Primjena određenog integrala. Proračun dužine luka

Početna > Predavanje

18.1. Izračunavanje površina ravnih figura.

Poznato je da je definitivni integral na segmentu površina krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije f(x). Ako se graf nalazi ispod x-ose, tj. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, tada područje ima znak “+”.

Formula se koristi za pronalaženje ukupne površine.

Područje figure ograničene nekim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe ovih linija.

Primjer. Pronađite površinu figure omeđen linijama y = x, y = x 2, x = 2.

Željeno područje (osenčeno na slici) možete pronaći po formuli:

18.2. Pronalaženje površine krivolinijskog sektora.

Da bismo pronašli površinu krivolinijskog sektora, uvodimo polarni koordinatni sistem. Jednačina krive koja ograničava sektor u ovom koordinatnom sistemu ima oblik  = f(), gdje je  dužina radijus vektora koji povezuje pol sa proizvoljna tačka kriva, i  - ugao nagiba ovog radijus-vektora prema polarnoj osi.

Područje zakrivljenog sektora može se pronaći po formuli

18.3. Proračun dužine luka krive.

y y = f(x)

S i y i

Dužina polilinije koja odgovara luku može se naći kao
.

Tada je dužina luka
.

Od geometrijska razmatranja:

U isto vrijeme

Onda se to može pokazati

One.

Ako je jednadžba krivulje data parametarski, onda, uzimajući u obzir pravila za izračunavanje derivacije parametarski zadane, dobijamo

gdje je x = (t) i y = (t).

Ako je postavljeno prostorna kriva, i x = (t), y = (t) i z = Z(t), tada

Ako je kriva postavljena na polarne koordinate, onda

,  = f().

primjer: Pronađite obim dat jednadžbom x 2 + y 2 = r 2 .

1 način. Izrazimo varijablu y iz jednačine.

Nađimo derivat

Tada je S = 2r. Dobili smo dobro poznatu formulu za obim kruga.

2 way. Ako datu jednačinu predstavimo u polarnog sistema koordinate, dobijamo: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2 , tj. funkcija  = f() = r,
onda

18.4. Proračun volumena tijela.

Izračunavanje zapremine tela po poznati trgovi njegovih paralelnih sekcija.

Neka postoji tijelo zapremine V. Površina bilo kojeg poprečnog presjeka tijela, Q, poznata je kao kontinuirana funkcija Q = Q(x). Podijelimo tijelo na “slojeve” poprečnim presjecima koji prolaze kroz tačke x i podjele segmenta. Jer funkcija Q(x) je kontinuirana na nekom srednjem segmentu particije, tada poprima najveći i najmanju vrijednost. Označimo ih shodno M i i m i .

Ako se na ovim najvećim i najmanjim odsjecima grade cilindri sa generatorima paralelnim sa x osom, tada će zapremine ovih cilindara biti respektivno jednake M i x i i m i x i ovdje x i = x i - x i -1 .

Napravivši takve konstrukcije za sve segmente pregrade, dobijamo cilindre čiji su volumeni, respektivno,
i
.

Kako korak particije  teži nuli, ovi sumi imaju zajedničku granicu:

Dakle, volumen tijela se može naći po formuli:

Nedostatak ove formule je što je za pronalaženje volumena potrebno poznavati funkciju Q(x), što je vrlo problematično za složena tijela.

primjer: Odredite zapreminu sfere poluprečnika R.

AT presjeci kuglice, dobiju se krugovi promjenjivog polumjera y. Ovisno o trenutnoj x koordinati, ovaj radijus se izražava formulom
.

Tada funkcija površine poprečnog presjeka ima oblik: Q(x) =
.

Dobijamo volumen lopte:

primjer: Odrediti zapreminu proizvoljne piramide visine H i površine osnove S.

Prilikom prelaska piramide ravninama okomitim na visinu, u presjeku dobijamo figure slične bazi. Koeficijent sličnosti ovih figura jednak je omjeru x / H, gdje je x udaljenost od ravnine presjeka do vrha piramide.

