TEST

disciplina „Planiranje i predviđanje

u tržišnim uslovima"

na temu: Intervali pouzdanosti prognoze

Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

Poglavlje 1. Teorijski dio

Intervali pouzdanosti prognoze. Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

1.1 Intervali pouzdanosti prognoze

završna faza Primjena krivulja rasta je ekstrapolacija trenda na osnovu odabrane jednačine. Predviđene vrijednosti indikatora koji se proučava izračunavaju se zamjenom vremenskih vrijednosti u jednadžbu krive t odgovara vremenu isporuke. Ovako dobijena prognoza naziva se tačkasta prognoza, jer se za svaki trenutak određuje samo jedna vrijednost predviđenog indikatora.

U praksi, pored bodovne prognoze, poželjno je odrediti granice moguće promjene predviđenog indikatora, postaviti "račvu" mogućih vrijednosti predviđenog indikatora, tj. izračunati intervalnu prognozu.

Nepodudarnost između stvarnih podataka i tačke prognoze dobivene ekstrapolacijom trenda iz krivulja rasta može biti uzrokovana:

1. subjektivna zabluda u izboru vrste krive;

2. greška u procjeni parametara krivih;

3. greška povezana sa odstupanjem pojedinačnih zapažanja od trenda koji neke karakteriše prosječan nivo serije za svaki trenutak vremena.

Greška povezana sa drugim i trećim izvorom može se odraziti u obliku intervala pouzdanosti prognoze. Interval pouzdanosti, koji uzima u obzir nesigurnost povezanu sa pozicijom trenda, i mogućnost odstupanja od ovog trenda, definira se kao:

gdje je n dužina vremenske serije;

L - vrijeme isporuke;

y n + L -prognoza tačke u trenutku n+L;

t a - vrijednost Studentove t-statistike;

S p - srednja kvadratna greška prognoze.

Pretpostavimo da trend karakteriše prava linija:

Budući da su procjene parametara određene po okvir za uzorkovanje, predstavljene vremenskom serijom, sadrže grešku. Greška parametra a o dovodi do vertikalnog pomeranja prave linije, greška parametra a 1 - do promene ugla nagiba prave linije u odnosu na x-osu. Uzimajući u obzir raspršenost specifičnih implementacija u odnosu na linije trenda, varijansa se može predstaviti kao:

(1.2.),

gdje je varijansa odstupanja stvarnih zapažanja od izračunatih;

t 1 - vrijeme isporuke za koje se vrši ekstrapolacija;

t 1 = n + L ;

t- redni broj nivoa serije, t = 1,2,..., n;

Serijski broj nivo u sredini reda

Tada se interval pouzdanosti može predstaviti kao:

(1.3.),

Označimo korijen u izrazu (1.3.) kroz K. Vrijednost K zavisi samo od n i L, tj. o dužini reda i vremenu vođenja. Stoga možete napraviti tablice vrijednosti K ili K * \u003d t a K. Tada će procjena intervala izgledati ovako:

(1.4.),

Izraz sličan (1.3.) može se dobiti za polinom drugog reda:

(1.5.),

(1.6.),

Disperzija odstupanja stvarnih zapažanja od izračunatih određena je izrazom:

(1.7.),

gdje y t- stvarne vrijednosti nivoa serije,

Procijenjene vrijednosti nivoa serije,

n- dužina vremenske serije,

k- broj procijenjenih parametara nivelmanske krive.

Dakle, širina intervala pouzdanosti zavisi od nivoa značajnosti, perioda vođenja, standardne devijacije od trenda i stepena polinoma.

Što je veći stepen polinoma, širi je interval poverenja za istu vrednost Sy, budući da se varijansa jednadžbe trenda izračunava kao ponderisani zbroj varijansi odgovarajućih parametara jednačine

Slika 1.1. Intervali pouzdanosti prognoze za linearni trend

Intervali povjerenja za predviđanja dobivena korištenjem eksponencijalne jednadžbe određuju se na sličan način. Razlika je u tome što se i pri izračunavanju parametara krive i pri izračunavanju srednje kvadratne greške ne koriste vrijednosti samih nivoa vremenskih serija, već njihovi logaritmi.

Ista shema se može koristiti za određivanje intervala povjerenja za određeni broj krivulja sa asimptotama, ako je vrijednost asimptote poznata (na primjer, za modificiranu eksponencijalnu).

Tabela 1.1. date su vrednosti TO* zavisno od dužine vremenske serije n i vrijeme isporuke L za prave linije i parabole. Očigledno, kao dužina serije ( n) vrijednosti TO* smanjenje, sa povećanjem vremena isporuke L vrijednosti TO* povećati. Istovremeno, uticaj olovnog perioda nije isti za različita značenja n: što je duža dužina reda, manji je uticaj period vođenja L .

