Napišite jednačinu za oscilaciju opružnog klatna. Slobodne oscilacije opružnog klatna

Pitanje 36 Energija harmonijskih oscilacija

Književnost

1.7.2. Matematičko klatno

1.7.3. fizičko klatno

1.7.4. Energija harmonijskih vibracija

1.7.5. prigušene vibracije .

1.7.6. Prisilne vibracije. Rezonancija .

1.7.7. Samooscilacije

1.7.8. Sabiranje vibracija u jednom smjeru

1.7.9. otkucaji

1.7.10. Sabiranje međusobno okomitih vibracija (Lissajousove figure)

1.7.11. Širenje talasa u elastičnom mediju

1.7.12. Jednačina ravnih talasa

(1.7.1)

Ako se kuglica pomakne iz ravnotežnog položaja za udaljenost x, tada će izduženje opruge postati jednako Δl 0 + x. Tada će rezultujuća sila poprimiti vrijednost:

Uzimajući u obzir uslov ravnoteže (1.7.1), dobijamo:

Znak minus označava da su pomak i sila u suprotnim smjerovima.

Elastična sila f ima sljedeća svojstva:

Proporcionalan je pomaku lopte iz ravnotežnog položaja;
Uvek je usmeren ka ravnotežnom položaju.

Da biste sistemu rekli pomak x, morate izvesti protiv elastična sila posao:

Ovo posao u izradi za stvaranje rezerve potencijalna energija sistemi:

Pod dejstvom elastične sile, lopta će se kretati ka ravnotežnom položaju sa sve većom brzinom. Dakle, potencijalna energija sistema će se smanjiti, ali će kinetička energija porasti (zanemarujemo masu opruge). Kada dođe u ravnotežni položaj, lopta će nastaviti da se kreće po inerciji. Ovo je usporeno kretanje i prestat će kada se kinetička energija potpuno pretvori u potencijalnu. Zatim će se isti proces nastaviti kada lopta uđe obrnuti smjer. Ako u sistemu nema trenja, lopta će oscilirati beskonačno.

Jednačina drugog Newtonovog zakona u ovom slučaju je:

Transformirajmo jednačinu ovako:

Uvodeći oznaku , dobijamo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda:

Direktnom zamjenom to je lako provjeriti zajednička odluka jednačina (1.7.8) ima oblik:

gdje je a amplituda, a φ početna faza oscilacije - konstante. Dakle, fluktuacija opružno klatno je harmoničan (slika 1.7.2).

Rice. 1.7.2. harmonijske oscilacije

Zbog periodičnosti kosinusa, različita stanja oscilatornog sistema se ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda (perioda oscilovanja) T, tokom kojeg faza oscilovanja dobija prirast od 2π. Period možete izračunati pomoću jednačine:

odakle slijedi:

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija:

Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove 1 Hz.

Iz (1.7.11) proizilazi da:

Dakle, ω 0 je broj oscilacija napravljenih u 2π sekundi. Vrijednost ω 0 naziva se kružna ili ciklična frekvencija. Koristeći (1.7.12) i (1.7.13), pišemo:

Diferencirajući () s obzirom na vrijeme, dobijamo izraz za brzinu lopte:

Iz (1.7.15) slijedi da se i brzina mijenja prema harmonijskom zakonu i da je ispred faznog pomaka za ½π. Diferencirajući (1.7.15), dobijamo ubrzanje:

Matematičko klatno naziva se idealizovani sistem koji se sastoji od neprotegljivog bestežinski konac na kojoj je obješeno tijelo čija je cijela masa koncentrisana u jednoj tački.

Odstupanje klatna od ravnotežnog položaja karakteriše ugao φ koji formira nit sa vertikalom (slika 1.7.3).

Rice. 1.7.3. Matematičko klatno

Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja, obrtni moment, koji teži da vrati klatno u njegov ravnotežni položaj:

Napišimo jednačinu dinamike za klatno rotaciono kretanje, s obzirom da je njegov moment inercije jednak ml 2:

Ova jednačina se može dovesti do oblika:

Ograničavajući se na slučaj malih fluktuacija sinφ ≈ φ i uvodimo oznaku:

jednačina (1.7.19) se može predstaviti na sljedeći način:

koja se po formi poklapa sa jednacinom oscilacija opružnog klatna. Stoga će njegovo rješenje biti harmonijska oscilacija:

Iz (1.7.20) proizilazi da je frekvencija ciklične oscilacije matematičko klatno zavisi od njegove dužine i ubrzanja slobodan pad. Koristeći formulu za period oscilovanja () i (1.7.20), dobijamo poznatu relaciju:

Fizičko klatno se zove solidan sposoban da oscilira fiksna tačka, što se ne poklapa sa centrom inercije. U ravnotežnom položaju, centar inercije klatna C je ispod tačke vešanja O na istoj vertikali (slika 1.7.4).

Rice. 1.7.4. fizičko klatno

Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja za ugao φ, javlja se moment koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

gdje je m masa klatna, l je udaljenost između tačke ovjesa i centra inercije klatna.

Napišimo jednačinu za dinamiku rotacionog kretanja za klatno, uzimajući u obzir da je moment inercije jednak I:

Za male fluktuacije sinφ ≈ φ. Zatim, uvodeći notaciju:

koja se takođe po formi poklapa sa jednačinom oscilovanja opružnog klatna. Iz jednačina (1.7.27) i (1.7.26) slijedi da za mala odstupanja fizičko klatno iz ravnotežnog položaja vrši harmonijsku oscilaciju čija frekvencija zavisi od mase klatna, momenta inercije i udaljenosti između ose rotacije i centra inercije. Koristeći (1.7.26), možete izračunati period oscilacije:

Upoređujući formule (1.7.28) i () dobijamo da je matematičko klatno dužine:

imaće isti period oscilovanja kao i razmatrano fizičko klatno. Količina (1.7.29) se zove smanjena dužina fizičko klatno. Dakle, smanjena dužina fizičkog klatna je dužina takvog matematičkog klatna, čiji je period oscilovanja jednak periodu oscilovanja datog fizičkog klatna.

