Ποια είναι η υποτείνουσα αν είναι γνωστά τα πόδια. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα, γνωρίζοντας το πόδι και τη γωνία

Υπάρχουν πολλά είδη τριγώνων: θετικά, ισοσκελές, οξεία γωνία κ.λπ. Όλα έχουν ιδιότητες που είναι κλασικές μόνο για αυτούς και το καθένα έχει τους δικούς του κανόνες για την εύρεση ποσοτήτων, είτε πρόκειται για πλευρά είτε γωνία στη βάση. Αλλά από κάθε ποικιλία αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, είναι δυνατό να ξεχωρίσουμε ένα τρίγωνο με ορθή γωνία σε μια ξεχωριστή ομάδα.

Θα χρειαστείτε

Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.

Εντολή

1. Ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο εάν μία από τις γωνίες του είναι 90 μοίρες. Αποτελείται από 2 πόδια και μια υποτείνουσα. Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά αυτού του τριγώνου. Βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία. Τα πόδια, αντίστοιχα, ονομάζονται μικρότερες πλευρές του. Μπορούν να είναι είτε ίσα μεταξύ τους είτε να έχουν διαφορετικά μεγέθη. Η ισότητα των ποδιών σημαίνει ότι εργάζεστε με ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Η ομορφιά του είναι ότι συνδυάζει τις ιδιότητες δύο μορφών: ενός ορθογώνιου και ενός ισοσκελούς τριγώνου. Εάν τα σκέλη δεν είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι αυθαίρετο και υπακούει στον βασικό νόμο: όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία, τόσο μεγαλύτερο κυλάει αυτό που βρίσκεται απέναντι του.

2. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση της υποτείνουσας με βάση το πόδι και τη γωνία. Αλλά πριν χρησιμοποιήσετε ένα από αυτά, θα πρέπει να καθορίσετε ποιο πόδι και ποια γωνία είναι διάσημα. Εάν δίνεται μια γωνία και το σκέλος δίπλα της, τότε είναι ευκολότερο να βρεθεί η υποτείνουσα από το συνημίτονο της γωνίας. Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας (cos a) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Από εδώ προκύπτει ότι η υποτείνουσα (c) θα είναι ίση με τον λόγο του διπλανού σκέλους (b) προς το συνημίτονο της γωνίας a (cos a). Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Εάν δίνεται η γωνία και το αντίθετο πόδι, τότε θα πρέπει να δουλέψετε με το ημίτονο. Το ημίτονο οξείας γωνίας (sin a) σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (a) προς την υποτείνουσα (c). Η διατριβή λειτουργεί εδώ, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, μόνο αντί της συνημίτονος λαμβάνεται το ημίτονο. αμαρτία α=α/γ => γ=α/αμαρτία α.

4. Επιτρέπεται επίσης η χρήση μιας τέτοιας τριγωνομετρικής συνάρτησης ως εφαπτομένης. Αλλά η εύρεση της επιθυμητής τιμής είναι λίγο πιο περίπλοκη. Η εφαπτομένη οξείας γωνίας (tg a) σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (a) προς το διπλανό (b). Έχοντας βρει και τα δύο σκέλη, εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα (το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών) και θα ανακαλυφθεί η τεράστια πλευρά του τριγώνου.

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Για να υπολογίσουμε το μήκος του, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος ενός από τα σκέλη και την τιμή μιας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

Εντολή

1. Με ένα κινούμενο σκέλος και μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε το μέγεθος της υποτείνουσας μπορεί να είναι ίσο με την αναλογία του σκέλους προς το συνημίτονο / ημίτονο αυτής της γωνίας, εάν αυτή η γωνία είναι αντίθετη / δίπλα σε αυτήν: h \u003d C1 (ή C2) / sin ?; h \u003d C1 (ή C2 )/cos?. Παράδειγμα: Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με υποτείνουσα AB και ορθή γωνία C. Έστω η γωνία B είναι 60 μοίρες και η γωνία A 30 μοίρες. Το μήκος του ποδιού BC είναι 8 εκ. Είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας ΑΒ. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που προτείνονται παραπάνω: AB = BC / cos60 = 8 cm. AB = BC / sin30 = 8 cm.

