Ας εξετάσουμε το θέμα του μετασχηματισμού εκφράσεων με δυνάμεις, αλλά πρώτα ας σταθούμε σε έναν αριθμό μετασχηματισμών που μπορούν να πραγματοποιηθούν με οποιεσδήποτε εκφράσεις, συμπεριλαμβανομένων των δυνάμεων. Θα μάθουμε να ανοίγουμε αγκύλες, φέρτε παρόμοιους όρους, εργαστείτε με τη βάση και τον εκθέτη, χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες των μοιρών.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι είναι οι εκφράσεις δύναμης;

ΣΕ σχολικό μάθημαΛίγοι άνθρωποι χρησιμοποιούν τη φράση "εκφράσεις εξουσίας", αλλά αυτός ο όρος βρίσκεται συνεχώς σε συλλογές για την προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Στις περισσότερες περιπτώσεις, μια φράση υποδηλώνει εκφράσεις που περιέχουν βαθμούς στις καταχωρήσεις τους. Αυτό θα αντικατοπτρίσουμε στον ορισμό μας.

Ορισμός 1

Έκφραση δύναμηςείναι μια έκφραση που περιέχει βαθμούς.

Ας δώσουμε πολλά παραδείγματα εκφράσεων δύναμης, ξεκινώντας από το power with φυσικός δείκτηςκαι τελειώνει με πτυχίο με πραγματικός δείκτης.

Οι απλούστερες εκφράσεις ισχύος μπορούν να θεωρηθούν δυνάμεις ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Και επίσης δυνάμεις με μηδενικό εκθέτη: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Και μοίρες με ακέραιους αριθμούς αρνητικές δυνάμεις: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Είναι λίγο πιο δύσκολο να δουλέψεις με βαθμό που έχει λογικούς και παράλογους εκθέτες: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Ο δείκτης μπορεί να είναι η μεταβλητή 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ή ο λογάριθμος x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Έχουμε ασχοληθεί με το ερώτημα τι είναι οι εκφράσεις δύναμης. Τώρα ας ξεκινήσουμε τη μετατροπή τους.

Κύριοι τύποι μετασχηματισμών εκφράσεων δύναμης

Πρώτα απ 'όλα, θα δούμε τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων που μπορούν να εκτελεστούν με εκφράσεις ισχύος.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε την τιμή μιας έκφρασης ισχύος 2 3 (4 2 − 12).

Λύση

Θα πραγματοποιήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς σύμφωνα με τη σειρά των ενεργειών. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΘα ξεκινήσουμε εκτελώντας τις ενέργειες σε αγκύλες: θα αντικαταστήσουμε το βαθμό με μια ψηφιακή τιμή και θα υπολογίσουμε τη διαφορά δύο αριθμών. Εχουμε 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αντικαταστήσουμε το πτυχίο 2 3 το νόημά του 8 και υπολογίστε το γινόμενο 8 4 = 32. Εδώ είναι η απάντησή μας.

Απάντηση: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Παράδειγμα 2

Απλοποιήστε την έκφραση με δυνάμεις 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Λύση

Η έκφραση που μας δίνεται στη δήλωση προβλήματος περιέχει παρόμοιους όρους που μπορούμε να δώσουμε: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Απάντηση: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Παράδειγμα 3

Να εκφράσετε την έκφραση με δυνάμεις 9 - b 3 · π - 1 2 ως γινόμενο.

Λύση

Ας φανταστούμε τον αριθμό 9 ως δύναμη 3 2 και εφαρμόστε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Απάντηση: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Τώρα ας περάσουμε στην ανάλυση μετασχηματισμοί ταυτότητας, το οποίο μπορεί να εφαρμοστεί ειδικά σε εκφράσεις ισχύος.

Εργασία με βάση και εκθέτη

Ο βαθμός στη βάση ή τον εκθέτη μπορεί να έχει αριθμούς, μεταβλητές και μερικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Και . Η εργασία με τέτοιους δίσκους είναι δύσκολη. Είναι πολύ πιο εύκολο να αντικαταστήσετε την έκφραση στη βάση του βαθμού ή η έκφραση στον εκθέτη είναι πανομοιότυπη ίση έκφραση.

Οι μετασχηματισμοί του βαθμού και του εκθέτη πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους γνωστούς σε εμάς κανόνες χωριστά ο ένας από τον άλλο. Το πιο σημαντικό είναι ότι ο μετασχηματισμός έχει ως αποτέλεσμα μια έκφραση πανομοιότυπη με την αρχική.

Ο σκοπός των μετασχηματισμών είναι να απλοποιήσουν την αρχική έκφραση ή να βρουν μια λύση στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα που δώσαμε παραπάνω, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 μπορείτε να ακολουθήσετε τα βήματα για να μεταβείτε στο πτυχίο 4 , 1 1 , 3 . Ανοίγοντας τις παρενθέσεις, μπορούμε να παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους με τη βάση της δύναμης (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)και αποκτήστε μια έκφραση δύναμης περισσότερων απλός τύπος a 2 (x + 1).

