Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Σε συνέχεια στο κείμενο «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι στα μαθηματικά μπορεί να είναι ευκολότερο από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εντυπώσεις δίνει η Yandex ανά αίτημα ανά μήνα. Να τι συνέβη, ρίξτε μια ματιά:

Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτές τις πληροφορίες, και αυτό είναι καλοκαίρι, και τι θα συμβεί κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς - θα υπάρξουν διπλάσια αιτήματα. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι άνδρες και τα κορίτσια που έχουν αποφοιτήσει από το σχολείο και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θέλω οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου για αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί η ομιλία "KU", θα δώσω έναν σύνδεσμο σε αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλα site. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

όπου οι συντελεστές α,σικαι με αυθαίρετους αριθμούς, με a≠0.

Στο σχολικό μάθημα, το υλικό δίνεται με την ακόλουθη μορφή - η διαίρεση των εξισώσεων σε τρεις τάξεις γίνεται υπό όρους:

1. Να έχεις δύο ρίζες.

2. * Να έχουν μόνο μία ρίζα.

3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες

Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!

Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:

Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:

*Αυτοί οι τύποι πρέπει να είναι γνωστοί από καρδιάς.

Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να αποφασίσετε:

Παράδειγμα:

1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Ας δούμε την εξίσωση:

Σε αυτήν την περίπτωση, όταν η διάκριση είναι μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μια ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Σωστά, είναι, αλλά...

Αυτή η αναπαράσταση είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, αποδεικνύονται δύο ίσες ρίζες και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, τότε θα πρέπει να γραφτούν δύο ρίζες στην απάντηση:

x 1 = 3 x 2 = 3

Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκβαση. Στο σχολείο, μπορείτε να γράψετε και να πείτε ότι υπάρχει μόνο μία ρίζα.

Τώρα το εξής παράδειγμα:

Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν εξάγεται, επομένως δεν υπάρχει λύση σε αυτή την περίπτωση.

Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.

Τετραγωνική λειτουργία.

Να πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση μιας τετραγωνικής ανισότητας).

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:

όπου x και y είναι μεταβλητές

Τα a, b, c δίνονται αριθμοί, όπου a ≠ 0

Το γράφημα είναι μια παραβολή:

Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) ή κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Περισσότερα για την τετραγωνική συνάρτηση Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.

Εξετάστε παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Αποφασίστε 2x 2 +8 Χ–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = β 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = -12

* Θα μπορούσατε αμέσως να διαιρέσετε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με 2, δηλαδή να την απλοποιήσετε. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.

Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Πήραμε ότι x 1 \u003d 11 και x 2 \u003d 11

Στην απάντηση, επιτρέπεται να γράψετε x = 11.

Απάντηση: x = 11

Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.

Απάντηση: Καμία λύση

Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!

Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Γνωρίζετε τίποτα για τους μιγαδικούς αριθμούς; Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητά τους στα μαθηματικά, αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.

Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.

Λίγη θεωρία.

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας

z = a + bi

όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.

a+bi είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.

Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα μείον ένα:

Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:

Πάρτε δύο συζυγείς ρίζες.

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Λύνονται εύκολα χωρίς διακρίσεις.

Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.

Η εξίσωση έχει τη μορφή:

Ας μεταμορφώσουμε:

Παράδειγμα:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.

Η εξίσωση έχει τη μορφή:

Μετασχηματισμός, παραγοντοποίηση:

*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.

Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.

Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.

Υπάρχουν ιδιότητες που επιτρέπουν την επίλυση εξισώσεων με μεγάλους συντελεστές.

έναΧ 2 + bx+ ντο=0 ισότητα

ένα + σι+ c = 0,έπειτα

— αν για τους συντελεστές της εξίσωσης έναΧ 2 + bx+ ντο=0 ισότητα

ένα+ με =σι, έπειτα

Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην επίλυση ενός συγκεκριμένου είδους εξίσωσης.

Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0

Το άθροισμα των συντελεστών είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, άρα

Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0

Ισότητα ένα+ με =σι, που σημαίνει

Κανονικότητα συντελεστών.

