Ποιο είναι το άθροισμα δύο διανυσμάτων. Πώς να αφαιρέσετε και να προσθέσετε διανύσματα

Διάνυσμα είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που χαρακτηρίζεται από μέγεθος και κατεύθυνση (π.χ. επιτάχυνση, μετατόπιση), που διαφέρει από βαθμωτές που δεν έχουν κατεύθυνση (π.χ. απόσταση, ενέργεια). Οι βαθμίδες μπορούν να προστεθούν προσθέτοντας τις τιμές τους (για παράδειγμα, 5 kJ εργασίας συν 6 kJ εργασίας ισούται με 11 kJ εργασίας), αλλά η προσθήκη και η αφαίρεση διανυσμάτων δεν είναι τόσο εύκολη.

Βήματα

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων με γνωστές συνιστώσες

Επειδή τα διανύσματα έχουν μέγεθος και κατεύθυνση, μπορούν να αποσυντεθούν σε συστατικά με βάση τις διαστάσεις x, y και/ή z. Συνήθως συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως τα σημεία σε ένα σύστημα συντεταγμένων (για παράδειγμα,<х,у,z>). Εάν τα συστατικά είναι γνωστά, τότε η πρόσθεση/αφαίρεση διανυσμάτων είναι τόσο εύκολη όσο η πρόσθεση/αφαίρεση των συντεταγμένων x, y, z.

• Σημειώστε ότι τα διανύσματα μπορεί να είναι μονοδιάστατα, δισδιάστατα ή τρισδιάστατα. Έτσι, τα διανύσματα μπορεί να έχουν συνιστώσα «x», συστατικά «x» και «y» ή συστατικά «x», «y», «z». Τα τρισδιάστατα διανύσματα συζητούνται παρακάτω, αλλά η διαδικασία είναι παρόμοια για 1Δ και 2Δ φορείς.
• Ας υποθέσουμε ότι σας δίνονται δύο τρισδιάστατα διανύσματα - το διάνυσμα Α και το διάνυσμα Β. Γράψτε αυτά τα διανύσματα σε διανυσματική μορφή: A = και Β= , όπου τα a1 και a2 είναι τα συστατικά "x", τα b1 και b2 τα συστατικά "y", τα c1 και c2 είναι τα συστατικά "z".

1. Για να προσθέσετε δύο διανύσματα, προσθέστε τα αντίστοιχα συστατικά τους.Με άλλα λόγια, προσθέστε το στοιχείο "x" του πρώτου διανύσματος στο στοιχείο "x" του δεύτερου διανύσματος (και ούτω καθεξής). Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε τα συστατικά x, y, z του διανύσματος που προκύπτει.

   • Α+Β = .
   • Προσθέστε τα διανύσματα Α και Β. Α =<5, 9, -10>και Β=<17, -3, -2>. Α+Β=<5+17, 9+-3, -10+-2>, ή <22, 6, -12> .

2. Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσμα από ένα άλλο, πρέπει να αφαιρέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία.Όπως θα φανεί παρακάτω, η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την προσθήκη ενός διανύσματος και το αντίστροφο ενός άλλου. Εάν τα συστατικά δύο διανυσμάτων είναι γνωστά, αφαιρέστε τα αντίστοιχα συστατικά του ενός διανύσματος από τα συστατικά του άλλου.

   • Α-Β =
   • Αφαιρέστε τα διανύσματα Α και Β. Α =<18, 5, 3>και Β=<-10, 9, -10>. Α-Β=<18--10, 5-9, 3--10>, ή <28, -4, 13> .

   Γραφική πρόσθεση και αφαίρεση

   1. Δεδομένου ότι τα διανύσματα έχουν μέγεθος και κατεύθυνση, έχουν μια αρχή και ένα τέλος (ένα σημείο έναρξης και ένα σημείο λήξης, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι ίση με την τιμή του διανύσματος). Όταν ένα διάνυσμα εμφανίζεται γραφικά, σχεδιάζεται ως βέλος, στο οποίο η άκρη είναι το τέλος του διανύσματος και το αντίθετο σημείο είναι η αρχή του διανύσματος.

      • Όταν σχεδιάζετε διανύσματα, κατασκευάστε όλες τις γωνίες με μεγάλη ακρίβεια. αλλιώς θα πάρεις λάθος απάντηση.

   2. Για να προσθέσετε διανύσματα, σχεδιάστε τα έτσι ώστε το τέλος κάθε προηγούμενου διανύσματος να συνδέεται με την αρχή του επόμενου διανύσματος. Εάν προσθέτετε μόνο δύο διανύσματα, τότε αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να κάνετε πριν βρείτε το διάνυσμα που προκύπτει.

      • Σημειώστε ότι η σειρά με την οποία συνδέονται τα διανύσματα δεν είναι σημαντική, δηλ. διάνυσμα Α + διάνυσμα Β = διάνυσμα Β + διάνυσμα Α.