Tabela 1.1.

K* vrijednosti za evaluaciju intervali poverenja prognoza zasnovana na linearnom trendu i paraboličkom trendu kada nivo samopouzdanja 0,9 (7).

Linearni trend	parabolički trend
Dužina red (p)	Vrijeme isporuke (L)	dužina reda (p)	vrijeme isporuke (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Poglavlje 2 Praktični dio

Zadatak 1.5. Korištenje adaptivnih metoda u ekonomskom predviđanju

1. Izračunajte eksponencijalni prosjek za vremensku seriju cijene dionica kompanije UM. As početna vrijednost eksponencijalni prosjek uzima prosjek prvih 5 nivoa serije. Vrijednost parametra adaptacije a uzima se jednakom 0,1.

Tabela 1.2.

Cijena dionica IBM-a

t	y t	t	y t	t	y t
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. Prema zadatku br. 1, izračunati eksponencijalni prosjek sa vrijednošću parametra adaptacije a jednako 0,5. Grafički uporedite originalnu vremensku seriju i seriju eksponencijalnih prosjeka dobijenih sa a=0,1 i a=0,5. Označite koji je red glatkiji.

3. Predviđanje cijene dionica IBM-a izvršeno je na osnovu adaptivnog polinomskog modela drugog reda

,

gdje je vrijeme isporuke.

U posljednjem koraku dobijaju se sljedeće procjene koeficijenata:

1 dan unaprijed (=1);

2 dana unaprijed (=2).

Rješenje zadatka 1.5

1. Hajde da definišemo

Nađimo vrijednosti eksponencijalnog prosjeka pri a =0,1.

. a=0,1 - prema uslovu;

; S 1 = 0,1 x 510 + 0,9 x 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 x 497 + 0,9 x 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 x 504 + 0,9 x 505,46 \u003d 505,31 itd.

a=0,5 - prema uslovu.

; S 1 = 0,5 x 510 + 0,5 x 506 \u003d 508;

; S 2 = 0,5 x 497 + 0,5 x 508 \u003d 502,5, itd.

Rezultati proračuna prikazani su u tabeli 1.3.

Tabela 1.3.

Eksponencijalni prosjeci

t	Eksponencijalni prosjek		t	Eksponencijalni prosjek
	a =0,1	a =0,5		a =0,1	a =0,5
1	506,4	508	16	505,7	513,3
2	505,5	502,5	17	506,1	511,7
3	505,3	503,2	18	506,1	508,8
4	505,8	506,6	19	507,0	511,9
5	506,1	507,8	20	508,5	517
6	505,8	505,4	21	509,9	520
7	505,2	502,7	22	511,6	523,5
8	504,7	501,4	23	512,8	523,2
9	504,2	500,7	24	514,3	525,6
10	503,4	497,8	25	515,8	527,3
11	502,4	495,9	26	518,0	532,7
12	502,0	497,5	27	520,1	525,8
13	502,0	499,7	28	522,2	538,4
14	502,7	504,4	29	524,3	540,7
15	505,0	514,7	30	525,9	540,9

Slika 1.2. Eksponencijalno izglađivanje vremenska serija cijene akcija: A - stvarni podaci; B - eksponencijalni prosjek na alfa = 0,1; C - eksponencijalni prosjek na alfa = 0,5

At a=0,1 eksponencijalni prosjek ima glatkiji karakter, jer u ovom slučaju, slučajne fluktuacije vremenske serije se apsorbuju u najvećoj meri.

3. Prognoza za adaptivni polinomski model drugog reda formira se u posljednjem koraku zamjenom u jednadžbi modela najnovije vrednosti koeficijenti i vrijednosti - vrijeme isporuke.

Prognoza za 1 dan unaprijed (= 1):

Prognoza za 2 dana unaprijed (= 2):

Bibliografija

1. Dubrova T.A. Statističke metode predviđanje u privredi: Tutorial/ Moskva Državni univerzitet ekonomije, statistike i informatike. - M.: MESI, 2003. - 52 str.

2. Afanasiev V.N., Yuzbashev M.M. Analiza i predviđanje vremenskih serija M.: Finansije i statistika, 2001.

3. Lukashin Yu.P. Metode regresije i adaptivnog predviđanja. Tutorial. – M.: MESI, 1997.

Ako, prilikom analize razvoja objekta prognoze, postoje razlozi da se prihvate dvije osnovne pretpostavke ekstrapolacije o kojima smo gore govorili, tada se proces ekstrapolacije sastoji u zamjeni odgovarajuće vrijednosti vodećih perioda u formulu koja opisuje trend.

