Metoda za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu? III. Teme poruka, postavljanje ciljeva i zadataka

Homogene diferencijalna jednadžba prva narudžba je jednadžba oblika
, gdje je f funkcija.

Kako definirati homogenu diferencijalnu jednačinu

Da bi se utvrdilo da li je diferencijalna jednadžba prvog reda homogena, mora se uvesti konstanta t i zamijeniti y sa ty i x sa tx : y → ty , x → tx . Ako se t smanji, onda ovo homogena diferencijalna jednadžba. Izvod y′ se ne mijenja pod takvom transformacijom.
.

Primjer

Odrediti da li je data jednadžba homogena

Rješenje

Napravimo promjenu y → ty , x → tx .

Podijelite sa t 2 .

.
Jednačina ne sadrži t . Dakle, ovo je homogena jednačina.

Metoda za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda reducira se na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene y = ux. Hajde da to pokažemo. Razmotrimo jednačinu:
(i)
Vršimo zamjenu:
y=ux
gdje je u funkcija od x. Razlikovati u odnosu na x:
y' =
Zamjenjujemo u originalnu jednačinu (i).
,
,
(ii) .
Odvojene varijable. Pomnožite sa dx i podijelite sa x ( f(u) - u).

Za f (u) - u ≠ 0 i x ≠ 0 dobijamo:

integrišemo:

Tako smo dobili opšti integral jednačine (i) u kvadratima:

Integracionu konstantu C zamjenjujemo sa log C, onda

Izostavljamo znak modulo, jer željeni znak određuje se izborom predznaka konstante C. Tada će opći integral poprimiti oblik:

Zatim razmotrite slučaj f (u) - u = 0.
Ako ova jednadžba ima korijene, onda su oni rješenje jednadžbe (ii). Pošto jednačina (ii) ne poklapa se s originalnom jednadžbom, tada bi trebali biti sigurni da dodatna rješenja zadovoljavaju izvornu jednadžbu (i).

Kad god, u procesu transformacije, podijelimo bilo koju jednačinu nekom funkcijom, koju označavamo kao g (x, y), tada daljnje transformacije vrijede za g (x, y) ≠ 0. Dakle, slučaj g (x, y) = 0.

Primjer rješavanja homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

riješiti jednačinu

Rješenje

Provjerimo da li je ova jednačina homogena. Napravimo promjenu y → ty , x → tx . U ovom slučaju, y′ → y′ .
,
,
.
Smanjujemo za t.

Konstanta t je smanjena. Prema tome, jednačina je homogena.

Napravimo zamjenu y = ux, gdje je u funkcija od x.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Zamjena u originalnoj jednadžbi.
,
,
,
.
Za x ≥ 0 , |x| =x. Za x ≤ 0 , |x| = - x . Pišemo |x| = x što znači da se gornji znak odnosi na vrijednosti x ≥ 0 , a donji - na vrijednosti x ≤ 0 .
,
Pomnožite sa dx i podijelite sa .

Za tebe 2 - 1 ≠ 0 imamo:

integrišemo:

Integrali tabele,
.

Primijenimo formulu:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Neka je a = u , .
.
Uzmite oba dijela po modulu i logaritmu,
.
Odavde
.

Tako imamo:
,
.
Izostavljamo predznak modula, jer se traženi predznak dobija izborom predznaka konstante C.

Pomnožite sa x i zamenite ux = y.
,
.
Hajde da ga izjednačimo.
,
,
.

Sada razmotrite slučaj, u 2 - 1 = 0 .
Korijeni ove jednadžbe
.
Lako je vidjeti da funkcije y = x zadovoljavaju originalnu jednačinu.

Odgovori

,
,
.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na višu matematiku, "Lan", 2003.

U nekim problemima fizike ne može se uspostaviti direktna veza između veličina koje opisuju proces. Ali postoji mogućnost da se dobije jednakost koja sadrži derivate funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem kako bi se pronašla nepoznata funkcija.

Ovaj članak je namijenjen onima koji se suočavaju s problemom rješavanja diferencijalne jednadžbe u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je izgrađena na takav način da sa nultim razumijevanjem diferencijalnih jednadžbi možete raditi svoj posao.

Svaka vrsta diferencijalnih jednadžbi povezana je s metodom rješenja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Vi samo trebate odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe vašeg problema, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.

Za uspješno rješenje diferencijalne jednadžbe s vaše strane, trebat će vam i sposobnost da pronađete skupove antiderivata ( neodređeni integrali) različitih funkcija. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.

Prvo, razmotrimo vrste običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti s obzirom na derivaciju, zatim ćemo prijeći na ODE drugog reda, zatim ćemo se zadržati na jednadžbama višeg reda i završiti sa sistemima diferencijalnih jednadžbi.