Tačka na pravoj liniji koja povezuje tačku ovjesa sa centrom inercije, a koja leži na udaljenosti smanjene dužine od ose rotacije, naziva se zamahni centar fizičko klatno. Prema Steinerovoj teoremi, moment inercije fizičkog klatna je:

gdje je I 0 moment inercije oko centra inercije. Zamjenom (1.7.30) u (1.7.29) dobijamo:

Stoga je smanjena dužina uvijek veća od udaljenosti između tačke ovjesa i centra inercije klatna, tako da tačka vješanja i centar ljuljanja leže duž različite strane od centra inercije.

Tokom harmonijskih oscilacija dolazi do periodične međusobne transformacije kinetička energija oscilirajućeg tijela E k i potencijalne energije E p uslijed djelovanja kvazielastične sile. Iz ovih energija dodaje se ukupna energija E oscilatornog sistema:

Hajde da napišemo poslednji izraz

Ali k \u003d mω 2, tako da dobijamo izraz za puna energija oscilirajuće tijelo

Dakle, ukupna energija harmonijske oscilacije je konstantna i proporcionalna kvadratu amplitude i kvadratu kružne frekvencije oscilacije.

Kada se proučavaju harmonijske oscilacije, sile trenja i otpora koje postoje u stvarni sistemi. Djelovanje ovih sila značajno mijenja prirodu kretanja, oscilacija postaje fading.

Ako u sistemu pored kvazielastične sile deluju i sile otpora sredine (sile trenja), onda se drugi Njutnov zakon može zapisati na sledeći način:

gdje je r koeficijent trenja, koji karakterizira svojstva medija da se odupire kretanju. Zamjenjujemo (1.7.34b) u (1.7.34a):

Grafikon ove funkcije prikazan je na slici 1.7.5 kao puna kriva 1, a isprekidana linija 2 prikazuje promjenu amplitude:

Uz vrlo malo trenja, period prigušenih oscilacija je blizak periodu neprigušenih slobodnih oscilacija (1.7.35.b)

Brzina smanjenja amplitude oscilacije određena je pomoću faktor prigušenja: što je veći β, to je jači efekat usporavanja medija i amplituda se brže smanjuje. U praksi se često karakteriše stepen slabljenja logaritamski dekrement prigušenja, što znači vrijednost jednaku prirodnom logaritmu omjera dviju uzastopnih amplituda oscilacija razdvojenih vremenskim intervalom jednakim periodu oscilovanja:

;

Stoga su koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja povezani prilično jednostavnom relacijom:

Uz jako prigušenje, iz formule (1.7.37) se može vidjeti da je period oscilovanja imaginarna veličina. Pokret se u ovom slučaju već zove aperiodično. Aperiodični graf kretanja prikazan je na Sl. 1.7.6. Neprigušene i prigušene oscilacije se nazivaju vlastiti ili besplatno. Nastaju zbog početnog pomaka ili početna brzina a izvode se u odsustvu spoljni uticaj od prvobitno uskladištene energije.

prinuđen oscilacije su one koje se javljaju u sistemu sa učešćem spoljna sila, koji varira u skladu sa periodičnim zakonom.

Pretpostavimo da, pored kvazielastične sile i sile trenja, na materijalnu tačku djeluje i vanjska pokretačka sila

gdje je F 0 - amplituda; ω - kružna frekvencija oscilacija pokretačke sile. Sastavljamo diferencijalnu jednačinu (Njutnov drugi zakon):

Amplituda prinudne oscilacije (1.7.39) je direktno proporcionalna amplitudi pokretačke sile i ima kompleksna zavisnost na koeficijent prigušenja sredine i kružne frekvencije prirodnih i prisilnih oscilacija. Ako su za sistem dati ω 0 i β, onda je amplituda prisilne vibracije Ima maksimalna vrijednost kod nekih određenu frekvenciju prisilna sila tzv rezonantan.

Sama pojava - dostizanje maksimalne amplitude za date ω 0 i β - naziva se rezonancija.

Rice. 1.7.7. Rezonancija

U nedostatku otpora, amplituda prisilnih oscilacija u rezonanciji je beskonačno velika. U ovom slučaju, iz ω res = ω 0, tj. rezonancija u sistemu bez prigušenja nastaje kada se frekvencija pokretačke sile poklapa sa frekvencijom prirodnih oscilacija. Grafička zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od kružne frekvencije pokretačke sile pri različita značenja koeficijent slabljenja prikazan je na sl. 5.

Mehanička rezonanca može biti i korisna i štetna. Štetno djelovanje rezonancije je uglavnom zbog razaranja koje može izazvati. Dakle, u tehnologiji, uzimajući u obzir različite vibracije, potrebno je obezbijediti mogućih pojava rezonantnim uslovima, inače može doći do uništenja i katastrofe. Tijela obično imaju nekoliko prirodnih frekvencija vibracija i, shodno tome, nekoliko rezonantnih frekvencija.

Ako koeficijent slabljenja unutrašnjih organa osobe ne bi bio velik, tada bi rezonantne pojave nastale u tim organima pod utjecajem vanjskih vibracija ili zvučni talasi, može dovesti do tragičnih posljedica: rupture organa, oštećenja ligamenata itd. Međutim, takvi se fenomeni praktički ne primjećuju pod umjerenim vanjskim utjecajima, jer je koeficijent slabljenja bioloških sistema prilično velik. Ipak, rezonantne pojave pod dejstvom spoljašnjeg mehaničke vibracije odvijati tokom unutrašnje organe. To je, očigledno, jedan od razloga negativnog utjecaja infrazvučnih oscilacija i vibracija na ljudsko tijelo.

Postoje i takvi oscilatorni sistemi koji sami regulišu periodično dopunjavanje izgubljene energije i stoga mogu dugo fluktuirati.

Neprigušene oscilacije koje postoje u bilo kom sistemu u odsustvu promenljivog spoljašnjeg uticaja nazivaju se samooscilacije, i sami sistemi samooscilirajući.

Amplituda i frekvencija samooscilacija zavise od svojstava u samom samooscilirajućem sistemu, a za razliku od prisilnih oscilacija, one nisu određene vanjskim utjecajima.

U mnogim slučajevima, samooscilirajući sistemi mogu biti predstavljeni sa tri glavna elementa (slika 1.7.8): 1) stvarni oscilirajući sistem; 2) izvor energije; 3) regulator snabdijevanja energijom stvarnog oscilatornog sistema. Oscilirajući sistem po kanalu povratne informacije(slika 6) utiče na regulator, obaveštavajući regulator o stanju ovog sistema.

