Ο τύπος για το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας. Πυραμίδα

Ορισμός

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) και \(n\) τρίγωνα με κοινή κορυφή \(P\) (δεν βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου) και απέναντι πλευρές που συμπίπτουν με τις πλευρές του το πολύγωνο.
Ονομασία: \(PA_1A_2...A_n\) .
Παράδειγμα: πενταγωνική πυραμίδα \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Τρίγωνα \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) κ.λπ. που ονομάζεται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες, τμήματα \(PA_1, PA_2\) κ.λπ. - πλαϊνά πλευρά, πολύγωνο \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – βάση, σημείο \(P\) – κορυφή.

ΥψοςΟι πυραμίδες είναι μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.

Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της ονομάζεται τετράεδρο.

Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, εάν η βάση του είναι κανονικό πολύγωνο και πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

\((α)\) οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες.

\((β)\) το ύψος της πυραμίδας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου κοντά στη βάση.

\((c)\) οι πλευρικές νευρώσεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο βάσης με την ίδια γωνία.

\((δ)\) οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο βάσης με την ίδια γωνία.

κανονικό τετράεδροείναι μια τριγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι όψεις είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Θεώρημα

Οι συνθήκες \((a), (b), (c), (d)\) είναι ισοδύναμες.

Απόδειξη

Σχεδιάστε το ύψος της πυραμίδας \(PH\) . Έστω \(\άλφα\) το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.

1) Ας αποδείξουμε ότι το \((a)\) υποδηλώνει \((b)\) . Έστω \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Επειδή \(PH\perp \alpha\) , τότε το \(PH\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, επομένως τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Άρα αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο κοινό σκέλος \(PH\) και στην υποτείνουσα \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Άρα \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(A_1, A_2, ..., A_n\) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο \(H\) , επομένως, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με ακτίνα \(A_1H\) . Αυτός ο κύκλος, εξ ορισμού, περικλείεται στο πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) .

2) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και ίσο σε δύο πόδια. Ως εκ τούτου, οι γωνίες τους είναι επίσης ίσες, επομένως, \(\γωνία PA_1H=\γωνία PA_2H=...=\γωνία PA_nH\).

3) Ας αποδείξουμε ότι το \((c)\) υποδηλώνει \((a)\) .

Παρόμοια με το πρώτο σημείο, τρίγωνα \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία. Αυτό σημαίνει ότι και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((d)\) .

Επειδή Σε ένα κανονικό πολύγωνο, τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν (γενικά μιλώντας, αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου), τότε το \(H\) είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο \(H\) στις πλευρές της βάσης: \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. Αυτές είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου (εξ ορισμού). Τότε, σύμφωνα με το TTP, (\(PH\) είναι κάθετη στο επίπεδο, \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. είναι προεξοχές κάθετες στις πλευρές) λοξές \(PK_1, PK_2\) κ.λπ. κάθετες στις πλευρές \(A_1A_2, A_2A_3\), κ.λπ. αντίστοιχα. Έτσι, εξ ορισμού \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H\)ίσες με τις γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης. Επειδή τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια σε δύο σκέλη), μετά οι γωνίες \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H, ...\)είναι ίσα.

5) Ας αποδείξουμε ότι το \((d)\) υποδηλώνει \((b)\) .

Ομοίως με το τέταρτο σημείο, τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια κατά μήκος του σκέλους και οξεία γωνία), πράγμα που σημαίνει ότι τα τμήματα \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) είναι ίσα. Ως εκ τούτου, εξ ορισμού, \(H\) είναι το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου στη βάση. Αλλά από τότε για κανονικά πολύγωνα, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν, τότε το \(H\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Chtd.

Συνέπεια

Οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.

Ορισμός

Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, που τραβιέται από την κορυφή της, ονομάζεται αποθεμα.
Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους και είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των υψών (ή διχοτόμων, ή διαμέσου) της βάσης (η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο).

2. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι τετράγωνο).

3. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι κανονικό εξάγωνο).

4. Το ύψος της πυραμίδας είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στη βάση.

Ορισμός

Η πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνιοςαν ένα από τα πλάγια άκρα του είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Για μια ορθογώνια πυραμίδα, η άκρη κάθετη στη βάση είναι το ύψος της πυραμίδας. Δηλαδή, \(SR\) είναι το ύψος.

2. Επειδή \(SR\) κάθετο σε οποιαδήποτε γραμμή από τη βάση, λοιπόν \(\triangle SRM, \triangle SRP\)είναι ορθογώνια τρίγωνα.

3. Τρίγωνα \(\τρίγωνο SRN, \τρίγωνο SRK\)είναι επίσης ορθογώνια.
Δηλαδή, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτή την ακμή και η διαγώνιος που βγαίνει από την κορυφή αυτής της ακμής, που βρίσκεται στη βάση, θα είναι ορθογώνιο.

\[(\Large(\text(Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας)))\]

Θεώρημα

Ο όγκος μιας πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της πυραμίδας: \

Συνέπειες

Έστω \(a\) η πλευρά της βάσης, \(h\) το ύψος της πυραμίδας.

1. Ο όγκος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(δεξιό τρίγωνο pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Ο όγκος ενός κανονικού τετραέδρου είναι \(V_(\text(δεξιά tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Θεώρημα

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος.

\[(\Μεγάλη(\κείμενο(Κοτεμμένη πυραμίδα)))\]

Ορισμός

Σκεφτείτε μια αυθαίρετη πυραμίδα \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας μέσα από ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στο πλευρικό άκρο της πυραμίδας. Αυτό το επίπεδο θα χωρίσει την πυραμίδα σε δύο πολύεδρα, το ένα από τα οποία είναι πυραμίδα (\(PB_1B_2...B_n\)) και το άλλο ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Η κολοβωμένη πυραμίδα έχει δύο βάσεις - πολύγωνα \(A_1A_2...A_n\) και \(B_1B_2...B_n\) , που είναι παρόμοια μεταξύ τους.

Το ύψος μιας κόλουρης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από κάποιο σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή.

2. Το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας (δηλαδή μιας πυραμίδας που προκύπτει από ένα τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας) είναι το ύψος.

Κατά την επίλυση του προβλήματος Γ2 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων, πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν το ίδιο πρόβλημα. Δεν μπορούν να υπολογίσουν σημειακές συντεταγμένεςπεριλαμβάνονται στη φόρμουλα βαθμωτών προϊόντων. Οι μεγαλύτερες δυσκολίες είναι πυραμίδες. Και αν τα σημεία βάσης θεωρούνται λίγο πολύ φυσιολογικά, τότε οι κορυφές είναι μια πραγματική κόλαση.

Σήμερα θα ασχοληθούμε με μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Υπάρχει επίσης μια τριγωνική πυραμίδα (γνωστός και ως - τετράεδρο). Αυτός είναι ένας πιο περίπλοκος σχεδιασμός, επομένως θα αφιερωθεί ένα ξεχωριστό μάθημα σε αυτό.

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό:

Μια κανονική πυραμίδα είναι αυτή στην οποία:

1. Η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο: τρίγωνο, τετράγωνο κ.λπ.
2. Το ύψος που τραβιέται στη βάση περνά από το κέντρο της.

Συγκεκριμένα, η βάση μιας τετράπλευρης πυραμίδας είναι τετράγωνο. Ακριβώς όπως ο Χέοπας, μόνο λίγο μικρότερος.

Παρακάτω είναι οι υπολογισμοί για μια πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες με 1. Εάν δεν συμβαίνει αυτό στο πρόβλημά σας, οι υπολογισμοί δεν αλλάζουν - απλώς οι αριθμοί θα είναι διαφορετικοί.

