Školski program predviđa podučavanje djece geometrije od najranije dobi. Jedno od najosnovnijih znanja iz ove oblasti je pronalaženje područja različitih figura. U ovom članku ćemo pokušati dati sve moguće načine za dobivanje ove vrijednosti, od najjednostavnijih do najsloženijih.

Osnova

Prva formula koju djeca uče u školi uključuje pronalaženje površine trokuta prema dužini njegove visine i osnovice. Visina je segment povučen iz vrha trougla pod pravim uglom na suprotnu stranu, koja će biti osnova. Kako iz ovih vrijednosti pronaći površinu trokuta?

Ako je V visina, a O baza, tada je površina S=V*O:2.

Druga opcija za dobijanje željene vrednosti zahteva da znamo dužine dve strane, kao i ugao između njih. Ako imamo L i M - dužine stranica, i Q - ugao između njih, tada možete dobiti površinu koristeći formulu S=(L*M*sin(Q))/2.

Heronova formula

Pored svih ostalih odgovora na pitanje kako izračunati površinu trokuta, postoji formula koja nam omogućava da dobijemo potrebnu vrijednost, znajući samo duljine stranica. Odnosno, ako znamo dužine svih strana, onda ne trebamo crtati visinu i izračunavati njenu dužinu. Možemo koristiti takozvanu Heron formulu.

Ako su M, N, L dužine stranica, tada možemo pronaći površinu trokuta, kako slijedi. P = (M + N + L) / 2, tada nam je potrebna vrijednost S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). Kao rezultat, moramo samo izračunati korijen.

Za pravougli trokut, Heronova formula je malo pojednostavljena. Ako su M, L noge, onda je S=(P-M)*(P-L).

krugovima

Drugi način za pronalaženje površine trokuta je korištenje upisanih i opisanih krugova. Da bismo dobili vrijednost koja nam je potrebna koristeći upisanu kružnicu, moramo znati njen polumjer. Označimo to "r". Tada će formula po kojoj ćemo izvršiti proračune imati sljedeći oblik: S \u003d r * P, gdje je P polovina zbroja dužina svih strana.

U pravokutnom trokutu ova formula je malo transformirana. Naravno, možete koristiti gore navedeno, ali je bolje koristiti drugačiji izraz za proračune. S=E*W, gdje su E i W dužine segmenata na koje je hipotenuza podijeljena tangentnom tačkom kružnice.

Govoreći o opisanoj kružnici, pronalaženje površine trokuta također nije teško. Unoseći oznaku R, kao poluprečnik opisane kružnice, možete dobiti sljedeću formulu potrebnu za izračunavanje željene vrijednosti: S= (M*N*L):(4*R). Gdje su prve tri veličine stranice trougla.

Govoreći o jednakostraničnom trokutu, zbog niza jednostavnih matematičkih transformacija, mogu se dobiti malo modificirane formule:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r2.

U svakom slučaju, bilo koja formula koja vam omogućava da pronađete površinu trokuta može se promijeniti u skladu s datim problemom. Dakle, svi pisani izrazi nisu apsolutni. Kada rješavate probleme, razmislite kako biste pronašli najprikladniji način za njihovo rješavanje.

Koordinate

Prilikom proučavanja koordinatnih osa zadaci pred učenicima postaju složeniji. Međutim, nije dovoljno za paniku. Da biste pronašli površinu trokuta po koordinatama vrhova, možete koristiti istu, ali malo izmijenjenu Heronovu formulu. Za koordinate ima sljedeći oblik:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Međutim, niko ne zabranjuje, koristeći koordinate, izračunati dužine stranica trokuta, a zatim, koristeći formule koje su gore napisane, izračunati površinu. Da biste koordinate pretvorili u dužinu, koristite sljedeću formulu:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Bilješke

U članku je korištena standardna notacija za veličine koje se koriste u uvjetima većine problema. U ovom slučaju, stepen "1/2" znači da morate izdvojiti korijen iz cijelog izraza ispod zagrada.

Prilikom odabira formule budite oprezni. Neki od njih gube na važnosti u zavisnosti od početnih uslova. Na primjer, formula opisanog kruga. U svakom slučaju može izračunati rezultat umjesto vas, međutim, može doći do situacije u kojoj trokut sa datim parametrima možda uopće ne postoji.

Ako sjedite kod kuće i radite domaću zadaću, onda možete koristiti online kalkulator. Mnoge stranice pružaju mogućnost izračunavanja različitih vrijednosti za date parametre, i nije važno koje. Možete jednostavno uneti početne podatke u polja, a računar (web stranica) će izračunati rezultat za vas. Tako možete izbjeći greške napravljene nepažnjom.

