Jednako je konstanti e. Matematika mi se sviđa

Svi znaju geometrijsko značenje brojevi π je obim kruga jediničnog prečnika:

A evo značenja još jedne važne konstante, e, ima tendenciju da se brzo zaboravlja. Odnosno, ne znam za vas, ali svaki put mi je vrijedno truda da se sjetim zašto je ovaj broj jednak 2,7182818284590 tako izvanredan ... (međutim, vrijednost sam zapisao iz sjećanja). Stoga sam odlučio napisati bilješku kako više ne bi izletjelo iz sjećanja.

Broj e po definiciji - granica funkcije y = (1 + 1 / x) x at x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Ova definicija, nažalost, nije jasna. Nije jasno zašto je ova granica izuzetna (uprkos činjenici da se naziva "drugim izuzetnim"). Pomislite samo, uzeli su neku nespretnu funkciju, izračunali granicu. Druga funkcija će imati drugu.

Ali broj e iz nekog razloga se pojavljuje u čitavoj gomili većina različite situacije u matematici.

Za mene glavna tačka brojevi e otkriva se u ponašanju druge, mnogo zanimljivije funkcije, y = k x. Ova funkcija ima jedinstvena nekretnina at k = e, što se može grafički prikazati na sljedeći način:

U tački 0, funkcija poprima vrijednost e 0 = 1. Ako povučemo tangentu u tački x= 0, tada će proći na x-osu pod uglom sa tangentom 1 (in žuti trougao omjer suprotnog kraka 1 i susjednog 1 je 1). U tački 1 funkcija poprima vrijednost e 1 = e. Ako povučemo tangentu u tački x= 1, tada će proći pod uglom sa tangentom e(u zeleni trougao suprotni odnos nogu e susednom 1 je jednako e). U tački 2 vrijednost e 2 funkcija se opet poklapa s tangentom nagiba tangente na nju. Zbog toga, istovremeno, same tangente sijeku x-osu tačno u tačkama −1, 0, 1, 2, itd.

Među svim karakteristikama y = k x(npr. 2 x , 10 x , π x itd.), funkcija e x- jedini ima takvu ljepotu da se tangenta njegovog nagiba u svakoj njegovoj tački poklapa sa vrijednošću same funkcije. Dakle, po definiciji, vrijednost ove funkcije u svakoj tački poklapa se s vrijednošću njenog izvoda u ovoj tački: ( e x)´ = e x. Iz nekog razloga broj e= 2,7182818284590... mora se podići na različitih stepeni da dobijem ovu sliku.

To je, po mom mišljenju, njegovo značenje.

Brojevi π i e uključene su u moju omiljenu formulu - Eulerovu formulu, koja povezuje 5 najvažnijih konstanti - nula, jedan, imaginarna jedan i i zapravo brojevi π i e:

eip + 1 = 0

Zašto je broj 2,7182818284590... in složen stepen 3,1415926535...i odjednom jednako minus jedan? Odgovor na ovo pitanje je izvan okvira bilješke i mogao bi formirati sadržaj male knjige koja bi zahtijevala početno razumijevanje trigonometrije, granica i serija.

Uvijek sam bio zadivljen ljepotom ove formule. Možda ih u matematici ima više neverovatne činjenice, ali za moj nivo (tri na Liceju za fiziku i matematiku i pet za kompleksna analiza na univerzitetu) je najvažnije čudo.

