Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα

πιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση

«Κρατικό Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο της Τούλα. Λ. Ν. Τολστόι»

(FGBOU VPO "TSPU με το όνομα L. N. Tolstoy")

Τμήμα Άλγεβρας, Μαθηματικής Ανάλυσης και Γεωμετρίας

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

στο γνωστικό αντικείμενο "Μέθοδοι διδασκαλίας θεμάτων: μέθοδοι διδασκαλίας μαθηματικών"

σχετικά με το θέμα:

«ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Ολοκληρώθηκε το:

Γ' μαθητής της ομάδας 120922

Σχολή Μαθηματικών, Φυσικής και Πληροφορικής

κατεύθυνση "Παιδαγωγική εκπαίδευση"

προφίλ "Φυσική" και "Μαθηματικά"

Nichepurenko Natalya Alexandrovna

Επόπτης:

βοηθός

Rarova E.M.

Τούλα 2015

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………...3

Κεφάλαιο 1: Βασικές Έννοιες…………………………………………………………………6

1.1 Στοιχεία συνδυαστικής……………………………………………………………6

1.2 Θεωρία πιθανοτήτων……………………………………………………………….8

Κεφάλαιο 2: Μεθοδικές πτυχές της μελέτης της «Θεωρίας Πιθανοτήτων» στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας………………………………………………………………….24

Κεφάλαιο 3: Απόσπασμα μαθήματος άλγεβρας με θέμα «Θεωρία Πιθανοτήτων»……….32

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το ζήτημα της βελτίωσης μαθηματική εκπαίδευσηστο εγχώριο σχολείο ανέβηκε στις αρχές της δεκαετίας του '60 του 20ου αιώνα από τους εξαιρετικούς μαθηματικούς B.V. Gnedenko, A.N. Κολμογκόροφ, Ι.Ι. Kikoin, Α.Ι. Markushevich, A.Ya. Khinchin. B.V. Ο Gnedenko έγραψε: «Το ζήτημα της εισαγωγής στοιχείων πιθανο-στατιστικής γνώσης στο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών έχει καθυστερήσει πολύ και δεν ανέχεται περαιτέρω καθυστέρηση. Οι νόμοι του άκαμπτου προσδιορισμού, στη μελέτη των οποίων μας σχολική μόρφωση, μόνο μονόπλευρα αποκαλύπτουν την ουσία του γύρω κόσμου. Η τυχαία φύση πολλών φαινομένων της πραγματικότητας είναι πέρα ​​από την προσοχή των μαθητών μας. Ως αποτέλεσμα, οι ιδέες τους για τη φύση πολλών φυσικών και κοινωνικών διαδικασιών είναι μονόπλευρες και ανεπαρκείς. σύγχρονη επιστήμη. Πρέπει να τους γνωρίσουμε στατιστικούς νόμουςαποκαλύπτοντας τις πολύπλευρες συνδέσεις της ύπαρξης αντικειμένων και φαινομένων.

ΣΕ ΚΑΙ. Ο Levin έγραψε: «... Η στατιστική κουλτούρα που είναι απαραίτητη για ... δραστηριότητα πρέπει να αναπτυχθεί πρώτα χρόνια. Δεν είναι τυχαίο ότι στις ανεπτυγμένες χώρες δίνεται μεγάλη προσοχή σε αυτό: οι μαθητές εξοικειώνονται με στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής από την πρώτη κιόλας στιγμή ΣΧΟΛΙΚΑ χρονιακαι καθ' όλη τη διάρκεια της εκπαίδευσης μαθαίνουν πιθανοτικές-στατιστικές προσεγγίσεις για την ανάλυση κοινών καταστάσεων που συναντώνται στην καθημερινή ζωή.

Με τη μεταρρύθμιση της δεκαετίας του 1980, στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής συμπεριλήφθηκαν στα προγράμματα των εξειδικευμένων τάξεων, ιδίως της φυσικής, των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών, καθώς και σε ένα προαιρετικό μάθημα στη μελέτη των μαθηματικών.

Λαμβάνοντας υπόψη την επείγουσα ανάγκη ανάπτυξης ατομικών ποιοτήτων σκέψης των μαθητών, εμφανίζονται οι εξελίξεις του συγγραφέα προαιρετικά μαθήματαστη θεωρία των πιθανοτήτων. Παράδειγμα αυτού μπορεί να είναι η πορεία του Ν.Ν. Avdeeva σχετικά με τις στατιστικές για τους βαθμούς 7 και 9 και ένα μάθημα στοιχείων μαθηματικών στατιστικών για την τάξη 10 του γυμνασίου. Στη 10η τάξη πραγματοποιήθηκαν τεστ, τα αποτελέσματα των οποίων, καθώς και οι παρατηρήσεις των δασκάλων και η έρευνα των μαθητών, έδειξαν ότι το προτεινόμενο υλικό ήταν αρκετά προσιτό στους μαθητές. μεγάλο ενδιαφέρονεπίδειξη συγκεκριμένη εφαρμογήμαθηματικά για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Η διαδικασία εισαγωγής στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων σε υποχρεωτικό μάθηματα σχολικά μαθηματικά αποδείχθηκαν πολύ σκληρή δουλειά. Υπάρχει η άποψη ότι για να αφομοιωθούν οι αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων, απαιτείται ένα προκαταρκτικό απόθεμα ιδεών, ιδεών, συνηθειών, οι οποίες είναι θεμελιωδώς διαφορετικές από αυτές που αναπτύσσουν οι μαθητές κατά την παραδοσιακή εκπαίδευση ως μέρος της εξοικείωσης με τους νόμους των αυστηρά εξαρτημένων φαινομένων. . Επομένως, σύμφωνα με πλήθος δασκάλων - μαθηματικών, η θεωρία των πιθανοτήτων θα πρέπει να μπει στα σχολικά μαθηματικά ως ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΜΗΜΑ, που θα εξασφάλιζε τη διαμόρφωση, συστηματοποίηση και ανάπτυξη ιδεών για την πιθανολογική φύση των φαινομένων του κόσμου γύρω μας.

Δεδομένου ότι η μελέτη της θεωρίας πιθανοτήτων εισήχθη πρόσφατα στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, υπάρχουν επί του παρόντος προβλήματα με την εφαρμογή αυτού του υλικού στα σχολικά εγχειρίδια. Επίσης, λόγω της ιδιαιτερότητας αυτού του μαθήματος, ο αριθμός μεθοδολογική βιβλιογραφίαεπίσης μικρό ακόμα. Σύμφωνα με τις προσεγγίσεις που περιγράφονται στη συντριπτική πλειοψηφία της βιβλιογραφίας, πιστεύεται ότι το κύριο πράγμα στη μελέτη αυτού του θέματος πρέπει να είναι η πρακτική εμπειρία των μαθητών, επομένως, συνιστάται να ξεκινήσετε την εκπαίδευση με ερωτήσεις στις οποίες απαιτείται να βρείτε μια λύση στο πρόβλημα που τίθεται στο πλαίσιο μιας πραγματικής κατάστασης. Στη διαδικασία μάθησης, δεν πρέπει να αποδείξετε όλα τα θεωρήματα, καθώς αφιερώνεται μεγάλος χρόνος σε αυτό, ενώ το καθήκον του μαθήματος είναι να σχηματίσει χρήσιμες δεξιότητες και η ικανότητα απόδειξης θεωρημάτων δεν ισχύει για τέτοιες δεξιότητες.

Η προέλευση της θεωρίας πιθανοτήτων προέκυψε αναζητώντας μια απάντηση στο ερώτημα: πόσο συχνά συμβαίνει αυτό ή εκείνο το γεγονός σε μια μεγαλύτερη σειρά δοκιμών με τυχαία αποτελέσματα που συμβαίνουν υπό τις ίδιες συνθήκες;

Εκτιμώντας την πιθανότητα ενός γεγονότος, λέμε συχνά: «Είναι πολύ πιθανό», «Σίγουρα θα συμβεί», «Είναι απίθανο», «Δεν θα συμβεί ποτέ». Αγοράζοντας ένα λαχείο, μπορείτε να κερδίσετε, αλλά δεν μπορείτε να κερδίσετε. αύριο στο μάθημα των μαθηματικών μπορεί να σας καλέσουν στον πίνακα ή όχι. στις επόμενες εκλογές, το κυβερνών κόμμα μπορεί να κερδίσει ή όχι.

Ας εξετάσουμε ένα απλό παράδειγμα.Πόσα άτομα πιστεύετε ότι πρέπει να είναι μέσα ορισμένη ομάδαώστε τουλάχιστον δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια με πιθανότητα 100% (εννοεί την ημέρα και τον μήνα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το έτος γέννησης); Αυτό δεν σημαίνει δίσεκτος χρόνος, δηλ. ένα έτος με 365 ημέρες. Η απάντηση είναι προφανής - θα πρέπει να υπάρχουν 366 άτομα στην ομάδα. Τώρα μια άλλη ερώτηση: πόσα άτομα πρέπει να είναι για να βρει ένα ζευγάρι με τα ίδια γενέθλια με πιθανότητα 99,9%;Με την πρώτη ματιά, όλα είναι απλά - 364 άτομα. Μάλιστα, 68 άτομα είναι αρκετά!

Εδώ, για να πραγματοποιηθούν τόσο ενδιαφέροντες υπολογισμοί καικάνουμε ασυνήθιστες ανακαλύψεις για τον εαυτό μας, θα μελετήσουμε μια τέτοια ενότητα μαθηματικών "Θεωρία Πιθανοτήτων".

Σκοπός της εργασίας του μαθήματος είναι η μελέτη των θεμελίων της θεωρίας των πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών. Για την επίτευξη αυτού του στόχου, διαμορφώθηκαν οι ακόλουθες εργασίες:

1. Εξετάστε τις μεθοδολογικές πτυχές της μελέτης«Θεωρία των Πιθανοτήτων» στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας.
   1. Εξοικειωθείτε με τους βασικούς ορισμούς και θεωρήματα για τη «Θεωρία Πιθανοτήτων» στο σχολικό μάθημα.
      1. Σκεφτείτε αναλυτική λύσηεργασίες σχετικά με το θέμα της εργασίας του μαθήματος.
      2. Αναπτύξτε ένα τμήμα του μαθήματος σχετικά με το θέμα της εργασίας του μαθήματος.

Κεφάλαιο 1: Βασικές Έννοιες

1.1 Στοιχεία συνδυαστικής

Η μελέτη του μαθήματος θα πρέπει να ξεκινήσει με τη μελέτη των βασικών στοιχείων της συνδυαστικής και η θεωρία των πιθανοτήτων θα πρέπει να μελετηθεί παράλληλα, αφού η συνδυαστική χρησιμοποιείται στον υπολογισμό των πιθανοτήτων.Οι μέθοδοι συνδυαστικής χρήσης χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία, τα οικονομικά και άλλα γνωστικά πεδία.

Στην επιστήμη και στην πράξη, υπάρχουν συχνά προβλήματα, για την επίλυση των οποίων πρέπει να κάνετε διάφορους συνδυασμούς πεπερασμένου αριθμού στοιχείων.και μετρήστε τον αριθμό των συνδυασμών. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται συνδυαστικά προβλήματα και ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με αυτά τα προβλήματα ονομάζεταισυνδυαστική.

Συνδυαστική είναι η μελέτη των τρόπων μέτρησης του αριθμού των στοιχείων σε πεπερασμένα σύνολα. Οι συνδυαστικοί τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων.

Θεωρήστε ένα σύνολο X, που αποτελείται από n στοιχεία. Θα επιλέξουμε από αυτό το σύνολο διάφορα διατεταγμένα υποσύνολαΥ από κ στοιχεία.

Μια διάταξη n στοιχείων του συνόλου X με k στοιχεία είναι οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο () στοιχείων του συνόλου X.

Αν η επιλογή των στοιχείων του συνόλου Υ από το Χ γίνεται με επιστροφή, δηλ. Κάθε στοιχείο του συνόλου X μπορεί να επιλεγεί πολλές φορές, τότε ο αριθμός των τοποθετήσεων από n έως k βρίσκεται από τον τύπο (τοποθέτηση με επαναλήψεις).

Εάν η επιλογή γίνει χωρίς επιστροφή, π.χ. κάθε στοιχείο του συνόλου X μπορεί να επιλεγεί μόνο μία φορά, τότε ο αριθμός των τοποθετήσεων από n έως k συμβολίζεται και καθορίζεται από την ισότητα

(τοποθέτηση χωρίς επανάληψη).

Μια ειδική περίπτωση τοποθέτησης για n=k ονομάζεταιμετάθεση από n στοιχεία. Ο αριθμός όλων των μεταθέσεων n στοιχείων είναι

Τώρα ας επιλεχθεί ένα μη ταξινομημένο υποσύνολο από το σύνολο XΥ (η σειρά των στοιχείων στο υποσύνολο δεν έχει σημασία). Οι συνδυασμοί n στοιχείων κατά k είναι υποσύνολα k στοιχείων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο. Ο συνολικός αριθμός όλων των συνδυασμών από n έως k συμβολίζεται και ισούται με

Έγκυρες ισότητες: ,

Κατά την επίλυση προβλημάτων, η συνδυαστική χρησιμοποιεί τους ακόλουθους κανόνες:

Κανόνας αθροίσματος. Εάν κάποιο αντικείμενο Α μπορεί να επιλεγεί από μια συλλογή αντικειμένων με m τρόπους και ένα άλλο αντικείμενο Β μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους, τότε είτε το Α είτε το Β μπορούν να επιλεγούν με m + n τρόπους.

Κανόνας προϊόντος. Εάν το αντικείμενο A μπορεί να επιλεγεί από ένα σύνολο αντικειμένων με m τρόπους και μετά από κάθε τέτοια επιλογή το αντικείμενο B μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους, τότε το ζεύγος αντικειμένων (A, B) με την καθορισμένη σειρά μπορεί να επιλεγεί σε m * n τρόπους.

1.2 Θεωρία πιθανοτήτων

Στην καθημερινή ζωή, στην πρακτική και επιστημονική δραστηριότητασυχνά παρατηρούμε ορισμένα φαινόμενα, διεξάγουμε ορισμένα πειράματα.

Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια μιας παρατήρησης ή πειράματος ονομάζεταιτυχαίο συμβάν. Για παράδειγμα, μια λάμπα κρέμεται κάτω από την οροφή - κανείς δεν ξέρει πότε θα καεί.Κάθε τυχαίο γεγονός- υπάρχει συνέπεια της δράσης πολλών τυχαίων μεταβλητών (η δύναμη με την οποία ρίχνεται το νόμισμα, το σχήμα του κέρματος και πολλά άλλα). Είναι αδύνατο να ληφθεί υπόψη η επίδραση όλων αυτών των αιτιών στο αποτέλεσμα, αφού ο αριθμός τους είναι μεγάλος και οι νόμοι δράσης είναι άγνωστοι.Τα μοτίβα των τυχαίων γεγονότων μελετώνται από έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεταιθεωρία πιθανοτήτων.

Η θεωρία πιθανοτήτων δεν θέτει ως καθήκον της να προβλέψει εάν ένα μεμονωμένο γεγονός θα συμβεί ή όχι - απλά δεν μπορεί να το κάνει. Αν μιλαμεσχετικά με μαζικά ομοιογενή τυχαία γεγονότα, τότε υπακούουν σε ορισμένους νόμους, δηλαδή σε πιθανολογικούς νόμους.

Αρχικά, ας δούμε την ταξινόμηση των γεγονότων.

Διάκριση γεγονότωνκοινή και μη . Τα γεγονότα ονομάζονται κοινά αν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Διαφορετικά, τα γεγονότα ονομάζονται ασυμβίβαστα. Για παράδειγμα, πετάξτε δύο ζάρια. Γεγονός Α - τρεις βαθμοί στον πρώτο ζάρι, γεγονός Β - τρεις βαθμοί στον δεύτερο ζάρι. Το Α και το Β είναι κοινές εκδηλώσεις. Αφήστε το κατάστημα να λάβει μια παρτίδα παπουτσιών ίδιου στυλ και μεγέθους, αλλά διαφορετικού χρώματος. Γεγονός Α - ένα κουτί που λαμβάνεται τυχαία θα είναι με μαύρα παπούτσια, γεγονός Β - το κουτί θα είναι με παπούτσια καφέ, τα Α και Β είναι ασύμβατα συμβάντα.

Η εκδήλωση ονομάζεταιαυθεντικός αν αναγκαστικά συμβαίνει υπό τις συνθήκες του δεδομένου πειράματος.

Η εκδήλωση ονομάζεταιαδύνατο αν δεν μπορεί να συμβεί υπό τις συνθήκες του δεδομένου πειράματος. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι ένα τυπικό εξάρτημα λαμβάνεται από μια παρτίδα τυπικών ανταλλακτικών είναι βέβαιο, αλλά ένα μη τυποποιημένο εξάρτημα είναι αδύνατο.

Η εκδήλωση ονομάζεταιπιθανή ή τυχαία , εάν ως αποτέλεσμα της εμπειρίας μπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Ένα παράδειγμα τυχαίου συμβάντος είναι η ανίχνευση ελαττωμάτων προϊόντος κατά τον έλεγχο μιας παρτίδας τελικών προϊόντων, η απόκλιση μεταξύ του μεγέθους του επεξεργασμένου προϊόντος και του δεδομένου, η αστοχία ενός από τους συνδέσμους του αυτοματοποιημένου συστήματος ελέγχου.

Τα γεγονότα λέγονταιεξίσου δυνατόεάν, υπό τις συνθήκες της δοκιμής, κανένα από αυτά τα γεγονότα δεν είναι αντικειμενικά πιο πιθανό από τα άλλα. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα κατάστημα προμηθεύεται λαμπτήρες (και σε ίσες ποσότητες) από διάφορους κατασκευαστές. Τα γεγονότα που συνίστανται στην αγορά ενός λαμπτήρα από οποιοδήποτε από αυτά τα εργοστάσια είναι εξίσου πιθανά.

Μια σημαντική έννοια είναιπλήρη ομάδα εκδηλώσεων. Πολλά γεγονότα σε ένα δεδομένο πείραμα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα εάν τουλάχιστον ένα από αυτά εμφανίζεται απαραίτητα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Για παράδειγμα, υπάρχουν δέκα μπάλες σε μια λάρνακα, από τις οποίες οι έξι είναι κόκκινες και οι τέσσερις λευκές, οι πέντε από τις οποίες είναι αριθμημένες. Α - η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας σε ένα σχέδιο, Β - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας, Γ - η εμφάνιση μιας μπάλας με έναν αριθμό. Γεγονότα A,B,Cσχηματίζουν μια πλήρη ομάδα κοινών εκδηλώσεων.

Το συμβάν μπορεί να είναιαπεναντι απο, ή επιπλέον . Ως αντίθετο συμβάν νοείται ένα γεγονός που πρέπει απαραίτητα να συμβεί εάν δεν έχει συμβεί κάποιο γεγονός Α. Τα αντίθετα γεγονότα είναι ασύμβατα και είναι τα μόνα πιθανά. Αποτελούν μια πλήρη ομάδα εκδηλώσεων. Για παράδειγμα, εάν μια παρτίδα κατασκευασμένων ειδών αποτελείται από καλά και ελαττωματικά, τότε όταν αφαιρεθεί ένα είδος, μπορεί να αποδειχθεί είτε καλό - συμβάν Α είτε ελαττωματικό - γεγονός.

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Ρίχνουν ένα ζάρι (δηλαδή έναν μικρό κύβο, στις πλευρές του οποίου τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6 είναι νοκ άουτ). Όταν πετιέται ένα ζάρι στο δικό του άνω πρόσωπομπορεί να πέσουν έξω ένας πόντος, δύο πόντοι, τρεις πόντοι κ.λπ. Κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι τυχαία.

Μια τέτοια δοκιμή έχει πραγματοποιηθεί. Το ζάρι πετάχτηκε 100 φορές και παρατηρήθηκε πόσες φορές συνέβη το γεγονός «6 πόντοι έπεσαν στο ζάρι». Αποδείχθηκε ότι σε αυτή τη σειρά πειραμάτων, το "έξι" έπεσε έξω 9 φορές. Ο αριθμός 9, που δείχνει πόσες φορές σε αυτή τη δοκιμή συνέβη το εν λόγω συμβάν, ονομάζεται συχνότητα αυτού του συμβάντος και ο λόγος της συχνότητας προς συνολικός αριθμόςτεστ, ίσο, ονομάζεται η σχετική συχνότητα αυτού του γεγονότος.

Γενικά, αφήστε ένα συγκεκριμένο τεστ να πραγματοποιείται επανειλημμένα υπό τις ίδιες συνθήκες, και ταυτόχρονα, κάθε φορά να προσδιορίζεται εάν το συμβάν που μας ενδιαφέρει έχει συμβεί ή όχι.ΕΝΑ. Η πιθανότητα ενός γεγονότος συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα P. Τότε η πιθανότητα ενός γεγονότος A θα συμβολίζεται: P(A).

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας:

Πιθανότητα συμβάντοςΕΝΑ ισούται με την αναλογία του αριθμού των περιπτώσεωνΜ ευνοϊκή γι' αυτόν, από το σύνολο n οι μόνες δυνατές, εξίσου δυνατές και ασύμβατες περιπτώσεις με τον αριθμό n, δηλ.

Επομένως, για να βρείτε την πιθανότητααπαιτούνται εκδηλώσεις:

1. εξετάστε διαφορετικά αποτελέσματα δοκιμών.
2. βρείτε ένα σύνολο μοναδικών, εξίσου πιθανών και ασυμβίβαστων περιπτώσεων, υπολογίστε τον συνολικό αριθμό τους n , αριθμός περιπτώσεων m ευνοϊκή για αυτή την εκδήλωση·
3. εκτελέστε έναν υπολογισμό τύπου.

Από τον τύπο προκύπτει ότι η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και μπορεί να ποικίλλει από μηδέν έως ένα, ανάλογα με την αναλογία του ευνοϊκού αριθμού περιπτώσεων από τον συνολικό αριθμό περιπτώσεων:

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα.Υπάρχουν 10 μπάλες στο κουτί. 3 από αυτά είναι κόκκινα, 2 είναι πράσινα, τα υπόλοιπα είναι λευκά. Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μπάλα να είναι κόκκινη, πράσινη ή λευκή. Η εμφάνιση του κόκκινου, του πράσινου και λευκές μπάλεςαποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Ας υποδηλώσουμε την εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας - γεγονός Α, την εμφάνιση μιας πράσινης - γεγονός Β, την εμφάνιση μιας λευκής - γεγονός Γ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους τύπους που γράφτηκαν παραπάνω, λαμβάνουμε:

Σημειώστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός από δύο ασύμβατα συμβάντα ανά ζεύγη ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Σχετική συχνότηταΤο συμβάν Α είναι ο λόγος του αριθμού των πειραμάτων που οδήγησαν στο συμβάν Α προς τον συνολικό αριθμό των πειραμάτων. Η διαφορά μεταξύ της σχετικής συχνότητας και της πιθανότητας έγκειται στο γεγονός ότι η πιθανότητα υπολογίζεται χωρίς το άμεσο γινόμενο των πειραμάτων και η σχετική συχνότητα - μετά την εμπειρία.