λέξη" πόδιΠροέρχεται από τις ελληνικές λέξεις "κάθετο" ή "κάθετο" - αυτό εξηγεί γιατί και οι δύο πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, που αποτελούν τη γωνία ενενήντα μοιρών του, ονομάστηκαν έτσι. Βρείτε το μήκος του καθενός πόδιΤο ov δεν είναι δύσκολο εάν είναι γνωστή η τιμή της γωνίας που γειτνιάζει με αυτήν και κάποια άλλη παράμετρος, γιατί σε αυτήν την περίπτωση οι τιμές και των 3 γωνιών θα γίνουν πραγματικά γνωστές.

Εντολή

1. Αν εκτός από την τιμή της διπλανής γωνίας (β), το μήκος της δεύτερης πόδια (β), μετά το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να οριστεί ως πηλίκο του μήκους του διάσημου πόδικαι στην εφαπτομένη της οδηγούμενης γωνίας: a=b/tg(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό αυτής της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Επιτρέπεται να γίνει χωρίς την εφαπτομένη, αν χρησιμοποιήσετε το ημιτονικό θεώρημα. Από αυτό προκύπτει ότι ο λόγος του μήκους της επιθυμητής πλευράς προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι ίσος με τον λόγο του μήκους της γνωστής πόδιαλλά στο ημίτονο της περίφημης γωνίας. αντίθετο από το επιθυμητό πόδι y μια οξεία γωνία μπορεί να εκφραστεί μέσω της περίφημης γωνίας ως 180°-90°-β = 90°-β, επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πρέπει να είναι 180°, και εξ ορισμού ενός ορθογωνίου τριγώνου μία από τις γωνίες του ισούται με 90°. Άρα το επιθυμητό μήκος πόδικαι επιτρέπεται να υπολογιστεί με τον τύπο a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Αν είναι γνωστά το μέγεθος της διπλανής γωνίας (β) και το μήκος της υποτείνουσας (c), τότε το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της περίφημης γωνίας: a=c∗cos(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του συνημιτόνου ως τριγωνομετρικής συνάρτησης. Επιτρέπεται όμως να χρησιμοποιηθεί, όπως στο προηγούμενο βήμα, το ημιτονικό θεώρημα και στη συνέχεια το μήκος του επιθυμητού πόδια θα είναι ίσο με το γινόμενο του ημιτόνου της διαφοράς μεταξύ 90 ° και της γωνίας προπορευόμενης γωνίας και του λόγου του μήκους της υποτείνουσας προς το ημίτονο της ορθής γωνίας. Και από το γεγονός ότι το ημίτονο των 90° είναι ίσο με ένα, τότε ο τύπος μπορεί να γραφεί ως εξής: a=sin(90°-β)∗c.

3. Οι πραγματικοί υπολογισμοί μπορούν να γίνουν, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή λογισμικού που περιλαμβάνεται στα Windows. Για να το εκκινήσετε, επιτρέπεται στο κύριο μενού στο κουμπί "Έναρξη" να προτιμήσετε το στοιχείο "Εκτέλεση", πληκτρολογήστε την εντολή calc και κάντε κλικ στο κουμπί "ΟΚ". Στην απλούστερη έκδοση της διεπαφής αυτού του προγράμματος που ανοίγει από προεπιλογή, δεν παρέχονται τριγωνομετρικές λειτουργίες, επομένως, μετά την εκκίνηση, πρέπει να κάνετε κλικ στην ενότητα "Προβολή" στο μενού και να επιλέξετε τη γραμμή "Επιστήμονας" ή "Μηχανικός" (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος που χρησιμοποιείται).

Σχετικά βίντεο

Η λέξη "katet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. Σε ακριβή μετάφραση, σημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, τα σκέλη ονομάζονται πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος «πόδι» χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την ειδική τεχνολογία συγκόλλησης.

Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ACB. Επισημάνετε τα πόδια του a και b και την υποτείνησή του c. Όλες οι πλευρές και οι γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου συνδέονται με ορισμένες σχέσεις. Η αναλογία του σκέλους που βρίσκεται απέναντι από μία από τις οξείες γωνίες προς την υποτείνουσα ονομάζεται ημίτονο αυτής της γωνίας. Σε αυτό το τρίγωνο sinCAB=a/c. Το συνημίτονο είναι η αναλογία προς την υποτείνουσα του διπλανού σκέλους, δηλαδή cosCAB=b/c. Οι αντίστροφες σχέσεις ονομάζονται τέμνουσα και συνέκταση Η τομή μιας δεδομένης γωνίας προκύπτει με διαίρεση της υποτείνουσας με το διπλανό σκέλος, δηλαδή secCAB=c/b. Αποδεικνύεται το αντίστροφο του συνημιτόνου, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο secCAB=1/cosSAB. Η συνέκταση ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης της υποτείνουσας με το αντίθετο σκέλος και είναι το αντίστροφο του ημιτονοειδούς. Μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο cosecCAB=1/sinCAB Και τα δύο σκέλη συνδέονται με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Στην περίπτωση αυτή, η εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή το αντίθετο σκέλος προς το διπλανό. Αυτή η αναλογία μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a. Η αναλογία μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών καθορίστηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα. Το θεώρημα που πήρε το όνομά του χρησιμοποιείται από τους ανθρώπους μέχρι σήμερα. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλαδή c2 \u003d a2 + b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b =? (c2-a2). Το μήκος του ποδιού μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω των αναλογιών που γνωρίζετε. Σύμφωνα με τα θεωρήματα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, το σκέλος ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και μιας από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους εφαπτομένης ή συνεφαπτομένης. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, ας πούμε, με τον τύπο a = b * tan CAB. Αλήθεια, με τον ίδιο τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη, προσδιορίζεται και το 2ο σκέλος.Ο όρος «πόδι» χρησιμοποιείται και στην αρχιτεκτονική. Χρησιμοποιείται σε σχέση με ένα ιωνικό κιονόκρανο και υποδηλώνει ένα βαρέλι στο μέσο της ράχης του. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αυτός ο όρος υποδηλώνει μια κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία. Στην ειδική τεχνολογία των εργασιών συγκόλλησης υπάρχει μια αναπαράσταση του «πόδι μιας συγκόλλησης φιλέτου». Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλάμε για το διάστημα μεταξύ ενός από τα προς συγκόλληση εξαρτημάτων μέχρι το όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός άλλου τμήματος.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση!
Όταν εργάζεστε με το Πυθαγόρειο θεώρημα, μην ξεχνάτε ότι έχετε να κάνετε με πτυχίο. Έχοντας βρει το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, για να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα.

Εντολή

Σχετικά βίντεο

Σημείωση

Κατά τον υπολογισμό των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, η γνώση των χαρακτηριστικών του μπορεί να παίξει:
1) Αν το σκέλος μιας ορθής γωνίας βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 μοιρών, τότε είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
2) Η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα πόδια.
3) Εάν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το κέντρο του πρέπει να βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.

Εντολή

Ενημερώστε μας ένα από τα σκέλη και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα του. Για βεβαιότητα, ας είναι το πόδι |AB| και γωνία α. Στη συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την τριγωνομετρική αναλογία συνημιτόνου - συνημιτόνου του διπλανού σκέλους προς. Εκείνοι. στον συμβολισμό μας cos α = |AB| / |AC|. Από εδώ παίρνουμε το μήκος της υποτείνουσας |AC| = |AB| / cosα.
Αν γνωρίζουμε το πόδι |π.Χ.| και γωνία α, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας - το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα: sin α = |BC| / |AC|. Παίρνουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας βρίσκεται ως |AC| = |π.Χ.| / cosα.

Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε ένα παράδειγμα. Έστω το μήκος του ποδιού |AB| = 15. Και η γωνία α = 60°. Παίρνουμε |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Σκεφτείτε πώς μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμά σας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους |BC|. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εφαπτομένη της γωνίας tg α = |BC| / |AC|, λαμβάνουμε |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Η επαλήθευση έχει γίνει.