1. Εάν στην εξίσωση ax 2 + bx + c \u003d 0 ο συντελεστής "b" είναι (a 2 +1) και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Εάν στην εξίσωση ax 2 - bx + c \u003d 0, ο συντελεστής "b" είναι (a 2 +1) και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx - c = 0 συντελεστής "b" ισούται (α 2 – 1), και ο συντελεστής "c" αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "α", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Εάν στην εξίσωση ax 2 - bx - c \u003d 0, ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 - 1) και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Το θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορεί κανείς να εκφράσει το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι οι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις αμέσως προφορικά.

Το θεώρημα του Vieta, εξάλλου. βολικό γιατί μετά την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω του διαχωριστή), μπορούν να ελεγχθούν οι προκύπτουσες ρίζες. Συνιστώ να το κάνετε αυτό όλη την ώρα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "μεταφέρεται" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος μεταφοράς.Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν είναι εύκολο να βρεθούν οι ρίζες μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Αν ένα ένα± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:

2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Ποιο είναι το σκεπτικό; Δείτε τι συμβαίνει.

Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι:

Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, τότε λαμβάνονται μόνο διαφορετικοί παρονομαστές και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:

Οι δεύτερες (τροποποιημένες) ρίζες είναι 2 φορές μεγαλύτερες.

Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.

*Αν κυλήσουμε τρία του είδους, τότε διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.ο.κ.

Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5

πλ. ur-ie και η εξέταση.

Θα πω εν συντομία για τη σημασία του - ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΣ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΙΣ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να ξέρεις τους τύπους των ριζών και του διαχωριστικού από απέξω. Πολλές από τις εργασίες που αποτελούν μέρος των εργασιών USE καταλήγουν στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).

Τι αξίζει να σημειωθεί!

1. Η μορφή της εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.

Πρέπει να το φέρετε σε τυπική φόρμα (για να μην μπερδεύεστε κατά την επίλυση).

2. Θυμηθείτε ότι το x είναι μια άγνωστη τιμή και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.

Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση διαφέρει από τις κλασικές (πλήρες) εξισώσεις στο ότι οι συντελεστές ή ο ελεύθερος όρος της είναι ίσοι με μηδέν. Η γραφική παράσταση τέτοιων συναρτήσεων είναι παραβολές. Ανάλογα με τη γενική εμφάνιση χωρίζονται σε 3 ομάδες. Οι αρχές λύσης για όλους τους τύπους εξισώσεων είναι οι ίδιες.

Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στον προσδιορισμό του τύπου ενός ημιτελούς πολυωνύμου. Είναι καλύτερο να λάβετε υπόψη τις κύριες διαφορές στα επεξηγηματικά παραδείγματα:

1. Αν b = 0, τότε η εξίσωση είναι ax 2 + c = 0.
2. Εάν c = 0, τότε θα πρέπει να λυθεί η παράσταση ax 2 + bx = 0.
3. Αν b = 0 και c = 0, τότε το πολυώνυμο γίνεται ισότητα τύπου ax 2 = 0.

Η τελευταία περίπτωση είναι περισσότερο μια θεωρητική πιθανότητα και δεν εμφανίζεται ποτέ σε τεστ γνώσης, αφού η μόνη αληθινή τιμή της μεταβλητής x στην παράσταση είναι μηδέν. Στο μέλλον, θα εξεταστούν μέθοδοι και παραδείγματα επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων 1) και 2) των τύπων.

Γενικός αλγόριθμος εύρεσης μεταβλητών και παραδειγμάτων με λύση

Ανεξάρτητα από τον τύπο της εξίσωσης, ο αλγόριθμος λύσης ανάγεται στα ακόλουθα βήματα:

1. Φέρτε την έκφραση σε μια βολική μορφή για την εύρεση ριζών.
2. Κάντε υπολογισμούς.
3. Γράψτε την απάντηση.

Είναι πιο εύκολο να λύσετε ημιτελείς εξισώσεις συνυπολογίζοντας την αριστερή πλευρά και αφήνοντας το μηδέν στη δεξιά πλευρά. Έτσι, ο τύπος για μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση για την εύρεση των ριζών ανάγεται στον υπολογισμό της τιμής του x για κάθε έναν από τους παράγοντες.