Klasičan primjer mehaničkog samooscilirajućeg sistema je sat u kojem je klatno ili vaga oscilatorni sistem, opruga ili podignut uteg je izvor energije, a sidro je regulator ulaza energije iz izvora u oscilatorni sistem.

Mnogi biološki sistemi(srce, pluća, itd.) samoosciliraju. Tipičan primjer elektromagnetnog samooscilirajućeg sistema su generatori samooscilirajućih oscilacija.

Razmotrimo sabiranje dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 = a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Harmonična oscilacija se može odrediti pomoću vektora čija je dužina jednaka amplitudi oscilacija, a smjer formira ugao s nekom osom jednak početnoj fazi oscilacija. Ako se ovaj vektor rotira sa ugaona brzinaω 0 , tada će se njegova projekcija na odabranu osu promijeniti prema harmonijskom zakonu. Na osnovu toga biramo neku osu X i predstavljamo oscilacije pomoću vektora a 1 i a 2 (slika 1.7.9).

Iz slike 1.7.6 slijedi da

Šeme u kojima su oscilacije grafički prikazane kao vektori na ravni nazivaju se vektorski dijagrami.

To proizilazi iz formule 1.7.40. Da ako je razlika faza obe oscilacije jednaka nuli, amplituda rezultirajuće oscilacije jednaka je zbiru amplituda dodatih oscilacija. Ako je razlika faza dodanih oscilacija jednaka , tada je amplituda rezultirajuće oscilacije jednaka . Ako frekvencije dodatih oscilacija nisu iste, tada će se vektori koji odgovaraju tim oscilacijama rotirati različitim brzinama. U ovom slučaju, rezultujući vektor pulsira u veličini i rotira se nekonstantnom brzinom. Posljedično, kao rezultat sabiranja, ne dobija se harmonijska oscilacija, već složen oscilatorni proces.

Razmotrite dodavanje dvije harmonijske oscilacije istog smjera, malo različite frekvencije. Neka je frekvencija jednog od njih jednaka ω , a frekvencija drugog ω + ∆ω, i ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = a cos ωt, x 2 = a cos (ω + ∆ω) t.

Zbrajanjem ovih izraza i upotrebom formule za zbir kosinusa, dobijamo:

Oscilacije (1.7.41) se mogu posmatrati kao harmonijska oscilacija sa frekvencijom ω, čija amplituda varira u skladu sa zakonom . Ova funkcija je periodična sa frekvencijom dvostrukom frekvencijom izraza pod znakom modula, tj. sa frekvencijom ∆ω. Dakle, frekvencija amplitudnih pulsacija, nazvana frekvencija otkucaja, jednaka je razlici u frekvencijama dodatih oscilacija.

Ako materijalna točka oscilira i duž x-ose i duž y-ose, tada će se kretati duž neke krivolinijske putanje. Neka je frekvencija oscilacije ista i početna faza prve oscilacije jednaka nuli, tada zapisujemo oscilacijske jednačine u obliku:

Jednačina (1.7.43) je jednačina elipse, čije su osi proizvoljno orijentisane u odnosu na x i y koordinatne ose. Orijentacija elipse i veličina njenih poluosi zavise od amplituda a i b i fazne razlike α. Razmotrimo neke posebne slučajeve:

(m=0, ±1, ±2, …). U ovom slučaju, jednačina ima oblik

Ovo je jednačina elipse, čije osi se poklapaju sa koordinatnim osa, a njene poluose su jednake amplitudama (slika 1.7.12). Ako su amplitude jednake, tada elipsa postaje kružnica.

Sl.1.7.12

Ako se frekvencije međusobno okomitih oscilacija razlikuju za mali iznos ∆ω, mogu se smatrati oscilacijama iste frekvencije, ali sa sporo promjenjivom faznom razlikom. U ovom slučaju, jednačine oscilovanja se mogu napisati

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

a izraz ∆ωt+α se smatra faznom razlikom koja se polako mijenja s vremenom prema linearnom zakonu. Rezultirajuće kretanje u ovom slučaju prati krivulju koja se polako mijenja, koja će sukcesivno poprimiti oblik koji odgovara svim vrijednostima fazne razlike od -π do +π.

Ako frekvencije međusobno okomitih oscilacija nisu iste, onda trajektorija rezultujućeg kretanja ima oblik prilično složenih krivulja tzv. Lissajous figure. Neka se, na primjer, frekvencije dodatnih oscilacija povežu kao 1 : 2 i fazna razlika π/2. Tada jednačine oscilovanja imaju oblik

x=a cos ωt, y=b cos.

Dok duž x-ose tačka uspeva da se pomeri iz jednog ekstremnog položaja u drugi, duž y-ose, napuštajući nultu poziciju, uspeva da dođe do jednog ekstremnog položaja, zatim drugog i da se vrati. Prikaz krive je prikazan na sl. 1.7.13. Kriva sa istim odnosom frekvencija, ali faznom razlikom jednakom nuli prikazana je na slici 1.7.14. Odnos frekvencija dodatih oscilacija je inverzan odnosu broja tačaka preseka Lissajousovih figura sa pravim linijama paralelnim sa koordinatnim osama. Stoga se po izgledu Lissajousovih figura može odrediti omjer frekvencija dodatih oscilacija ili nepoznate frekvencije. Ako je poznata jedna od frekvencija.

Sl.1.7.13

Sl.1.7.14

Što je racionalni razlomak koji izražava omjer frekvencija vibracija bliži jedinici, to su rezultirajuće Lissajousove figure složenije.

Ako se na bilo kojem mjestu elastičnog (čvrstog tekućeg ili plinovitog) medija pobuđuju vibracije njegovih čestica, tada će se zbog interakcije između čestica ta vibracija širiti u mediju od čestice do čestice određenom brzinom υ. proces širenja vibracija u prostoru naziva se talas.

Čestice medija u kojem se širi talas ne uključuju talas u translaciono kretanje, one samo osciliraju oko svojih ravnotežnih položaja.

