijim primjenu pravila u praksi
Primjer 2. Naći antiderivat za funkciju y = 2x + cos x.
Rješenje. Antiderivat za 2x je x"; antiderivat za cox je sin x. To znači da će antiderivat za funkciju y = 2x + cos x biti funkcija y = x 2 + sin x (i općenito bilo koja funkcija oblika Y = x 1 + sinx + C) .
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka antiderivata.
Primjer 3.
Rješenje. a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = 5 sin x antiderivativna funkcija biti funkcija y = -5 cos x.
b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija
c) Antiderivat za x 3 je antideritiv za x, antiderivat za funkciju y = 1 je funkcija y = x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivata, nalazimo da je antiderivat za funkciju y = 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što je poznato, izvod proizvoda nije jednak proizvodu derivata (pravilo za razlikovanje proizvoda je složenije) i izvod količnika nije jednak količniku derivata. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivata proizvoda ili antiderivata količnika dvije funkcije. Budi pazljiv!
Dobijmo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y = f(kx+m) izračunava po formuli
Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y=f(kx+m) funkcija
Zaista,
To znači da je antiderivat za funkciju y = f(kx+m).
Značenje trećeg pravila je sljedeće. Ako znate da je antiderivat funkcije y = f(x) funkcija y = F(x), a trebate pronaći antiderivat funkcije y = f(kx+m), postupite ovako: uzmite ista funkcija F, ali umjesto argumenta x zamijenite izraz kx+m; osim toga, ne zaboravite napisati “korekcioni faktor” prije znaka funkcije
Primjer 4. Pronađite antiderivate za date funkcije:
Rješenje, a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = sin2x antiderivat biti funkcija
b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija
c) Antiderivat za x 7 znači da će za funkciju y = (4-5x) 7 antiderivat biti funkcija
3. Neodređeni integral
Gore smo već napomenuli da problem nalaženja antiderivata za datu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Razgovarajmo o ovom pitanju detaljnije.
Dokaz. 1. Neka je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x"(x) = f(x). pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y = F(x) + C antiderivat za funkciju y = f(x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y=F(x), onda funkcija (f = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, na primjer, bilo koja funkcija oblika y = F(x) +C je antiderivat.
2. Dokažimo sada to specificirani tip funkcije, cijeli skup antiderivata je iscrpljen.
Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dva antiderivata za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Razmotrimo funkciju y = F 1 (x) -.F(x) i pronađemo njen izvod: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identično jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidjeti teoremu 3 iz § 35). To znači da je F 1 (x) - F (x) = C, tj. Fx) = F(x)+C.
Teorema je dokazana.
Primjer 5. Dat je zakon promjene brzine s vremenom: v = -5sin2t. Naći zakon kretanja s = s(t), ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata tačke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).
Rješenje. Kako je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo trebamo pronaći antiderivat brzine, tj. antiderivat za funkciju v = -5sin2t. Jedan od takvih antiderivata je funkcija , a skup svih antiderivata ima oblik:
Da bismo pronašli specifičnu vrijednost konstante C, koristimo se početni uslovi, prema kojem je s(0) = 1.5. Zamjenom vrijednosti t=0, S = 1,5 u formulu (1) dobijamo:
Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobijamo zakon kretanja koji nas zanima:
Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y = F(x) na intervalu X, tada je skup svih antiderivata, tj. skup funkcija oblika y = F(x) + C naziva se neodređeni integral funkcije y = f(x) i označava se sa:
(čitaj: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem paragrafu ćemo saznati šta je skriveno značenje naznačenu oznaku.
Na osnovu tabele antideriva dostupnih u ovom odeljku, sastavićemo tabelu glavnih neodređenih integrala:
Na osnovu gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulisati odgovarajuća pravila integracije.
Pravilo 1. Integral zbira funkcija jednak zbiru integrali ovih funkcija:
Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
Pravilo 3. Ako
Primjer 6. Pronađite neodređene integrale:
Rješenje, a) Koristeći prvo i drugo pravilo integracije, dobijamo:
Sada upotrijebimo 3. i 4. formule integracije:
Kao rezultat dobijamo:
b) Koristeći treće pravilo integracije i formulu 8, dobijamo:
c) Da bismo direktno pronašli dati integral, nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima, unaprijed izvršeno transformacije identiteta izraz sadržan pod znakom integrala.