Χρήση ιδιοτήτων πτυχίου

Οι ιδιότητες των δυνάμεων, γραμμένες με τη μορφή ισοτήτων, είναι ένα από τα κύρια εργαλεία μετατροπής εκφράσεων με εξουσίες. Παρουσιάζουμε εδώ τα κυριότερα, λαμβάνοντας υπόψη ότι έναΚαι σιείναι τυχόν θετικοί αριθμοί, και rΚαι μικρό- αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί:

Ορισμός 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (α · β) r = a r · b r ;
• (α: β) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Σε περιπτώσεις που έχουμε να κάνουμε με φυσικούς, ακέραιους, θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να είναι πολύ λιγότερο αυστηροί. Έτσι, για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη την ισότητα a m · a n = a m + n, Οπου ΜΚαι nείναι φυσικοί αριθμοί, τότε θα ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές του a, τόσο θετικές όσο και αρνητικές, καθώς και για a = 0.

Μπορείτε να εφαρμόσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων χωρίς περιορισμούς σε περιπτώσεις όπου οι βάσεις των δυνάμεων είναι θετικές ή περιέχουν μεταβλητές, εμβαδόν αποδεκτές τιμέςη οποία είναι τέτοια που η βάση σε αυτήν δέχεται μόνο θετικές αξίες. Στην πραγματικότητα, εντός σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστα μαθηματικά, το καθήκον του μαθητή είναι να επιλέξει μια κατάλληλη ιδιότητα και να την εφαρμόσει σωστά.

Όταν προετοιμάζεστε να εισέλθετε σε πανεπιστήμια, μπορεί να αντιμετωπίσετε προβλήματα στα οποία η ανακριβής εφαρμογή των ιδιοτήτων θα οδηγήσει σε περιορισμό του DL και άλλες δυσκολίες στην επίλυση. ΣΕ αυτός ο τομέαςΘα εξετάσουμε μόνο δύο τέτοιες περιπτώσεις. Περισσότερες πληροφορίες για το θέμα μπορείτε να βρείτε στο θέμα «Μετατροπή εκφράσεων χρησιμοποιώντας ιδιότητες δυνάμεων».

Παράδειγμα 4

Φανταστείτε την έκφραση a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5με τη μορφή δύναμης με βάση ένα.

Λύση

Αρχικά, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της εκθέσεως και μετατρέπουμε τον δεύτερο παράγοντα χρησιμοποιώντας αυτήν (α 2) − 3. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Απάντηση: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Ο μετασχηματισμός των εκφράσεων ισχύος σύμφωνα με την ιδιότητα των δυνάμεων μπορεί να γίνει τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 5

Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Λύση

Αν εφαρμόσουμε την ισότητα (α · β) r = a r · b r, από δεξιά προς τα αριστερά, παίρνουμε ένα γινόμενο της μορφής 3 · 7 1 3 · 21 2 3 και μετά 21 1 3 · 21 2 3 . Ας προσθέσουμε τους εκθέτες όταν πολλαπλασιάζουμε τις δυνάμεις με για τους ίδιους λόγους: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να πραγματοποιηθεί ο μετασχηματισμός:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Απάντηση: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Παράδειγμα 6

Δίνεται μια έκφραση δύναμης a 1, 5 − a 0, 5 − 6, εισάγετε μια νέα μεταβλητή t = a 0,5.

Λύση

Ας φανταστούμε το πτυχίο ένα 1, 5Πως ένα 0,5 3. Χρήση της ιδιότητας των μοιρών σε μοίρες (a r) s = a r · sαπό δεξιά προς τα αριστερά και παίρνουμε (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Μπορείτε εύκολα να εισάγετε μια νέα μεταβλητή στην έκφραση που προκύπτει t = a 0,5: παίρνουμε t 3 − t − 6.

Απάντηση: t 3 − t − 6 .

Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις

Συνήθως ασχολούμαστε με δύο εκδοχές εκφράσεων ισχύος με κλάσματα: η παράσταση αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα με δύναμη ή περιέχει ένα τέτοιο κλάσμα. Όλοι οι βασικοί μετασχηματισμοί των κλασμάτων είναι εφαρμόσιμοι σε τέτοιες εκφράσεις χωρίς περιορισμούς. Μπορούν να μειωθούν, να μεταφερθούν σε νέο παρονομαστή ή να εργαστούν χωριστά με τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Ας το επεξηγήσουμε αυτό με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7

Απλοποιήστε την έκφραση δύναμης 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με ένα κλάσμα, οπότε θα πραγματοποιήσουμε μετασχηματισμούς και στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Τοποθετήστε ένα σύμβολο μείον μπροστά από το κλάσμα για να αλλάξετε το πρόσημο του παρονομαστή: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Απάντηση: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Τα κλάσματα που περιέχουν δυνάμεις ανάγονται σε νέο παρονομαστή με τον ίδιο τρόπο όπως τα ρητά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν. Είναι απαραίτητο να επιλέξετε έναν πρόσθετο παράγοντα με τέτοιο τρόπο ώστε να μην μηδενίζεται για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.

