Riješite kvadratne jednačine. Racionalne jednačine

Predmet

algebra

Klasa

Tema i broj lekcije u temi

"Kvadratne jednačine"; Lekcija 14

Basic Tutorial

Algebra 8, ed. Sh.A. Alimov i dr., Moskva: Obrazovanje, 2009

5. Svrha lekcije: popraviti algoritme za rješavanje bikvadratnih i frakciono racionalnih jednačina.

6. Zadaci:

- edukativni: poznaju oblik bikvadratne i frakciono racionalne jednadžbe; biquad algoritam rješenja

i frakciono racionalnu jednačinu; biti sposoban rješavati bikvadratne i frakciono racionalne jednadžbe;

-u razvoju : formiranje sposobnosti da se istakne glavna stvar, uporedi, analizira i izvuče zaključci;

formiranje sposobnosti formuliranja kognitivnih zadataka, planiranja kognitivne aktivnosti;

razvijati osobine ličnosti - marljivost, tačnost, upornost u postizanju cilja;

- edukativni: proizvodnja objektivna evaluacija njihova dostignuća; formiranje odgovornosti;

razvoj vještina timskog rada.

7. Vrsta časa: atsudbina konsolidacije znanja.

8. Oblici rada studenata: frontalni, individualni;grupa.

9. Potrebna tehnička oprema: kompjuter, projektor, ID.

TEHNOLOŠKA KARTA ČASA

Didaktički struktura neba obilazak lekcije	Metodološka struktura časa
Didaktički struktura neba obilazak lekcije		Ažuriranje znanja	Formiranje ZUN-a	Sidrenje	Kontrola		kućni brifing
	Priprema učenika za rad u učionici	Pružiti motivaciju, ažurirati osnovna znanja i vještine	Ponovite algoritam za rješavanje bikvadra. ur-th i načini rješavanja fractional-rac. jednačine	Znati algoritam za rješavanje bikvadra. ur-th i načini rješavanja fractional-rac. jednačine i sposobnost njihove primjene u praksi	Grupni rad	Izvršiti analizu i procjenu uspješnosti postizanja cilja lekcije i zacrtati izglede za budući rad	Pružiti razumijevanje svrhe, sadržaja i metoda izvođenja d/z
		Danas ćemo biti dodekaedar. Da biste popravili lica dodekaedra, morate riješiti određene vrste jednačine. Koju vrstu jednačine ste naučili rješavati u prethodnim lekcijama?	1. Zajedno sa učenikom formulirajte cilj časa 2. Ponoviti algoritam za rješavanje bikvadratne jednačine; uslovi jednakosti razlomka 0; formula kvadratnog korijena. jednačine	1. Predloženo je nekoliko varijanti formule kvadratnog korijena. ur. - odaberite ispravan pres. L. br. 2 2. Uspostavite korespondenciju između faza algoritma i tačaka rješavanja bikea. ur-i Prez. L. br. 3 3. Od tri odgovora izaberite uslov za postojanje razlomka Prez. L. br. 4 4.Pronađi grešku u rješenju ur. Pres. L. br. 5	Grupe različitih nivoa izvršavaju zadatke na karticama. Aplikacija #1 Na slajdu su lica dodekaedra sa tačnim odgovorima. Pres. l. br. 6. Svakom timu je unapred dodeljena boja, ako je tim tačno rešio jednačine, tada će njegova izabrana lica odgovarati njegovoj boji na tri mesta. Na kraju rada učenici provjeravaju rezultate konstruisanja dodekaedra.	Nastavnik zajedno sa učenicima sumira obavljeni rad.	Radite na greškama: popravite rješenje jednačina razredni rad koji su imali greške
Nastavne metode		reproduktivni	reproduktivni	Djelomična pretraga	Djelomično istraživački, istraživački, samokontrola	Samokontrola	Samokontrola
Forms org. kognitivni-		Frontalni	Frontalni	Frontalni	grupa	Pojedinačno, frontalno	Frontalni
Pravi rezultat	Svi učenici su uključeni u radno okruženje	Učenici su pripremljeni za aktivno učenje kognitivna aktivnost	Učenici su se upoznali sa jednadžbama koje se svode na kvadratne i načinima njihovog rješavanja	Učenici znaju rješavati kvadratne jednačine.	Učenici imaju predstavu o stepenu asimilacije gradiva koji proučavaju, o postignućima i prazninama u proučavanoj temi	Učenik je izvršio samoprovjeru znanja i vještina na temu, donio je zaključak o rezultatu njihovog rada	Stvoreni uslovi za izradu domaćih zadataka

U ovom članku ću vam pokazati sedam tipova algoritama rješenja racionalne jednačine , koje se promjenom varijabli svode na kvadratne. U većini slučajeva, transformacije koje dovode do zamjene su vrlo netrivijalne i prilično je teško sami pretpostaviti o njima.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijabli u njoj, a zatim ću pokazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorijalu.

