Metode rješavanja matrica. Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina

Servisni zadatak. Koristeći ovaj online kalkulator, nepoznanice (x 1 , x 2 , ..., x n ) se izračunavaju u sistemu jednačina. Odluka je u toku metoda inverzne matrice. pri čemu:

izračunava se determinanta matrice A;
putem algebarskih sabiranja nalazi se inverzna matrica A -1 ;
kreira se predložak rješenja u Excelu;

Odluka se donosi direktno na sajtu (u online modu) i besplatno je. Rezultati proračuna su prikazani u izvještaju u Word formatu (pogledajte primjer dizajna).

Uputstvo. Za dobivanje rješenja metodom inverzne matrice potrebno je specificirati dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A i vektor rezultata B.

Vidi također Rješenje matričnih jednačina.

Algoritam rješenja

Izračunava se determinanta matrice A. Ako je determinanta nula, onda je kraj rješenja. Sistem ima beskonačan skup rješenja.
Kada je determinanta različita od nule, inverzna matrica A -1 se nalazi algebarskim sabiranjem.
Vektor odluke X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) se dobija množenjem inverzne matrice sa vektorom rezultata B .

Primjer. Pronađite rješenje za sistem matrična metoda. Zapisujemo matricu u obliku:
Algebarski dodaci.

A 1.1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
pregled:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.

To je zbog činjenice da je velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih i čak pedagoški zadaci mogu se opisati i riješiti korištenjem različitih jednačina i njihovih sistema. AT novije vrijeme stekao posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima matematičko modeliranje u skoro svim predmetne oblasti, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode proučavanja objekata drugacije prirode, posebno tzv složeni sistemi. Postoji velika raznolikost razne definicije matematički model koji su dali naučnici u različita vremena, ali po našem mišljenju najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izraženo jednačinom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema je sastavna karakteristika savremenog specijaliste.

Za rješavanje sistema linearnih algebarske jednačine najčešće korišćene metode su: Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.

Metoda matričnog rješenja - metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice.

Ako koeficijente za nepoznate vrijednosti xi ispišemo u matricu A, sakupimo nepoznate vrijednosti u kolonu X vektor, a slobodne članove u vektor stupca B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u oblik sljedeće matrične jednačine A X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju se može naći rješenje sistema jednačina na sledeći način X = A-jedan · B, gdje A-1 - inverzna matrica.

Metoda rješenja matrice je sljedeća.

Pustite sistem linearne jednačine With n nepoznato:

Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, gdje A- glavna matrica sistema, B i X- kolone slobodnih članova i rješenja sistema, odnosno:

Hajde da ga pomnožimo matrična jednačina lijevo do A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B

Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desni deo ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov primenljivosti ovu metodu(kao i općenito postojanje rješenja nije homogeni sistem linearne jednadžbe sa brojem jednačina jednakim broju nepoznatih) je nedegeneriranost matrice A. Neophodan i dovoljno stanje ovo je nejednakost nula determinante matrice A: det A≠ 0.

Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , zaista obrnuto pravilo: sistem SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.

Primjer rješenja heterogeni sistem linearne algebarske jednadžbe.

Uvjerimo se da je determinanta matrice sastavljena od koeficijenata at nepoznati sistemi linearne algebarske jednadžbe nije jednaka nuli.

Sljedeći korak je izračunavanje algebarski dodaci za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.

(ponekad se ova metoda naziva i matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva prethodno upoznavanje sa konceptom kao što je matrični oblik pisanja SLAE. Metoda inverzne matrice je namijenjena za rješavanje onih sistema linearnih algebarskih jednačina za koje je determinanta matrice sistema različita od nule. Naravno, ovo implicira da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri tačke:

Zapišite tri matrice: sistemsku matricu $A$, matricu nepoznatih $X$, matricu slobodnih termina $B$.
Pronađite inverznu matricu $A^(-1)$.
Koristeći jednakost $X=A^(-1)\cdot B$ dobiti rješenje zadate SLAE.