Παράδειγμα 8

Ανάγουμε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) a + 1 a 0, 7 στον παρονομαστή ένα, β) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 στον παρονομαστή x + 8 · y 1 2 .

Λύση

α) Ας επιλέξουμε έναν παράγοντα που θα μας επιτρέψει να μειώσουμε σε νέο παρονομαστή. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,επομένως ως πρόσθετο παράγοντα θα λάβουμε α 0, 3. Το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής α περιλαμβάνει το σύνολο όλων των θετικών πραγματικούς αριθμούς. Πτυχίο σε αυτόν τον τομέα α 0, 3δεν πάει στο μηδέν.

Ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με α 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

β) Ας προσέξουμε τον παρονομαστή:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτήν την παράσταση με x 1 3 + 2 · y 1 6, παίρνουμε το άθροισμα των κύβων x 1 3 και 2 · y 1 6, δηλ. x + 8 · y 1 2 . Αυτός είναι ο νέος μας παρονομαστής στον οποίο πρέπει να μειώσουμε το αρχικό κλάσμα.

Έτσι βρήκαμε τον πρόσθετο παράγοντα x 1 3 + 2 · y 1 6 . Στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών ΧΚαι yη έκφραση x 1 3 + 2 y 1 6 δεν εξαφανίζεται, επομένως, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Απάντηση:α) α + 1 α 0, 7 = α + 1 α 0, 3 α, β) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Παράδειγμα 9

Μειώστε το κλάσμα: α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Λύση

α) Χρησιμοποιούμε τον μεγαλύτερο κοινό παρονομαστή (GCD), με τον οποίο μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Για τους αριθμούς 30 και 45 είναι 15. Μπορούμε επίσης να κάνουμε μείωση κατά x0,5+1και στο x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Παίρνουμε:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

β) Εδώ είναι η παρουσία πανομοιότυποι πολλαπλασιαστέςΟΧΙ προφανες. Θα πρέπει να εκτελέσετε μερικούς μετασχηματισμούς για να λάβετε τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, επεκτείνουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Απάντηση:α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Οι βασικές πράξεις με κλάσματα περιλαμβάνουν τη μετατροπή των κλασμάτων σε νέο παρονομαστή και τη μείωση των κλασμάτων. Και οι δύο ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με έναν αριθμό κανόνων. Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων, τα κλάσματα μειώνονται πρώτα σε κοινό παρονομαστή, μετά την οποία εκτελούνται πράξεις (πρόσθεση ή αφαίρεση) με τους αριθμητές. Ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα των ενεργειών μας είναι ένα νέο κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών.

Παράδειγμα 10

Εκτελέστε τα βήματα x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε αφαιρώντας τα κλάσματα που βρίσκονται σε παρένθεση. Ας τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Ας αφαιρέσουμε τους αριθμητές:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Ας μειώσουμε κατά μια δύναμη x 1 2, παίρνουμε 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Επιπλέον, μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: τετράγωνα: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Απάντηση: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Παράδειγμα 11

Απλοποιήστε την έκφραση power-law x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Λύση

Μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα κατά (x 2 , 7 + 1) 2. Παίρνουμε το κλάσμα x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ας συνεχίσουμε να μετατρέπουμε τις δυνάμεις των x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της διαίρεσης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Μετακομίζουμε από τελευταία δουλειάστο κλάσμα x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Απάντηση: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Πολλαπλασιαστές με αρνητικών δεικτώνΣτις περισσότερες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να μεταφέρετε μοίρες από τον αριθμητή στον παρονομαστή και πίσω, αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Αυτή η ενέργεια σάς επιτρέπει να απλοποιήσετε την περαιτέρω απόφαση. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα: η έκφραση ισχύος (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 μπορεί να αντικατασταθεί από x 3 · (x + 1) 0, 2.

Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις

Στα προβλήματα υπάρχουν εκφράσεις ισχύος που περιέχουν όχι μόνο δυνάμεις με κλασματικοί δείκτες, αλλά και ρίζες. Συνιστάται να μειώνετε τέτοιες εκφράσεις μόνο σε ρίζες ή μόνο σε δυνάμεις. Το να πάτε για πτυχία είναι προτιμότερο καθώς είναι πιο εύκολο να δουλέψετε μαζί τους. Αυτή η μετάβαση είναι ιδιαίτερα προτιμότερη όταν το ODZ των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σάς επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με δυνάμεις χωρίς να χρειάζεται να έχετε πρόσβαση στο συντελεστή ή να χωρίσετε το ODZ σε πολλά διαστήματα.

Παράδειγμα 12

Εκφράστε την έκφραση x 1 9 · x · x 3 6 ως δύναμη.