Κορυφές τετράπλευρης πυραμίδας

Έτσι, ας δοθεί μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCD, όπου S είναι η κορυφή, η βάση του ABCD είναι ένα τετράγωνο. Όλες οι ακμές είναι ίσες με 1. Απαιτείται η εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων και η εύρεση των συντεταγμένων όλων των σημείων. Εχουμε:

Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο Α:

1. Ο άξονας OX κατευθύνεται παράλληλα προς την ακμή AB .
2. Άξονας ΟΥ - παράλληλος ΑΔ . Εφόσον το ABCD είναι τετράγωνο, το AB ⊥ AD ;
3. Τέλος, ο άξονας ΟΖ κατευθύνεται προς τα πάνω, κάθετα στο επίπεδο ABCD.

Τώρα εξετάζουμε τις συντεταγμένες. Πρόσθετη κατασκευή: SH - ύψος τραβηγμένο στη βάση. Για ευκολία, θα βγάλουμε τη βάση της πυραμίδας σε ξεχωριστό σχήμα. Δεδομένου ότι τα σημεία A , B , C και D βρίσκονται στο επίπεδο OXY, η συντεταγμένη τους είναι z = 0. Έχουμε:

1. A = (0; 0; 0) - συμπίπτει με την προέλευση.
2. B = (1; 0; 0) - βήμα προς 1 κατά μήκος του άξονα OX από την αρχή.
3. C = (1; 1; 0) - βήμα προς 1 κατά μήκος του άξονα OX και κατά 1 κατά μήκος του άξονα OY.
4. D = (0; 1; 0) - βήμα μόνο κατά μήκος του άξονα OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - το κέντρο του τετραγώνου, το μέσο του τμήματος AC.

Μένει να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου S. Σημειώστε ότι οι συντεταγμένες x και y των σημείων S και H είναι ίδιες επειδή βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OZ. Μένει να βρούμε τη συντεταγμένη z για το σημείο S .

Εξετάστε τα τρίγωνα ASH και ABH:

1. AS = AB = 1 κατά συνθήκη.
2. Γωνία AHS = AHB = 90° αφού SH είναι το ύψος και AH ⊥ HB ως οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου.
3. Πλευρά AH - κοινή.

Επομένως ορθογώνια τρίγωνα ASH και ABH ίσοςένα πόδι και μια υποτείνουσα. Άρα SH = BH = 0,5 BD . Αλλά το BD είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1. Επομένως, έχουμε:

Συνολικές συντεταγμένες του σημείου S:

Συμπερασματικά, γράφουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών μιας κανονικής ορθογώνιας πυραμίδας:

Τι να κάνετε όταν τα πλευρά είναι διαφορετικά

Τι γίνεται όμως αν οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας δεν είναι ίσες με τις άκρες της βάσης; Σε αυτήν την περίπτωση, εξετάστε το τρίγωνο AHS:

Τρίγωνο AHS- ορθογώνιοςκαι η υποτείνουσα AS είναι επίσης μια πλευρική άκρη της αρχικής πυραμίδας SABCD. Το σκέλος AH θεωρείται εύκολα: AH = 0,5 AC. Βρείτε το υπόλοιπο πόδι SH σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτή θα είναι η συντεταγμένη z για το σημείο S.

Μια εργασία. Δίνεται μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCD , στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα τετράγωνο με πλευρά 1. Πλαϊνή ακμή BS = 3. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου S .

Γνωρίζουμε ήδη τις συντεταγμένες x και y αυτού του σημείου: x = y = 0,5. Αυτό προκύπτει από δύο γεγονότα:

1. Η προβολή του σημείου S στο επίπεδο OXY είναι το σημείο H.
2. Ταυτόχρονα, το σημείο Η είναι το κέντρο του τετραγώνου ABCD, του οποίου όλες οι πλευρές είναι ίσες με 1.

Απομένει να βρεθεί η συντεταγμένη του σημείου S. Εξετάστε το τρίγωνο AHS. Είναι ορθογώνιο, με την υποτείνουσα AS = BS = 3, το πόδι AH είναι το μισό της διαγώνιου. Για περαιτέρω υπολογισμούς, χρειαζόμαστε το μήκος του:

Πυθαγόρειο θεώρημα για το τρίγωνο AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Εχουμε:

Άρα, οι συντεταγμένες του σημείου S:

Έννοια της πυραμίδας

Ορισμός 1

Ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από ένα πολύγωνο και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο που περιέχει αυτό το πολύγωνο, συνδεδεμένο με όλες τις κορυφές του πολυγώνου, ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).

Το πολύγωνο από το οποίο αποτελείται η πυραμίδα ονομάζεται βάση της πυραμίδας, τα τρίγωνα που προκύπτουν από τη σύνδεση με το σημείο είναι οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας, οι πλευρές των τριγώνων είναι οι πλευρές της πυραμίδας και το σημείο κοινό για όλους τρίγωνα είναι η κορυφή της πυραμίδας.

Τύποι πυραμίδων

Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών στη βάση της πυραμίδας, μπορεί να ονομαστεί τριγωνική, τετραγωνική και ούτω καθεξής (Εικ. 2).

Σχήμα 2.

Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι μια κανονική πυραμίδα.

Ας εισαγάγουμε και ας αποδείξουμε την ιδιότητα μιας κανονικής πυραμίδας.

Θεώρημα 1

Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ισοσκελές τρίγωνα που είναι ίσα μεταξύ τους.

Απόδειξη.

Θεωρήστε μια κανονική $n-$gonal πυραμίδα με κορυφή $S$ ύψους $h=SO$. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από τη βάση (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Εξετάστε το τρίγωνο $SOA$. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε

Προφανώς, κάθε πλευρικό άκρο θα οριστεί με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα. Ας αποδείξουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, οι βάσεις όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσες μεταξύ τους. Κατά συνέπεια, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσες σύμφωνα με το σύμβολο III της ισότητας των τριγώνων.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εισάγουμε τώρα τον ακόλουθο ορισμό που σχετίζεται με την έννοια της κανονικής πυραμίδας.

Ορισμός 3

Το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ύψος της πλευρικής της όψης.

Προφανώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλα τα αποθέματα είναι ίσα.

Θεώρημα 2

Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος.

Απόδειξη.

Ας συμβολίσουμε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας $n-$ άνθρακα ως $a$ και το απόθεμα ως $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με

Αφού, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλες οι πλευρές είναι ίσες, τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι η κολοβωμένη πυραμίδα.

Ορισμός 4

Εάν ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του τραβηχτεί μέσω μιας συνηθισμένης πυραμίδας, τότε το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ αυτού του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 5).

Εικόνα 5. Κόλουρη πυραμίδα

Οι πλευρικές όψεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.

Θεώρημα 3

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο του αθροίσματος των ημιπεριμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.

Απόδειξη.

Ας συμβολίσουμε τις πλευρές των βάσεων της πυραμίδας $n-$ άνθρακα με $a\ και\ b$, αντίστοιχα, και το απόθεμα με $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με

Αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, λοιπόν

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα εργασίας

Παράδειγμα 1

Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας εάν λαμβάνεται από μια κανονική πυραμίδα με πλευρά βάσης 4 και απόθεμα 5 αποκόπτοντας από ένα επίπεδο που διέρχεται από τη μέση γραμμή των πλευρικών όψεων.

Λύση.

Σύμφωνα με το θεώρημα της διάμεσης γραμμής, λαμβάνουμε ότι η άνω βάση της κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίση με $4\cdot \frac(1)(2)=2$ και το απόθεμα είναι ίσο με $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 3, λαμβάνουμε

Υπόθεση:πιστεύουμε ότι η τελειότητα του σχήματος της πυραμίδας οφείλεται στους μαθηματικούς νόμους που είναι ενσωματωμένοι στο σχήμα της.

