Делимость натуральных чисел. Свойства делимости

- Одна из важнейших тем Алгебры. Изучается она, в основном, в 5-6 классах школы и в дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же время на эту тему существует Значительное количество самых разнообразных задач, Которые часто встречаются на олимпиадах, при поступлении в физико-математические школы и институты. Школьники (и даже старших классов), как правило, большинство задач этой темы, к сожалению, решить не могут. Поэтому остановимся на этом разделе Достаточно подробно И рассмотрим те задачи, которые по силам учащимся 8-х классов.

Цели: Напомнить основные сведения о множестве натуральных чисел и рассмотреть типичные задачи по теме.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Числа, которые используются Для счета предметов, Называются Натуральными: 1, 2, 3, 4, ... Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак Е . Например, утверждение, что число 5 является натуральным (или что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел УУ), можно записать так: 5 е N. Число 2,3 не является натуральным. Это можно записать с помощью знака ё, т. е. 2,3 ? N.

Все натуральные числа (исключая число 1) разделяются на Простые Числа и Составные Числа.

Число называется Составным, Если оно имеет хотя бы один Делитель, Который Не равен самому числу или единице. Например, число 18 имеет такие делители: 2, 3, 6, 9. Поэтому число 18 является составным. (Разумеется, кроме перечисленных делителей у числа 18 есть еще два делителя: 1 и 18).

Число называется Простым, Если оно Не имеет других делителей кроме Самого себя и единицы (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...).

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Напомним Основные признаки делимости Натуральных чисел.

1. Число делится (без остатка или нацело) На число 2, Если Его последняя Цифра четная или 0. (Напомним, что число 0 не является ни четным, ни нечетным). Например, число 35 634 делится на 2, а число 35 635 - не делится.

2. Ч исл о делится На Число 3, если Сумма его цифр делится На 3. Например, число 33 606 делится на 3, т. к. сумма цифр этого числа 3 + 3 + 6 + 0 + 6= 18

Делится на 3. Число 32 606 имеет сумму цифр 3 + 2 + 6 + 0 + 6= 17, которая на 3 не делится. Поэтому число 32 606 также на 3 не делится.

3. Число делится На число 4, Если Две его последние цифры образуют число, Которое делится на 4, или являются нулями. Например, число 35 Щ делится

на 4, т. к. число, образованное двумя последними цифрами (число 12),

делится на 4.

Обратите внимание на этот признак делимости. Оченьчасто школьники ошибочно «сокращают» этот признак делимости до такого: число делится на число 4, если две его последние цифры делятся на 4. Разумеется, данный «признак делимости» является грубой ошибкой. В рассмотренном примере число 35112 делилось на 4, хотя ни одна из его двух последних цифр (1 и 2) на 4 не делится.

Число 35 Щ на число 4 не делится, т. к. число 18 (образованное двумя последними цифрами) на 4 не делится.

4. Число делится На число 5, если Его последняя цифра 0 или 5. Например, числа 35 110 и 35 115 делятся на 5, а число 37 513 на 5 не делится.

5. Число делится На число 8, Если Три его последние цифры образуют число, Которое делится на 8, или являются нулями. Например, число 37 408 делится на 8, т. к. число 408 делится на 8. Число 37 4J4 не делится на 8, т. к. число 414 не делится на 8.

6. Число делится На число 9, Если Сумма его цифр Делится На 9. Например, число 71 505 делится на 9, т. к. сумма цифр этого числа 7+ 1 +5 + 0 + 5= 18 делится на 9. Число 70 505 имеет сумму цифр 7 + 0 + 5 + 0 + 5= 17, которая на 9 не делится. Следовательно, и само число не делится на 9.

7. Число делится На число 10, Если его Последняя цифра нуль. Например, число 37 510 делится на 10, а число 37 515 не делится на 10.

Признаки делимости позволяют решать и более сложные задачи.

Пример 1

Определите: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится без остатка число 357 120.

А) Число делится на 2, т. к. его последняя цифра нуль.

Б) Число делится на 3, т. к. сумма цифр данного числа равна 3 + 5 + 7 +

1 +2 + 0- 18 и делится на 3.