Λύση

Εύρος επιτρεπόμενων μεταβλητών τιμών Χορίζεται από δύο ανισότητες x ≥ 0και x x 3 ≥ 0, που ορίζουν το σύνολο [ 0 , + ∞) .

Σε αυτό το σετ έχουμε το δικαίωμα να μετακινηθούμε από τις ρίζες στις δυνάμεις:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων, απλοποιούμε την προκύπτουσα έκφραση ισχύος.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Απάντηση: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Μετατροπή δυνάμεων με μεταβλητές στον εκθέτη

Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι αρκετά εύκολο να γίνουν αν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητες του βαθμού. Για παράδειγμα, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε με το γινόμενο των δυνάμεων, οι εκθέτες των οποίων είναι το άθροισμα κάποιας μεταβλητής και ενός αριθμού. Στην αριστερή πλευρά, αυτό μπορεί να γίνει με τον πρώτο και τον τελευταίο όρο της αριστερής πλευράς της έκφρασης:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 7 2 x. Αυτή η έκφραση για τη μεταβλητή x παίρνει μόνο θετικές τιμές:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Ας μειώσουμε τα κλάσματα με δυνάμεις, παίρνουμε: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις λόγων, με αποτέλεσμα την εξίσωση 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, που ισοδυναμεί με 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή t = 5 7 x , η οποία μειώνει τη λύση στην αρχική εκθετική εξίσωσησε μια απόφαση τετραγωνική εξίσωση 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις και λογάριθμους

Εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις και λογάριθμους βρίσκονται επίσης στα προβλήματα. Ένα παράδειγμα τέτοιων εκφράσεων είναι: 1 4 1 - 5 · log 2 3 ή log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Ο μετασχηματισμός τέτοιων εκφράσεων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις και τις ιδιότητες των λογαρίθμων που συζητήθηκαν παραπάνω, τις οποίες συζητήσαμε λεπτομερώς στο θέμα "Μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων".

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

ΕΓΩ.Δουλειά nπαράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι ίσος ΕΝΑπου ονομάζεται n-η δύναμη του αριθμού ΕΝΑκαι ορίζεται ΕΝΑn.

Παραδείγματα. Γράψτε το προϊόν ως βαθμό.

1) mmmm; 2) αααβ? 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Λύση.

1) mmmm=m 4, αφού, εξ ορισμού του βαθμού, το γινόμενο τεσσάρων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος Μ, θα τέταρτη δύναμη του m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II.Η ενέργεια με την οποία βρίσκεται το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων ονομάζεται εκθετική. Ο αριθμός που αυξάνεται σε μια δύναμη ονομάζεται βάση της δύναμης. Ο αριθμός που δείχνει σε ποια δύναμη ανυψώνεται η βάση ονομάζεται εκθέτης. Ετσι, ΕΝΑn- βαθμός, ΕΝΑ– τη βάση του πτυχίου, n– εκθέτης. Για παράδειγμα:

2 3 — είναι πτυχίο. Αριθμός 2 είναι η βάση του βαθμού, ο εκθέτης είναι ίσος με 3 . Αξία πτυχίου 2 3 ισοδυναμεί 8, επειδή 2 3 =2·2·2=8.

Παραδείγματα. Γράφω τις παρακάτω εκφράσειςχωρίς εκθέτη.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Λύση.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc? 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb? 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III.και 0 = 1 Οποιοσδήποτε αριθμός (εκτός από το μηδέν) στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. Για παράδειγμα, 25 0 = 1.
IV.α 1 =αΟποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του.

V.είμαι∙ a n= είμαι + n Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, η βάση μένει ίδια και οι εκθέτες διπλωμένο

Παραδείγματα. Απλοποιώ:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Λύση.

9) α·α 3·α 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI.είμαι: a n= είμαι - nΚατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση μένει ίδια και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.

Παραδείγματα. Απλοποιώ:

12) a 8:a 3 ; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)α 8:α 3=a 8-3 =a 5 ; 13)μ 11:μ 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (είμαι) n= ένα μν Όταν αυξάνεται η ισχύς σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

Παραδείγματα. Απλοποιώ:

15) (α 3) 4 ; 16) (γ 5) 2.

15) (α 3) 4=a 3·4 =a 12; 16) (γ 5) 2=c 5 2 =c 10.

Σημείωση, το οποίο, δεδομένου ότι το προϊόν δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των παραγόντων, Οτι:

15) (α 3) 4 = (α 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VΕγώ II. (a∙b) n =a n ∙b n Όταν ανεβάζετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, καθένας από τους παράγοντες αυξάνεται σε αυτήν την ισχύ.