Bilo koji SLAE se može napisati u matričnom obliku kao $A\cdot X=B$, gdje je $A$ matrica sistema, $B$ je matrica slobodnih termina, $X$ je matrica nepoznatih. Neka postoji matrica $A^(-1)$. Pomnožite obje strane jednakosti $A\cdot X=B$ sa matricom $A^(-1)$ s lijeve strane:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Pošto je $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - matrica identiteta), tada gore napisana jednačina postaje:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Pošto je $E\cdot X=X$, onda:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Primjer #1

Riješite SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ koristeći inverznu matricu.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \end(niz)\desno). $$

Nađimo inverznu matricu prema matrici sistema, tj. izračunaj $A^(-1)$. U primjeru #2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Sada zamenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednačinu $X=A^(-1)\cdot B$. Zatim vršimo množenje matrice

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(niz)\desno)\cdot \left(\početak(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(niz)\desno)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(niz) (c) 309\\ -206 \end(niz)\desno)=\left( \begin(niz) (c) -3\\ 2\end(niz)\desno). $$

Tako smo dobili $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Odgovori: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Primjer #2

Riješite SLAE $ \levo\(\begin(poravnano) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(poravnano)\desno .$ metodom inverzne matrice.

Zapišimo matricu sistema $A$, matricu slobodnih termina $B$ i matricu nepoznatih $X$.

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) -1\\0\\6\end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(niz)\desno). $$

Sada je vrijeme da pronađemo inverznu matricu sistemske matrice, tj. pronaći $A^(-1)$. U primjeru #3 na stranici posvećenoj pronalaženju inverznih matrica, inverzna matrica je već pronađena. Iskoristimo gotov rezultat i napišemo $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\kraj (niz)\desno). $$

Sada zamjenjujemo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$, nakon čega vršimo množenje matrice na desnoj strani stranu ove jednakosti.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (c) -1\\0\ \6\end(niz)\desno)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(niz)\desno)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 0\\-104\\234\end(niz)\right)=\left( \begin(niz) (c) 0\\-4\\9\end(niz)\desno) $$

Tako smo dobili $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(niz)\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Razmotrimo sistem linearnih jednačina sa mnogo varijabli:

gdje je aij - koeficijenti na nepoznatom hi; bi slobodni članovi;

indeksi: i = 1,2,3…m- određuju broj jednačine i j = 1,2,3...n- broj nepoznate.

Definicija: Rješenje sistema jednadžbi (5) je skup od n brojeva (x10, x20, .... xn0), kada se zamijene u sistem, sve jednačine se pretvaraju u prave numeričke identitete.

Definicija: Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje. zglobni sistem naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje (x10, x20,….xn0), a neodređenim ako postoji nekoliko takvih rješenja.

Definicija: Sistem se naziva nekonzistentnim ako nema rješenja.

Definicija: Tabele sastavljene od numeričkih koeficijenata (aij) i slobodnih termina (bi) sistema jednačina (5) nazivaju se sistemska matrica (A) i proširena matrica (A1), koje se označavaju kao:

Definicija: Matrica sistema A, koja ima nejednak broj redova i kolona (n?m), naziva se pravougaona. Ako je broj redaka i stupaca isti (n=m), tada se matrica naziva kvadratnom.

Ako je broj nepoznatih u sistemu jednak broju jednačina (n=m), onda sistem ima kvadratna matrica n-ti red.

Izdvojimo k-proizvoljne redove i k-proizvoljne stupce (km, kn) u matrici A.

Definicija: Determinanta k-reda, sastavljena od elemenata matrice A, koja se nalazi na presjeku odabranih redova i stupaca, naziva se minor k-reda matrice A.

Razmotrimo sve moguće minore matrice A. Ako su svi minori (k + 1) reda jednaki nuli, a barem jedan od minora k reda nije jednak nuli, tada se kaže da matrica ima rang jednako k.

Definicija: Poziva se rang matrice A najveća narudžba nenulti minor ove matrice. Rang matrice se označava sa r(A).