В) Число делится на 4, т. к. две его последние цифры образуют число 20,

которое делится на 4.

Г) Число делится на 5, т. к. его последняя цифра нуль.

Д) Число делится на 6, т. к. 6 = 2 3 и из пунктов а, б следует, что число

делится на 2 и 3 одновременно.

Е) Число делится на 8, т. к. три его последние цифры образуют число

120, которое делится на 8.

Ж) Число делится на 9, т. к. сумма его цифр 18 (пункт б) делится на 9.

З) Число делится на 10, т. к. его последняя цифра нуль.

И) Число делится на 15, т. к. оно одновременно делится на 3 и 5 (пункты б, г).

К) Число делится на 18, т. к. из пунктов а, ж следует, что оно делится на 2 и 9.

Л) Число делится на 20, т. к. оно одновременно делится на 4 и 5 (пункты в, г).

Заметим, что при рассмотрении делимости числа 357 120 на 6, 15,18,20 мы каждое из этих чисел раскладывали на произведение взаимно простых чисел. Напомним, что Взаимно простыми Числами называются числа, которые Не имеют общих делителей. Причем числа могут и не являться простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, т. к. не имеют общих множителей. Однако каждое из этих чисел 8 и 15 - составное.

Например, в пункте к число 18 было представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел 2 и 9. Затем использовались признаки делимости на эти числа. Если раскладывать число-делитель на произведение не взаимно простых чисел, то решение усложняется, и могут быть допущены Ошибки. Например, число 30 не делится на 20 без остатка. Но если представить число 20 в виде 2 10, то 30 делится и на 2 и на 10. Однако числа 2 и 10 - не взаимно простые.

Пример 2

Определите, является ли число 98 706 540 321 простым или составным?

Используя признаки делимости, сразу определяем, что данное число на 2,4, 5, 8, 10 не делится. Теперь разберемся, делится ли это число на 3 и на 9. Найдем сумму цифр этого числа: 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 5+4 + 0 + 3 + 2+1= 45. Так как число 45 делится на 3 и на 9, то данное число также делится на 3 и на 9. Так как данное число имеет делители (3 и 9), которые неравны ни единице, ни самому числу, то (по определению) оно является составным.

Нужно заметить, что далеко Не всегда Одно натуральное число Делится На другое Без остатка. Например, при делении числа 29 на 3 получаем в частном 9 и в остатке 2. Эту операцию можно записать в виде: 29 - 3-9 + 2 или Делимое (29) = Делитель (3) Частное (9) + Остаток (2). При Этом Остаток Должен быть Натуральным числом Или Нулем И Меньше, чем делитель.

Пример 3

А) Число 29 можно также записать и в виде: 29 = 3 - 8 + 5. Но в этом

частное 8 и остаток 5, т. к. остаток не может быть больше или равным

делителю.

Б) Число 29 можно записать и в другом виде: 29 = 3 10 + (-1). Но и

получается частное 10 и остаток (- 1), т. к. остаток должен быть натуральным

Таким образом, в общем случае деление с остатком записывается в виде: П = P" K + R. Здесь натуральное число П - Делимое, Натуральное число Р - Делитель, Натуральное число К - частное, Неотрицательное целое число Г - Остаток (0 < г < Р). Если Г = 0, то число П Нацело (без остатка) делится на число/? и л ~ р - к.

Такая форма записи деления числа с остатком позволяет решать различные задачи.

Пример 4

Число П Дает при делении на 13 остаток 5. Какой остаток при делении на 13 дает число вшестеро больше данного?

Если число П Дает при делении на 13 остаток 5, то его можно записать в виде: я = 13? + 5, где К - получающееся при этом частное. Тогда число вшестеро большее, т. е. 6л = 6-(13-&+5)=78-&+30. Выделим из числа 6/7 наибольшее натуральное число, которое без остатка делится на 13, т. е. представим число 6л в виде: 6я=(78А; + 26)+4=13-(6А: + 2)+4. Из этой записи видно, что число 6п При делении на 13 дает в частном число (вк + 2) и остаток 4.

