Tabela trigonometrijskih funkcija svih uglova. Trigonometrijske funkcije numeričkih i kutnih argumenata
TABELA VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija sastavljena je za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stepeni i njihove odgovarajuće uglove u radijanima. Od trigonometrijskih funkcija, tabela prikazuje sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Za praktičnost rješenja školski primjeri vrijednosti trigonometrijskih funkcija u tablici su zapisane kao razlomak uz očuvanje znakova vađenja kvadratnog korijena iz brojeva, što vrlo često pomaže u smanjenju složenih matematičkih izraza. Za tangentu i kotangens, vrijednosti nekih uglova se ne mogu odrediti. Za vrijednosti tangenta i kotangensa takvih uglova nalazi se crtica u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Općenito je prihvaćeno da su tangens i kotangens takvih uglova jednaki beskonačnosti. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.
Tabela vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in stepen mjere, što odgovara sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. školski sto sinusi.
Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju, u tabeli su prikazane vrijednosti za sljedeće uglove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stepenu mjere, što odgovara cos 0 pi, cos pi do 6, cos pi sa 4, cos pi sa 3, cos pi sa 2, cos pi, cos 3 pi sa 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Školska tablica kosinusa.
Trigonometrijska tablica za tangentu trigonometrijske funkcije daje vrijednosti za sljedeće uglove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u mjeri stepena, što odgovara tg pi 0 pi, t / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Slijedeće vrijednosti trigonometrijske funkcije tangente nisu definisane tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 i smatraju se jednakim beskonačnosti.
Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tabeli date su vrijednosti sljedećih uglova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stepenskoj mjeri, što odgovara ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 u radijanskoj mjeri uglova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekansa i kosekansa date su za iste uglove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangent, kotangens.
Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove u stepenima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stepena i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su kao razlomci i kvadratni korijeni kako bi se pojednostavila redukcija razlomaka u školskim primjerima.
Još tri čudovišta trigonometrije. Prvi je tangent od 1,5 stepeni i po, ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus od pi podijeljen sa 240, pi/240. Najduži je kosinus od pi podijeljen sa 17, pi/17.
Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinusa i kosinusa vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, kosinusne vrijednosti su podvučene zelenom crticom kako bi bile manje zbunjene. Pretvaranje stupnjeva u radijane je također vrlo jasno predstavljeno, kada se radijani izražavaju kroz pi.
Ovo trigonometrijska tabela predstavlja vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove od 0 nula do 90 devedeset stepeni u intervalima od jednog stepena. Za prvih četrdeset pet stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija moraju se pogledati na vrhu tabele. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa upisuju se u sljedeće četiri stupca.
Za uglove od četrdeset pet stepeni do devedeset stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija su napisani na dnu tabele. Posljednja kolona sadrži stupnjeve, vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangensa i tangenta su upisane u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan, jer se nazivi trigonometrijskih funkcija u donjem dijelu trigonometrijske tablice razlikuju od naziva u gornjem dijelu tablice. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangenta i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Znaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. sinus ima pozitivne vrijednosti 0 do 180 stepeni ili 0 do pi. Negativne vrijednosti sinusa su od 180 do 360 stepeni ili od pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stepeni, odnosno od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangenta i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stepeni i od 180 do 270 stepeni, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i od pi do 3/2 pi. Negativna tangenta i kotangens su 90 do 180 stepeni i 270 do 360 stepeni, ili 1/2 pi do pi i 3/2 pi do 2 pi. Prilikom određivanja predznaka trigonometrijskih funkcija za uglove veće od 360 stepeni ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti ovih funkcija.
Trigonometrijske funkcije sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan ugaoće biti pozitivna. Prilikom množenja i dijeljenja trigonometrijskih funkcija morate slijediti pravila znakova.
Tabela vrijednosti za sinus trigonometrijske funkcije prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove
DokumentZasebna stranica sadrži formule za izvođenje trigonometrijskifunkcije. AT stovrijednostizatrigonometrijskifunkcijesinusdatovrijednostizasljedećiuglovi: sin 0, sin 30, sin 45 ...
Predloženi matematički aparat je potpuni analog kompleksnog računa za n-dimenzionalne hiperkompleksne brojeve sa bilo kojim brojem stupnjeva slobode n i namijenjen je matematičkom modeliranju nelinearnih
Dokument... funkcije jednaki funkcije Slike. Iz ove teoreme trebalo bi, šta za pronalaženje koordinata U, V, dovoljno je izračunati funkcija... geometrija; polynar funkcije(multidimenzionalni analozi dvodimenzionalnog trigonometrijskifunkcije), njihova svojstva, stolovi i primjena; ...
-
Tabela osnovnih trigonometrijskih funkcija za uglove 0, 30, 45, 60, 90, ... stepeni
Iz trigonometrijskih definicija funkcija $\sin$, $\cos$, $\tan$ i $\cot$, mogu se pronaći njihove vrijednosti za uglove $0$ i $90$ stepeni:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nije definisano;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nije definisan.