   3. Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσμα, απλώς προσθέστε το αντίστροφο διάνυσμα, δηλαδή αλλάξτε την κατεύθυνση του αφαιρούμενου διανύσματος και μετά συνδέστε την αρχή του με το τέλος ενός άλλου διανύσματος. Με άλλα λόγια, για να αφαιρέσετε ένα διάνυσμα, περιστρέψτε το 180o (γύρω από την αρχή) και προσθέστε το σε ένα άλλο διάνυσμα.

      Εάν προσθέτετε ή αφαιρείτε πόσα (περισσότερα από δύο) διανύσματα, τότε συνδέστε διαδοχικά τα άκρα και τις αρχές τους. Η σειρά με την οποία συνδέετε τα διανύσματα δεν έχει σημασία. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε αριθμό διανυσμάτων.

   4. Σχεδιάστε ένα νέο διάνυσμα ξεκινώντας από την αρχή του πρώτου διανύσματος και τελειώνοντας στο τέλος του τελευταίου διανύσματος (όσα διανύσματα κι αν προσθέσετε). Θα λάβετε ένα διάνυσμα ίσο με το άθροισμα όλων των διανυσμάτων που προστέθηκαν. Σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα είναι το ίδιο με το διάνυσμα που προκύπτει με την προσθήκη των συνιστωσών x, y, z όλων των διανυσμάτων.

      • Εάν έχετε σχεδιάσει τα μήκη των διανυσμάτων και τις γωνίες μεταξύ τους με μεγάλη ακρίβεια, τότε μπορείτε να βρείτε την τιμή του διανύσματος που προκύπτει απλά μετρώντας το μήκος του. Επιπλέον, μπορείτε να μετρήσετε τη γωνία (μεταξύ του διανύσματος αποτελέσματος και ενός άλλου καθορισμένου διανύσματος ή οριζόντιων/κάθετων γραμμών) για να βρείτε την κατεύθυνση του διανύσματος αποτελέσματος.
      • Εάν έχετε σχεδιάσει τα μήκη των διανυσμάτων και τις γωνίες μεταξύ τους με μεγάλη ακρίβεια, τότε μπορείτε να βρείτε την τιμή του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, δηλαδή το θεώρημα ημιτόνου ή το θεώρημα συνημιτόνου. Εάν προσθέτετε πολλά διανύσματα (περισσότερα από δύο), προσθέστε πρώτα δύο διανύσματα, μετά προσθέστε το διάνυσμα που προκύπτει και το τρίτο διάνυσμα και ούτω καθεξής. Δείτε την επόμενη ενότητα για περισσότερες πληροφορίες.

   5. Αντιπροσωπεύστε το διάνυσμα που προκύπτει, δηλώνοντας την τιμή και την κατεύθυνσή του.Όπως σημειώθηκε παραπάνω, εάν σχεδιάσετε τα μήκη των διανυσμάτων που θα προστεθούν και τις γωνίες μεταξύ τους με μεγάλη ακρίβεια, τότε η τιμή του διανύσματος που προκύπτει είναι ίση με το μήκος του και η κατεύθυνση είναι η γωνία μεταξύ αυτού και της κάθετης ή οριζόντιας γραμμής . Μην ξεχάσετε να αντιστοιχίσετε στην τιμή του διανύσματος τις μονάδες μέτρησης στις οποίες δίνονται τα προστιθέμενα/αφαιρούμενα διανύσματα.

      • Για παράδειγμα, εάν προσθέσετε διανύσματα ταχύτητας μετρημένα σε m/s, προσθέστε "m/s" στην τιμή του διανύσματος που προκύπτει και υποδεικνύετε επίσης τη γωνία του διανύσματος που προκύπτει με τη μορφή "o στην οριζόντια γραμμή".

   Προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων βρίσκοντας τις τιμές των συστατικών τους

   1. Για να βρείτε τις τιμές των διανυσματικών στοιχείων, πρέπει να γνωρίζετε τις τιμές των ίδιων των διανυσμάτων και την κατεύθυνσή τους (τη γωνία σε σχέση με την οριζόντια ή κάθετη γραμμή). Θεωρήστε ένα δισδιάστατο διάνυσμα. Κάντε το την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε τα σκέλη (παράλληλα με τους άξονες X και Y) αυτού του τριγώνου θα είναι τα συστατικά του διανύσματος. Αυτά τα συστατικά μπορούν να θεωρηθούν ως δύο συνδεδεμένα διανύσματα, τα οποία, όταν προστεθούν μαζί, δίνουν το αρχικό διάνυσμα.