Hajde da iskoristimo prednost trigonometrijska formula Smanjenje stepena:
Zatim nalazimo redom:
A.G. Mordkovich algebra 10. razred
Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, Matematika u školi
Ova lekcija je prva u nizu video zapisa o integraciji. U njemu ćemo shvatiti šta je to antiderivat funkcije, a također proučavaju elementarne metode izračunavanja ovih antiderivata.
Zapravo, ovdje nema ništa komplikovano: u suštini sve se svodi na koncept derivata, koji bi vam već trebao biti poznat. :)
Odmah ću napomenuti da je ovo prva lekcija u našoj nova tema, danas neće biti složenih proračuna i formula, ali ono što ćemo danas proučavati činit će osnovu za mnogo složenije proračune i konstrukcije prilikom izračunavanja kompleksni integrali i kvadrati.
Osim toga, kada počinjemo izučavati integraciju i posebno integrale, implicitno pretpostavljamo da je student već barem upoznat s konceptima derivacija i ima barem osnovne vještine u njihovom izračunavanju. Bez jasnog razumijevanja ovoga, nema apsolutno ništa da se radi u integraciji.
Međutim, ovdje se krije jedan od najčešćih i podmuklih problema. Činjenica je da, kada počnu računati svoje prve antiderivate, mnogi učenici ih brkaju s izvedenicama. Kao rezultat toga, na ispitima i samostalan rad prave se glupe i uvredljive greške.
Stoga, sada neću dati jasnu definiciju antiderivata. Zauzvrat, predlažem da vidite kako se izračunava koristeći jednostavan specifičan primjer.
Šta je antideritiv i kako se izračunava?
Znamo ovu formulu:
\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ova derivacija se izračunava jednostavno:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Pogledajmo pažljivo rezultirajući izraz i izrazimo $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]
Ali možemo to napisati na ovaj način, prema definiciji derivata:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]
A sada pažnja: ono što smo upravo napisali je definicija antiderivata. Ali da biste to ispravno napisali, morate napisati sljedeće:
Zapišimo sljedeći izraz na isti način:
Ako generaliziramo ovo pravilo, možemo izvesti sljedeću formulu:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Sada možemo formulisati jasnu definiciju.
Antiderivat funkcije je funkcija čiji je izvod jednak originalnoj funkciji.
Pitanja o antiderivativnoj funkciji
Činilo bi se prilično jednostavno i jasna definicija. Međutim, nakon što ga čuje, pažljiv učenik će odmah imati nekoliko pitanja:
- Recimo, u redu, ova formula je tačna. Međutim, u ovom slučaju, sa $n=1$, imamo problema: “nula” se pojavljuje u nazivniku i ne možemo dijeliti sa “nula”.
- Formula je ograničena samo na stepene. Kako izračunati antiderivativ, na primjer, sinusa, kosinusa i bilo koje druge trigonometrije, kao i konstante.
- Egzistencijalno pitanje: da li je uvijek moguće pronaći antiderivat? Ako da, onda šta je sa antiderivatom zbira, razlike, proizvoda, itd.?
Odgovorit ću odmah na posljednje pitanje. Nažalost, antiderivat se, za razliku od derivata, ne uzima uvijek u obzir. Ne postoji univerzalna formula po kojoj ćemo iz bilo koje početne konstrukcije dobiti funkciju koja će biti jednaka ovoj sličnoj konstrukciji. Što se tiče moći i konstanti, o tome ćemo sada.
Rješavanje problema sa funkcijama napajanja
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
kao što vidimo, ovu formulu za $((x)^(-1))$ ne radi. Postavlja se pitanje: šta onda funkcioniše? Zar ne možemo izbrojati $((x)^(-1))$? Naravno da možemo. Hajde da prvo zapamtimo ovo:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Sada razmislimo: derivacija čije je funkcije jednaka $\frac(1)(x)$. Očigledno, svaki student koji je barem malo proučavao ovu temu zapamtit će da je ovaj izraz jednak derivatu prirodnog logaritma:
\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Stoga sa sigurnošću možemo napisati sljedeće:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Morate znati ovu formulu, baš kao izvod funkcije stepena.