BROJ e
Broj približno jednak 2,718, koji se često nalazi u matematici i prirodne nauke. Na primjer, prilikom loma radioaktivna supstanca nakon vremena t, od početne količine tvari ostaje dio jednak e-kt, gdje je k broj koji karakterizira brzinu raspadanja datu supstancu. Recipročna vrijednost 1/k naziva se prosječnim životnim vijekom atoma date supstance, jer u prosjeku atom postoji vrijeme 1/k prije raspada. Vrijednost 0,693/k naziva se poluživot radioaktivne supstance, tj. vrijeme koje je potrebno da se polovina prvobitne količine supstance raspadne; broj 0,693 je približno jednak loge 2, tj. logaritam od 2 bazi e. Slično, ako se bakterije u hranjivom mediju razmnožavaju brzinom proporcionalnom njihovom broju u ovog trenutka, zatim nakon vremena t početni iznos bakterija N prelazi u Nekt. slabljenje električna struja Ja u jednostavnom krugu sa serijska veza, otpor R i induktivnost L odvijaju se prema zakonu I = I0e-kt, gdje je k = R/L, I0 jačina struje u trenutku t = 0. Slične formule opisuju relaksaciju napona u viskoznoj tekućini i slabljenje magnetsko polje. Broj 1/k se često naziva vremenom opuštanja. U statistici, vrijednost e-kt se javlja kao vjerovatnoća da tokom vremena t nije bilo događaja koji se dešavaju nasumično sa prosječnom učestalošću od k događaja po jedinici vremena. Ako je S iznos novca uložen na r posto uz kontinuirano akruliranje umjesto akrula u diskretnim intervalima, tada će se do vremena t početni iznos povećati na Setr/100. Razlog "sveprisutnosti" broja e je u tome što su formule matematička analiza, koji sadrže eksponencijalne funkcije ili logaritme, pišu se jednostavnije ako se logaritmi prenesu na bazu e, a ne na 10 ili neku drugu bazu. Na primjer, izvod log10 x je (1/x)log10 e, dok je izvod loge x jednostavno 1/x. Slično, izvod od 2x je 2xloge 2, dok je izvod od ex jednostavno ex. To znači da se broj e može definirati kao baza b, za koju graf funkcije y = logb x ima tangentu u tački x = 1 sa faktor nagiba jednak 1, ili za koji kriva y = bx ima tangentu na x = 0 sa nagibom jednakim 1. Logaritmi u bazi e se nazivaju "prirodni" i označavaju se sa ln x. Ponekad se nazivaju i "nepereanskim", što je netačno, jer je u stvari J. Napier (1550-1617) izmislio logaritme sa različitom osnovom: neperijski logaritam broja x je 107 log1 / e (x / 107) (vidi i LOGARITAM). Različite kombinacije potencija e toliko su uobičajene u matematici da imaju posebna imena. To su npr. hiperboličke funkcije

Graf funkcije y = ch x naziva se lančana mreža; teška nerastegljiva nit ili lanac obješen na krajeve ima takav oblik. Eulerove formule

gdje je i2 = -1, povežite broj e sa trigonometrijom. poseban slučaj x = p dovodi do poznate relacije eip + 1 = 0, povezujući 5 najpoznatijih brojeva u matematici. Prilikom izračunavanja vrijednosti e mogu se koristiti i neke druge formule (prva se najčešće koristi):

Vrijednost e sa 15 decimalnih mjesta je 2,718281828459045. Godine 1953. vrijednost e je izračunata sa 3333 decimalna mjesta. Simbol e za ovaj broj uveo je 1731. L. Euler (1707-1783). Decimalno proširenje broja e je neperiodično (e je iracionalan broj). Osim toga, e, kao i p, je transcendentalni broj (nije korijen nijednog algebarska jednačina sa racionalnim koeficijentima). To je 1873. dokazao Sh. Hermit. Po prvi put se pokazalo da je broj koji nastaje na tako prirodan način u matematici transcendentalan.
vidi takođe
MATEMATIČKA ANALIZA ;
NASTAVNI RAZLOMCI ;
TEORIJA BROJEVA;
NUMBER p;
REDOVI.

Collier Encyclopedia. - Otvoreno društvo. 2000 .

Pogledajte šta je "BROJ e" u drugim rječnicima:

broj- Prijem Izvor: GOST 111 90: List stakla. Specifikacije originalni dokument Vidi i povezane pojmove: 109. Broj betatronskih oscilacija ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Npr., s., upotreba. vrlo često Morfologija: (ne) šta? brojevi za šta? broj, (vidi) šta? broj od? broj o čemu? o broju; pl. šta? brojevi, (ne) šta? brojevi za šta? brojevi, (vidi) šta? brojevi nego? brojevi o čemu? o matematičkim brojevima 1. Broj ... ... Rječnik Dmitrieva

BROJ, brojevi, pl. brojevi, brojevi, brojevi, up. 1. Koncept, služi kao izraz količine, ono čime se vrši prebrojavanje predmeta i pojava (mat.). Integer. Razlomak broj. imenovani broj. Prost broj. (pogledajte jednostavno 1 u 1 vrijednost).… … Objašnjavajući Ušakovljev rječnik

Sažetak, lišen posebnog sadržaja, oznaka bilo kojeg člana određenog niza, u kojem ovom članu prethodi ili slijedi neki drugi određeni član; apstraktna individualna karakteristika koja razlikuje jedan skup od ... ... Philosophical Encyclopedia