Definicija: Bilo koji minor matrice različit od nule čiji je redoslijed jednak rangu matrice se nazivaju osnovnim.

Definicija: Ako se za dvije matrice A i B njihovi rangovi poklapaju r(A) = r(B), onda se ove matrice nazivaju ekvivalentne i označavaju se A B.

Rang matrice se neće promijeniti od elementarnih, ekvivalentnih transformacija, koje uključuju:

1. Zamjena redova kolonama, a kolona odgovarajućim redovima;
2. Permutacija redova ili kolona na mjestima;
3. Precrtavanje redova ili kolona čiji su svi elementi jednaki nuli;
4. Množenje ili dijeljenje reda ili stupca brojem koji nije nula;
5. Sabiranje ili oduzimanje elemenata jednog reda ili kolone od drugog, pomnoženo bilo kojim brojem.

Prilikom određivanja ranga matrice koristite ekvivalentne transformacije, uz pomoć kojih se originalna matrica svodi na stepenastu (trokutastu) matricu.

AT stepenasta matrica nulti elementi nalaze se ispod glavne dijagonale, a prvi nenulti element svakog njegovog reda, počevši od drugog, nalazi se desno od prvog različitog od nule elementa prethodnog reda.

Imajte na umu da je rang matrice jednak je broju različiti od nule redovi stepenaste matrice.

Na primjer, matrica A= - stepenastog tipa a njen rang je jednak broju nenultih redova matrice r(A)=3. Zaista, svi minori 4. reda sa nultim elementima iz 4. reda su jednaki nuli, a minori 3. reda su različiti od nule. Za provjeru izračunavamo determinantu minora prva 3 reda i 3 kolone:

Bilo koja matrica se može svesti na matricu koraka nuliranjem elemenata matrice ispod glavne dijagonale koristeći elementarne operacije.

Vratimo se proučavanju i rješavanju sistema linearnih jednačina (5).

Važnu ulogu u proučavanju sistema linearnih jednačina igra Kronecker-Capeli teorema. Hajde da formulišemo ovu teoremu.

Kronecker-Capelli teorem: Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice A jednak rangu proširene matrice A1, tj. r(A)=r(A1). U slučaju kompatibilnosti, sistem je definitivan ako je rang matrice sistema jednak broju nepoznatih, tj. r(A)=r(A1)=n i nedefinisan ako je ovaj rang manje od broja nepoznato, tj. r(A)= r(A1)

Primjer. Istražite sistem linearnih jednačina:

Odredimo rangove sistemske matrice A i proširene matrice A1. Da bismo to učinili, sastavimo proširenu matricu A1 i svedemo je na stepenasti oblik.

Kada konvertujete matricu, uradite sledeće:

2) oduzmite od 3 i 4 reda 1. red pomnožen sa 4;
3) pomnožite 4. red sa (-1) i zamenite sa 2. redom;
4) dodati 3 i 4 reda sa 2. redom pomnoženim sa 5, odnosno 4;
5) oduzmite 3. red od 4. reda i precrtajte 4. red sa nula elemenata.

Kao rezultat izvršenih radnji, dobili smo stepenastu matricu sa tri reda različita od nule kako u matrici sistema (do linije) tako iu proširenoj matrici. Odatle se vidi da je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice i jednak 3, ali manji od broja nepoznatih (n=4).

Odgovor: jer r(A)=r(A1)=3

Zbog činjenice da je zgodno odrediti rang matrica svođenjem na stepenasti oblik, razmotrit ćemo metodu za rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode.

Gaussova metoda

Suština Gaussove metode leži u sukcesivnom uklanjanju nepoznatih. t redukcijom na stepenasti oblik proširene matrice A1, koja uključuje sistemsku matricu A do prave. U ovom slučaju se istovremeno određuju rangovi matrica A, A1 i proučava se sistem po Kronecker-Capelli teorema. U posljednjoj fazi rješava se sistem jednadžbi stepenastog tipa, vršeći zamjene odozdo prema gore pronađenih vrijednosti nepoznanica.