Dakle, ono što znamo do sada:
- Za funkciju stepena - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Za konstantu - $=const\to \cdot x$
- Poseban slučaj funkcije stepena je $\frac(1)(x)\to \ln x$
A ako počnemo množiti i dijeliti najjednostavnije funkcije, kako onda možemo izračunati antiderivat proizvoda ili količnika. Nažalost, analogije s derivatom proizvoda ili količnika ovdje ne funkcioniraju. Bilo koji standardna formula ne postoji. Za neke slučajeve postoje škakljive posebne formule - s njima ćemo se upoznati u budućim video lekcijama.
Međutim, zapamtite: opšta formula, slična formula za izračunavanje izvoda količnika i proizvoda ne postoji.
Rješavanje stvarnih problema
Zadatak br. 1
Hajdemo svaki funkcije snage Izračunajmo odvojeno:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Vraćajući se na naš izraz, pišemo opštu konstrukciju:
Problem br. 2
Kao što sam već rekao, prototipovi radova i pojedinosti „do tačke“ se ne razmatraju. Međutim, ovdje možete učiniti sljedeće:
Razlomak smo razbili na zbir dva razlomka.
Hajde da izračunamo:
Dobra vijest je da, poznavajući formule za izračunavanje antiderivata, već možete izračunati složenije strukture. Ipak, idemo dalje i još malo proširimo svoje znanje. Činjenica je da se mnoge konstrukcije i izrazi, koji na prvi pogled nemaju nikakve veze sa $((x)^(n))$, mogu predstaviti kao stepen sa racionalni indikator, naime:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Sve ove tehnike se mogu i trebaju kombinovati. Izrazi moći Može
- pomnožiti (stepeni dodati);
- podijeliti (stepeni se oduzimaju);
- pomnožiti sa konstantom;
- itd.
Rješavanje izraza stepena s racionalnim eksponentom
Primjer #1
Izračunajmo svaki korijen posebno:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Ukupno, cjelokupna naša konstrukcija se može napisati na sljedeći način:
Primjer br. 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \desno))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Stoga dobijamo:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Ukupno, skupljajući sve u jedan izraz, možemo napisati:
Primjer br. 3
Za početak, napominjemo da smo već izračunali $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Prepišimo:
Nadam se da nikoga neću iznenaditi ako kažem da su ono što smo upravo proučavali samo najjednostavniji proračuni antiderivata, najelementarnije konstrukcije. Pogledajmo sada malo više složeni primjeri, u kojem ćete, osim tabelarnih antiderivata, također morati zapamtiti školski program, odnosno skraćene formule za množenje.
Rješavanje složenijih primjera
Zadatak br. 1
Prisjetimo se formule za kvadratnu razliku:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Prepišimo našu funkciju:
Sada moramo pronaći prototip takve funkcije:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Stavimo sve zajedno u zajedničku strukturu:
Problem br. 2
U ovom slučaju, moramo proširiti kocku razlike. prisjetimo se:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Uzimajući u obzir ovu činjenicu, možemo to napisati ovako:
Transformirajmo malo našu funkciju:
Računamo kao i uvijek - za svaki termin posebno:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\do \ln x\]
Napišimo rezultujuću konstrukciju:
Problem br. 3
Na vrhu imamo kvadrat zbira, proširimo ga:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Napišimo konačno rješenje:
Sada pažnja! Veoma važna stvar, što je povezano s lavovskim udjelom grešaka i nesporazuma. Činjenica je da do sada, računajući antiderivate koristeći derivate i donoseći transformacije, nismo razmišljali čemu je jednak izvod konstante. Ali derivacija konstante je jednaka "nuli". To znači da možete napisati sljedeće opcije:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Ovo je vrlo važno razumjeti: ako je derivacija funkcije uvijek ista, onda ista funkcija ima beskonačan broj antiderivata. Možemo jednostavno dodati bilo koje konstantne brojeve našim antiderivima i dobiti nove.
Nije slučajno da je u obrazloženju zadataka koje smo upravo riješili pisalo „Zapiši opšti oblik primitivcima." One. Već unaprijed se pretpostavlja da ne postoji jedan od njih, već čitavo mnoštvo. Ali, u stvari, razlikuju se samo po konstanti $C$ na kraju. Stoga ćemo u našim zadacima ispravljati ono što nismo završili.