U zavisnosti od pravca oscilacija čestica u odnosu na smer u kome se talas širi, postoje uzdužni i poprečno talasi. U uzdužnom talasu, čestice medija osciliraju duž prostiranja talasa. U poprečnom talasu, čestice medija osciliraju u pravcima okomitim na pravac širenja talasa. Elastični poprečni valovi mogu nastati samo u mediju sa otporom na smicanje. Stoga se u tekućim i plinovitim medijima mogu pojaviti samo longitudinalni valovi. U čvrstom mediju moguća je pojava i longitudinalnih i poprečnih talasa.

Na sl. 1.7.12 prikazuje kretanje čestica tokom širenja u sredini poprečnog talasa. Brojevi 1, 2 itd. označavaju čestice koje zaostaju jedna za drugom za razmak jednak (¼ υT), tj. putem udaljenosti koju je prešao val u četvrtini perioda oscilacija koje su napravile čestice. U trenutku uzetom za nulu, val, koji se širi duž ose slijeva nadesno, stigao je do čestice 1, zbog čega je čestica počela da se kreće prema gore iz ravnotežnog položaja, vukući za sobom sljedeće čestice. Nakon četvrtine perioda, čestica 1 dostiže najgornji ravnotežni položaj čestice 2. Nakon još jedne četvrtine perioda, prvi dio će proći ravnotežni položaj, krećući se u smjeru od vrha prema dnu, druga čestica će stići do najgornje položaj, a treća čestica će početi da se kreće prema gore iz ravnotežnog položaja. U trenutku vremena jednakog T, prva čestica će završiti kompletan ciklus oscilovanja i biće u istom stanju kretanja kao i početni trenutak. Talas do trenutka T, nakon što je prošao putanju (υT), doći će do čestice 5.

Na sl. 1.7.13 prikazuje kretanje čestica tokom širenja u medijumu uzdužnog talasa. Sva razmatranja koja se tiču ponašanja čestica u poprečnom talasu mogu se primeniti i na ovaj slučaj sa pomacima gore i dole zamenjenim pomeranjima udesno i ulevo.

Sa slike se vidi da se tokom širenja longitudinalnog talasa u mediju stvaraju naizmjenične kondenzacije i razrjeđivanje čestica (mjesta kondenzacije su na slici zaokružena isprekidanom linijom), krećući se u smjeru prostiranja talasa. sa brzinom υ.

Rice. 1.7.15

Rice. 1.7.16

Na sl. 1.7.15 i 1.7.16 prikazane su oscilacije čestica čiji položaji i ravnoteže leže na osi x. U stvarnosti, ne samo da čestice osciliraju duž ose x, već skup čestica zatvorenih u određeni volumen. Šireći se od izvora oscilacija, talasni proces pokriva sve više i više delova prostora, mesto tačaka, do kojih oscilacije dosežu do vremena t, naziva se talasni front(ili talasni front). Valna fronta je površina koja odvaja dio prostora koji je već uključen u valni proces od područja u kojem oscilacije još nisu nastale.

Geometrijsko mjesto tačaka koje osciliraju u istoj fazi naziva se talasna površina . Talasna površina se može povući kroz bilo koju tačku u prostoru pokrivenom valnim procesom. Posljedično, postoji beskonačan broj valnih površina, dok u svakom trenutku postoji samo jedan valni front. Valne površine ostaju nepokretne (prolaze kroz ravnotežne položaje čestica koje osciliraju u istoj fazi ). Talasni front se stalno kreće.

Valne površine mogu biti bilo kojeg oblika. U najjednostavnijim slučajevima imaju oblik ravni ili sfere. Shodno tome, val se u ovim slučajevima naziva ravan ili sferičan. U ravnom talasu, valne površine su skup ravnina paralelnih jedna s drugom, u sfernom talasu - skup koncentričnih sfera.

Rice. 1.7.17

Neka se ravni talas širi duž ose x. Tada sve tačke sfere, položaji, čije ravnoteže imaju istu koordinatu x(ali razlika u vrijednostima koordinata y i z), osciliraju u istoj fazi.

Na sl. 1.7.17 prikazuje krivu koja daje pomak ξ iz ravnotežnog položaja tačaka sa različitim x u nekom trenutku. Ovaj crtež ne treba uzeti kao vidljivu sliku vala. Na slici je prikazan graf funkcija ξ (x, t) za neke fiksne tačka u vremenu t. Takav graf se može napraviti i za longitudinalne i za poprečne valove.

Udaljenost λ, za kratak talas koji se širi u vremenu jednakom periodu oscilovanja čestica medija, naziva se talasna dužina. Očigledno je da

gdje je υ brzina talasa, T je period oscilovanja. Talasna dužina se takođe može definisati kao rastojanje između najbližih tačaka medija, koje osciliraju sa faznom razlikom jednakom 2π (vidi sliku 1.7.14)

Zamjenom u odnosu (1.7.45) T kroz 1/ν (ν je frekvencija oscilovanja), dobijamo

Do ove formule može se doći i iz sljedećih razmatranja. U jednoj sekundi, izvor talasa vrši ν oscilacija, generišući u medijumu tokom svake oscilacije jedan "vrh" i jedno "koro" talasa. Do trenutka kada izvor završi ν -tu oscilaciju, prvi "greben" će imati vremena da prođe kroz putanju υ. Shodno tome, ν "vrbovi" i "doline" talasa moraju stati u dužinu υ.

Valna jednadžba je izraz koji daje pomak oscilirajuće čestice kao funkciju njenih koordinata x, y, z i vrijeme t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(što znači koordinate ravnotežnog položaja čestice). Ova funkcija mora biti periodična s obzirom na vrijeme t , i u odnosu na koordinate x, y, z. . Periodičnost u vremenu proizlazi iz činjenice da su tačke odvojene jedna od druge na udaljenosti λ , fluktuiraju na isti način.

Pronađite tip funkcije ξ u slučaju ravnog talasa, uz pretpostavku da su oscilacije harmonijske. Da pojednostavimo, usmjeravamo koordinatne ose tako da os x poklapa se sa pravcem širenja talasa. Tada će valne površine biti okomite na osu x a pošto sve tačke talasne površine osciliraju podjednako, pomeranje ξ zavisiće samo od toga x i t:

ξ = ξ (x, t) .