      • Τα μήκη (τιμές) των δύο συνιστωσών (συστατικά "x" και "y") του αρχικού διανύσματος μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Εάν το "x" είναι η τιμή (μέτρο) του αρχικού διανύσματος, τότε το διανυσματικό στοιχείο δίπλα στη γωνία του αρχικού διανύσματος είναι xcosθ και το διανυσματικό στοιχείο απέναντι από τη γωνία του αρχικού διανύσματος είναι το xsinθ.
      • Είναι σημαντικό να σημειώσετε την κατεύθυνση των εξαρτημάτων. Εάν το στοιχείο κατευθύνεται αντίθετα από την κατεύθυνση ενός από τους άξονες, τότε η τιμή του θα είναι αρνητική, για παράδειγμα, εάν το στοιχείο κατευθύνεται προς τα αριστερά ή προς τα κάτω στο δισδιάστατο επίπεδο συντεταγμένων.
      • Για παράδειγμα, δίνεται ένα διάνυσμα με συντελεστή (τιμή) 3 και διεύθυνση 135 o (σε σχέση με την οριζόντια). Τότε η συνιστώσα x είναι 3cos 135 = -2,12 και η συνιστώσα y είναι 3sin135 = 2,12.

   2. Αφού βρείτε τα συστατικά όλων των διανυσμάτων που προσθέτετε, απλώς προσθέστε τις τιμές τους και θα βρείτε τις τιμές συστατικών του διανύσματος που προκύπτει. Αρχικά, αθροίστε τις τιμές όλων των οριζόντιων στοιχείων (δηλαδή των στοιχείων παράλληλα με τον άξονα x). Στη συνέχεια, προσθέστε τις τιμές όλων των κατακόρυφων στοιχείων (δηλαδή των στοιχείων παράλληλα με τον άξονα y). Εάν η τιμή ενός συστατικού είναι αρνητική, τότε αφαιρείται, δεν προστίθεται.

      • Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε το διάνυσμα<-2,12, 2,12>και διάνυσμα<5,78, -9>. Το διάνυσμα που προκύπτει θα είναι έτσι<-2,12 + 5,78, 2,12-9>ή<3,66, -6,88>.

   3. Υπολογίστε το μήκος (τιμή) του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: c 2 \u003d a 2 + b 2 (καθώς το τρίγωνο που σχηματίζεται από το αρχικό διάνυσμα και τα συστατικά του είναι ορθογώνιο). Σε αυτήν την περίπτωση, τα σκέλη είναι τα συστατικά "x" και "y" του προκύπτοντος διανύσματος και η υποτείνουσα είναι το ίδιο το διάνυσμα που προκύπτει.

      • Για παράδειγμα, εάν στο παράδειγμά μας προσθέσατε τη δύναμη που μετρήθηκε σε Newton, τότε γράψτε την απάντηση ως εξής: 7,79 N υπό γωνία -61,99 o (ως προς τον οριζόντιο άξονα).
   • Μην συγχέετε διανύσματα με τις ενότητες (τιμές) τους.
   • Τα διανύσματα που έχουν την ίδια κατεύθυνση μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν απλά προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις τιμές τους. Αν προστεθούν δύο αντίθετα κατευθυνόμενα διανύσματα, τότε οι τιμές τους αφαιρούνται και δεν προστίθενται.
   • Διανύσματα που αναπαρίστανται ως x Εγώ+y ι+z κμπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν με απλή πρόσθεση ή αφαίρεση των αντίστοιχων συντελεστών. Γράψτε επίσης την απάντησή σας ως i,j,k.
   • Η τιμή ενός διανύσματος στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, όπου ένα- διανυσματική τιμή, προ ΧΡΙΣΤΟΥ,και ρεείναι τα συστατικά του διανύσματος.
   • Τα διανύσματα στηλών μπορούν να προστεθούν/αφαιρηθούν προσθέτοντας/αφαιρώντας τις αντίστοιχες τιμές σε κάθε σειρά.

Χ και yπου ονομάζεται διάνυσμα zτέτοια που z+y=x.

Επιλογή 1.Τα σημεία εκκίνησης όλων των διανυσμάτων συμπίπτουν με την προέλευση.

Ας κατασκευάσουμε τη διαφορά των διανυσμάτων και .

Να σχεδιάσετε τη διαφορά των διανυσμάτων z=x-y, πρέπει να προσθέσετε το διάνυσμα Χμε αντίθετο προς yδιάνυσμα y". Αντίθετο διάνυσμα y"χτίζεται απλά:

Διάνυσμα y"είναι απέναντι από το διάνυσμα y, επειδή y+y"= 0, όπου 0 είναι ένα μηδενικό διάνυσμα του κατάλληλου μεγέθους. Στη συνέχεια, πραγματοποιείται η προσθήκη διανυσμάτων Χκαι y":

Από την έκφραση (1) φαίνεται ότι για να κατασκευαστεί η διαφορά των διανυσμάτων, αρκεί να υπολογιστούν οι διαφορές των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων Χκαι y.

Ρύζι. ένας

Στο Σχ. 1 σε δισδιάστατο χώρο αντιπροσωπεύει τη διαφορά των διανυσμάτων Χ=(10,3) και y=(2,4).