Imate priliku da sami nastavite rješavati jednadžbe, a zatim provjerite svoje rješenje pomoću video tutorijala.

Dakle, počnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Imajte na umu da je proizvod četiri zagrade na lijevoj strani jednačine, a broj na desnoj strani.

1. Grupirajmo zagrade po dva tako da zbir slobodnih članova bude isti.

2. Pomnožite ih.

3. Hajde da uvedemo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi grupiramo prvu zagradu s trećom, a drugu s četvrtom, budući da (-1) + (-4) = (-7) + 2:

U ovom trenutku, promjena varijable postaje očigledna:

Dobijamo jednačinu

odgovor:

2 .

Jednačina ovog tipa je slična prethodnoj sa jednom razlikom: na desnoj strani jednačine je proizvod broja po. A to se rješava na potpuno drugačiji način:

1. Grupiramo zagrade po dva tako da je proizvod slobodnih pojmova isti.

2. Pomnožimo svaki par zagrada.

3. Iz svakog faktora uzimamo x iz zagrade.

4. Podijelite obje strane jednačine sa .

5. Uvodimo promjenu varijable.

U ovoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo sa četvrtom, a drugu sa trećom, jer:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izvadimo množitelj iz svake zagrade:

Budući da x=0 nije korijen originalne jednadžbe, obje strane jednačine dijelimo sa . Dobijamo:

Dobijamo jednačinu:

odgovor:

3 .

Imajte na umu da su nazivnici oba razlomka kvadratni trinomi, u kojima su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvlačimo, kao u jednadžbi drugog tipa, x iz zagrade. Dobijamo:

Podijelite brojilac i imenilac svakog razlomka sa x:

Sada možemo uvesti promjenu varijable:

Dobijamo jednačinu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednačine simetrični u odnosu na centralni. Takva jednačina se zove povratno .

Da to riješim

1. Podijelite obje strane jednačine sa (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednačine.) Dobijamo:

2. Grupirajte pojmove na ovaj način:

3. U svakoj grupi izvlačimo zajednički faktor:

4. Hajde da uvedemo zamjenu:

5. Izrazimo izraz u terminima t:

Odavde

Dobijamo jednačinu za t:

odgovor:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju strukturu homogene mogu se naići pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednačine, pa ga treba prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj jednakosti, A, B i C su brojevi, a isti izrazi su označeni kvadratom i krugom. To jest, na lijevoj strani homogene jednačine je zbir monoma koji imaju isti stepen (u ovaj slučaj stepen monoma je 2) i nema slobodnog člana.

Riješiti homogena jednačina, podijeliti oba dijela sa

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti da li su korijeni izraza kojim dijelimo oba dijela jednačine korijeni izvorne jednačine.

Idemo prvim putem. Dobijamo jednačinu:

Sada uvodimo zamjenu varijable:

Pojednostavite izraz i dobijte bikvadratnu jednadžbu za t:

odgovor: ili

7 .

Ova jednačina ima sljedeću strukturu:

Da biste ga riješili, trebate odabrati na lijevoj strani jednačine pun kvadrat.

Da biste odabrali cijeli kvadrat, trebate dodati ili oduzeti dvostruki proizvod. Tada dobijamo kvadrat zbira ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijable.