AT školski kurs geometrije u proučavanju pravokutnih trougla pronalaze trigonometrijske funkcije uglova $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ i $90°$.
Pronađene vrijednosti trigonometrijskih funkcija za navedene uglove u stepenima i radijanima ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) radi lakšeg pamćenja i upotrebe unose se u tabelu pod nazivom trigonometrijska tabela, tabela osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija itd.
Kada koristite formule redukcije, trigonometrijska tabela se može proširiti na ugao od $360°$ i $2\pi$ radijana respektivno:
Primjenom svojstava periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svaki ugao koji se razlikuje od već poznatog za $360°$ može se izračunati i zabilježiti u tabeli. Na primjer, trigonometrijska funkcija za ugao $0°$ će imati istu vrijednost za ugao $0°+360°$, i za ugao $0°+2 \cdot 360°$, i za ugao $0°+3 \ cdot 360°$ i sl.
Pomoću trigonometrijske tablice možete odrediti vrijednosti svih uglova jedinične kružnice.
U školskom kursu geometrije treba zapamtiti osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija prikupljenih u trigonometrijskoj tablici, radi lakšeg rješavanja trigonometrijski problemi.
Koristeći sto
U tabeli je dovoljno pronaći potrebnu trigonometrijsku funkciju i vrijednost ugla ili radijana za koji ovu funkciju treba izračunati. Na presjeku reda sa funkcijom i stupca sa vrijednošću dobijamo željenu vrijednost trigonometrijske funkcije datog argumenta.
Na slici možete vidjeti kako pronaći vrijednost $\cos60°$ koja je jednaka $\frac(1)(2)$.
Slično se koristi proširena trigonometrijska tablica. Prednost njegove upotrebe je, kao što je već spomenuto, izračunavanje trigonometrijske funkcije gotovo bilo kojeg ugla. Na primjer, lako možete pronaći vrijednost $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Bradisove tablice osnovnih trigonometrijskih funkcija
Mogućnost izračunavanja trigonometrijske funkcije apsolutno bilo koje vrijednosti ugla za cjelobrojnu vrijednost stupnjeva i cjelobrojnu vrijednost minuta daje korištenje Bradisovih tablica. Na primjer, pronađite vrijednost $\cos34°7"$. Tabele su podijeljene na 2 dijela: tabela vrijednosti $\sin$ i $\cos$ i tabela $\tan$ i $\ vrijednosti dječjeg krevetića.
Bradisove tabele omogućavaju dobijanje približne vrednosti trigonometrijskih funkcija sa tačnošću do 4 decimale.
Korištenje Bradisovih tablica
Koristeći Bradysove tabele za sinuse, nalazimo $\sin17°42"$. Da bismo to uradili, u koloni levo od tabele sinusa i kosinusa nalazimo vrednost stepeni - $17°$, a u u gornjoj liniji nalazimo vrijednost minuta - $42"$. Na njihovom preseku dobijamo željenu vrednost:
$\sin17°42"=0,304$.
Da biste pronašli vrijednost $\sin17°44"$, trebate koristiti korekciju na desnoj strani tabele. ovaj slučaj na vrijednost od $42"$, koja se nalazi u tabeli, potrebno je dodati korekciju za $2"$, što je jednako $0,0006$. Dobijamo:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Da bismo pronašli vrijednost $\sin17°47"$, koristimo i korekciju na desnoj strani tabele, samo u ovom slučaju uzimamo vrijednost $\sin17°48"$ kao osnovu i oduzimamo korekciju za $1"$:
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Prilikom izračunavanja kosinusa izvodimo slične radnje, ali gledamo stepene u desnom stupcu i minute u donjem stupcu tabele. Na primjer, $\cos20°=0,9397$.
Nema korekcija za vrijednosti tangente do $90°$ i kotangens malog ugla. Na primjer, pronađimo $\tan 78°37"$, što prema tabeli iznosi $4,967$.
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Da bismo bolje razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i da bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od samog početka i razumjeti pojam ugla.
Koncept ugla: radijan, stepen
Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.
Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, jedinice ugla, naravno!
Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.
Ugao od (jedan stepen) se naziva centralni ugao u krug, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od "komada" kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.
Odnosno, gornja slika prikazuje ugao koji je jednak, odnosno ovaj ugao se zasniva na kružnom luku veličine obima.
Ugao u radijanima naziva se centralni ugao u krugu, zasnovan na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.
Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao se zasniva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili poluprečniku jednaka dužini lukovi). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:
Gdje je centralni ugao u radijanima.
Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao opisan krugom? Da, za to morate zapamtiti formulu za obim kruga. Evo je:
Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i dobijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.
Koliko je radijana? Tako je!
Jasno? Zatim pričvrstite naprijed:
Ima li poteškoća? Onda pogledaj odgovori:
Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla
Dakle, s konceptom ugla razrađen. Ali šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, mi ćemo pomoći pravougaonog trougla.
Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog ugla (u našem primjeru, ovo je stranica); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravi ugao), štaviše, ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: koliki su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?
Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.
u našem trouglu.
Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.
u našem trouglu.
Ugaona tangenta- ovo je omjer suprotne (daleke) noge prema susjednoj (bliskoj).
u našem trouglu.
Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).
u našem trouglu.
Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti s čime, morate to jasno razumjeti tangenta i kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
kosinus→dodir→dodir→susedni;
Kotangens→dodir→dodir→susedni.
Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens kao omjer stranica trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod jednim kutom). Ne vjerujete? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!
Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.
Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.
Jedinični (trigonometrijski) krug
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove single. Veoma je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga ćemo se na tome zadržati malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je ugrađen Kartezijanski sistem koordinate. Radijus kruga jednako jedan, dok centar kružnice leži na početku, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru, ovo je radijus).
Svaka tačka kružnice odgovara dva broja: koordinata duž ose i koordinata duž ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da biste to učinili, zapamtite razmatrani pravokutni trokut. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.
Čemu je jednako iz trougla? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, i stoga, . Zamijenite ovu vrijednost u našu kosinus formulu. Evo šta se dešava:
A koliko je jednako iz trougla? Pa, naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:
Dakle, možete li mi reći koje su koordinate tačke koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? A ako to shvatite i to su samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinira! Dakle, poenta.
I šta su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.
Šta ako je ugao veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:
Šta se promenilo u ovaj primjer? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, ponovo se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao: ugao (kao susedan uglu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi su primjenjivi na bilo koje rotacije radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jednu potpunu revoluciju i zaustaviti se na poziciji ili.
U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri potpuna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu i tako dalje. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)
Sada, poznavanje definicija osnovnih trigonometrijskih funkcija i korištenje jedinični krug, pokušajte odgovoriti koliko su vrijednosti jednake:
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Ima li poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:
Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama ugla. Pa, počnimo redom: ugao u odgovara tački s koordinatama, dakle:
Ne postoji;
Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Dakle, možemo napraviti sljedeću tabelu:
Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:
Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera dosta pamćenje odgovarajuće vrijednosti:
Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangenta kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:
Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Kotangentne vrijednosti se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.
Koordinate tačke na kružnici
Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegovog polumjera i kuta rotacije?
Pa, naravno da možete! Hajde da iznesemo opšta formula da nađemo koordinate tačke.
Evo, na primjer, imamo takav krug:
Dato nam je da je tačka centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.
Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:
Onda imamo to za tačku koordinatu.
Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. Na ovaj način,
Dakle unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:
Koordinate centra kruga,
polumjer kruga,
Ugao rotacije radijus vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate centra nula, a polumjer jednak jedan:
Pa, hajde da probamo ove formule za ukus, vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?
1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene okretanjem tačke.
2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene okretanjem tačke.
4. Tačka - centar kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
5. Tačka - centar kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?
Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!
1.
To se vidi. A znamo šta odgovara potpunom preokretu početne tačke. Na ovaj način, željenu tačkuće biti u istoj poziciji kao i prilikom uključivanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate tačke:
2. Krug je jedinica sa centrom u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
To se vidi. Znamo šta odgovara dva puni okret polazna tačka. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate tačke:
Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobijamo:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
3. Krug je jedinica sa centrom u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
To se vidi. Opišimo razmatrani primjer na slici:
Radijus čini uglove sa osom jednakim i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje uzima negativno značenje, a sinus je pozitivan, imamo:
Više slični primjeri razumjeti kada proučavate formule za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.
Dakle, željena tačka ima koordinate.
4.
Ugao rotacije vektora radijusa (prema uslovu)
Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:
Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobijamo da:
Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje
Koordinate središta kruga (u našem primjeru,
Radijus kruga (prema uslovu)
Ugao rotacije radijus vektora (prema uslovu).
Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijete:
i - tabelarne vrijednosti. Pamtimo ih i zamjenjujemo ih u formulu:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA
Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.
Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.
Tangent ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i susjednog (bliskog).
Kotangens ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i suprotnog (dalekog).
Ovaj članak je prikupljen tablice sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Prvo dajemo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa uglova 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stepeni ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga ćemo dati tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangenta i kotangensa V. M. Bradisa i pokazati kako koristiti ove tablice pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Navigacija po stranici.
Tabela sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove 0, 30, 45, 60, 90, ... stepeni
Bibliografija.
- algebra: Proc. za 9 ćelija. avg. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
- Bradis V. M.Četvorocifrene matematičke tabele: Za opšte obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2nd ed. - M.: Drfa, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2
Student pedagoškog fakulteta: životni i profesionalni izgledi: Monografija Profesionalna aktivnost mladog nastavnika
Karakteristike obrazovanja zasnovanog na kompetencijama Priprema za čas
Psihološki i pedagoški pristupi ocjenjivanju rezultata obrazovanja zasnovanog na kompetencijama III