Ekstrapolacija, generalno govoreći, daje tačku prediktivnu procjenu. Intuitivno, postoji nedostatak takve procjene i potreba da se dobije intervalna procjena kako bi prognoza, koja pokriva određeni raspon vrijednosti predviđene varijable, bila pouzdanija. Kao što je gore spomenuto, tačna podudarnost između stvarnih podataka i prognoze bodovne procjene dobiveno ekstrapolacijom krivulja trenda je malo vjerojatna pojava. Odgovarajuća greška ima sljedeće izvore:

1) izbor oblika krive koja karakteriše trend sadrži element subjektivnosti. U svakom slučaju, često ne postoji čvrsta osnova za tvrdnju da je odabrani oblik krive jedini mogući, ili čak najbolji za ekstrapolaciju pod datim specifičnim uslovima;

2) procjena parametara krive (drugim riječima, procjena trenda) zasniva se na ograničenom skupu opservacija, od kojih svako sadrži slučajnu komponentu. Zbog toga su parametri krive, a samim tim i njen položaj u prostoru, karakterizirani određenom nesigurnošću;

3) trend karakteriše neki prosječni nivo serije za svaki trenutak vremena. Pojedinačna zapažanja su u prošlosti odstupala od toga. Prirodno je očekivati ​​da će se ovakva odstupanja dešavati u budućnosti.

Greška povezana sa njenim drugim i trećim izvorom može se odraziti u obliku intervala pouzdanosti prognoze kada se prave određene pretpostavke o svojstvu serije. Uz pomoć takvog intervala, prognoza ekstrapolacije tačaka se pretvara u intervalnu.

Sasvim su mogući slučajevi kada je oblik krive koja opisuje trend pogrešno odabran ili kada se trend razvoja u budućnosti može značajno promijeniti i ne slijediti tip krive koji je usvojen tokom usklađivanja. AT poslednji slučaj osnovna pretpostavka ekstrapolacije ne odgovara stvarnom stanju stvari. Pronađena kriva samo izjednačava dinamičku seriju i karakteriše trend samo unutar perioda obuhvaćenog posmatranjem. Ekstrapolacija takvog trenda će neminovno dovesti do pogrešnog rezultata, a greška ove vrste ne može se unaprijed procijeniti. S tim u vezi, možemo samo primijetiti da, po svemu sudeći, treba očekivati ​​povećanje takve greške (ili vjerovatnoće njenog nastanka) sa povećanjem vremenskog perioda predviđanja.

Jedan od glavnih zadataka koji se javljaju prilikom ekstrapolacije trenda je određivanje intervala pouzdanosti prognoze. Intuitivno je jasno da izračunavanje intervala pouzdanosti prognoze treba da se zasniva na metru fluktuacije većeg broja posmatranih vrednosti karakteristike. Što je ova fluktuacija veća, manje je izvjestan položaj trenda u prostoru „nivo – vrijeme“ i širi bi trebao biti interval za opcije prognoze sa istim stepenom povjerenja. Stoga, prilikom konstruisanja intervala pouzdanosti prognoze, treba uzeti u obzir procjenu fluktuacije ili varijacije nivoa serije. Obično je ova procjena prosjek standardna devijacija(standardna devijacija) stvarnih opažanja od izračunatih dobijenih tokom poravnanja dinamičke serije.

Prije nego što pređemo na određivanje intervala povjerenja prognoze, potrebno je napraviti rezervu u pogledu neke konvencionalnosti proračuna koji se razmatra u nastavku. Ono što slijedi je, u određenoj mjeri, proizvoljno proširenje rezultata pronađenih za regresiju mjera uzorka na analizu vremenskih serija. Poenta je da pretpostavka regresiona analiza o normalnosti distribucije odstupanja oko linije regresije ne može se, u suštini, bezuslovno tvrditi u analizi vremenskih serija.

Parametri dobijeni u toku statističke procjene nisu oslobođeni greške povezane s činjenicom da je količina informacija na osnovu kojih je procjena napravljena ograničena, te se u određenom smislu ova informacija može smatrati uzorkom. U svakom slučaju, pomeranje perioda posmatranja za samo jedan korak, ili dodavanje ili eliminisanje članova serije zbog činjenice da svaki član serije sadrži slučajnu komponentu, dovodi do promene numeričkih ocena parametara. Dakle, izračunate vrijednosti snose teret nesigurnosti povezan s greškama u vrijednosti parametara.

AT opšti pogled interval povjerenja za trend je definiran kao

gdje je ¾ standardna greška trenda;

¾ izračunata vrijednost yt;

¾ značenje t-Studentska statistika.

Ako a t = i+ L tada će jednačina odrediti vrijednost intervala povjerenja za trend produžen za L jedinice vremena.