Пример 5

Два числа при делении на 18 дают остаток 9. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 18.

Образовательная область: естествознание.

Раздел: «Математика»

Исследовательская работа на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел »

Руководитель: Лапко И.В.

учитель математики

Введение:

1. Факты из истории математики.

2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6,8, 9, 10.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

6.Список использованной литературы (источников).

Актуальность: Все мы в школе учили признаки делимости, которые по сей день помогают нам без лишней потери времени, быстро и безошибочно разделить то или иное число. Не так давно вспомнив эту тем, мне стало интересно, а существуют ли еще другие признаки делимости на натуральные числа. И именно эта мысль, подтолкнула меня на написание исследовательской работы.
Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи:
1.Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
2. ​ Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность поднятого вопроса о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
3.Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11,12,13,14.
5.Сделать вывод.
Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Факты из истории математики

1. При́знак дели́мости — алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 - простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

2. Признаки делимости

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Примеры.

Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 8

На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 Пример

Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8

Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.

Пр изнак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9

Признак делимости чисел на 10

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2) Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3) Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4) Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5) Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6) Четырехзначное натуральное число вида bаа, где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11 .
1) Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2) Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3) Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 13
1) Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 - 184 = 72, 72 не делится на 13.
2) Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признак делимости на 25 и 50
на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 25 или на 50.

Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится, и на 25, и на 50.

Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

Продавец в магазине.

Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 34,5 рубля, коробку творога, стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение: Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов цена кратна 3-м, а для остальных - кол-во купленных товаров кратно 3-м).Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 296 на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Яблоки в ящи ке.

Число яблок в ящике меньше 200. Их можно разделить поровну между 2,3,4,5 и 6 детьми. Какое максимальное количество яблок может быть в ящике?

Решение.

НОК(2,3,4,5,6) = 60.

60х < 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Ответ: 180 яблок.

5. Вывод:

Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,50 и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Список использованной литературы (источников):

1.​ Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.

2.​ Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.

3.​ Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. - С. 4-6.

4.​ Пельман Я.И. Математика - это интересно! - М.: ТЕРРА - Книжный клуб, 2006

5.​ Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. - С. 352.

6.​ Ресурсы- Internet.

• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
• Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
• Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители . Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2 . Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2 . Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2 . Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2 , получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=2 4 ∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3 , его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5 , поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5 , под ним ставим число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙5 2 .

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5 , поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5 . тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2 , получаем 2, делим на 2 , остается 1. Результат: 80=2 4 ∙5.

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5 . Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2 , записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2 , а затем полученное число 3 делим на 3 , получив в результате число 1. Результат: 120=2 3 ∙3∙5.

Страница 1 из 1 1

Натуральные числа

Множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления.

Формально множество натуральных чисел можно задать с помощью системы аксиом Пеано.

С истема аксиом Пеано

1. Единица - натуральное число, которое не следует ни за каким числом.

2. Для любого натурального числа существует единственное число
которое непосредственно следует за .

3. Каждое натуральное число
следует непосредственно лишь за одним числом.

4. Если некоторое множество
содержит и вместе с каждым натуральным числом содержит непосредственно следующее за ним число то
(аксиома индукции).

Операции на множестве

Умножение

Вычитание :

Свойства вычитания: Если
то

Если
то

Делимость натуральных чисел

Деление : делится на
такое, что

Свойства операций:

1. Если
делятся на то
делится на

2. Если
и
делятся на то
делится на

3. Если
и делятся на то делится на

4. Если делится на то
делится на

5. Если
делятся на а не делятся на то то
не делится на

6. Если или делятся на то
делится на

7. Если делится на
то делится на и делится на

Теорема о делении с остатком Для любых натуральных чисел
существуют и единственные положительные числа
такие, что
причем

Доказательство . Пусть
Рассмотрим следующий алгоритм:

	Если Если то сделаем еще одно вычитание Продолжаем процесс вычитания до тех пор, пока остаток не будет меньше числа Существует число такое, что
	Сложим все строки данного алгоритма и получим требуемое выражение, где

Единственность представления будем доказывать методом "от противного".