Υπολογίζω z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Ας συγκρίνουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με τη γεωμετρική ερμηνεία. Πράγματι, μετά την κατασκευή του διανύσματος y"και παράλληλη κίνηση του σημείου εκκίνησης του διανύσματος y"μέχρι το τελικό σημείο του διανύσματος Χ, παίρνουμε το διάνυσμα y"", και αφού προσθέσουμε τα διανύσματα Χκαι y"", παίρνουμε το διάνυσμα z.

Επιλογή 2.Τα σημεία εκκίνησης των διανυσμάτων είναι αυθαίρετα.

Ρύζι. 2

Στο Σχ. 2 στον δισδιάστατο χώρο είναι η διαφορά των διανυσμάτων Χ=ΑΒκαι y=CD, όπου ΕΝΑ(1,0), σι(11,3), ντο(1,2), ρε(3.6). Για να υπολογίσετε το διάνυσμα z=x-y, κατασκευασμένο απέναντι από το διάνυσμα yδιάνυσμα y":

Στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε τα διανύσματα Χκαι y". Διάνυσμα y"κινείται παράλληλα έτσι ώστε το σημείο ΝΤΟ"συνέπεσε με το σημείο σι. Για να γίνει αυτό, υπολογίζονται οι διαφορές στις συντεταγμένες των σημείων σικαι ΑΠΟ.

Έστω τα $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$ δύο διανύσματα (Εικ. 1a).

Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο O και κατασκευάστε ένα διάνυσμα $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . Στη συνέχεια από το σημείο Α σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Το διάνυσμα $\overrightarrow(OB)$ που συνδέει την αρχή του πρώτου όρου του διανύσματος με το τέλος του δεύτερου (Εικ. 1, β) ονομάζεται άθροισμα αυτών των διανυσμάτων και συμβολίζεται με $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$$ ( κανόνας τριγώνου).

Το ίδιο άθροισμα διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί με άλλο τρόπο. Ας αναβάλουμε τα διανύσματα $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OC) = \overrightarrow(b) $ από το σημείο O (Εικ. 1, c). Κατασκευάζουμε πάνω σε αυτά τα διανύσματα όπως στις πλευρές του παραλληλογράμμου ОABC. Το διάνυσμα $\overrightarrow(OB)$ που χρησιμεύει ως η διαγώνιος αυτού του παραλληλογράμμου που προέρχεται από την κορυφή O είναι προφανώς το άθροισμα των διανυσμάτων $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( κανόνας παραλληλογράμμου). Από σχήμα 1, σεαμέσως προκύπτει ότι το άθροισμα δύο διανυσμάτων έχει την ανταλλάξιμη ιδιότητα: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Πράγματι, καθένα από τα διανύσματα $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ είναι ίσο με το ίδιο διάνυσμα $\overrightarrow(OB)$.

Παράδειγμα 1Στο τρίγωνο ABC, AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Βρείτε: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

Λύση

α) Έχουμε: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\overrightarrow(BC)| = BC$ και επομένως $|\overrightarrow(AB)| + |\overrightarrow(BC)| = 7 $.

β) Αφού $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\, τότε \,\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\overrightarrow(AC)| = AC$ .

Τώρα, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ δηλ.\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( ήλιος )| = 5. $$

Η έννοια του αθροίσματος των διανυσμάτων μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού αθροισμάτων διανυσμάτων.

Έστω, για παράδειγμα, δίνονται τρία διανύσματα $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b)\,and\, \overrightarrow(c)$ (Εικ. 2).

Κατασκευάζοντας πρώτα το άθροισμα των διανυσμάτων $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ , και στη συνέχεια προσθέτοντας το διάνυσμα $\overrightarrow(c)$ σε αυτό το άθροισμα, παίρνουμε το διάνυσμα $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow (β)) + \overrightarrow(c)$ . Στο Σχήμα 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = b\,; \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ and \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (γ) $$ Το σχήμα 2 δείχνει ότι παίρνουμε το ίδιο διάνυσμα $\overrightarrow(OC)$ αν προσθέσουμε το διάνυσμα $\overrightarrow(AB) = \ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ . Έτσι $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$ , δηλαδή τα διανύσματα αθροίσματος έχουν μια συσχέτιση ιδιοκτησία. Επομένως, το άθροισμα τριών διανυσμάτων $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ απλά γράφεται $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (γ) $ .

διαφοράαπό δύο διανύσματα $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ ονομάζεται το τρίτο διάνυσμα $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ , το άθροισμα του οποίου με το διάνυσμα subtrahend $\overrightarrow (b)$ δίνει το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$. Αν λοιπόν $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ then\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

Από τον ορισμό του αθροίσματος δύο διανυσμάτων, ακολουθεί ο κανόνας για την κατασκευή ενός διανύσματος διαφοράς (Εικ. 3).