Μπορείτε να μάθετε πώς να λύνετε μόνο στην πράξη, οπότε ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα εύρεσης των ριζών μιας ημιτελούς εξίσωσης:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτήν την περίπτωση b = 0. Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά και παίρνουμε την έκφραση:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Προφανώς, το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Παρόμοιες απαιτήσεις ικανοποιούνται από τις τιμές της μεταβλητής x1 = 0,5 και (ή) x2 = -0,5.

Για να αντιμετωπίσετε εύκολα και γρήγορα το έργο της παραγοντοποίησης ενός τετραγωνικού τριωνύμου σε παράγοντες, θα πρέπει να θυμάστε τον ακόλουθο τύπο:

Εάν δεν υπάρχει ελεύθερος όρος στην έκφραση, η εργασία απλοποιείται πολύ. Θα είναι αρκετό μόνο να βρούμε και να βγάλουμε τον κοινό παρονομαστή. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε ένα παράδειγμα του τρόπου επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής ax2 + bx = 0.

Ας βγάλουμε τη μεταβλητή x από αγκύλες και πάρουμε την ακόλουθη έκφραση:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Με βάση τη λογική, συμπεραίνουμε ότι x1 = 0 και x2 = -3.

Ο παραδοσιακός τρόπος επίλυσης και ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Τι θα συμβεί αν εφαρμόσουμε τον τύπο διάκρισης και προσπαθήσουμε να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου, με συντελεστές ίσους με μηδέν; Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από μια συλλογή τυπικών εργασιών για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά το 2017, θα το λύσουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς τύπους και τη μέθοδο παραγοντοποίησης.

7x 2 - 3x = 0.

Υπολογίστε την τιμή της διακρίνουσας: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Αποδεικνύεται ότι το πολυώνυμο έχει δύο ρίζες:

Τώρα, λύστε την εξίσωση με παραγοντοποίηση και συγκρίνετε τα αποτελέσματα.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο μέθοδοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά ο δεύτερος τρόπος επίλυσης της εξίσωσης αποδείχθηκε πολύ πιο εύκολος και γρήγορος.

Το θεώρημα του Βιέτα

Τι να κάνουμε όμως με το αγαπημένο θεώρημα Vieta; Μπορεί αυτή η μέθοδος να εφαρμοστεί με ένα ημιτελές τριώνυμο; Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τις πτυχές της αναγωγής των ημιτελών εξισώσεων στην κλασική μορφή ax2 + bx + c = 0.

Στην πραγματικότητα, είναι δυνατό να εφαρμοστεί το θεώρημα του Vieta σε αυτή την περίπτωση. Είναι απαραίτητο μόνο να φέρετε την έκφραση σε μια γενική μορφή, αντικαθιστώντας τους όρους που λείπουν με μηδέν.

Για παράδειγμα, με b = 0 και a = 1, για να εξαλειφθεί η πιθανότητα σύγχυσης, η εργασία θα πρέπει να γραφτεί με τη μορφή: ax2 + 0 + c = 0. Στη συνέχεια, ο λόγος του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών και Οι συντελεστές του πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν ως εξής:

Οι θεωρητικοί υπολογισμοί βοηθούν στην εξοικείωση με την ουσία του ζητήματος και απαιτούν πάντα ανάπτυξη δεξιοτήτων για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Ας στραφούμε ξανά στο βιβλίο αναφοράς των τυπικών εργασιών για την εξέταση και ας βρούμε ένα κατάλληλο παράδειγμα:

Γράφουμε την έκφραση σε μια μορφή κατάλληλη για την εφαρμογή του θεωρήματος Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Το επόμενο βήμα είναι να δημιουργήσετε ένα σύστημα συνθηκών:

Προφανώς, οι ρίζες του τετραγώνου πολυωνύμου θα είναι x 1 \u003d 4 και x 2 \u003d -4.