Предположим, что существует два представления

и
Вычтем одно выражение из другого причем
Последнее равенство в целых числах возможно только в случае так как
при
□

Следствие 1 . Всякое натуральное число можно представить в виде:
или или

Следствие 2 . Если
подряд стоящих натуральных чисел, то одно из них делится на

Следствие 3 . Если
два последовательных четных числа, то одно из них делится на

Определение. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя.

Следствие 4. Всякое простое число имеет вид
или

Действительно, всякое число можно представить в виде однако все числа этого ряда, кроме
точно являются составными. □

Следствие 5 . Если
простое число, то
делится на

Действительно,
три подрядстоящих натуральных числа, причем,
четные, а
нечетное простое. Следовательно, одно из четных чисел
и
делится на 4, а одно – еще и на □

Пример 2 . Справедливы следующие утверждения:

1.Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток

2. Ни при каком натуральном n число n 2 +1 не делится на 3.

3. Используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), нельзя составить квадрат натурального числа.

Доказательство 1. Всякое нечетное число можно представить в виде
или
Возведем каждое из этих чисел в квадрат и получим требуемое утверждение.

Доказательство 2. Всякое натуральное число можно представить в виде
Тогда выражение
будет равно одному из выражений
которые не делятся на

Доказательство 3. Действительно, последняя цифра квадрата натурального числа не может заканчиваться ни на одну из этих цифр.

Признаки делимости

Определение. Десятичным представлением натурального числа называется представление числа в виде

Сокращенная запись

Признаки делимости на

Утв.6 Пусть
десятичное представление числа числа Тогда:

1. Число делится на
когда цифра - четная;

2. Число делится на когда двузначное число
делится на

3. Число делится на когда
либо

4. Число делится на
когда

5. Число делится на
когда двузначное число
- делится на

6. Число делится на

7. Число делится на когда сумма цифр числа делится на

8. Число делится на
когда сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на

Доказательство. Доказательство признаков 1)-5) легко получается из десятичной записи числа Докажем 6) и 7). Действительно,

Отсюда следует, что если делится (или
то сумма цифр числа тоже делится на

Докажем 11). Пусть делится на Представим число в виде

Так как все слагаемые суммы делятся на
то сумма тоже делится на □

Пример 3 . Найдите все пятизначные числа вида
, которые делятся на 45.

Доказательство.
Поэтомучисло делится на 5, и последняя цифра у него равна 0 или 5, т.е.
или
Исходное число делится и на 9, поэтому делится на 9, т.е.
или делится на 9, т.е.

Ответ:

Признак делимости на и

Утв.7 Пусть десятичное представление числа числа Число делится на
когда разность между числом без трех последних знаков и числом, составленным из трех последних знаков, делится на

Доказательство. Представим в виде Так как число
делится на и
то
делится на и □

Пример 4 . Пусть
Тогда
делится на и, следовательно, число
делится на

Пусть
Тогда

делится на Тогда число
делится на

Простые числа

Решето Эратосфена

(Простой алгоритм получения всех простые чисел)

Алгоритм. Выписываем все числа от 1 до 100 и вычеркиваем сначала все четные. Затем, из оставшихся вычеркиваем делящиеся на 3, 5, 7 и т.д. В результате останутся только простые числа.

Теорема Евклида . Число простых чисел бесконечно.

Доказательство "от противного". Пусть число простых чисел конечно -
Рассмотрим число
Вопрос: число - простое или составное?

Если - составное число, то оно делится на некоторое простое число и, следовательно, единица делится на это простое число. Противоречие.

Если - простое число, то оно больше любого простого числа
а все простые числа мы выписали и пронумеровали. Опять противоречие. □

Утв.8 Если число является составным, то оно имеет простой делитель такой, что

Доказательство. Если - наименьший простой делитель составного числа
то

Следствие. Чтобы определить является ли число простым, надо определить имеет ли оно простые делители

Пример 5 . Пусть
Чтобы проверить, является ли число
простым, надо проверить, делится ли на простые числа Ответ: число
простое.

Генераторы простых чисел

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
- это простые числа
для
вручную и с помощью компьютера доказано, что все числа составные.