Εκφράσεις, μετατροπή έκφρασης

Εκφράσεις δύναμης(εκφράσεις με δυνάμεις) και η μεταμόρφωσή τους

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για τη μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις. Αρχικά, θα επικεντρωθούμε σε μετασχηματισμούς που εκτελούνται με εκφράσεις οποιουδήποτε είδους, συμπεριλαμβανομένων των εκφράσεων ισχύος, όπως το άνοιγμα παρενθέσεων και η εισαγωγή παρόμοιων όρων. Και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τους μετασχηματισμούς που είναι εγγενείς ειδικά σε εκφράσεις με βαθμούς: εργασία με τη βάση και τον εκθέτη, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών κ.λπ.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι οι εκφράσεις δύναμης;

Ο όρος "εκφράσεις δύναμης" πρακτικά δεν εμφανίζεται στα σχολικά εγχειρίδια μαθηματικών, αλλά εμφανίζεται αρκετά συχνά σε συλλογές προβλημάτων, ειδικά σε αυτά που προορίζονται για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για παράδειγμα. Μετά την ανάλυση των εργασιών στις οποίες είναι απαραίτητο να εκτελεστούν οποιεσδήποτε ενέργειες με εκφράσεις ισχύος, γίνεται σαφές ότι οι εκφράσεις ισχύος νοούνται ως εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις στις καταχωρίσεις τους. Επομένως, μπορείτε να αποδεχτείτε τον ακόλουθο ορισμό για τον εαυτό σας:

Ορισμός.

Εκφράσεις δύναμηςείναι εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις.

Ας δώσουμε παραδείγματα εκφράσεων δύναμης. Επιπλέον, θα τις παρουσιάσουμε ανάλογα με το πώς συμβαίνει η ανάπτυξη απόψεων από μια μοίρα με φυσικό εκθέτη σε μια μοίρα με πραγματικό εκθέτη.

Όπως είναι γνωστό, πρώτα εξοικειώνεται με τη δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη σε αυτό το στάδιο, τις πρώτες απλούστερες εκφράσεις ισχύος του τύπου 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1). 4, 3 a 2 εμφανίζονται −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 κ.λπ.

Λίγο αργότερα, μελετάται η ισχύς ενός αριθμού με ακέραιο εκθέτη, η οποία οδηγεί στην εμφάνιση παραστάσεων ισχύος με αρνητικές ακέραιες δυνάμεις, όπως οι εξής: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Στο λύκειο επιστρέφουν στα πτυχία. Εκεί εισάγεται το πτυχίο ορθολογικός δείκτης, που συνεπάγεται την εμφάνιση των αντίστοιχων εκφράσεων ισχύος: , , και ούτω καθεξής. Τέλος, βαθμοί με παράλογους εκθέτες και εκφράσεις που τους περιέχουν θεωρούνται: , .

Το θέμα δεν περιορίζεται στις παρατιθέμενες εκφράσεις ισχύος: περαιτέρω η μεταβλητή διεισδύει στον εκθέτη και, για παράδειγμα, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις: 2 x 2 +1 ή . Και αφού εξοικειωθείτε με το , αρχίζουν να εμφανίζονται εκφράσεις με δυνάμεις και λογάριθμους, για παράδειγμα, x 2·lgx −5·x lgx.

Έτσι, έχουμε ασχοληθεί με το ερώτημα τι αντιπροσωπεύουν οι εκφράσεις δύναμης. Στη συνέχεια θα μάθουμε να τα μετατρέπουμε.

Κύριοι τύποι μετασχηματισμών εκφράσεων δύναμης

Με τις εκφράσεις ισχύος, μπορείτε να εκτελέσετε οποιονδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων. Για παράδειγμα, μπορείτε να επεκτείνετε τις αγκύλες, να τις αντικαταστήσετε αριθμητικές εκφράσειςτις τιμές τους, δώστε παρόμοιους όρους κ.λπ. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε την αποδεκτή διαδικασία για την εκτέλεση ενεργειών. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης ισχύος 2 3 ·(4 2 −12) .

Λύση.

Σύμφωνα με τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες σε αγκύλες. Εκεί, πρώτον, αντικαθιστούμε την ισχύ 4 2 με την τιμή της 16 (αν χρειάζεται, βλ.) και δεύτερον, υπολογίζουμε τη διαφορά 16−12=4. Εχουμε 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Στην παράσταση που προκύπτει, αντικαθιστούμε την ισχύ 2 3 με την τιμή της 8, μετά την οποία υπολογίζουμε το γινόμενο 8·4=32. Αυτή είναι η επιθυμητή τιμή.

Ετσι, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Απάντηση:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Παράδειγμα.

Απλοποιήστε τις εκφράσεις με δυνάμεις 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Λύση.

Προφανώς, αυτή η έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους 3·a 4 ·b −7 και 2·a 4 ·b −7 , και μπορούμε να τους παρουσιάσουμε: .

Απάντηση:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Παράδειγμα.

Εκφράστε μια έκφραση με δυνάμεις ως προϊόν.

Λύση.

Μπορείτε να αντιμετωπίσετε την εργασία αντιπροσωπεύοντας τον αριθμό 9 ως δύναμη 3 2 και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό - διαφορά τετραγώνων:

Απάντηση:

Υπάρχει επίσης ένας αριθμός πανομοιότυπων μετασχηματισμών που είναι εγγενείς ειδικά στις εκφράσεις ισχύος. Θα τα αναλύσουμε περαιτέρω.