Τώρα, ας εξασκηθούμε στο να φέρουμε την εξίσωση σε μια γενική μορφή. Πάρτε το ακόλουθο παράδειγμα: 1/4× x 2 – 1 = 0

Για να εφαρμόσετε το θεώρημα Vieta στην έκφραση, πρέπει να απαλλαγείτε από το κλάσμα. Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά επί 4 και δείτε το αποτέλεσμα: x2– 4 = 0. Η ισότητα που προκύπτει είναι έτοιμη να λυθεί με το θεώρημα Vieta, αλλά είναι πολύ πιο εύκολο και πιο γρήγορο να λάβετε την απάντηση απλά μετακινώντας c = 4 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: x2 = 4.

Συνοψίζοντας, θα πρέπει να ειπωθεί ότι ο καλύτερος τρόπος επίλυσης ημιτελών εξισώσεων είναι η παραγοντοποίηση, η οποία είναι η απλούστερη και ταχύτερη μέθοδος. Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες στη διαδικασία εύρεσης ριζών, μπορείτε να ανατρέξετε στην παραδοσιακή μέθοδο εύρεσης ριζών μέσω του διαχωριστικού.

Είναι γνωστό ότι είναι μια συγκεκριμένη εκδοχή της ισότητας ax 2 + in + c \u003d o, όπου τα a, b και c είναι πραγματικοί συντελεστές για άγνωστο x, και όπου a ≠ o, και b και c θα είναι μηδενικά - ταυτόχρονα ή χωριστά. Για παράδειγμα, c = o, v ≠ o ή αντίστροφα. Σχεδόν θυμηθήκαμε τον ορισμό της τετραγωνικής εξίσωσης.

Ένα τριώνυμο δεύτερου βαθμού ισούται με μηδέν. Ο πρώτος του συντελεστής a ≠ o, b και c μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές. Η τιμή της μεταβλητής x θα είναι τότε όταν, κατά την αντικατάσταση, θα τη μετατρέψει στη σωστή αριθμητική ισότητα. Ας σταθούμε στις πραγματικές ρίζες, αν και οι λύσεις της εξίσωσης μπορούν επίσης να είναι πλήρεις.Συνηθίζεται να ονομάζουμε μια εξίσωση στην οποία κανένας από τους συντελεστές δεν είναι ίσος με o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Ας λύσουμε ένα παράδειγμα. 2x2 -9x-5 = ω, βρίσκουμε
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
Το D είναι θετικό, άρα υπάρχουν ρίζες, x 1 = (9+√121): 4 = 5, και το δεύτερο x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Ο έλεγχος θα σας βοηθήσει να βεβαιωθείτε ότι είναι σωστές.

Ακολουθεί μια βήμα προς βήμα λύση της τετραγωνικής εξίσωσης

Μέσω του διαχωριστή, μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση, στην αριστερή πλευρά της οποίας υπάρχει ένα γνωστό τετράγωνο τριώνυμο με ≠ o. Στο παράδειγμά μας. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Εξετάστε ποιες είναι ημιτελείς εξισώσεις δεύτερου βαθμού

1. τσεκούρι 2 + σε = ο. Ο ελεύθερος όρος, ο συντελεστής c στο x 0, είναι μηδέν εδώ, σε ≠ o.
   Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση αυτού του είδους; Ας βγάλουμε το x από αγκύλες. Θυμηθείτε όταν το γινόμενο δύο παραγόντων είναι μηδέν.
   x(ax+b) = o, αυτό μπορεί να είναι όταν x = o ή όταν ax+b = o.
   Λύνοντας το 2ο, έχουμε x = -v/a.
   Ως αποτέλεσμα, έχουμε ρίζες x 1 \u003d 0, σύμφωνα με τους υπολογισμούς x 2 \u003d -b / a.
2. Τώρα ο συντελεστής του x είναι o, αλλά το c δεν είναι ίσος με (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Μεταφέρουμε το c στη δεξιά πλευρά της ισότητας, παίρνουμε x 2 \u003d -c. Αυτή η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μόνο όταν -c είναι θετικός αριθμός (c ‹ o),
   Το x 1 είναι τότε ίσο με √(-c), αντίστοιχα, το x 2 είναι -√(-c). Διαφορετικά, η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες.
3. Η τελευταία επιλογή: b \u003d c \u003d o, δηλαδή, τσεκούρι 2 \u003d o. Φυσικά, μια τόσο απλή εξίσωση έχει μία ρίζα, x = o.