Podsjetimo da ako je y funkcija argumenta x.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika .

Napišimo nekoliko primjera takvog DE .

Diferencijalne jednadžbe može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem obje strane jednakosti sa f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednačine , koja će biti ekvivalentna originalnoj za f(x) ≠ 0 . Primjeri takvih ODE-a su .

Ako postoje vrijednosti argumenta x za koje funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe dati x su bilo koje funkcije definirane za te vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi su .

Diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

LODE sa konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalnih jednačina. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronađu korijeni karakteristična jednačina . Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i podudarni ili kompleksni konjugat. Ovisno o vrijednostima korijena karakteristične jednadžbe, piše se zajednička odluka diferencijalna jednadžba kao , ili , odnosno.

Na primjer, razmotrite linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga je generalno rješenje LDE sa konstantnim koeficijentima

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LIDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima y traži se kao zbir općeg rješenja odgovarajućeg LODE-a i određeno rješenje originalne nehomogene jednadžbe, odnosno, . Prethodni paragraf je posvećen pronalaženju opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje se određuje ili metodom neodređenih koeficijenata pri određeni oblik funkcija f(x), koja stoji na desnoj strani originalne jednadžbe, ili metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Kao primjere LIDE-a drugog reda sa konstantnim koeficijentima predstavljamo

Shvatite teoriju i upoznajte se s njom detaljne odluke primjere nudimo na stranici linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda (LNDE).

Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LODE sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LODE-a na određenom intervalu predstavljeno je linearnom kombinacijom dvaju linearno nezavisnih partikularnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. .

Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno nezavisnih parcijalnih rješenja ove vrste diferencijalne jednadžbe. Obično se biraju određena rješenja sledeći sistemi linearno nezavisne funkcije:

Međutim, određena rješenja nisu uvijek predstavljena u ovom obliku.

Primjer LODU je .

Opće rješenje LIDE se traži u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LODE-a, a posebno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo govorili o pronalaženju, ali ono se može odrediti metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Primjer LNDE-a je .

Diferencijalne jednadžbe višeg reda.

Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju reda.

Red diferencijalne jednadžbe , koji ne sadrži željenu funkciju i njene derivate do k-1 reda, može se svesti na n-k zamjenom .

U ovom slučaju , i originalna diferencijalna jednadžba se svodi na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje da se vratimo na zamjenu i odredimo nepoznatu funkciju y .

Na primjer, diferencijalna jednadžba nakon što zamjena postaje odvojiva jednadžba , a njen redoslijed se smanjuje sa treće na prvu.

Poziva se funkcija f(x,y). homogena funkcija njihovih argumenata dimenzije n ako je identitet f(tx,ty) \ekviv t^nf(x,y).

Na primjer, funkcija f(x,y)=x^2+y^2-xy je homogena funkcija druge dimenzije, jer

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Za n=0 imamo funkciju nulte dimenzije. Na primjer, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) je homogena funkcija nulte dimenzije, budući da

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Diferencijalna jednadžba oblika \frac(dy)(dx)=f(x,y) kaže se da je homogena u odnosu na x i y ako je f(x,y) homogena funkcija njegovih argumenata nulte dimenzije. Homogena jednačina se uvijek može predstaviti kao

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\desno).

Uvođenjem nove željene funkcije u=\frac(y)(x), jednačina (1) se može svesti na jednadžbu s razdvojenim varijablama:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ako je u=u_0 korijen jednačine \varphi(u)-u=0, tada će rješenje homogene jednadžbe biti u=u_0 ili y=u_0x (prava koja prolazi kroz početak).

Komentar. Kod rješavanja homogenih jednadžbi nije ih potrebno svesti na oblik (1). Možete odmah izvršiti zamjenu y=ux .

Primjer 1 Riješite homogenu jednačinu xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku y"=\sqrt(1-(\lijevo(\frac(y)(x)\desno)\^2}+\frac{y}{x} !} pa se ispostavlja da je data jednadžba homogena u odnosu na x i y. Stavimo u=\frac(y)(x) , ili y=ux . Tada y"=xu"+u . Zamjenom izraza za y i y" u jednačinu, dobijamo x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Razdvajanje varijabli: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Odavde, integracijom, nalazimo

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), ili \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Pošto C_1|x|=\pm(C_1x) , označavajući \pm(C_1)=C , dobijamo \arcsin(u)=\ln(Cx), gdje |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) ili e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Zamjenom u sa \frac(y)(x) imat ćemo opći integral \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Otuda opšte rješenje: y=x\sin\ln(Cx) .

Prilikom odvajanja varijabli, podijelili smo obje strane jednačine proizvodom x\sqrt(1-u^2) , tako da bismo mogli izgubiti rješenje koje ovaj proizvod pretvara na nulu.