Razmotrimo primjenu Gaussove metode i Kronecker-Capelijeve teoreme na primjeru.

Primjer. Riješite sistem Gaussovom metodom:

Odredimo rangove sistemske matrice A i proširene matrice A1. Da bismo to učinili, sastavimo proširenu matricu A1 i svedemo je na stepenasti oblik. Prilikom bacanja uradite sljedeće:

1) oduzmite 1. red od 2. reda;
2) oduzeti od 3. reda 1. red, pomnožen sa 2;
3) podijelite 2. red sa (-2), a 3. red pomnožite sa (-1) i zamijenite ih.

Dobili smo matricu koraka, u kojoj je broj redova jednak 3, a matrica sistema (pre linije) takođe nema nula ponora. Prema tome, rangovi sistemske matrice i proširene matrice su 3 i jednaki su broju nepoznatih, tj. r(A)=r(A1)=n=3.. Prema Kronecker-Capelli teoremi, sistem je konzistentan i definisan, ima jedinstveno rješenje.

Kao rezultat transformacije matrice A1, nuliranjem koeficijenata za nepoznate, one su sukcesivno isključene iz jednačina i dobijen je stepenasti (trokutasti) sistem jednačina:

Krećući se uzastopno odozdo prema gore, zamjenjujući rješenje (x3=1) iz treće jednačine u drugu, a rješenja (x2=1, x3=1) iz druge i treće jednačine u prvu, dobijamo rješenje sistem jednačina: x1=1,x2=1, x3=1.

Provjerite: -(!) Odgovor: (x1=1,x2=1,x3=1).

Jordan-Gaussova metoda

Ovaj sistem se može riješiti poboljšanom Jordan-Gaussovom metodom, koja se sastoji u tome da se matrica sistema A u proširenoj matrici (do prave) svede na matricu identiteta: E = sa jednom dijagonalnom i nultom vandijagonalnim elementima i odmah dobiti rješenje sistema bez dodatnih zamjena.

Rešimo gornji sistem Jordan-Gaussovom metodom. Da bismo to učinili, rezultujuću matricu koraka transformiramo u jednu na sljedeći način:

1) oduzmite 2. red od 1. reda;
2) sa 1. redom dodati 3. red, pomnožen sa 3;
3) od 2. reda oduzmite 3. red, pomnoženo sa 4.

Originalni sistem jednadžbi sveden je na sistem:, koji određuje rješenje.

osnovne operacije sa matricama

Neka su date dvije matrice: A= B=.

1. Matrice su jednake A=B ako su njihovi istoimeni elementi jednaki: aij=bij
2. Zbir (razlika) matrica (A ± B) je matrica definirana jednakošću:

Prilikom sabiranja (oduzimanja) matrica, njihovi istoimeni elementi se sabiraju (oduzimaju).

3. Proizvod broja k matricom A je matrica definirana jednakošću:

Kada se matrica pomnoži sa brojem, svi elementi matrice se pomnože s tim brojem.

4. Proizvod matrica AB je matrica definirana jednakošću:

Prilikom množenja matrica, elementi redova prve matrice se množe sa elementima stupaca druge matrice i zbrajaju, a element matrice proizvoda u i-tom redu i j-tom stupcu jednak je zbir proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog reda prve matrice i j-te kolone druge matrice.

Kod množenja matrica, u opštem slučaju, ne važi komutativni zakon, tj. AB?VA.

5. Transpozicija matrice A je radnja koja dovodi do zamjene redova stupcima, a stupaca odgovarajućim redovima.

Matrica AT= naziva se transponovana matrica za matricu A=.

Ako determinanta matrice A nije jednaka nuli (D?0), onda se takva matrica naziva nesingularnom. Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji inverzna matrica A-1, za koju vrijedi jednakost: A-1 A= A A-1=E, gdje je E=- matrica identiteta.

6. Inverzija matrice A je takva radnja u kojoj se dobije inverzna matrica A-1

Prilikom invertiranja matrice A izvode se sljedeće radnje.