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, εάν 5 μπάλες τραβηχτούν τυχαία από το κουτί και οι 2 από αυτές αποδειχθούν κόκκινες, τότε η σχετική συχνότητα εμφάνισης μιας κόκκινης μπάλας είναι:

Όπως φαίνεται, αυτή η τιμή δεν συμπίπτει με την πιθανότητα που βρέθηκε. Όταν αρκετά μεγάλοι αριθμοίΣτα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν, η σχετική συχνότητα αλλάζει ελάχιστα, κυμαινόμενη γύρω από έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός μπορεί να ληφθεί ως η πιθανότητα του συμβάντος.

γεωμετρική πιθανότητα.Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτωνσίγουρα που περιορίζει και την εφαρμογή του στην πράξη.

Σε περίπτωση που μια δοκιμή μεατελείωτες τον αριθμό των αποτελεσμάτων, χρησιμοποιήστε τον ορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας - να χτυπήσετε ένα σημείο σε μια περιοχή.

Κατά τον καθορισμόγεωμετρικός οι πιθανότητες υποθέτουν ότι υπάρχει περιοχήΝ και έχει μικρότερο εμβαδόνΜ. Στην περιοχή Ν ρίξτε ένα σημείο τυχαία (αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία στην περιοχήΝ είναι «ίσοι» όσον αφορά το χτύπημα ενός τυχαίας ρίψης σημείου εκεί).

Εκδήλωση Α – «χτύπημα του ριχτού σημείου στην περιοχήΜ". Περιφέρεια Μ ονομάζεται ευοίωνο γεγονόςΕΝΑ.

Πιθανότητα να χτυπήσει οποιοδήποτε σημείο της περιοχήςΝ ανάλογο με το μέτρο αυτού του τμήματος και δεν εξαρτάται από τη θέση και το σχήμα του.

Η περιοχή που καλύπτεται από τη γεωμετρική πιθανότητα μπορεί να είναι:

1. τμήμα (το μέτρο είναι το μήκος)
2. γεωμετρικό σχήμασε ένα επίπεδο (εμβαδόν είναι το μέτρο)
3. γεωμετρικό σώμαστο διάστημα (το μέτρο είναι ο όγκος)

Ας ορίσουμε τη γεωμετρική πιθανότητα για την περίπτωση επίπεδη φιγούρα.

Έστω η περιοχή Μ είναι μέρος της περιοχήςΝ. Εκδήλωση Α συνίσταται στο χτύπημα ενός τυχαίου ρίγματος στην περιοχή N σημεία στην περιοχή M . γεωμετρική πιθανότηταεκδηλώσεις Α ονομάζεται λόγος επιφανειώνΜ στην περιοχή της περιοχής N :

Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα να χτυπήσει ένα τυχαία σημείο στο όριο της περιοχής θεωρείται ίση με μηδέν.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: Ένα μηχανικό ρολόι με καντράν δώδεκα η ώρα έσπασε και σταμάτησε να λειτουργεί. Βρείτε την πιθανότητα ο ωροδείκτης να είναι παγωμένος στις 5 η ώρα αλλά όχι στις 8.

Απόφαση. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι άπειρος, εφαρμόζουμε τον ορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας. Ο τομέας μεταξύ 5 και 8 η ώρα είναι μέρος της περιοχής ολόκληρου του καντράν, επομένως, .

Λειτουργίες σε εκδηλώσεις:

Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονταιίσος εάν η εμφάνιση του γεγονότος Α συνεπάγεται την εμφάνιση του γεγονότος Β και αντίστροφα.

Ένωση ή άθροισμα Το γεγονός ονομάζεται συμβάν Α, που σημαίνει την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα.

Διασταύρωση ή προϊόν Τα γεγονότα ονομάζονται γεγονός Α, το οποίο συνίσταται στην υλοποίηση όλων των γεγονότων.

A =∩

διαφορά Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται γεγονός Γ, που σημαίνει ότι το γεγονός Α συμβαίνει, αλλά το γεγονός Β δεν συμβαίνει.

C=A\B

Παράδειγμα:

Α+Β - «ρολιασμένο 2; 4; 6 ή 3 πόντους"

Α ∙ Β – «Έπεσαν 6 βαθμοί»

Α-Β – «έχασε 2 και 4 πόντους»

Πρόσθετος Το γεγονός Α ονομάζεται συμβάν, που σημαίνει ότι το γεγονός Α δεν συμβαίνει.

στοιχειώδη αποτελέσματαεμπειρία ονομάζονται τέτοια αποτελέσματα εμπειρίας που αποκλείουν αμοιβαία το ένα το άλλο και ως αποτέλεσμα της εμπειρίας συμβαίνει ένα από αυτά τα γεγονότα, επίσης όποιο κι αν είναι το γεγονός Α, σύμφωνα με το στοιχειώδες αποτέλεσμα που έχει έρθει, μπορεί κανείς να κρίνει αν αυτό το γεγονός συμβαίνει ή συμβαίνει δεν συμβαίνουν.

Το σύνολο όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεταιχώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων.

Ιδιότητες πιθανότητας:

Ιδιοκτησία 1. Εάν όλες οι περιπτώσεις είναι ευνοϊκές για το δεδομένο γεγονόςΕΝΑ , τότε αυτό το γεγονός θα συμβεί σίγουρα. Επομένως, το εν λόγω γεγονός είναιαυθεντικός

Ιδιοκτησία 2. Εάν δεν υπάρχει ευνοϊκή περίπτωση για αυτή την εκδήλωσηΕΝΑ , τότε αυτό το συμβάν δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος. Επομένως, το εν λόγω γεγονός είναιαδύνατο , και την πιθανότητα εμφάνισής του, αφού στην προκειμένη περίπτωση m=0:

Ιδιοκτησία 3. Η πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με ένα.

Ιδιοκτησία 4. Η πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο γεγονός ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πιθανότητα να συμβεί το συμβάνΕΝΑ :

όπου (n - m ) είναι ο αριθμός των περιπτώσεων που ευνοούν την εμφάνιση του αντίθετου συμβάντος. Επομένως, η πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο συμβάν είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της ενότητας και της πιθανότητας να συμβεί το γεγονόςΕΝΑ :

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων.

Το συμβάν Α ονομάζεταιειδική περίπτωση γεγονός Β, αν όταν συμβαίνει το Α, συμβαίνει και το Β. Αυτό είναι το Αειδική περίπτωση του Β, γράφουμε A ⊂ B .

Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονταιίσος αν το καθένα αποτελεί ειδική περίπτωση του άλλου. Η ισότητα των γεγονότων Α και Β γράφεται Α = Β.

άθροισμα Τα γεγονότα Α και Β λέγονται το συμβάν Α + Β, το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα: Α ή Β.

Θεώρημα πρόσθεσης 1. Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

P=P+P

Σημειώστε ότι το διατυπωμένο θεώρημα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό μη συμβατών γεγονότων:

Εάν τα τυχαία γεγονότα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασύμβατων γεγονότων, τότε η ισότητα

P + P +…+ P =1

εργασία Τα γεγονότα Α και Β λέγονται το γεγονός ΑΒ, το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα: Α και Β ταυτόχρονα. Τα τυχαία γεγονότα Α και Β ονομάζονται κοινά εάν και τα δύο αυτά συμβάντα μπορούν να συμβούν κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής.

Θεώρημα πρόσθεσης 2. Η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων υπολογίζεται από τον τύπο

P=P+P-P

Παραδείγματα προβλημάτων στο θεώρημα πρόσθεσης.

1. Στην εξέταση της γεωμετρίας, ο μαθητής παίρνει μία ερώτηση από τη λίστα ερωτήσεις εξετάσεων. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση με εγγεγραμμένο κύκλο είναι 0,2. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση παραλληλογράμμου είναι 0,15. Δεν υπάρχουν ερωτήσεις που να σχετίζονται με αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να λάβει μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα στην εξέταση.

Απόφαση. Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Απάντηση: 0,35.

1. ΣΤΟ εμπορικό κέντροδύο πανομοιότυπα μηχανήματα αυτόματης πώλησης πωλούν καφέ. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να τελειώσουν και οι δύο μηχανές από καφέ είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας θα έχει μείνει καφές και στους δύο αυτόματους πωλητές.
   Απόφαση. Εξετάστε τα γεγονόταΑ - "ο καφές θα τελειώσει στην πρώτη μηχανή", Β - "ο καφές θα τελειώσει στη δεύτερη μηχανή".Τότε A B - "ο καφές θα τελειώνει και στους δύο αυτόματους πωλητές", A + B - "ο καφές θα τελειώνει σε τουλάχιστον έναν αυτόματο πωλητή".Με συνθήκη P(A) = P(B) = 0,3; Ρ(Α Β) = 0,12.
   Τα γεγονότα Α και Β είναι κοινά, η πιθανότητα του αθροίσματος δύο κοινών γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα του γινομένου τους:
   P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A B) \u003d 0,3 + 0,3 - 0,12 \u003d 0,48.

Επομένως, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, ο καφές να παραμείνει και στις δύο μηχανές, είναι ίση με 1 − 0,48 = 0,52.

Απάντηση: 0,52.

Τα γεγονότα των γεγονότων Α και Β ονομάζονταιανεξάρτητος αν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν μεταβάλλει την πιθανότητα εμφάνισης του άλλου. Το συμβάν Α ονομάζεταιεξαρτώμενος από το συμβάν Β εάν η πιθανότητα του συμβάντος Α αλλάζει ανάλογα με το αν συνέβη ή όχι το συμβάν Β.

Πιθανότητα υπό όρους P(A|B ) το γεγονός Α ονομάζεται η πιθανότητα που υπολογίζεται υπό την προϋπόθεση ότι συνέβη το συμβάν Β. Ομοίως, μέσωΡ(Β|Α ) συμβολίζεται υπό όρους πιθανότηταγεγονός Β, υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το Α.

Για ανεξάρτητες εκδηλώσεις εξ ορισμού

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Θεώρημα πολλαπλασιασμού για εξαρτημένα γεγονότα

Πιθανότητα προϊόντος εξαρτημένων γεγονότωνισούται με το γινόμενο της πιθανότητας ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπό την προϋπόθεση ότι συνέβη το πρώτο:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(ανάλογα ποιο γεγονός συνέβη πρώτο).

Συνέπειες από το θεώρημα:

Θεώρημα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα. Η πιθανότητα παραγωγής ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους:

P (A ∙ B ) = P (A ) ∙ P (B )

Αν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε τα ζεύγη (;), (; Β), (Α;) είναι επίσης ανεξάρτητα.

Παραδείγματα εργασιών για το θεώρημα πολλαπλασιασμού:

1. Αν ο γκρανμάστερ Α. παίξει λευκό, τότε κερδίζει τον γκρανμάστερ Β. με πιθανότητα 0,52. Αν ο Α. παίξει μαύρο, τότε ο Α. κερδίζει τον Β. με πιθανότητα 0,3. Οι Grandmaster A. και B. παίζουν δύο παιχνίδια και στο δεύτερο παιχνίδι αλλάζουν το χρώμα των κομματιών. Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α. και τις δύο φορές.

Απόφαση. Οι πιθανότητες να κερδίσετε το πρώτο και το δεύτερο παιχνίδι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η πιθανότητα του γινόμενου ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: 0,52 0,3 = 0,156.

Απάντηση: 0,156.

1. Το κατάστημα διαθέτει δύο μηχανήματα πληρωμής. Κάθε ένα από αυτά μπορεί να είναι ελαττωματικό με πιθανότητα 0,05, ανεξάρτητα από το άλλο αυτόματο. Βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι επισκευάσιμο.

Απόφαση. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα δύο αυτόματα είναι ελαττωματικά. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα του γινομένου τους είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 0,05 0,05 = 0,0025.
Ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι επισκευήσιμο είναι το αντίθετο. Επομένως, η πιθανότητα είναι 1 − 0,0025 = 0,9975.

Απάντηση: 0,9975.

Τύπος πλήρη πιθανότητα

Συνέπεια των θεωρημάτων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων είναι ο τύπος για τη συνολική πιθανότητα:

Πιθανότητα Π (Α) γεγονός Α, το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο εάν συμβεί ένα από τα συμβάντα (υποθέσεις) Β 1 , V 2 , V 3 … V n , που σχηματίζει μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη, ισούται με το άθροισμα των γινομένων των πιθανοτήτων καθενός από τα γεγονότα (υποθέσεις) Β 1 , V 2 , V 3 , …, V n στις αντίστοιχες υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α:

P (A) \u003d P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + .. . + P (В n )  P (A | B n )

Εξετάστε ένα παράδειγμα:Η αυτόματη γραμμή κάνει μπαταρίες. Η πιθανότητα μια τελική μπαταρία να είναι ελαττωματική είναι 0,02. Πριν από τη συσκευασία, κάθε μπαταρία περνά από ένα σύστημα ελέγχου. Η πιθανότητα το σύστημα να απορρίψει μια κακή μπαταρία είναι 0,99. Η πιθανότητα το σύστημα να απορρίψει κατά λάθος μια καλή μπαταρία είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα να απορριφθεί μια τυχαία επιλεγμένη μπαταρία.

Απόφαση. Η κατάσταση στην οποία η μπαταρία θα απορριφθεί μπορεί να προκύψει ως αποτέλεσμα των γεγονότων: A - "η μπαταρία είναι πραγματικά ελαττωματική και έχει απορριφθεί αρκετά" ή B - "η μπαταρία είναι καλή, αλλά απορρίφθηκε κατά λάθος." Αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Εχουμε:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Απάντηση: 0,0296.

Κεφάλαιο 2: Μεθοδολογικές όψεις της μελέτης της «Θεωρίας Πιθανοτήτων» στο Μάθημα της Σχολικής Άλγεβρας

Το 2003, ελήφθη απόφαση να συμπεριληφθούν στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα μαθηματικών ενός σχολείου γενικής εκπαίδευσης (διδακτική επιστολή αριθ. 03-93in / 13-03 της 23ης Σεπτεμβρίου 2003 του Υπουργείου Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας " Σχετικά με την εισαγωγή στοιχείων της συνδυαστικής, της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων στο περιεχόμενο της μαθηματικής εκπαίδευσης δημοτικού σχολείου», «Τα μαθηματικά στο σχολείο», αρ. 9, 2003). Μέχρι εκείνη τη στιγμή, στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων υπήρχαν με διάφορες μορφές σε γνωστά σχολικά εγχειρίδια άλγεβρας για περισσότερα από δέκα χρόνια. διαφορετικές τάξεις(για παράδειγμα, I.F. «Άλγεβρα: Εγχειρίδια για τις τάξεις 7-9 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων» με επιμέλεια G.V. Dorofeev· «Άλγεβρα και αρχή της ανάλυσης: Εγχειρίδια για τους βαθμούς 10-11 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων» G.V. Dorofeev, L. V. Kuznetsova, E.A. Sedova»), και με τη μορφή χωριστών διδακτικών βοηθημάτων. Ωστόσο, η παρουσίαση του υλικού για τη θεωρία των πιθανοτήτων σε αυτά, κατά κανόνα, δεν ήταν συστηματικής φύσης και οι εκπαιδευτικοί, τις περισσότερες φορές, δεν αναφέρονταν σε αυτές τις ενότητες, δεν τις συμπεριέλαβαν στο πρόγραμμα σπουδών. Το έγγραφο που εγκρίθηκε από το Υπουργείο Παιδείας το 2003 προέβλεπε τη σταδιακή, σταδιακή ένταξη αυτών των τμημάτων στα σχολικά μαθήματα, δίνοντας τη δυνατότητα στη διδακτική κοινότητα να προετοιμαστεί για τις αντίστοιχες αλλαγές.

Το 2004–2008 Ένας αριθμός εγχειριδίων δημοσιεύεται για να συμπληρώσει τα υπάρχοντα εγχειρίδια άλγεβρας. Αυτές είναι οι δημοσιεύσεις των Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. «Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική: Οδηγός δασκάλου», Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Άλγεβρα: στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων: σχολικό βιβλίο. Οδηγός για μαθητές 7-9 τάξεων. γενική εκπαίδευση ιδρύματα», Tkacheva M.V., Fedorova N.E. «Στοιχεία στατιστικής και πιθανότητας: Proc. Επίδομα για 7-9 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα." Βγήκαν και αυτοί να βοηθήσουν τους δασκάλους. διδακτικά βοηθήματα. Εδώ και πολλά χρόνια, όλα αυτά τα διδακτικά βοηθήματα έχουν δοκιμαστεί στα σχολεία. Σε συνθήκες που η μεταβατική περίοδος εισαγωγής στα σχολικά προγράμματα έχει τελειώσει και τμήματα της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων έχουν πάρει τη θέση τους στο προγράμματα σπουδών 7-9 βαθμοί, απαιτείται ανάλυση και κατανόηση της συνέπειας των κύριων ορισμών και ονομασιών που χρησιμοποιούνται σε αυτά τα σχολικά βιβλία.

Όλα αυτά τα εγχειρίδια δημιουργήθηκαν ελλείψει παραδόσεων διδασκαλίας αυτών των τμημάτων των μαθηματικών στο σχολείο. Αυτή η απουσία, συνειδητά ή άθελά τους, προκάλεσε τους συγγραφείς των σχολικών βιβλίων να τα συγκρίνουν με τα υπάρχοντα σχολικά βιβλία για τα πανεπιστήμια. Το τελευταίο, ανάλογα με τις καθιερωμένες παραδόσεις σε επιμέρους ειδικότητες Λύκειοσυχνά επέτρεπαν σημαντικές ορολογικές ασυνέπειες και διαφορές στους χαρακτηρισμούς βασικών εννοιών και τύπων. Η ανάλυση του περιεχομένου των παραπάνω σχολικών εγχειριδίων δείχνει ότι σήμερα έχουν κληρονομήσει αυτά τα χαρακτηριστικά από τα σχολικά βιβλία της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Με περισσότεροακρίβεια, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η επιλογή ενός συγκεκριμένου εκπαιδευτικό υλικόσύμφωνα με τμήματα των μαθηματικών που είναι νέα στο σχολείο, που αφορούν την έννοια του «τυχαίου», εμφανίζεται στο αυτή τη στιγμήμε τον πιο τυχαίο τρόπο, μέχρι ονόματα και ονομασίες. Ως εκ τούτου, οι ομάδες συγγραφέων κορυφαίων σχολικών εγχειριδίων για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική αποφάσισαν να ενώσουν τις προσπάθειές τους υπό την αιγίδα του Ινστιτούτου Ανοιχτής Εκπαίδευσης της Μόσχας για να αναπτύξουν συμφωνημένες θέσεις σχετικά με την ενοποίηση των κύριων ορισμών και σημειώσεων που χρησιμοποιούνται στα σχολικά εγχειρίδια για τη θεωρία πιθανοτήτων. και στατιστικές.

Ας αναλύσουμε την εισαγωγή του θέματος «Θεωρία Πιθανοτήτων» στα σχολικά εγχειρίδια.

γενικά χαρακτηριστικά:

Το περιεχόμενο της εκπαίδευσης με θέμα «Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων», που επισημαίνεται στο «Πρόγραμμα για εκπαιδευτικά ιδρύματα. Μαθηματικά», παρέχει περαιτέρω ανάπτυξησε μαθητές των μαθηματικών τους ικανοτήτων, προσανατολισμός σε επαγγέλματα, που σχετίζονται σημαντικά με τα μαθηματικά, προετοιμασία για σπουδές σε πανεπιστήμιο. Η ιδιαιτερότητα του μαθηματικού περιεχομένου του υπό εξέταση θέματος καθιστά δυνατή τη συγκεκριμενοποίηση της επιλεγμένης κύριας εργασίας σε βάθος μελέτημαθηματικά ως εξής.

1. Συνέχιση της αποκάλυψης του περιεχομένου των μαθηματικών ως απαγωγικό σύστημα γνώσης.

Δημιουργήστε ένα σύστημα ορισμών βασικών εννοιών.

Αποκάλυψη πρόσθετων ιδιοτήτων των εννοιών που εισάγονται.

Δημιουργήστε συνδέσεις μεταξύ των εννοιών που εισήχθησαν και των εννοιών που μελετήθηκαν προηγουμένως.

2. Συστηματοποίηση ορισμένων πιθανολογικών τρόπων επίλυσης προβλημάτων. αποκαλύπτουν τη λειτουργική σύνθεση της αναζήτησης λύσεων σε προβλήματα ορισμένων τύπων.

3. Δημιουργήστε συνθήκες ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν και να κατανοήσουν την κύρια ιδέα πρακτική σημασίαθεωρία των πιθανοτήτων με την ανάλυση των βασικών θεωρητικών γεγονότων. Να αποκαλύψει τις πρακτικές εφαρμογές της θεωρίας που μελετάται σε αυτό το θέμα.

Η επίτευξη των τεθέντων εκπαιδευτικών στόχων θα διευκολυνθεί με την επίλυση των ακόλουθων εργασιών:

1. Δημιουργήστε μια ιδέα για τους διάφορους τρόπους προσδιορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος (στατιστική, κλασική, γεωμετρική, αξιωματική)

2. Να διαμορφώσει γνώση των βασικών πράξεων σε συμβάντα και την ικανότητα εφαρμογής τους για την περιγραφή κάποιων γεγονότων μέσω άλλων.

3. Να αποκαλύψει την ουσία της θεωρίας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. καθορίζουν τα όρια χρήσης αυτών των θεωρημάτων. Δείξτε τις εφαρμογές τους για την παραγωγή τύπων πλήρους πιθανότητας.

4. Προσδιορίστε αλγόριθμους για την εύρεση των πιθανοτήτων γεγονότων α) σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. β) για τη θεωρία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. γ) σύμφωνα με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας.

5. Σχηματίστε μια συνταγή που σας επιτρέπει να επιλέξετε ορθολογικά έναν από τους αλγόριθμους κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Αφιερωμένο εκπαιδευτικούς στόχουςγια να μελετήσουμε τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων, θα συμπληρώσουμε τον καθορισμό αναπτυξιακών και εκπαιδευτικών στόχων.