Στόχος:έχοντας μελετήσει την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα, για να εξηγήσει την τελειότητα της μορφής της.

Καθήκοντα:

1. Δώστε έναν μαθηματικό ορισμό της πυραμίδας.

2. Μελετήστε την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα.

3. Κατανοήστε τι μαθηματικές γνώσεις έθεσαν οι Αιγύπτιοι στις πυραμίδες τους.

Προσωπικές ερωτήσεις:

1. Τι είναι η πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα;

2. Πώς μπορεί να εξηγηθεί μαθηματικά το μοναδικό σχήμα της πυραμίδας;

3. Τι εξηγεί τα γεωμετρικά θαύματα της πυραμίδας;

4. Τι εξηγεί την τελειότητα του σχήματος της πυραμίδας;

Ορισμός πυραμίδας.

ΠΥΡΑΜΙΔΑ (από το ελληνικό pyramis, γένος n. pyramidos) - ένα πολύεδρο, η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή (σχήμα). Σύμφωνα με τον αριθμό των γωνιών της βάσης, οι πυραμίδες είναι τριγωνικές, τετράγωνες κ.λπ.

ΠΥΡΑΜΙΔΑ - μια μνημειακή κατασκευή που έχει το γεωμετρικό σχήμα μιας πυραμίδας (μερικές φορές επίσης βαθμιδωτή ή πυργόσχημη). Οι γιγάντιοι τάφοι των αρχαίων Αιγυπτίων Φαραώ της 3ης-2ης χιλιετίας π.Χ. ονομάζονται πυραμίδες. ε., καθώς και αρχαία αμερικανικά βάθρα ναών (στο Μεξικό, τη Γουατεμάλα, την Ονδούρα, το Περού) που σχετίζονται με κοσμολογικές λατρείες.

Είναι πιθανό η ελληνική λέξη «πυραμίδα» να προέρχεται από την αιγυπτιακή έκφραση per-em-us, δηλαδή από έναν όρο που σήμαινε το ύψος της πυραμίδας. Ο εξέχων Ρώσος Αιγυπτιολόγος V. Struve πίστευε ότι το ελληνικό “puram…j” προέρχεται από το αρχαίο αιγυπτιακό “p”-mr”.

Από την ιστορία. Έχοντας μελετήσει το υλικό στο σχολικό βιβλίο "Γεωμετρία" από τους συγγραφείς του Atanasyan. Butuzova και άλλοι, μάθαμε ότι: Ένα πολύεδρο που αποτελείται από n-gon A1A2A3 ... An και n τρίγωνα RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 ονομάζεται πυραμίδα. Το πολύγωνο A1A2A3 ... An είναι η βάση της πυραμίδας, και τα τρίγωνα RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 είναι οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας, P είναι η κορυφή της πυραμίδας, τα τμήματα RA1, RA2, .. ., RAn είναι οι πλευρικές άκρες.

Ωστόσο, ένας τέτοιος ορισμός της πυραμίδας δεν υπήρχε πάντα. Για παράδειγμα, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, ο συγγραφέας των θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που έχουν φτάσει σε εμάς, ο Ευκλείδης, ορίζει μια πυραμίδα ως μια συμπαγή μορφή που οριοθετείται από επίπεδα που συγκλίνουν από ένα επίπεδο σε ένα σημείο.

Αλλά αυτός ο ορισμός έχει επικριθεί ήδη στην αρχαιότητα. Έτσι ο Heron πρότεινε τον ακόλουθο ορισμό της πυραμίδας: «Αυτό είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο».

Η ομάδα μας, συγκρίνοντας αυτούς τους ορισμούς, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν έχουν σαφή διατύπωση της έννοιας του «θεμελίου».

Μελετήσαμε αυτούς τους ορισμούς και βρήκαμε τον ορισμό του Adrien Marie Legendre, ο οποίος το 1794 στο έργο του «Elements of Geometry» ορίζει την πυραμίδα ως εξής: «Η πυραμίδα είναι μια σωματική μορφή που σχηματίζεται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και τελειώνουν σε διαφορετικές πλευρές ενός επίπεδη βάση.»

Μας φαίνεται ότι ο τελευταίος ορισμός δίνει μια σαφή ιδέα για την πυραμίδα, καθώς αναφέρεται στο γεγονός ότι η βάση είναι επίπεδη. Ένας άλλος ορισμός της πυραμίδας εμφανίστηκε σε ένα εγχειρίδιο του 19ου αιώνα: «μια πυραμίδα είναι μια συμπαγής γωνία που τέμνεται από ένα επίπεδο».

Η πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα.

Οτι. Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη (βάση) είναι πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις (πλευρές) είναι τρίγωνα που έχουν μια κοινή κορυφή (την κορυφή της πυραμίδας).

Η κάθετη που σύρεται από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης ονομάζεται ύψοςηπυραμίδες.

Εκτός από μια αυθαίρετη πυραμίδα, υπάρχουν δεξιά πυραμίδα,στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και κολοβωμένη πυραμίδα.

Στο σχήμα - η πυραμίδα PABCD, ABCD - η βάση της, PO - ύψος.

Πλήρης επιφάνεια Πυραμίδα ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεών της.

Sfull = Side + Sbase,όπου Πλευράείναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών όψεων.

όγκος πυραμίδας βρίσκεται σύμφωνα με τον τύπο:

V=1/3Sbase η, όπου ο Σωσν. - περιοχή βάσης η- ύψος.

Ο άξονας μιας κανονικής πυραμίδας είναι μια ευθεία γραμμή που περιέχει το ύψος της.
Apothem ST - το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας.

Το εμβαδόν της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας εκφράζεται ως εξής: Πλευρά. =1/2P η, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης, η- το ύψος της πλευρικής όψης (το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας). Εάν η πυραμίδα διασχίζεται από επίπεδο A'B'C'D' παράλληλο στη βάση, τότε:

1) οι πλευρικές άκρες και το ύψος χωρίζονται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.

2) στην τομή, προκύπτει ένα πολύγωνο A'B'C'D', παρόμοιο με τη βάση.

DIV_ADBLOCK914">

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται τετράεδρο .

Κόλουρη πυραμίδα προκύπτει αποκόπτοντας από την πυραμίδα το πάνω μέρος της με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση (εικόνα ABCDD'C'B'A').

Οι βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδαςείναι παρόμοια πολύγωνα ABCD και A`B`C`D`, οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδή.

Υψοςκολοβωμένη πυραμίδα - η απόσταση μεταξύ των βάσεων.

Περικομμένος όγκοςΗ πυραμίδα βρίσκεται με τον τύπο:

V=1/3 η(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας εκφράζεται ως εξής: Πλευρά = ½(P+P') η, όπου P και P' είναι οι περίμετροι των βάσεων, η- το ύψος της πλάγιας όψης (το απόθεμα μιας κανονικής περικομμένης από γιορτές

Τμήματα της πυραμίδας.

Τα τμήματα της πυραμίδας από επίπεδα που διέρχονται από την κορυφή της είναι τρίγωνα.

Το τμήμα που διέρχεται από δύο μη γειτονικά πλευρικά άκρα της πυραμίδας ονομάζεται διαγώνιο τμήμα.

Εάν το τμήμα διέρχεται από ένα σημείο στο πλευρικό άκρο και στην πλευρά της βάσης, τότε αυτή η πλευρά θα είναι το ίχνος του στο επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.

Ένα τμήμα που διέρχεται από ένα σημείο που βρίσκεται στην όψη της πυραμίδας και ένα δεδομένο ίχνος του τμήματος στο επίπεδο της βάσης, τότε η κατασκευή θα πρέπει να γίνει ως εξής:

Βρείτε το σημείο τομής του επιπέδου της δεδομένης όψης και το ίχνος του τμήματος της πυραμίδας και προσδιορίστε το.