Αφαιρέστε τα διανύσματα $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ από το κοινό σημείο O. Το διάνυσμα $\overrightarrow(BA)$ που συνδέει το τα άκρα του μειωμένου διανύσματος $ \overrightarrow(a)$ και του διανύσματος subtrahend $\overrightarrow(b)$ και κατευθύνονται από το subtrahend στο minuend είναι η διαφορά $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ . Πράγματι, από τον κανόνα πρόσθεσης διανυσμάτων $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , ή ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a)$ .

Παράδειγμα 2Η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ είναι α. Εύρεση: $a) |\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)|$ .

Λύση α) Εφόσον $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(SA)\text( , a )|\overrightarrow(SA)| = a\text( , then )|\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)| = a$.

β) Αφού $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\text( , then )|\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)| = a$.

Το γινόμενο ενός διανύσματος $\overrightarrow(a)$ (που συμβολίζεται $=\lambda\overrightarrow(a)$ ή $\overrightarrow(a)\lambda$) και ενός πραγματικού αριθμού $\lambda$ είναι ένα διάνυσμα $\overrightarrow( β)$, συγγραμμικό διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ μήκους ίσου με $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ και ίδια κατεύθυνση με το $\overrightarrow(a)$ εάν $\lambda > 0$ , και την κατεύθυνση αντίθετη από το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ εάν $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

Στην περίπτωση που $\lambda = 0$ ή $\overrightarrow(a) = 0$ , το γινόμενο $\lambda\overrightarrow(a)$ είναι μηδενικό διάνυσμα. Το αντίθετο διάνυσμα $-\overrightarrow(a)$ μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του διανύσματος $\overrightarrow(a)$ επί $\lambda = -1$ (βλ. Εικ. 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ Προφανώς $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$ .

Παράδειγμα 3Αποδείξτε ότι εάν τα O, A, B και C είναι αυθαίρετα σημεία, τότε $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CO) = 0$ .

Λύση. Το άθροισμα των διανυσμάτων $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OC)$ , το διάνυσμα $\overrightarrow(CO)$ είναι το αντίθετο του διανύσματος $\overrightarrow(OC )$. Επομένως $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(0)$ .

Ας δοθεί το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$. Θεωρήστε ένα μοναδιαίο διάνυσμα $\overrightarrow(a_0)$ , συγγραμμικό με το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ και κατευθυνόμενο στην ίδια κατεύθυνση με αυτό. Από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό προκύπτει ότι $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , δηλ. κάθε διάνυσμα είναι ίσο με το γινόμενο του συντελεστή του και του μοναδιαίου διανύσματος της ίδιας κατεύθυνσης. Περαιτέρω, από τον ίδιο ορισμό προκύπτει ότι αν $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , όπου το $\overrightarrow(a)$ είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, τότε τα διανύσματα $\overrightarrow(a) Τα \, και \, \overrightarrow(b)$ είναι συγγραμμικά. Προφανώς, αντίστροφα, από τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ προκύπτει ότι $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Παράδειγμα 4Το μήκος του διανύσματος ΑΒ είναι 3, το μήκος του διανύσματος AC είναι 5. Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι 1/15. Βρείτε το μήκος του διανύσματος AB + AC.

Λύση βίντεο.

Ορισμός

Η προσθήκη των φορέων και πραγματοποιείται σύμφωνα με κανόνας τριγώνου.

άθροισμα δύο διανύσματακαι λέγεται ένα τέτοιο τρίτο διάνυσμα, του οποίου η αρχή συμπίπτει με την αρχή, και το τέλος με το τέλος, με την προϋπόθεση ότι το τέλος του διανύσματος και η αρχή του διανύσματος συμπίπτουν (Εικ. 1).

Για προσθήκη φορείςΙσχύει επίσης ο κανόνας του παραλληλογράμμου.

Ορισμός

κανόνας παραλληλογράμμου- εάν δύο μη γραμμικά διανύσματα u οδηγούν σε κοινή αρχή, τότε το διάνυσμα συμπίπτει με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα u (Εικ. 2). Επιπλέον, η αρχή του διανύσματος συμπίπτει με την αρχή των δεδομένων διανυσμάτων.

Ορισμός

Το διάνυσμα ονομάζεται αντίθετο διάνυσμαστο διάνυσμα αν αυτό συγγραμμικήδιάνυσμα , ίσο με αυτό σε μήκος, αλλά κατευθυνόμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα.

Η πράξη προσθήκης διανύσματος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ορισμός

διαφορά φορείςκαι ένα διάνυσμα ονομάζεται έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: (Εικ. 3).

Πολλαπλασιάστε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Ορισμός

δουλειά διάνυσμα ανά αριθμόονομάζεται διάνυσμα που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:

Εδώ το u είναι αυθαίρετα διανύσματα και είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

Ευκλείδειος χώρος(επίσης Ευκλείδειος χώρος) - με την αρχική έννοια, ο χώρος του οποίου οι ιδιότητες περιγράφονται αξιώματα ευκλείδεια γεωμετρία. Σε αυτή την περίπτωση, υποτίθεται ότι ο χώρος έχει διάστασηίσο με 3.