Например, (Эйлер)

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
это так, а
делится на 17.

Гипотеза : Все числа вида
простые.

При
это так, а

Гипотеза: Все числа вида простые. При
это так, а

Теорема. (Метод Ферма выделения множителей) Целое нечетное число не является простым
существуют натуральные числа и такие, что
Доказательство.

□

Пример 6 . Разложить на простые сомножители числа

Пример 7 . Разложить на множители число
Это число делится на 3
Далее, по методу выделения множителей,

Пример 8 . При каких целых число

простое?

Заметим, что Так как
простое, то либо
либо
Ответ:

Утв. 10 Натуральное число имеет нечетное число делителей когда оно является полным квадратом?

Доказательство. Если
делитель числа
то имеет две различные пары делителей
и
а при
обе пары будут равны.

Пример 9 . Числа имеют ровно по 99 делителей. Может ли число иметь ровно 100 делителей?

Ответ: нет. Действительно по предыдущему свойству и - полные квадраты, а их произведение – нет.

Пример 10 . Числа
простые. Найти

Решение. Всякое число можно представить в виде
Если
то получаются три простых числа
удовлетворяющих условию задачи. Если
то
составное. Если
то число
делится на а если
то число
делится на Таким образом, во всех рассмотренных вариантах три простых числа не получается. Ответ:

Определение. Число называется наибольшим общим делителем чисел и если оно делит и и является наибольшим из таких чисел.

Обозначение:

Определение . Числа и называются взаимно простыми, если

Пример 1 2 . Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Пусть

Следовательно, уравнение имеет вид Ответ: Решений нет.

О сновная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше либо является простым числом, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка сомножителей.

Следствие 1. Пусть

Тогда
равен произведению всех общих простых сомножителей с наименьшими степенями.

Следствие 2. Пусть
Тогда
равно произведению всех различных простых сомножителей с наибольшими степенями. делится на

10. Найдите последнюю цифру числа 7 2011 + 9 2011 .

11. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

12.К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.

Вопросы по теории или упражнениям можно задать Валерию Петровичу Чувакову

chv @ uriit . ru

Дополнительная литература

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. –М.: Просвещение, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по матемаике. –М.: Илекса, 2009.

3. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. –М. МЦНМО, 2009.

4. Агаханов Н.А., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. –М.: Физматкнига, 2006

5. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных заадач, –М.:МЦНМО, 2004

Лекция

Конспект лекций по курсу «теория чисел»

Лекция

Следующие разделы теории чисел : теория делимости , простые и составные... Теорема. Пусть x>0, xR, dN. Количество натуральных чисел , кратных d и не превосходящих x, равно... Лекция 12 13 Лекция 13 15 Литература. 17 Конспект лекций по курсу «Теории чисел» ...

Конспект лекций по к ультурологии

Конспект

Павлюченков Конспект лекций по культурологии... неравномерно и существовали в рамках натурального хозяйства. Именно в полисе... исследования бесконечно малых чисел во многом завершили создание... то время как материальные делимы до бесконечности. Духовные...

Д А Шадрин Логика конспект лекций

Конспект

Представляет собой конспект лекций по дисциплине «Логика». Конспект лекций составлен в... этого служит определение натуральных чисел . Так, если 1 - натуральное число и n - натуральное число, то 1 ... исчерпывают весь объем делимого понятия, поэтому...

Называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.

Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по- сколку 30 = 5 . 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.

Натуральное число k n , если найдётся такое натуральное число m , для которого справедливо равенство k = n . m .

Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое

Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n , то число k называют кратным числа ,

число n — делителем числа k .

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Выполнив действия по делению говорят: «Число k делится нацело на число n », «Число n является делителем числа k », «Число k кратно числу n », «Число k является кратным числа n ».

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.

Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

является кратным числа k .

Наименьшим делителем любого натурального чис-ла k является число 1, а наибольшим делителем — само число k .

Среди чисел, кратных числу k , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k .

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m , то и сумма k + n также делится нацело на число m .

Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k , ни число n не делятся нацело на число m , то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.

Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m , то сумма k + n не делится нацело на число m.