να χτίσετε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και το σημείο τομής που προκύπτει.

· Επαναλάβετε αυτά τα βήματα για τα επόμενα πρόσωπα.

, που αντιστοιχεί στην αναλογία των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου 4:3. Αυτή η αναλογία των ποδιών αντιστοιχεί στο γνωστό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3:4:5, που ονομάζεται «τέλειο», «ιερό» ή «αιγυπτιακό». Σύμφωνα με τους ιστορικούς, στο «αιγυπτιακό» τρίγωνο δόθηκε ένα μαγικό νόημα. Ο Πλούταρχος έγραψε ότι οι Αιγύπτιοι συνέκριναν τη φύση του σύμπαντος με ένα «ιερό» τρίγωνο. συμβολικά παρομοίασαν το κάθετο πόδι με τον σύζυγο, τη βάση με τη σύζυγο και την υποτείνουσα με αυτό που γεννιέται και από τα δύο.

Για ένα τρίγωνο 3:4:5, ισχύει η ισότητα: 32 + 42 = 52, που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν είναι αυτό το θεώρημα που ήθελαν να διαιωνίσουν οι Αιγύπτιοι ιερείς υψώνοντας μια πυραμίδα με βάση το τρίγωνο 3:4:5; Είναι δύσκολο να βρεθεί καλύτερο παράδειγμα για να επεξηγήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο ήταν γνωστό στους Αιγύπτιους πολύ πριν την ανακάλυψή του από τον Πυθαγόρα.

Έτσι, οι έξυπνοι δημιουργοί των αιγυπτιακών πυραμίδων προσπάθησαν να εντυπωσιάσουν τους μακρινούς απογόνους με το βάθος των γνώσεών τους και αυτό το πέτυχαν επιλέγοντας ως «κύρια γεωμετρική ιδέα» για την πυραμίδα του Χέοπα - το «χρυσό» ορθογώνιο τρίγωνο, και για την πυραμίδα του Khafre - το «ιερό» ή «αιγυπτιακό» τρίγωνο.

Πολύ συχνά, στην έρευνά τους, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πυραμίδων με τις αναλογίες της Χρυσής Τομής.

Ο ακόλουθος ορισμός της Χρυσής Τομής δίνεται στο μαθηματικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό - πρόκειται για αρμονική διαίρεση, διαίρεση στην ακραία και μέση αναλογία - διαίρεση του τμήματος AB σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε το μεγαλύτερο μέρος του AC του να είναι η μέση αναλογική μεταξύ ολόκληρου του τμήματος AB και του μικρότερου τμήματός του CB.

Αλγεβρική εύρεση της Χρυσής τομής ενός τμήματος ΑΒ = αανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης a: x = x: (a - x), όπου το x είναι περίπου ίσο με 0,62a. Ο λόγος x μπορεί να εκφραστεί ως κλάσματα 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, όπου 2, 3, 5, 8, 13, 21 είναι αριθμοί Fibonacci.

Η γεωμετρική κατασκευή της Χρυσής Τομής του τμήματος ΑΒ πραγματοποιείται ως εξής: στο σημείο Β, αποκαθίσταται η κάθετη προς την ΑΒ, τοποθετείται πάνω του το τμήμα BE \u003d 1/2 AB, συνδέονται τα Α και Ε, DE \ u003d BE αναβάλλεται και, τέλος, AC \u003d AD, τότε πληρούται η ισότητα AB: CB = 2: 3.

Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται συχνά σε έργα τέχνης, αρχιτεκτονικής και βρίσκεται στη φύση. Ζωντανά παραδείγματα είναι το γλυπτό του Απόλλωνα Μπελβεντέρε, ο Παρθενώνας. Κατά την κατασκευή του Παρθενώνα χρησιμοποιήθηκε ο λόγος του ύψους του κτιρίου προς το μήκος του και ο λόγος αυτός είναι 0,618. Τα αντικείμενα γύρω μας παρέχουν επίσης παραδείγματα της Χρυσής Αναλογίας, για παράδειγμα, οι βιβλιοδεσίες πολλών βιβλίων έχουν λόγο πλάτους προς μήκος κοντά στο 0,618. Λαμβάνοντας υπόψη τη διάταξη των φύλλων σε ένα κοινό στέλεχος φυτών, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ανάμεσα σε κάθε δύο ζεύγη φύλλων, το τρίτο βρίσκεται στη θέση της Χρυσής Αναλογίας (διαφάνειες). Καθένας από εμάς "φοράει" τη Χρυσή Αναλογία μαζί μας "στα χέρια μας" - αυτή είναι η αναλογία των φαλαγγών των δακτύλων.

Χάρη στην ανακάλυψη αρκετών μαθηματικών παπύρων, οι αιγυπτιολόγοι έμαθαν κάτι για τα αρχαία αιγυπτιακά συστήματα λογισμών και μέτρων. Τα καθήκοντα που περιέχονταν σε αυτά επιλύθηκαν από γραφείς. Ένας από τους πιο γνωστούς είναι ο μαθηματικός πάπυρος Rhind. Μελετώντας αυτά τα παζλ, οι Αιγυπτιολόγοι έμαθαν πώς αντιμετώπιζαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι τις διάφορες ποσότητες που προέκυψαν κατά τον υπολογισμό των μέτρων βάρους, μήκους και όγκου, τα οποία συχνά χρησιμοποιούσαν κλάσματα, καθώς και πώς αντιμετώπιζαν τις γωνίες.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μια μέθοδο υπολογισμού γωνιών με βάση τον λόγο του ύψους προς τη βάση ενός ορθογωνίου τριγώνου. Εξέφρασαν οποιαδήποτε γωνία στη γλώσσα της κλίσης. Η κλίση της κλίσης εκφράστηκε ως λόγος ενός ακέραιου αριθμού, που ονομάζεται "seked". Στο Mathematics in the Time of the Pharaohs, ο Richard Pillins εξηγεί: «Το άκρο μιας κανονικής πυραμίδας είναι η κλίση οποιασδήποτε από τις τέσσερις τριγωνικές όψεις προς το επίπεδο της βάσης, που μετριέται με ένα νιοστό αριθμό οριζόντιων μονάδων ανά κάθετη μονάδα υψομέτρου. . Έτσι, αυτή η μονάδα μέτρησης είναι ισοδύναμη με τη σύγχρονη συνεφαπτομένη της γωνίας κλίσης. Επομένως, η αιγυπτιακή λέξη "seked" σχετίζεται με τη σύγχρονη λέξη "gradient".

Το αριθμητικό κλειδί για τις πυραμίδες βρίσκεται στην αναλογία του ύψους τους προς τη βάση. Πρακτικά, αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να φτιάξετε πρότυπα που χρειάζονται για να ελέγχετε συνεχώς τη σωστή γωνία κλίσης σε όλη την κατασκευή της πυραμίδας.

Οι αιγυπτιολόγοι θα χαρούν να μας πείσουν ότι κάθε φαραώ ήταν πρόθυμος να εκφράσει την ατομικότητά του, εξ ου και οι διαφορές στις γωνίες κλίσης για κάθε πυραμίδα. Αλλά μπορεί να υπάρχει άλλος λόγος. Ίσως όλοι ήθελαν να ενσαρκώσουν διαφορετικούς συμβολικούς συνειρμούς κρυμμένους σε διαφορετικές αναλογίες. Ωστόσο, η γωνία της πυραμίδας του Khafre (με βάση το τρίγωνο (3:4:5) εμφανίζεται στα τρία προβλήματα που παρουσιάζουν οι πυραμίδες στον Μαθηματικό Πάπυρο Rhind). Αυτή λοιπόν η στάση ήταν πολύ γνωστή στους αρχαίους Αιγύπτιους.