Ειδικές περιπτώσεις

Έχουμε σκεφτεί πώς να λύσουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση και τώρα θα πάρουμε οποιοδήποτε είδος.

• Στην πλήρη τετραγωνική εξίσωση, ο δεύτερος συντελεστής του x είναι ένας ζυγός αριθμός.
  Έστω k = o,5b. Έχουμε τύπους για τον υπολογισμό της διάκρισης και των ριζών.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, οι ρίζες υπολογίζονται ως εξής x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a για D › o.
  x = -k/a στο D = o.
  Δεν υπάρχουν ρίζες για το D ‹ o.
• Υπάρχουν μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις, όταν ο συντελεστής του x στο τετράγωνο είναι 1, συνήθως γράφονται x 2 + px + q \u003d o. Όλοι οι παραπάνω τύποι ισχύουν για αυτούς, αλλά οι υπολογισμοί είναι κάπως απλούστεροι.
  Παράδειγμα, x 2 -4x-9 \u003d 0. Υπολογίζουμε το D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Επιπλέον, εφαρμόζεται εύκολα στα δεδομένα, λέει ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -p, ο δεύτερος συντελεστής με μείον (δηλαδή το αντίθετο πρόσημο) και το γινόμενο των ίδιων ριζών θα να είναι ίσο με q, τον ελεύθερο όρο. Ελέγξτε πόσο εύκολο θα ήταν να προσδιορίσετε προφορικά τις ρίζες αυτής της εξίσωσης. Για μη ανηγμένους (για όλους τους συντελεστές που δεν είναι ίσοι με μηδέν), αυτό το θεώρημα ισχύει ως εξής: το άθροισμα x 1 + x 2 είναι ίσο με -v / a, το γινόμενο x 1 x 2 είναι ίσο με c / a .

Το άθροισμα του ελεύθερου όρου c και του πρώτου συντελεστή α είναι ίσο με τον συντελεστή β. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα (είναι εύκολο να αποδειχθεί), η πρώτη είναι απαραίτητα ίση με -1 και η δεύτερη - c / a, εάν υπάρχει. Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση, μπορείτε να το ελέγξετε μόνοι σας. Πανεύκολο. Οι συντελεστές μπορούν να είναι σε κάποιες αναλογίες μεταξύ τους

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Το άθροισμα όλων των συντελεστών είναι o.
  Οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης είναι 1 και c / a. Παράδειγμα, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι επίλυσης διαφορετικών εξισώσεων δεύτερου βαθμού. Εδώ, για παράδειγμα, είναι μια μέθοδος για την εξαγωγή ενός πλήρους τετραγώνου από ένα δεδομένο πολυώνυμο. Υπάρχουν διάφοροι γραφικοί τρόποι. Όταν ασχολείστε συχνά με τέτοια παραδείγματα, θα μάθετε να τα κάνετε «κλικ» σαν σπόροι, γιατί όλες οι μέθοδοι έρχονται στο μυαλό αυτόματα.

Σημαντικές σημειώσεις!
1. Εάν αντί για τύπους βλέπετε abracadabra, καθαρίστε την προσωρινή μνήμη. Πώς να το κάνετε στο πρόγραμμα περιήγησής σας είναι γραμμένο εδώ:
2. Πριν ξεκινήσετε να διαβάζετε το άρθρο, δώστε προσοχή στον πλοηγό μας για τον πιο χρήσιμο πόρο για

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση» η λέξη κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο X) στο τετράγωνο, και ταυτόχρονα δεν πρέπει να υπάρχουν Xs στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.

Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στη λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, και όχι κάποια άλλη.