Sl.1.7.18

Neka oscilacije tačaka leže u ravni x = 0 (Sl. 1.7.18), imaju oblik

Nađimo vrstu oscilacije tačaka u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x . Da odem daleko od aviona x=0 do ove ravni, talasu treba vremena ( υ je brzina prostiranja talasa). Posljedično, oscilacije čestica koje leže u ravni x , zaostat će u vremenu τ od vibracija čestica u ravni x = 0 , tj. će izgledati

dakle, jednačina ravnih talasa(uzdužne i poprečne), šireći se u smjeru ose x , kao što slijedi:

Ovaj izraz definira odnos između vremena t i to mesto x , u kojem faza ima fiksnu vrijednost. Rezultirajuća vrijednost dx/dt daje brzinu kojom se kreće data vrijednost faze. Diferencirajući izraz (1.7.48), dobijamo

Jednačina talasa koji se širi u pravcu opadanja x :

Prilikom izvođenja formule (1.7.53), pretpostavili smo da amplituda oscilovanja ne zavisi od x . Za ravan talas, ovo se primećuje kada medij ne apsorbuje energiju talasa. Prilikom širenja u mediju koji apsorbira energiju, intenzitet vala postupno opada s udaljenosti od izvora oscilacija - uočava se slabljenje vala. Iskustvo pokazuje da se u homogenom mediju takvo prigušenje događa prema eksponencijalnom zakonu:

Odnosno jednačina ravnih talasa, uzimajući u obzir prigušenje, ima sljedeći oblik:

(1.7.54)

(a 0 je amplituda u tačkama ravni x = 0).

Periodične oscilacije se nazivaju harmonično , ako se fluktuirajuća vrijednost mijenja tokom vremena prema zakonu kosinusa ili sinusa:

Evo
- frekvencija ciklične oscilacije, A je maksimalno odstupanje oscilirajuće veličine od ravnotežnog položaja ( amplituda oscilovanja ), φ( t) = ω t+ φ 0 – faza oscilovanja , φ 0 – početna faza .

Grafikon harmonijskih oscilacija prikazan je na slici 1.

Slika 1– Grafikon harmonijskih oscilacija

Kod harmonijskih oscilacija, ukupna energija sistema se ne mijenja s vremenom. Može se pokazati da je ukupna energija mehaničkog oscilatornog sistema sa harmonijskim vibracijama jednaka:

Harmonično oscilirajuća količina s(t) poštuje diferencijalnu jednačinu:

, (1)

koji se zove diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija.

Matematičko klatno je materijalna tačka okačena na nerastezljivu bestežinsku nit, koja osciluje u jednoj vertikalnoj ravni pod dejstvom gravitacije.

Codeban period

fizičko klatno.

Fizičko klatno je kruto tijelo pričvršćeno na fiksnu horizontalnu os (os ovjesa) koje ne prolazi kroz centar gravitacije i oscilira oko ove ose pod djelovanjem gravitacije. Za razliku od matematičkog klatna, masa takvog tijela ne može se smatrati masom tačke.

Pri malim uglovima otklona α (slika 7.4), fizičko klatno takođe radi harmonijske vibracije. Pretpostavićemo da je težina fizičkog klatna primenjena na njegovo težište u tački C. Sila koja vraća klatno u ravnotežni položaj, u ovom slučaju, biće komponenta gravitacije – sila F.

Za izvođenje zakona gibanja matematičkog i fizičkog klatna koristimo osnovnu jednačinu za dinamiku rotacionog kretanja

Moment sile: ne može se eksplicitno odrediti. Uzimajući u obzir sve veličine uključene u originalnu diferencijalnu jednadžbu oscilacija fizičkog klatna, ona ima oblik:

Rješenje ove jednačine

Odredimo dužinu l matematičkog klatna, pri kojoj je period njegovih oscilacija jednak periodu oscilacija fizičkog klatna, tj. ili

. Iz ove relacije određujemo

Ova formula određuje smanjenu dužinu fizičkog klatna, tj. dužina takvog matematičkog klatna, čiji je period oscilovanja jednak periodu oscilovanja datog fizičkog klatna.

Opružno klatno

Ovo je uteg pričvršćen za oprugu, čija se masa može zanemariti.

Sve dok opruga nije deformisana, elastična sila na tijelo ne djeluje. U opružnom klatnu oscilacije se vrše pod dejstvom elastične sile.

Kod harmonijskih oscilacija, ukupna energija sistema se ne mijenja s vremenom. Može se pokazati da je ukupna energija mehaničkog oscilatornog sistema za harmonijske vibracije jednaka.

Harmonične vibracije

Najjednostavnije oscilacije su harmonijske oscilacije, tj. takve fluktuacije u kojima se oscilirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Mehaničke vibracije koje nastaju pod dejstvom sile (obnavljajuće sile) proporcionalne pomaku i usmerene suprotno od njega nazivaju se harmonijske vibracije - diferencijalna jednačina, - rešenje

x- pomicanje fluktuirajuće veličine iz pozitivne ravnoteže

66. Osnovne karakteristike GC-a

A - amplituda - maksimalni pomak od ravnotežnog položaja

0 ) - faza oscilovanja - određuje pomak u datom trenutku

0 – početna faza – određena pozicijom sistema u početni trenutak vrijeme

ω - vlastita frekvencija oscilacija, određena parametrima sistema

Uloga početnih uslova – A, početna faza

67. Načini grafičkog prikaza oscilatornih procesa:

ravni grafikon

vektorski dijagram

68. Vektorski dijagram- metoda grafičkog zadavanja oscilatornog kretanja u obliku vektora.

Uzmimo osu koju označavamo slovom x. Iz tačke O, uzete na osi, crtamo vektor dužine a, koji formira ugao α sa osom. Ako ovaj vektor dovedemo u rotaciju sa ugaonom brzinom ω 0, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž x ose u opsegu od –a do +a, a koordinata ove projekcije će se vremenom menjati prema prema zakonu x = a cos (ω 0 t + α ).

Prema tome, projekcija vektora na os će izvršiti harmonijsku oscilaciju amplitude jednakom dužini vektora, sa kružnom frekvencijom jednakom ugaonoj brzini rotacije vektora, i sa početnom fazom jednakom kutu formiran od vektora sa osom u početnom trenutku vremena.

To. harmonijska oscilacija se može odrediti pomoću vektora čija je dužina jednaka amplitudi oscilacije, a smjer vektora formira ugao sa x-osom jednak početnoj fazi oscilacije.