Interval pouzdanosti za prognozu, očigledno, treba da uzme u obzir ne samo nesigurnost u vezi sa pozicijom trenda, već i mogućnost odstupanja od ovog trenda. U praksi postoje slučajevi kada se više ili manje razumno može primijeniti nekoliko tipova krivulja za ekstrapolaciju. U ovom slučaju, obrazloženje se ponekad svodi na sljedeće. Budući da svaka od krivulja karakterizira jedan od alternativnih trendova, očito je da prostor između ekstrapoliranih trendova predstavlja određenu „prirodnu region povjerenja” za predviđenu vrijednost. Sa takvom konstatacijom se ne može složiti. Prije svega zato što svaka od mogućih linija trenda odgovara nekoj prethodno prihvaćenoj razvojnoj hipotezi. Prostor između trendova nije povezan ni sa jednim od njih - kroz njega se može provući neograničen broj trendova. Takođe treba dodati da je interval poverenja povezan sa određenim nivoom verovatnoće da se pređe preko njegovih granica. Razmak između trendova nije vezan ni za jedan nivo vjerovatnoće, već zavisi od izbora tipova krive. Štaviše, sa dovoljno dugim vremenom trajanja, ovaj prostor, po pravilu, postaje toliko značajan da takav „interval pouzdanosti“ gubi svaki smisao.

Pod uslovom da se uzmu u obzir standardne greške procjena parametara jednadžbe trenda (koje su, po definiciji, selektivne, pa stoga ne moraju biti procjene nepoznatih općih parametara zbog manifestacije slučajna greška reprezentativnost), i bez razmatranja redosleda transformacija dobijamo opšta formula interval pouzdanosti prognoze.

gdje je - vrijednost prognoze izračunata jednadžbom trenda za period t+L

¾ standardna greška trenda;

K - koeficijent koji uzima u obzir greške koeficijenata jednačine trenda

¾ značenje t-Studentska statistika.

Koeficijent To izračunati na sledeći način

n ¾ broj opservacija (dužina serije dinamike);

L je broj predviđanja

Vrijednost K zavisi samo od n i L, odnosno od trajanja posmatranja i perioda prognoze.

Primjer izračunavanja prognoze i konstruiranja intervala povjerenja prognoze.

Optimalni trend je linearni trend . Potrebno je izračunati prognoze obima uvoza u Njemačku za 1996. i 1997. godinu. Da biste to učinili, potrebno je odrediti vrijednosti nivoa trenda za vrijednosti faktora vremena 14 i 15.

Obim uvoza u 1996. godini:

Obim uvoza u 1997. godini:

standardna greška trend Sy = 30,727. Koeficijent pouzdanosti Studentove distribucije na nivou značajnosti 0,05 i broju stepeni slobode je 2,16. Koeficijent K je 1,428:

Dakle, donja granica prvog intervala povjerenja je 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Gornja granica je 568,28: 473,452+30,727*2,16*1,428.

Rezultati proračuna moraju biti prikazani u obliku tabele i grafički.

	Stvarna vrijednost obima uvoza u Njemačku za 1996. godinu	Predviđena vrijednost obima uvoza u Njemačkoj za 1996. godinu
Donja granica intervala pouzdanosti od 95%.	Stvarna vrijednost obima uvoza u Njemačku za 1997. godinu	Predviđena vrijednost obima uvoza u Njemačkoj za 1997. godinu	Gornja granica intervala pouzdanosti od 95%.

Ovaj grafikon je nacrtan na sljedeći način:

1) potrebno je napraviti kopiju već postojećeg grafa izglađivanja dinamičke serije sa linearnim trendom

2) dopuniti nedostajuće vrednosti (stvarni nivoi serije za 1996. i 1997. godinu, prognoze za 1996. i 1997. godinu, kao i granice intervala poverenja).

Raspored je donekle uslovljen, jer tačna skala malo je vjerovatno da će biti izloženi. Možete crtati i ručno i koristeći Excel alate za crtanje.

TEST

disciplina „Planiranje i predviđanje

u tržišnim uslovima"

na temu: Intervali pouzdanosti prognoze

Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

Poglavlje 1. Teorijski dio

Intervali pouzdanosti prognoze. Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

1.1 Intervali pouzdanosti prognoze

Posljednji korak u primjeni krivulja rasta je ekstrapolacija trenda na osnovu odabrane jednačine. Predviđene vrijednosti indikatora koji se proučava izračunavaju se zamjenom vremenskih vrijednosti u jednadžbu krive t odgovara vremenu isporuke. Ovako dobijena prognoza naziva se tačkasta prognoza, jer se za svaki trenutak određuje samo jedna vrijednost predviđenog indikatora.

U praksi, pored bodovne prognoze, poželjno je odrediti granice moguće promjene predviđenog indikatora, postaviti "račvu" mogućih vrijednosti predviđenog indikatora, tj. izračunati intervalnu prognozu.