Stavimo sada x=0 i \sqrt(1-u^2)=0. Ali x\ne0 zbog zamjene u=\frac(y)(x) , a iz relacije \sqrt(1-u^2)=0 dobijamo da 1-\frac(y^2)(x^2)=0, odakle je y=\pm(x) . Direktnom provjerom osiguravamo da su funkcije y=-x i y=x također rješenja ove jednačine.

Primjer 2 Razmotrimo porodicu integralnih krivulja C_\alpha homogene jednadžbe y"=\varphi\!\lijevo(\frac(y)(x)\desno). Pokazati da su tangente u odgovarajućim tačkama na krivulje definisane ovom homogenom diferencijalnom jednačinom paralelne jedna s drugom.

Bilješka: Nazvat ćemo relevantan one tačke na krivuljama C_\alpha koje leže na istoj zraci počevši od početka.

Rješenje. Po definiciji odgovarajućih tačaka, imamo \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), tako da na osnovu same jednadžbe y"=y"_1 , gdje je y" i y"_1 - faktori nagiba tangente na integralne krive C_\alpha i C_(\alpha_1) , u tačkama M i M_1, respektivno (slika 12).

Jednačine koje se svode na homogene

ALI. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu oblika

\frac(dy)(dx)=f\!\lijevo(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\desno).

gdje su a,b,c,a_1,b_1,c_1 konstante, a f(u) je kontinuirana funkcija svog argumenta u .

Ako je c=c_1=0, onda je jednadžba (3) homogena i integrira se kao gore.

Ako je barem jedan od brojeva c,c_1 različit od nule, tada treba razlikovati dva slučaja.

1) Odrednica \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Uvodeći nove varijable \xi i \eta prema formulama x=\xi+h,~y=\eta+k , gdje su h i k još uvijek nedefinirane konstante, dovodimo jednačinu (3) u oblik

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\desno).

Odabir h i k kao rješenja sistema linearnih jednačina

\begin(slučajevi)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(slučajevi)~(\Delta\ne0),

dobijamo homogenu jednačinu \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\desno). Nakon što smo pronašli njegov opšti integral i zamenili \xi sa x-h u njemu, a \eta sa y-k, dobijamo opšti integral jednačine (3).

2) Odrednica \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sistem (4) in opšti slučaj nema rješenja i gornja metoda nije primjenjiva; u ovom slučaju \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, pa, prema tome, jednačina (3) ima oblik \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\desno). Zamjena z=ax+by dovodi je do jednačine koja se može odvojiti.

Primjer 3 riješiti jednačinu (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Rješenje. Razmotrimo sistem linearnih algebarske jednačine \begin(slučajevi)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(slučajevi)

Odrednica ovog sistema \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sistem ima jedinstveno rješenje x_0=-1,~y_0=3. Napravimo zamjenu x=\xi-1,~y=\eta+3 . Tada jednačina (5) poprima oblik

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Ova jednačina je homogena jednačina. Postavljanje \eta=u\xi , dobijamo

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, gdje (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Razdvajanje varijabli \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrisanje, nalazimo \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) ili \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Vraćajući se na varijable x,~y:

(x+1)^2\lijevo=C_1 ili x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Primjer 4 riješiti jednačinu (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Rješenje. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi \begin(slučajevi)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(slučajevi) nekompatibilno. U ovom slučaju, metoda primijenjena u prethodnom primjeru nije prikladna. Za integraciju jednačine koristimo supstituciju x+y=z, dy=dz-dx. Jednačina će poprimiti oblik

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Odvajajući varijable, dobijamo

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 dakle x-2z-3\ln|z-2|=C.

Vraćajući se na varijable x,~y, dobijamo opšti integral ove jednačine

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Ponekad se jednačina može svesti na homogenu promjenom varijable y=z^\alpha. Ovo je slučaj kada su svi članovi u jednadžbi iste dimenzije, ako je varijabli x data dimenzija 1, varijabli y je data dimenzija \alpha, a izvod \frac(dy)(dx) je dat kao dimenzija \alpha-1 .

Primjer 5 riješiti jednačinu (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Rješenje. Pravljenje zamene y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, gdje je \alpha za sada proizvoljan broj, koji ćemo izabrati kasnije. Zamjenom izraza za y i dy u jednačinu dobijamo

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 ili \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Imajte na umu da x^2z^(3\alpha-1) ima dimenziju 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) ima dimenziju \alpha-1, xz^(3\alpha) ima dimenziju 1+3\alpha. Rezultirajuća jednačina će biti homogena ako su mjerenja svih članova ista, tj. ako je uslov ispunjen 3\alfa+1=\alfa-1, ili \alpha-1 .

