Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από δημοτικό έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των προστιθέμενων όρων.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Καταρχήν χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι νούμερο θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ. a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος του nου όρου:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Αν κάθε φυσικός αριθμός n ταιριάζει με έναν πραγματικό αριθμό a n , τότε λένε ότι δεδομένο σειρά αριθμών :

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n , . . . .

Άρα, μια αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση ενός φυσικού ορίσματος.

Αριθμός ένα 1 που ονομάζεται το πρώτο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 2 — το δεύτερο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 3 — τρίτος και ούτω καθεξής. Αριθμός a n που ονομάζεται ντο μέλος της ακολουθίας και ο φυσικός αριθμός n — τον αριθμό του .

Από δύο γειτονικά μέλη a n και a n +1 ακολουθίες μελών a n +1 που ονομάζεται μεταγενέστερος (προς a n ), ένα a n — προηγούμενος (προς a n +1 ).

Για να καθορίσετε μια ακολουθία, πρέπει να καθορίσετε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρείτε ένα μέλος ακολουθίας με οποιονδήποτε αριθμό.

Συχνά η ακολουθία δίνεται με τύποι nου όρου , δηλαδή ένας τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος ακολουθίας με τον αριθμό του.

Για παράδειγμα,

η ακολουθία των θετικών περιττών αριθμών μπορεί να δοθεί από τον τύπο

a n= 2n- 1,

και η ακολουθία των εναλλασσόμενων 1 και -1 - φόρμουλα

σι n = (-1)n +1 . ◄

Η σειρά μπορεί να προσδιοριστεί επαναλαμβανόμενη φόρμουλα, δηλαδή ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από μερικά, μέσα από τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα) μέλη.

Για παράδειγμα,

αν ένα 1 = 1 , ένα a n +1 = a n + 5

ένα 1 = 1,

ένα 2 = ένα 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ένα 3 = ένα 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ένα 4 = ένα 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ένα 5 = ένα 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Αν ένα Α'1= 1, Α2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , τότε τα πρώτα επτά μέλη της αριθμητικής ακολουθίας ορίζονται ως εξής:

Α'1 = 1,

Α2 = 1,

α 3 = Α'1 + Α2 = 1 + 1 = 2,

α 4 = Α2 + α 3 = 1 + 2 = 3,

α 5 = α 3 + α 4 = 2 + 3 = 5,

ένα 6 = ένα 4 + ένα 5 = 3 + 5 = 8,

ένα 7 = ένα 5 + ένα 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Οι ακολουθίες μπορεί να είναι τελικός και ατελείωτες .

Η ακολουθία ονομάζεται τελικός αν έχει πεπερασμένο αριθμό μελών. Η ακολουθία ονομάζεται ατελείωτες αν έχει άπειρα μέλη.

Για παράδειγμα,

ακολουθία διψήφιων φυσικών αριθμών:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

τελικός.

Ακολουθία πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ατελείωτες. ◄

Η ακολουθία ονομάζεται αυξανόμενη , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

Η ακολουθία ονομάζεται φθίνουσα , αν κάθε μέλος του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Για παράδειγμα,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . είναι μια αύξουσα ακολουθία.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . είναι μια φθίνουσα ακολουθία. ◄

Μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία δεν μειώνονται με τον αυξανόμενο αριθμό ή, αντίθετα, δεν αυξάνονται, ονομάζεται μονότονη ακολουθία .

Οι μονοτονικές ακολουθίες, ειδικότερα, είναι αλληλουχίες αύξησης και φθίνουσας αλληλουχίας.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος καλείται μια ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη, στην οποία προστίθεται ο ίδιος αριθμός.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n, . . .

είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

a n +1 = a n + ρε,

όπου ρε - κάποιο νούμερο.

Έτσι, η διαφορά μεταξύ του επόμενου και των προηγούμενων μελών μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου είναι πάντα σταθερή:

Α2 - ένα 1 = α 3 - ένα 2 = . . . = a n +1 - a n = ρε.

Αριθμός ρε που ονομάζεται η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Για να ορίσετε μια αριθμητική πρόοδο, αρκεί να καθορίσετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Για παράδειγμα,

αν ένα 1 = 3, ρε = 4 , τότε οι πρώτοι πέντε όροι της ακολουθίας βρίσκονται ως εξής:

Α'1 =3,

Α2 = Α'1 + ρε = 3 + 4 = 7,

α 3 = Α2 + ρε= 7 + 4 = 11,

α 4 = α 3 + ρε= 11 + 4 = 15,

ένα 5 = ένα 4 + ρε= 15 + 4 = 19. ◄

Για μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο ένα 1 και διαφορά ρε αυτήν n

a n = Α'1 + (n- 1)ρε.

Για παράδειγμα,

βρείτε τον τριακοστό όρο μιας αριθμητικής προόδου

1, 4, 7, 10, . . .