Στόχοι ανάπτυξης:

• να σχηματίσουν στους μαθητές ένα σταθερό ενδιαφέρον για το θέμα, να εντοπίσουν και να αναπτύξουν μαθηματικές ικανότητες.
• στη διαδικασία της εκμάθησης για την ανάπτυξη του λόγου, της σκέψης, των συναισθηματικών-βουλητικών και συγκεκριμένων-κινητικών περιοχών.
• ανεξάρτητη εύρεση νέων τρόπων επίλυσης προβλημάτων και εργασιών από τους μαθητές. εφαρμογή της γνώσης σε νέες καταστάσεις και συνθήκες·
• να αναπτύξουν την ικανότητα να εξηγούν γεγονότα, συνδέσεις μεταξύ φαινομένων, να μετατρέπουν υλικό από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη (λεκτική, συμβολική, γραφική).
• να διδάξει να καταδείξει τη σωστή εφαρμογή των μεθόδων, να δει τη λογική του συλλογισμού, την ομοιότητα και τη διαφορά των φαινομένων.

εκπαιδευτικούς στόχους:

• να σχηματίσουν στους μαθητές ηθικές και αισθητικές ιδέες, ένα σύστημα απόψεων για τον κόσμο, την ικανότητα να ακολουθούν τους κανόνες συμπεριφοράς στην κοινωνία.
• σχηματίζουν τις ανάγκες του ατόμου, τα κίνητρα κοινωνική συμπεριφορά, δραστηριότητες, αξίες και προσανατολισμοί αξίας·
• να εκπαιδεύσει ένα άτομο ικανό για αυτομόρφωση και αυτομόρφωση.

Ας αναλύσουμε το εγχειρίδιο για την άλγεβρα για την τάξη 9 "Άλγεβρα: στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων" Makarychev Yu.N.

Αυτό το εγχειρίδιο προορίζεται για μαθητές των τάξεων 7-9, συμπληρώνει τα σχολικά βιβλία: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", επιμέλεια Telyakovsky S.A.

Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερις παραγράφους. Κάθε παράγραφος περιέχει θεωρητικές πληροφορίες και σχετικές ασκήσεις. Στο τέλος της παραγράφου δίνονται ασκήσεις για επανάληψη. Για κάθε παράγραφο δίνονται επιπλέον ασκήσεις υψηλότερου επιπέδου πολυπλοκότητας σε σύγκριση με τις κύριες ασκήσεις.

Σύμφωνα με το «Πρόγραμμα Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων», διατίθενται 15 ώρες για τη μελέτη του θέματος «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας.

Η ύλη για αυτό το θέμα ανήκει στον βαθμό 9 και παρουσιάζεται στις ακόλουθες παραγράφους:

§3 "Στοιχεία συνδυαστικής" περιέχει 4 σημεία:

Παραδείγματα συνδυαστικών προβλημάτων.Στο απλά παραδείγματακαταδεικνύεται η επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων με τη μέθοδο της απαρίθμησης των πιθανών παραλλαγών. Αυτή η μέθοδος απεικονίζεται με τη δημιουργία ενός δέντρου πιθανών επιλογών. Λαμβάνεται υπόψη ο κανόνας του πολλαπλασιασμού.

Μεταθέσεις. Εισάγεται η ίδια η έννοια και ο τύπος για την καταμέτρηση των μεταθέσεων.

Διαμονή. Η έννοια εισάγεται σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εξάγεται ο τύπος για τον αριθμό των τοποθετήσεων.

Συνδυασμοί. Η έννοια και ο τύπος του αριθμού των συνδυασμών.

Ο σκοπός αυτής της ενότητας είναι να δώσει στους μαθητές διαφορετικούς τρόπους να περιγράψουν όλα τα πιθανά στοιχειώδη γεγονότα διάφοροι τύποι τυχαία εμπειρία.

§4 «Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων».

Η παρουσίαση του υλικού ξεκινά με την εξέταση του πειράματος, μετά το οποίο εισάγονται οι έννοιες του «τυχαίου συμβάντος» και «σχετικής συχνότητας ενός τυχαίου συμβάντος». Εισάγεται ένας στατιστικός και κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Η παράγραφος τελειώνει με το σημείο «πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων». Εξετάζονται τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, εισάγονται οι σχετικές έννοιες των ασυμβίβαστων, αντίθετων, ανεξάρτητων γεγονότων. Αυτό το υλικό προορίζεται για μαθητές με ενδιαφέρον και ικανότητα για τα μαθηματικά και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ατομική δουλειάή στο εξωσχολικές δραστηριότητεςμε μαθητές.

Κατευθυντήριες γραμμέςσε αυτό το εγχειρίδιο δίνονται σε μια σειρά από άρθρα των Makarychev και Mindyuk ("Στοιχεία συνδυαστικής στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας", "Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας"). Και επίσης ορισμένες κριτικές παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το σεμινάριο περιέχονται στο άρθρο των Studenetskaya και Fadeeva, οι οποίες θα βοηθήσουν στην αποφυγή λαθών κατά την εργασία με αυτό το εγχειρίδιο.
Σκοπός: μετάβαση από την ποιοτική περιγραφή των γεγονότων σε μια μαθηματική περιγραφή.

Το θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων" στα σχολικά βιβλία των Mordkovich A.G., Semenov P.V. για τις τάξεις 9-11.

Αυτή τη στιγμή ένα από τα σχολικά βιβλία που υπάρχουν στο σχολείο είναι το σχολικό βιβλίοMordkovich A.G., Semenov P.V. «Γεγονότα, πιθανότητες, στατιστική επεξεργασίαδεδομένα", έχει και επιπλέον κεφάλαια για τις τάξεις 7-9. Ας το αναλύσουμε.

Σύμφωνα με το Πρόγραμμα Εργασίας Άλγεβρα, διατίθενται 20 ώρες για τη μελέτη του θέματος «Στοιχεία Συνδυαστικής, Στατιστικής και Θεωρίας Πιθανοτήτων».

Το υλικό για το θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων" αποκαλύπτεται στις ακόλουθες παραγράφους:

§ 1. Το πιο απλό συνδυαστικά προβλήματα. Κανόνας πολλαπλασιασμού και δέντρο παραλλαγών. Μεταθέσεις.Ξεκινά με ένα απλό συνδυαστικό πρόβλημα και στη συνέχεια εξετάζει έναν πίνακα πιθανών επιλογών, ο οποίος δείχνει την αρχή του κανόνα πολλαπλασιασμού. Στη συνέχεια εξετάζονται δέντρα πιθανών παραλλαγών και μεταθέσεων. Μετά θεωρητικό υλικόυπάρχουν ασκήσεις για κάθε ένα από τα υποκατηγορία.

§ 2. Επιλογή πολλών στοιχείων. Συνδυασμοί.Αρχικά, προκύπτει ένας τύπος για 2 στοιχεία, μετά για τρία και μετά ένας γενικός για n στοιχεία.

§ 3. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους.Εισάγεται ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας.

Το πλεονέκτημα αυτού του εγχειριδίου είναι ότι είναι ένα από τα λίγα που περιέχει παραγράφους που ασχολούνται με πίνακες και δέντρα επιλογών. Αυτά τα σημεία είναι απαραίτητα γιατί είναι πίνακες και δέντρα επιλογών που διδάσκουν στους μαθητές την παρουσίαση και την αρχική ανάλυση των δεδομένων. Επίσης σε αυτό το εγχειρίδιο, ο τύπος συνδυασμού εισάγεται με επιτυχία πρώτα για δύο στοιχεία, μετά για τρία και γενικεύεται για n στοιχεία. Από πλευράς συνδυαστικής, το υλικό παρουσιάζεται εξίσου επιτυχημένα. Κάθε παράγραφος περιέχει ασκήσεις, οι οποίες σας επιτρέπουν να εμπεδώσετε το υλικό. Σχόλια σε αυτό το σεμινάριο περιέχονται στο άρθρο των Studenetskaya και Fadeeva.

Στον βαθμό 10, δίνονται τρεις παράγραφοι για αυτό το θέμα. Στο πρώτο από αυτά «Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Μεταθέσεις και παραγοντικά», εκτός από τον ίδιο τον κανόνα πολλαπλασιασμού, η κύρια έμφαση δόθηκε στην εξαγωγή δύο βασικών συνδυαστικών ταυτοτήτων από αυτόν τον κανόνα: για τον αριθμό των μεταθέσεων και για τον αριθμό των πιθανών υποσυνόλων του συνόλου που αποτελείται από n στοιχεία. Ταυτόχρονα, τα παραγοντικά εισήχθησαν ως ένας βολικός τρόπος για να συντομεύσουν την απάντηση σε πολλά συγκεκριμένα συνδυαστικά προβλήματα πριν από την ίδια την έννοια της «μετάθεσης». Στη δεύτερη παράγραφο της τάξης 10 «Επιλογή πολλαπλών στοιχείων. Διωνυμικοί συντελεστές» θεωρούνται κλασικά συνδυαστικά προβλήματα που σχετίζονται με την ταυτόχρονη (ή διαδοχική) επιλογή πολλών στοιχείων από ένα δεδομένο πεπερασμένο σύνολο. Το πιο σημαντικό και πραγματικά νέο για το ρωσικό σχολείο γενικής εκπαίδευσης ήταν η τελευταία παράγραφος "Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους". Εξέτασε το κλασικό πιθανολογικό σχήμα, ανέλυσε τους τύπους P (A + B )+ P (AB )= P (A )+ P (B ), P ()=1- P (A ), P (A )=1- P () και πώς να τα χρησιμοποιήσετε. Η παράγραφος τελείωσε με μια μετάβαση σε ανεξάρτητες επαναλήψεις του τεστ με δύο αποτελέσματα. Αυτό είναι το πιο σημαντικό πιθανοτικό μοντέλο από πρακτικής άποψης (δοκιμές Bernoulli), το οποίο έχει σημαντικό αριθμό εφαρμογών. Το τελευταίο υλικό αποτέλεσε μια μετάβαση μεταξύ του περιεχομένου του εκπαιδευτικού υλικού στις τάξεις 10 και 11.

Στην 11η τάξη το θέμα «Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων» είναι αφιερωμένο σε δύο παραγράφους του σχολικού βιβλίου και στο βιβλίο προβλημάτων. ΣΤΟΗ ενότητα 22 ασχολείται με γεωμετρικές πιθανότητες, § 23 επαναλαμβάνει και επεκτείνει τη γνώση σχετικά με τις ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιμών με δύο αποτελέσματα.

Κεφάλαιο 3: Ένα απόσπασμα ενός μαθήματος άλγεβρας με θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων"

Βαθμός: 11

Θέμα μαθήματος: «Ανάλυση της εργασίας Γ6».

Τύπος μαθήματος: επίλυση προβλημάτων.

Σχηματίστηκε UUD

Γνωστική: ανάλυση,

εξάγετε συμπεράσματα, συγκρίνετε αντικείμενα σύμφωνα με τις μεθόδους δράσης.

Ρυθμιστικό: προσδιορίστε τον στόχο, το πρόβλημα, υποβάλετε εκδόσεις, σχεδιάστε δραστηριότητες.

Επικοινωνιακό: εκφράστε τη γνώμη σας, χρησιμοποιήστε ομιλία σημαίνει;

Προσωπικά: να έχετε επίγνωση των συναισθημάτων σας, να αναπτύξετε μια στάση σεβασμού προς τους συμμαθητές σας

Προγραμματισμένα αποτελέσματα

Θέμα: η ικανότητα χρήσης τύπου για την επίλυση προβλημάτων για τον υπολογισμό της πιθανότητας.

Μετα-υποκείμενο: η ικανότητα να προβάλλει υποθέσεις, υποθέσεις, βλ

διαφορετικούς τρόπους επίλυσης του προβλήματος.

Προσωπικά: η ικανότητα να εκφράζει κανείς σωστά τις σκέψεις του, να κατανοεί το νόημα

ανατεθεί εργασία.

Εργασία: Καθένας από την ομάδα των μαθητών πήγαινε στον κινηματογράφο ή στο θέατρο, ενώ δεν αποκλείεται ένας από αυτούς να πάει και στον κινηματογράφο και στο θέατρο. Είναι γνωστό ότι δεν υπήρχαν περισσότεροι από τα 2/11 του συνολικού αριθμού των μαθητών της ομάδας που επισκέφτηκαν το θέατρο στο θέατρο αγοριών και όχι περισσότεροι από τα 2/5 του συνόλου των μαθητών της ομάδας που επισκέφτηκαν το κινηματογράφος ήταν στον κινηματογράφο.
α) Θα μπορούσαν να είναι 9 αγόρια στην ομάδα εάν είναι επιπλέον γνωστό ότι υπήρχαν 20 μαθητές συνολικά στην ομάδα;
β) Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αγοριών που θα μπορούσε να είναι στην ομάδα, εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι στην ομάδα υπήρχαν 20 μαθητές;
γ) Ποια ήταν η μικρότερη αναλογία κοριτσιών στο σύνολο των μαθητών της ομάδας χωρίς την πρόσθετη προϋπόθεση των σημείων α) και β);

Ανάλυση της εργασίας:

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την κατάσταση:

(Παράλληλα με την εξήγηση, ο δάσκαλος απεικονίζει τα πάντα στον πίνακα).

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε πολλά παιδιά που πήγαν σινεμά και πολλά παιδιά που πήγαν στο θέατρο. Επειδή λέγεται ότι πήγαν όλοι, τότε όλη η ομάδα είναι είτε στο σετ των τύπων που πήγαν θέατρο, είτε στο σετ των τύπων που πήγαν σινεμά. Ποιο είναι το σημείο όπου τέμνονται αυτά τα σύνολα;

Σημαίνει ότι αυτοί οι τύποι πήγαιναν σινεμά και θέατρο ταυτόχρονα.

Είναι γνωστό ότι τα αγόρια που πήγαν στο θέατρο δεν ξεπερνούσαν τα 2/11 του συνολικού αριθμού όσων πήγαν στο θέατρο. Ο δάσκαλος ζητά από έναν από τους μαθητές να το ζωγραφίσει στον πίνακα.

Και θα μπορούσαν να ήταν περισσότερα αγόρια που πήγαιναν σινεμά - όχι περισσότερα από τα 2/5 του συνολικού αριθμού των μαθητών της ομάδας.

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση.

α) Έχουμε 9 αγόρια, συνολικά μαθητές, ας δηλώσουμεΝ =20, πρέπει να πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις. Αν έχουμε 9 αγόρια, κορίτσια, αντίστοιχα, 11. Το στοιχείο α) μπορεί να λυθεί στις περισσότερες περιπτώσεις με απαρίθμηση.

Άσε που τα αγόρια μας πήγαιναν είτε μόνο σινεμά είτε θέατρο.

Και τα κορίτσια πήγαιναν πέρα ​​δώθε. (Το μπλε δείχνει πολλά αγόρια και η μαύρη σκίαση δείχνει τα κορίτσια)

Αφού έχουμε μόνο 9 αγόρια και, κατά συνθήκη, πήγαμε στο θέατρο λιγότερα αγόρια, υποθέτουμε ότι 2 αγόρια πήγαν θέατρο, και 7 σινεμά.Και να δούμε αν πληρούται η προϋπόθεση μας.

Ας το ελέγξουμε πρώτα στο παράδειγμα του θεάτρου. Παίρνουμε τον αριθμό των αγοριών που πήγαν στο θέατρο σε όλους που πήγαν στο θέατρο και συν τον αριθμό των κοριτσιών και το συγκρίνουμε με: . Πολλαπλασιάστε το με 18 και με 5: .

Επομένως το κλάσμα είναι 7/18 2/5. Ως εκ τούτου, ικανοποιείται η προϋπόθεση για τον κινηματογράφο.

Ας δούμε τώρα αν πληρούται αυτή η προϋπόθεση για το θέατρο. Ανεξάρτητα, τότε ένας από τους μαθητές γράφει τη λύση στον πίνακα.

Απάντηση: Εάν η ομάδα αποτελείται από 2 αγόρια που επισκέφτηκαν μόνο το θέατρο, 7 αγόρια που επισκέφτηκαν μόνο τον κινηματογράφο και 11 κορίτσια που πήγαν και στο θέατρο και στον κινηματογράφο, τότε η προϋπόθεση του προβλήματος πληρούται. Αυτό σημαίνει ότι σε μια ομάδα 20 μαθητών θα μπορούσαν να υπάρχουν 9 αγόρια.

σι) Ας υποθέσουμε ότι ήταν 10 ή περισσότερα αγόρια. Τότε ήταν 10 κορίτσια ή λιγότερα. Το θέατρο παρακολουθούσαν όχι περισσότερα από 2 αγόρια, γιατί αν ήταν 3 ή περισσότερα, τότε η αναλογία των αγοριών στο θέατρο δεν θα ήταν μικρότερη = ποιο είναι περισσότερο.

Ομοίως, δεν επισκέφτηκαν περισσότερα από 7 αγόρια τον κινηματογράφο, γιατί τότε τουλάχιστον ένα αγόρι δεν επισκέφτηκε ούτε το θέατρο ούτε τον κινηματογράφο, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τον όρο.

Στην προηγούμενη παράγραφο, φάνηκε ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν 9 αγόρια σε μια ομάδα 20 μαθητών. Έτσι, ο μεγαλύτερος αριθμός αγοριών στην ομάδα είναι 9.

γ) Ας υποθέσουμε ότι ένα συγκεκριμένο αγόρι πήγε και στο θέατρο και στον κινηματογράφο. Αν αντί για αυτόν υπήρχαν δύο αγόρια στην ομάδα, το ένα από τα οποία επισκεπτόταν μόνο το θέατρο και το άλλο μόνο τον κινηματογράφο, τότε το μερίδιο των αγοριών τόσο στο θέατρο όσο και στον κινηματογράφο θα παρέμενε το ίδιο και το συνολικό μερίδιο των κοριτσιών θα γινόταν μικρότερος. Ως εκ τούτου, για να υπολογίσουμε τη μικρότερη αναλογία κοριτσιών στην ομάδα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε αγόρι πήγαινε είτε μόνο στο θέατρο είτε μόνο στον κινηματογράφο.

Αφήστε στην ομάδα των αγοριών που επισκέφτηκαν το θέατρο, των αγοριών που επισκέφτηκαν τον κινηματογράφο καιδ κορίτσια.

Ας υπολογίσουμε το ποσοστό των κοριτσιών σε αυτήν την ομάδα. Είναι μηδέν να υποθέσουμε ότι όλα τα κορίτσια πήγαν και στο θέατρο και στον κινηματογράφο, αφού το μερίδιό τους στην ομάδα δεν θα αλλάξει από αυτό και το μερίδιο στο θέατρο και τον κινηματογράφο δεν θα μειωθεί.

Εάν η ομάδα αποτελείται από 2 αγόρια που επισκέφτηκαν μόνο το θέατρο, 6 αγόρια που επισκέφτηκαν μόνο τον κινηματογράφο και 9 κορίτσια που πήγαν και στο θέατρο και στον κινηματογράφο, τότε η κατάσταση του προβλήματος ικανοποιείται και το μερίδιο των κοριτσιών στο η ομάδα είναι ίση.