Broj- Broj gramatička kategorija izražavanje kvantitativne karakteristike objekti misli. gramatički broj jedna od manifestacija opštijeg kategorija jezika količina (vidi kategoriju Jezik) zajedno sa leksička manifestacija("leksički ... ... Lingvistički enciklopedijski rječnik

ALI; pl. brojevi, sela, slam; cf. 1. Obračunska jedinica koja izražava jednu ili drugu količinu. Razlomak, cijeli, prosti sati Parni, neparni sati. Broje se kao okrugli brojevi (približno, brojeći cijelim jedinicama ili deseticama). Prirodni sati (pozitivan cijeli broj... enciklopedijski rječnik

sri količina, broj, na pitanje: koliko? i sam znak koji izražava količinu, figuru. Bez broja; nema broja, nema broja, mnogo mnogo. Postavite aparate prema broju gostiju. Rimski, arapski ili crkveni brojevi. Integer, contra. razlomak...... Dahl's Explantatory Dictionary

BROJ, a, pl. brojevi, sela, slam, up. 1. Osnovni koncept matematike je vrijednost, uz pomoć koje se izračunava roj. Cjelobrojni sati Razlomak sati Realni sati Složeni sati Prirodni sati (cijeli broj pozitivan broj). Jednostavna h. ( prirodni broj, ne… … Objašnjavajući Ožegovov rječnik

BROJ "E" (EXP), iracionalni broj koji služi kao osnova prirodnih LOGARITAMA. Važi decimalni broj, beskonačan razlomak jednak 2,7182818284590...., je granica izraza (1/) dok n teži beskonačnosti. Zapravo,… … Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

Količina, gotovina, sastav, snaga, kontingent, iznos, brojka; dan.. sri. . Vidi dan, količina. ne veliki broj, nema broja, raste u broju ... Rječnik ruskih sinonima i izraza sličnih po značenju. ispod. ed. N. Abramova, M.: Rusi ... ... Rečnik sinonima

Knjige

• Ime i prezime. Tajne numerologije. Izlazak iz tijela za lijene. Udžbenik o ekstrasenzornoj percepciji (broj tomova: 3)
• Ime i prezime. Novi pogled na brojke. Numerologija - način znanja (broj tomova: 3), Lawrence Shirley. Ime i prezime. Tajne numerologije. Knjiga Shirley B. Lawrence je sveobuhvatna studija o drevnom ezoteričnom sistemu - numerologiji. Da naučite kako koristiti vibracije brojeva za…

Opisivanje e kao "konstante približno jednake 2,71828..." je kao da zovete broj pi " iracionalan broj, približno jednako 3,1415 ... ". Nema sumnje da jeste, ali suština nam i dalje izmiče.

Broj pi je omjer obima kruga i njegovog prečnika, isti za sve krugove.. Ovo je osnovna proporcija zajednička svim kružnicama, pa je stoga uključena u izračunavanje obima, površine, zapremine i površine za krugove, sfere, cilindre itd. Pi pokazuje da su svi krugovi povezani, da ne spominjemo trigonometrijske funkcije izvedeno iz krugova (sinus, kosinus, tangenta).

Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. Broj e vam omogućava da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog indikatora, normalnog rasta, u kojem svake nanosekunde (ili čak i brže) sve raste za malo više.

Broj e učestvuje u eksponencijalnom i konstantnom sistemu rasta: stanovništvo, radioaktivnog raspada, obračun kamata i mnoge, mnoge druge. Čak i stepenasti sistemi koji ne rastu jednoliko mogu se aproksimirati brojem e.

Baš kao što se bilo koji broj može posmatrati kao "skalarisana" verzija 1 (osnovna jedinica), bilo koji krug se može posmatrati kao "skalarisana" verzija jedinični krug(sa radijusom 1). I bilo koji faktor rasta može se smatrati "skaliranom" verzijom e ("jedan" faktor rasta).

Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sistemi skalirane verzije iste metrike.

Koncept eksponencijalnog rasta

Počnimo sa osvrtom na osnovni sistem koji dubl iza određenom periodu vrijeme. Na primjer:

• Bakterije se dijele i "udvostručuju" svaka 24 sata
• Dobijamo duplo više rezanaca ako ih prepolovimo
• Vaš novac se udvostručuje svake godine ako dobijete 100% profita (sreća!)