Παράδειγμα 1

Απαλλαγείτε από τον παρονομαστή και πολλαπλασιάστε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 3

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα ... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4

Φαίνεται να είναι, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν υπό όρους όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχουν δεδομένοςείναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένος!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί λείπει κάποιο στοιχείο από αυτά. Αλλά η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια τετραγωνική, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Μια τέτοια διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των τύπων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει πάντα να γνωρίζετε και να θυμάστε ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την Εξίσωση

Τώρα μένει να εξαγάγετε τη ρίζα από το αριστερό και το δεξί μέρος. Τελικά, θυμάστε πώς να εξαγάγετε τις ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την Εξίσωση

Ωχ! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις στις οποίες δεν υπάρχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την Εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Με αυτόν τον τρόπο,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Εδώ θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρους τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο περίπλοκη (λίγο λίγο) από αυτές που δίνονται.

Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κατακτήστε τη λύση χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο μια ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την Εξίσωση

Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση του θεωρήματος Vieta.

Αν θυμάστε, τότε υπάρχει ένας τέτοιος τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Το άθροισμα των ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την Εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν είναι:

Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, επιπλέον.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ένα - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την εξίσωση κοπράνων ονομάζεται ημιτελής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:

I. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα εξετάστε τη λύση καθενός από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να γράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το κενό εικονίδιο συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρίσκουμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x (άξονα). Η παραβολή μπορεί να μην διασχίζει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή σε δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Η χρήση του θεωρήματος Vieta είναι πολύ εύκολη: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν είναι:

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνω συνολικά.

και: δίνω συνολικά. Για να το αποκτήσετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Άρα το άθροισμα των ριζών είναι διαφορές των ενοτήτων τους.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι - δεν είναι κατάλληλη.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα, που είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή, πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, καθορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο ρίζες και είναι κατάλληλα για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι μείον.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό - να εφεύρουμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να είναι επικερδής η χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις για εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το προϊόν:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι;

Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Ναι, σταματήστε! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να φέρεις την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, αφήστε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή προπορευόμενου ίσο με:

Εξοχος. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.

Είναι πιο εύκολο να το μαζέψεις εδώ: τελικά - έναν πρώτο αριθμό (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός. Τι το ιδιαίτερο έχει; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά μεταξύ των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το γινόμενο.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν βρέθηκε κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται ως όροι από τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Είναι η διάκριση! Ακριβώς έτσι προέκυψε ο τύπος διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν είναι ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Εκφράστε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση της διάκρισης

1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: ,

2) Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης (εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ένα.

2.3. Πλήρες τετράγωνο λύση

Αν μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής έχει ρίζες, τότε μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: .

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για την επιτυχή επιτυχία της εξέτασης, για την εισαγωγή στο ινστιτούτο επί του προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, ισόβια.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολύ περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε τις εργασίες μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 499 ρούβλια

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοητό» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηλέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ένα- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ένα =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ένα =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ένα =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετμέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ένα, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σικαι ελεύθερο μέλος του

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.

Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές σικαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία γιατί έναδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς έναμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και γίνεται διαφορετικά...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ένα, σικαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (που πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ, αποθηκεύεται μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το ξέρατε;) Ναι! το ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.

Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ένα ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ Με, ένα σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Θεωρήστε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.

Τα παντα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μετακινούμε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:

επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά επειδή στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια του διακρίνοντα;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.

Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η δευτεροβάθμια εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Ένας αρνητικός αριθμός δεν παίρνει την τετραγωνική ρίζα. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαστε ειλικρινείς, με μια απλή λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, η έννοια του διαχωριστή δεν απαιτείται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και διακριτική φόρμουλαόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για το GIA και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεκτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεκτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλάβατε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι - προσεκτικά?

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…

Πρώτη υποδοχή . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.

Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η απόφαση είναι διασκεδαστική!

Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)

Επίλυση εξισώσεων:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ταιριάζουν όλα; Εξοχος! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά οστά. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, περιγράφεται και η εφαρμογή πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.