Στην καθημερινή ζωή, σε πρακτικές και επιστημονικές δραστηριότητες, παρατηρούμε συχνά ορισμένα φαινόμενα, διεξάγουμε ορισμένα πειράματα. Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια μιας παρατήρησης ή πειράματος ονομάζεται τυχαίο συμβάν. Για παράδειγμα, μια λάμπα κρέμεται κάτω από την οροφή - κανείς δεν ξέρει πότε θα καεί. Κάθε τυχαίο γεγονός είναι συνέπεια της δράσης πολλών τυχαίων μεταβλητών (η δύναμη με την οποία ρίχνεται το νόμισμα, το σχήμα του κέρματος και πολλά άλλα). Είναι αδύνατο να ληφθεί υπόψη η επίδραση όλων αυτών των αιτιών στο αποτέλεσμα, αφού ο αριθμός τους είναι μεγάλος και οι νόμοι δράσης είναι άγνωστοι. Τα μοτίβα των τυχαίων γεγονότων μελετώνται από έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων. Η θεωρία πιθανοτήτων δεν θέτει ως καθήκον της να προβλέψει εάν ένα μεμονωμένο γεγονός θα συμβεί ή όχι - απλά δεν μπορεί να το κάνει. Αν μιλάμε για μαζικά ομοιογενή τυχαία συμβάντα, τότε υπακούουν σε ορισμένα μοτίβα, δηλαδή σε πιθανοτικά πρότυπα. Αρχικά, ας δούμε την ταξινόμηση των γεγονότων. Διάκριση μεταξύ κοινών και μη κοινών εκδηλώσεων. Τα γεγονότα ονομάζονται κοινά αν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Διαφορετικά, τα γεγονότα ονομάζονται ασυμβίβαστα. Για παράδειγμα, ρίχνονται δύο ζάρια. Γεγονός Α - τρεις βαθμοί στον πρώτο ζάρι, γεγονός Β - τρεις βαθμοί στον δεύτερο ζάρι. Το Α και το Β είναι κοινές εκδηλώσεις. Αφήστε το κατάστημα να λάβει μια παρτίδα παπουτσιών ίδιου στυλ και μεγέθους, αλλά διαφορετικού χρώματος. Γεγονός Α - ένα πλαίσιο που λαμβάνεται τυχαία θα είναι με μαύρα παπούτσια, συμβάν Β - το πλαίσιο θα είναι με καφέ παπούτσια, τα Α και Β είναι ασύμβατα συμβάντα. Ένα γεγονός λέγεται βέβαιο εάν θα συμβεί αναγκαστικά υπό τις συνθήκες ενός δεδομένου πειράματος. Ένα γεγονός λέγεται ότι είναι αδύνατο εάν δεν μπορεί να συμβεί υπό τις συνθήκες της δεδομένης εμπειρίας. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι ένα τυπικό εξάρτημα λαμβάνεται από μια παρτίδα τυπικών ανταλλακτικών είναι βέβαιο, αλλά ένα μη τυποποιημένο εξάρτημα είναι αδύνατο. Ένα συμβάν ονομάζεται δυνατό ή τυχαίο εάν, ως αποτέλεσμα εμπειρίας, μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Ένα παράδειγμα τυχαίου συμβάντος είναι η ανίχνευση ελαττωμάτων προϊόντος κατά τον έλεγχο μιας παρτίδας τελικών προϊόντων, η απόκλιση μεταξύ του μεγέθους του επεξεργασμένου προϊόντος και του δεδομένου, η αστοχία ενός από τους συνδέσμους του αυτοματοποιημένου συστήματος ελέγχου. Τα γεγονότα λέγονται ότι είναι εξίσου πιθανά εάν, υπό τις συνθήκες της δοκιμής, κανένα από αυτά τα γεγονότα δεν είναι αντικειμενικά πιο πιθανό από τα άλλα. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα κατάστημα προμηθεύεται λαμπτήρες (και σε ίσες ποσότητες) από διάφορους κατασκευαστές. Τα γεγονότα που συνίστανται στην αγορά ενός λαμπτήρα από οποιοδήποτε από αυτά τα εργοστάσια είναι εξίσου πιθανά. Μια σημαντική ιδέα είναι η πλήρης ομάδα εκδηλώσεων. Πολλά γεγονότα σε ένα δεδομένο πείραμα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα εάν τουλάχιστον ένα από αυτά εμφανίζεται απαραίτητα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Για παράδειγμα, υπάρχουν δέκα μπάλες σε μια λάρνακα, από τις οποίες οι έξι είναι κόκκινες και οι τέσσερις λευκές, οι πέντε από τις οποίες είναι αριθμημένες. Α - η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας σε ένα σχέδιο, Β - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας, Γ - η εμφάνιση μιας μπάλας με έναν αριθμό. Τα γεγονότα Α, Β, Γ αποτελούν μια πλήρη ομάδα κοινών εκδηλώσεων. Το συμβάν μπορεί να είναι αντίθετο ή πρόσθετο. Ως αντίθετο συμβάν νοείται ένα γεγονός που πρέπει απαραίτητα να συμβεί εάν δεν έχει συμβεί κάποιο γεγονός Α. Τα αντίθετα γεγονότα είναι ασύμβατα και είναι τα μόνα πιθανά. Αποτελούν μια πλήρη ομάδα εκδηλώσεων. Για παράδειγμα, εάν μια παρτίδα κατασκευασμένων αντικειμένων αποτελείται από καλά και ελαττωματικά αντικείμενα, τότε όταν αφαιρεθεί ένα είδος, μπορεί να αποδειχθεί είτε καλό - συμβάν Α είτε ελαττωματικό - γεγονός. Εξετάστε ένα παράδειγμα. Ρίχνουν ένα ζάρι (δηλαδή έναν μικρό κύβο, στις πλευρές του οποίου τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6 είναι νοκ άουτ). Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, ένας πόντος, δύο πόντοι, τρεις πόντοι κ.λπ. μπορεί να πέσουν στο πάνω μέρος του. Κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι τυχαία. Μια τέτοια δοκιμή έχει πραγματοποιηθεί. Το ζάρι πετάχτηκε 100 φορές και παρατηρήθηκε πόσες φορές συνέβη το γεγονός «6 πόντοι έπεσαν στο ζάρι». Αποδείχθηκε ότι σε αυτή τη σειρά πειραμάτων, το "έξι" έπεσε έξω 9 φορές. Ο αριθμός 9, ο οποίος δείχνει πόσες φορές συνέβη το εν λόγω συμβάν σε αυτήν τη δοκιμή, ονομάζεται συχνότητα αυτού του συμβάντος και ο λόγος της συχνότητας προς τον συνολικό αριθμό των δοκιμών, που είναι ίσος, ονομάζεται σχετική συχνότητα αυτού Εκδήλωση. Σε γενικές γραμμές, αφήστε ένα συγκεκριμένο τεστ να εκτελείται επανειλημμένα υπό τις ίδιες συνθήκες και κάθε φορά να καθορίζεται εάν το συμβάν Α που μας ενδιαφέρει έχει συμβεί ή όχι. Η πιθανότητα ενός γεγονότος συμβολίζεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα P. Τότε το πιθανότητα ενός γεγονότος Α θα συμβολίζεται: Ρ (Α). Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας: Η πιθανότητα ενός γεγονότος Α είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των περιπτώσεων m που το ευνοούν, από τον συνολικό αριθμό n των μόνων δυνατών, εξίσου δυνατών και ασυμβίβαστων περιπτώσεων, προς τον αριθμό n, δηλ. Επομένως, για να βρεθεί η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο: να ληφθούν υπόψη διάφορα αποτελέσματα δοκιμών. να βρείτε το σύνολο των μόνων δυνατών, εξίσου δυνατών και ασυμβίβαστων περιπτώσεων, να υπολογίσετε τον συνολικό αριθμό τους n, τον αριθμό των περιπτώσεων m που ευνοούν το δεδομένο γεγονός. εκτελέστε έναν υπολογισμό τύπου. Από τον τύπο προκύπτει ότι η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και μπορεί να ποικίλλει από μηδέν έως ένα, ανάλογα με την αναλογία του ευνοϊκού αριθμού περιπτώσεων από τον συνολικό αριθμό περιπτώσεων: Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα. Υπάρχουν 10 μπάλες στο κουτί. 3 από αυτά είναι κόκκινα, 2 είναι πράσινα, τα υπόλοιπα είναι λευκά. Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μπάλα να είναι κόκκινη, πράσινη ή λευκή. Η εμφάνιση των κόκκινων, πράσινων και λευκών σφαιρών αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Ας υποδηλώσουμε την εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας - γεγονός Α, την εμφάνιση μιας πράσινης - γεγονός Β, την εμφάνιση μιας λευκής - γεγονός Γ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους τύπους που γράφτηκαν παραπάνω, λαμβάνουμε: ; ; Σημειώστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός από δύο ασύμβατα συμβάντα ανά ζεύγη ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Η σχετική συχνότητα του συμβάντος Α είναι ο λόγος του αριθμού των εμπειριών που οδήγησαν στο γεγονός Α προς τον συνολικό αριθμό των εμπειριών. Η διαφορά μεταξύ της σχετικής συχνότητας και της πιθανότητας έγκειται στο γεγονός ότι η πιθανότητα υπολογίζεται χωρίς το άμεσο γινόμενο των πειραμάτων και η σχετική συχνότητα - μετά την εμπειρία. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, εάν τυχαία τραβηχτούν 5 μπάλες από το κουτί και οι 2 από αυτές είναι κόκκινες, τότε η σχετική συχνότητα εμφάνισης της κόκκινης μπάλας είναι: Όπως μπορείτε να δείτε, αυτή η τιμή δεν συμπίπτει με την βρέθηκε πιθανότητα. Με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό πειραμάτων που εκτελούνται, η σχετική συχνότητα αλλάζει ελάχιστα, κυμαινόμενη γύρω από έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός μπορεί να ληφθεί ως η πιθανότητα του συμβάντος. γεωμετρική πιθανότητα. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένος, γεγονός που περιορίζει επίσης την εφαρμογή της στην πράξη. Στην περίπτωση που υπάρχει μια δοκιμή με άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων, χρησιμοποιείται ο ορισμός της γεωμετρικής πιθανότητας - χτύπημα ενός σημείου σε μια περιοχή. Κατά τον προσδιορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας, θεωρείται ότι υπάρχει μια περιοχή N και μια μικρότερη περιοχή M σε αυτήν. Ένα σημείο ρίχνεται τυχαία στην περιοχή N (αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία στην περιοχή N είναι "ίσα" ως προς την ένα τυχαία πεταχτό σημείο εκεί). Γεγονός Α - "το ριχτό σημείο χτυπά την περιοχή Μ". Η περιοχή M ονομάζεται ευνοϊκή για το γεγονός Α. Η πιθανότητα να μπει σε οποιοδήποτε μέρος της περιοχής N είναι ανάλογη με το μέτρο αυτού του τμήματος και δεν εξαρτάται από τη θέση και το σχήμα του. Η περιοχή που καλύπτεται από τη γεωμετρική πιθανότητα μπορεί να είναι: ένα τμήμα (το μέτρο είναι το μήκος) ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο (το μέτρο είναι το εμβαδόν) ένα γεωμετρικό σώμα στο χώρο (το μέτρο είναι ο όγκος) Ας ορίσουμε τη γεωμετρική πιθανότητα για η περίπτωση μιας επίπεδης φιγούρας. Έστω η περιοχή M μέρος της περιοχής N. Το συμβάν Α συνίσταται στο χτύπημα ενός τυχαίως πεταχθέντος σημείου στην περιοχή N στην περιοχή M. Η γεωμετρική πιθανότητα του γεγονότος Α είναι ο λόγος του εμβαδού του περιοχή M στην περιοχή της περιοχής N: Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να χτυπήσει ένα τυχαία σημείο στο όριο της περιοχής θεωρείται ίση με μηδέν. Εξετάστε ένα παράδειγμα: Ένα μηχανικό ρολόι με καντράν δώδεκα η ώρα έσπασε και σταμάτησε να λειτουργεί. Βρείτε την πιθανότητα ο ωροδείκτης να είναι παγωμένος στις 5 η ώρα αλλά όχι στις 8. Απόφαση. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι άπειρος, εφαρμόζουμε τον ορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας. Ο τομέας μεταξύ 5 και 8 η ώρα είναι μέρος της περιοχής ολόκληρου του καντράν, επομένως, . Πράξεις σε γεγονότα: Τα συμβάντα Α και Β ονομάζονται ίσα εάν η εμφάνιση του γεγονότος Α συνεπάγεται την εμφάνιση του γεγονότος Β και αντίστροφα. Μια ένωση ή άθροισμα γεγονότων είναι ένα γεγονός Α, που σημαίνει την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα. Α = Τομή ή γινόμενο γεγονότων ονομάζεται γεγονός Α, το οποίο συνίσταται στην υλοποίηση όλων των γεγονότων. Α=; Η διαφορά μεταξύ των γεγονότων Α και Β ονομάζεται συμβάν Γ, που σημαίνει ότι το συμβάν Α συμβαίνει, αλλά το γεγονός Β δεν συμβαίνει. 4; 6 ή 3 πόντοι» A B - «6 πόντοι κυκλοφόρησαν» A - B - «2 και 4 πόντοι κυκλοφόρησαν» Ένα πρόσθετο συμβάν στο γεγονός Α είναι ένα γεγονός που σημαίνει ότι το συμβάν Α δεν συμβαίνει. Τα στοιχειώδη αποτελέσματα της εμπειρίας είναι εκείνα τα αποτελέσματα της εμπειρίας που αποκλείουν αμοιβαία το ένα το άλλο και ως αποτέλεσμα της εμπειρίας συμβαίνει ένα από αυτά τα γεγονότα, και ανεξάρτητα από το τι είναι το γεγονός Α, μπορεί να κριθεί από το στοιχειώδες αποτέλεσμα ότι αυτό το γεγονός συμβαίνει ή συμβαίνει δεν συμβαίνουν. Το σύνολο όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεται χώρος των στοιχειωδών γεγονότων. Ιδιότητες πιθανοτήτων: Ιδιότητα 1. Εάν όλες οι περιπτώσεις είναι ευνοϊκές για ένα δεδομένο γεγονός Α, τότε αυτό το γεγονός σίγουρα θα συμβεί. Επομένως, το συμβάν που εξετάζουμε είναι βέβαιο και η πιθανότητα εμφάνισής του, αφού σε αυτήν την περίπτωση Ιδιότητα 2. Εάν δεν υπάρχει ούτε μία περίπτωση ευνοϊκή για αυτό το γεγονός Α, τότε αυτό το συμβάν δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος. Επομένως, το εξεταζόμενο γεγονός είναι αδύνατο, και η πιθανότητα εμφάνισής του, αφού στην περίπτωση αυτή m=0: Ιδιότητα 3. Η πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με ένα. Ιδιότητα 4. Η πιθανότητα εμφάνισης του αντίθετου γεγονότος προσδιορίζεται με τον ίδιο τρόπο με την πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α: όπου (n-m) είναι ο αριθμός των περιπτώσεων που ευνοούν την εμφάνιση του αντίθετου γεγονότος. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο συμβάν είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του ενός και της πιθανότητας να συμβεί το γεγονός Α: Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων. Το γεγονός Α λέγεται ειδική περίπτωση του γεγονότος Β αν, όταν συμβαίνει το Α, συμβαίνει και το Β. Το γεγονός ότι το Α είναι ειδική περίπτωση του Β, γράφουμε Α;Β. Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ίσα αν το καθένα από αυτά αποτελεί ειδική περίπτωση του άλλου. Γράφουμε την ισότητα των γεγονότων Α και Β ως Α \u003d Β. Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός Α + Β, το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα: Α ή Β. Θεώρημα πρόσθεσης πιθανοτήτων 1. Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. P=P+P και μόνο όταν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα: Α και Β ταυτόχρονα. Τα τυχαία γεγονότα Α και Β ονομάζονται κοινά εάν και τα δύο αυτά συμβάντα μπορούν να συμβούν κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής. Το θεώρημα πρόσθεσης 2. Η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων υπολογίζεται με τον τύπο P=P+P-P Παραδείγματα εργασιών για το θεώρημα πρόσθεσης. Στην εξέταση της γεωμετρίας, ο μαθητής λαμβάνει μία ερώτηση από τη λίστα των ερωτήσεων εξέτασης. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση με εγγεγραμμένο κύκλο είναι 0,2. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση παραλληλογράμμου είναι 0,15. Δεν υπάρχουν ερωτήσεις που να σχετίζονται με αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να λάβει μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα στην εξέταση. Απόφαση. Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 0,2 + 0,15 = 0,35. Απάντηση: 0,35. Δύο πανομοιότυπα μηχανήματα αυτόματης πώλησης πωλούν καφέ στο εμπορικό κέντρο. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να τελειώσουν και οι δύο μηχανές από καφέ είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας θα έχει μείνει καφές και στους δύο αυτόματους πωλητές. Απόφαση. Σκεφτείτε τα γεγονότα Α - "ο καφές θα τελειώσει στην πρώτη μηχανή", Β - "ο καφές θα τελειώσει στη δεύτερη μηχανή". Τότε Α Β - "ο καφές θα τελειώνει και στους δύο αυτόματους πωλητές", Α + Β - "ο καφές θα τελειώνει σε τουλάχιστον έναν αυτόματο πωλητή". Με συνθήκη P(A) = P(B) = 0,3; Ρ(Α Β) = 0,12. Τα γεγονότα Α και Β είναι κοινά, η πιθανότητα του αθροίσματος δύο κοινών γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα του γινομένου τους: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A B) = 0,3 + 0,3; 0,12 = 0,48. Επομένως, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, που συνίσταται στο ότι ο καφές παραμένει και στις δύο μηχανές, είναι ίση με 1; 0,48 = 0,52. Απάντηση: 0,52. Τα γεγονότα των γεγονότων Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα εμφάνισης του άλλου. Το συμβάν Α λέγεται ότι εξαρτάται από το γεγονός Β εάν η πιθανότητα του συμβάντος Α αλλάζει ανάλογα με το αν συνέβη ή όχι το συμβάν Β. Η υπό όρους πιθανότητα P(A|B) ενός γεγονότος Α είναι η πιθανότητα που υπολογίζεται υποθέτοντας ότι έχει συμβεί το γεγονός Β. Ομοίως, το P(B|A) υποδηλώνει την υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος Β, υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το Α. Για ανεξάρτητα γεγονότα, εξ ορισμού, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Θεώρημα πολλαπλασιασμού για εξαρτημένα γεγονότα Η πιθανότητα γινομένου εξαρτημένων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Απάντηση: 0,0296.