Χρήσιμες συμβουλές

Αφού υπολογίσετε την υποτείνουσα, ελέγξτε αν η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πηγές:

Πίνακας πρώτων αριθμών από το 1 έως το 10000

Πόδιαονομάστε τις δύο μικρές πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που αποτελούν την κορυφή του, η τιμή του οποίου είναι 90 °. Η τρίτη πλευρά σε ένα τέτοιο τρίγωνο ονομάζεται υποτείνουσα. Όλες αυτές οι πλευρές και γωνίες του τριγώνου συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε το μήκος του σκέλους εάν είναι γνωστές πολλές άλλες παράμετροι.

Εντολή

Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για το σκέλος (Α) αν γνωρίζετε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Β και Γ) του ορθογωνίου τριγώνου. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το άθροισμα των μηκών των ποδιών στο τετράγωνο είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι το μήκος καθενός από τα σκέλη είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα των μηκών της υποτείνουσας και του δεύτερου σκέλους: A=√(C²-B²).

Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της άμεσης τριγωνομετρικής συνάρτησης "ημιτονοειδές" για μια οξεία γωνία, εάν γνωρίζετε την τιμή της γωνίας (α) απέναντι από το υπολογιζόμενο σκέλος και το μήκος της υποτείνουσας (C). Αυτό δηλώνει ότι το ημίτονο αυτού του γνωστού είναι ο λόγος του μήκους του επιθυμητού σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας. Αυτό είναι ότι το μήκος του επιθυμητού σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του ημιτόνου της γνωστής γωνίας: A=C∗sin(α). Για τις ίδιες γνωστές τιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συντομή και να υπολογίσετε το επιθυμητό μήκος διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με τη συνοδική τιμή της γνωστής γωνίας A=C/cosec(α).

Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της ευθείας τριγωνομετρικής συνάρτησης συνημιτόνου εάν, εκτός από το μήκος της υποτείνουσας (C), είναι γνωστή και η τιμή της οξείας γωνίας (β) δίπλα στην απαιτούμενη. Το συνημίτονο αυτής της γωνίας είναι ο λόγος των μηκών του επιθυμητού σκέλους και της υποτείνουσας, και από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μήκος του σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της γνωστής γωνίας: A=C∗cos(β). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό της συνάρτησης τομής και να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με την τομή της γνωστής γωνίας A=C/sec(β).

Εξάγετε τον απαιτούμενο τύπο από παρόμοιο ορισμό για την παράγωγο της εφαπτομένης της τριγωνομετρικής συνάρτησης, εάν, εκτός από την τιμή της οξείας γωνίας (α) που βρίσκεται απέναντι από το επιθυμητό σκέλος (Α), το μήκος του δεύτερου σκέλους (Β) είναι γνωστός. Η εφαπτομένη της γωνίας απέναντι από το επιθυμητό σκέλος είναι ο λόγος του μήκους αυτού του σκέλους προς το μήκος του δεύτερου σκέλους. Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή τιμή θα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του γνωστού σκέλους και της εφαπτομένης της γνωστής γωνίας: A=B∗tg(α). Από αυτές τις ίδιες γνωστές ποσότητες, μπορεί να προκύψει ένας άλλος τύπος χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης συνεφαπτομένης. Στην περίπτωση αυτή, για τον υπολογισμό του μήκους του σκέλους, θα χρειαστεί να βρεθεί ο λόγος του μήκους του γνωστού σκέλους προς την συνεφαπτομένη της γνωστής γωνίας: A=B/ctg(α).

Σχετικά βίντεο

Η λέξη "katet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. Σε ακριβή μετάφραση, σημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, τα σκέλη ονομάζονται πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος "πόδι" χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την τεχνολογία συγκόλλησης.

Η τομή αυτής της γωνίας προκύπτει με διαίρεση της υποτείνουσας με το διπλανό σκέλος, δηλαδή secCAB=c/b. Αποδεικνύεται το αντίστροφο του συνημιτόνου, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο secCAB=1/cosSAB.
Η συνέκταση ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης της υποτείνουσας με το αντίθετο σκέλος και είναι το αντίστροφο του ημιτονοειδούς. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο cosecCAB=1/sinCAB

Και τα δύο σκέλη είναι αλληλένδετα και συνεφαπτομένα. Στην περίπτωση αυτή, η εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή το αντίθετο σκέλος προς το διπλανό. Αυτή η αναλογία μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a.