Stavimo y=\frac(1)(z) ; originalna jednačina poprima oblik

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 ili (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Stavimo sada z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Tada će ova jednačina poprimiti oblik (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, gdje u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Razdvajanje varijabli u ovoj jednačini \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrisanje, nalazimo

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) ili \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Zamenivši u sa \frac(1)(xy) , dobijamo opšti integral ove jednačine 1+x^2y^2=Cy.

Jednačina također ima očigledno rješenje y=0, koje se dobija iz opšteg integrala na C\to\infty ako se integral zapiše kao y=\frac(1+x^2y^2)(C), a zatim skočite do granice na C\to\infty . Dakle, funkcija y=0 je posebno rješenje originalne jednadžbe.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene da bi se izvršili proračuni!

Homogene

Na ovu lekciju razmotrićemo tzv homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Zajedno sa odvojive jednačine varijabli i linearne nehomogene jednadžbe ova vrsta daljinskog upravljača nalazi se u gotovo svakom kontrolni rad na temu difuzije. Ako ste ušli na stranicu iz tražilice ili niste baš sigurni u diferencijalne jednadžbe, prvo vam toplo preporučujem da odradite uvodnu lekciju na temu - Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Činjenica je da će mnogi principi za rješavanje homogenih jednačina i korištene tehnike biti potpuno isti kao i za najjednostavnije jednadžbe s odvojivim varijablama.

Koja je razlika između homogenih diferencijalnih jednadžbi i drugih tipova DE? To je najlakše odmah objasniti konkretnim primjerom.

Primjer 1

Rješenje:
Šta kao prvo treba analizirati prilikom odlučivanja bilo koji diferencijalna jednadžba prva narudžba? Prije svega, potrebno je provjeriti da li je moguće odmah odvojiti varijable pomoću "školskih" akcija? Obično se takva analiza provodi mentalno ili pokušava da se odvoje varijable u nacrtu.

AT ovaj primjer varijable se ne mogu odvojiti(možete pokušati da preokrenete termine od dijela do dijela, izvadite faktore iz zagrada, itd.). Inače, u ovom primjeru činjenica da se varijable ne mogu podijeliti je sasvim očigledna zbog prisustva faktora .

Postavlja se pitanje - kako riješiti ovaj diffur?

Treba provjeriti i Da li je ova jednadžba homogena?? Verifikacija je jednostavna, a sam algoritam verifikacije se može formulisati na sledeći način:

Na originalnu jednačinu:

umjesto zamjena , umjesto zamjena , ne dirajte derivat:

Slovo lambda je uslovni parametar i ovdje se igra sledeća uloga: ako je kao rezultat transformacija moguće "uništiti" SVE lambde i dobiti originalnu jednadžbu, onda je ova diferencijalna jednadžba je homogena.

Očigledno, lambda se odmah poništava u eksponentu:

Sada, sa desne strane, vadimo lambdu iz zagrada:

i podijeliti oba dijela sa istom lambdom:

Kao rezultat sve lambde su nestale kao san, kao jutarnja magla, i dobili smo originalnu jednačinu.

zaključak: Ova jednačina je homogena

Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu?

Imam veoma dobre vesti. Apsolutno sve homogene jednadžbe se mogu riješiti jednom (!) standardnom zamjenom.

Funkcija "y" bi trebala zamijeniti rad neka funkcija (također ovisi o "x") i "x":

Skoro uvek napišite ukratko:

Saznajemo u što će se derivat pretvoriti takvom zamjenom, koristimo pravilo za razlikovanje proizvoda. Ako onda:

Zamjena u originalnoj jednadžbi:

Šta će dati takva zamjena? Nakon ove zamjene i učinjenih pojednostavljenja, mi garantovano dobijamo jednačinu sa odvojivim varijablama. ZAPAMTITE kao prva ljubav :) i, shodno tome, .

Nakon zamjene vršimo maksimalna pojednostavljenja:

Budući da je funkcija koja ovisi o "x", onda se njen izvod može napisati kao standardni razlomak: .
Na ovaj način:

Odvajamo varijable, dok na lijevoj strani trebate prikupiti samo "te", a na desnoj strani - samo "x":

Varijable su razdvojene, integriramo:

Prema mom prvom tehničkom savjetu iz članka Diferencijalne jednadžbe prvog reda u mnogim slučajevima je svrsishodno „formulisati“ konstantu u obliku logaritma.

Nakon što je jednačina integrisana, potrebno je izvršiti obrnuta zamjena, takođe je standardan i jedinstven:
Ako onda
AT ovaj slučaj:

U 18-19 slučajeva od 20, rješenje homogene jednačine zapisuje se kao opći integral.

odgovor: opšti integral:

Zašto se odgovor na homogenu jednačinu gotovo uvijek daje kao opći integral?
U većini slučajeva nemoguće je izraziti "y" u eksplicitnom obliku (da bi se dobilo opće rješenje), a ako je moguće, onda se najčešće općenito rješenje ispostavlja glomazno i nespretno.