Το 2003, ελήφθη απόφαση να συμπεριληφθούν στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών ενός σχολείου γενικής εκπαίδευσης (διδακτική επιστολή αριθ. 03-93in / 13-03 της 23ης Σεπτεμβρίου 2003 του Υπουργείου Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας «Σχετικά με την εισαγωγή στοιχείων συνδυαστικής, στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων στο περιεχόμενο της μαθηματικής εκπαίδευσης δημοτικού σχολείου», «Τα μαθηματικά στο σχολείο», αρ. 9, 2003). Μέχρι εκείνη τη στιγμή, στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων υπήρχαν με διάφορες μορφές σε γνωστά σχολικά εγχειρίδια άλγεβρας για διαφορετικές τάξεις για περισσότερα από δέκα χρόνια (για παράδειγμα, I.F. "Algebra: Textbooks for class 7-9 of Educational Institution" έκδοση G.V. Dorofeev; " Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδια για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων "G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova"), και με τη μορφή ξεχωριστών διδακτικών βοηθημάτων. Ωστόσο, η παρουσίαση του υλικού για τη θεωρία των πιθανοτήτων σε αυτά, κατά κανόνα, δεν ήταν συστηματικής φύσης και οι εκπαιδευτικοί, τις περισσότερες φορές, δεν αναφέρονταν σε αυτές τις ενότητες, δεν τις συμπεριέλαβαν στο πρόγραμμα σπουδών. Το έγγραφο που εγκρίθηκε από το Υπουργείο Παιδείας το 2003 προέβλεπε τη σταδιακή, σταδιακή ένταξη αυτών των τμημάτων στα σχολικά μαθήματα, δίνοντας τη δυνατότητα στη διδακτική κοινότητα να προετοιμαστεί για τις αντίστοιχες αλλαγές. Το 2004-2008 Ένας αριθμός εγχειριδίων δημοσιεύεται για να συμπληρώσει τα υπάρχοντα εγχειρίδια άλγεβρας. Αυτές είναι οι δημοσιεύσεις των Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. «Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική: Οδηγός δασκάλου», Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Άλγεβρα: στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων: σχολικό βιβλίο. Επίδομα για μαθητές 7-9 κελιά. γενική εκπαίδευση ιδρύματα», Tkacheva M.V., Fedorova N.E. «Στοιχεία στατιστικής και πιθανότητας: Proc. Επίδομα για 7-9 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα." Διατίθενται επίσης διδακτικά βοηθήματα για να βοηθήσουν τους δασκάλους. Εδώ και πολλά χρόνια, όλα αυτά τα διδακτικά βοηθήματα έχουν δοκιμαστεί στα σχολεία. Σε συνθήκες όπου η μεταβατική περίοδος εισαγωγής στα σχολικά προγράμματα έχει τελειώσει και τμήματα της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων έχουν πάρει τη θέση τους στα προγράμματα σπουδών των τάξεων 7-9, ανάλυση και κατανόηση της συνέπειας των κύριων ορισμών και ονομασιών που χρησιμοποιούνται σε αυτά τα σχολικά βιβλία απαιτείται. Όλα αυτά τα εγχειρίδια δημιουργήθηκαν ελλείψει παραδόσεων διδασκαλίας αυτών των τμημάτων των μαθηματικών στο σχολείο. Αυτή η απουσία, συνειδητά ή άθελά τους, προκάλεσε τους συγγραφείς των σχολικών βιβλίων να τα συγκρίνουν με τα υπάρχοντα σχολικά βιβλία για τα πανεπιστήμια. Το τελευταίο, ανάλογα με τις καθιερωμένες παραδόσεις σε επιμέρους ειδικότητες της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, επέτρεπε συχνά σημαντικές ορολογικές ασυνέπειες και διαφορές στους χαρακτηρισμούς βασικών εννοιών και τύπων. Η ανάλυση του περιεχομένου των παραπάνω σχολικών εγχειριδίων δείχνει ότι σήμερα έχουν κληρονομήσει αυτά τα χαρακτηριστικά από τα σχολικά βιβλία της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Με μεγαλύτερη ακρίβεια, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η επιλογή συγκεκριμένου εκπαιδευτικού υλικού για νέα τμήματα μαθηματικών για το σχολείο, σχετικά με την έννοια του «τυχαίου», γίνεται αυτή τη στιγμή με τον πιο τυχαίο τρόπο, μέχρι ονόματα και σημειώσεις. Ως εκ τούτου, οι ομάδες συγγραφέων κορυφαίων σχολικών εγχειριδίων για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική αποφάσισαν να ενώσουν τις προσπάθειές τους υπό την αιγίδα του Ινστιτούτου Ανοιχτής Εκπαίδευσης της Μόσχας για να αναπτύξουν συμφωνημένες θέσεις σχετικά με την ενοποίηση των κύριων ορισμών και σημειώσεων που χρησιμοποιούνται στα σχολικά εγχειρίδια για τη θεωρία πιθανοτήτων. και στατιστικές. Ας αναλύσουμε την εισαγωγή του θέματος «Θεωρία Πιθανοτήτων» στα σχολικά εγχειρίδια. Γενικά χαρακτηριστικά: Το περιεχόμενο της διδασκαλίας του θέματος «Στοιχεία της Θεωρίας των Πιθανοτήτων», που επισημαίνεται στο «Πρόγραμμα Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων. Μαθηματικά», διασφαλίζει την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων των μαθητών, τον προσανατολισμό σε επαγγέλματα που σχετίζονται σημαντικά με τα μαθηματικά. και προετοιμασία για σπουδές σε πανεπιστήμιο. Η ιδιαιτερότητα του μαθηματικού περιεχομένου του υπό εξέταση θέματος καθιστά δυνατή τη συγκεκριμενοποίηση του καθορισμένου κύριου έργου της σε βάθος μελέτης των μαθηματικών ως εξής. 1. Συνέχιση της αποκάλυψης του περιεχομένου των μαθηματικών ως απαγωγικό σύστημα γνώσης. - να δημιουργήσει ένα σύστημα ορισμών βασικών εννοιών. - να εντοπίσει πρόσθετες ιδιότητες των εισαγόμενων εννοιών. - να δημιουργήσει συνδέσεις μεταξύ των εννοιών που εισήχθησαν και προηγουμένως μελετήθηκαν. 2. Συστηματοποίηση ορισμένων πιθανολογικών τρόπων επίλυσης προβλημάτων. αποκαλύπτουν τη λειτουργική σύνθεση της αναζήτησης λύσεων σε προβλήματα ορισμένων τύπων. 3. Να δημιουργήσει συνθήκες ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν και να κατανοήσουν την κύρια ιδέα της πρακτικής σημασίας της θεωρίας πιθανοτήτων αναλύοντας τα κύρια θεωρητικά γεγονότα. Να αποκαλύψει τις πρακτικές εφαρμογές της θεωρίας που μελετάται σε αυτό το θέμα. Η επίτευξη των τεθέντων εκπαιδευτικών στόχων θα διευκολυνθεί με την επίλυση των παρακάτω εργασιών: 1. Να σχηματίσει μια ιδέα για τους διάφορους τρόπους προσδιορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος (στατιστική, κλασική, γεωμετρική, αξιωματική) 2. Να διαμορφώσει γνώση των βασικών πράξεων σε συμβάντα και την ικανότητα εφαρμογής τους για την περιγραφή κάποιων γεγονότων μέσω άλλων. 3. Να αποκαλύψει την ουσία της θεωρίας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. καθορίζουν τα όρια χρήσης αυτών των θεωρημάτων. Δείξτε τις εφαρμογές τους για την παραγωγή τύπων πλήρους πιθανότητας. 4. Προσδιορίστε αλγόριθμους για την εύρεση των πιθανοτήτων γεγονότων α) σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. β) για τη θεωρία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. γ) σύμφωνα με τον τύπο 0,99 + 0,98P(A|Bn) Εξετάστε ένα παράδειγμα: Μια αυτόματη γραμμή παράγει μπαταρίες. Η πιθανότητα μια τελική μπαταρία να είναι ελαττωματική είναι 0,02. Πριν από τη συσκευασία, κάθε μπαταρία περνά από ένα σύστημα ελέγχου. Η πιθανότητα το σύστημα να απορρίψει μια κακή μπαταρία είναι 0,99. Η πιθανότητα το σύστημα να απορρίψει κατά λάθος μια καλή μπαταρία είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα να απορριφθεί μια τυχαία επιλεγμένη μπαταρία. Απόφαση. Η κατάσταση στην οποία η μπαταρία θα απορριφθεί μπορεί να προκύψει ως αποτέλεσμα των ακόλουθων γεγονότων: A - "η μπαταρία είναι πραγματικά ελαττωματική και αρκετά απορριπτόμενη" ή B - "η μπαταρία είναι καλή, αλλά απορρίφθηκε κατά λάθος". Αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Έχουμε: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1 ) + P(B2) της πιθανότητας ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, με την προϋπόθεση ότι συνέβη το πρώτο: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P( Β) P(A| B) (ανάλογα με το ποιο γεγονός συνέβη πρώτο). Συνέπειες από το θεώρημα: Θεώρημα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα. Η πιθανότητα ενός γινομένου ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: P(A B) = P(A) P(B) Εάν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε τα ζεύγη είναι επίσης ανεξάρτητα: (;), (; Β), (Α;). Παραδείγματα εργασιών για το θεώρημα του πολλαπλασιασμού: Αν ο γκρανμάστερ Α. παίζει λευκό, τότε κερδίζει τον γκρανμάστερ Β. με πιθανότητα 0,52. Αν ο Α. παίξει μαύρο, τότε ο Α. κερδίζει τον Β. με πιθανότητα 0,3. Οι Grandmaster A. και B. παίζουν δύο παιχνίδια και στο δεύτερο παιχνίδι αλλάζουν το χρώμα των κομματιών. Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α. και τις δύο φορές. Απόφαση. Οι πιθανότητες να κερδίσετε το πρώτο και το δεύτερο παιχνίδι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η πιθανότητα του γινόμενου ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: 0,52 0,3 = 0,156. Απάντηση: 0,156. Το κατάστημα διαθέτει δύο μηχανήματα πληρωμής. Κάθε ένα από αυτά μπορεί να είναι ελαττωματικό με πιθανότητα 0,05, ανεξάρτητα από το άλλο αυτόματο. Βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι επισκευάσιμο. Απόφαση. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα δύο αυτόματα είναι ελαττωματικά. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα του γινομένου τους είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 0,05 0,05 = 0,0025. Ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι επισκευήσιμο είναι το αντίθετο. Επομένως, η πιθανότητα του είναι 1; 0,0025 = 0,9975. Απάντηση: 0,9975. Τύπος συνολικής πιθανότητας Η συνέπεια των θεωρημάτων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων είναι ο τύπος της συνολικής πιθανότητας: Πιθανότητα P(A) του γεγονότος Α, η οποία μπορεί να συμβεί μόνο εάν ένα από τα γεγονότα (υποθέσεις) B1, B2, B3 ... Το Bn εμφανίζεται, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη, ισούται με το άθροισμα των γινομένων των πιθανοτήτων καθενός από τα γεγονότα (υποθέσεις) B1, B2, B3, ..., Bn και τις αντίστοιχες υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α: Ρ(Α) = Ρ(Β1) της συνολικής πιθανότητας. 5. Σχηματίστε μια συνταγή που σας επιτρέπει να επιλέξετε ορθολογικά έναν από τους αλγόριθμους κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Οι επιλεγμένοι εκπαιδευτικοί στόχοι για τη μελέτη των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων θα συμπληρωθούν με τον καθορισμό αναπτυξιακών και εκπαιδευτικών στόχων. Ανάπτυξη στόχων: να σχηματίσουν στους μαθητές σταθερό ενδιαφέρον για το θέμα, να εντοπίσουν και να αναπτύξουν μαθηματικές ικανότητες. στη διαδικασία της εκμάθησης για την ανάπτυξη του λόγου, της σκέψης, των συναισθηματικών-βουλητικών και συγκεκριμένων-κινητικών περιοχών. ανεξάρτητη εύρεση νέων τρόπων επίλυσης προβλημάτων και εργασιών από τους μαθητές. εφαρμογή της γνώσης σε νέες καταστάσεις και συνθήκες· να αναπτύξουν την ικανότητα να εξηγούν γεγονότα, συνδέσεις μεταξύ φαινομένων, να μετατρέπουν υλικό από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη (λεκτική, συμβολική, γραφική). να διδάξει να καταδείξει τη σωστή εφαρμογή των μεθόδων, να δει τη λογική του συλλογισμού, την ομοιότητα και τη διαφορά των φαινομένων. Εκπαιδευτικοί στόχοι: να σχηματίσουν στους μαθητές ηθικές και αισθητικές ιδέες, ένα σύστημα απόψεων για τον κόσμο, την ικανότητα να ακολουθούν τους κανόνες συμπεριφοράς στην κοινωνία. να διαμορφώσει τις ανάγκες του ατόμου, τα κίνητρα της κοινωνικής συμπεριφοράς, τις δραστηριότητες, τις αξίες και τους προσανατολισμούς αξίας. να εκπαιδεύσει ένα άτομο ικανό για αυτομόρφωση και αυτομόρφωση. Ας αναλύσουμε το εγχειρίδιο για την άλγεβρα για την τάξη 9 "Άλγεβρα: στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων" Makarychev Yu.N. Αυτό το εγχειρίδιο προορίζεται για μαθητές των τάξεων 7-9, συμπληρώνει τα σχολικά βιβλία: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", επιμέλεια Telyakovsky S.A. Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερις παραγράφους. Κάθε παράγραφος περιέχει θεωρητικές πληροφορίες και σχετικές ασκήσεις. Στο τέλος της παραγράφου δίνονται ασκήσεις για επανάληψη. Για κάθε παράγραφο δίνονται επιπλέον ασκήσεις υψηλότερου επιπέδου πολυπλοκότητας σε σύγκριση με τις κύριες ασκήσεις. Σύμφωνα με το «Πρόγραμμα Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων», διατίθενται 15 ώρες για τη μελέτη του θέματος «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας. Η ύλη για αυτό το θέμα ανήκει στην 9η τάξη και παρουσιάζεται στις ακόλουθες παραγράφους: §3 «Στοιχεία συνδυαστικής» περιέχει 4 σημεία: Παραδείγματα συνδυαστικών προβλημάτων. Απλά παραδείγματα καταδεικνύουν τη λύση συνδυαστικών προβλημάτων με απαρίθμηση πιθανών επιλογών. Αυτή η μέθοδος απεικονίζεται με τη δημιουργία ενός δέντρου πιθανών επιλογών. Λαμβάνεται υπόψη ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Μεταθέσεις. Εισάγεται η ίδια η έννοια και ο τύπος για την καταμέτρηση των μεταθέσεων. Διαμονή. Η έννοια εισάγεται σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εξάγεται ο τύπος για τον αριθμό των τοποθετήσεων. Συνδυασμοί. Η έννοια και ο τύπος του αριθμού των συνδυασμών. Ο σκοπός αυτής της ενότητας είναι να δώσει στους μαθητές διαφορετικούς τρόπους περιγραφής όλων των πιθανών στοιχειωδών γεγονότων σε διαφορετικούς τύπους τυχαίας εμπειρίας. §4 «Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων». Η παρουσίαση του υλικού ξεκινά με την εξέταση του πειράματος, μετά το οποίο εισάγονται οι έννοιες του «τυχαίου συμβάντος» και «σχετικής συχνότητας ενός τυχαίου συμβάντος». Εισάγεται ένας στατιστικός και κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Η παράγραφος τελειώνει με το σημείο «πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων». Εξετάζονται τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, εισάγονται οι σχετικές έννοιες των ασυμβίβαστων, αντίθετων, ανεξάρτητων γεγονότων. Αυτό το υλικό έχει σχεδιαστεί για μαθητές με ενδιαφέρον και ικανότητα για τα μαθηματικά και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ατομική εργασία ή σε εξωσχολικές δραστηριότητες με μαθητές. Μεθοδολογικές συστάσεις για αυτό το εγχειρίδιο δίνονται σε διάφορα άρθρα των Makarychev και Mindyuk ("Στοιχεία συνδυαστικής στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας", "Εισαγωγικές πληροφορίες από τη θεωρία πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας"). Και επίσης ορισμένες κριτικές παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το σεμινάριο περιέχονται στο άρθρο των Studenetskaya και Fadeeva, οι οποίες θα βοηθήσουν στην αποφυγή λαθών κατά την εργασία με αυτό το εγχειρίδιο. Σκοπός: μετάβαση από την ποιοτική περιγραφή των γεγονότων σε μια μαθηματική περιγραφή. Το θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων" στα σχολικά βιβλία των Mordkovich A.G., Semenov P.V. για τις τάξεις 9-11. Αυτή τη στιγμή, ένα από τα υπάρχοντα σχολικά βιβλία είναι το εγχειρίδιο Mordkovich A.G., Semenov P.V. «Γεγονότα, πιθανότητες, στατιστική επεξεργασία δεδομένων», έχει και επιπλέον κεφάλαια για τις τάξεις 7-9. Ας το αναλύσουμε. Σύμφωνα με το Πρόγραμμα Εργασίας Άλγεβρα, διατίθενται 20 ώρες για τη μελέτη του θέματος «Στοιχεία Συνδυαστικής, Στατιστικής και Θεωρίας Πιθανοτήτων». Υλικό για το θέμα «Θεωρία Πιθανοτήτων» αποκαλύπτεται στις ακόλουθες παραγράφους: § 1. Τα απλούστερα συνδυαστικά προβλήματα. Κανόνας πολλαπλασιασμού και δέντρο παραλλαγών. Μεταθέσεις. Ξεκινά με ένα απλό συνδυαστικό πρόβλημα και στη συνέχεια εξετάζει έναν πίνακα πιθανών επιλογών, ο οποίος δείχνει την αρχή του κανόνα πολλαπλασιασμού. Στη συνέχεια εξετάζονται δέντρα πιθανών παραλλαγών και μεταθέσεων. Μετά τη θεωρητική ύλη ακολουθούν ασκήσεις για κάθε ένα από τα υποκατηγορία. § 2. Επιλογή πολλών στοιχείων. Συνδυασμοί. Αρχικά, εμφανίζεται ο τύπος για 2 στοιχεία, μετά για τρία και μετά ο γενικός για n στοιχεία. § 3. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους. Εισάγεται ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Το πλεονέκτημα αυτού του εγχειριδίου είναι ότι είναι ένα από τα λίγα που περιέχει παραγράφους που ασχολούνται με πίνακες και δέντρα επιλογών. Αυτά τα σημεία είναι απαραίτητα γιατί είναι πίνακες και δέντρα επιλογών που διδάσκουν στους μαθητές την παρουσίαση και την αρχική ανάλυση των δεδομένων. Επίσης σε αυτό το εγχειρίδιο, ο τύπος συνδυασμού εισάγεται με επιτυχία πρώτα για δύο στοιχεία, μετά για τρία και γενικεύεται για n στοιχεία. Από πλευράς συνδυαστικής, το υλικό παρουσιάζεται εξίσου επιτυχημένα. Κάθε παράγραφος περιέχει ασκήσεις, οι οποίες σας επιτρέπουν να εμπεδώσετε το υλικό. Σχόλια σε αυτό το σεμινάριο περιέχονται στο άρθρο των Studenetskaya και Fadeeva. Στον βαθμό 10, δίνονται τρεις παράγραφοι για αυτό το θέμα. Στο πρώτο από αυτά «Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Μεταθέσεις και παραγοντικά», εκτός από τον ίδιο τον κανόνα πολλαπλασιασμού, η κύρια έμφαση δόθηκε στην εξαγωγή δύο βασικών συνδυαστικών ταυτοτήτων από αυτόν τον κανόνα: για τον αριθμό των μεταθέσεων και για τον αριθμό των πιθανών υποσυνόλων ενός συνόλου που αποτελείται από n στοιχεία. Ταυτόχρονα, τα παραγοντικά εισήχθησαν ως ένας βολικός τρόπος για να συντομεύσουν την απάντηση σε πολλά συγκεκριμένα συνδυαστικά προβλήματα πριν από την ίδια την έννοια της «μετάθεσης». Στη δεύτερη παράγραφο της τάξης 10 «Επιλογή πολλαπλών στοιχείων. Διωνυμικοί συντελεστές» θεωρούνται κλασικά συνδυαστικά προβλήματα που σχετίζονται με την ταυτόχρονη (ή διαδοχική) επιλογή πολλών στοιχείων από ένα δεδομένο πεπερασμένο σύνολο. Το πιο σημαντικό και πραγματικά νέο για το ρωσικό σχολείο γενικής εκπαίδευσης ήταν η τελευταία παράγραφος "Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους". Εξέτασε το κλασικό σχήμα πιθανοτήτων, ανέλυσε τους τύπους P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() και πώς να τα χρησιμοποιήσετε. Η παράγραφος τελείωσε με μια μετάβαση σε ανεξάρτητες επαναλήψεις του τεστ με δύο αποτελέσματα. Αυτό είναι το πιο σημαντικό πιθανοτικό μοντέλο από πρακτικής άποψης (δοκιμές Bernoulli), το οποίο έχει σημαντικό αριθμό εφαρμογών. Το τελευταίο υλικό αποτέλεσε μια μετάβαση μεταξύ του περιεχομένου του εκπαιδευτικού υλικού στις τάξεις 10 και 11. Στην 11η τάξη το θέμα «Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων» είναι αφιερωμένο σε δύο παραγράφους του σχολικού βιβλίου και στο βιβλίο προβλημάτων. Η § 22 ασχολείται με τις γεωμετρικές πιθανότητες, η § 23 επαναλαμβάνει και επεκτείνει τη γνώση σχετικά με τις ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιμών με δύο αποτελέσματα.

Γεγονότα που συμβαίνουν στην πραγματικότητα ή στη φαντασία μας μπορούν να χωριστούν σε 3 ομάδες. Αυτά είναι ορισμένα γεγονότα που είναι βέβαιο ότι θα συμβούν, αδύνατα γεγονότα και τυχαία γεγονότα. Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά τυχαία γεγονότα, δηλ. γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι. Αυτό το άρθρο θα παρουσιαστεί στο περίληψητύποι θεωρίας πιθανοτήτων και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων, που θα είναι στην 4η εργασία της ΧΡΗΣΗΣ στα μαθηματικά (επίπεδο προφίλ).

Γιατί χρειαζόμαστε τη θεωρία των πιθανοτήτων

Ιστορικά, η ανάγκη μελέτης αυτών των προβλημάτων προέκυψε τον 17ο αιώνα σε σχέση με την ανάπτυξη και την επαγγελματοποίηση του ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑκαι την έλευση του καζίνο. Ήταν ένα πραγματικό φαινόμενο που απαιτούσε τη μελέτη και την έρευνά του.

Τα χαρτιά, τα ζάρια, η ρουλέτα δημιούργησαν καταστάσεις όπου θα μπορούσε να συμβεί οποιοδήποτε από έναν πεπερασμένο αριθμό εξίσου πιθανών γεγονότων. Υπήρχε ανάγκη να δοθούν αριθμητικές εκτιμήσεις για την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος.

Τον 20ο αιώνα, αποδείχθηκε ότι αυτή η φαινομενικά επιπόλαιη επιστήμη παίζει σημαντικός ρόλοςστη γνώση των θεμελιωδών διεργασιών που συμβαίνουν στον μικρόκοσμο. Δημιουργήθηκε η σύγχρονη θεωρία των πιθανοτήτων.

Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων

Αντικείμενο μελέτης της θεωρίας πιθανοτήτων είναι τα γεγονότα και οι πιθανότητες τους. Εάν το συμβάν είναι πολύπλοκο, τότε μπορεί να αναλυθεί σε απλά στοιχεία, οι πιθανότητες των οποίων είναι εύκολο να βρεθούν.

Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β ονομάζεται γεγονός Γ, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι είτε το γεγονός Α είτε το γεγονός Β είτε τα γεγονότα Α και Β συνέβησαν ταυτόχρονα.

Το γινόμενο των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός Γ, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι συνέβη και το γεγονός Α και το γεγονός Β.

Τα γεγονότα Α και Β λέγονται ασύμβατα εάν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα.

Ένα γεγονός Α λέγεται ότι είναι αδύνατο αν δεν μπορεί να συμβεί. Ένα τέτοιο γεγονός υποδηλώνεται με το σύμβολο .

Ένα γεγονός Α ονομάζεται βέβαιο αν θα συμβεί σίγουρα. Ένα τέτοιο γεγονός υποδηλώνεται με το σύμβολο .

Ας εκχωρηθεί σε κάθε γεγονός Α ένας αριθμός P(A). Αυτός ο αριθμός P(A) ονομάζεται πιθανότητα του γεγονότος Α εάν ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες με μια τέτοια αντιστοιχία.

Μια σημαντική ειδική περίπτωση είναι η κατάσταση όπου υπάρχουν εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα, και αυθαίρετα από αυτά τα αποτελέσματα από τα γεγονότα Α. Στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα μπορεί να εισαχθεί με τον τύπο . Η πιθανότητα που εισάγεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται κλασική πιθανότητα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ιδιότητες 1-4 ισχύουν σε αυτή την περίπτωση.

Τα προβλήματα στη θεωρία των πιθανοτήτων, που συναντώνται στις εξετάσεις στα μαθηματικά, σχετίζονται κυρίως με την κλασική πιθανότητα. Τέτοιες εργασίες μπορεί να είναι πολύ απλές. Ιδιαίτερα απλά είναι τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων στο εκδόσεις επίδειξης. Είναι εύκολο να υπολογίσετε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, ο αριθμός όλων των αποτελεσμάτων γράφεται απευθείας στη συνθήκη.

Λαμβάνουμε την απάντηση σύμφωνα με τον τύπο.

Ένα παράδειγμα μιας εργασίας από την εξέταση στα μαθηματικά για τον προσδιορισμό της πιθανότητας

Υπάρχουν 20 πίτες στο τραπέζι - 5 με λάχανο, 7 με μήλα και 8 με ρύζι. Η Μαρίνα θέλει να πάρει μια πίτα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει το ρυζόπιτα;

Απόφαση.

Υπάρχουν 20 ισοπιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα συνολικά, δηλαδή η Μαρίνα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις 20 πίτες. Πρέπει όμως να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πάρει η Μαρίνα το ρυζομπιφτέκι, όπου το Α είναι η επιλογή του ρυζιού. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε συνολικά 8 ευνοϊκά αποτελέσματα (επιλέγοντας ρυζόπιτες) Στη συνέχεια η πιθανότητα θα καθοριστεί από τον τύπο:

Ανεξάρτητα, αντίθετα και αυθαίρετα γεγονότα

Ωστόσο, πιο σύνθετες εργασίες άρχισαν να εμφανίζονται στην ανοιχτή τράπεζα εργασιών. Επομένως, ας επιστήσουμε την προσοχή του αναγνώστη σε άλλα ερωτήματα που μελετήθηκαν στη θεωρία πιθανοτήτων.

Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η πιθανότητα καθενός από αυτά δεν εξαρτάται από το αν συνέβη το άλλο γεγονός.

Το γεγονός Β συνίσταται στο γεγονός ότι το γεγονός Α δεν συνέβη, δηλ. Το γεγονός Β είναι αντίθετο με το γεγονός Α. Η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος είναι ίση με ένα μείον την πιθανότητα του άμεσου γεγονότος, δηλ. .

Θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, τύποι

Για αυθαίρετα γεγονότα Α και Β, η πιθανότητα του αθροίσματος αυτών των γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους χωρίς την πιθανότητα κοινή εκδήλωση, δηλ. .

Για ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β, η πιθανότητα του γινομένου αυτών των γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους, δηλ. σε αυτήν την περίπτωση .

Οι 2 τελευταίες προτάσεις ονομάζονται θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων.

Το να μην μετράμε πάντα τον αριθμό των αποτελεσμάτων είναι τόσο απλό. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν συνδυαστικοί τύποι. Το πιο σημαντικό είναι να μετρήσετε τον αριθμό των γεγονότων που πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις. Μερικές φορές τέτοιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν ανεξάρτητες εργασίες.

Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 6 μαθητές σε 6 κενές θέσεις; Ο πρώτος μαθητής θα πάρει οποιαδήποτε από τις 6 θέσεις. Κάθε μία από αυτές τις επιλογές αντιστοιχεί σε 5 τρόπους τοποθέτησης του δεύτερου μαθητή. Για τον τρίτο μαθητή υπάρχουν 4 δωρεάν θέσεις, για τον τέταρτο - 3, για τον πέμπτο - 2, ο έκτος θα πάρει τη μοναδική θέση που απομένει. Για να βρείτε τον αριθμό όλων των επιλογών, πρέπει να βρείτε το προϊόν, το οποίο συμβολίζεται με το σύμβολο 6! και διάβασε «έξι παραγοντικό».

ΣΤΟ γενική περίπτωσηη απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από τον τύπο για τον αριθμό των μεταθέσεων n στοιχείων. Στην περίπτωσή μας, .

Σκεφτείτε τώρα μια άλλη περίπτωση με τους μαθητές μας. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 2 μαθητές σε 6 κενές θέσεις; Ο πρώτος μαθητής θα πάρει οποιαδήποτε από τις 6 θέσεις. Κάθε μία από αυτές τις επιλογές αντιστοιχεί σε 5 τρόπους τοποθέτησης του δεύτερου μαθητή. Για να βρείτε τον αριθμό όλων των επιλογών, πρέπει να βρείτε το προϊόν.

Στη γενική περίπτωση, η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από τον τύπο για τον αριθμό των τοποθετήσεων n στοιχείων ανά k στοιχεία

Στην περίπτωσή μας .