Iz geometrije je poznato da je omjer površina sličnih figura jednak koeficijentu sličnosti na kvadrat, tj.

Odavde dobijamo funkciju površina poprečnog preseka:

Određivanje zapremine piramide:

18.5. Volumen tijela revolucije.

Razmotrite krivulju dato jednačinom y = f(x). Pretpostavimo da je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu . Ako je odgovarajući krivolinijski trapez sa bazama a i b rotiraju oko ose Ox, tada dobijamo tzv tijelo revolucije.

y = f(x)

Jer svaki presek tela ravnim x = const je krug poluprečnika
, tada se volumen tijela okretanja može lako pronaći pomoću gore dobivene formule:

18.6. Površina okretnog tijela.

M i B

definicija: Površina rotacije kriva AB oko date ose je granica kojoj teže površine okretnih površina izlomljenih linija upisanih u krivu AB, kada najveća od dužina karika ovih izlomljenih linija teži nuli.

Podijelimo luk AB na n dijelova tačkama M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Vrhovi rezultirajuće polilinije imaju koordinate x i i y i . Rotiranjem izlomljene linije oko ose dobijamo površinu koja se sastoji od bočnih površina krnjih konusa, čija je površina jednaka P i . Ovo područje se može pronaći pomoću formule:

Ovdje je S i dužina svakog tetiva.

Primjenjujemo Lagrangeov teorem (usp. Lagrangeova teorema) na odnos
.

Predstavimo neke primjene određenog integrala.

Izračunavanje površine ravne figure

Područje krivolinijskog trapeza ograničenog krivom (gdje
), ravno
,
i segment
sjekire
, izračunava se po formuli

Područje figure ograničeno krivuljama
i
(gde
) ravno
i
izračunato po formuli

Ako je kriva data parametarskim jednadžbama
, zatim područje krivolinijskog trapeza ograničeno ovom krivom, prave linije
,
i segment
sjekire
, izračunava se po formuli

gdje i određuju se iz jednačina
,
, a
at
.

Područje zakrivljenog sektora ograničenog krivom datom u polarnim koordinatama jednadžbom
i dva polarna radijusa
,
(
), nalazi se po formuli

Primjer 1.27. Izračunajte površinu figure ograničene parabolom
i direktno
(Slika 1.1).

Rješenje. Nađimo tačke preseka prave i parabole. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu

,
.

Gdje
,
. Tada po formuli (1.6) imamo

Izračunavanje dužine luka planarne krive

Ako je kriva
na segmentu
- glatko (tj. derivat
je kontinuiran), onda se dužina odgovarajućeg luka ove krive nalazi po formuli

Kada parametarski specificirate krivu
(
- kontinuirano diferencirane funkcije) dužina luka krive koja odgovara monotonoj promjeni parametra od prije , izračunava se po formuli

Primjer 1.28. Izračunajte dužinu luka krive
,
,
.

Rješenje. Nađimo derivate u odnosu na parametar :
,
. Tada po formuli (1.7) dobijamo

2. Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Neka svaki uređeni par brojeva
iz nekog kraja
odgovara određenom broju
. Onda pozvao funkcija dvije varijable i ,
-nezavisne varijable ili argumentima ,
-domenu definicije funkcije, ali skup sve vrijednosti funkcije - njegov domet i označiti
.

Geometrijski gledano, domen funkcije je obično neki dio ravnine
omeđen linijama koje mogu ili ne moraju pripadati ovom području.

Primjer 2.1. Pronađite domen
funkcije
.