Počnimo s pronalaženjem dvostrukog proizvoda. To će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi dvostruki proizvod jednaki

Hajde sada da shvatimo šta nam je zgodnije da imamo - kvadrat zbira ili razlike. Razmotrimo, za početak, zbir izraza:

Odlično! ovaj izraz je tačno jednak dvostrukom proizvodu. Zatim, da biste dobili kvadrat sume u zagradama, trebate dodati i oduzeti dvostruki proizvod:

Kvadratna jednačina je jednačina ax²+bx+c=0, gdje su a, b, c dati brojevi, a0, x je nepoznanica. Koeficijenti a, b, c kvadratne jednačine obično se nazivaju na sljedeći način: a - prvi ili najveći koeficijent, b - drugi koeficijent, c - slobodni član. Na primjer, u jednačini 3x²-x+2=0, stariji (prvi) koeficijent a=3, drugi koeficijent b=-1 i slobodni član c=2. Rješenje mnogih problema matematike, fizike, tehnologije svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. Prilikom rješavanja mnogih zadataka dobijaju se jednadžbe koje se uz pomoć algebarske transformacije svedeno na kvadrat. Na primjer, jednačina 2x²+3x=x²+2x+2, nakon što prenese sve svoje članove na lijevu stranu i dovede slične članove, svodi se na kvadratnu jednačinu x²+x-2=0.

Razmotrite jednačinu opšti pogled: ax²+bx+c=0, gdje je a0. Korijeni jednadžbe se nalaze po formuli: Izraz se naziva diskriminanta kvadratne jednačine. Ako je D 0, onda jednačina ima dva realna korijena. U slučaju kada je D=0, ponekad se kaže da kvadratna jednadžba ima dva identična korijena.

Nepotpune kvadratne jednadžbe. Ako su u kvadratnoj jednadžbi ax²+bx+c=0 drugi koeficijent b ili slobodni član c jednaki nuli, tada se kvadratna jednačina naziva nepotpunom. Nepotpuna kvadratna jednadžba može imati jedan od sledeće vrste: Nepotpune jednačine razlikuju se jer da biste pronašli njihove korijene, ne možete koristiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe - lakše je riješiti jednadžbu tako što ćete njenu lijevu stranu faktorisati u faktore.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 +px+q=0 naziva se redukovana. U ovoj jednačini vodeći koeficijent jednako jedan: a=1. Korijeni gornje kvadratne jednadžbe nalaze se po formuli: Ovu formulu je zgodno koristiti kada je p paran broj. Primjer: Riješite jednačinu x 2 -14x-15=0. Prema formuli nalazimo: Odgovor: x 1 = 15, x 2 = -1.

François Viet? Vietin teorem. Ako redukovana kvadratna jednadžba x 2 +px+q=0 ima realne korijene, tada je njihov zbir jednak -p, a proizvod je jednak q, odnosno x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q (zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom iz suprotan znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu). Istraživanje veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Tvrdnja 1: Neka su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 +px+q=0. Tada su brojevi x 1, x 2, p, q povezani jednakostima: x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q Izjava 2: Neka su brojevi x 1, x 2, p, q biti povezani jednakostima x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q. Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0 Posljedica: x 2 + px + q = (x-x 1) (x-x 2). Situacije u kojima se može koristiti Vietina teorema. Provjera ispravnosti pronađenih korijena. Određivanje predznaka korijena kvadratne jednadžbe. Usmeno nalaženje cjelobrojnih korijena date kvadratne jednadžbe. Kompilacija kvadratnih jednadžbi sa datim korijenima. Raspadanje kvadratni trinom za množitelje.

Bikvadratne jednačine Bikvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je 0. Bikvadratna jednadžba se rješava uvođenjem nove varijable: stavljajući, dobijamo kvadratnu jednačinu t2=3. Sada se problem svodi na rješavanje jednačina x 2 = -7, x 2 =3. Prva jednadžba nema realne korijene, iz druge nalazimo: koji su korijeni date bikvadratne jednadžbe.

Rješavanje zadataka pomoću kvadratnih jednadžbi. Zadatak 1: Autobus je išao od autobuske stanice do aerodroma, koji se nalazi na udaljenosti od 40 km. Nakon 10 minuta, putnik u taksiju je krenuo za autobusom. Brzina taksija je 20 km/h veća od brzine autobusa. Pronađite brzinu taksija i autobusa ako su stigli na aerodrom u isto vrijeme. Brzina V (km/h) Vrijeme t (h) Udaljenost S (km) Busx40 TaxiX+2040 Za 10 min 10 min =h Sastavite i riješite jednačinu:

Pomnožimo obje strane jednadžbe sa 6x(x+20), dobićemo: Korijene ove jednadžbe: Za ove vrijednosti x, nazivnici razlomaka uključenih u jednadžbu nisu jednaki 0, stoga su korijene jednadžbe. Pošto je brzina sabirnice pozitivna, samo jedan korijen zadovoljava uslov zadatka: x=60. Dakle, taksi brzina je 80 km/h. Odgovor: Brzina autobusa je 60 km/h, brzina taksija je 80 km/h.