Nepodudarnost između stvarnih podataka i tačke prognoze dobivene ekstrapolacijom trenda iz krivulja rasta može biti uzrokovana:

1. subjektivna zabluda u izboru vrste krive;

2. greška u procjeni parametara krivih;

3. greška povezana sa odstupanjem pojedinačnih opservacija od trenda koji karakteriše određeni prosječni nivo serije u svakom trenutku vremena.

Greška povezana sa drugim i trećim izvorom može se odraziti u obliku intervala pouzdanosti prognoze. Interval pouzdanosti, koji uzima u obzir nesigurnost povezanu sa pozicijom trenda, i mogućnost odstupanja od ovog trenda, definira se kao:

(1.1.),

gdje je n dužina vremenske serije;

L - vrijeme isporuke;

y n + L -prognoza tačke u trenutku n+L;

t a - vrijednost Studentove t-statistike;

S p - srednja kvadratna greška prognoze.

Pretpostavimo da trend karakteriše prava linija:

Budući da su procjene parametara određene populacijom uzorka predstavljenom vremenskom serijom, one sadrže grešku. Greška parametra a o dovodi do vertikalnog pomeranja prave linije, greška parametra a 1 - do promene ugla nagiba prave linije u odnosu na x-osu. Uzimajući u obzir raspršenost specifičnih implementacija u odnosu na linije trenda, varijansu

može se predstaviti kao: (1.2.), - disperzija odstupanja stvarnih opažanja od izračunatih;

t 1 - vrijeme isporuke za koje se vrši ekstrapolacija;

t 1 = n + L ;

t- redni broj nivoa serije, t = 1,2,..., n;

- redni broj nivoa u sredini reda,

Tada se interval pouzdanosti može predstaviti kao:

(1.3.),

Označimo korijen u izrazu (1.3.) kroz K. Vrijednost K zavisi samo od n i L, tj. o dužini reda i vremenu vođenja. Stoga možete napraviti tablice vrijednosti K ili K * \u003d t a K. Tada će procjena intervala izgledati ovako:

(1.4.),

Izraz sličan (1.3.) može se dobiti za polinom drugog reda:

(1.5.), (1.6.),

Disperzija odstupanja stvarnih zapažanja od izračunatih određena je izrazom:

(1.7.),

gdje y t- stvarne vrijednosti nivoa serije,

- izračunate vrijednosti nivoa serije,

n- dužina vremenske serije,

k- broj procijenjenih parametara nivelmanske krive.

Dakle, širina intervala pouzdanosti zavisi od nivoa značajnosti, perioda vođenja, standardne devijacije od trenda i stepena polinoma.

Što je veći stepen polinoma, širi je interval poverenja za istu vrednost Sy, budući da se varijansa jednadžbe trenda izračunava kao ponderisani zbroj varijansi odgovarajućih parametara jednačine

Slika 1.1. Intervali pouzdanosti prognoze za linearni trend

Intervali povjerenja za predviđanja dobivena korištenjem eksponencijalne jednadžbe određuju se na sličan način. Razlika je u tome što se i pri izračunavanju parametara krive i pri izračunavanju srednje kvadratne greške ne koriste vrijednosti samih nivoa vremenskih serija, već njihovi logaritmi.

Ista shema se može koristiti za određivanje intervala povjerenja za određeni broj krivulja sa asimptotama, ako je vrijednost asimptote poznata (na primjer, za modificiranu eksponencijalnu).

Tabela 1.1. date su vrednosti TO* zavisno od dužine vremenske serije n i vrijeme isporuke L za prave linije i parabole. Očigledno, kao dužina serije ( n) vrijednosti TO* smanjenje, sa povećanjem vremena isporuke L vrijednosti TO* povećati. Istovremeno, uticaj olovnog perioda nije isti za različite vrednosti n: što je duža dužina reda, manji je uticaj period vođenja L .

Tabela 1.1.

K* vrijednosti za procjenu intervala pouzdanosti prognoze na osnovu linearnog trenda i paraboličnog trenda sa nivoom pouzdanosti od 0,9 (7).

Linearni trend	parabolički trend
Dužina red (p)	Vrijeme isporuke (L) 1 2 3	dužina reda (p)	vrijeme isporuke (L) 1 2 3
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Poglavlje 2. Praktični dio

Zadatak 1.5. Korištenje adaptivnih metoda u ekonomskom predviđanju

1. Izračunajte eksponencijalni prosjek za vremensku seriju cijene dionica kompanije UM. Kao početnu vrijednost eksponencijalnog prosjeka uzmite prosječnu vrijednost prvih 5 nivoa serije. Vrijednost parametra adaptacije a uzima se jednakom 0,1.

Tabela 1.2.