Rješenje. Ova funkcija je definirana u tim tačkama ravnine
, u kojem
, ili
. Tačke ravni za koje
, čine granicu regije
. Jednačina
definira parabolu (slika 2.1; budući da parabola ne pripada području
, prikazan je kao isprekidana linija). Nadalje, lako je direktno provjeriti da li su tačke za koje
, koji se nalazi iznad parabole. Region
je otvoren i može se odrediti pomoću sistema nejednačina:

Ako je promenljiva dati neki poticaj
, a ostavite ga konstantnim, a zatim funkciju
će dobiti povećanje
pozvao funkcija privatnog povećanja po varijabli :

Slično, ako je varijabla dobija povećanje
, a ostaje konstantna, tada funkcija
će dobiti povećanje
pozvao funkcija privatnog povećanja po varijabli :

Ako postoje ograničenja:

oni se zovu parcijalni derivati funkcije
po varijablama i respektivno.

Napomena 2.1. Slično se definiraju parcijalni derivati funkcija bilo kojeg broja nezavisnih varijabli.

Napomena 2.2. Budući da je parcijalni izvod u odnosu na bilo koju varijablu derivacija u odnosu na ovu varijablu, pod uvjetom da su ostale varijable konstantne, tada su sva pravila za diferenciranje funkcija jedne varijable primjenjiva na pronalaženje parcijalnih izvoda funkcija bilo kojeg broja varijabli.

Primjer 2.2.
.

Rješenje. Mi nalazimo:

Primjer 2.3. Pronađite parcijalne derivate funkcija
.

Rješenje. Mi nalazimo:

Puno povećanje funkcije
se zove razlika

Glavni dio ukupnog prirasta funkcije
, linearno zavisna od priraštaja nezavisnih varijabli
i
,naziva se totalni diferencijal funkcije i označeno
. Ako funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode, tada ukupni diferencijal postoji i jednak je

gdje
,
- proizvoljni inkrementi nezavisnih varijabli, koji se nazivaju njihovi diferencijali.

Slično, za funkciju od tri varijable
ukupni diferencijal je dat sa

Neka funkcija
ima u tački
parcijalni derivati prvog reda u odnosu na sve varijable. Tada se vektor poziva gradijent funkcije
u tački
i označeno
ili
.

Napomena 2.3. Simbol
se zove Hamiltonov operator i izgovara se "numbla".

Primjer 2.4. Pronađite gradijent funkcije u tački
.

Rješenje. Nađimo parcijalne derivate:

,
,

i izračunajte njihove vrijednosti u tački
:

,
,
.

shodno tome,
.

derivat funkcije
u tački
u pravcu vektora
naziva se granica omjera
at
:

, gdje
.

Ako je funkcija
je diferencibilan, onda se izvod u ovom pravcu izračunava po formuli:

gdje ,- uglovi, koji vektor forme sa sjekirama
i
respektivno.

U slučaju funkcije od tri varijable
derivacija smjera definirana je slično. Odgovarajuća formula ima oblik

gdje
- kosinus smjera vektora .

Primjer 2.5. Pronađite izvod funkcije
u tački
u pravcu vektora
, gdje
.

Rješenje. Nađimo vektor
i njegov kosinus smjera:

,
,
,
.

Izračunajte vrijednosti parcijalnih izvoda u tački
:

,
,
;
,
,
.

Zamjenom u (2.1) dobijamo

Parcijalni derivati drugog reda nazivaju se parcijalni derivati uzeti iz parcijalnih izvoda prvog reda:

Parcijalni derivati
,
pozvao mješovito . Vrijednosti mješovitih izvoda su jednake u onim tačkama gdje su te derivacije kontinuirane.

Primjer 2.6. Pronađite parcijalne izvode funkcije drugog reda
.

Rješenje. Izračunajte prve parcijalne izvode prvog reda:

,
.

Ako ih ponovo razlikujemo, dobijamo:

,
,

,
.

Upoređujući posljednje izraze, vidimo to
.

Primjer 2.7. Dokazati da je funkcija
zadovoljava Laplasovu jednačinu

Rješenje. Mi nalazimo:

,
.

Dot
pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum ) funkcije
, ako za sve točke
, osim
i pripadanje dovoljno malom njegovom susjedstvu, nejednakost

(
).