Nadamo se da je naš članak odgovorio na sva vaša pitanja u vezi s izračunom površine raznih trokuta i ne morate tražiti dodatne informacije negdje drugdje. Sretno sa studiranjem!

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakša i najčešće korištena je množenje visine s dužinom baze, nakon čega slijedi dijeljenje rezultata s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta koristeći različite formule.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njenu suštinu.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrovaćemo svaki od njih:

• a, b, c su dužine tri strane figure koju razmatramo;
• r je polumjer kružnice koja se može upisati u naš trokut;
• R je poluprečnik kruga koji se može opisati oko njega;
• α - vrijednost ugla formiranog od strane b i c;
• β je ugao između a i c;
• γ - vrijednost ugla formiranog od strane a i b;
• h je visina našeg trougla, spuštenog iz ugla α na stranu a;
• p je polovina zbira stranica a, b i c.

Logički je jasno zašto na ovaj način možete pronaći površinu trokuta. Trokut se lako završava do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Površina paralelograma se nalazi množenjem dužine jedne od njegovih stranica sa vrijednošću visine koja mu se povlači. Dijagonala dijeli ovaj uslovni paralelogram na 2 identična trougla. Stoga je sasvim očito da bi površina našeg originalnog trokuta trebala biti jednaka polovini površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta se nalazi množenjem dužina njegovih dviju stranica, odnosno a i b, sa sinusom ugla koji formiraju. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako visinu od ugla β spustimo na stranicu b, onda, prema svojstvima pravouglog trougla, kada pomnožimo dužinu stranice a sa sinusom ugla γ, dobijamo visinu trougla, tj. h.

Područje figure koja se razmatra nalazi se množenjem polovine polumjera kruga, koji se u njega može upisati, njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo proizvod poluperimetra i poluprečnika spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se naći dijeljenjem proizvoda stranica figure sa 4 polumjera kruga koji je opisan oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućavaju određivanje površine bilo kojeg trokuta (skalena, jednakokračna, jednakostranična, pravokutna). To se može učiniti uz pomoć složenijih proračuna, na kojima se nećemo detaljno zadržavati.

Površine trouglova sa specifičnim svojstvima

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta? Karakteristika ove figure je da su njene dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b noge, a c postane hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trougla? Ima dvije strane dužine a i jednu stranu dužine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem sa 2 proizvoda kvadrata stranice a sa sinusom ugla γ.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla? U njemu je dužina svih stranica a, a vrijednost svih uglova je α. Njegova visina je polovina proizvoda dužine stranice puta kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, potreban vam je kvadrat stranice a pomnožen s kvadratnim korijenom od 3 i podijeljen sa 4.

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, uglove ili dimenzije. Formule su predstavljene u obliku slike, ovdje su objašnjenja za primjenu ili opravdanje njihove ispravnosti. Takođe, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (jednakokraki, pravougaoni, jednakostranični), možete koristiti formule u nastavku, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute sa ovim svojstvima:

• "Formule za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik opisane kružnice oko trougla
h- visina trougla, spuštena na stranu
str- poluperimetar trokuta, 1/2 zbira njegovih strana (perimetar)
α - ugao suprotnoj strani a trougla
β - ugao suprotnoj strani b trougla
γ - ugao suprotnoj strani c trougla
h a, h b , h c- visina trougla, spuštena na stranu a, b, c

Imajte na umu da data notacija odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema iz geometrije bilo lakše vizualno zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice na koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika dimenzija b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog pomoću nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trougla kroz rad polovina poluprečnika kružnice upisane u nju zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polovicu perimetra trokuta polumjerom upisane kružnice (na ovaj način je lakše zapamtiti)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu dužina njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kružnice koja je opisana oko njega i sinusa svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
• Ako su poznate dužina jedne stranice i veličina dvaju ugla koja su joj susjedna, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice, podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su date kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, jer koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličnog kojem ovdje nema - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naveden u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm, a ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trougla.

Odluka.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz iskaza problema u formulu:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa 60 stepeni. To će biti jednako korijenu od tri po dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahteva nastavnika, verovatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Nađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trougla sa stranicom od 3 cm.

Odluka.

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta imat će oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetvorostruče?

Odluka.

Pošto su nam dimenzije stranica trougla nepoznate, da bismo riješili problem pretpostavit ćemo da su dužine stranica respektivno jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je predstavljeno u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla date su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što možete vidjeti, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade od sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 kvadratni korijen je savršeno izvučen, pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, dovoljno je da podijelimo površinu rezultirajućeg trokuta površinom prvobitnog.
Određujemo omjere površina tako što podijelimo izraze jedan na drugi i smanjimo rezultujući razlomak.