Α'1 =1, ρε = 3,

ένα 30 = Α'1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ένα n-1 = Α'1 + (n- 2)ρε,

a n= Α'1 + (n- 1)ρε,

a n +1 = ένα 1 + nd,

τότε προφανώς

a n=	a n-1 + a n+1
	2

κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικά μέλη κάποιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ένας από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

a n = 2n- 7 , είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

a n = 2n- 7,

ένα n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ένα n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Συνεπώς,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Σημειώστε ότι n -ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω ένα 1 , αλλά και κάθε προηγούμενο ένα κ

a n = ένα κ + (n- κ)ρε.

Για παράδειγμα,

Για ένα 5 μπορεί να γραφτεί

α 5 = Α'1 + 4ρε,

α 5 = Α2 + 3ρε,

α 5 = α 3 + 2ρε,

α 5 = α 4 + ρε. ◄

a n = ένα ν-κ + κδ,

a n = ένα ν+κ - κδ,

τότε προφανώς

a n=	ένα ν-κ +α n+k
	2

Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με το μισό άθροισμα των μελών αυτής της αριθμητικής προόδου σε ίση απόσταση από αυτήν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, ισχύει η ισότητα:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο

1) ένα 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ένα 9 + ένα 11 )/2;

2) 28 = ένα 10 = α 3 + 7ρε= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ένα 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ένα 7 + ένα 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, επειδή

α 2 + α 12= 4 + 34 = 38,

ένα 5 + ένα 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

πρώτα n μέλη μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων όρων με τον αριθμό των όρων:

Από αυτό, ειδικότερα, προκύπτει ότι εάν είναι απαραίτητο να αθροιστούν οι όροι

ένα κ, ένα κ +1 , . . . , a n,

τότε ο προηγούμενος τύπος διατηρεί τη δομή του:

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

μικρό 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = μικρό 10 - μικρό 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Αν δίνεται αριθμητική πρόοδος, τότε οι ποσότητες ένα 1 , a n, ρε, nκαιμικρό n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο μεγεθών καθορίζονται από αυτούς τους τύπους συνδυασμένους σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια μονότονη ακολουθία. Εν:

• αν ρε > 0 , τότε αυξάνεται.
• αν ρε < 0 , τότε μειώνεται.
• αν ρε = 0 , τότε η ακολουθία θα είναι ακίνητη.

Γεωμετρική πρόοδος

γεωμετρική πρόοδος καλείται μια ακολουθία της οποίας κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό.

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . , b n, . . .

είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

b n +1 = b n · q,

όπου q ≠ 0 - κάποιο νούμερο.

Έτσι, ο λόγος του επόμενου όρου αυτής της γεωμετρικής προόδου προς τον προηγούμενο είναι ένας σταθερός αριθμός:

σι 2 / σι 1 = σι 3 / σι 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Αριθμός q που ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Για να ορίσετε μια γεωμετρική πρόοδο, αρκεί να καθορίσετε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της.

Για παράδειγμα,

αν σι 1 = 1, q = -3 , τότε οι πρώτοι πέντε όροι της ακολουθίας βρίσκονται ως εξής:

β 1 = 1,

β 2 = β 1 · q = 1 · (-3) = -3,

β 3 = β 2 · q= -3 · (-3) = 9,

β 4 = β 3 · q= 9 · (-3) = -27,

σι 5 = σι 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

σι 1 και παρονομαστής q αυτήν n -ο όρος μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

b n = σι 1 · q n -1 .

Για παράδειγμα,

βρείτε τον έβδομο όρο μιας γεωμετρικής προόδου 1, 2, 4, . . .

σι 1 = 1, q = 2,

σι 7 = σι 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = β 1 · q n -2 ,

b n = β 1 · q n -1 ,

b n +1 = σι 1 · q n,

τότε προφανώς

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

κάθε μέλος της γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το γεωμετρικό μέσο (αναλογικό) των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Εφόσον ισχύει και το αντίστροφο, ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός:

Οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικά μέλη κάποιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν το τετράγωνο του ενός είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο, δηλαδή ένας από τους αριθμούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

ας αποδείξουμε ότι η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο b n= -3 2 n , είναι μια γεωμετρική πρόοδος. Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Συνεπώς,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

που αποδεικνύει τον απαιτούμενο ισχυρισμό. ◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω σι 1 , αλλά και κάθε προηγούμενη θητεία β κ , για το οποίο αρκεί η χρήση του τύπου

b n = β κ · q n - κ.

Για παράδειγμα,

Για σι 5 μπορεί να γραφτεί

β 5 = β 1 · q 4 ,

β 5 = β 2 · q 3,

β 5 = β 3 · q2,

β 5 = β 4 · q. ◄

b n = β κ · q n - κ,

b n = b n - κ · q k,

τότε προφανώς

b n 2 = b n - κ· b n + κ

το τετράγωνο οποιουδήποτε μέλους μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, είναι ίσο με το γινόμενο των μελών αυτής της προόδου που ισαπέχουν από αυτήν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, ισχύει η ισότητα:

b m· b n= β κ· β λ,

Μ+ n= κ+ μεγάλο.