Tako se, na primjer, u razmatranom primjeru opće rješenje može dobiti vješanjem logaritama na oba dijela općeg integrala:

- pa, i dalje je u redu. Mada, vidite, i dalje je krivo.

Inače, u ovom primjeru nisam baš „pristojno“ zapisao opći integral. Nije greška, ali u "dobrom" stilu, podsjećam, uobičajeno je da se opšti integral piše u obliku . Da biste to učinili, odmah nakon integracije jednačine, konstantu treba napisati bez ikakvog logaritma (To je izuzetak od pravila!):

I nakon obrnute zamjene, dobijete opći integral u "klasičnom" obliku:

Dobijeni odgovor se može provjeriti. Da biste to učinili, morate razlikovati opći integral, odnosno pronaći derivat funkcije definirane implicitno:

Riješite se razlomaka množenjem svake strane jednadžbe sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Preporučljivo je uvijek provjeriti. Ali homogene jednadžbe su neugodne jer je obično teško provjeriti njihove opće integrale - to zahtijeva vrlo, vrlo pristojnu tehniku diferencijacije. U razmatranom primjeru, tokom verifikacije, već je bilo potrebno pronaći ne najjednostavnije derivate (iako je sam primjer prilično jednostavan). Ako možete provjeriti, provjerite!

Primjer 2

Provjeriti homogenost jednačine i pronaći njen opći integral.

Odgovor upišite u formular

Ovo je primjer za nezavisno rešenje- tako da se naviknete na sam algoritam radnji. Provjerite u slobodno vrijeme, jer. ovdje je dosta komplikovano, a nisam ni počeo da donosim, inače nećete više dolaziti do takvog manijaka :)

A sada obećano važna tačka, pomenuto na samom početku teme,
podebljanim crnim slovima:

Ako u toku transformacija "resetujemo" faktor (nije konstanta)do imenioca, onda RIZIKujemo da izgubimo rješenja!

I u stvari, naišli smo na to u prvom primjeru. uvodna lekcija o diferencijalnim jednadžbama. U procesu rješavanja jednadžbe, pokazalo se da je "y" u nazivniku: , ali je, očito, rješenje za DE, a kao rezultat neekvivalentne transformacije (podjele), sva je prilika od gubitka! Druga stvar je što je ušlo u opšte rešenje kada nula vrijednost konstante. Resetovanje "x" na imenilac se takođe može zanemariti, jer ne zadovoljava originalnu difuziju.

Slična priča i sa trećom jednačinom iste lekcije, prilikom čijeg rješavanja smo “spustili” u nazivnik. Strogo govoreći, ovdje je trebalo provjeriti da li je data difuracija rješenje? Na kraju krajeva, jeste! Ali i ovdje je "sve ispalo", budući da je ova funkcija ušla u opći integral u .

I ako je to često slučaj sa „odvojivim“ jednadžbama;) „kotrlja“, onda se kod homogenih i nekih drugih difuzija možda „ne kotrlja“. Sa velikom vjerovatnoćom.

Hajde da analiziramo probleme koji su već riješeni u ovoj lekciji: Primjer 1 došlo je do "resetovanja" x, međutim, to ne može biti rješenje jednačine. Ali unutra Primjer 2 podijelili smo sa , ali i ovo se “izvuklo”: budući da se rješenja nisu mogla izgubiti, ovdje jednostavno ne postoje. Ali, naravno, "sretne slučajeve" sam namjerno složio i nije činjenica da će na njih naići u praksi:

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Nije li to jednostavan primjer? ;-)

Rješenje: homogenost ove jednačine je očigledna, ali ipak - na prvom koraku UVIJEK provjerite mogu li se varijable odvojiti. Jer jednačina je takođe homogena, ali su varijable u njoj tiho odvojene. Da, ima ih!

Nakon provjere „odvojivosti“, vršimo zamjenu i pojednostavljujemo jednadžbu što je više moguće:

Odvajamo varijable, na lijevoj strani skupljamo "te", na desnoj - "x":

I ovdje je STOP. Prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije odjednom. Budući da , onda su to funkcije:

Prva funkcija je očito rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugu - zamjenjujemo njen derivat u naš diffur:

- dobije se tačna jednakost, što znači da je funkcija rješenje.

I rizikujemo da izgubimo ove odluke.

Osim toga, imenilac je bio "X", međutim, zamjena implicira da nije nula. Zapamtite ovu činjenicu. Ali! Obavezno provjerite, da li je rješenje ORIGINALNE diferencijalne jednadžbe. Ne, nije.