Για να είμαστε δίκαιοι με τους Αιγυπτιολόγους που ισχυρίζονται ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το τρίγωνο 3:4:5, ας πούμε ότι το μήκος της υποτείνουσας 5 δεν αναφέρθηκε ποτέ. Όμως, τα μαθηματικά προβλήματα που αφορούν τις πυραμίδες λύνονται πάντα με βάση τη γωνία πλάτης - την αναλογία του ύψους προς τη βάση. Δεδομένου ότι το μήκος της υποτείνουσας δεν αναφέρθηκε ποτέ, συνήχθη το συμπέρασμα ότι οι Αιγύπτιοι δεν υπολόγισαν ποτέ το μήκος της τρίτης πλευράς.

Οι αναλογίες ύψους προς βάση που χρησιμοποιήθηκαν στις πυραμίδες της Γκίζας ήταν αναμφίβολα γνωστές στους αρχαίους Αιγύπτιους. Είναι πιθανό ότι αυτές οι αναλογίες για κάθε πυραμίδα επιλέχθηκαν αυθαίρετα. Ωστόσο, αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη σημασία που αποδίδεται στον αριθμητικό συμβολισμό σε όλα τα είδη της αιγυπτιακής καλών τεχνών. Είναι πολύ πιθανό τέτοιες σχέσεις να είχαν σημαντική σημασία, αφού εξέφραζαν συγκεκριμένες θρησκευτικές ιδέες. Με άλλα λόγια, ολόκληρο το συγκρότημα της Γκίζας υπόκειται σε έναν συνεκτικό σχεδιασμό, σχεδιασμένο να αντικατοπτρίζει κάποιου είδους θεϊκό θέμα. Αυτό θα εξηγούσε γιατί οι σχεδιαστές επέλεξαν διαφορετικές γωνίες για τις τρεις πυραμίδες.

Στο Μυστικό του Ωρίωνα, ο Bauval και ο Gilbert παρουσίασαν πειστικά στοιχεία για τη σύνδεση των πυραμίδων της Γκίζας με τον αστερισμό του Ωρίωνα, ιδιαίτερα με τα αστέρια της Ζώνης του Ωρίωνα. Ο ίδιος αστερισμός υπάρχει και στο μύθο της Ίσιδας και του Όσιρι, και είναι λόγος να θεωρήσουμε κάθε πυραμίδα ως εικόνα μιας από τις τρεις κύριες θεότητες - τον Όσιρι, την Ίσιδα και τον Ώρο.

ΘΑΥΜΑΤΑ «ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ».

Ανάμεσα στις μεγαλειώδεις πυραμίδες της Αιγύπτου, μια ξεχωριστή θέση κατέχουν Μεγάλη Πυραμίδα του Φαραώ Χέοπα (Khufu). Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση του σχήματος και του μεγέθους της πυραμίδας του Χέοπα, θα πρέπει να θυμηθούμε ποιο σύστημα μέτρων χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι. Οι Αιγύπτιοι είχαν τρεις μονάδες μήκους: "πήχη" (466 χλστ.), ίσες με επτά "φοίνικα" (66,5 χλστ.), που, με τη σειρά τους, ήταν ίσες με τέσσερα "δάχτυλα" (16,6 χλστ.).

Ας αναλύσουμε το μέγεθος της πυραμίδας του Χέοπα (Εικ. 2), ακολουθώντας το σκεπτικό που δίνεται στο υπέροχο βιβλίο του Ουκρανού επιστήμονα Nikolai Vasyutinskiy «Golden Proportion» (1990).

Οι περισσότεροι ερευνητές συμφωνούν ότι το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας, για παράδειγμα, GFείναι ίσο με μεγάλο\u003d 233,16 μ. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί σχεδόν ακριβώς σε 500 "πήχεις". Η πλήρης συμμόρφωση με 500 "cubits" θα είναι εάν το μήκος του "cubit" θεωρείται ίσο με 0,4663 m.

Ύψος πυραμίδας ( H) υπολογίζεται από τους ερευνητές διαφορετικά από 146,6 έως 148,2 μ. Και ανάλογα με το αποδεκτό ύψος της πυραμίδας αλλάζουν όλες οι αναλογίες των γεωμετρικών της στοιχείων. Ποιος είναι ο λόγος για τις διαφορές στην εκτίμηση του ύψους της πυραμίδας; Το γεγονός είναι ότι, αυστηρά μιλώντας, η πυραμίδα του Χέοπα είναι περικομμένη. Η άνω εξέδρα του σήμερα έχει μέγεθος περίπου 10 ´ 10 μ. και πριν από έναν αιώνα ήταν 6 ´ 6 μ. Είναι προφανές ότι η κορυφή της πυραμίδας διαλύθηκε και δεν αντιστοιχεί στην αρχική.

Υπολογίζοντας το ύψος της πυραμίδας, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ένας τέτοιος φυσικός παράγοντας όπως το "σχέδιο" της δομής. Για μεγάλο χρονικό διάστημα, υπό την επίδραση της κολοσσιαίας πίεσης (φτάνοντας τους 500 τόνους ανά 1 m2 της κάτω επιφάνειας), το ύψος της πυραμίδας μειώθηκε σε σύγκριση με το αρχικό της ύψος.

Ποιο ήταν το αρχικό ύψος της πυραμίδας; Αυτό το ύψος μπορεί να αναδημιουργηθεί αν βρείτε τη βασική «γεωμετρική ιδέα» της πυραμίδας.

Σχήμα 2.

Το 1837, ο Άγγλος συνταγματάρχης G. Wise μέτρησε τη γωνία κλίσης των όψεων της πυραμίδας: αποδείχθηκε ότι ήταν ίση με ένα= 51°51". Αυτή η τιμή εξακολουθεί να αναγνωρίζεται από τους περισσότερους ερευνητές σήμερα. Η υποδεικνυόμενη τιμή της γωνίας αντιστοιχεί στην εφαπτομένη (tg ένα), ίσο με 1,27306. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στην αναλογία του ύψους της πυραμίδας ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝστο μισό της βάσης του CB(Εικ.2), δηλ. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ / CB = H / (μεγάλο / 2) = 2H / μεγάλο.

Και εδώ οι ερευνητές αντιμετώπισαν μια μεγάλη έκπληξη!.png" width="25" height="24">= 1.272. Συγκρίνοντας αυτήν την τιμή με την τιμή tg ένα= 1,27306, βλέπουμε ότι αυτές οι τιμές είναι πολύ κοντά η μία στην άλλη. Αν πάρουμε τη γωνία ένα\u003d 51 ° 50", δηλαδή, για να το μειώσετε μόνο κατά ένα λεπτό τόξου, και στη συνέχεια η τιμή έναθα γίνει ίσο με 1,272, δηλαδή θα συμπίπτει με την τιμή του . Ας σημειωθεί ότι το 1840 ο G. Wise επανέλαβε τις μετρήσεις του και διευκρίνισε ότι η τιμή της γωνίας ένα=51°50".

Αυτές οι μετρήσεις οδήγησαν τους ερευνητές στην ακόλουθη πολύ ενδιαφέρουσα υπόθεση: το τρίγωνο ASV της πυραμίδας του Χέοπα βασίστηκε στη σχέση AC / CB = = 1,272!

Σκεφτείτε τώρα ένα ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο, στην οποία η αναλογία των ποδιών ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ / CB= (Εικ.2). Αν τώρα τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου αλφάβητοδηλώνουν με Χ, y, z, και επίσης λάβετε υπόψη ότι η αναλογία y/Χ= , τότε, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το μήκος zμπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Αν δεχτείτε Χ = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Εικόνα 3"Χρυσό" ορθογώνιο τρίγωνο.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο οι πλευρές συσχετίζονται ως t:χρυσό" ορθογώνιο τρίγωνο.