Με τη σύγχρονη έννοια, με μια γενικότερη έννοια, μπορεί να υποδηλώσει ένα από τα παρόμοια και στενά συνδεδεμένα αντικείμενα: πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικός διανυσματικός χώροςμε θετική οριστική κλιμακωτό προϊόν, ή μετρικός χώροςπου αντιστοιχεί σε ένα τέτοιο διανυσματικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο, ο πρώτος ορισμός θα ληφθεί ως ο αρχικός.

Ο διαστατικός ευκλείδειος χώρος χρησιμοποιείται επίσης συχνά (αν είναι σαφές από το πλαίσιο ότι ο χώρος έχει ευκλείδεια δομή).

Για να ορίσουμε τον Ευκλείδειο χώρο, είναι πιο εύκολο να ληφθεί ως η κύρια έννοια προϊόν με κουκκίδες. Ο Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ορίζεται ως πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικός χώροςπάνω από πεδίο πραγματικούς αριθμούς, στα διανύσματα του οποίου συνάρτηση πραγματικής αξίαςμε τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

συγγενικό χώρο, που αντιστοιχεί σε ένα τέτοιο διανυσματικό χώρο, ονομάζεται ευκλείδειος συγγενικός χώρος ή απλά Ευκλείδειος χώρος .

Ένα παράδειγμα ευκλείδειου χώρου είναι ένας χώρος συντεταγμένων που αποτελείται από όλα τα πιθανά n-ok πραγματικοί αριθμοί βαθμωτό γινόμενο στο οποίο καθορίζεται από τον τύπο

Βάση και διανυσματικές συντεταγμένες

Βάση (άλλα ελληνικάβασις, βάση) - το σύνολο τέτοιων φορείςσε διανυσματικός χώροςότι οποιοδήποτε διάνυσμα αυτού του χώρου μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα από αυτό το σύνολο - διανύσματα βάσης.

Στην περίπτωση που η βάση είναι άπειρη, πρέπει να διευκρινιστεί η έννοια του «γραμμικού συνδυασμού». Αυτό οδηγεί σε δύο βασικούς τύπους ορισμού:

Βάση Hamel, του οποίου ο ορισμός λαμβάνει υπόψη μόνο πεπερασμένους γραμμικούς συνδυασμούς. Η βάση Hamel χρησιμοποιείται κυρίως στην αφηρημένη άλγεβρα (ιδίως στη γραμμική άλγεβρα).

βάση Schauder, του οποίου ο ορισμός εξετάζει επίσης άπειρους γραμμικούς συνδυασμούς, δηλαδή, επέκταση σε τάξεις. Αυτός ο ορισμός χρησιμοποιείται κυρίως στη λειτουργική ανάλυση, ιδίως για Χώρος Χίλμπερτ,

Σε χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, και οι δύο τύποι βάσης συμπίπτουν.

Διανυσματικές συντεταγμένεςείναι οι συντελεστές του μόνου δυνατού γραμμικός συνδυασμός βασικός φορείςστο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένωνίσο με το δεδομένο διάνυσμα.

όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Scalar προϊόν.

λειτουργία σε δύο φορείς, το αποτέλεσμα της οποίας είναι αριθμός[όταν λαμβάνονται υπόψη τα διανύσματα, συχνά καλούνται αριθμοί σκαλοπάτια], το οποίο δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων και χαρακτηρίζει τα μήκη των διανυσμάτων παραγόντων και γωνίαμεταξυ τους. Αυτή η πράξη αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό μήκοςδιάνυσμα Χστο προβολήδιάνυσμα yανά διάνυσμα Χ. Αυτή η λειτουργία συνήθως θεωρείται ως ανταλλακτικήκαι γραμμικόςγια κάθε παράγοντα.

Scalar προϊόνδύο διανύσματα είναι ίσα με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους:

διανυσματικό προϊόν

αυτό είναι ψευδοδιάνυσμα, κάθετοςεπίπεδο που κατασκευάζεται από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα του δυαδική λειτουργία"διανυσματικός πολλαπλασιασμός" πάνω φορείςσε 3D ευκλείδειος χώρος. Το διανυσματικό προϊόν δεν έχει ιδιότητες ανταλλαξιμότητακαι συνειρμικότητα(είναι αντιμεταθετικός) και, σε αντίθεση με τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, είναι ένα διάνυσμα. Χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλές τεχνικές και φυσικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, στροφορμήκαι Δύναμη Lorentzμαθηματικά γραμμένο ως διανυσματικό γινόμενο. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - ο συντελεστής του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσος με το γινόμενο των συντελεστών τους εάν είναι κάθετοι και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

διανυσματικό προϊόνδύο διανύσματα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας καθοριστικός μήτρες

ανάμεικτο προϊόν

Μικτό προϊόν φορείς -κλιμακωτό προϊόν διάνυσμαστο διανυσματικό προϊόν φορείςκαι:

Μερικές φορές ονομάζεται τριπλό βαθμωτό προϊόνδιανύσματα, προφανώς λόγω του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό μέγεθος(ακριβέστερα - ψευδοσκάλαιο).