Εργασία με βάση και εκθέτη

Υπάρχουν βαθμοί των οποίων η βάση και/ή ο εκθέτης δεν είναι απλώς αριθμοί ή μεταβλητές, αλλά κάποιες εκφράσεις. Ως παράδειγμα, δίνουμε τις εγγραφές (2+0,3·7) 5−3,7 και (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Όταν εργάζεστε με τέτοιες εκφράσεις, μπορείτε να αντικαταστήσετε τόσο την έκφραση στη βάση του βαθμού όσο και την έκφραση στον εκθέτη με μια πανομοιότυπη έκφραση στο ODZ των μεταβλητών του. Με άλλα λόγια, σύμφωνα με τους γνωστούς μας κανόνες, μπορούμε να μετατρέψουμε χωριστά τη βάση του βαθμού και ξεχωριστά τον εκθέτη. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού, θα ληφθεί μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την αρχική.

Τέτοιοι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις με δυνάμεις ή να πετύχουμε άλλους στόχους που χρειαζόμαστε. Για παράδειγμα, στην έκφραση ισχύος που αναφέρθηκε παραπάνω (2+0,3 7) 5−3,7, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις με τους αριθμούς στη βάση και τον εκθέτη, που θα σας επιτρέψουν να μετακινηθείτε στην ισχύ 4.1 1.3. Και αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και φέρουμε παρόμοιους όρους στη βάση του βαθμού (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), λαμβάνουμε μια έκφραση ισχύος μιας απλούστερης μορφής 2·(x+ 1) .

Χρήση ιδιοτήτων πτυχίου

Ένα από τα κύρια εργαλεία για τη μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις είναι οι ισότητες που αντανακλούν . Ας θυμηθούμε τα κυριότερα. Για κάθε θετικούς αριθμούςΙσχύουν τα α και β και αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί r και s παρακάτω ιδιότητεςβαθμούς:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (α:β) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Σημειώστε ότι για φυσικούς, ακέραιους και θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να μην είναι τόσο αυστηροί. Για παράδειγμα, για φυσικούς αριθμούς m και n η ισότητα a m ·a n =a m+n ισχύει όχι μόνο για το θετικό a, αλλά και για το αρνητικό a, και για το a=0.

Στο σχολείο, η κύρια εστίαση κατά τη μετατροπή των εκφράσεων δύναμης είναι η ικανότητα επιλογής της κατάλληλης ιδιότητας και σωστής εφαρμογής της. Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις των μοιρών είναι συνήθως θετικές, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση των ιδιοτήτων των μοιρών χωρίς περιορισμούς. Το ίδιο ισχύει και για τον μετασχηματισμό εκφράσεων που περιέχουν μεταβλητές στις βάσεις των δυνάμεων - το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών είναι συνήθως τέτοιο ώστε οι βάσεις λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές σε αυτό, γεγονός που σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε ελεύθερα τις ιδιότητες των δυνάμεων . Γενικά, πρέπει να αναρωτιέστε συνεχώς εάν είναι δυνατό να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε ιδιότητα πτυχίων σε αυτήν την περίπτωση, επειδή η ανακριβής χρήση των ιδιοτήτων μπορεί να οδηγήσει σε περιορισμό της εκπαιδευτικής αξίας και άλλα προβλήματα. Αυτά τα σημεία συζητούνται λεπτομερώς και με παραδείγματα στο άρθρο μετασχηματισμός εκφράσεων χρησιμοποιώντας ιδιότητες δυνάμεων. Εδώ θα περιοριστούμε στην εξέταση μερικών απλών παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Να εκφράσετε την παράσταση a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ως δύναμη με βάση α.

Λύση.

Πρώτον, μετασχηματίζουμε τον δεύτερο παράγοντα (a 2) −3 χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αύξησης μιας ισχύος σε μια ισχύ: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Η αρχική έκφραση ισχύος θα πάρει τη μορφή a 2,5 ·a −6:a −5,5. Προφανώς, μένει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση, έχουμε
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Απάντηση:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Οι ιδιότητες των δυνάμεων κατά τη μετατροπή των εκφράσεων ισχύος χρησιμοποιούνται τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης.

Λύση.

Η ισότητα (a·b) r =a r ·b r, που εφαρμόζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, μας επιτρέπει να μεταβούμε από την αρχική έκφραση σε ένα γινόμενο της μορφής και παραπέρα. Και όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, οι εκθέτες αθροίζονται: .

Ήταν δυνατό να μεταμορφωθεί η αρχική έκφραση με άλλο τρόπο:

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Δίνοντας την έκφραση ισχύος a 1,5 −a 0,5 −6, εισάγετε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5.

Λύση.