69. Opružno klatno- teret okačen na oprugu.

Izvodimo diferencijal opružnog klatna

70. Matematičko klatno naziva idealizirani sistem koji se sastoji od bestežinske i nerastezljive niti na kojoj je okačena masa koncentrisana u jednoj tački. Odstupanje klatna od ravnotežnog položaja karakterizirat će ugao koji formira nit sa vertikalom. Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja, nastaje moment M jednak M = -mgl sin. Ima takav smjer da teži da vrati klatno u ravnotežni položaj.

71. Fizičko klatno - svako kruto tijelo koje ima os rotacije koja se ne poklapa sa centrom mase.

Zaključak diferencijalnog nivoa oscilacija:

72. Smanjena dužina fizičkog klatna je dužina takvog matematičkog klatna čiji se period oscilovanja poklapa sa periodom datog fizičkog klatna.

Prirodna frekvencija za opružno klatno

Prirodna frekvencija matematičkog klatna

73. Periodične ili skoro periodične promjene naelektrisanja, struje i napona nazivaju se elektromagnetne oscilacije.

Najjednostavniji sistem u kojem se mogu javiti slobodne elektromagnetne oscilacije sastoji se od kondenzatora i zavojnice pričvršćene na njegove ploče. Takav sistem se naziva oscilatorno kolo.

Frekvencija oscilacija je broj oscilacija u jedinici vremena. υ = 1/T

Trajanje jedne potpune oscilacije naziva se period oscilovanja. T = 1/υ

gdje je L induktivnost, C je električni kapacitet

74. Sabiranje kolinearnih oscilacija iste frekvencije:

Pomak x oscilirajućeg tijela bit će zbir pomaka x1 i x2, koji će se napisati na sljedeći način: x 1 = a 1 cos (ω 0 t + α 1) x 2 = a 2 cos (ω 0 t + α 2)

Predstavimo obje oscilacije uz pomoć vektora a1 i a2. Konstruirajmo rezultirajući vektor a prema pravilima sabiranja vektora. Projekcija ovog vektora na x-osu jednaka je zbiru projekcija članova vektora: x1=x1+x2. Zatim, vektor a je rezultujuća oscilacija. Ovaj vektor rotira istom ugaonom brzinom ω 0 kao vektori a1 i a2, tako da će rezultirajuće kretanje biti harmonijska oscilacija frekvencije ω 0, amplitude a i početne faze α.

75. Neka malo tijelo oscilira na međusobno okomitim oprugama iste krutosti. Kojom će se putanjom kretati ovo tijelo? Ovo su jednadžbe putanje u parametarskom obliku.

Da bi se dobio eksplicitni odnos između koordinata x i y, parametar t mora biti isključen iz jednačina. Iz prve jednadžbe:

Od drugog:

Nakon zamjene:

Oslobodimo se korijena: - ovo je jednadžba elipse.

76. U realnim uslovima uvek postoje rasute sile (desepativne?), koje dovode do smanjenja energije u kolu. Razmotrimo poseban slučaj mehaničkih oscilacija u prisustvu viskozne sile trenja.

Diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije

77. Osnovni parametri prigušenih oscilacija.

ω0 - prirodna frekvencija oscilatornog sistema, bez prigušenja, β - koeficijent prigušenja - karakteriše brzinu prigušenja

Vrijeme relaksacije tokom kojeg se amplituda smanjuje za faktor e.

Faktor kvaliteta - pokazatelj brzine napuštanja energije iz oscilatornog sistema

Q \u003d 2π, gdje je E-energija pohranjena u krugu energija za period. Q=πNe, gdje je Ne broj oscilacija tokom vremena relaksacije.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija za opružno klatno.

79. Diferencijalna jednadžba za prigušene oscilacije e\m kola

Njegovo rješenje je funkcija

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ), gdje je frekvencija oscilovanja ω= Za oscilirajući krug

80. Amplituda i frekvencija prigušenih oscilacija, - amplituda prigušenih oscilacija

ω0 je vlastita frekvencija oscilatornog sistema, bez prigušenja.Frekvencija prigušenih oscilacija je manja od vlastite frekvencije.

Amplituda opada eksponencijalno, gdje

Ovdje je frekvencija prigušenih oscilacija.

τ je prolazni mod, nakon kojeg se uspostavljaju oscilacije sa frekvencijom pokretačke sile.

83. Prisilne vibracije - izvode se u oscilatornim sistemima pod dejstvom spoljne periodične sile koja se menja po harmonijskom zakonu:

f 0 - amplituda prinudne sile

frekvencija prisilne sile

Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pokretačke sile.

Rezonancija je fenomen naglog povećanja amplitude na frekvenciji prisilnih oscilacija bliskoj njenoj.

rezonantna frekvencija

84. Amplituda - frekvencijske karakteristike. U kolu sa visokim faktorom kvaliteta, amplituda rezonancije je velika, ali je propusni opseg mali, au kolu sa oštrim faktorom kvaliteta amplituda je mala, ali je širina pojasa velika u kolima gde je koeficijent slabljenja blizu kritičan.

Cilj. Upoznati glavne karakteristike neprigušenih i prigušenih slobodnih mehaničkih oscilacija.

Zadatak. Odrediti period prirodnih oscilacija opružnog klatna; provjeriti linearnost zavisnosti kvadrata perioda od mase; odrediti krutost opruge; odrediti period prigušenih oscilacija i logaritamski dekrement prigušenja opružnog klatna.

Instrumenti i pribor. Stativ sa vagom, opruga, set tegova raznih težina, posuda sa vodom, štoperica.

1. Slobodne oscilacije opružnog klatna. Opće informacije

Oscilacije su procesi u kojima se jedna ili više fizičkih veličina koje opisuju ove procese periodično mijenjaju. Oscilacije se mogu opisati različitim periodičnim funkcijama vremena. Najjednostavnije oscilacije su harmonijske oscilacije - takve oscilacije u kojima se oscilirajuća vrijednost (na primjer, pomak tereta na oprugi) mijenja s vremenom prema zakonu kosinusa ili sinusa. Oscilacije koje nastaju nakon djelovanja vanjske kratkotrajne sile na sistem nazivaju se slobodnim.