Η αναλογία μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών καθορίστηκε από τον αρχαίο Έλληνα Πυθαγόρα. Το θεώρημα, το όνομά του, οι άνθρωποι εξακολουθούν να χρησιμοποιούν. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλαδή c2 \u003d a2 + b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b=√(c2-a2).

Το μήκος του ποδιού μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσα από τις σχέσεις που γνωρίζετε. Σύμφωνα με τα θεωρήματα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, το σκέλος ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και μιας από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορείτε να το εκφράσετε και ή συνεφαπτομένη. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τον τύπο a \u003d b * tan CAB. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή , προσδιορίζεται το δεύτερο σκέλος.

Στην αρχιτεκτονική χρησιμοποιείται και ο όρος «πόδι». Εφαρμόζεται σε ιωνικό κιονόκρανο και βυθίζεται στο μέσο της πλάτης του. Δηλαδή, σε αυτήν την περίπτωση, με αυτόν τον όρο, η κάθετη στη δεδομένη ευθεία.

Στην τεχνολογία συγκόλλησης, υπάρχει ένα "πόδι μιας συγκόλλησης φιλέτου". Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλάμε για το κενό μεταξύ ενός από τα μέρη που πρόκειται να συγκολληθούν στο όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια του άλλου τμήματος.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

τι είναι το πόδι και η υποτείνουσα το 2019

Στην αρχή, υπενθυμίζουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει 3 γωνίες. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου εάν είναι γνωστές άλλες διαστάσεις του τριγώνου;

Εντολή

Τα μήκη των ποδιών είναι γνωστά. Σε αυτή την περίπτωση, η υποτείνουσα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό το θεώρημα ακούγεται ως εξής: το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι για να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να τετραγωνιστεί η τιμή κάθε σκέλους με τη σειρά. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν και πάρτε την τετραγωνική ρίζα από το συνολικό αποτέλεσμα.
Πώς να βρείτε την υποτείνουσα στο τρίγωνο KFB εάν το σκέλος (VC) και η γωνία που γειτνιάζει με αυτό είναι γνωστά; Σημειώνουμε τη γνωστή γωνία με α. Μία από τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η εξής: ο λόγος του μήκους του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της υποτείνουσας και αυτού του σκέλους. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: FB=BK*cos(α).
Ένα άλλο σκέλος (KF) είναι γνωστό και η ίδια γωνία α, Τώρα θα είναι απέναντι. Η υποτείνουσα μπορεί επίσης να βρεθεί εφαρμόζοντας τις ίδιες ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Εδώ παίρνουμε, ο λόγος του μήκους του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνυσής του είναι ίσος με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από το σκέλος. Γράφουμε: FB=KF*sin(α).
Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου εάν περιγράφεται γύρω του ένας κύκλος, για τον οποίο είναι γνωστή η ακτίνα του. Από τις ιδιότητες ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι γνωστό ότι ένας τέτοιος κύκλος έχει κέντρο που συμπίπτει με το σημείο της υποτείνουσας που τον χωρίζει στο μισό. Με άλλα λόγια, η ακτίνα είναι ίση με τη μισή υποτείνουσα. Και αυτό σημαίνει ότι δύο ακτίνες αποτελούν την υποτείνουσα: FB=2*R.

Γνωρίζοντας τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου και το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας. Εάν εξακολουθείτε να δυσκολεύεστε να θυμάστε όλες τις ιδιότητες, τότε απλώς μάθετε έτοιμους τύπους στους οποίους είναι πολύ εύκολο να αντικαταστήσετε γνωστές τιμές για να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας.

Όπως γνωρίζετε, η γεωμετρία είναι μια δύσκολη επιστήμη που απαιτεί ιδιαίτερη ακρίβεια και ακρίβεια στην επίλυση προβλημάτων. Πολλές εκφράσεις και τύποι που χρησιμοποιούμε αργότερα σε πιο σύνθετους υπολογισμούς παρατίθενται σε εγχειρίδια μαθηματικών για τις τάξεις 6-7. Για να κάνουμε τη διαδικασία εκμάθησης τριγωνομετρικών συναρτήσεων ευκολότερη και πιο ευχάριστη, σε αυτό το άρθρο θα δούμε μερικούς σύντομους τρόπους υπολογισμού της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα στα πόδια;

Ας θυμηθούμε μια μικρή θεωρία: ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα που έχει τρεις γωνίες. Ένα από αυτά έχει τιμή 90º και οι πλευρές ονομάζονται πόδια και υποτείνουσα. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία είναι η υποτείνουσα και οι άλλες δύο είναι τα διπλανά σκέλη. Το κύριο παιχνίδι των μερών εκδηλώνεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο η υποτείνουσα είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Ωστόσο, αυτό φαίνεται μόνο μπερδεμένο, γιατί στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ πιο απλά.