Maksimum ili minimum funkcije se naziva njenim ekstrem . Poziva se tačka u kojoj se postiže ekstremum funkcije tačka ekstrema funkcije .

Teorema 2.1 (Neophodni uslovi za ekstrem ). Ako tačka
je tačka ekstrema funkcije
, onda barem jedan od ovih derivata ne postoji.

Tačke za koje su ovi uslovi ispunjeni se nazivaju stacionarno ili kritičan . Ekstremne tačke su uvek stacionarne, ali stacionarna tačka možda nije ekstremna tačka. Da bi stacionarna tačka bila tačka ekstrema, moraju biti zadovoljeni dovoljni uslovi ekstrema.

Hajde da prvo uvedemo sledeću notaciju :

,
,
,
.

Teorema 2.2 (Dovoljni uslovi za ekstrem ). Neka funkcija
je dva puta diferencibilan u susjedstvu tačke
i tačka
je stacionarna za funkciju
. onda:

1.Ako a
, zatim poenta
je ekstremum funkcije, i
će biti maksimalna tačka na
(
)i minimalna tačka na
(
).

2.Ako a
, zatim u tački

ne postoji ekstremum.

3.Ako a
, onda može postojati ili ne mora postojati ekstrem.

Primjer 2.8. Istražite funkciju za ekstrem
.

Rješenje. Od u ovaj slučaj uvijek postoje parcijalne derivacije prvog reda, a zatim za pronalaženje stacionarnih (kritičnih) tačaka rješavamo sistem:

,
,

gdje
,
,
,
. Tako smo dobili dvije stacionarne tačke:
,
.

,
,
.

Za poen
dobijamo:, odnosno u ovom trenutku ne postoji ekstremum. Za poen
dobijamo: i
, Shodno tome

na ovom mjestu datu funkciju dostiže lokalni minimum: .

Definitivni integral (OI) se široko koristi u praktičnim primjenama matematike i fizike.

Konkretno, u geometriji, uz pomoć OR, nalaze se područja jednostavne figure i složene površine, zapremine tela obrtanja i tela proizvoljnog oblika, dužine krivina u ravni i u prostoru.

u fizici i teorijska mehanika RI se koristi za izračunavanje statičkih momenata, masa i centara mase materijalnih krivina i površina, za izračunavanje rada promjenjive sile duž zakrivljene putanje itd.

Površina ravne figure

Neka neka ravna figura u kartezijanskom pravougaoni sistem koordinate $xOy$ je odozgo ograničeno krivom $y=y_(1) \left(x\right)$, dolje krivom $y=y_(2) \left(x\right)$, a lijevo i desno okomitim linijama $ x=a$ i $x=b$ respektivno. AT opšti slučaj površina takve figure se izražava pomoću ILI $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left( x\desno)\desno )\cdot dx $.

Ako je neka ravna figura u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu $xOy$ s desne strane ograničena krivom $x=x_(1) \left(y\right)$, s lijeve strane - krivom $x=x_(2 ) \left(y\right) $, a ispod i iznad horizontalnim linijama $y=c$ i $y=d$, respektivno, tada se površina takve figure izražava pomoću OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Neka ravan lik (krivolinijski sektor) koji se razmatra u polarnom koordinatnom sistemu formira graf neprekidne funkcije $\rho =\rho \left(\phi \right)$, kao i dvije zrake koje prolaze pod uglovima $ \phi =\alpha $ i $\phi =\beta $ respektivno. Formula za izračunavanje površine takvog krivolinijskog sektora je: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Dužina luka krive

Ako na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je data jednadžbom $\rho =\rho \left(\phi \right)$ u polarnim koordinatama, a zatim se dužina njenog luka izračunava pomoću OR $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Ako je kriva na segmentu $\left$ data jednadžbom $y=y\left(x\right)$, tada se dužina njenog luka izračunava pomoću ILI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Ako na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ kriva je data parametarski, tj. $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, zatim se dužina njenog luka izračunava pomoću ILI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Proračun volumena tijela iz površina paralelnih presjeka

Neka je potrebno pronaći volumen prostornog tijela čije koordinate tačke zadovoljavaju uslove $a\le x\le b$, i za koje su površine poprečnog presjeka $S\left(x\right)$ ravninama okomitim na $Ox$ osa je poznata.