Γεωμετρική αίσθηση:Το μέτρο του μικτού προϊόντος είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο παραλληλεπίπεδομορφωμένος φορείς .ανάμεικτο προϊόντρία διανύσματα μπορούν να βρεθούν μέσω της ορίζουσας

Αεροπλάνο στο διάστημα

Επίπεδο - αλγεβρική επιφάνειαπρώτη σειρά: σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένωνμπορεί να ρυθμιστεί το αεροπλάνο εξίσωσηπρώτου βαθμού.

Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός αεροπλάνου

αεροπλάνο - επιφάνεια, που περιέχει πλήρως το καθένα απευθείας, συνδέοντας οποιοδήποτε σημεία;

Δύο επίπεδα είναι είτε παράλληλα είτε τέμνονται σε ευθεία γραμμή.

Η ευθεία είναι είτε παράλληλη προς το επίπεδο, είτε την τέμνει σε ένα σημείο, είτε βρίσκεται στο επίπεδο.

Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Δύο επίπεδα κάθετα στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα μεταξύ τους.

Ομοίως τμήμακαι διάστημα, ένα επίπεδο που δεν περιλαμβάνει ακραία σημεία μπορεί να ονομαστεί επίπεδο διαστήματος ή ανοιχτό επίπεδο.

Γενική εξίσωση (πλήρης) του επιπέδου

όπου και είναι σταθερές, και ταυτόχρονα δεν είναι ίσες με μηδέν. σε διάνυσμαμορφή:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου, το διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο (κανονικό διάνυσμα). Οδηγοίσυνημίτονα διάνυσμα:

Για τη σωστή απεικόνιση των νόμων της φύσης στη φυσική απαιτούνται κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία.

Στη γεωμετρία και τη φυσική, υπάρχουν ποσότητες που χαρακτηρίζονται τόσο από αριθμητική τιμή όσο και από κατεύθυνση.

Συνιστάται να τα αντιπροσωπεύετε ως κατευθυνόμενα τμήματα ή φορείς.

Τέτοιες τιμές έχουν μια αρχή (που αντιπροσωπεύεται από μια τελεία) και ένα τέλος, που υποδεικνύεται με ένα βέλος. Το μήκος του τμήματος ονομάζεται (μήκος).

• Ταχύτητα;
• επιτάχυνση;
• σφυγμός;
• δύναμη;
• στιγμή;
• δύναμη;
• κίνηση;
• δύναμη πεδίου κ.λπ.

Συντεταγμένες αεροπλάνου

Ας ορίσουμε ένα τμήμα στο επίπεδο που κατευθύνεται από το σημείο A (x1, y1) στο σημείο B (x2, y2). Οι συντεταγμένες του a (a1, a2) είναι οι αριθμοί a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Η ενότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το μηδενικό διάνυσμα έχει την αρχή και το τέλος. Οι συντεταγμένες και το μήκος είναι 0.

Άθροισμα διανυσμάτων

Υπάρχει αρκετούς κανόνες για τον υπολογισμό του ποσού

• κανόνας τριγώνου?
• κανόνας πολυγώνου.
• κανόνας παραλληλογράμμου.

Ο κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας προβλήματα από τη δυναμική και τη μηχανική. Εξετάστε την προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των δυνάμεων που δρουν σε ένα σημειακό σώμα και των διαδοχικών μετατοπίσεων του σώματος στο χώρο.

Ας υποθέσουμε ότι το σώμα μετακινήθηκε πρώτα από το σημείο Α στο σημείο Β και μετά από το σημείο Β στο σημείο Γ. Η τελική μετατόπιση είναι ένα τμήμα που κατευθύνεται από το σημείο έναρξης Α έως το τελικό σημείο Γ.

Το αποτέλεσμα δύο μετατοπίσεων ή το άθροισμά τους s = s1+ s2. Μια τέτοια μέθοδος ονομάζεται κανόνας τριγώνου.

Τα βέλη παρατάσσονται σε μια αλυσίδα το ένα μετά το άλλο, εάν είναι απαραίτητο, πραγματοποιώντας μια παράλληλη μεταφορά. Το συνολικό τμήμα κλείνει την ακολουθία. Η αρχή του συμπίπτει με την αρχή του πρώτου, το τέλος - με το τέλος του τελευταίου. Στα ξένα σχολικά βιβλία, αυτή η μέθοδος ονομάζεται "ουρά με κεφάλι".

Οι συντεταγμένες του αποτελέσματος c = a + b είναι ίσες με το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των όρων c (a1+ b1, a2+ b2).