Zadatak 2: Prvi daktilograf troši 3 sata manje na ponovno štampanje rukopisa od drugog. Radeći istovremeno, završili su preštampanje cijelog rukopisa za 6 sati i 40 minuta. Koliko vremena bi svakom od njih trebalo da preštampa cijeli rukopis? Broj rada po satu Vrijeme t (h) Količina rada Prvi daktilograf x1 Drugi daktilograf x + 31 Zajedno 6 sati 40 minuta 6 sati 40 minuta = 6 sati Napišite i riješite jednačinu:

Ova jednadžba se može napisati na sljedeći način: Množenjem obje strane jednadžbe sa 20x(x+3) dobijamo: Korijene ove jednadžbe: Za ove vrijednosti x, nazivnici razlomaka uključenih u jednadžbu nisu jednako 0, dakle - korijeni jednadžbe. Pošto je vrijeme pozitivno, x=12h. Dakle, prvi daktilograf provodi 12 sati na poslu, drugi - 12 sati + 3 sata = 15 sati Odgovor: 12 sati i 15 sati 15

Francois Viet Francois Viet rođen je 1540. godine u Francuskoj. Vietin otac je bio tužilac. Sin je izabrao očevu profesiju i postao advokat nakon što je diplomirao na Univerzitetu Poitou. Godine 1563. napustio je pravo i postao učitelj u plemićkoj porodici. Upravo je nastava kod mladog pravnika izazvala interesovanje za matematiku. Viet se seli u Pariz, gdje je lakše učiti o dostignućima vodećih evropskih matematičara. Od 1571. godine, Viet zauzima važne vladina mjesta, ali je 1584. uklonjen i protjeran iz Pariza. Sada je imao priliku da se ozbiljno bavi matematikom. Godine 1591. objavio je raspravu "Uvod u analitičku umjetnost", gdje je pokazao da se, operirajući simbolima, može dobiti rezultat primjenjiv na sve relevantne veličine. Čuvena teorema objavljena je iste godine. Dobio je veliku slavu pod Henrikom II tokom Francusko-španskog rata. U roku od dvije sedmice, nakon što je dan i noć sjedio na poslu, pronašao je ključ španske šifre. Umro u Parizu 1603. godine, sumnja se da je ubijen.

Razmotrimo Cauchyjev problem: (14) (15) gdje su parametri. U nastavku ćemo kroz rješenje Cauchyjevog problema (14),(15) razmatrati funkcionalnosti koje zavise od parametara. Tada će jednadžbe gradijenta zavisiti od izvoda u odnosu na rješenje problema (14), (15)...

Identifikacija parametara oscilirajućih procesa u divljini, modeliranih diferencijalnim jednadžbama

Pišemo Cauchyjev problem za Lotkine jednačine (5) stavka 2 koristeći više standarda matematička notacija: , (1) , (2) Cauchyjev problem (17), (18) stavka 1 će biti sljedeći: , , (3) , (4) Kao što vidimo, Cauchyjev problem (1), (2), (3), (4) polinom...

Invarijantnost stacionarne distribucije mreže sa tri čvora queuing

Pretpostavimo da postoji stacionarna distribucija. Hajde da napravimo jednacinu ravnoteže...

Integracija diferencijalne jednadžbe korišćenjem power series

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda za funkciju argumenta je relacija oblika (1.10) gdje je - datu funkciju njihove argumente. U ime ove klase matematičke jednačine izraz "diferencijal" naglašava...

Iracionalne jednadžbe

Primjer 1. Riješite jednačinu. Rješenje. Kvadratirajmo obje strane izvorne jednadžbe Odgovor: (6). Primjer 2. Riješite jednačinu. Rješenje. Na lijevoj strani originalne jednadžbe je aritmetika Kvadratni korijen- to je po definiciji nenegativno...

Iracionalne jednadžbe

Vrlo često, prilikom rješavanja jednadžbi ovog tipa, učenici koriste sljedeću formulaciju svojstva proizvoda „Proizvod dva faktora jednak je nuli kada je barem jedan od njih jednak nuli“. Bilješka...