Cijena dionica IBM-a

t	y t	t	y t	t	y t
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. Prema zadatku br. 1, izračunati eksponencijalni prosjek sa vrijednošću parametra adaptacije a jednako 0,5. Grafički uporedite originalnu vremensku seriju i seriju eksponencijalnih prosjeka dobijenih sa a=0,1 i a=0,5. Označite koji je red glatkiji.

TEST

disciplina „Planiranje i predviđanje

u tržišnim uslovima"

na temu: Intervali pouzdanosti prognoze

Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

Poglavlje 1. Teorijski dio. 3

Poglavlje 2. Praktični dio. 9

Spisak korišćene literature.. 13

Poglavlje 1. Teorijski dio

Intervali pouzdanosti prognoze. Procjena adekvatnosti i tačnosti modela

1.1 Intervali pouzdanosti prognoze

Posljednji korak u primjeni krivulja rasta je ekstrapolacija trenda na osnovu odabrane jednačine. Predviđene vrijednosti indikatora koji se proučavaju izračunavaju se zamjenom vrijednosti vremena t koje odgovara početnom periodu u jednadžbu krive. Ovako dobijena prognoza naziva se tačkasta prognoza, jer se za svaki trenutak određuje samo jedna vrijednost predviđenog indikatora.

U praksi, pored bodovne prognoze, poželjno je odrediti granice moguće promjene predviđenog indikatora, postaviti "račvu" mogućih vrijednosti predviđenog indikatora, tj. izračunati intervalnu prognozu.

Nepodudarnost između stvarnih podataka i tačke prognoze dobivene ekstrapolacijom trenda iz krivulja rasta može biti uzrokovana:

1. subjektivna zabluda u izboru vrste krive;

2. greška u procjeni parametara krivih;

3. greška povezana sa odstupanjem pojedinačnih opservacija od trenda koji karakteriše određeni prosječni nivo serije u svakom trenutku vremena.

Greška povezana sa drugim i trećim izvorom može se odraziti u obliku intervala pouzdanosti prognoze. Interval pouzdanosti, koji uzima u obzir nesigurnost povezanu sa pozicijom trenda, i mogućnost odstupanja od ovog trenda, definira se kao:

gdje je n dužina vremenske serije;

L - vrijeme isporuke;

y n + L -prognoza tačke u trenutku n+L;

t a - vrijednost Studentove t-statistike;

S p - srednja kvadratna greška prognoze.

Pretpostavimo da trend karakteriše prava linija:

Budući da su procjene parametara određene populacijom uzorka predstavljenom vremenskom serijom, one sadrže grešku. Greška parametra a o dovodi do vertikalnog pomeranja prave linije, greška parametra a 1 - do promene ugla nagiba prave linije u odnosu na x-osu. Uzimajući u obzir raspršenost specifičnih implementacija u odnosu na linije trenda, varijansa se može predstaviti kao:

(1.2.),

gdje je varijansa odstupanja stvarnih zapažanja od izračunatih;

t 1 je vrijeme za koje se vrši ekstrapolacija;

t - redni broj nivoa serije, t = 1,2,..., n;

Serijski broj nivoa u sredini reda,

Tada se interval pouzdanosti može predstaviti kao:

(1.3.),

Označimo korijen u izrazu (1.3.) kroz K. Vrijednost K zavisi samo od n i L, tj. o dužini reda i vremenu vođenja. Stoga možete napraviti tablice vrijednosti K ili K * \u003d t a K. Tada će procjena intervala izgledati ovako:

(1.4.),

Izraz sličan (1.3.) može se dobiti za polinom drugog reda:

(1.5.),

(1.6.),

Disperzija odstupanja stvarnih zapažanja od izračunatih određena je izrazom:

(1.7.),

gdje su y t stvarne vrijednosti nivoa serije,

Procijenjene vrijednosti nivoa serije,

n je dužina vremenske serije,

k je broj procijenjenih parametara krive nivelacije.

Dakle, širina intervala pouzdanosti zavisi od nivoa značajnosti, perioda vođenja, standardne devijacije od trenda i stepena polinoma.

Što je veći stepen polinoma, širi je interval poverenja za istu vrednost S y , pošto se varijansa jednačine trenda izračunava kao ponderisani zbir varijansi odgovarajućih parametara jednačine

Slika 1.1. Intervali pouzdanosti prognoze za linearni trend

Intervali povjerenja za predviđanja dobivena korištenjem eksponencijalne jednadžbe određuju se na sličan način. Razlika je u tome što se i pri izračunavanju parametara krive i pri izračunavanju srednje kvadratne greške ne koriste vrijednosti samih nivoa vremenskih serija, već njihovi logaritmi.

Ista shema se može koristiti za određivanje intervala povjerenja za određeni broj krivulja sa asimptotama, ako je vrijednost asimptote poznata (na primjer, za modificiranu eksponencijalnu).