Και τελευταία περίπτωσηαπό αυτή τη σειρά. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξετε 3 μαθητές από τους 6; Ο πρώτος μαθητής μπορεί να επιλεγεί με 6 τρόπους, ο δεύτερος με 5 τρόπους και ο τρίτος με 4 τρόπους. Αλλά μεταξύ αυτών των επιλογών, οι ίδιοι τρεις μαθητές εμφανίζονται 6 φορές. Για να βρείτε τον αριθμό όλων των επιλογών, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή: . Στη γενική περίπτωση, η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση δίνεται από τον τύπο για τον αριθμό των συνδυασμών στοιχείων ανά στοιχεία:

Στην περίπτωσή μας .

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από τις εξετάσεις στα μαθηματικά για τον προσδιορισμό της πιθανότητας

Εργασία 1. Από τη συλλογή, εκδ. Γιασχένκο.

Υπάρχουν 30 πίτες σε ένα πιάτο: 3 με κρέας, 18 με λάχανο και 9 με κεράσια. Η Σάσα επιλέγει τυχαία μία πίτα. Βρείτε την πιθανότητα να καταλήξει με ένα κεράσι.

.

Απάντηση: 0,3.

Πρόβλημα 2. Από τη συλλογή, εφ. Γιασχένκο.

Σε κάθε παρτίδα 1000 λαμπτήρων, κατά μέσο όρο 20 ελαττωματικές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένας λαμπτήρας που επιλέγεται τυχαία από μια παρτίδα είναι καλός.

Λύση: Ο αριθμός των λαμπτήρων που μπορούν να επισκευαστούν είναι 1000-20=980. Τότε η πιθανότητα ένας λαμπτήρας που λαμβάνεται τυχαία από την παρτίδα να μπορεί να επισκευαστεί είναι:

Απάντηση: 0,98.

Η πιθανότητα ο μαθητής U. να λύσει σωστά περισσότερα από 9 προβλήματα σε ένα τεστ μαθηματικών είναι 0,67. Η πιθανότητα το U. να λύσει σωστά περισσότερα από 8 προβλήματα είναι 0,73. Βρείτε την πιθανότητα ότι το U. λύνει σωστά ακριβώς 9 προβλήματα.

Αν φανταστούμε μια αριθμητική ευθεία και σημειώσουμε πάνω της τα σημεία 8 και 9, τότε θα δούμε ότι η συνθήκη «U. λύσει σωστά ακριβώς 9 προβλήματα» περιλαμβάνεται στη συνθήκη «U. λύσει σωστά περισσότερα από 8 προβλήματα", αλλά δεν ισχύει για τη συνθήκη "W. λύσει σωστά περισσότερα από 9 προβλήματα.

Ωστόσο, η προϋπόθεση «U. λύσει σωστά περισσότερα από 9 προβλήματα» περιέχεται στη συνθήκη «U. λύσει σωστά περισσότερα από 8 προβλήματα. Έτσι, αν ορίσουμε γεγονότα: «W. λύστε σωστά ακριβώς 9 προβλήματα» - μέσω του A, «U. λύσει σωστά περισσότερα από 8 προβλήματα" - μέσω του B, "U. λύστε σωστά περισσότερα από 9 προβλήματα "μέσω του C. Τότε η λύση θα μοιάζει με αυτό:

Απάντηση: 0,06.

Στο διαγώνισμα της γεωμετρίας, ο μαθητής απαντά σε μία ερώτηση από τη λίστα ερωτήσεων των εξετάσεων. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση τριγωνομετρίας είναι 0,2. Η πιθανότητα ότι αυτή είναι μια ερώτηση Εξωτερικών Γωνιών είναι 0,15. Δεν υπάρχουν ερωτήσεις που να σχετίζονται με αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να λάβει μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα στην εξέταση.

Ας σκεφτούμε τι γεγονότα έχουμε. Μας δίνονται δύο ασύμβατα συμβάντα. Δηλαδή είτε η ερώτηση θα αφορά το θέμα «Τριγωνομετρία», είτε με το θέμα «Εξωτερικές γωνίες». Σύμφωνα με το θεώρημα πιθανοτήτων, η πιθανότητα ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων κάθε γεγονότος, πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων, δηλαδή:

Απάντηση: 0,35.

Το δωμάτιο φωτίζεται από ένα φανάρι με τρεις λάμπες. Η πιθανότητα να καεί ένας λαμπτήρας σε ένα χρόνο είναι 0,29. Βρείτε την πιθανότητα να μην καεί τουλάχιστον ένας λαμπτήρας μέσα σε ένα χρόνο.

Ας εξετάσουμε πιθανά γεγονότα. Έχουμε τρεις λαμπτήρες, καθένας από τους οποίους μπορεί να καεί ή να μην καεί ανεξάρτητα από οποιαδήποτε άλλη λάμπα. Πρόκειται για ανεξάρτητες εκδηλώσεις.

Στη συνέχεια θα υποδείξουμε τις παραλλαγές τέτοιων γεγονότων. Δεχόμαστε τη σημείωση: - η λάμπα είναι αναμμένη, - η λάμπα έχει καεί. Και αμέσως μετά υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ενός γεγονότος στο οποίο τρεις ανεξάρτητες εκδηλώσεις«καή λάμπα», «λάμπα αναμμένη», «λάμπα αναμμένη»: όπου η πιθανότητα του συμβάντος «η λάμπα αναμμένη» υπολογίζεται ως η πιθανότητα ενός γεγονότος αντίθετο από το συμβάν «σβήνει ο λαμπτήρας», και συγκεκριμένα: .

Όλα τα βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν και χωρίς εγγραφή.

ΝΕΟΣ. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Turbin A.F. Εγχειρίδιο θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικών στατιστικών. 2η έκδ. αναθεωρήθηκε Προσθήκη. 1985 640 σελ. djvu. 13,2 MB.
Το εγχειρίδιο είναι μια διευρυμένη και αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου "Handbook of Probability Theory and Mathematical Statistics" που επιμελήθηκε ο V. S. Korolyuk, που εκδόθηκε το 1978 από τον εκδοτικό οίκο Naukova Dumka. Όσον αφορά το εύρος της κάλυψης των κύριων ιδεών, μεθόδων και συγκεκριμένων αποτελεσμάτων της σύγχρονης θεωρίας πιθανοτήτων, της θεωρίας των τυχαίων διαδικασιών και εν μέρει των μαθηματικών στατιστικών, το Εγχειρίδιο είναι η μόνη δημοσίευση του είδους του.
Για επιστήμονες και μηχανικούς.

Κατεβάστε

ΝΕΟΣ. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Πιθανότητα. 1969 432 σελ. pdf. 12,6 MB.
Αυτό το βιβλίο, γραμμένο από μια ομάδα διάσημων Αμερικανών μαθηματικών και εκπαιδευτικών, είναι μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική - κλάδους των μαθηματικών που βρίσκουν πλέον όλο και μεγαλύτερη χρήση στην επιστήμη και στην πράξη. Γραμμένο σε μια ζωντανή και ζωντανή γλώσσα, περιέχει πολλά παραδείγματα για το μεγαλύτερο μέροςαπό τη σφαίρα της καθημερινότητας. Παρά το γεγονός ότι για να διαβάσετε το βιβλίο αρκεί να έχετε γνώσεις μαθηματικών στον τόμο του σχολείου, είναι μια απολύτως σωστή εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων. Διάβασα σε αυτό το βιβλίο αυτό που δεν έχω δει ποτέ σε άλλους.

. . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικά στατιστικά. 2004 460 σελίδες djvu. 6,7 MB.
Από τον εκδότη:
Εδώ είναι ένα εκτεταμένο εγχειρίδιο για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. Το παραδοσιακό υλικό συμπληρώνεται με ερωτήσεις όπως οι πιθανότητες συνδυασμών τυχαίων γεγονότων, τυχαίων περιπάτων, γραμμικούς μετασχηματισμούςτυχαία διανύσματα, αριθμητικός προσδιορισμός μη στάσιμων πιθανοτήτων καταστάσεων διακριτών διαδικασιών Markov, εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποίησης για την επίλυση προβλημάτων μαθηματικής στατιστικής, μοντέλα παλινδρόμησης. Η κύρια διαφορά μεταξύ του προτεινόμενου βιβλίου και των γνωστών εγχειριδίων και μονογραφιών για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική έγκειται στην εστίασή του στη συνεχή χρήση προσωπικού υπολογιστή κατά τη μελέτη του υλικού. Η παρουσίαση συνοδεύεται πολυάριθμα παραδείγματαεπίλυση των εξεταζόμενων προβλημάτων στο περιβάλλον των πακέτων Mathcad και STATISTICA. Το βιβλίο είναι γραμμένο με βάση την εμπειρία τριάντα και πλέον ετών των συγγραφέων στη διδασκαλία των κλάδων της θεωρίας πιθανοτήτων, της μαθηματικής στατιστικής και της θεωρίας των τυχαίων διαδικασιών για φοιτητές διαφόρων ειδικοτήτων ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Έχει πρακτικό ενδιαφέρον τόσο για φοιτητές και καθηγητές πανεπιστημίου, όσο και για όλους όσους ενδιαφέρονται για την εφαρμογή σύγχρονων πιθανοτικών-στατιστικών μεθόδων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Agekyan. Θεωρία πιθανοτήτων για αστρονόμους και φυσικούς. 260 σελίδες Μέγεθος 1,7 Mb. Το βιβλίο περιέχει υλικό με τέτοιο τρόπο ώστε να χρησιμοποιείται στην επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων από φυσικούς και αστρονόμους. Ένα χρήσιμο βιβλίο για τον υπολογισμό των λαθών.

Κατεβάστε

Ι.Ι. Μπαβρίν. Θεωρία πιθανοτήτων μαθηματικές στατιστικές. έτος 2005. 161 σελ. djv. 1,7 MB.
Οι βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής περιγράφονται σε εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία, τη γεωγραφία, την οικολογία, ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασίαΌλες οι βασικές έννοιες και διατάξεις απεικονίζονται με αναλυμένα παραδείγματα και εργασίες
Για φοιτητές Φυσικών Επιστημών παιδαγωγικά πανεπιστήμιαΜπορεί να χρησιμοποιηθεί από φοιτητές άλλων πανεπιστημίων

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Borodin A. N. Elementary Course in Probability Theory and Mathematical Statistics. 1999 224 σελ. djvu. 3,6 MB.
Το εγχειρίδιο περιέχει συστηματική παρουσίαση των κύριων ενοτήτων του στοιχειώδους μαθήματος στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική. Στις παραδοσιακές ενότητες προστέθηκε μια νέα - «Διαδικασία αναδρομικής εκτίμησης», ενόψει της ιδιαίτερης σημασίας αυτής της διαδικασίας για τις αιτήσεις. Το θεωρητικό υλικό συνοδεύεται μεγάλη ποσότηταπαραδείγματα και εργασίες από διαφορετικά γνωστικά πεδία.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Θεωρία Πιθανοτήτων. Στατιστικά μαθηματικών. έτος 2005. 296 σελ. djvu. 2,8 MB.
Το πρώτο μέρος ασχολείται με τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, χρησιμοποιώντας σχετικά απλές μαθηματικές κατασκευές, αλλά, παρόλα αυτά, η παρουσίαση βασίζεται στην αξιωματική κατασκευή που προτείνει ο Ακαδημαϊκός A. N. Kolmogorov. Το δεύτερο μέρος περιγράφει τις βασικές έννοιες της μαθηματικής στατιστικής. Εξετάζονται τα πιο συνηθισμένα προβλήματα εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων και δοκιμής στατιστικών υποθέσεων και περιγράφονται οι κύριες μέθοδοι επίλυσής τους. Κάθε δεδομένη θέση επεξηγείται με παραδείγματα. Το υλικό που παρουσιάζεται στο σύνολό του αντιστοιχεί στο κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο.
Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές και καθηγητές πανεπιστημίου, ερευνητές διαφόρων ειδικοτήτων και όσοι θέλουν να πάρουν μια πρώτη ιδέα της θεωρίας πιθανοτήτων και των μαθηματικών στατιστικών.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

V.N. Βάπνικ. Αποκατάσταση εξαρτήσεων από εμπειρικά δεδομένα. 1979 449 σελ. djvu. 6,3 MB.
Η μονογραφία είναι αφιερωμένη στο πρόβλημα της ανάκτησης εξαρτήσεων από εμπειρικά δεδομένα. Διερευνά μια μέθοδο ελαχιστοποίησης κινδύνου σε δείγματα περιορισμένου μεγέθους, σύμφωνα με την οποία, κατά την αποκατάσταση μιας λειτουργικής εξάρτησης, θα πρέπει να επιλέξετε μια συνάρτηση που ικανοποιεί έναν συγκεκριμένο συμβιβασμό μεταξύ της τιμής που χαρακτηρίζει την «πολυπλοκότητά» της και της τιμής που χαρακτηρίζει τον βαθμό την προσέγγισή του στο σύνολο των εμπειρικών δεδομένων. Εξετάζεται η εφαρμογή αυτής της μεθόδου σε τρία κύρια προβλήματα ανάκτησης εξάρτησης: το πρόβλημα της αναγνώρισης προτύπων εκμάθησης, της ανάκτησης παλινδρόμησης και της ερμηνείας των αποτελεσμάτων έμμεσων πειραμάτων. Αποδεικνύεται ότι ο περιορισμένος όγκος των εμπειρικών δεδομένων επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων αναγνώρισης προτύπων με μεγάλη διάσταση του χώρου χαρακτηριστικών, την αποκατάσταση των εξαρτήσεων παλινδρόμησης απουσία μοντέλου της επαναφερόμενης συνάρτησης και την απόκτηση σταθερών λύσεων σε λανθασμένα προβλήματα ερμηνεύοντας τα αποτελέσματα έμμεσων πειραμάτων. Δίνονται οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι για την ανάκτηση εξαρτήσεων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

ΟΛΑ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ. Volkovets, A.B. Gurinovich. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Σημειώσεις διάλεξης. 2003 84 σελ. PDF. 737 Kb.
Η περίληψη των διαλέξεων για το μάθημα "Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική" περιλαμβάνει 17 διαλέξεις για θέματα που ορίζονται από το τυπικό πρόγραμμα εργασίας για τη μελέτη αυτού του κλάδου. Σκοπός της μελέτης είναι να κατακτήσει τις βασικές μεθόδους τυπικής περιγραφής και ανάλυσης τυχαίων φαινομένων, επεξεργασίας και ανάλυσης των αποτελεσμάτων φυσικών και αριθμητικών πειραμάτων. Για τη μελέτη αυτού του κλάδου, ο μαθητής χρειάζεται τη γνώση που αποκτά κατά τη μελέτη των ενοτήτων "Σειρά", "Σύνολα και πράξεις σε αυτά", "Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός" του μαθήματος των ανώτερων μαθηματικών.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Volodin. Διαλέξεις για τη θεωρία των πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. 2004 257 σελίδες Μέγεθος 1,4 Mb. PDF. Ο Theorver δίνει έμφαση στις μεθόδους για την κατασκευή πιθανοτικών μοντέλων και την εφαρμογή αυτών των μεθόδων πραγματικές εργασίεςφυσικές επιστήμες. Στις στατιστικές, η εστίαση είναι στις μεθόδους υπολογισμού του κινδύνου συγκεκριμένων στατιστικών κανόνων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Βέντσελ, Οβτσάροφ. Η θεωρία πιθανοτήτων και οι μηχανικές εφαρμογές της. έτος 2000. 480 σελίδες djvu. 10,3 MB.
Το βιβλίο παρουσιάζει μια συστηματική παρουσίαση των θεμελίων της θεωρίας των πιθανοτήτων από την άποψη των πρακτικών εφαρμογών τους στις ειδικότητες: κυβερνητική, Εφαρμοσμένα μαθηματικά, υπολογιστές, αυτοματοποιημένα συστήματα ελέγχου, θεωρία μηχανισμών, ραδιομηχανική, θεωρία αξιοπιστίας, μεταφορές, επικοινωνίες κ.λπ. Παρά την ποικιλία των τομέων στους οποίους ανήκουν οι εφαρμογές, όλες διαποτίζονται από μια ενιαία μεθοδολογική βάση.
Για φοιτητές ανώτερων τεχνικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Μπορεί να είναι χρήσιμο για δασκάλους, μηχανικούς και επιστήμονες διαφόρων προφίλ, οι οποίοι στις πρακτικές τους δραστηριότητες αντιμετωπίζουν την ανάγκη να θέσουν και να λύσουν προβλήματα που σχετίζονται με την ανάλυση τυχαίων διαδικασιών.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Βέντσελ, Οβτσάροφ. Θεωρία Πιθανοτήτων. 1969 365 σελ. djvu. 8,3 MB.
Το βιβλίο είναι μια συλλογή εργασιών και ασκήσεων. Όλα τα προβλήματα έχουν απάντηση και τα περισσότερα έχουν λύσεις.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Φροντιστήριο. 1979 113 σελ. djvu. 1,3 MB.
Το βιβλίο που τέθηκε υπόψη του αναγνώστη είναι ένα πρακτικό βιβλίο εργασίας για το μάθημα «Θεωρία Πιθανοτήτων». Το βιβλίο προβλημάτων αποτελείται από τρία κεφάλαια, τα οποία με τη σειρά τους χωρίζονται σε παραγράφους. Στην αρχή κάθε παραγράφου δίνονται όσο το δυνατόν συνοπτικά οι κύριες θεωρητικές πληροφορίες, στη συνέχεια αναλύονται αναλυτικά χαρακτηριστικά παραδείγματα και, τέλος, προτείνονται προβλήματα για ανεξάρτητη λύση, με απαντήσεις και οδηγίες. Το βιβλίο εργασιών περιέχει επίσης κείμενα εργαστηριακές εργασίες, η εφαρμογή του οποίου θα βοηθήσει έναν φοιτητή μερικής φοίτησης να κατανοήσει καλύτερα τις βασικές έννοιες της μαθηματικής στατιστικής.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

Γκμούρμαν. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. 2003 480 σελ. DJVU. 5,8 MB.
Το βιβλίο περιέχει βασικά όλη την ύλη του προγράμματος για τη θεωρία των πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. μεγάλη προσοχήαφιερωμένο σε στατιστικές μεθόδους επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προβλήματα με τις απαντήσεις. Προορίζεται για φοιτητές και άτομα που χρησιμοποιούν πιθανολογικές και στατιστικές μεθόδους για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Κολμογκόροφ. Θεωρία Πιθανοτήτων. Μέγεθος 2,0 Mb.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Kibzun et al Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Uch. επίδομα. Βασικό μάθημα με παραδείγματα και εργασίες. Μέγεθος 1,7 Mb. djvu. 225 σελ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Μ. Κατς. Στατιστική ανεξαρτησία στη θεωρία πιθανοτήτων, ανάλυση και θεωρία αριθμών. 152 σελίδες djv. 1,3 MB.
Το βιβλίο παρουσιάζεται σε πολύ προσιτό και συναρπαστική μορφήεφαρμογή κάποιων ιδεών της θεωρίας πιθανοτήτων σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Το κύριο μέρος του βιβλίου είναι αφιερωμένο στην έννοια της στατιστικής ανεξαρτησίας.
Το βιβλίο θα είναι χρήσιμο και ενδιαφέρον για μαθητές, μαθηματικούς, φυσικούς, μηχανικούς.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Μ. Κατς. Πιθανότητες και σχετικές ερωτήσεις στη φυσική. 408 σελ. djv. 3,8 MB.
Ο συγγραφέας είναι οικείος στον σοβιετικό αναγνώστη από τη μετάφραση του έργου του «Στατιστική ανεξαρτησία στη θεωρία πιθανοτήτων, ανάλυση και θεωρία αριθμών» (IL, 1963). Του Ενα νέο βιβλίοκυρίως αφιερωμένο σε ένα από τις πιο ενδιαφέρουσες εργασίεςφυσική: να περιγράψει πώς ένα σύστημα πολύ μεγάλου αριθμού σωματιδίων (ένα αέριο σε ένα δοχείο) έρχεται σε κατάσταση ισορροπίας και να εξηγήσει πώς η μη αντιστρεψιμότητα αυτής της διαδικασίας στο χρόνο είναι συνεπής με την αντιστρεψιμότητα στο χρόνο των αρχικών εξισώσεων . Η μεγαλύτερη προσοχή δίνεται στην πιθανολογική πτυχή του προβλήματος. Θεωρούνται στατιστικά μοντέλα που μιμούνται τα κύρια χαρακτηριστικά του προβλήματος. Τα δύο πρώτα κεφάλαια έχουν επίσης ανεξάρτητο ενδιαφέρον - χρησιμοποιώντας καλά επιλεγμένα παραδείγματα, ο συγγραφέας δείχνει πώς προκύπτει η έννοια της πιθανότητας στα μαθηματικά και σωματικές εργασίεςκαι ποια αναλυτική συσκευή χρησιμοποιεί η θεωρία των πιθανοτήτων. Αυτή η έκδοση περιλαμβάνει άρθρα του Katz και άλλων συγγραφέων που σχετίζονται με τα ζητήματα που τίθενται στο βιβλίο.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Κένταλ. Στιούαρτ. Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση και χρονοσειρές. 375 σελ. DJVU. 8,2 MB.
Το βιβλίο είναι ο τελευταίος τόμος ενός τρίτομου μαθήματος στη στατιστική των M. Kendall και A. Stewart, ο πρώτος τόμος του οποίου εκδόθηκε το 1966 με τον τίτλο "Theory of distribus:" και ο δεύτερος - το 1973 με το τίτλος «Στατιστικά συμπεράσματα και συνδέσεις».
Το βιβλίο περιέχει πληροφορίες για ανάλυση διασποράς, σχεδιασμό πειραμάτων, θεωρία δειγματοληπτικές έρευνες, πολυδιάστατη ανάλυσηκαι χρονοσειρές.
Όπως και οι δύο πρώτοι τόμοι, το βιβλίο περιέχει πολλές πρακτικές συστάσεις και παραδείγματα εφαρμογής τους και η παρουσίαση συνδυάζει μια περισσότερο ή λιγότερο λεπτομερή παραγωγή των κύριων αποτελεσμάτων με μια σχετικά σύντομη απαρίθμηση. ένας μεγάλος αριθμόςπερισσότερες ιδιωτικές πληροφορίες.
Το βιβλίο θα ενδιαφέρει προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές με ειδίκευση στη μαθηματική στατιστική, καθώς και σε ένα ευρύ φάσμα επιστημόνων που ασχολούνται με τις εφαρμογές του.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Κένταλ. Στιούαρτ. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ. Τόμος 1. 590 σελίδες 10,3 Mb. 6,1 MB.
Περιεχόμενα: Κατανομές συχνοτήτων. Μέτρα θέσης και διασποράς. Στιγμές και ημιαμετάβλητα. Χαρακτηριστικές λειτουργίες. τυπικές διανομές. Λογισμός Πιθανοτήτων. Πιθανότητες και στατιστικά συμπεράσματα. Τυχαία επιλογή. τυπικά σφάλματα. Ακριβείς κατανομές δειγμάτων. Προσέγγιση κατανομών δειγμάτων. Προσέγγιση κατανομών δειγμάτων. Τακτική στατιστική. Πολυμεταβλητή κανονική κατανομή και τετραγωνικές μορφές. Κατανομές που σχετίζονται με το κανονικό.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Κένταλ. Στιούαρτ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ. Τόμος 2. 900 σελίδες djvu. 10,3 MB.
Το βιβλίο περιέχει πληροφορίες για τη θεωρία της εκτίμησης, τον έλεγχο υποθέσεων, την ανάλυση συσχέτισης, την παλινδρόμηση, τις μη παραμετρικές μεθόδους, τη διαδοχική ανάλυση.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