Ιδιότητες γεωμετρικού σχήματος

Πριν βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου, πρέπει να υπολογίσετε ποια χαρακτηριστικά έχει αυτό το σχήμα. Ας εξετάσουμε τα κυριότερα:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και οι δύο οξείες γωνίες αθροίζονται σε 90º.
Ένα σκέλος που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º θα είναι ίσο με το ½ της υποτείνουσας.
Εάν το σκέλος είναι ίσο με το ½ της τιμής της υποτείνουσας, τότε η δεύτερη γωνία θα έχει την ίδια τιμή - 30º.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η απλούστερη λύση είναι ο υπολογισμός μέσω των ποδιών. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε τις τιμές των σκελών των πλευρών Α και Β. Στη συνέχεια, το Πυθαγόρειο θεώρημα έρχεται στη διάσωση, λέγοντάς μας ότι αν τετραγωνίσουμε την τιμή κάθε σκέλους και αθροίσουμε τα δεδομένα που λαμβάνονται, θα μάθουμε ποια είναι η υποτείνουσα είναι. Επομένως, πρέπει απλώς να εξαγάγουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας:

Για παράδειγμα, εάν το πόδι A = 3 cm και το πόδι B = 4 cm, τότε ο υπολογισμός θα μοιάζει με αυτό:

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας;

Ένας άλλος τρόπος για να μάθετε τι ισούται με την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι να υπολογίσετε μέσω μιας δεδομένης γωνίας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγουμε την τιμή μέσω του ημιτονοειδούς τύπου. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε την τιμή του σκέλους (Α) και την τιμή της αντίθετης γωνίας (α). Τότε ολόκληρη η λύση βρίσκεται σε έναν τύπο: С=А/sin(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 40 cm και η γωνία είναι 45 °, τότε το μήκος της υποτείνουσας μπορεί να εξαχθεί ως εξής:

40/αμαρτία(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε την επιθυμητή τιμή μέσω του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε την τιμή ενός σκέλους (Β) και μιας οξείας περιλαμβανόμενης γωνίας (α). Τότε χρειάζεται ένας τύπος για να λυθεί το πρόβλημα: С=В/ cos(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 50 cm και η γωνία είναι 45 °, τότε η υπόταση μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Έτσι, εξετάσαμε τους κύριους τρόπους για να βρούμε την υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο. Κατά την επίλυση της εργασίας, είναι σημαντικό να εστιάσετε στα διαθέσιμα δεδομένα, τότε η εύρεση της άγνωστης τιμής θα είναι αρκετά απλή. Πρέπει να γνωρίζετε μόνο δύο τύπους και η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων θα γίνει απλή και ευχάριστη.

«Και μας λένε ότι το πόδι είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα…» Αυτές οι γραμμές από το διάσημο τραγούδι που ακούστηκε στην ταινία μεγάλου μήκους «The Adventures of Electronics» είναι όντως σωστές όσον αφορά τη γεωμετρία του Ευκλείδη. Εξάλλου, τα πόδια είναι δύο πλευρές που σχηματίζουν μια γωνία, το μέτρο της μοίρας της οποίας είναι 90 μοίρες. Και η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη «τεντωμένη» πλευρά που συνδέει δύο πόδια κάθετα μεταξύ τους, και βρίσκεται απέναντι στη σωστή γωνία. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι δυνατό να βρεθεί η υποτείνουσα κατά μήκος των σκελών μόνο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και αν το σκέλος ήταν μακρύτερο από την υποτείνουσα, τότε δεν θα υπήρχε τέτοιο τρίγωνο.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα εάν είναι γνωστά και τα δύο σκέλη

Το θεώρημα λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: x^2+y^2=z^2, όπου:

x - το πρώτο σκέλος.
y - δεύτερο σκέλος?
z είναι η υποτείνουσα.