Tabela 1.1. vrijednosti K* su date u zavisnosti od dužine vremenske serije n i prednjeg perioda L za pravu liniju i parabolu. Očigledno, s povećanjem dužine redova (n), vrijednosti K* opadaju, s povećanjem olovnog perioda L, vrijednosti K* se povećavaju. Istovremeno, efekat vodećih perioda nije isti za različite vrednosti n: što je dužina reda duža, to manji uticaj ima period odvođenja L.

Tabela 1.1.

K* vrijednosti za procjenu intervala pouzdanosti prognoze na osnovu linearnog trenda i paraboličnog trenda sa nivoom pouzdanosti od 0,9 (7).

	Linearni trend		parabolički trend
Dužina reda (n)	Vrijeme isporuke (L)	dužina reda (p)	vrijeme isporuke (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Poglavlje 2. Praktični dio

Zadatak 1.5. Korištenje adaptivnih metoda u ekonomskom predviđanju

1. Izračunajte eksponencijalni prosjek za vremensku seriju cijene dionica kompanije UM. Kao početnu vrijednost eksponencijalnog prosjeka uzmite prosječnu vrijednost prvih 5 nivoa serije. Vrijednost parametra adaptacije a uzima se jednakom 0,1.

Tabela 1.2.

Cijena dionica IBM-a

1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. Prema zadatku br. 1, izračunati eksponencijalni prosjek sa vrijednošću parametra adaptacije a jednakom 0,5. Grafički uporedite originalnu vremensku seriju i seriju eksponencijalnih prosjeka dobijenih pri a=0,1 i a=0,5. Označite koji je red glatkiji.

Ako pri analizi razvoja objekta prognoze postoje razlozi da se prihvate dvije osnovne pretpostavke ekstrapolacije, tada se proces ekstrapolacije sastoji u zamjeni odgovarajuće vrijednosti olovnog perioda u formulu koja opisuje trend. Štaviše, ako je iz nekog razloga tokom ekstrapolacije pogodnije postaviti početak odbrojavanja na trenutak koji se razlikuje od početni trenutak prihvaćeno pri procjeni parametara jednačine, tada je za to dovoljno promijeniti konstantni član u odgovarajućem polinomu. Dakle, u jednačini prave, kada se vremenska referenca pomjeri za t godina unaprijed, konstantni član će biti jednak a + bm, za parabolu drugog stepena to će biti a + bt + st2.

Ekstrapolacija, generalno govoreći, daje tačku prediktivnu procjenu. Intuitivno, postoji nedostatak takve procjene i potreba za dobivanjem intervalne procjene kako bi prognoza, koja pokriva određeni raspon vrijednosti predviđene varijable, bila pouzdanija. Kao što je gore spomenuto, malo je vjerovatno tačno podudaranje između stvarnih podataka i prediktivnih procjena tačaka dobijenih ekstrapolacijom krivulja trenda. Odgovarajuća greška ima sledeće izvore: izbor oblika krive koja karakteriše trend sadrži element subjektivnosti. U svakom slučaju, često ne postoji čvrsta osnova za tvrdnju da je odabrani oblik krive jedini mogući, ili čak najbolji za ekstrapolaciju pod datim specifičnim uslovima;

• 1. Procjena parametara krive (drugim riječima, procjena trenda) zasniva se na ograničenom skupu opservacija, od kojih svako sadrži slučajnu komponentu. Zbog toga su parametri krive, a samim tim i njen položaj u prostoru, karakterizirani određenom nesigurnošću;
• 2. Trend karakteriše neki prosječni nivo serije za svaki trenutak vremena. Pojedinačna zapažanja su u prošlosti odstupala od toga. Prirodno je očekivati ​​da će se ovakva odstupanja dešavati u budućnosti.