Ο βαθμός a 1,5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως 0,5 3 και στη συνέχεια, με βάση την ιδιότητα του βαθμού στον βαθμό (a r) s =a r s, που εφαρμόζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, μετασχηματίστε τον στη μορφή (a 0,5) 3. Ετσι, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Τώρα είναι εύκολο να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5, παίρνουμε t 3 −t−6.

Απάντηση:

t 3 −t−6 .

Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις

Οι εκφράσεις ισχύος μπορούν να περιέχουν ή να αντιπροσωπεύουν κλάσματα με δυνάμεις. Οποιοσδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς των κλασμάτων που είναι εγγενείς σε κλάσματα κάθε είδους είναι πλήρως εφαρμόσιμος σε τέτοια κλάσματα. Δηλαδή, κλάσματα που περιέχουν δυνάμεις μπορούν να ανάγονται, να ανάγονται σε νέο παρονομαστή, να δουλεύονται χωριστά με τον αριθμητή τους και χωριστά με τον παρονομαστή κ.λπ. Για να επεξηγήσετε αυτές τις λέξεις, εξετάστε λύσεις σε πολλά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Απλοποιήστε την έκφραση δύναμης .

Λύση.

Αυτή η έκφραση δύναμης είναι ένα κλάσμα. Ας δουλέψουμε με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Στον αριθμητή ανοίγουμε τις αγκύλες και απλοποιούμε την έκφραση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων και στον παρονομαστή παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

Και ας αλλάξουμε επίσης το πρόσημο του παρονομαστή τοποθετώντας ένα μείον μπροστά από το κλάσμα: .

Απάντηση:

.

Η αναγωγή των κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις σε νέο παρονομαστή πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως η αναγωγή σε νέο παρονομαστή λογικά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή, βρίσκεται επίσης ένας πρόσθετος παράγοντας και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν. Κατά την εκτέλεση αυτής της ενέργειας, αξίζει να θυμάστε ότι η αναγωγή σε νέο παρονομαστή μπορεί να οδηγήσει σε στένωση του VA. Για να μην συμβεί αυτό, είναι απαραίτητο ο πρόσθετος παράγοντας να μην μηδενίζεται για καμία τιμή των μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.

Παράδειγμα.

Ανάγουμε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) σε παρονομαστή α, β) στον παρονομαστή.

Λύση.

α) Σε αυτή την περίπτωση, είναι αρκετά εύκολο να καταλάβουμε ποιος πρόσθετος πολλαπλασιαστής βοηθά στην επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος. Αυτός είναι ένας πολλαπλασιαστής του 0,3, αφού ένα 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Σημειώστε ότι στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής a (αυτό είναι το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών), η ισχύς του 0,3 δεν εξαφανίζεται, επομένως, έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός δεδομένου κλάσμα με αυτόν τον πρόσθετο παράγοντα:

β) Ρίχνοντας μια πιο προσεκτική ματιά στον παρονομαστή, θα διαπιστώσετε ότι

και πολλαπλασιάζοντας αυτήν την έκφραση με θα δώσει το άθροισμα των κύβων και, δηλαδή, . Και αυτός είναι ο νέος παρονομαστής στον οποίο πρέπει να μειώσουμε το αρχικό κλάσμα.

Έτσι βρήκαμε έναν επιπλέον παράγοντα. Στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών x και y, η έκφραση δεν εξαφανίζεται, επομένως, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτό:

Απάντηση:

ΕΝΑ) , β) .

Δεν υπάρχει επίσης τίποτα νέο στη μείωση των κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις: ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιπροσωπεύονται ως ένας αριθμός παραγόντων και οι ίδιοι συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή μειώνονται.

Παράδειγμα.

Μείωσε το κλάσμα: α) , β).

Λύση.

α) Πρώτον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά τους αριθμούς 30 και 45, που ισούται με 15. Είναι επίσης προφανώς δυνατό να πραγματοποιηθεί μείωση κατά x 0,5 +1 και κατά . Να τι έχουμε:

β) Στην περίπτωση αυτή, οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή δεν είναι άμεσα ορατοί. Για να τα αποκτήσετε, θα πρέπει να εκτελέσετε προκαταρκτικές μετατροπές. Σε αυτή την περίπτωση, συνίστανται στην παραγοντοποίηση του παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

Απάντηση:

ΕΝΑ)

σι) .

Η μετατροπή των κλασμάτων σε νέο παρονομαστή και η μείωση των κλασμάτων χρησιμοποιούνται κυρίως για να κάνουμε πράγματα με κλάσματα. Οι ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με γνωστούς κανόνες. Κατά την πρόσθεση (αφαίρεση) κλασμάτων, μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο προστίθενται (αφαιρούνται) οι αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Η διαίρεση με ένα κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφό του.

Παράδειγμα.

Ακολούθησε τα βήματα .

Λύση.

Αρχικά, αφαιρούμε τα κλάσματα σε παρένθεση. Για να γίνει αυτό, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή, που είναι , μετά από την οποία αφαιρούμε τους αριθμητές:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα:

Προφανώς, είναι δυνατόν να μειωθεί κατά μια δύναμη x 1/2, μετά την οποία έχουμε .