A izgleda otprilike ovako:

Dijeljenje sa dva ili udvostručavanje je vrlo jednostavna progresija. Naravno, možemo utrostručiti ili četverostruko, ali udvostručavanje je pogodnije za objašnjenje.

Matematički, ako imamo x podjela, dobićemo 2^x puta više dobra nego što smo imali na početku. Ako se napravi samo 1 particija, dobijamo 2^1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobijamo 2^4=16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:

rast= 2 x

Drugim riječima, udvostručenje je povećanje od 100%. Ovu formulu možemo prepisati ovako:

rast= (1+100%) x

Ovo je ista jednakost, samo smo "2" podijelili na njegove sastavne dijelove, što je u suštini ovaj broj: početna vrijednost(1) plus 100%. Pametno, zar ne?

Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi omjer. Opća formula za x perioda vremenske serije će izgledati ovako:

rast = (1+rast) x

To jednostavno znači da koristimo stopu povrata, (1 + rast), "x" puta za redom.

Pogledajmo izbliza

Naša formula pretpostavlja da se rast odvija u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju, čekaju, a onda bam!, i ulaze last minute udvostručuju se u broju. Naš profit na kamatu od depozita magično se pojavljuje tačno nakon 1 godine. Na osnovu gore napisane formule, profit raste u koracima. Zelene tačke se pojavljuju iznenada.

Ali svijet nije uvijek ovakav. Ako uvećamo, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:

Zeleni klinac ne nastaje ni iz čega: ono polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog perioda (24 sata u našem slučaju), zeleni prijatelj je već potpuno zreo. Sazrevši, on postaje punopravni plavi član stada i može sam stvoriti nove zelene ćelije.

Hoće li ova informacija nekako promijeniti našu jednačinu?

Ne. U slučaju bakterija, poluformirane zelene ćelije još uvijek ne mogu ništa učiniti dok ne odrastu i potpuno se odvoje od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je tačna.

BROJ e. Broj približno jednak 2,718, koji se često nalazi u matematici i nauci. Na primjer, tokom raspada radioaktivne supstance nakon nekog vremena t od početne količine tvari ostaje dio jednak e–kt, gdje k- broj koji karakteriše brzinu raspada date supstance. Recipročno 1/ k naziva se prosječnim životnim vijekom atoma date supstance, budući da u prosjeku atom prije raspadanja postoji neko vrijeme 1/ k. Vrijednost 0.693/ k se naziva poluživot radioaktivne supstance, tj. vrijeme koje je potrebno da se polovina prvobitne količine supstance raspadne; broj 0,693 je približno jednak log e 2, tj. osnovni logaritam od 2 e. Slično, ako se bakterije u hranjivom mediju razmnožavaju brzinom proporcionalnom njihovom broju u ovom trenutku, onda nakon vremena t početni broj bakterija N pretvara u Ne kt. Slabljenje električne struje I u jednostavnom kolu sa serijskim spojem, otpor R i induktivnost L dešava se po zakonu ja = ja 0 e–kt, gdje k = R/L, I 0 - jačina struje u tom trenutku t= 0. Slične formule opisuju relaksaciju napona u viskoznoj tekućini i prigušenje magnetnog polja. Broj 1/ kčesto se naziva vrijeme opuštanja. U statistici, vrijednost e–kt javlja se kao vjerovatnoća da će tokom vremena t nije bilo događaja koji su se dešavali nasumično sa prosečnom učestalošću k događaja u jedinici vremena. Ako a S- iznos uloženog novca r kamate sa kontinuiranim obračunom umjesto obračunavanjem u diskretnim intervalima, zatim po vremenu t početni iznos će se povećati na Setr/100.