Τότε, αν πάρουμε ως βάση την υπόθεση ότι η κύρια «γεωμετρική ιδέα» της πυραμίδας του Χέοπα είναι το «χρυσό» ορθογώνιο τρίγωνο, τότε από εδώ είναι εύκολο να υπολογίσουμε το «σχεδιαστικό» ύψος της πυραμίδας του Χέοπα. Είναι ίσο με:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Ας αντλήσουμε τώρα κάποιες άλλες σχέσεις για την πυραμίδα του Χέοπα, που απορρέουν από τη «χρυσή» υπόθεση. Συγκεκριμένα, βρίσκουμε την αναλογία του εξωτερικού εμβαδού της πυραμίδας προς το εμβαδόν της βάσης της. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε το μήκος του ποδιού CBανά μονάδα, δηλαδή: CB= 1. Στη συνέχεια όμως το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας GF= 2 και το εμβαδόν της βάσης EFGHθα είναι ίσο με SEFGH = 4.

Ας υπολογίσουμε τώρα το εμβαδόν της πλευρικής όψης της πυραμίδας του Χέοπα SD. Γιατί το ύψος ΑΒτρίγωνο ΑΕΦείναι ίσο με t, τότε η περιοχή της πλευρικής όψης θα είναι ίση με SD = t. Τότε το συνολικό εμβαδόν και των τεσσάρων πλευρικών όψεων της πυραμίδας θα είναι ίσο με 4 t, και η αναλογία της συνολικής εξωτερικής επιφάνειας της πυραμίδας προς την περιοχή βάσης θα είναι ίση με τη χρυσή τομή! αυτό είναι - το κύριο γεωμετρικό μυστικό της πυραμίδας του Χέοπα!

Η ομάδα των «γεωμετρικών θαυμάτων» της πυραμίδας του Χέοπα περιλαμβάνει τις πραγματικές και επινοημένες ιδιότητες της σχέσης μεταξύ των διαφόρων διαστάσεων στην πυραμίδα.

Κατά κανόνα, λαμβάνονται σε αναζήτηση κάποιας "σταθερής", ειδικότερα, του αριθμού "pi" (αριθμός Ludolf), ίσος με 3,14159... βάσεις φυσικών λογαρίθμων "e" (αριθμός Napier) ίσοι με 2,71828...; ο αριθμός "F", ο αριθμός της "χρυσής τομής", ίσος, για παράδειγμα, 0,618 ... κ.λπ.

Μπορείτε να ονομάσετε, για παράδειγμα: 1) Ιδιοκτησία του Ηροδότου: (Ύψος) 2 \u003d 0,5 st. κύριος x Apothem; 2) Ακίνητο του V. Τιμή: Ύψος: 0,5 στ. osn \u003d Τετραγωνική ρίζα του "Ф"; 3) Ιδιοκτησία M. Eist: Περίμετρος βάσης: 2 Ύψος = "Pi"; σε διαφορετική ερμηνεία - 2 κουταλιές της σούπας. κύριος : Ύψος = "Pi"; 4) Ιδιότητα Γ. Ρέμπερ: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου: 0,5 στ. κύριος = "F"; 5) Ιδιοκτησία K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 στ. κύρια Χ Απόθεμ) + (στ. κύρια) 2). Και τα λοιπά. Μπορείτε να βρείτε πολλές τέτοιες ιδιότητες, ειδικά αν συνδέσετε δύο γειτονικές πυραμίδες. Για παράδειγμα, ως «Ιδιότητες του A. Arefiev» μπορεί να αναφερθεί ότι η διαφορά μεταξύ των όγκων της πυραμίδας του Χέοπα και της πυραμίδας του Khafre είναι ίση με το διπλάσιο του όγκου της πυραμίδας του Menkaure...

Πολλές ενδιαφέρουσες διατάξεις, ειδικότερα, για την κατασκευή πυραμίδων σύμφωνα με τη «χρυσή τομή» παρατίθενται στα βιβλία των D. Hambidge «Dynamic Symmetry in Architecture» και M. Geek «Aesthetics of Proportion in Nature and Art». Θυμηθείτε ότι η "χρυσή τομή" είναι η διαίρεση του τμήματος σε μια τέτοια αναλογία, όταν το μέρος Α είναι τόσες φορές μεγαλύτερο από το μέρος Β, πόσες φορές το Α είναι μικρότερο από ολόκληρο το τμήμα Α + Β. Ο λόγος Α / Β είναι ίσο με τον αριθμό "Φ" == 1.618.. Η χρήση της "χρυσής τομής" υποδεικνύεται όχι μόνο σε μεμονωμένες πυραμίδες, αλλά σε ολόκληρο το σύμπλεγμα πυραμίδων στη Γκίζα.

Το πιο περίεργο, ωστόσο, είναι ότι η ίδια πυραμίδα του Χέοπα απλά «δεν μπορεί» να περιέχει τόσες υπέροχες ιδιότητες. Λαμβάνοντας ένα συγκεκριμένο ακίνητο ένα προς ένα, μπορείτε να το "προσαρμόσετε", αλλά ταυτόχρονα δεν ταιριάζουν - δεν συμπίπτουν, έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Επομένως, εάν, για παράδειγμα, κατά τον έλεγχο όλων των ιδιοτήτων, ληφθεί αρχικά μια και η ίδια πλευρά της βάσης της πυραμίδας (233 m), τότε τα ύψη των πυραμίδων με διαφορετικές ιδιότητες θα είναι επίσης διαφορετικά. Με άλλα λόγια, υπάρχει μια ορισμένη «οικογένεια» πυραμίδων, εξωτερικά παρόμοια με αυτές του Χέοπα, αλλά που αντιστοιχεί σε διαφορετικές ιδιότητες. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερα θαυματουργό στις "γεωμετρικές" ιδιότητες - πολλά προκύπτουν καθαρά αυτόματα, από τις ιδιότητες του ίδιου του σχήματος. Ένα «θαύμα» θα έπρεπε να θεωρείται μόνο κάτι προφανώς αδύνατο για τους αρχαίους Αιγύπτιους. Αυτό περιλαμβάνει, ειδικότερα, «κοσμικά» θαύματα, στα οποία οι μετρήσεις της πυραμίδας του Χέοπα ή του συμπλέγματος της πυραμίδας της Γκίζας συγκρίνονται με ορισμένες αστρονομικές μετρήσεις και υποδεικνύονται «ζυγοί» αριθμοί: ένα εκατομμύριο φορές, ένα δισεκατομμύριο φορές λιγότερο κ.λπ. . Ας εξετάσουμε μερικές «κοσμικές» σχέσεις.

Μία από τις δηλώσεις είναι η εξής: «αν διαιρέσουμε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας με το ακριβές μήκος του έτους, θα έχουμε ακριβώς το 10 εκατομμυριοστό του άξονα της γης». Υπολογίστε: διαιρέστε το 233 με το 365, παίρνουμε 0,638. Η ακτίνα της Γης είναι 6378 km.

Μια άλλη δήλωση είναι στην πραγματικότητα αντίθετη από την προηγούμενη. Ο F. Noetling επεσήμανε ότι αν χρησιμοποιήσετε τον «αιγυπτιακό αγκώνα» που εφευρέθηκε από αυτόν, τότε η πλευρά της πυραμίδας θα αντιστοιχεί στην «ακριβέστερη διάρκεια του ηλιακού έτους, εκφρασμένη στο πλησιέστερο δισεκατομμυριοστό της ημέρας» - 365.540.903.777 .