Iracionalne jednadžbe

Ove jednadžbe se mogu riješiti osnovnom metodom za rješavanje iracionalnih jednadžbi (kvadriranjem obje strane jednačine), ali ponekad se mogu riješiti i drugim metodama. Razmotrimo jednačinu (1). Neka je korijen jednadžbe (1)...

Kvadratne jednadžbe riješeno u Indiji. Problemi o kvadratnim jednačinama već se nalaze u astronomskoj raspravi Aryabhattam, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik...

Kvadratne jednačine i jednačine višeg reda

Povratna jednadžba je algebarska jednadžba a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an \u003d 0, u kojoj je ak = an - k, gdje je k = 0, 1, 2 ... n , štaviše, ha? 0...

Linearne i kvadratne zavisnosti, funkcija x i povezane jednadžbe i nejednačine

U nekim zadacima prijemnog ispita potrebno je ne samo istražiti lokaciju korijena kvadratnog trinoma, već i otkriti pri kojim vrijednostima parametra je ispunjen ovaj ili onaj logički iskaz ...

logaritamska funkcija u zadacima

Primjer 1. Riješite jednačinu. Rješenje: Region dozvoljene vrijednosti- komplet od svega realni brojevi, jer za sve. Po definiciji logaritma, imamo Get eksponencijalna jednačina, koje ćemo riješiti metodom redukcije na algebarsku...

Metoda za rješavanje jednačina tipa konvolucije

Primjer 3.1. Nelinearne jednačine sa Hilbertovim jezgrom: (3.12) (3.13) Imaju jedinstveno rješenje u Hilbertovom prostoru. Godine 1977. G.M. Magomedov je razmatrao nelinearne singularne integralne jednadžbe sa Cauchy jezgrom oblika (3...

Približne metode za rješavanje graničnih problema, za diferencijalne jednadžbe s parcijalnim izvodima

Prisjetimo se Poissonove jednadžbe (4) (4) U praksi se koristi nekoliko šablona za konstruiranje shema konačnih razlika. 1. Shema konačnih razlika "križ"...

Primjena diferencijala i integralni račun do rješenja fizičkog i geometrijski problemi u MATLabu

Mnogi fizički zakoni imaju oblik diferencijalnih jednadžbi, odnosno odnosa između funkcija i njihovih izvoda. Zadatak integracije ovih jednačina je najvažniji zadatak matematika...

Primjena trigonometrijske zamjene za rješavanje algebarskih zadataka

Iracionalne jednačine se često nalaze na prijemni ispiti u matematici, jer je uz njihovu pomoć lako dijagnosticirati poznavanje pojmova kao što su ekvivalentne transformacije, obim i ostalo...

Standardne vrste jednadžbi i metode za njihovo rješavanje

1. Jednačina oblika
= b↔ f(x) = b 2 , za b ≥ 0; nema rješenja za b

Zlatno pravilo. Da biste riješili korijen, morate izolirati.

Primjeri.

3)
. Rešenja nema, jer

2. Jednačina oblika

Primjeri.

Odgovor: x = - 1

2) U primjerima svedenim na ovu vrstu jednadžbi, kod primjene ekvivalentnih prijelaza potrebno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti.

Primjer.

Odgovori

3. Jednačina oblika

ili

Odaberite nejednakost koja je lakša.

Primjeri.

, sinh = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0 , 0 ≤ t ≤ 1

2t 2 + t – 1 = 0

t = -1, t = ½ Ograničeno t = ½

odgovor:

4. Jednačine koje se svode na kvadrate

Takve jednadžbe sadrže korijene s istim radikalnim izrazima, čiji se stupnjevi razlikuju za faktor dva (
). Riješite promjenom korijena
, podložno ograničenjima.

Primjeri.

= t, gdje je t ≥ 0

t 2 - 2 t - 3 = 0, t = - 1 , t = 3, s obzirom da je t ≥ 0, t = 3

= 3

Odgovor: x = ± 7

= t, onda

= 2 ili = ½

= 32 = 1/32

16z \u003d 32 16 32z - z \u003d - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Jednačine koje sadrže više od jednog korijena kao članove

U jednadžbama ovog tipa potrebno je riješiti se korijena. Najčešće se to događa kvadriranjem oba dijela. Treba napomenuti da se pri kvadriranju ODZ nepoznatog on širi, što može dovesti do stranim korenima jednačine. Kvadriranje ne daje ekvivalentan prijelaz, pa se dobivene vrijednosti nepoznate moraju provjeriti.