Για παράδειγμα,

εκθετικά

1) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = σι 5 · σι 7 ;

2) 1024 = σι 11 = σι 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = σι 4 · σι 8 ;

4) σι 2 · σι 7 = σι 4 · σι 5 , επειδή

σι 2 · σι 7 = 2 · 64 = 128,

σι 4 · σι 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . + b n

πρώτα n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q ≠ 0 υπολογίζεται με τον τύπο:

Και πότε q = 1 - σύμφωνα με τον τύπο

S n= σημ. β. 1

Σημειώστε ότι αν χρειαστεί να συνοψίσουμε τους όρους

β κ, β κ +1 , . . . , b n,

τότε χρησιμοποιείται ο τύπος:

S n- Σκ -1 = β κ + β κ +1 + . . . + b n = β κ ·	1 - q n - κ +1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

εκθετικά 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

μικρό 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = μικρό 10 - μικρό 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Αν δίνεται γεωμετρική πρόοδος, τότε οι ποσότητες σι 1 , b n, q, nκαι S n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές οποιωνδήποτε τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο μεγεθών καθορίζονται από αυτούς τους τύπους συνδυασμένους σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο σι 1 και παρονομαστής q λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα ιδιότητες μονοτονίας :

• η εξέλιξη αυξάνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 και q> 1;

σι 1 < 0 και 0 < q< 1;

• Μια εξέλιξη μειώνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 και 0 < q< 1;

σι 1 < 0 και q> 1.

Αν ένα q< 0 , τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι εναλλασσόμενη: οι περιττοί όροι της έχουν το ίδιο πρόσημο με τον πρώτο όρο της και οι ζυγοί όροι έχουν το αντίθετο πρόσημο. Είναι σαφές ότι μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδος δεν είναι μονότονη.

Προϊόν του πρώτου n Οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν από τον τύπο:

P n= β 1 · β 2 · β 3 · . . . · b n = (β 1 · b n) n / 2 .

Για παράδειγμα,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται άπειρη γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο συντελεστής παρονομαστή είναι μικρότερος από 1 , αυτό είναι

|q| < 1 .

Σημειώστε ότι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να μην είναι μια φθίνουσα ακολουθία. Αυτό ταιριάζει στην περίπτωση

1 < q< 0 .

Με έναν τέτοιο παρονομαστή, η ακολουθία είναι εναλλασσόμενη. Για παράδειγμα,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου ονομάστε τον αριθμό στον οποίο το άθροισμα του πρώτου n όρους της εξέλιξης με απεριόριστη αύξηση του αριθμού n . Αυτός ο αριθμός είναι πάντα πεπερασμένος και εκφράζεται με τον τύπο

μικρό= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . =	σι 1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Σχέση αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου

Οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές προόδους συνδέονται στενά. Ας εξετάσουμε μόνο δύο παραδείγματα.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . ρε , έπειτα

β α 1 , β α 2 , β α 3 , . . . β δ .

Για παράδειγμα,

1, 3, 5, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 και

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 7 2 . ◄

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή q , έπειτα

καταγραφή α β 1, καταγραφή α β 2, καταγραφή α β 3, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά κούτσουρο αq .

Για παράδειγμα,

2, 12, 72, . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 6 και

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά lg 6 . ◄

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτό το θέμα είναι συχνά δύσκολο και ακατανόητο. Δείκτες γραμμάτων, ο ντος όρος της προόδου, η διαφορά της προόδου - όλα αυτά είναι κάπως μπερδεμένα, ναι ... Ας καταλάβουμε την έννοια της αριθμητικής προόδου και όλα θα πάνε αμέσως.)

Η έννοια της αριθμητικής προόδου.

Η αριθμητική πρόοδος είναι μια πολύ απλή και ξεκάθαρη έννοια. Αμφιβολία? Μάταια.) Δείτε μόνοι σας.

Θα γράψω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Μπορείτε να επεκτείνετε αυτή τη γραμμή; Ποιοι αριθμοί θα ακολουθήσουν, μετά το πέντε; Όλοι... ε..., εν ολίγοις, όλοι θα καταλάβουν ότι οι αριθμοί 6, 7, 8, 9, κ.λπ. θα πάνε παραπέρα.

Ας περιπλέκουμε το έργο. Δίνω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Μπορείτε να πιάσετε το μοτίβο, να επεκτείνετε τη σειρά και να ονομάσετε έβδομοςαριθμός σειράς;

Αν καταλάβατε ότι αυτός ο αριθμός είναι 20 - σας συγχαίρω! Όχι μόνο ένιωσες βασικά σημεία μιας αριθμητικής προόδου,αλλά και τα χρησιμοποίησε με επιτυχία στις επιχειρήσεις! Αν δεν καταλαβαίνετε, διαβάστε.