Η δήλωση του Π. Σμιθ: «Το ύψος της πυραμίδας είναι ακριβώς το ένα δισεκατομμυριοστό της απόστασης από τη Γη στον Ήλιο». Αν και συνήθως λαμβάνεται το ύψος των 146,6 μ., ο Smith το πήρε ως 148,2 μ. Σύμφωνα με τις σύγχρονες μετρήσεις ραντάρ, ο ημι-κύριος άξονας της τροχιάς της γης είναι 149.597.870 + 1,6 χλμ. Αυτή είναι η μέση απόσταση από τη Γη στον Ήλιο, αλλά στο περιήλιο είναι 5.000.000 χιλιόμετρα μικρότερη από ό,τι στο αφήλιο.

Τελευταία περίεργη δήλωση:

«Πώς εξηγείται ότι οι μάζες των πυραμίδων του Χέοπα, του Χάφρε και του Μενκάουρε σχετίζονται μεταξύ τους, όπως οι μάζες των πλανητών Γη, Αφροδίτης, Άρης;» Ας υπολογίσουμε. Οι μάζες των τριών πυραμίδων σχετίζονται ως εξής: Khafre - 0,835; Χέοπας - 1.000; Mikerin - 0,0915. Οι αναλογίες των μαζών των τριών πλανητών: Αφροδίτη - 0,815; Γη - 1.000; Άρης - 0,108.

Λοιπόν, παρά τον σκεπτικισμό, ας σημειώσουμε τη γνωστή αρμονία της κατασκευής των δηλώσεων: 1) το ύψος της πυραμίδας, ως γραμμή "που πηγαίνει στο διάστημα" - αντιστοιχεί στην απόσταση από τη Γη στον Ήλιο. 2) η πλευρά της βάσης της πυραμίδας που βρίσκεται πιο κοντά "στο υπόστρωμα", δηλαδή στη Γη, είναι υπεύθυνη για την ακτίνα της γης και την κυκλοφορία της γης. 3) οι όγκοι της πυραμίδας (διαβάστε - μάζες) αντιστοιχούν στην αναλογία των μαζών των πλανητών που βρίσκονται πιο κοντά στη Γη. Ένας παρόμοιος «κρυπτογράφηση» μπορεί να εντοπιστεί, για παράδειγμα, στη γλώσσα των μελισσών, που αναλύεται από τον Karl von Frisch. Ωστόσο, προς το παρόν αποφεύγουμε να σχολιάσουμε αυτό.

ΣΧΗΜΑ ΤΩΝ ΠΥΡΑΜΙΔΩΝ

Το περίφημο τετραεδρικό σχήμα των πυραμίδων δεν εμφανίστηκε αμέσως. Οι Σκύθες έκαναν ταφές με τη μορφή χωμάτινων λόφων - τύμβων. Οι Αιγύπτιοι έχτισαν «λόφους» από πέτρες – πυραμίδες. Αυτό συνέβη για πρώτη φορά μετά την ενοποίηση της Άνω και της Κάτω Αιγύπτου, τον 28ο αιώνα π.Χ., όταν ο ιδρυτής της ΙΙΙ δυναστείας, Φαραώ Djoser (Zoser), αντιμετώπισε το καθήκον να ενισχύσει την ενότητα της χώρας.

Και εδώ, σύμφωνα με τους ιστορικούς, η «νέα έννοια της θεοποίησης» του τσάρου έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ενίσχυση της κεντρικής εξουσίας. Αν και οι βασιλικές ταφές διακρίνονταν από μεγαλύτερη λαμπρότητα, δεν διέφεραν κατ' αρχήν από τους τάφους των ευγενών της αυλής, ήταν οι ίδιες κατασκευές - μασταμπάς. Πάνω από τον θάλαμο με τη σαρκοφάγο που περιείχε τη μούμια, χύθηκε ένας ορθογώνιος λόφος από μικρές πέτρες, όπου στη συνέχεια τοποθετήθηκε ένα μικρό κτίριο από μεγάλους λιθόλιθους - «μασταμπά» (στα αραβικά - «πάγκος»). Στη θέση του μασταμπά του προκατόχου του, Sanakht, ο Φαραώ Djoser έστησε την πρώτη πυραμίδα. Ήταν κλιμακωτό και ήταν ένα ορατό μεταβατικό στάδιο από τη μια αρχιτεκτονική μορφή στην άλλη, από μια μασταμπά σε μια πυραμίδα.

Με αυτόν τον τρόπο, ο φαραώ «μεγάλωσε» από τον σοφό και αρχιτέκτονα Imhotep, ο οποίος αργότερα θεωρήθηκε μάγος και ταυτίστηκε από τους Έλληνες με τον θεό Ασκληπιό. Λες και είχαν στηθεί έξι μασταμπάς στη σειρά. Επιπλέον, η πρώτη πυραμίδα καταλάμβανε έκταση 1125 x 115 μέτρα, με εκτιμώμενο ύψος 66 μέτρα (σύμφωνα με τα αιγυπτιακά μέτρα - 1000 "φοίνικα"). Στην αρχή, ο αρχιτέκτονας σχεδίαζε να χτίσει έναν μασταμπά, αλλά όχι επιμήκη, αλλά τετράγωνο σε κάτοψη. Αργότερα επεκτάθηκε, αλλά αφού η προέκταση έγινε πιο χαμηλά, σχηματίστηκαν δύο σκαλοπάτια, όπως ήταν.

Αυτή η κατάσταση δεν ικανοποίησε τον αρχιτέκτονα και στην κορυφαία πλατφόρμα ενός τεράστιου επίπεδου μασταμπά, ο Imhotep τοποθέτησε άλλα τρία, μειώνοντας σταδιακά προς την κορυφή. Ο τάφος ήταν κάτω από την πυραμίδα.

Είναι γνωστές αρκετές ακόμη κλιμακωτές πυραμίδες, αλλά αργότερα οι οικοδόμοι προχώρησαν στην κατασκευή πιο γνωστών τετραεδρικών πυραμίδων. Γιατί, όμως, όχι τριγωνικό ή, ας πούμε, οκταγωνικό; Μια έμμεση απάντηση δίνεται από το γεγονός ότι σχεδόν όλες οι πυραμίδες είναι τέλεια προσανατολισμένες στα τέσσερα βασικά σημεία και επομένως έχουν τέσσερις πλευρές. Επιπλέον, η πυραμίδα ήταν ένα «σπίτι», ένα κέλυφος ενός τετραγωνικού ταφικού θαλάμου.

Τι προκάλεσε όμως τη γωνία κλίσης των προσώπων; Στο βιβλίο «Η αρχή των αναλογιών» ένα ολόκληρο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο σε αυτό: «Τι θα μπορούσε να καθορίσει τις γωνίες των πυραμίδων». Συγκεκριμένα, επισημαίνεται ότι «η εικόνα προς την οποία έλκονται οι μεγάλες πυραμίδες του Παλαιού Βασιλείου είναι ένα τρίγωνο με ορθή γωνία στην κορυφή.

Στο διάστημα, είναι ένα ημι-οκτάεδρο: μια πυραμίδα στην οποία οι άκρες και οι πλευρές της βάσης είναι ίσες, οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα.Σε αυτό το θέμα δίνονται ορισμένες σκέψεις στα βιβλία των Hambidge, Geek και άλλων.

Ποιο είναι το πλεονέκτημα της γωνίας του ημιοκταέδρου; Σύμφωνα με τις περιγραφές αρχαιολόγων και ιστορικών, μερικές πυραμίδες κατέρρευσαν από το ίδιο τους το βάρος. Αυτό που χρειαζόταν ήταν μια «γωνία αντοχής», μια γωνία που ήταν η πιο αξιόπιστη ενεργειακά. Καθαρά εμπειρικά, αυτή η γωνία μπορεί να ληφθεί από τη γωνία κορυφής σε ένα σωρό θρυμματισμένης ξηρής άμμου. Αλλά για να λάβετε ακριβή δεδομένα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το μοντέλο. Λαμβάνοντας τέσσερις σταθερά στερεωμένες μπάλες, πρέπει να βάλετε την πέμπτη πάνω τους και να μετρήσετε τις γωνίες κλίσης. Ωστόσο, εδώ μπορείτε να κάνετε ένα λάθος, επομένως, ένας θεωρητικός υπολογισμός βοηθάει: θα πρέπει να συνδέσετε τα κέντρα των μπάλων με γραμμές (διανοητικά). Στη βάση, παίρνετε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Το τετράγωνο θα είναι απλώς η βάση της πυραμίδας, το μήκος των άκρων της οποίας θα είναι επίσης ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας.