Prilikom donošenja odluke potrebno je poštovati sljedeća pravila:

Razbacajte korijenje različite strane, budući da su transformacije u ovom slučaju jednostavnije;
Pronađite skup vrijednosti za koje postoje korijeni;
Kvadrat oba dijela;
Dovedite jednačinu u standardni oblik;
Riješite prema tipovima 1 - 3;
Isključite strane korijene;
Provjerite preostale korijene.

Primjeri.

rješavamo izvođenjem tačke 5 (jednačina oblika )

Provjerite x = 3

Jednakost je tačna.

Odgovor: x = 3.
2)

3x - 4 - 2
= x - 2

2x - 2 = (1) x – 1 =

Imajte na umu da na osnovu ekvivalencije rješavamo samo jednačinu (1), a ne i originalnu, pa moramo provjeriti.

Moguće je riješiti bez uzimanja u obzir ODZ-a i ne koristiti ekvivalentnost, ali u ovom slučaju se moraju provjeriti sve dobivene vrijednosti x. U nekim jednačinama to je prilično teško.

Ispitivanje. x = 3

Jednakost je tačna.

Odgovor: x = 3
6. Jednačine rješavane metodom promjene varijabli.

6.1 Očigledne zamjene.

Ako primjer sadrži članove s ponovljenim izrazima, onda je preporučljivo promijeniti varijable, što zapravo nije direktno rješenje, ali uvelike pojednostavljuje transformaciju izraza i dovođenje jednačine u standardni oblik.

Zlatno pravilo . Napravljena zamjena - odredite opseg nove varijable. (stavi ograničenja na novu varijablu)

Primjeri.

Neka je = t, gdje je t ≥ 0, budući da je aritmetički korijen.

Dobijamo: t 2 - 2t - 3 \u003d 0

t=-1, t=3

Budući da je t ≥ 0, t = 3

Idemo na x

\u003d 3 x 2 + 32 \u003d 81, x \u003d ± 7.

Odgovor: x = ± 7.

T. to.
i
međusobno inverzni izrazi, onda ako
= t,

= , gdje je t > 0.

Dobijamo t + = , 2t 2 - 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= ili = 2

8x = 1+2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6. x = - 2/3

Najveći korijen je x = 1/6.

= t, t ≥ 0 Promijeniti korijen i izraziti desnu stranu u terminima t.

\u003d t 2,
t 2 - 20

t \u003d - (t 2 - 20), t 2 + t - 20 = 0. t = - 5 ili t = 4.

Jer t ≥ 0, tada je t = 4

= 4,

x 2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 ili x = 2.

Odgovor: x = - 4, x \u003d 2.

4)
. Hajde da proizvodimo dvostruka zamjena:

t =
, gdje je t ≥ 0, d =
, gdje je d ≥ 0.

Izražavamo x iz svakog: x = 5 - t 2 ili x = d 2 + 3. Hajde da uzmemo sistem:

. t=0 ili d=0

= 0 ili = 0

x=5 ili x=3

Odgovor: x = 5; x = 3.

6.2 Neočigledna zamjena

Zamjena varijable se možda neće dogoditi odmah, već nakon transformacije.

Primjeri.

ODZ: - 1 ≤ x ≤ 3

reschedule
pravo na više složen izraz
jedan lijevo.

Kvadratirajmo oba dijela, očekujući iste izraze:

Očekivanja su bila opravdana.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 - 4t + 4 = 0, (t - 2) 2 = 0, t \u003d 2

= 2,
= 4,

x \u003d 1 je korijen jednadžbe, budući da je zbroj koeficijenata i slobodnog člana nula.

hajde da podelimo
na x - 1. Dobijamo x 2 - 2x + 1 = 0. x = 1 ±
.

Sva tri korijena su rješenja, jer zadovoljavaju uslov - 1 ≤ x ≤ 3.

Odgovor: x = 1, x = 1 ±
7. Jednačine oblika proizvoda jednake su nuli.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan faktor jednak nuli, dok drugi ne gubi svoje značenje.

f(x) g(x) = 0

Primjeri.

= 0

nema rješenja x = - 1, x = 2.

Odgovor: x = - 1, x \u003d 2.