Razlog "sveprisutnosti" broja e je da se formule matematičke analize koje sadrže eksponencijalne funkcije ili logaritme lakše pišu ako se logaritmi uzmu u bazi e, ne 10 ili neka druga baza. Na primjer, derivat log 10 x jednako (1/ x)log 10 e, dok je derivat log ex je samo 1/ x. Slično, derivacija od 2 x jednako 2 x log e 2, dok je derivat od e x jednako pravedno ex. To znači da je broj e može se definisati kao osnova b, za koji je graf funkcije y= log b x ima u tački x= 1 tangenta sa nagibom jednakim 1, ili na kojoj je kriva y = b x ima unutra x= 0 tangenta sa nagibom jednakim 1. Osnovni logaritmi e nazivaju se "prirodnim" i označavaju se sa ln x. Ponekad se nazivaju i "nepereanskim", što je netačno, jer je u stvarnosti J. Napier (1550–1617) izmislio logaritme sa različitom osnovom: neperijski logaritam broja x jednako 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Kombinacije različitih stepena e su toliko česti u matematici da imaju posebna imena. To su, na primjer, hiperboličke funkcije

Funkcijski grafikon y=ch x zove se kontaktna mreža; teška nerastegljiva nit ili lanac obješen na krajeve ima takav oblik. Eulerove formule

gdje i 2 = -1, broj povezivanja e sa trigonometrijom. poseban slučaj x = p vodi do čuvene veze ip+ 1 = 0, povezujući 5 najpoznatijih brojeva u matematici.

| Eulerov broj (E)

e - baza prirodnog logaritma, matematička konstanta, iracionalni i transcendentalni broj. Približno jednako 2,71828. Ponekad se zove broj Eulerov broj ili Napier broj. Označeno malim slovima latinično pismo « e».

Priča

Broj e prvi put se pojavio u matematici kao nešto beznačajno. To se dogodilo 1618. godine. U dodatku djelu Johna Napiera o logaritmima, data je tabela prirodnih logaritama razni brojevi. Međutim, niko nije shvatio da su to bazni logaritmi e , budući da takva stvar kao baza nije bila uključena u koncept logaritma tog vremena. Ovo je sada ono što zovemo logaritam, stepen na koji se baza mora podići da bi se dobio traženi broj. Na ovo ćemo se vratiti kasnije. Tabelu u dodatku je najvjerovatnije napravio Ougthred, iako autor nije naveden. Nekoliko godina kasnije, 1624. godine, ponovo se pojavljuje matematička literatura e , ali opet prikriveno. Ove godine, Briggs je dao numeričku aproksimaciju logaritma baze 10 e , već sam broj e nije spomenut u njegovom radu.

Sljedeće pojavljivanje broja e opet sumnjivo. Godine 1647. Saint-Vincent je izračunao površinu hiperboličkog sektora. Da li je shvatio vezu sa logaritmima, može se samo nagađati, ali i da je shvatio, malo je vjerovatno da bi mogao doći do samog broja e . Tek 1661. Hajgens je shvatio vezu između jednakokračne hiperbole i logaritma. On je dokazao da je površina ispod grafa jednakokračne hiperbole xy = 1 jednakokračna hiperbola na intervalu od 1 do e je 1. Ova nekretnina čini e bazi prirodnih logaritama, ali tadašnji matematičari to nisu razumeli, ali su se polako približavali tom shvatanju.

Huygens je napravio sljedeći korak 1661. Definirao je krivu koju je nazvao logaritamskom (u našoj terminologiji ćemo je nazvati eksponencijalnom). Ovo je kriva forme y = ka x . I opet postoji decimalni logaritam e , koje Huygens nalazi sa 17 decimalnih cifara. Međutim, nastao je kod Huygensa kao neka vrsta konstante i nije bio povezan s logaritmom broja (pa su se opet približili e , već sam broj e ostaje nepoznato).

U daljem radu na logaritmima, opet broj e se ne pojavljuje eksplicitno. Međutim, proučavanje logaritama se nastavlja. Godine 1668. Nicolaus Mercator je objavio djelo Logarithmotechnia, koji sadrži proširenje serije log (1 + x) . U ovom radu Mercator prvo koristi naziv “ prirodni logaritam” za osnovni logaritam e . Broj e očito se više ne pojavljuje, ali ostaje neuhvatljiv negdje u daljini.

Iznenađujuće, broj e eksplicitno nastaje po prvi put ne u vezi sa logaritmima, već u vezi sa beskonačnim proizvodima. 1683. Jacob Bernoulli pokušava pronaći

On koristi binomnu teoremu da dokaže da je ova granica između 2 i 3, a to možemo zamisliti kao prvu aproksimaciju broja e . Iako ovo uzimamo kao definiciju e , ovo je prvi put da je broj definiran kao granica. Bernuli, naravno, nije razumeo vezu između njegovog rada i rada na logaritmima.