Trougao je dobro poznata figura. I to, uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravougaoni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je donekle drugačiji. Ali za sve je potrebno znati površinu trokuta.

Uobičajene formule za sve trokute koji koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.

1. Površina trokuta se računa kao proizvod ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih sa 2. Formula za poluperimetar: p \u003d (a + b + c) / 2. Zatim jednakost za površinu ​​Slika izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti poluperimetar, onda će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo dužine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.

Opće formule u kojima se pojavljuju uglovi trokuta

Oznaka koja je potrebna za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula sa jednom poznatom stranom i dva ugla koja su susedna njoj. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. Doslovno, to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali su vam potrebne vrijednosti sva tri ugla. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo dužina obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.

Matematički, to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše pamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da su njegove dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima oko njega strana zna ili se nekako može prepoznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Zadaci za pronalaženje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravougaoni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trokut oštar ili tupougao, mora se povući u pravougaonik. Tada će u rezultirajućoj figuri biti 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa sa linijama papira. Zatim se mora upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.

Primjer problema na Heronovoj formuli

Stanje. Neki trougao ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm.Morate znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako vam nije potrebna veća preciznost, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovori. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka s pravokutnim trouglom

Stanje. Jedan krak pravouglog trougla je 31 cm duži od drugog. Potrebno je saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Odluka. Morate riješiti sistem od dvije jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je odnos nogu koji je dat u zadatku.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu veličinu, pa je lako rešiti. Nakon otvaranja zagrada, dobija se kvadratna jednadžba: u 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor , budući da dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. Ovo su količine koje se traže u zadatku.

Odgovori. Krate trougla su 9 i 40 cm.

Zadatak pronalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina nekog trougla je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Odluka. Na osnovu prihvaćenih oznaka, željena strana je „a“, poznato „b“, dati ugao je „γ“. Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Željena strana je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Tem kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Odluka. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je naveden u zadatku. Drugi je baziran na poznatoj kraci originalnog trougla. Slični su jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.

Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (data je kateta 42 cm minus stranica kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42, podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Željena površina je 1176 cm 2.

Na internetu se može naći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima sa poznatim stranicama i uglovima trokuta. Međutim, postoji niz složenih primjera gdje su, prema uslovu zadatka, poznati samo jedna stranica i uglovi trokuta, odnosno poluprečnik opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima, jednostavna formula se ne može primijeniti.

Formule u nastavku će riješiti 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Pređimo na razmatranje formula zajedničkog područja.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dalje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika
a,b,c su stranice trougla,
R je poluprečnik opisane kružnice,
r je poluprečnik upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] - visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta,hamma - uglovi blizu vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovini proizvoda stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranu. U jeziku formula, ova definicija se može napisati kao

Dakle, ako su strana i visina poznate, onda će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, jedna korisna veza između visina može se izvesti iz ove formule

2. Ako uzmemo u obzir da je visina trokuta kroz susjednu stranicu izražena zavisnošću

Zatim iz prve formule površine slijedi isti tip druge

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad ima dvije strane i ugao između njih. Ako pravilno označimo stranice i uglove trokuta (kao na gornjoj slici), onda ćemo dobiti dvije stranice a, b a ugao je povezan sa trećim C (hamma).

3. Za uglove trougla, relacija

Ovisnost vam omogućava da u proračunima primijenite sljedeće formule za površinu trokuta

Primjeri ove ovisnosti su izuzetno rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznata stranica i dva susjedna ugla, tada se površina nalazi po formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih uglova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti zavisnosti za druge strane.

6. Formula površine ispod se koristi u zadacima kada su vrhovi trougla dati na ravni sa koordinatama. U ovom slučaju, površina je jednaka polovini modulo determinante.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Prvo pronađite poluperimetar trokuta

A zatim odredite površinu po formuli

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trougla, tada je površina određena formulom

Teško je izračunati na kalkulatoru, međutim, u paketima MathCad, Mathematica, Maple površina je "jedan dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate polumjere upisanih i opisanih kružnica.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta, ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su date stranice i polumjer ili prečnik opisane kružnice, površina se nalazi po formuli

11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i uglova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravouglog trougla sa katetama a i b jednako je polovini njihovog proizvoda

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

\u003d jedna četvrtina proizvoda kvadrata stranice i korijena tri.