Το άθροισμα των παράλληλων (συγγραμμικών) διανυσμάτων καθορίζεται επίσης από τον κανόνα του τριγώνου.

Αν δύο αρχικά τμήματα είναι κάθετα μεταξύ τους, τότε το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους είναι η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου που χτίζεται πάνω τους. Το μήκος του αθροίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Παραδείγματα:

• Η ταχύτητα ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια κάθετοςεπιτάχυνση ελεύθερης πτώσης.
• Με ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση, η γραμμική ταχύτητα του σώματος είναι κάθετη στην κεντρομόλο επιτάχυνση.

Προσθήκη τριών ή περισσότερων διανυσμάτωνπαράγουν σύμφωνα με κανόνας πολυγώνου, "ουρά με κεφάλι"

Ας υποθέσουμε ότι οι δυνάμεις F1 και F2 εφαρμόζονται σε ένα σημειακό σώμα.

Η πείρα αποδεικνύει ότι το συνδυασμένο αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων ισοδυναμεί με τη δράση μιας δύναμης που κατευθύνεται διαγώνια κατά μήκος του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο πάνω τους. Αυτή η προκύπτουσα δύναμη είναι ίση με το άθροισμά τους F \u003d F1 + F 2. Η παραπάνω μέθοδος πρόσθεσης ονομάζεται κανόνας παραλληλογράμμου.

Το μήκος σε αυτή την περίπτωση υπολογίζεται από τον τύπο

Όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών.

Οι κανόνες του τριγώνου και του παραλληλογράμμου είναι εναλλάξιμοι. Στη φυσική, ο κανόνας του παραλληλογράμμου χρησιμοποιείται συχνότερα, αφού τα κατευθυνόμενα μεγέθη δυνάμεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων εφαρμόζονται συνήθως σε ένα σημείο σώμα. Σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, ισχύει ο κανόνας του πλαισίου.

Στοιχεία Άλγεβρας

1. Η προσθήκη είναι μια δυαδική λειτουργία: μπορείτε να προσθέσετε μόνο ένα ζεύγος κάθε φορά.
2. ανταλλαξιμότητα: το άθροισμα από τη μετάθεση των όρων δεν αλλάζει a + b = b + a. Αυτό είναι σαφές από τον κανόνα του παραλληλογράμμου: η διαγώνιος είναι πάντα η ίδια.
3. Συνεταιρισμός: το άθροισμα ενός αυθαίρετου αριθμού διανυσμάτων δεν εξαρτάται από τη σειρά πρόσθεσής τους (a + b) + c = a + (b + c).
4. Το άθροισμα με μηδενικό διάνυσμα δεν αλλάζει κατεύθυνση ή μήκος: a +0= a .
5. Για κάθε διάνυσμα υπάρχει απεναντι απο. Το άθροισμά τους είναι ίσο με μηδέν a +(-a)=0, και τα μήκη είναι ίδια.

Η αφαίρεση ενός κατευθυνόμενου τμήματος ισοδυναμεί με την προσθήκη του αντίθετου. Οι συντεταγμένες είναι ίσες με τη διαφορά των αντίστοιχων συντεταγμένων. Το μήκος είναι:

Για την αφαίρεση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν τροποποιημένο κανόνα τριγώνου.

Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με ένα βαθμωτό είναι ένα διάνυσμα.

Οι συντεταγμένες του γινομένου λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας με βαθμωτή τις αντίστοιχες συντεταγμένες της πηγής.

Ο βαθμωτός είναι μια αριθμητική τιμή με πρόσημο συν ή πλην, μεγαλύτερο ή μικρότερο από ένα.

Παραδείγματα βαθμωτών στη φυσική:

• βάρος;
• χρόνος;
• χρέωση;
• μήκος;
• τετράγωνο;
• Ενταση ΗΧΟΥ;
• πυκνότητα;
• θερμοκρασία;
• ενέργεια.

Παραδείγματα:

• Η μετατόπιση ενός ομοιόμορφα κινούμενου σώματος είναι ίση με το γινόμενο του χρόνου και της ταχύτητας s = vt.
• Η ορμή ενός σώματος είναι η μάζα πολλαπλασιαζόμενη με την ταχύτητα p = mv.
• Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Το προϊόν της μάζας του σώματος και της επιτάχυνσης είναι επισυνάπτεταιπροκύπτουσα δύναμη ma=F.
• Η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτισμένο σωματίδιο σε ένα ηλεκτρικό πεδίο είναι ανάλογη με το φορτίο F = qE.

Το κλιμακωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων τμημάτων a και b είναι ίσο με το γινόμενο των μονάδων και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Το κλιμακωτό γινόμενο αμοιβαία κάθετων τμημάτων είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα:

Το έργο είναι το βαθμωτό γινόμενο της δύναμης και της μετατόπισης A = Fs.