Prethodno je spomenuto da logaritmi na početku njihovog proučavanja nisu ni na koji način povezani sa eksponentima. Naravno, iz jednačine x = a t nalazimo to t = log x , ali ovo je mnogo kasniji način opažanja. Ovdje zapravo pod logaritmom podrazumijevamo funkciju, dok se u početku logaritam smatrao samo kao broj koji je pomogao u proračunima. Možda je Jacob Bernoulli bio prvi koji je to shvatio logaritamska funkcija je obrnuto eksponencijalna. S druge strane, prvi koji je povezao logaritme i stepene mogao bi biti James Gregory. On je 1684. godine definitivno prepoznao vezu između logaritama i potencija, ali možda nije bio prvi.

Znamo da je broj e pojavio se u obliku kakav je sada, 1690. Leibniz je u pismu Huygensu koristio oznaku za to b . Konačno e pojavila se oznaka (iako se nije poklapala sa modernom), i ova oznaka je prepoznata.

Godine 1697. Johann Bernoulli počinje proučavati eksponencijalnu funkciju i objavljuje Principia calculi exponentialum seu percurrentium. U ovom radu izračunavaju se zbroji različitih eksponencijalnih redova, a neki rezultati se dobijaju njihovim integracijom pojam po član.

Leonhard Euler je predstavio toliko mnogo matematička notacija, što ne čudi da je oznaka e takođe pripada njemu. Čini se smiješnim reći da je koristio pismo e jer je to prvo slovo njegovog imena. Verovatno nije čak ni zato e preuzeto iz riječi “eksponencijalni”, već jednostavno sljedeći samoglasnik iza “a”, a Ojler je već koristio oznaku “a” u svom radu. Bez obzira na razlog, oznaka se prvi put pojavljuje u pismu Eulera Goldbachu 1731. godine. Do mnogih otkrića došao je proučavajući e kasnije, ali tek 1748. godine Introductio in Analysin infinitorum dao je puno opravdanje za sve ideje vezane za e . On je to pokazao

Ojler je takođe pronašao prvih 18 decimala broja e :

Istina, bez objašnjenja kako ih je dobio. Izgleda da je sam izračunao ovu vrijednost. U stvari, ako uzmete oko 20 članova serije (1), dobićete tačnost koju je dobio Euler. Između ostalih zanimljivi rezultati u svom radu odnos između funkcija sinusa i kosinusa i kompleksa eksponencijalna funkcija, koju je Euler izveo iz De Moivreove formule.

Zanimljivo je da je Euler čak pronašao proširenje broja e u kontinuirane razlomke i dao primjere takvih proširenja. Posebno je primio

Ojler nije dao dokaz da se ovi razlomci nastavljaju na isti način, ali je znao da ako postoji takav dokaz, onda će dokazati iracionalnost e . Zaista, ako je kontinuirani razlomak za (e - 1) / 2 , nastavljen na isti način kao u gornjem uzorku, 6,10,14,18,22,26, (svaki put kada dodamo 4), onda se nikada ne bi prekinuo, i (e-1) / 2 (i zbog toga e ) ne može biti racionalno. Očigledno, ovo je prvi pokušaj dokazivanja iracionalnosti e .

Prvi koji je izračunao prilično veliki broj decimalnih mjesta e , bio je Shanks 1854. Glaisher je pokazao da su prvih 137 znakova koje je Shanks izračunao bili tačni, ali je onda pronašao grešku. Shanks je to ispravio i primljeno je 205 decimalnih mjesta e . U stvari, potrebno je oko 120 članova proširenja (1) da se dobije 200 tačnih cifara broja e .

Godine 1864. Benjamin Pierce (Peirce) stajao je za tablom na kojoj je pisalo

Na svojim predavanjima bi mogao reći svojim studentima: "Gospodo, nemamo pojma šta ovo znači, ali možemo biti sigurni da to znači nešto veoma važno."

Većina vjeruje da je Euler dokazao iracionalnost broja e . Međutim, to je učinio Hermite 1873. To je još uvijek ostalo otvoreno pitanje da li broj e e algebarski. Konačni rezultat u ovom smjeru je da barem jedan od brojeva e e i e e 2 je transcendentan.

Zatim su izračunate sljedeće decimale e . Godine 1884, Boorman je izračunao 346 cifara broja e , od kojih se prvih 187 poklopilo sa znakovima Shanksa, ali su se kasniji razlikovali. Adams je 1887. izračunao 272 cifre decimalni logaritam e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Broj e.