N.Sh. Κρέμερ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Σχολικό βιβλίο. 2η έκδ., αναθεωρημένη. Προσθήκη. 2004 575 σελ. djvu. 12,2 MB.
Αυτό δεν είναι μόνο ένα εγχειρίδιο, αλλά και ένας σύντομος οδηγός για την επίλυση προβλημάτων. Οι δηλωμένες βάσεις της θεωρίας των πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής συνοδεύονται από μεγάλο αριθμό προβλημάτων (συμπεριλαμβανομένων των οικονομικών), που δίνονται με λύσεις και για ανεξάρτητη εργασία. Παράλληλα, έμφαση δίνεται στις βασικές έννοιες του μαθήματος, στη θεωρητική και πιθανολογική σημασία και εφαρμογή τους. Δίνονται παραδείγματα χρήσης πιθανοτικών και μαθηματικών-στατιστικών μεθόδων σε προβλήματα ουράκαι μοντέλα χρηματοπιστωτικής αγοράς.
Για φοιτητές και μεταπτυχιακούς φοιτητές οικονομικών ειδικοτήτων και περιοχών, καθώς και καθηγητές πανεπιστημίων, ερευνητές και οικονομολόγους.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Kobzar A.I. Εφαρμοσμένη μαθηματική στατιστική. Για μηχανικούς και επιστήμονες. 2006 814 σελ. djvu. 7,7 MB.
Το βιβλίο συζητά τρόπους ανάλυσης των παρατηρήσεων με μεθόδους μαθηματικής στατιστικής. Σταθερά σε μια γλώσσα προσβάσιμη σε έναν ειδικό - όχι έναν μαθηματικό, σύγχρονες μεθόδουςανάλυση κατανομών πιθανοτήτων, αξιολόγηση παραμέτρων κατανομής, έλεγχος στατιστικών υποθέσεων, αξιολόγηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών, σχεδιασμός στατιστικού πειράματος. Η κύρια προσοχή δίνεται στην επεξήγηση παραδειγμάτων εφαρμογής των μεθόδων της σύγχρονης μαθηματικής στατιστικής.
Το βιβλίο απευθύνεται σε μηχανικούς, ερευνητές, οικονομολόγους, γιατρούς, μεταπτυχιακούς φοιτητές και φοιτητές που θέλουν γρήγορα, οικονομικά και σε υψηλό επίπεδο επαγγελματικό επίπεδοχρησιμοποιούν ολόκληρο το οπλοστάσιο των σύγχρονων μαθηματικών στατιστικών για να λύσουν τα εφαρμοσμένα τους προβλήματα.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

M.L. Κράσνοφ. Θεωρία Πιθανοτήτων. Σχολικό βιβλίο. έτος 2001. 296 σελ. djvu. 3,9 MB.
Κατά τη μελέτη διαφόρων φαινομένων στη φύση και την κοινωνία, ο ερευνητής έρχεται αντιμέτωπος με δύο τύπους πειραμάτων - αυτά των οποίων τα αποτελέσματα είναι αναμφισβήτητα προβλέψιμα υπό δεδομένες συνθήκες και αυτά των οποίων τα αποτελέσματα δεν μπορούν να προβλεφθούν ξεκάθαρα υπό συνθήκες που ελέγχονται από τον ερευνητή, αλλά μπορεί κανείς μόνο να κάνει υπόθεση για το φάσμα των πιθανών αποτελεσμάτων. Στην πρώτη περίπτωση, μιλάμε για ντετερμινιστικά φαινόμενα, στη δεύτερη - για φαινόμενα που φέρουν τυχαίος χαρακτήρας. Ταυτόχρονα, σημαίνουν ότι a priori (εκ των προτέρων, πριν γίνει το πείραμα ή ολοκληρωθεί η παρατήρηση του φαινομένου) στην πρώτη περίπτωση είμαστε σε θέση να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, αλλά στη δεύτερη όχι. Για ό,τι ακολουθεί, δεν είναι σημαντικό τι προκάλεσε μια τέτοια απρόβλεπτη κατάσταση - οι νόμοι της φύσης που διέπουν το υπό μελέτη φαινόμενο ή η ελλιπής πληροφόρηση σχετικά με τις διαδικασίες που προκαλούν αυτό το φαινόμενο. Σημαντική περίσταση είναι η ύπαρξη του ίδιου του γεγονότος του απρόβλεπτου. Η θεωρία των πιθανοτήτων, στα θεμέλια της οποίας είναι αφιερωμένη αυτή η ενότητα, έχει σχεδιαστεί για να επιτρέπει στον ερευνητή να περιγράψει τέτοια πειράματα και φαινόμενα και του παρέχει ένα αξιόπιστο εργαλείο για τη μελέτη της πραγματικότητας σε καταστάσεις όπου μια ντετερμινιστική περιγραφή είναι αδύνατη.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Η Ε.Λ. Kuleshov. Θεωρία Πιθανοτήτων. Διαλέξεις για φυσικούς. 2002 116 σελίδες djvu. 919 Kb.
Για τελειόφοιτους φοιτητές.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

Lazakovich, Stashulenok, Yablonsky. Μάθημα θεωρίας πιθανοτήτων. Φροντιστήριο. 2003 322 σελ. PDF. 2,9 MB.
Το εκπαιδευτικό εγχειρίδιο βασίζεται σε ετήσιος ρυθμόςδιαλέξεις που δίνονται από τους συγγραφείς επί σειρά ετών σε φοιτητές της Μηχανικής και Μαθηματικής Σχολής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Λευκορωσίας. Το βιβλίο περιέχει τις ακόλουθες ενότητες: χώροι πιθανοτήτων, ανεξαρτησία, τυχαίες μεταβλητές, αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαίες μεταβλητές, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, οριακά θεωρήματα, θεμελιώδεις αρχές της θεωρίας τυχαίων διεργασιών, στοιχεία μαθηματικών στατιστικών και εφαρμογών, που περιέχουν πίνακες με τις κύριες κατανομές πιθανοτήτων και τις τιμές ορισμένων από αυτές. Τα περισσότερα από τα κεφάλαια περιλαμβάνουν παραρτήματα, τα οποία περιέχουν υποστηρικτικό υλικό και θέματα για αυτοδιδασκαλία.
Η παρουσίαση συνοδεύεται από μεγάλο αριθμό παραδειγμάτων, ασκήσεων και προβλημάτων που επεξηγούν τις βασικές έννοιες και εξηγούν τις πιθανές εφαρμογές των αποδεδειγμένων δηλώσεων.
Για φοιτητές μαθηματικών ειδικοτήτων πανεπιστημίων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Loev M. Θεωρία Πιθανοτήτων. 1962 449 σελ. djvu. 6,2 MB.
Το βιβλίο είναι ένα εκτενές συστηματικό μάθημα στη σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων, γραμμένο σε υψηλό θεωρητικό επίπεδο. Με βάση τη θεωρία μετρήσεων, ο συγγραφέας μελετά τυχαία γεγονότα, τυχαίες μεταβλητές και τις ακολουθίες τους, συναρτήσεις κατανομής και χαρακτηριστικές συναρτήσεις, οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων και τυχαίες διαδικασίες. Η παρουσίαση συνοδεύεται από μεγάλο αριθμό εργασιών ποικίλους βαθμούςδυσκολίες.
Ένα βιβλίο για προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές - μαθηματικούς που σπουδάζουν θεωρία.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Lvovsky B.N. Στατιστικές μέθοδοι για την κατασκευή εμπειρικών τύπων: Proc. επίδομα. 2η έκδ., αναθεωρημένη. Προσθήκη. 1988 239 σελ. djvu. 2,3 MB.
Η 2η έκδοση του εγχειριδίου περιγράφει τις κύριες μεθόδους επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων. Οι μέθοδοι προκαταρκτικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων περιγράφονται λεπτομερώς. Λαμβάνονται υπόψη οι στατιστικές μέθοδοι για την κατασκευή εμπειρικών τύπων, η μέθοδος μέγιστης πιθανότητας, η μέθοδος των μέσων και η συν-ρέουσα ανάλυση. Καλύπτεται η μεθοδολογία σχεδιασμού και επεξεργασίας ενεργών πειραμάτων. Δίνονται τα βασικά της ανάλυσης διασποράς.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Yu.D. Συντάκτης Maksimov. Πιθανολογικοί κλάδοι των μαθηματικών. Σχολικό βιβλίο. έτος 2001. 581 σελ. djvu. 7,4 MB.
Ενότητες: !. Θεωρία Πιθανοτήτων. 2. Μαθηματική στατιστική. 3. Θεωρία τυχαίων διεργασιών. 4. Θεωρία της ουράς.
Εγχειρίδιο για πτυχιούχους τεχνικού λάθος.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Maksimov Yu.D. Μαθηματικά. Vshusk 9. Θεωρία Πιθανοτήτων. Αναλυτική περίληψη. Εγχειρίδιο Μονοδιάστατων Συνεχών Διανομών. 2002 98 σελίδες djv. 4,3 MB.
Το εγχειρίδιο συμμορφώνεται με το κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο και τα τρέχοντα προγράμματα του κλάδου "Μαθηματικά" για σπουδές προπτυχιακού σε όλους τους γενικούς τεχνικούς και οικονομικούς τομείς.Είναι μια λεπτομερής περίληψη διαλέξεων για τη θεωρία πιθανοτήτων, που αντιστοιχεί βασικά στη βασική περίληψη (τεύχος 7 του η σειρά βασικών περιλήψεων στα μαθηματικά που εκδόθηκε από τον εκδοτικό οίκο SPBPU). Σε αντίθεση με την περίληψη αναφοράς, εδώ υπάρχουν αποδείξεις θεωρημάτων και παραγώγων τύπων που παραλείπονται στην περίληψη αναφοράς και ένα βιβλίο αναφοράς για μονοδιάστατες συνεχείς κατανομές. Το εγχειρίδιο προορίζεται για δευτεροετείς φοιτητές γενικών τεχνικών σχολών και οικονομικών ειδικοτήτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την κατεύθυνση «Τεχνική φυσική».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

J. Neveu. Μαθηματικά θεμέλιαθεωρία πιθανοτήτων. 1969 310 σελ. djv. 3,0 MB.
Ο συγγραφέας του βιβλίου είναι γνωστός για το έργο του σχετικά με την εφαρμογή μεθόδων συναρτησιακής ανάλυσης και θεωρίας μετρήσεων σε ερωτήματα της θεωρίας πιθανοτήτων. Αριστοτεχνικά γραμμένο βιβλίο περιέχει μια συμπαγή και ταυτόχρονα πλήρη έκθεση των θεμελίων της θεωρίας των πιθανοτήτων. Περιλαμβάνεται πολλά χρήσιμες προσθήκεςκαι άσκηση.
Το βιβλίο μπορεί να χρησιμεύσει ένα καλό σχολικό βιβλίογια φοιτητές και μεταπτυχιακούς φοιτητές που θέλουν να μελετήσουν σοβαρά τη θεωρία των τυχαίων διαδικασιών και ένα εξαιρετικό βιβλίο αναφοράς για ειδικούς.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

D.T. Γραφή. Σημειώσεις διάλεξης για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. 2004 256 σελ. djvu. 1,4 MB.
Αυτό το βιβλίο είναι ένα μάθημα διαλέξεων για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. Το πρώτο μέρος του βιβλίου περιέχει τις βασικές έννοιες και θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως τυχαία γεγονότα, πιθανότητες, τυχαίες συναρτήσεις, συσχέτιση, πιθανότητα υπό όρους, ο νόμος των μεγάλων αριθμών και τα οριακά θεωρήματα. Το δεύτερο μέρος του βιβλίου είναι αφιερωμένο στη μαθηματική στατιστική, καθορίζει τα βασικά) της μεθόδου δειγματοληψίας, τη θεωρία των εκτιμήσεων και τον έλεγχο υποθέσεων. Η παρουσίαση του θεωρητικού υλικού συνοδεύεται από εξέταση μεγάλου αριθμού παραδειγμάτων και εργασιών και διεξάγεται σε προσιτή, ει δυνατόν, αυστηρή γλώσσα.
Σχεδιασμένο για φοιτητές οικονομικών και τεχνικών πανεπιστημίων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Poddubnaya O.N. Διαλέξεις για τη θεωρία των πιθανοτήτων. 2006 125 σελ. pdf. 2,0 Mb.
Ξεκάθαρα γραμμένο. Τα πλεονεκτήματα του μαθήματος, για παράδειγμα, περιλαμβάνουν το γεγονός ότι οι θεωρητικές δηλώσεις εξηγούνται με παραδείγματα.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Ροζάνοφ. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Οριακά θεωρήματα. τυχαίες διαδικασίες. 1967 498 σελ. djvu. 7,6 MB.
Το βιβλίο γράφτηκε από γνωστούς Αμερικανούς μαθηματικούς και είναι αφιερωμένο σε μια από τις σημαντικές σύγχρονες κατευθύνσεις στη θεωρία των πιθανοτήτων, η οποία δεν αντικατοπτρίζεται επαρκώς στη βιβλιογραφία στα ρωσικά. Οι συγγραφείς στρέφονται προς ουσιαστικά αποτελέσματα, αντί για μέγιστη γενικότητα, και εξετάζουν μια σειρά από παραδείγματα και εφαρμογές. Το βιβλίο συνδυάζει με επιτυχία ένα υψηλό επιστημονικό επίπεδο παρουσίασης και, ταυτόχρονα, προσβασιμότητα για το μαθητικό κοινό.
Για ειδικούς στη θεωρία πιθανοτήτων, φυσικούς, μηχανικούς, μεταπτυχιακούς φοιτητές και φοιτητές.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Poincare A. Θεωρία Πιθανοτήτων. 1999 284 σελ. djv. 700 Kb.
Το βιβλίο είναι ένα από τα μέρη του μαθήματος των διαλέξεων του A. Poincaré. Συζητά τόσο τα γενικά θεμέλια της θεωρίας των πιθανοτήτων όσο και τα μη παραδοσιακά ζητήματα που πρακτικά δεν περιλαμβάνονται σε κανένα μάθημα. Εξετάζονται διάφορες εφαρμογές στη φυσική, τα μαθηματικά και τη μηχανική.
Το βιβλίο είναι χρήσιμο σε ένα ευρύ φάσμα αναγνωστών - φυσικούς, μαθηματικούς, ιστορικούς της επιστήμης.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Pyt'ev Yu. P. Shishmarev IA Ένα μάθημα στη θεωρία των πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική για φυσικούς. Proc. επίδομα. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας 1983. 256 σελ. djvu. 4,6 MB.
Το βιβλίο βασίζεται σε ένα εξάμηνο μάθημα διαλέξεων, διαβάζεται από τους συγγραφείςστο Τμήμα Φυσικής. Δίνεται πολύς χώρος στη θεωρία των τυχαίων διεργασιών: Markov και ακίνητη. Η παρουσίαση είναι μαθηματικά αυστηρή, αν και δεν βασίζεται στη χρήση του ολοκληρώματος Lebesgue. Το μέρος του μαθήματος που είναι αφιερωμένο στη μαθηματική στατιστική περιέχει ενότητες που επικεντρώνονται σε εφαρμογές στις εργασίες αυτοματοποίησης του σχεδιασμού, της ανάλυσης και της ερμηνείας φυσικών πειραμάτων. Παρουσιάζεται η στατιστική θεωρία του συμπλέγματος μέτρησης και υπολογισμού "όργανο + υπολογιστής", η οποία καθιστά δυνατή τη σημαντική βελτίωση των παραμέτρων του πραγματικού πειραματικού εξοπλισμού με την επεξεργασία δεδομένων σε υπολογιστή. Συμπεριλαμβανόμενα στοιχεία θεωρίας στατιστικός έλεγχοςυποθέσεις που χρησιμοποιούνται στο πρόβλημα της ερμηνείας των πειραματικών δεδομένων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

Σαβέλιεφ. στοιχειώδης θεωρίαπιθανότητες. Εγχειρίδιο, Novosibirsk State University, 2005.
Το μέρος 1 είναι αφιερωμένο στη θεωρία. Μέγεθος 660 Kb. Το μέρος 2 είναι αφιερωμένο στην ανάλυση παραδειγμάτων. Μέγεθος 810 Kb. Μέρος 3. Ολοκληρώματα Riemann και Stieltjes. 240 σελίδες djvu. 5,0 Mb. Το μέρος 3 του εγχειριδίου περιγράφει λεπτομερώς τα στοιχεία του διαφορικού και ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν στο Μέρος Ι. Συνδυασμένο υλικό από τα εγχειρίδια του συγγραφέα «Διαλέξεις για μαθηματική ανάλυση, 2.1» (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1973) και «Integration of uniformly measurable functions» (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1984). Το κύριο αντικείμενο είναι το ολοκλήρωμα Stieltjes. Ορίζεται ως μια οριοθετημένη γραμμική συνάρτηση στο χώρο των συναρτήσεων χωρίς σύνθετες ασυνέχειες, η οποία εξετάστηκε στο Μέρος 1. Το ολοκλήρωμα Stieltjes χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στη θεωρία πιθανοτήτων, αλλά και στη γεωμετρία, τη μηχανική και άλλους τομείς των μαθηματικών. Το παράρτημα στο μέρος 3 του εγχειριδίου συμπληρώνει το παράρτημα στο μέρος 2. Για πληρότητα, ορισμένες θέσεις από το μέρος 1 επαναλαμβάνονται στο μέρος 3. Το παράρτημα διατηρεί τη σελιδοποίηση και τις παραγράφους του εγχειριδίου του συγγραφέα "Διαλέξεις για τη Μαθηματική Ανάλυση".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε το μέρος 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε το μέρος 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε το μέρος 3

Savrasov Yu.S. Βέλτιστες λύσεις. Διαλέξεις για μεθόδους επεξεργασίας μετρήσεων. έτος 2000. 153 σελ. djvu. 1,1 Mb.
Εξετάζονται μέθοδοι επεξεργασίας μετρήσεων που παρέχουν την πληρέστερη εξαγωγή. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣσχετικά με τις μετρούμενες παραμέτρους ή τα παρατηρούμενα φαινόμενα. Οι μέθοδοι που παρουσιάζονται αφορούν το πεδίο της θεωρίας πιθανοτήτων, της μαθηματικής στατιστικής, της θεωρίας αποφάσεων, της θεωρίας χρησιμότητας, της θεωρίας φιλτραρίσματος για δυναμικά συστήματαμε διακριτό χρόνο. Το υλικό του βιβλίου βασίζεται σε διαλέξεις του συγγραφέα το 1994-1997. τριτοετείς φοιτητές του βασικού τμήματος «Ραδιοφυσικής» του Ινστιτούτου Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας. Στην προτεινόμενη μορφή, το βιβλίο θα είναι χρήσιμο σε μαθητές φυσικής και τεχνικών ειδικοτήτων, μηχανικοί στον τομέα των ραντάρ, της επεξεργασίας πληροφοριών και των αυτοματοποιημένων συστημάτων ελέγχου.
Πολλά παραδείγματα έχουν αναλυθεί.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. Θεωρία Πιθανοτήτων. Σχολικό βιβλίο. έτος 2009. 201 σελ. PDF. 2,1 MB.
Το εγχειρίδιο εισάγει τις βασικές έννοιες και μεθόδους της θεωρίας πιθανοτήτων. Οι μέθοδοι που δίνονται επεξηγούνται με χαρακτηριστικά παραδείγματα. Κάθε θέμα τελειώνει με μια πρακτική ενότητα για την απόκτηση δεξιοτήτων για τη χρήση μεθόδων θεωρίας πιθανοτήτων στην επίλυση στοχαστικών προβλημάτων.
Για φοιτητές πανεπιστημίου.
Παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο: το πέταγμα ενός νομίσματος είναι μια εμπειρία, το να πέφτουν τα κεφάλια ή οι ουρές είναι ένα γεγονός. τραβώντας ένα φύλλο από μια τράπουλα προτιμήσεων - εμπειρία, εμφάνιση κόκκινου ή μαύρου κοστουμιού - εκδηλώσεις. Το να δίνεις μια διάλεξη είναι εμπειρία, η παρουσία ενός μαθητή σε μια διάλεξη είναι ένα γεγονός.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Sekey. Παράδοξα θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικών στατιστικών. Μέγεθος 3,8 Mb. djv. 250 σελίδες

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Sevastyanov B.A. Μάθημα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Μαθηματικής Στατιστικής. Σχολικό βιβλίο. 1982 255 σελ. djvu. 2,8 MB.
Το βιβλίο βασίζεται σε ένα μονοετές πρόγραμμα διαλέξεων που έδωσε ο συγγραφέας επί σειρά ετών στο Τμήμα Μαθηματικών της Μηχανικής και Μαθηματικής Σχολής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Οι βασικές έννοιες και τα γεγονότα της θεωρίας πιθανοτήτων εισάγονται αρχικά για ένα πεπερασμένο σχήμα. Η μαθηματική προσδοκία ορίζεται γενικά με τον ίδιο τρόπο όπως το ολοκλήρωμα Lebesgue, αλλά ο αναγνώστης δεν αναμένεται να έχει προηγούμενη γνώση της ολοκλήρωσης Lebesgue.
Το βιβλίο περιέχει τις ακόλουθες ενότητες: ανεξάρτητα τεστ και αλυσίδες Markov, οριακά θεωρήματα Moivre - Laplace και Poisson, τυχαίες μεταβλητές, χαρακτηριστικές και γεννήτριες συναρτήσεις, νόμος μεγάλων αριθμών, κεντρικό οριακό θεώρημα, βασικές έννοιες μαθηματικής στατιστικής, έλεγχος στατιστικών υποθέσεων, στατιστικές εκτιμήσεις, διαστήματα εμπιστοσύνης .
Για προπτυχιακούς φοιτητές πανεπιστημίων και τεχνικών σχολών που σπουδάζουν θεωρία πιθανοτήτων.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