Τώρα ας μεταφράσουμε τα βασικά σημεία από τις αισθήσεις στα μαθηματικά.)

Πρώτο βασικό σημείο.

Η αριθμητική πρόοδος ασχολείται με σειρές αριθμών.Αυτό στην αρχή προκαλεί σύγχυση. Έχουμε συνηθίσει να λύνουμε εξισώσεις, να χτίζουμε γραφήματα και όλα αυτά... Και μετά να επεκτείνουμε τη σειρά, να βρούμε τον αριθμό της σειράς...

Είναι εντάξει. Απλώς οι προόδους είναι η πρώτη γνωριμία με έναν νέο κλάδο των μαθηματικών. Η ενότητα ονομάζεται "Σειρά" και λειτουργεί με σειρές αριθμών και εκφράσεων. Συνήθισε το.)

Δεύτερο σημείο κλειδί.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε αριθμός διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Στο πρώτο παράδειγμα, αυτή η διαφορά είναι μία. Όποιο νούμερο κι αν πάρεις, είναι ένα παραπάνω από τον προηγούμενο. Στο δεύτερο - τρία. Οποιοσδήποτε αριθμός είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Στην πραγματικότητα, αυτή η στιγμή είναι που μας δίνει την ευκαιρία να πιάσουμε το μοτίβο και να υπολογίσουμε τους επόμενους αριθμούς.

Τρίτο βασικό σημείο.

Αυτή η στιγμή δεν είναι εντυπωσιακή, ναι... Αλλά πολύ, πολύ σημαντική. Να τος: κάθε αριθμός προόδου βρίσκεται στη θέση του.Υπάρχει ο πρώτος αριθμός, υπάρχει ο έβδομος, υπάρχει ο σαράντα πέμπτος, και ούτω καθεξής. Αν τα μπερδέψετε τυχαία, το σχέδιο θα εξαφανιστεί. Η αριθμητική πρόοδος θα εξαφανιστεί επίσης. Είναι απλώς μια σειρά αριθμών.

Αυτό είναι το όλο θέμα.

Φυσικά, νέοι όροι και σημειογραφία εμφανίζονται στο νέο θέμα. Πρέπει να ξέρουν. Διαφορετικά, δεν θα καταλάβετε την εργασία. Για παράδειγμα, πρέπει να αποφασίσετε κάτι σαν:

Γράψτε τους πρώτους έξι όρους της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 2 = 5, d = -2,5.

Εμπνέει;) Γράμματα, μερικά ευρετήρια... Και το έργο, παρεμπιπτόντως, δεν θα μπορούσε να είναι ευκολότερο. Απλά πρέπει να κατανοήσετε την έννοια των όρων και της σημειογραφίας. Τώρα θα κατακτήσουμε αυτό το θέμα και θα επιστρέψουμε στην εργασία.

Όροι και ονομασίες.

Αριθμητική πρόοδοςείναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι διαφορετικός από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η τιμή ονομάζεται . Ας ασχοληθούμε με αυτήν την έννοια με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αριθμητική διαφορά προόδου.

Αριθμητική διαφορά προόδουείναι το ποσό με το οποίο οποιοσδήποτε αριθμός προόδου περισσότεροτο προηγούμενο.

Ένα σημαντικό σημείο. Παρακαλώ δώστε προσοχή στη λέξη "περισσότερο".Μαθηματικά, αυτό σημαίνει ότι λαμβάνεται κάθε αριθμός προόδου προσθέτωνταςτη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στον προηγούμενο αριθμό.

Για να υπολογίσουμε, ας πούμε δεύτεροςαριθμοί της σειράς, είναι απαραίτητο να πρώτααριθμός Προσθήκηαυτή ακριβώς τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Για υπολογισμό πέμπτος- η διαφορά είναι απαραίτητη Προσθήκηπρος την τέταρτοςκαλά, κλπ.

Αριθμητική διαφορά προόδουμπορεί θετικόςτότε κάθε αριθμός της σειράς θα αποδειχθεί πραγματικός περισσότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται αυξανόμενη.Για παράδειγμα:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Εδώ είναι κάθε αριθμός προσθέτωνταςθετικός αριθμός, +5 στον προηγούμενο.

Η διαφορά μπορεί να είναι αρνητικόςτότε κάθε αριθμός στη σειρά θα είναι λιγότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται (δεν θα το πιστεύετε!) μειώνεται.

Για παράδειγμα:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Εδώ λαμβάνεται και κάθε αριθμός προσθέτωνταςστον προηγούμενο, αλλά ήδη αρνητικό αριθμό, -5.

Παρεμπιπτόντως, όταν εργάζεστε με μια εξέλιξη, είναι πολύ χρήσιμο να προσδιορίσετε αμέσως τη φύση της - εάν αυξάνεται ή μειώνεται. Βοηθάει πολύ να βρείτε τον προσανατολισμό σας στην απόφαση, να εντοπίσετε τα λάθη σας και να τα διορθώσετε πριν να είναι πολύ αργά.