Formula za izračunavanje zapremine takvog tela je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Volumen tijela revolucije

Neka je na segmentu $\left$ data nenegativna kontinuirana funkcija $y=y\left(x\right)$, formirajući krivolinijski trapez (KrT). Ako ovu CRT rotiramo oko $Ox$ ose, tada se formira tijelo, koje se zove tijelo okretanja.

Izračunavanje zapremine tela obrtanja je poseban slučaj izračunavanja zapremine tela iz poznatih površina njegovih paralelnih preseka. Odgovarajuća formula je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx$.

Neka je neka ravna figura u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu $xOy$ odozgo ograničena krivom $y=y_(1) \left(x\right)$, odozdo krivom $y=y_(2) \left (x\right)$ , gdje su $y_(1) \left(x\right)$ i $y_(2) \left(x\right)$ nenegativni kontinuirane funkcije, a lijevo i desno vertikalnim linijama $x=a$ i $x=b$ respektivno. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko ose $Ox$ izražava sa ILI $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu $xOy$ s desne strane ograničena krivom $x=x_(1) \left(y\right)$, s lijeve strane - krivom $x=x_(2 ) \left(y\right)$ , gdje su $x_(1) \left(y\right)$ i $x_(2) \left(y\right)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a horizontalne linije $y =c$ i $y= d$ respektivno. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Oy$ ose izražava OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Površina okretnog tijela

Neka je na segmentu $\left$ data nenegativna funkcija $y=y\left(x\right)$ sa kontinuiranim izvodom $y"\left(x\right)$. Ova funkcija formira KrT. Ako rotiramo ovaj KrT oko ose $Ox $, tada on sam formira tijelo okretanja, a luk KrT je njegova površina. Površina takvog tijela okretanja izražava se formulom $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Pretpostavimo da je kriva $x=\phi \left(y\right)$, gdje je $\phi \left(y\right)$ nenegativna funkcija definirana na segmentu $c\le y\le d$, se rotira oko ose $Oy$. U ovom slučaju, površina formiranog tijela okretanja izražava se kao ILI $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Fizičke primjene OI

Da biste izračunali pređenu udaljenost u vrijeme $t=T$ s promjenjivom brzinom $v=v\left(t\right)$ materijalne tačke koja je počela da se kreće u vrijeme $t=t_(0) $, koristite OR $ S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
Za izračunavanje rada varijabilne sile $F=F\left(x\right)$ primijenjene na materijalna tačka krećući se dalje prava staza duž $Ox$ ose od tačke $x=a$ do tačke $x=b$ (smjer sile se poklapa sa smjerom kretanja) koristite OR $A=\int \limits _(a)^ (b)F\levo(x \desno)\cdot dx $.
Statički momenti u odnosu na koordinatne ose materijalna kriva $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$ izražena je formulama $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ lijevo(x\ desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, pri čemu se pretpostavlja da je linearna gustina $\rho $ ove krive konstantna.
Centar mase materijalne krive je tačka u kojoj je njena cijela masa uvjetno koncentrirana na način da su statički momenti točke u odnosu na koordinatne osi jednaki odgovarajućim statičkim momentima cijele krivulje u cjelini.

Formule za izračunavanje koordinata centra mase ravne krive su $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) ) \left(x\ desno)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ i $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

Statički momenti materijala ravna figura u obliku KrT u odnosu na koordinatne ose izražene su formulama $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^ (2) \left(x\ desno)\cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
Koordinate centra mase materijalne ravne figure u obliku KrT, koju formira kriva $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$, izračunavaju se po formulama $x_( C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot dx ) $ i $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \desno)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.