ΕΝΑ. Σομπολέφσκι. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές για φυσικούς. 2007 47 σελίδες djv. 515 Kb.
Το εγχειρίδιο περιέχει μια παρουσίαση των θεμελιωδών αρχών της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής για φοιτητές φυσικής θεωρητικής εξειδίκευσης. Μαζί με το κλασικό υλικό (σχήμα ανεξάρτητα τεστ Bernoulli, πεπερασμένο ομοιογενείς αλυσίδες Markov, διεργασίες διάχυσης), δίνεται μεγάλη προσοχή σε θέματα όπως η θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων, η έννοια της εντροπίας στην διάφορες επιλογές, σταθεροί νόμοι και φθίνουσες κατανομές πιθανοτήτων, στοχαστικός διαφορικός λογισμός. Το σχολικό εγχειρίδιο απευθύνεται σε φοιτητές που ειδικεύονται σε διάφορες ενότητες θεωρητικών και μαθηματική φυσική.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Κατεβάστε

Tarasov L. V. Μοτίβα του γύρω κόσμου. Σε 3 βιβλία. 2004 djvu.
1. Πιθανότητα, αναγκαιότητα, πιθανότητα. 384 σελίδες 6,8 Mb.
Αυτό το βιβλίοείναι μια αρκετά δημοφιλής και ταυτόχρονα αυστηρά επιστημονική αναλυτική εισαγωγή στη θεωρία πιθανοτήτων, η οποία περιλαμβάνει λεπτομερής ανάλυσητων υπό εξέταση προβλημάτων, ευρείες γενικεύσεις του φιλοσοφικού σχεδίου, παρεκβάσεις ιστορικού χαρακτήρα. Το βιβλίο έχει σαφώς καθορισμένο εκπαιδευτικό χαρακτήρα. Το υλικό του είναι αυστηρά δομημένο, χτισμένο σε τεκμηριωμένη βάση, εφοδιασμένο με μεγάλο αριθμό γραφημάτων και διαγραμμάτων. δίνεται ένας σημαντικός αριθμός πρωτότυπων προβλημάτων, μερικά από τα οποία εξετάζονται στο βιβλίο, και μερικά προσφέρονται στον αναγνώστη για ανεξάρτητη επίλυση. Το βιβλίο είναι ένα τελειωμένο έργο και ταυτόχρονα είναι το πρώτο βιβλίο του τρίτομου σετ του συγγραφέα.
2. Πιθανότητα σε σύγχρονη κοινωνία. 360 σελίδες 4,5 Mb.
Αυτό το βιβλίο καταδεικνύει τον θεμελιώδη ρόλο της θεωρίας πιθανοτήτων στη σύγχρονη κοινωνία, η οποία βασίζεται σε πολύ ανεπτυγμένη ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Το βιβλίο είναι μια αρκετά δημοφιλής και ταυτόχρονα αυστηρά επιστημονικά λεπτομερής εισαγωγή στην επιχειρησιακή έρευνα και τη θεωρία πληροφοριών. Έχει σαφώς καθορισμένο εκπαιδευτικό χαρακτήρα. Το υλικό του είναι αυστηρά δομημένο, χτισμένο σε τεκμηριωμένη βάση, εφοδιασμένο με μεγάλο αριθμό γραφημάτων και διαγραμμάτων. δίνεται ένας σημαντικός αριθμός εργασιών, μερικές από τις οποίες εξετάζονται στο βιβλίο και μερικές προσφέρονται στον αναγνώστη για ανεξάρτητη λύση.
3. 440 σελίδες 7,5 Mb. Η εξέλιξη της γνώσης των φυσικών επιστημών.
Εδώ, σε μια δημοφιλή και συστηματοποιημένη μορφή, αναλύεται η εξέλιξη των φυσικών επιστημονικών εικόνων του κόσμου: από επιστημονικά προγράμματαη αρχαιότητα στη μηχανική εικόνα, μετά στην ηλεκτρομαγνητική εικόνα και τέλος στην σύγχρονη ζωγραφική. Η μετάβαση από τις δυναμικές (άκαμπτα καθορισμένες) κανονικότητες σε στατιστικές (πιθανολογικές) κανονικότητες καταδεικνύεται καθώς βαθμιαία βαθαίνει η επιστημονική κατανόηση του περιβάλλοντος κόσμου. Η εξέλιξη των εννοιών της κβαντικής φυσικής, της φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων και της κοσμολογίας εξετάζεται με αρκετή λεπτομέρεια. Συμπερασματικά, συζητούνται οι ιδέες της αυτοοργάνωσης των ανοιχτών συστημάτων μη ισορροπίας (η εμφάνιση δομών διάχυσης).
Για ένα ευρύ φάσμα αναγνωστών, και κυρίως για μαθητές γυμνασίου (από την 9η τάξη), καθώς και για μαθητές τεχνικών σχολών και ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Η μελέτη στοιχείων στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων ξεκινά από την 7η τάξη. Η συμπερίληψη βασικών πληροφοριών από τη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων στο μάθημα της άλγεβρας έχει ως στόχο να αναπτύξει στους μαθητές τόσο σημαντικές δεξιότητες στη σύγχρονη κοινωνία όπως η κατανόηση και η ερμηνεία των αποτελεσμάτων στατιστικών μελετών, που παρουσιάζονται ευρέως στα μέσα ενημέρωσης. μέσα μαζικής ενημέρωσης. Στα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια εισάγεται η έννοια της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος με βάση εμπειρία ζωήςκαι τη διαίσθηση των μαθητών.

Θα ήθελα να σημειώσω ότι στις τάξεις 5-6, οι μαθητές θα πρέπει να έχουν ήδη μια ιδέα για τα τυχαία συμβάντα και τις πιθανότητες τους, έτσι στις τάξεις 7-9 θα ήταν δυνατό να εξοικειωθούν γρήγορα με τα βασικά της θεωρίας πιθανοτήτων, να επεκτείνουν το εύρος των πληροφορίες που τους αναφέρθηκαν.

Το εκπαιδευτικό μας ίδρυμα δοκιμάζει το πρόγραμμα " δημοτικό σχολείο 21ος αιώνας". Και ως δάσκαλος μαθηματικών, αποφάσισα να συνεχίσω να δοκιμάζω αυτό το έργο στις τάξεις 5-6. Το μάθημα υλοποιήθηκε με βάση το εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό σύνολο του M.B. Volovich «Mathematics. 5-6 τάξεις. Στο σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά. Βαθμός 6” 6 ώρες διατίθενται για τη μελέτη των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων. Εδώ δίνουμε τις πρώτες προκαταρκτικές πληροφορίες σχετικά με έννοιες όπως η δοκιμή, η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος, ορισμένα και ακατόρθωτα γεγονότα. Αλλά το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να μάθουν οι μαθητές είναι ότι με έναν μικρό αριθμό δοκιμών, είναι αδύνατο να προβλεφθεί το αποτέλεσμα ενός τυχαίου συμβάντος. Ωστόσο, εάν υπάρχουν πολλά τεστ, τότε τα αποτελέσματα γίνονται αρκετά προβλέψιμα. Για να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν μπορεί να υπολογιστεί, δίνεται ένας τύπος για τον υπολογισμό της πιθανότητας να συμβεί ένα συμβάν όταν όλα τα αποτελέσματα που εξετάζονται είναι «ίσα».

Θέμα:Η έννοια της «πιθανότητας». Τυχαία συμβάντα.

Στόχοι μαθήματος:

• να εξοικειωθεί με την έννοια "δοκιμή", "αποτέλεσμα", "τυχαίο συμβάν", "ορισμένο συμβάν", "αδύνατο συμβάν", για να δώσει μια αρχική ιδέα για το ποια είναι η "πιθανότητα ενός συμβάντος" , για να σχηματίσουν την ικανότητα υπολογισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος.
• ανάπτυξη της ικανότητας προσδιορισμού της αξιοπιστίας, της αδυναμίας των γεγονότων.
• αυξήσει την περιέργεια.

Εξοπλισμός:

1. Μ.Β. ΒόλοβιτςΜαθηματικά, Στ τάξη, Μ.: Ventana-Graf, 2006.
2. Yu.N.Makarychev, N.G.MindyukΣτοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων, Μόσχα: Εκπαίδευση, 2008.
3. Κέρμα 1 ρούβλι, ζάρια.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ι. Οργανωτική στιγμή

II. Πραγματοποίηση των γνώσεων των μαθητών

Λύστε το rebus:

(Πιθανότητα)

III. Επεξήγηση νέου υλικού

Εάν ένα νόμισμα, για παράδειγμα, ένα ρούβλι, πεταχτεί και αφεθεί να πέσει στο πάτωμα, τότε μόνο δύο αποτελέσματα είναι πιθανά: «το κέρμα έπεσε με το κεφάλι κάτω» και «το κέρμα έπεσε με την ουρά». Η περίπτωση που ένα νόμισμα πέσει στην άκρη του, κυλήσει στον τοίχο και ακουμπήσει πάνω του, είναι πολύ σπάνια και συνήθως δεν εξετάζεται.
Για μεγάλο χρονικό διάστημα στη Ρωσία έπαιζαν «πετώντας» - πετούσαν ένα νόμισμα εάν ήταν απαραίτητο για να λύσουν ένα αμφιλεγόμενο πρόβλημα που δεν είχε προφανώς δίκαιη λύση, ή έπαιζαν κάποιου είδους έπαθλο. Σε αυτές τις καταστάσεις, κατέφευγαν στην τύχη: κάποιοι σκέφτηκαν την απώλεια «κεφαλιών», άλλοι - «ουρές».
Το πέταγμα ενός νομίσματος καταφεύγεται μερικές φορές ακόμη και όταν επιλύονται πολύ σημαντικά ζητήματα.
Για παράδειγμα, ο ημιτελικός αγώνας για το Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα του 1968 μεταξύ των ομάδων της ΕΣΣΔ και της Ιταλίας έληξε ισόπαλος. Ο νικητής δεν αναδείχθηκε ούτε στην παράταση ούτε στη διαδικασία των πέναλτι. Τότε αποφασίστηκε ότι ο νικητής θα καθοριζόταν από την ευκαιρία της Αυτού Μεγαλειότητας. Πέταξαν ένα νόμισμα. Η υπόθεση ήταν ευνοϊκή για τους Ιταλούς.
Στην καθημερινή ζωή, σε πρακτικές και επιστημονικές δραστηριότητες, παρατηρούμε συχνά ορισμένα φαινόμενα, διεξάγουμε ορισμένα πειράματα.
Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια μιας παρατήρησης ή πειράματος ονομάζεται τυχαίο συμβάν.
Τα μοτίβα των τυχαίων γεγονότων μελετώνται από έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων.

Ας ξοδέψουμε εμπειρία 1:Η Petya πέταξε το νόμισμα 3 φορές. Και και τις 3 φορές ο «αετός» έπεσε έξω - το νόμισμα έπεσε με το εθνόσημο ψηλά. Μαντέψτε αν είναι δυνατόν;
Απάντηση: Ενδεχομένως. «Αετός» και «ουρές» πέφτουν εντελώς τυχαία.

Εμπειρία 2: (οι μαθητές εργάζονται σε ζευγάρια)Πετάξτε ένα νόμισμα του 1 ρουβλίου 50 φορές και μετρήστε πόσες φορές θα έρθει επάνω. Καταγράψτε τα αποτελέσματα σε ένα σημειωματάριο.
Στην τάξη, υπολογίστε πόσα πειράματα διεξήχθησαν από όλους τους μαθητές και ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των επικεφαλίδων.

Εμπειρία 3:Το ίδιο νόμισμα πετάχτηκε 1000 φορές. Και και τις 1000 φορές ο «αετός» έπεσε έξω. Μαντέψτε αν είναι δυνατόν;
Ας συζητήσουμε αυτή την εμπειρία.
Η ρίψη νομίσματος λέγεται δοκιμή. Απώλεια "κεφαλιών" ή "ουρών" - αποτέλεσμα(αποτέλεσμα) του τεστ. Εάν το τεστ επαναληφθεί πολλές φορές υπό τις ίδιες συνθήκες, τότε καλούνται πληροφορίες σχετικά με τα αποτελέσματα όλων των δοκιμών στατιστική.
Τα στατιστικά συλλαμβάνονται ως αριθμός Μαποτελέσματα (αποτελέσματα) που μας ενδιαφέρουν και ο συνολικός αριθμός Νδοκιμές.
Ορισμός:Η σχέση ονομάζεται στατιστική συχνότητατο αποτέλεσμα που μας ενδιαφέρει.

Τον 18ο αιώνα, ένας Γάλλος επιστήμονας, επίτιμο μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, ο Μπουφόν, για να ελέγξει την ορθότητα του υπολογισμού της πιθανότητας πτώσης «αετού», πέταξε ένα νόμισμα 4040 φορές. Ο «Αετός» έπεσε έξω 2048 φορές.
Τον 19ο αιώνα, ο Άγγλος επιστήμονας Pearson πέταξε ένα νόμισμα 24.000 φορές. Ο «Αετός» έπεσε έξω 12.012 φορές.
Ας αντικαταστήσουμε τον τύπο, ο οποίος μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη στατιστική συχνότητα εμφάνισης του αποτελέσματος που μας ενδιαφέρει, Μ= 12 012, Ν= 24.000. Παίρνουμε = 0,5005.

Εξετάστε το παράδειγμα της ρίψης ενός ζαριού. Θα υποθέσουμε ότι αυτή η μήτρα έχει κανονικό σχήμα και είναι κατασκευασμένη από ομοιογενές υλικό, και επομένως, όταν πετιέται, οι πιθανότητες να πάρει οποιονδήποτε αριθμό πόντων από 1 έως 6 στην επάνω όψη της είναι οι ίδιες. Λένε ότι είναι έξι εξίσου πιθανά αποτελέσματααυτής της πρόκλησης: κυλήστε τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5 και 6.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί αν όλα nτα πιθανά αποτελέσματα είναι «ίσα» (κανένα από αυτά δεν έχει πλεονεκτήματα έναντι των άλλων).
Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα Πυπολογίζεται με τον τύπο R= , όπου nείναι ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων.
Στο παράδειγμα της ρίψης νομίσματος, υπάρχουν μόνο δύο αποτελέσματα ("κεφάλια" και "ουρές"), δηλ. Π= 2. Πιθανότητα Rη επικεφαλίδα ισούται με .
Εμπειρία 4:Ποια είναι η πιθανότητα όταν πετάξει ένα ζάρι να εμφανιστεί:
α) 1 βαθμός. β) πάνω από 3 βαθμούς.
Απάντηση: α), β).

Ορισμός: Εάν ένα γεγονός συμβαίνει πάντα υπό τις υπό εξέταση συνθήκες, τότε καλείται αυθεντικός. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι 1.

Υπάρχουν γεγονότα που, υπό τις υπό εξέταση συνθήκες, δεν συμβαίνουν ποτέ. Για παράδειγμα, ο Πινόκιο, με τη συμβουλή της αλεπούς Αλίκης και της γάτας Basilio, αποφάσισε να θάψει τα χρυσά του νομίσματα στο χωράφι των Θαυμάτων για να εμφανιστεί ένα δέντρο χρήματος από αυτά. Ποια θα είναι η πιθανότητα τα φυτεμένα νομίσματά τους να μεγαλώσουν δέντρο; Η πιθανότητα να αναπτυχθεί ένα δέντρο χρήματος από νομίσματα που φύτεψε ο Πινόκιο είναι 0.

Ορισμός: Εάν ένα γεγονός δεν συμβεί ποτέ υπό τις υπό εξέταση συνθήκες, τότε καλείται αδύνατο. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι 0.

IV. Λεπτό φυσικής αγωγής

«Μαγικό όνειρο»

Όλοι μπορούν να χορέψουν, να τρέξουν, να πηδήξουν και να παίξουν,
Αλλά δεν ξέρουν όλοι πώς να χαλαρώνουν, να ξεκουράζονται.
Έχουν ένα τέτοιο παιχνίδι, πολύ εύκολο, απλό.
Η κίνηση επιβραδύνεται, η ένταση εξαφανίζεται,
Και γίνεται ξεκάθαρο: η χαλάρωση είναι ευχάριστη.
Οι βλεφαρίδες πέφτουν, τα μάτια κλείνουν
Ξεκουραζόμαστε ήρεμα, αποκοιμιόμαστε με ένα μαγικό όνειρο.
Αναπνεύστε εύκολα, ομοιόμορφα, βαθιά.
Η ένταση έχει ξεφύγει και όλο το σώμα είναι χαλαρό.
Είναι σαν να είμαστε ξαπλωμένοι στο γρασίδι...
Σε πράσινο μαλακό γρασίδι...
Ο ήλιος ζεσταίνει τώρα, τα χέρια μας είναι ζεστά.
Ο ήλιος είναι πιο ζεστός τώρα, τα πόδια μας είναι ζεστά.
Αναπνεύστε εύκολα, ελεύθερα, βαθιά.
Τα χείλη είναι ζεστά και χαλαρά, αλλά καθόλου κουρασμένα.
Χείλη ελαφρώς ανοιχτά, και ευχάριστα χαλαρά.
Και η υπάκουη γλώσσα μας έχει συνηθίσει να είναι χαλαρή».
Πιο δυνατά, πιο γρήγορα, πιο ενεργητικά:
«Ήταν ωραίο να ξεκουραστώ και τώρα ήρθε η ώρα να σηκωθώ.
Σφίξτε τα δάχτυλά σας σφιχτά σε μια γροθιά
Και πιέστε το στο στήθος σας - έτσι!
Τεντωθείτε, χαμογελάστε, πάρτε μια βαθιά ανάσα, ξυπνήστε!
Ανοίξτε διάπλατα τα μάτια σας - ένα, δύο, τρία, τέσσερα!
Τα παιδιά σηκώνονται όρθια και τραγουδούν μαζίμε δάσκαλος προφέρω:
«Είμαστε χαρούμενοι, χαρούμενοι και πάλι και έτοιμοι για μαθήματα».

V. Ενοποίηση

Εργασία 1:

Ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι βέβαια και ποια είναι αδύνατα:

α) Ρίξτε δύο ζάρια. Έχασε 2 πόντους. (αυθεντικός)
β) Ρίξτε δύο ζάρια. Έχασε 1 βαθμό. (αδύνατο)
γ) Ρίξτε δύο ζάρια. Έχασε 6 πόντους. (αυθεντικός)
δ) Ρίξτε δύο ζάρια. Αριθμός πόντων λιγότερο από 13. (ισχύει)

Εργασία 2:

Το κουτί περιέχει 5 πράσινα, 5 κόκκινα και 10 μαύρα μολύβια. Πήρα 1 μολύβι. Συγκρίνετε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις: πιο πιθανό, λιγότερο πιθανό, εξίσου πιθανό.

α) Το μολύβι αποδείχθηκε έγχρωμο.
β) το μολύβι αποδείχθηκε πράσινο.
γ) το μολύβι είναι μαύρο.

Απάντηση:

α) εξίσου πιθανό·
β) πιο πιθανό ότι το μολύβι αποδείχθηκε μαύρο.
γ) εξίσου πιθανό.

Εργασία 3:Η Petya έριξε ένα ζάρι 23 φορές. Ωστόσο, 1 πόντους κύλησε 3 φορές, 2 πόντοι κύλησε 5 φορές, 3 πόντοι κύλησε 4 φορές, 4 πόντοι κύλησε 3 φορές, 5 πόντοι κυλήθηκαν 6 φορές. Σε άλλες περιπτώσεις έπεσαν έξω 6 βαθμοί. Όταν κάνετε την εργασία, στρογγυλοποιήστε τα δεκαδικά στα εκατοστά.

1. Υπολογίστε τη στατιστική συχνότητα εμφάνισης του μεγαλύτερου αριθμού σημείων, την πιθανότητα να πέσουν 6 σημεία και εξηγήστε γιατί η στατιστική συχνότητα διαφέρει σημαντικά από την πιθανότητα εμφάνισης 6 σημείων που βρέθηκε από τον τύπο.
2. Να υπολογίσετε τη στατιστική συχνότητα εμφάνισης ζυγού αριθμού σημείων, την πιθανότητα ότι Ζυγός αριθμόςσημεία και εξηγήστε γιατί η στατιστική συχνότητα είναι σημαντικά διαφορετική από την πιθανότητα ζυγού αριθμού σημείων που βρέθηκαν από τον τύπο.

Εργασία 4:Για να στολίσουν το χριστουγεννιάτικο δέντρο, έφεραν ένα κουτί που περιείχε 10 κόκκινες, 7 πράσινες, 5 μπλε και 8 χρυσές μπάλες. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από το κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι: α) κόκκινο; β) χρυσός. γ) κόκκινο ή χρυσό;

VI. Εργασία για το σπίτι

1. Λαμβάνεται 1 μπάλα από το κουτί που περιέχει κόκκινες και πράσινες μπάλες και στη συνέχεια τοποθετείται ξανά στο κουτί. Είναι δυνατόν να θεωρήσουμε ότι το να βγάλεις την μπάλα από το κουτί είναι τεστ; Ποιο μπορεί να είναι το αποτέλεσμα του τεστ;
2. Ένα κουτί περιέχει 2 κόκκινες και 8 πράσινες μπάλες.

α) Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία συρμένη μπάλα να είναι κόκκινη.
β) Βρείτε την πιθανότητα μια μπάλα που κληρώθηκε τυχαία να είναι πράσινη.
γ) Δύο μπάλες βγαίνουν τυχαία από το κουτί. Μπορεί να αποδειχθεί ότι και οι δύο μπάλες είναι κόκκινες;

VII. Αποτέλεσμα

- Μάθατε τις περισσότερες πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων - τι είναι ένα τυχαίο γεγονός και η στατιστική συχνότητα του αποτελέσματος της δοκιμής, πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος με εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν είναι πάντα δυνατό να αξιολογηθούν τα αποτελέσματα των δοκιμών με ένα τυχαίο αποτέλεσμα και να βρεθεί η πιθανότητα ενός συμβάντος ακόμη και με μεγάλο αριθμό δοκιμών. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να βρεθεί η πιθανότητα να κολλήσετε γρίπη: πάρα πολλοί παράγοντες κάθε φορά επηρεάζουν την έκβαση αυτού του συμβάντος.