Nejednakosti uključene u sistem ne mogu se odmah riješiti, već se dobijeni korijen zamijeni u nejednačinu.

2) Potrebno je rastaviti na faktore.

= 4

nema rješenja x = 0, x = 5.

Odgovor: x = 0, x = 5.

Jednačine koje sadrže kvadratne i kubne korijene.

Ove jednačine treba riješiti zamjenom svakog korijena, izražavanjem nepoznatog u terminima zamijenjenih varijabli i sastavljanjem sistema jednačina.

Primjeri.

= t,
= d, gdje je d ≥ 0

x \u003d 2 - t 3, x \u003d d 2 + 1. Napravimo sistem:

Jer za sve pronađene vrijednosti t d ≥ 0, tada se d ne može naći iz sistema, a x se može naći iz uslova x = 2 - t 3 .

x=2, x=10, x=1

Odgovor: x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 način. Riješite kao prethodnu jednačinu.

2 way. Imajte na umu da lijeva strana jednačine predstavlja rastuću funkciju, budući da se sastoji od sume dvije rastuće funkcije u domeni definicije: x ≥ - 1. Desni deo je konstanta. Grafovi ovih funkcija sijeku se u jednoj tački čija će apscisa biti rješenje ove jednačine, odnosno jednačina ima jedno rješenje. Pokušajmo ga pokupiti.

Očigledno, selekcija se mora izvršiti u ODZ jednadžbi. Mora se pretpostaviti da se korijenje mora vaditi, jer. zbir je 3.

Uvjeravamo se da je x \u003d 3 korijen jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

3)
.

Jer
dovodimo korijene do istog stepena.

, x = - 1

(x + 1) (x 2 - 4x + 4)

x 2 - 4x + 4 = 0 x \u003d 2.

Oba korijena zadovoljavaju ODZ.

Odgovor: x = - 1, x \u003d 2

Jednačina koja sadrži zbir (razliku) dva korijena trećeg stepena.

Za rješavanje takvih jednadžbi zgodno je koristiti formulu:

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

Imajte na umu da je zagrada (a ± b) =

Primjeri.

1)
. Podignimo oba dijela u kocku:

Ali
= 2, pa posljednju zagradu zamijenite sa 2.

Get

x = 0

odgovor: x = 0.

Imajte na umu da se izrazi 2 - x i 7 + x ponavljaju. Napravimo zamjenu:

t =
, d =
. Gdje je x = 2 - t 3 ili x \u003d d 3 - 7

Ne možete pronaći t i d, ali koristite činjenicu da je td = 2

= 2

- x 2 - 5x + 14 = 8, x 2 + 5x - 6 = 0, x \u003d - 6, x = 1.

Odgovor: x = - 6, x \u003d 1.

Jednačine koje sadrže kompleksne radikale.

U prisustvu složenih radikala, na primjer, root pod root-om, koristite sljedeći program akcija:

Odredite da li korijenski izraz nije savršen kvadrat;
Odaberite cijeli kvadrat;
U nedostatku stava 1, primijeniti formule složenih radikala;
U nedostatku stavki 1-3, primijenite standardne transformacije (zamjena, faktorizacija, eksponencijacija, itd.)

Primjeri.

Pokušajmo pronaći savršeni kvadrat. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . O tome bi trebalo razmišljati ovako:

Neka
- dvostruki proizvod, 2ab.

Neka
- prvi broj a.

Zatim drugi broj b \u003d 1. Dakle, zbroj kvadrata prvog i drugog broja je x - 3. Korijenski izraz je pun kvadrat.

Neka
- dupli posao.

Neka je prvi broj a.

Tada je drugi broj b = 2. Dakle, zbir kvadrata prvog i drugog broja je x. Korijenski izraz je pun kvadrat.

+ = 1

Jer
│a│, tada dobijamo jednačinu:
│
│ + │
│ = 1

Sada napravimo zamjenu = t , = t - 1

│t │ + │t – 1 │ = 1

Pronađite nule modula: t = 0, t = 1

│t│

- │ + │ +

│t - 1 │- 0 - 1 + x

nema rješenja
nema rješenja

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 svi dijelovi nejednakosti su pozitivni, kvadrirajmo je.

1 ≤ x - 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8.

odgovor:

Metode rješavanja iracionalnih jednačina

Korištenje svojstava monotonosti funkcija.