Ako se opterećenje ukloni iz ravnotežnog položaja, odstupajući za iznos x, tada raste elastična sila: F ex = – kx 2= – k(x 1 + x). Nakon dostizanja ravnotežnog položaja, teret će imati brzinu različitu od nule i proći će ravnotežni položaj po inerciji. Daljnjim kretanjem, odstupanje od ravnotežnog položaja će se povećati, što će dovesti do povećanja elastične sile, a proces će se ponoviti u suprotnom smjeru. Dakle, oscilatorno kretanje sistema je posledica dva razloga: 1) želje tela da se vrati u ravnotežni položaj i 2) inercije, koja ne dozvoljava telu da se trenutno zaustavi u ravnotežnom položaju. U nedostatku sila trenja, oscilacije bi se nastavile beskonačno. Prisutnost sile trenja dovodi do toga da se dio energije vibracija pretvara u unutrašnju energiju i vibracije postepeno prigušuju. Takve oscilacije se nazivaju prigušene.

Neprigušene slobodne vibracije

Prvo, razmotrite oscilacije opružnog klatna, na koje ne utječu sile trenja - neprigušene slobodne oscilacije. Prema drugom Newtonovom zakonu, uzimajući u obzir predznake projekcija na osu X

Iz uvjeta ravnoteže, pomak uzrokovan gravitacijom: . Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo: Diferencijalnu" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalnu jednačinu

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Ova jednačina se zove jednadžba harmonijskih oscilacija. Najveće odstupanje opterećenja od ravnotežnog položaja ALI 0 naziva se amplituda oscilacije. Poziva se vrijednost u kosinusnom argumentu faza oscilovanja. Konstanta φ0 je vrijednost faze u početno vrijeme ( t= 0) i poziva se početna faza oscilacija. Vrijednost

Postoji li kružni ili ciklični prirodna frekvencija povezano sa period oscilovanja T omjer https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

prigušene vibracije

Razmotrimo slobodne oscilacije opružnog klatna u prisustvu sile trenja (prigušene oscilacije). U najjednostavnijem i ujedno najčešćem slučaju, sila trenja je proporcionalna brzini υ pokreti:

Ftr = – rυ, (6)

gdje r je konstanta koja se zove koeficijent otpora. Znak minus označava da su sila trenja i brzina u suprotnim smjerovima. Jednadžba drugog Newtonovog zakona u projekciji na os X u prisustvu elastične sile i sile trenja

ma = – kx – rυ. (7)

Ova diferencijalna jednadžba, uzimajući u obzir υ = dx/ dt može se napisati

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – faktor prigušenja; – ciklička frekvencija slobodnog neprigušene oscilacije datom oscilatornom sistemu, tj. u odsustvu gubitaka energije (β = 0). Jednačina (8) se zove diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija.

Da biste dobili ovisnost o pomjeranju x od vremena t, potrebno je riješiti diferencijalnu jednadžbu (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

gdje ALI 0 i φ0 su početna amplituda i početna faza oscilacija;
je ciklična frekvencija prigušenih oscilacija na ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

Na grafu funkcije (9), sl. 2, isprekidane linije pokazuju promjenu amplitude (10) prigušenih oscilacija.

Rice. 2. Ovisnost o pomaku X teret iz vremena t u prisustvu sile trenja

Za kvantitativne karakteristike stepen slabljenja oscilacija uvodi se vrijednošću jednakom omjeru amplituda koje se razlikuju za period, a naziva se dekrement prigušenja:

. (11)

Često se koristi prirodni logaritam ove veličine. Ova postavka se zove logaritamski dekrement prigušenja:

Amplituda se smanjuje u n puta, onda iz jednačine (10) slijedi da

Odavde do logaritamski dekrement dobijamo izraz

Ako na vreme t" amplituda se smanjuje u e jednom ( e= 2,71 - osnova prirodni logaritam), tada će sistem imati vremena da završi broj oscilacija

Rice. 3. Instalacioni dijagram

Instalacija se sastoji od stativa 1 sa mernom skalom 2 . Do stativa na oprugi 3 viseći tereti 4 razne težine. Prilikom proučavanja prigušenih oscilacija u zadatku 2 koristi se prsten za poboljšanje prigušenja 5 , koji se stavlja u providnu posudu 6 sa vodom.

U zadatku 1 (izveden bez posude s vodom i prstena), u prvoj aproksimaciji, prigušenje oscilacija se može zanemariti i smatrati harmonijskim. Kao što slijedi iz formule (5), za harmonijske oscilacije, ovisnost T 2 = f (m) - linearna, iz koje je moguće odrediti koeficijent krutosti opruge k prema formuli

gdje je nagib prave linije T 2 off m.

Vježba 1. Određivanje zavisnosti perioda prirodnih oscilacija opružnog klatna od mase tereta.

1. Odrediti period oscilovanja opružnog klatna na različite vrijednosti masa tereta m. Da biste to učinili, koristite štopericu za svaku vrijednost m mjeri vrijeme tri puta t pun n fluktuacije ( n≥10) i prema prosječnom vremenu https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Zapišite rezultate u tabelu 1. .

2. Na osnovu rezultata mjerenja nacrtajte zavisnost kvadrata perioda T2 iz mase m. Od nagib grafikon za određivanje krutosti opruge k prema formuli (16).

Tabela 1

Rezultati mjerenja za određivanje perioda prirodnih oscilacija

3. Dodatni zadatak. Procijenite slučajni, ukupni i relativni ε t greške mjerenja vremena za vrijednost mase m = 400 g.

Zadatak 2. Određivanje logaritamskog dekrementa prigušenja opružnog klatna.

1. Okačite uteg na oprugu m= 400 g sa prstenom i stavite u posudu sa vodom tako da prsten bude potpuno u vodi. Odrediti period prigušenih oscilacija za datu vrijednost m prema metodi iz stava 1. zadatka 1. Ponovite mjerenja tri puta i unesite rezultate u lijevu stranu tabele. 2.

2. Uklonite klatno iz ravnotežnog položaja i, zabilježite njegovu početnu amplitudu na ravnalu, izmjerite vrijeme t" , tokom kojeg se amplituda oscilacija smanjuje za faktor 2. Izvršite mjerenja tri puta. Unesite rezultate u desna strana tab. 2.

tabela 2

Rezultati mjerenja

za određivanje logaritamskog dekrementa prigušenja

4. test pitanja i zadatke

1. Koje oscilacije se nazivaju harmonijskim? Definišite njihove glavne karakteristike.

2. Koje oscilacije se nazivaju prigušenim? Definišite njihove glavne karakteristike.

3. Objasnite fizičko značenje logaritamski dekrement prigušenja i faktor prigušenja.

4. Prikaz vremenske zavisnosti brzine i ubrzanja opterećenja na oprugu, praveći harmonijske oscilacije. Donesite grafikone i analizirajte.