Αλλά χρειάζεται απλώς να βρείτε την υποτείνουσα, όχι το τετράγωνό της. Για να το κάνετε αυτό, εξαγάγετε τη ρίζα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας από δύο γνωστά σκέλη:

Προσδιορίστε μόνοι σας πού είναι τα πόδια και πού η υποτείνουσα.
Τετράγωνο το πρώτο πόδι.
Τετράγωνο το δεύτερο πόδι.
Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.
Πάρτε τη ρίζα του αριθμού που λήφθηκε στο βήμα 4.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του ημιτονοειδούς, εάν το πόδι και η οξεία γωνία που βρίσκεται εναντίον του είναι γνωστά

Ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την οξεία γωνία που βρίσκεται απέναντι του είναι ίσος με την τιμή της υποτείνουσας: a/sin A = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του ημιτονοειδούς:

Η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα: sin A \u003d a / c, όπου:

α - το πρώτο σκέλος.
Το Α είναι μια οξεία γωνία απέναντι από το πόδι.
c είναι η υποτείνουσα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα:

Ορίστε για τον εαυτό σας το γνωστό πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό.
Χωρίστε το πόδι στην απέναντι γωνία.
Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του συνημιτόνου, εάν είναι γνωστά το σκέλος και η οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του

Ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την οξεία περιλαμβανόμενη γωνία είναι ίσος με την τιμή της υποτείνουσας a/cos B = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του συνημιτόνου: η αναλογία του παρακείμενου σκέλους προς την υποτείνουσα: cos B \u003d a / s, όπου:

α - το δεύτερο πόδι.
Το B είναι μια οξεία γωνία δίπλα στο δεύτερο σκέλος.
c είναι η υποτείνουσα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου:

Προσδιορίστε μόνοι σας το γνωστό πόδι και τη γωνία που γειτνιάζει με αυτό.
Διαχωρίστε το πόδι σε μια γειτονική γωνία.
Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το "Αιγυπτιακό τρίγωνο"

Το "Αιγυπτιακό τρίγωνο" είναι ένα τρίγωνο αριθμών, γνωρίζοντας τους οποίους μπορείτε να εξοικονομήσετε χρόνο για να βρείτε την υποτείνουσα ή ακόμα και ένα άλλο άγνωστο σκέλος. Το τρίγωνο έχει ένα τέτοιο όνομα, αφού στην Αίγυπτο κάποιοι αριθμοί συμβόλιζαν τους Θεούς και αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή των πυραμίδων και άλλων διαφόρων δομών.

Η πρώτη τριάδα αριθμών: 3-4-5. Τα πόδια εδώ είναι ίσα με 3 και 4. Τότε η υποτείνουσα θα είναι απαραίτητα ίση με 5. Ελέγξτε: (9 + 16 = 25).
Το δεύτερο τρίποντο των αριθμών: 5-12-13. Και εδώ τα σκέλη είναι 5 και 12. Επομένως, η υποτείνουσα θα είναι 13. Ελέγξτε: (25+144=169).

Τέτοιοι αριθμοί βοηθούν ακόμα και όταν διαιρούνται ή πολλαπλασιάζονται με κάποιο μοναδικό αριθμό. Εάν τα σκέλη είναι 3 και 4, τότε η υποτείνουσα θα είναι 5. Εάν πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς με 2, τότε η υποτείνουσα θα πολλαπλασιαστεί επί 2. Για παράδειγμα, το τριπλό των αριθμών 6-8-10 θα ταιριάζει επίσης στο Πυθαγόρειο θεώρημα και δεν μπορείτε να υπολογίσετε την υποτείνουσα εάν απομνημονεύσετε αυτές τις τριάδες αριθμών.

Έτσι, υπάρχουν 4 τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας γνωστά πόδια. Η καλύτερη επιλογή είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά επίσης δεν θα ήταν κακό να θυμάστε τις τριπλέτες αριθμών που συνθέτουν το «αιγυπτιακό τρίγωνο», γιατί μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ χρόνο αν συναντήσετε τέτοιες τιμές.