11.1 Ako je f(x) = g(x), a f(x) - raste (smanjuje) i g(x) - opada (povećava) ili je jedna od funkcija konstantna, tada se grafovi ovih funkcija sijeku na jednoj tačka. Rješenje jednačine je apscisa točke presjeka. Jednačina ima jedno rješenje koje se može odrediti odabirom.

Pri tome imajte na umu sljedeće:

Zbir dvije rastuće (opadajuće) funkcije je rastuća (opadajuća) funkcija.
Povećanje, smanjenje funkcije može se odrediti izvodom.

Primjeri.

1)
.

Neka je f(x) =
. f(x) - opadajuće na D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 je konstanta. Grafovi funkcija se sijeku u jednoj tački. Jednačina ima jedno rješenje.

Biramo između D(f) = (-∞; 3], s obzirom da se korijeni moraju izdvojiti.

x = - 1.

Ispitivanje.

, 4 + 2 = 6, jednakost je tačna.

Odgovor: x = - 1.

Neka je f(x) =
. Funkcija se smanjuje.

Dokažimo to. D(f) =

f′(x) =

f′(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, D(g) =

g′(x) =

g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

Imajte na umu da se ista vrijednost funkcija dobije samo za x = 2

Može se argumentovati i na sljedeći način: najveća vrijednost jedna funkcija je jednaka najmanju vrijednost drugu funkciju za iste vrijednosti x. Dakle, rješenje jednačine f(x) = g(x) su ove vrijednosti x.

max f = 3, min g = 3, max f = min g = 3 pri x = 2

Odgovor: x = 2

1 način.

Neka je f(x) =
, D(f) = R.

f ′(x) \u003d 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

f ′(x) = 0 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4 \u003d 0,

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f′(x) - │ +

f(x) - 1
f min = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g′(x) =
, g′(x) = 0 x = - 1

g′(x) + -

g(x)│-1

g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 pri x = -1.

Odgovor: x = - 1.

2 way.

Odaberite cijeli kvadrat polinoma:

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x. Dobijamo:

(X 2 + 2x) 2 + 2(x 2 + 2x) +
.

Sada možete izvršiti zamjenu:

x 2 + 2x = t

t2+2t+
= 2

Moguće je da u zadata jednačina Metoda 2 je poželjnija. Ali metoda evaluacije mora biti dobro savladana, jer se mnoge jednačine, sistemi, nejednakosti rješavaju na ovaj način.

Upotreba DHS-a

Ponekad je korisno pronaći ODZ nepoznatog, što može dovesti do sužavanja potrage za rješenjem i rješenjem same jednadžbe.
Analiza pokazuje da je primjena bilo koje metode teška. Pokušajmo pronaći ODZ.
Dakle, x = 4 je jedina moguća vrijednost.
Ispitivanje.
, 0 = 0 jednakost je tačna.
Odgovor: x = 4.
14. Upotreba očiglednih nejednakosti
To je poznato
(aritmetička sredina je veća ili jednaka geometrijskoj sredini). U ovom slučaju, jednakost se poštuje ako je a = b.
Ako postoji proizvod ispod korijena u jednadžbi, preporučljivo je primijeniti ovo svojstvo.
Primjeri.
1)

Radikalni izraz rastavljamo na faktore.
Neka je a = x + 1, b = 2x + 3, zatim a + b = 3x + 4.
Geometrijska sredina na lijevoj strani, aritmetička sredina na desnoj strani.
Jednakost će biti ako je a = b.
x + 1 = 2x + 3, x = - 2.
Odgovor: x = - 2.
15. Korištenje Dot Product
Neka vektor ima koordinate (a 1 ; a 2), vektor (b 1 ; b 2).
Onda skalarni proizvod\u003d a 1 b 1 + a 2 b 2. Zato što je a 1 b 1 + a 2 b 2 = ││∙ ││ cosα, dakle, a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ ││∙ ││
││ =
││=
│ =

Razmislite o korištenju DHS-a;

Razmotrite korištenje monotonosti funkcije;

Razmislite o korištenju svojstava funkcije (opseg, najveći, najmanji), tj. primijeniti rezultate;

Razmislite o korištenju spojnih izraza;

Razmislite o korištenju očiglednih nejednakosti, tačkastog proizvoda.
Imajte na umu da se ista jednačina može riješiti Različiti putevi. Morate odabrati metodu koja je bolje naučena, što je racionalnije za ovu jednačinu.