Još jednom prepisujemo naše konstrukcije:
U takvim slučajevima, trebate dodati da je $C$ konstanta - $C=const$.
U našoj drugoj funkciji dobijamo sljedeću konstrukciju:
I posljednja:
I sada smo zaista dobili ono što se od nas tražilo u prvobitnom stanju problema.
Rješavanje problema nalaženja antiderivata sa datom tačkom
Sada kada znamo o konstantama i posebnostima pisanja antiderivata, sasvim je logično da se javlja sljedeća vrsta problema kada se iz skupa svih antiderivata traži da se pronađe jedan jedini koji bi prošao kroz dati poen. Šta je ovo zadatak?
Činjenica je da se svi antiderivati date funkcije razlikuju samo po tome što su vertikalno pomaknuti za određeni broj. A to znači da bez obzira na koju tačku koordinatna ravan nismo uzeli, jedan antideritiv će sigurno proći, i štaviše, samo jedan.
Dakle, problemi koje ćemo sada riješiti formulirani su na sljedeći način: ne samo pronaći antiderivativ, znajući formulu originalne funkcije, već odabrati upravo onu koja prolazi kroz datu tačku, čije će koordinate biti date u zadatku izjava.
Primjer #1
Prvo, hajde da jednostavno prebrojimo svaki pojam:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Sada zamjenjujemo ove izraze u našu konstrukciju:
Ova funkcija mora proći kroz tačku $M\left(-1;4 \right)$. Šta znači da prolazi kroz tačku? To znači da ako umjesto $x$ svugdje stavimo $-1$, a umjesto $F\left(x \right)$ - $-4$, onda bismo trebali dobiti ispravnu numeričku jednakost. Uradimo ovo:
Vidimo da imamo jednačinu za $C$, pa hajde da je pokušamo riješiti:
Hajde da zapišemo rešenje koje smo tražili:
Primjer br. 2
Prije svega, potrebno je otkriti kvadrat razlike koristeći skraćenu formulu množenja:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Originalna konstrukcija će biti napisana na sljedeći način:
Sada pronađimo $C$: zamijenimo koordinate tačke $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Izražavamo $C$:
Ostaje da prikažemo konačni izraz:
Rješavanje trigonometrijskih zadataka
As završni akord Uz ono o čemu smo upravo razgovarali, predlažem da razmotrimo još dva složeni zadaci, koji sadrže trigonometriju. U njima ćete, na isti način, morati pronaći antiderivate za sve funkcije, a zatim iz ovog skupa odabrati jedinu koja prolazi kroz tačku $M$ na koordinatnoj ravni.
Gledajući unaprijed, želio bih napomenuti da je tehnika koju ćemo sada koristiti za pronalaženje antiderivata trigonometrijske funkcije, u stvari, jeste univerzalna tehnika za samotestiranje.
Zadatak br. 1
Prisjetimo se sljedeće formule:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Na osnovu ovoga možemo napisati:
Zamenimo koordinate tačke $M$ u naš izraz:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Prepišimo izraz uzimajući u obzir ovu činjenicu:
Problem br. 2
Ovo će biti malo teže. Sad ćeš vidjeti zašto.
Prisjetimo se ove formule:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Da biste se riješili "minusa", trebate učiniti sljedeće:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Evo našeg dizajna
Zamenimo koordinate tačke $M$:
Ukupno zapisujemo konačnu konstrukciju:
To je sve o čemu sam ti danas htio reći. Proučavali smo sam pojam antiderivata, kako ih izbrojati elementarne funkcije, kao i kako pronaći antiderivat koji prolazi kroz određenu tačku na koordinatnoj ravni.
Nadam se da će vam ova lekcija barem malo pomoći da ovo shvatite kompleksna tema. U svakom slučaju, na antiderivama se konstruišu neodređeni i neodređeni integrali, pa ih je apsolutno neophodno izračunati. To je sve za mene. Vidimo se opet!
Teza: Analiza troškova proizvoda na primjeru JSC "Vostochnaya Verf"
Opća formula i karakteristike arena
Suština logike. Vrste logike. Šta je logika i zašto je potrebna? Vrste logike u filozofiji