5. Izvesti vremenske zavisnosti kinetičke, potencijalne i ukupne energije za opterećenje koje osciluje na oprugi. Donesite grafikone i analizirajte.

6. Dobiti diferencijalnu jednačinu slobodne vibracije i njegovu odluku.

7. Konstruirati grafove harmonijskih oscilacija sa početnim fazama π/2 i π/3.

8. U kojim granicama se može promijeniti dekrement logaritamskog prigušenja?

9. Dajte diferencijalnu jednačinu za prigušene oscilacije opružnog klatna i njegovo rješenje.

10. Po kom zakonu se mijenja amplituda prigušenih oscilacija? Jesu li prigušene oscilacije periodične?

11. Koje kretanje se naziva aperiodično? Pod kojim uslovima nastaje?

12. Šta se naziva frekvencijom prirodne oscilacije? Kako zavisi od mase oscilirajućeg tijela za opružno klatno?

13. Zašto je frekvencija prigušenih oscilacija manja od frekvencije sopstvenih oscilacija sistema?

14. Bakarna kugla okačena na oprugu oscilira okomito. Kako će se promijeniti period oscilacija ako je aluminijska kugla istog polumjera okačena na oprugu umjesto bakarne kuglice?

15. Pri kojoj vrijednosti logaritamskog dekrementa prigušenja oscilacije opadaju brže: pri θ1 = 0,25 ili θ2 = 0,5? Dajte grafikone ovih prigušenih oscilacija.

Bibliografska lista

1. Trofimova T. I. Kurs fizike / . – 11. izd. - M. : Akademija, 2006. - 560 str.

2. Saveljev I. V. Pa opšta fizika: u 3 tone / . - St. Petersburg. : Lan, 2008. - T. 1. - 432 str.

3. Akhmatov A.S.. Laboratorijska radionica u fizici / .
- M.: Više. škola, 1980. - 359 str.

Opružno klatno je oscilatorni sistem koji se sastoji od materijalna tačka masa m i opruge. Zamislite horizontalno opružno klatno (slika 13.12, a). To je masivno tijelo izbušeno u sredini i postavljeno na horizontalnu šipku po kojoj može kliziti bez trenja (idealan oscilatorni sistem). Šipka je pričvršćena između dva vertikalna nosača. Za tijelo je na jednom kraju pričvršćena opruga bez težine. Njegov drugi kraj je pričvršćen za oslonac, koji u najjednostavnijem slučaju miruje u odnosu na inercijski referentni okvir u kojem klatno oscilira. Na početku opruga nije deformisana, a tijelo je u ravnotežnom položaju C. Ako se istezanjem ili sabijanjem opruge tijelo izvuče iz ravnoteže, tada će sa strane deformirane opruge početi djelovanje elastične sile. da deluje na njega, uvek usmereno ka ravnotežnom položaju. Satisnemo oprugu pomerajući telo u položaj A i otpustimo \((\upsilon_0=0).\) Pod dejstvom elastične sile, ono će se kretati brže. U ovom slučaju, u položaju A tijelo djeluje maksimalna snaga elastičnost, jer je ovdje apsolutno izduženje x m opruge najveće. Stoga je u ovom položaju ubrzanje maksimalno. Kada se tijelo pomakne u ravnotežni položaj, apsolutno rastezanje opruge se smanjuje, a posljedično se smanjuje i ubrzanje koje daje sila elastičnosti. Ali budući da je ubrzanje tokom ovog kretanja ko-usmjereno sa brzinom, brzina klatna se povećava i u ravnotežnom položaju bit će maksimalna. Kada dostigne ravnotežni položaj C, tijelo se neće zaustaviti (iako u ovom položaju opruga nije deformirana, a elastična sila je nula), ali će se, imajući brzinu, kretati dalje po inerciji, istežući oprugu. Rezultirajuća elastična sila je sada usmjerena protiv kretanja tijela i usporava ga. U tački D brzina tijela bit će jednaka nuli, a ubrzanje maksimalno, tijelo će se na trenutak zaustaviti, nakon čega će se pod djelovanjem elastične sile početi kretati u poleđina, u ravnotežni položaj. Nakon što ga ponovo prođe po inerciji, tijelo će, sabijajući oprugu i usporavajući kretanje, doći do tačke A (pošto nema trenja), tj. pravi puni zamah. Nakon toga, kretanje tijela će se ponoviti opisanim redoslijedom. Dakle, uzroci slobodnih oscilacija opružnog klatna su djelovanje elastične sile koja nastaje kada se opruga deformira i inercija tijela.

Prema Hookeovom zakonu \(~F_x=-kx.\) Prema drugom Newtonovom zakonu \(~F_x = ma_x.\) Prema tome, \(~ma_x = -kx.\) Otuda

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) ili \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - dinamička jednačina kretanje opružnog klatna.

Vidimo da je ubrzanje direktno proporcionalno pomaku i usmjereno suprotno od njega. Upoređujući rezultirajuću jednačinu sa jednadžbom harmonijskih oscilacija \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) vidimo da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Pošto je \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\), onda

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) je period oscilovanja opružnog klatna.

Ista formula se može koristiti za izračunavanje perioda oscilovanja vertikalnog opružnog klatna (slika 13.12. b). Zaista, u ravnotežnom položaju, zbog djelovanja gravitacije, opruga je već istegnuta za određeni iznos x 0, što je određeno relacijom \(~mg=kx_0.\) Kada se klatno pomakne iz ravnotežnog položaja O na X projekcija elastične sile \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) i prema drugom Newtonovom zakonu \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Zamjenjujući ovdje vrijednost \( ~kx_0 =mg,\) dobijamo jednačinu kretanja klatna \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) koja se poklapa sa jednačinom kretanja horizontalnog klatna.

Merenje perioda oscilovanja

Merenje vremena

smanjenje amplitude za 2 puta

Aksenovich L. A. Fizika u srednja škola: Theory. Zadaci. Testovi: Proc. dodatak za institucije koje pružaju op. okruženja, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 377-378.