Αριθμητική διαφορά προόδουσυνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε.

Πως να βρεις ρε? Πολύ απλό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από οποιονδήποτε αριθμό της σειράς προηγούμενοςαριθμός. Αφαιρώ. Παρεμπιπτόντως, το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ονομάζεται "διαφορά".)

Ας ορίσουμε, για παράδειγμα, ρεγια μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Παίρνουμε όποιον αριθμό της σειράς θέλουμε, για παράδειγμα, 11. Αφαιρούμε από αυτόν τον προηγούμενο αριθμόεκείνοι. οκτώ:

Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Για αυτήν την αριθμητική πρόοδο, η διαφορά είναι τρεις.

Μπορείτε απλά να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό προόδων,επειδή για μια συγκεκριμένη εξέλιξη ρε-πάντα το ίδιο.Τουλάχιστον κάπου στην αρχή της σειράς, τουλάχιστον στη μέση, τουλάχιστον οπουδήποτε. Δεν μπορείτε να πάρετε μόνο τον πρώτο αριθμό. Ακριβώς επειδή ο πρώτος αριθμός κανένα προηγούμενο.)

Παρεμπιπτόντως, γνωρίζοντας αυτό d=3, η εύρεση του έβδομου αριθμού αυτής της προόδου είναι πολύ απλή. Προσθέτουμε 3 στον πέμπτο αριθμό - παίρνουμε τον έκτο, θα είναι 17. Προσθέτουμε τρία στον έκτο αριθμό, παίρνουμε τον έβδομο αριθμό - είκοσι.

Ας ορίσουμε ρεγια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Υπενθυμίζω ότι, ανεξάρτητα από τα σημάδια, να καθορίσει ρεχρειάζεται από οποιοδήποτε αριθμό αφαιρέστε το προηγούμενο.Επιλέγουμε οποιοδήποτε αριθμό προόδου, για παράδειγμα -7. Ο προηγούμενος αριθμός του είναι -2. Επειτα:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: ακέραιος, κλασματικός, παράλογος, οποιοσδήποτε.

Άλλοι όροι και ονομασίες.

Κάθε αριθμός της σειράς καλείται μέλος μιας αριθμητικής προόδου.

Κάθε μέλος της προόδου έχει τον αριθμό του.Τα νούμερα είναι αυστηρά στη σειρά, χωρίς κανένα κόλπο. Πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο κ.λπ. Για παράδειγμα, στην εξέλιξη 2, 5, 8, 11, 14, ... δύο είναι το πρώτο μέλος, πέντε είναι το δεύτερο, έντεκα είναι το τέταρτο, καλά, καταλαβαίνετε ...) Παρακαλώ κατανοήστε ξεκάθαρα - τους ίδιους τους αριθμούςμπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε, ολόκληρο, κλασματικό, αρνητικό, οτιδήποτε, αλλά αρίθμηση- αυστηρά με τη σειρά!

Πώς να γράψετε μια εξέλιξη σε γενική μορφή; Κανένα πρόβλημα! Κάθε αριθμός στη σειρά γράφεται ως γράμμα. Για να δηλώσετε μια αριθμητική πρόοδο, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται το γράμμα ένα. Ο αριθμός μέλους υποδεικνύεται από το ευρετήριο κάτω δεξιά. Τα μέλη γράφονται χωρισμένα με κόμματα (ή ερωτηματικά), ως εξής:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

Α'1είναι ο πρώτος αριθμός α 3- τρίτο, κλπ. Τίποτα δύσκολο. Μπορείτε να γράψετε αυτή τη σειρά εν συντομία ως εξής: (α ν).

Υπάρχουν προόδους πεπερασμένο και άπειρο.

Τελικόςη εξέλιξη έχει περιορισμένο αριθμό μελών. Πέντε, τριάντα οκτώ, οτιδήποτε. Αλλά είναι ένας πεπερασμένος αριθμός.

Ατελείωτεςπρόοδος - έχει άπειρο αριθμό μελών, όπως μπορείτε να μαντέψετε.)

Μπορείτε να γράψετε μια τελική εξέλιξη μέσα από μια σειρά όπως αυτή, όλα τα μέλη και μια τελεία στο τέλος:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ή όπως αυτό, αν υπάρχουν πολλά μέλη:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Σε μια σύντομη καταχώριση, θα πρέπει να αναφέρετε επιπλέον τον αριθμό των μελών. Για παράδειγμα (για είκοσι μέλη), όπως αυτό:

(a n), n = 20

Μια άπειρη πρόοδος μπορεί να αναγνωριστεί από την έλλειψη στο τέλος της σειράς, όπως στα παραδείγματα αυτού του μαθήματος.