Μπορείτε επίσης να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος .

Λύση.

Προφανώς, δεδομένο κλάσμαμπορεί να μειωθεί κατά (x 2,7 +1) 2, αυτό δίνει το κλάσμα . Είναι σαφές ότι κάτι άλλο πρέπει να γίνει με τις δυνάμεις του Χ. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε το κλάσμα που προκύπτει σε προϊόν. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να εκμεταλλευτούμε την ιδιότητα της διαίρεσης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: . Και στο τέλος της διαδικασίας περνάμε από το τελευταίο γινόμενο στο κλάσμα.

Απάντηση:

.

Και ας προσθέσουμε επίσης ότι είναι δυνατό, και σε πολλές περιπτώσεις επιθυμητό, ​​να μεταφέρουμε παράγοντες με αρνητικούς εκθέτες από τον αριθμητή στον παρονομαστή ή από τον παρονομαστή στον αριθμητή, αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Τέτοιοι μετασχηματισμοί συχνά απλοποιούνται περαιτέρω ενέργειες. Για παράδειγμα, μια έκφραση ισχύος μπορεί να αντικατασταθεί από .

Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις

Συχνά, σε εκφράσεις στις οποίες απαιτούνται ορισμένοι μετασχηματισμοί, υπάρχουν και ρίζες με κλασματικούς εκθέτες μαζί με δυνάμεις. Για να μετατρέψετε μια τέτοια έκφραση σε ο σωστός τύπος, στις περισσότερες περιπτώσεις αρκεί να πάμε μόνο σε ρίζες ή μόνο σε εξουσίες. Αλλά επειδή είναι πιο βολικό να δουλεύεις με δυνάμεις, συνήθως μετακινούνται από τις ρίζες στις δυνάμεις. Ωστόσο, συνιστάται να πραγματοποιήσετε μια τέτοια μετάβαση όταν το ODZ των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σάς επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με δυνάμεις χωρίς να χρειάζεται να αναφερθείτε στη μονάδα ή να χωρίσετε το ODZ σε πολλά διαστήματα (το συζητήσαμε λεπτομερώς στο η μετάβαση του άρθρου από τις ρίζες στις δυνάμεις και πίσω Μετά την εξοικείωση με τον βαθμό με έναν ορθολογικό εκθέτη εισάγεται ένας βαθμός με έναν παράλογο εκθέτη, ο οποίος μας επιτρέπει να μιλάμε για έναν βαθμό με έναν αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη σπούδασε στο σχολείο. εκθετικη συναρτηση , που δίνεται αναλυτικά από μια δύναμη, η βάση της οποίας είναι ένας αριθμός και ο εκθέτης είναι μια μεταβλητή. Ερχόμαστε λοιπόν αντιμέτωποι με εκφράσεις ισχύος που περιέχουν αριθμούς στη βάση της δύναμης, και στον εκθέτη - εκφράσεις με μεταβλητές, και φυσικά προκύπτει η ανάγκη να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί τέτοιων παραστάσεων.

Πρέπει να ειπωθεί ότι μετασχηματίζοντας εκφράσεις καθορισμένο τύποσυνήθως πρέπει να γίνει κατά την επίλυση εκθετικές εξισώσειςΚαι εκθετικές ανισότητες , και αυτές οι μετατροπές είναι αρκετά απλές. Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, βασίζονται στις ιδιότητες του πτυχίου και στοχεύουν, ως επί το πλείστον, στην εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής στο μέλλον. Η εξίσωση θα μας επιτρέψει να τα αποδείξουμε 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Πρώτον, οι δυνάμεις, στους εκθέτες των οποίων είναι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης μεταβλητής (ή έκφρασης με μεταβλητές) και ενός αριθμού, αντικαθίστανται από γινόμενα. Αυτό ισχύει για τον πρώτο και τον τελευταίο όρο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Στη συνέχεια, και οι δύο πλευρές της ισότητας διαιρούνται με την έκφραση 7 2 x, η οποία στο ODZ της μεταβλητής x για την αρχική εξίσωση παίρνει μόνο θετικές τιμές (αυτή είναι μια τυπική τεχνική για την επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου, δεν είμαστε μιλώντας για αυτό τώρα, οπότε επικεντρωθείτε σε μεταγενέστερους μετασχηματισμούς εκφράσεων με δυνάμεις ):

Τώρα μπορούμε να ακυρώσουμε κλάσματα με δυνάμεις, που δίνει .

Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις των σχέσεων, με αποτέλεσμα η εξίσωση , που είναι ισοδύναμο . Οι μετασχηματισμοί που έγιναν μας επιτρέπουν να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή, η οποία μειώνει τη λύση της αρχικής εκθετικής εξίσωσης στη λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης

I. V. Boykov, L. D. RomanovaΣυλλογή εργασιών για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Μέρος 1. Penza 2003.