Zabilježimo sve ovo i nastavimo:

Moramo reći da smo imali sreće sa integralom na lijevoj strani, dešava se mnogo gore.

Sakupljamo jedan logaritam na desnoj strani i resetujemo okove:

I upravo sada obrnuta zamjena:

Pomnožite sve pojmove sa:

Sada da provjerim - da li su "opasna" rješenja uključena u opći integral. Da, oba rješenja su uključena u opći integral na nultu vrijednost konstante: , tako da ih nije potrebno dodatno označavati u odgovori:

opšti integral:

Ispitivanje. Nije čak ni test, već čisto zadovoljstvo :)

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Za samostalno rješenje:

Primjer 4

Izvršite test homogenosti i riješite diferencijalnu jednadžbu

Opšti integral se može provjeriti diferencijacijom.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo nekoliko primjera u kojima je data homogena jednadžba sa gotovim diferencijalima.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je veoma zanimljiv primjer, direktno cijeli triler!

Rješenje Naviknut ćemo se da bude kompaktniji. Prvo, mentalno ili na nacrtu, uvjeravamo se da se varijable ne mogu podijeliti ovdje, nakon čega provjeravamo ujednačenost - obično se ne izvodi na čistoj kopiji (osim ako nije posebno potrebno). Dakle, gotovo uvijek rješenje počinje unosom: " Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu: ...».

Ako homogena jednadžba sadrži gotove diferencijale, onda se može riješiti modificiranom zamjenom:

Ali ne savjetujem korištenje takve zamjene, jer će rezultat biti Veliki Kineski zid diferencijali, gde vam treba oko i oko. Sa tehničkog gledišta, povoljnije je preći na "isprekidanu" oznaku derivacije, za to dijelimo sve članove jednadžbe sa:

I već smo tu napravili "opasnu" transformaciju! Nulti diferencijal odgovara - porodici linija paralelnih sa osom. Jesu li oni korijeni našeg DU? Zamjena u originalnoj jednadžbi:

Ova jednakost je istinita ako , To jest, pri dijeljenju s smo riskirali da izgubimo rješenje , i izgubili smo ga- jer više ne zadovoljava rezultirajuća jednačina .

Treba napomenuti da ako smo originalno data je jednačina , tada korijen ne bi dolazio u obzir. Ali imamo ga i na vrijeme smo ga "uhvatili".

Nastavljamo rješenje sa standardnom zamjenom:
:

Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Razdvajanje varijabli:

I ovdje opet STOP: pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije. Budući da , onda su to funkcije:

Očigledno, prva funkcija je rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugo - zamjenjujemo i njegov derivat:

– primljeno istinska jednakost, pa je funkcija i rješenje diferencijalne jednadžbe.

A prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo ova rješenja. Međutim, oni mogu ući u zajednički integral. Ali možda neće ući.

Uzmimo ovo u obzir i integrirajmo oba dijela:

Integral lijeve strane standardno se rješava korištenjem izbor punog kvadrata, ali u difuzorima je mnogo praktičniji za korištenje metoda neodređenih koeficijenata:

Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:

Na ovaj način:

Nalazimo integrale:

- pošto smo nacrtali samo logaritme, guramo i konstantu ispod logaritma.

Prije zamjene ponovo pojednostavi sve što se može pojednostaviti:

Lanci za ispuštanje:

I obrnuta zamjena:

Sada se prisjećamo "gubitaka": rješenje je ušlo u opći integral na , ali - "proletjelo pored kase", jer pojavio u nazivniku. Stoga mu je u odgovoru dodijeljena posebna fraza, i da - ne zaboravite na izgubljenu odluku, koja se, usput rečeno, također pokazala na dnu.

odgovor: opšti integral: . Više rješenja:

Ovdje nije tako teško izraziti generalno rješenje:
, ali ovo je već razmetanje.

Pogodno, međutim, za testiranje. Nađimo derivat:

i zamena na lijevu stranu jednačine:

- kao rezultat primljen desni deo jednačine, što je trebalo provjeriti.

Sljedeći diffur je sam za sebe:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Pokušajte u isto vrijeme za obuku i ovdje izrazite općenito rješenje.

U završnom dijelu lekcije razmotrit ćemo još nekoliko karakterističnih zadataka na temu:

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Idemo utabanim stazama. Ova jednadžba je homogena, promijenimo:

Sa "x" je sve u redu, ali evo šta nije u redu kvadratni trinom? Pošto je neraskidiv na faktore : , onda definitivno ne gubimo rješenja. Uvek bi bilo ovako! Odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani i integrirajte:

Ovdje se nema šta pojednostavljivati, a samim tim i obrnuto:

odgovor: opšti integral:

Primjer 8

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je "uradi sam" primjer.