Τώρα μπορείτε ήδη να λύσετε εργασίες. Οι εργασίες είναι απλές, καθαρά για την κατανόηση της σημασίας της αριθμητικής προόδου.

Παραδείγματα εργασιών για αριθμητική πρόοδο.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην παραπάνω εργασία:

1. Γράψτε τα πρώτα έξι μέλη της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 2 = 5, d = -2,5.

Μεταφράζουμε την εργασία σε κατανοητή γλώσσα. Δίνεται άπειρη αριθμητική πρόοδος. Ο δεύτερος αριθμός αυτής της εξέλιξης είναι γνωστός: α 2 = 5.Γνωστή διαφορά εξέλιξης: d = -2,5.Πρέπει να βρούμε το πρώτο, τρίτο, τέταρτο, πέμπτο και έκτο μέλη αυτής της εξέλιξης.

Για λόγους σαφήνειας, θα γράψω μια σειρά ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος. Τα πρώτα έξι μέλη, όπου το δεύτερο μέλος είναι πέντε:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

α 3 = Α2 + ρε

Αντικαθιστούμε στην έκφραση α 2 = 5και d=-2,5. Μην ξεχνάτε το μείον!

α 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ο τρίτος όρος είναι μικρότερος από τον δεύτερο. Όλα είναι λογικά. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο αρνητικόςτιμή, οπότε ο ίδιος ο αριθμός θα είναι μικρότερος από τον προηγούμενο. Η πρόοδος μειώνεται. Εντάξει, ας το λάβουμε υπόψη.) Θεωρούμε το τέταρτο μέλος της σειράς μας:

α 4 = α 3 + ρε

α 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

α 5 = α 4 + ρε

α 5=0+(-2,5)= - 2,5

α 6 = α 5 + ρε

α 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Άρα, έχουν υπολογιστεί οι όροι από τον τρίτο έως τον έκτο. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα μια σειρά:

α 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Μένει να βρεθεί ο πρώτος όρος Α'1σύμφωνα με το γνωστό δεύτερο. Αυτό είναι ένα βήμα προς την άλλη κατεύθυνση, προς τα αριστερά.) Εξ ου και η διαφορά της αριθμητικής προόδου ρεδεν πρέπει να προστεθεί σε Α2, ένα Πάρε μακριά:

Α'1 = Α2 - ρε

Α'1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απόκριση εργασίας:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Παρεμπιπτόντως, σημειώνω ότι λύσαμε αυτό το έργο επαναλαμβανόμενοςτρόπος. Αυτή η τρομερή λέξη σημαίνει, μόνο, την αναζήτηση ενός μέλους της εξέλιξης από τον προηγούμενο (παρακείμενο) αριθμό.Άλλοι τρόποι εργασίας με την πρόοδο θα συζητηθούν αργότερα.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από αυτό το απλό έργο.

Θυμάμαι:

Εάν γνωρίζουμε τουλάχιστον ένα μέλος και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε μέλος αυτής της προόδου.

Θυμάμαι? Αυτό το απλό συμπέρασμα μας επιτρέπει να λύσουμε τα περισσότερα από τα προβλήματα του σχολικού μαθήματος σχετικά με αυτό το θέμα. Όλες οι εργασίες περιστρέφονται γύρω από τρεις κύριες παραμέτρους: μέλος μιας αριθμητικής προόδου, διαφορά μιας προόδου, αριθμός ενός μέλους μιας προόδου.Τα παντα.

Φυσικά, όλη η προηγούμενη άλγεβρα δεν ακυρώνεται.) Ανισότητες, εξισώσεις και άλλα πράγματα συνδέονται με την πρόοδο. Αλλά ανάλογα με την εξέλιξη- όλα περιστρέφονται γύρω από τρεις παραμέτρους.

Για παράδειγμα, εξετάστε μερικές δημοφιλείς εργασίες σε αυτό το θέμα.

2. Γράψτε την τελική αριθμητική πρόοδο ως σειρά αν n=5, d=0,4 και a 1=3,6.

Όλα είναι απλά εδώ. Όλα είναι ήδη δεδομένα. Πρέπει να θυμάστε πώς υπολογίζονται, μετρούν και καταγράφουν τα μέλη μιας αριθμητικής προόδου. Συνιστάται να μην παραλείπετε τις λέξεις στην συνθήκη εργασίας: "τελικό" και " n=5". Για να μην μετράτε μέχρι να είστε εντελώς μπλε στο πρόσωπο.) Υπάρχουν μόνο 5 (πέντε) μέλη σε αυτήν την εξέλιξη:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

α 4 = α 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

α 5 = α 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Μένει να γράψουμε την απάντηση:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Μια άλλη εργασία:

3. Προσδιορίστε αν ο αριθμός 7 θα είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n) αν a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Χμ... Ποιος ξέρει; Πώς να ορίσετε κάτι;

Πώς-πώς ... Ναι, γράψτε την εξέλιξη σε μορφή σειράς και δείτε αν θα υπάρξει επτά ή όχι! Πιστεύουμε:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

α 4 = α 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Τώρα φαίνεται ξεκάθαρα ότι είμαστε μόλις επτά γλίστρησε μέσαμεταξύ 6,5 και 7,7! Οι επτά δεν μπήκαν στη σειρά των αριθμών μας και, επομένως, οι επτά δεν θα είναι μέλη της δεδομένης εξέλιξης.