Greška povezana sa njenim drugim i trećim izvorom može se odraziti u obliku intervala pouzdanosti prognoze kada se prave određene pretpostavke o svojstvu serije. Uz pomoć takvog intervala, prognoza ekstrapolacije tačaka se pretvara u intervalnu. Sasvim su mogući slučajevi kada je oblik krive koja opisuje trend pogrešno odabran ili kada se trend razvoja u budućnosti može značajno promijeniti i ne slijediti tip krive koji je usvojen tokom usklađivanja. U potonjem slučaju, osnovna pretpostavka ekstrapolacije ne odgovara stvarnom stanju stvari. Pronađena kriva samo izjednačava dinamičku seriju i karakteriše trend samo unutar perioda obuhvaćenog posmatranjem. Ekstrapolacija takvog trenda će neminovno dovesti do pogrešnog rezultata, a greška ove vrste ne može se unaprijed procijeniti. S tim u vezi, možemo samo primijetiti da, po svemu sudeći, treba očekivati ​​povećanje takve greške (ili vjerovatnoće njenog nastanka) sa povećanjem vremenskog perioda predviđanja. Jedan od glavnih zadataka koji se javljaju prilikom ekstrapolacije trenda je određivanje intervala pouzdanosti prognoze. Intuitivno je jasno da izračunavanje intervala pouzdanosti prognoze treba da se zasniva na metru fluktuacije većeg broja posmatranih vrednosti karakteristike. Što je ova fluktuacija veća, manje je izvjestan položaj trenda u prostoru "nivo - vrijeme" i širi bi trebao biti interval za opcije prognoze sa istim stepenom povjerenja. Stoga bi pitanje intervala pouzdanosti prognoze trebalo započeti razmatranjem mjerača varijabilnosti. Obično se takav mjerač definira kao standardna devijacija ( standardna devijacija) stvarna zapažanja od izračunatih dobijenih izjednačavanjem vremenske serije. Općenito, standardno odstupanje od trenda može se izraziti kao:

Općenito, interval povjerenja za trend je definiran kao:

Ako je t = i + L, tada će jednačina odrediti vrijednost intervala povjerenja za trend produžen za L jedinica vremena. Interval pouzdanosti za prognozu, očigledno, treba da uzme u obzir ne samo nesigurnost u vezi sa pozicijom trenda, već i mogućnost odstupanja od ovog trenda. U praksi postoje slučajevi kada se više ili manje razumno može primijeniti nekoliko tipova krivulja za ekstrapolaciju. U ovom slučaju, obrazloženje se ponekad svodi na sljedeće. Pošto svaka od krivulja karakteriše jedan od alternativnih trendova, očigledno je da je prostor između ekstrapoliranih trendova neka prirodna oblast poverenja za predviđenu vrednost. Sa takvom konstatacijom se ne može složiti.

Prije svega zato što svaka od mogućih linija trenda odgovara nekoj prethodno prihvaćenoj razvojnoj hipotezi. Prostor između trendova nije povezan ni sa jednim od njih - kroz njega se može provući neograničen broj trendova. Takođe treba dodati da je interval poverenja povezan sa određenim nivoom verovatnoće da se pređe preko njegovih granica. Razmak između trendova nije vezan ni za jedan nivo vjerovatnoće, već zavisi od izbora tipova krive. Štaviše, s dovoljno dugim vremenom vođenja, ovaj prostor, po pravilu, postaje toliko značajan da takav interval povjerenja gubi svaki smisao.

Slika 2 - Pronalaženje maksimalnog intervala korelacije

Animacija: Kadrovi: 20, Broj ponavljanja: 7, Volumen: 55,9 Kb

Za poređenje kvaliteta rješavanja problema prognoziranja u tradicionalnom i predloženom pristupu, koriste se intervali pouzdanosti prognoze za linearni trend. Kao primjer analize uticaja kvalitativnih karakteristika vremenskih serija na dubinu prognoze uzete su tri vremenske serije sa dimenzijom n jednakom 30 sa različitim fluktuacijama oko trenda. Kao rezultat izračunavanja vrijednosti površine sekcija krivulja uzorka autokorelacijske funkcije za optimalnu dubinu prognoze dobijene su sljedeće procjene: za slabo oscilirajuću seriju - 9 nivoa, za srednje oscilirajuće serije - 3 nivoa, za visoko oscilirajuće serije - 1 nivo (slika

Slika 3 - Dobijeni rezultati procjene dubine prognoze

Analiza rezultata pokazuje da čak i uz prosječnu fluktuaciju vrijednosti serije oko trenda, interval povjerenja ispada vrlo širok (sa vjerovatnoćom pouzdanosti od 90%) za period vođenja koji premašuje onaj izračunat po predloženi metod. Već za vođstvo za 4 nivoa, interval pouzdanosti je bio skoro 25% izračunatog nivoa. Vrlo brzo, ekstrapolacija dovodi do statistički neizvjesnih rezultata. Ovo dokazuje mogućnost primjene predloženog pristupa.

Budući da je gornji proračun izvršen na osnovu procjena vrijednosti, čini se da je moguće nacrtati ovisnost procjene dubine ekonomske prognoze od vrijednosti njene osnove postavljanjem vrijednosti vremenskog kašnjenja k i odgovarajuće vrijednosti dubine ekonomske prognoze.

Dakle, predloženo novi pristup za procjenu dubine ekonomske prognoze sintetizuje kvantitativne i karakteristike kvaliteta početne vrijednosti dinamičke serije i omogućava razumne matematička poenta pogled za postavljanje početnog perioda za ekstrapoliranu vremensku seriju.

ekstrapolacija prognoze strateško planiranje