Dakle:

Za neekvivalentne konverzije, UVIJEK provjerite (barem verbalno), nemojte izgubiti svoje odluke! Koje su to transformacije? U pravilu, smanjenje po nečemu ili podjela po nečemu. Tako, na primjer, prilikom dijeljenja sa, trebate provjeriti jesu li funkcije rješenja diferencijalne jednadžbe. U isto vrijeme, kada dijeljenje po potrebi za takvom provjerom već nestaje - zbog činjenice da ovaj djelitelj ne nestaje.

Evo još jednog opasnoj situaciji:

Ovdje, rješavajući se, treba provjeriti da li je to rješenje za DE. Često se “x”, “y” nalaze kao takvi faktori, a smanjivanjem po njima gubimo funkcije koje se mogu pokazati kao rješenja.

S druge strane, ako je nešto POČETNO u nazivniku, onda nema razloga za takvu zabrinutost. Dakle, u homogenoj jednadžbi, ne morate da brinete o funkciji, jer je „deklarisana“ u nazivniku.

Navedene suptilnosti ne gube na svojoj važnosti, čak i ako je potrebno pronaći samo određeno rješenje u problemu. Postoji mala, ali šansa da izgubimo upravo traženo konkretno rješenje. Istina Cauchy problem in praktični zadaci sa homogenim jednadžbama se traži prilično rijetko. Međutim, u članku ima takvih primjera Jednačine koje se svode na homogene, koju preporučujem da učite "u vrućoj potjeri" kako biste konsolidirali svoje vještine rješavanja.

Postoje i složenije homogene jednačine. Poteškoća nije u promjeni varijable ili pojednostavljenjima, već u prilično teškim ili rijetkim integralima koji nastaju kao rezultat razdvajanja varijabli. Imam primjere rješenja takvih homogenih jednačina - ružne integrale i ružne odgovore. Ali o njima nećemo, jer u narednim lekcijama (vidi dolje) Još imam vremena da te mučim, želim da te vidim svježe i optimistične!

Uspješna promocija!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: provjerite da li je jednačina homogena, za ovo, u originalnoj jednadžbi umjesto stavimo , i umjesto zamenimo:

Kao rezultat, dobija se originalna jednačina, što znači da je ovaj DE homogen.

Na primjer, funkcija
je homogena funkcija prve dimenzije, budući da

je homogena funkcija treće dimenzije, budući da

je homogena funkcija nulte dimenzije, budući da je

, tj.
.

Definicija 2. Diferencijalna jednadžba prvog reda y" = f(x, y) naziva se homogena ako je funkcija f(x, y) je homogena funkcija nulte dimenzije u odnosu na x i y, ili, kako kažu, f(x, y) je homogena funkcija stepena nula.

Može se predstaviti kao

što nam omogućava da definišemo homogenu jednačinu kao diferencijalnu jednačinu koja se može transformisati u oblik (3.3).

Zamjena
svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama. Zaista, nakon zamjene y=xz dobijamo
,
Odvajajući varijable i integrirajući, nalazimo:

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Δ Pretpostavljamo y=zx,
Zamjenjujemo ove izraze y i dy u ovu jednačinu:
ili
Razdvajanje varijabli:
i integrisati:
,

Zamjena z na , dobijamo
.

Primjer 2 Naći opće rješenje jednačine.

ΔV zadata jednačina P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy su homogene funkcije druge dimenzije, dakle, ova jednadžba je homogena. Može se predstaviti kao
i riješite na isti način kao gore. Ali koristimo drugačiju notaciju. Hajde da stavimo y = zx, gdje dy = zdx + xdz. Zamjenom ovih izraza u originalnu jednačinu, imaćemo

dx+2 zxdz = 0 .

Odvajamo varijable, računajući

Integriramo pojam po član ovu jednačinu

, gdje

to je
. Vraćanje na staru funkciju
pronaći opšte rešenje


Primjer 3 . Pronađite opšte rješenje jednačine
.

Δ Lanac transformacija: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Predavanje 8

4. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

Evo slobodnog člana, koji se naziva i desna strana jednačine. U ovom obliku ćemo razmotriti linearna jednačina dalje.

Ako a
0, tada se jednačina (4.1a) naziva linearno nehomogenom. Ako
0, tada jednačina poprima oblik

i naziva se linearno homogeno.

Naziv jednačine (4.1a) objašnjava se činjenicom da je nepoznata funkcija y i njen derivat unesite ga linearno, tj. na prvom stepenu.

U linearnoj homogenoj jednadžbi varijable su razdvojene. Prepisivanjem u formu
gdje
i integracijom dobijamo:
, one.

Kada se podijeli po gubimo odluku
. Međutim, može se uključiti u pronađenu porodicu rješenja (4.3) ako to pretpostavimo OD takođe može uzeti vrijednost 0.