Απάντηση: όχι.

Και εδώ είναι μια εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

4. Αρκετά διαδοχικά μέλη της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; δεκαπέντε; Χ; 9; 6; ...

Εδώ είναι μια σειρά χωρίς τέλος και αρχή. Κανένας αριθμός μελών, καμία διαφορά ρε. Είναι εντάξει. Για να λυθεί το πρόβλημα, αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Ας δούμε και να δούμε τι μπορούμε να ξερωαπό αυτή τη γραμμή; Ποιες είναι οι παράμετροι των τριών βασικών;

Αριθμοί μελών; Δεν υπάρχει ούτε ένας αριθμός εδώ.

Αλλά υπάρχουν τρεις αριθμοί και - προσοχή! - λέξη "συνεχής"σε κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι τα νούμερα είναι αυστηρά τακτοποιημένα, χωρίς κενά. Υπάρχουν δύο σε αυτή τη σειρά; γειτονικόςγνωστοί αριθμοί; Ναι υπάρχει! Αυτά είναι το 9 και το 6. Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου! Αφαιρούμε από το έξι προηγούμενοςαριθμός, δηλ. εννέα:

Απομένουν κενές θέσεις. Ποιος αριθμός θα είναι ο προηγούμενος για το x; Δεκαπέντε. Άρα το x μπορεί να βρεθεί εύκολα με απλή πρόσθεση. Στο 15 προσθέστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: x=12

Επιλύουμε μόνοι μας τα παρακάτω προβλήματα. Σημείωση: αυτά τα παζλ δεν είναι για τύπους. Καθαρά για την κατανόηση της σημασίας μιας αριθμητικής προόδου.) Απλώς γράφουμε μια σειρά αριθμών-γράμματα, κοιτάμε και σκεφτόμαστε.

5. Βρείτε τον πρώτο θετικό όρο της αριθμητικής προόδου εάν a 5 = -3; d = 1,1.

6. Είναι γνωστό ότι ο αριθμός 5,5 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 = 1,6; d = 1,3. Προσδιορίστε τον αριθμό n αυτού του μέλους.

7. Είναι γνωστό ότι σε μια αριθμητική πρόοδο a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Βρείτε ένα 3.

8. Αρκετά διαδοχικά μέλη της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; 15.6; Χ; 3.4; ...

Να βρείτε τον όρο της προόδου, που συμβολίζεται με το γράμμα x.

9. Το τρένο άρχισε να κινείται από τον σταθμό αυξάνοντας σταδιακά την ταχύτητά του κατά 30 μέτρα το λεπτό. Ποια θα είναι η ταχύτητα του τρένου σε πέντε λεπτά; Δώστε την απάντησή σας σε km/h.

10. Είναι γνωστό ότι σε μια αριθμητική πρόοδο a 2 = 5; a 6 = -5. Βρείτε ένα 1.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; τέσσερις.

Όλα λειτούργησαν; Εκπληκτικός! Μπορείτε να μάθετε την αριθμητική πρόοδο σε υψηλότερο επίπεδο στα παρακάτω μαθήματα.

Δεν πήγαν όλα καλά; Κανένα πρόβλημα. Στην Ειδική Ενότητα 555, όλα αυτά τα παζλ αναλύονται κομμάτι-κομμάτι.) Και, φυσικά, περιγράφεται μια απλή πρακτική τεχνική που αναδεικνύει αμέσως τη λύση τέτοιων εργασιών καθαρά, ξεκάθαρα, όπως στην παλάμη του χεριού σας!

Παρεμπιπτόντως, στο παζλ για το τρένο υπάρχουν δύο προβλήματα στα οποία σκοντάφτουν συχνά οι άνθρωποι. Το ένα - καθαρά από την πρόοδο και το δεύτερο - κοινό για οποιαδήποτε εργασία στα μαθηματικά και τη φυσική. Αυτή είναι μια μετάφραση των διαστάσεων από το ένα στο άλλο. Δείχνει πώς πρέπει να λυθούν αυτά τα προβλήματα.

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και τις κύριες παραμέτρους της. Αυτό είναι αρκετό για να λύσει σχεδόν όλα τα προβλήματα σε αυτό το θέμα. Προσθήκη ρεστους αριθμούς, γράψε μια σειρά, όλα θα κριθούν.