Έτσι, ένα πυκνό μάζεμα μπάλες τύπου 1:4 θα μας δώσει ένα κανονικό ημι-οκτάεδρο.

Ωστόσο, γιατί πολλές πυραμίδες, που έλκονται προς μια παρόμοια μορφή, ωστόσο δεν τη διατηρούν; Μάλλον οι πυραμίδες γερνούν. Σε αντίθεση με το γνωστό ρητό:

"Τα πάντα στον κόσμο φοβούνται τον χρόνο, και ο χρόνος φοβάται τις πυραμίδες", τα κτίρια των πυραμίδων πρέπει να γεράσουν, μπορούν και πρέπει να πραγματοποιούνται όχι μόνο οι διαδικασίες της εξωτερικής καιρικής φύσης, αλλά και οι διαδικασίες εσωτερικής "συρρίκνωσης" , από το οποίο οι πυραμίδες μπορεί να γίνουν χαμηλότερες. Η συρρίκνωση είναι επίσης δυνατή επειδή, όπως διαπιστώθηκε από τα έργα του D. Davidovits, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν την τεχνολογία κατασκευής τεμαχίων από ασβέστη, με άλλα λόγια, από "μπετόν". Είναι αυτές οι διαδικασίες που θα μπορούσαν να εξηγήσουν τον λόγο για την καταστροφή της πυραμίδας Medum, που βρίσκεται 50 χιλιόμετρα νότια του Καΐρου. Είναι 4600 ετών, οι διαστάσεις της βάσης είναι 146 x 146 m, το ύψος είναι 118 m. «Γιατί είναι τόσο ακρωτηριασμένο;» αναρωτιέται ο V. Zamarovsky. «Οι συνήθεις αναφορές στις καταστροφικές συνέπειες του χρόνου και στη «χρήση της πέτρας για άλλα κτίρια» δεν χωρούν εδώ.

Άλλωστε, τα περισσότερα από τα τετράγωνά του και οι πλάκες του παραμένουν στη θέση τους, στα ερείπια στους πρόποδές του. "Όπως θα δούμε, μια σειρά από διατάξεις κάνουν κάποιον να σκεφτεί ακόμη και ότι η περίφημη πυραμίδα του Χέοπα επίσης" συρρικνώθηκε ". Σε κάθε περίπτωση , σε όλες τις αρχαίες εικόνες οι πυραμίδες είναι μυτερές ...

Το σχήμα των πυραμίδων θα μπορούσε επίσης να δημιουργηθεί με μίμηση: μερικά φυσικά μοτίβα, «θαυματουργή τελειότητα», ας πούμε, μερικοί κρύσταλλοι σε μορφή οκταέδρου.

Τέτοιοι κρύσταλλοι θα μπορούσαν να είναι κρύσταλλοι διαμαντιών και χρυσού. Χαρακτηριστικός είναι ένας μεγάλος αριθμός «τεμνόμενων» σημείων για έννοιες όπως ο Φαραώ, ο Ήλιος, ο Χρυσός, το Διαμάντι. Παντού - ευγενής, λαμπρός (λαμπρός), σπουδαίος, άψογος και ούτω καθεξής. Οι ομοιότητες δεν είναι τυχαίες.

Η ηλιακή λατρεία, όπως γνωρίζετε, ήταν σημαντικό μέρος της θρησκείας της αρχαίας Αιγύπτου. «Ανεξάρτητα από το πώς μεταφράζουμε το όνομα της μεγαλύτερης από τις πυραμίδες», λέει ένα από τα σύγχρονα εγχειρίδια, «Sky Khufu» ή «Sky Khufu», σήμαινε ότι ο βασιλιάς είναι ο ήλιος. Εάν ο Khufu, με τη λαμπρότητα της δύναμής του, φανταζόταν τον εαυτό του ως δεύτερο ήλιο, τότε ο γιος του Jedef-Ra έγινε ο πρώτος από τους Αιγύπτιους βασιλείς που άρχισε να αυτοαποκαλείται "ο γιος του Ra", δηλαδή ο γιος του Ήλιος. Ο ήλιος συμβολιζόταν από όλους σχεδόν τους λαούς ως «ηλιακό μέταλλο», χρυσός. "Ο μεγάλος δίσκος από λαμπερό χρυσό" - έτσι αποκαλούσαν οι Αιγύπτιοι το φως της ημέρας μας. Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν πολύ καλά τον χρυσό, γνώριζαν τις εγγενείς μορφές του, όπου οι κρύσταλλοι χρυσού μπορούν να εμφανιστούν με τη μορφή οκταέδρων.

Ως "δείγμα μορφών" ενδιαφέρει και εδώ η "ηλιακή πέτρα" - ένα διαμάντι. Το όνομα του διαμαντιού προήλθε ακριβώς από τον αραβικό κόσμο, "almas" - το πιο σκληρό, σκληρό, άφθαρτο. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν το διαμάντι και οι ιδιότητές του είναι αρκετά καλές. Σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς, χρησιμοποιούσαν ακόμη και χάλκινους σωλήνες με διαμαντοκόπτες για διάτρηση.

Η Νότια Αφρική είναι πλέον ο κύριος προμηθευτής διαμαντιών, αλλά η Δυτική Αφρική είναι επίσης πλούσια σε διαμάντια. Η επικράτεια της Δημοκρατίας του Μάλι αποκαλείται ακόμη και η «Γη των Διαμαντιών» εκεί. Εν τω μεταξύ, στην επικράτεια του Μάλι ζουν οι Ντόγκον, με τους οποίους οι υποστηρικτές της υπόθεσης των παλαιοεπίσκεψης εναποθέτουν πολλές ελπίδες (βλ. παρακάτω). Τα διαμάντια δεν θα μπορούσαν να είναι η αιτία για τις επαφές των αρχαίων Αιγυπτίων με αυτή την περιοχή. Ωστόσο, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, είναι πιθανό ότι ακριβώς αντιγράφοντας τα οκτάεδρα από διαμάντια και χρυσούς κρυστάλλους οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θεοποίησαν τους Φαραώ, «άφθαρτους» σαν το διαμάντι και «λαμπρούς» σαν τον χρυσό, τους γιους του Ήλιου, συγκρίσιμους μόνο με τις πιο υπέροχες δημιουργίες της φύσης.

Συμπέρασμα:

Έχοντας μελετήσει την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα, γνωρίζοντας τα στοιχεία και τις ιδιότητές της, πειστήκαμε για την εγκυρότητα της γνώμης για την ομορφιά του σχήματος της πυραμίδας.

Ως αποτέλεσμα της έρευνάς μας, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι Αιγύπτιοι, έχοντας συγκεντρώσει την πιο πολύτιμη μαθηματική γνώση, την ενσάρκωσαν σε μια πυραμίδα. Επομένως, η πυραμίδα είναι πραγματικά το τελειότερο δημιούργημα της φύσης και του ανθρώπου.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

«Γεωμετρία: Proc. για 7-9 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα \, κλπ. - 9η έκδ. - Μ .: Εκπαίδευση, 1999

Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο, Μ: "Διαφωτισμός", 1982

Γεωμετρία τάξη 10-11, Μ: "Διαφωτισμός", 2000

Peter Tompkins "Secrets of the Great Pyramid of Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

Πόροι του Διαδικτύου

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html