Postoji nekoliko metoda za rješavanje jednačine (4.1a). Prema Bernulijeva metoda, rješenje se traži kao proizvod dvije funkcije od X:

Jedna od ovih funkcija može se odabrati proizvoljno, jer samo proizvod UV mora zadovoljiti prvobitnu jednačinu, druga se određuje na osnovu jednačine (4.1a).

Diferencirajući obje strane jednakosti (4.4), nalazimo
.

Zamjena rezultirajućeg derivativnog izraza , kao i vrijednost at u jednačinu (4.1a), dobijamo
, ili

one. kao funkcija v uzeti rješenje homogene linearne jednadžbe (4.6):

(Ovdje C obavezno napišite, inače ćete dobiti ne opšte, već posebno rešenje).

Dakle, vidimo da se kao rezultat korištene zamjene (4.4) jednačina (4.1a) svodi na dvije jednačine sa odvojivim varijablama (4.6) i (4.7).

Zamena
i v(x) u formulu (4.4), konačno dobijamo

Primjer 1 Pronađite opšte rješenje jednačine

 Stavljamo
, onda
. Zamjena izraza i u originalnu jednačinu, dobijamo
ili
(*)

Izjednačavamo sa nulom koeficijent at :

Razdvajanjem varijabli u rezultirajućoj jednačini imamo

(proizvoljna konstanta C ne pišite), dakle v= x. Pronađena vrijednost v zamijeniti u jednadžbu (*):

,
,
.

shodno tome,
opšte rješenje izvorne jednačine.

Imajte na umu da se jednačina (*) može napisati u ekvivalentnom obliku:

Nasumično biranje funkcije u, ali ne v, mogli bismo pretpostaviti
. Ovaj način rješavanja razlikuje se od razmatranog samo zamjenom v na u(i zbog toga u na v), tako da konačna vrijednost at ispostavilo se da je isto.

Na osnovu navedenog dobijamo algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Zapazite dalje da ponekad jednačina prvog reda postaje linearna ako at smatrati nezavisnom varijablom, i x- zavisna, tj. promijeniti uloge x i y. Ovo se može uraditi pod uslovom da x i dx unesite jednačinu linearno.

Primjer 2 . riješiti jednačinu
.

Po izgledu, ova jednadžba nije linearna u odnosu na funkciju at.

Međutim, ako uzmemo u obzir x kao funkcija at, onda, s obzirom na to
, može se dovesti u formu

(4.1 b)

Zamjena na , dobijamo
ili
. Dijeljenje obje strane posljednje jednadžbe proizvodom ydy, dovedite u formu

, ili
. (**)

Ovdje P(y)=,
. Ovo je linearna jednadžba u odnosu na x. Mi vjerujemo
,
. Zamjenom ovih izraza u (**) dobijamo

ili
.

Biramo v tako da
,
, gdje
;
. Onda imamo
,
,
.

Jer
, tada dolazimo do općeg rješenja ove jednačine u obliku

.

Imajte na umu da u jednačini (4.1a) P(x) i Q (x) mogu se pojaviti ne samo kao funkcije x, ali i konstante: P= a,Q= b. Linearna jednačina

također se može riješiti zamjenom y= UV i razdvajanje varijabli:

;
.

Odavde
;
;
; gdje
. Oslobađajući se logaritma, dobijamo opšte rešenje jednačine

(ovdje
).

At b= 0 dolazimo do rješenja jednačine

(vidi jednadžbu eksponencijalnog rasta (2.4) za
).

Prvo, integrišemo odgovarajuću homogenu jednačinu (4.2). Kao što je gore navedeno, njegovo rješenje ima oblik (4.3). Razmotrićemo faktor OD u (4.3) funkcijom od X, tj. u suštini praveći promjenu varijable

odakle, integrirajući, nalazimo

Imajte na umu da je, prema (4.14) (vidi i (4.9)), opšte rješenje nehomogene linearne jednačine jednako zbroju opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (4.3) i određenog određenog rješenja nehomogene jednačine drugim članom u (4.14) (i u (4.9)).

Prilikom rješavanja konkretnih jednačina treba ponoviti gornje proračune, a ne koristiti glomaznu formulu (4.14).

Mi primjenjujemo Lagrangeovu metodu na jednačinu koja se razmatra u primjer 1 :

Integriramo odgovarajuću homogenu jednačinu
.

Odvajajući varijable, dobijamo
i šire
. Rješavanje izraza formulom y = Cx. Rješenje izvorne jednadžbe traži se u obliku y = C(x)x. Zamjenom ovog izraza u datu jednačinu dobijamo
;
;
,
. Opće rješenje originalne jednačine ima oblik