Η λύση δακτύλου λειτουργεί καλά για πολύ σύντομα κομμάτια της σειράς, όπως στα παραδείγματα σε αυτό το μάθημα. Εάν η σειρά είναι μεγαλύτερη, οι υπολογισμοί γίνονται πιο δύσκολοι. Για παράδειγμα, αν στο πρόβλημα 9 στην ερώτηση, αντικαταστήστε "πέντε λεπτά"στο «τριάντα πέντε λεπτά»το πρόβλημα θα γίνει πολύ χειρότερο.)

Και υπάρχουν επίσης εργασίες που είναι απλές στην ουσία, αλλά εντελώς παράλογες όσον αφορά τους υπολογισμούς, για παράδειγμα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Και τι, θα προσθέσουμε το 1/6 πολλές, πολλές φορές;! Είναι δυνατόν να αυτοκτονήσεις!

Μπορείτε.) Εάν δεν γνωρίζετε έναν απλό τύπο με τον οποίο μπορείτε να λύσετε τέτοιες εργασίες σε ένα λεπτό. Αυτή η φόρμουλα θα είναι στο επόμενο μάθημα. Και αυτό το πρόβλημα λύνεται εκεί. Σε ένα λεπτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Αριθμητική πρόοδοςονομάστε μια ακολουθία αριθμών (μέλη μιας προόδου)

Στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά έναν όρο χάλυβα, ο οποίος ονομάζεται επίσης διαφορά βήματος ή προόδου.

Έτσι, ορίζοντας το βήμα της προόδου και τον πρώτο όρο της, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα στοιχεία της χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου

1) Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο αριθμό, είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου μέλους της προόδου

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια. Εάν ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών περιττών (άρτιων) μελών της προόδου είναι ίσος με το μέλος που βρίσκεται ανάμεσά τους, τότε αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μια αριθμητική πρόοδος. Με αυτόν τον ισχυρισμό είναι πολύ εύκολο να ελέγξετε οποιαδήποτε ακολουθία.

Επίσης με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί στο εξής

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί αν γράψουμε τους όρους στα δεξιά του πρόσημου ίσου

Συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη για την απλοποίηση των υπολογισμών σε προβλήματα.

2) Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο

Θυμηθείτε καλά τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, είναι απαραίτητος στους υπολογισμούς και είναι αρκετά συνηθισμένος σε απλές καταστάσεις ζωής.

3) Εάν χρειάζεται να βρείτε όχι ολόκληρο το άθροισμα, αλλά ένα μέρος της ακολουθίας που ξεκινά από το k -ο μέλος της, τότε ο παρακάτω τύπος αθροίσματος θα σας φανεί χρήσιμος

4) Έχει πρακτικό ενδιαφέρον να βρούμε το άθροισμα των n μελών μιας αριθμητικής προόδου ξεκινώντας από τον kth αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο

Εδώ τελειώνει το θεωρητικό υλικό και προχωράμε στην επίλυση προβλημάτων που συνηθίζονται στην πράξη.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τον τεσσαρακοστό όρο της αριθμητικής προόδου 4;7;...

Λύση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, έχουμε

Καθορίστε το βήμα προόδου

Σύμφωνα με τον γνωστό τύπο, βρίσκουμε τον τεσσαρακοστό όρο της προόδου

Παράδειγμα 2. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από το τρίτο και το έβδομο μέλος του. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου και το άθροισμα του δέκα.

Λύση:

Γράφουμε τα δεδομένα της προόδου σύμφωνα με τους τύπους

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση, με αποτέλεσμα να βρίσκουμε το βήμα προόδου

Η τιμή που βρέθηκε αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να βρεθεί ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου

Υπολογίστε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της προόδου

Χωρίς να εφαρμόσουμε σύνθετους υπολογισμούς, βρήκαμε όλες τις απαιτούμενες τιμές.

Παράδειγμα 3. Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον παρονομαστή και ένα από τα μέλη του. Βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου, το άθροισμα των 50 όρων του ξεκινώντας από το 50 και το άθροισμα των πρώτων 100.

Λύση:

Ας γράψουμε τον τύπο για το εκατοστό στοιχείο της προόδου

και βρες το πρώτο

Με βάση το πρώτο, βρίσκουμε τον 50ό όρο της προόδου

Εύρεση του αθροίσματος του μέρους της προόδου

και το άθροισμα των 100 πρώτων

Το άθροισμα της προόδου είναι 250.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τον αριθμό των μελών μιας αριθμητικής προόδου αν:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Λύση:

Γράφουμε τις εξισώσεις ως προς τον πρώτο όρο και το βήμα της προόδου και τις ορίζουμε

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο αθροίσματος για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των μελών στο άθροισμα

Κάνοντας απλοποιήσεις

και να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τις δύο τιμές που βρέθηκαν, μόνο ο αριθμός 8 είναι κατάλληλος για την κατάσταση του προβλήματος. Έτσι το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων της προόδου είναι 111.

Παράδειγμα 5

λύσει την εξίσωση

1+3+5+...+x=307.

Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Γράφουμε τον πρώτο όρο του και βρίσκουμε τη διαφορά της προόδου