Τι κοινό έχουν ένα δέντρο, μια ακρογιαλιά, ένα σύννεφο ή αιμοφόρα αγγεία στο χέρι μας; Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι όλα αυτά τα αντικείμενα δεν έχουν τίποτα κοινό. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, υπάρχει μια ιδιότητα της δομής που είναι εγγενής σε όλα τα αναφερόμενα αντικείμενα: είναι όμοια με τον εαυτό τους. Από το κλαδί, καθώς και από τον κορμό ενός δέντρου, αναχωρούν μικρότερες διεργασίες, από αυτές - ακόμη μικρότερες κ.λπ., δηλαδή ένα κλαδί μοιάζει με ολόκληρο το δέντρο. Το κυκλοφορικό σύστημα είναι διατεταγμένο με παρόμοιο τρόπο: τα αρτηρίδια αναχωρούν από τις αρτηρίες και από αυτά - τα μικρότερα τριχοειδή αγγεία μέσω των οποίων το οξυγόνο εισέρχεται στα όργανα και τους ιστούς. Ας δούμε δορυφορικές εικόνες της θαλάσσιας ακτής: θα δούμε όρμους και χερσονήσους. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό, αλλά από ψηλά: θα δούμε όρμους και ακρωτήρια. τώρα φανταστείτε ότι στεκόμαστε στην παραλία και κοιτάμε τα πόδια μας: πάντα θα υπάρχουν βότσαλα που προεξέχουν περισσότερο στο νερό από τα υπόλοιπα. Δηλαδή, η ακτογραμμή παραμένει παρόμοια με την ίδια όταν γίνεται μεγέθυνση. Ο Αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbrot ονόμασε αυτή την ιδιότητα των αντικειμένων φρακταλικότητα και τα ίδια τα αντικείμενα - φράκταλ (από το λατινικό fractus - σπασμένα).

Αυτή η έννοια δεν έχει αυστηρό ορισμό. Επομένως, η λέξη «φράκταλ» δεν είναι μαθηματικός όρος. Συνήθως, ένα φράκταλ είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που ικανοποιεί μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες ιδιότητες: Έχει πολύπλοκη δομή σε οποιαδήποτε μεγέθυνση (σε αντίθεση, για παράδειγμα, με μια ευθεία γραμμή, οποιοδήποτε τμήμα της είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα - ένα τμήμα). Είναι (περίπου) αυτοπαρόμοιο. Έχει κλασματική διάσταση Hausdorff (fractal), η οποία είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική. Μπορεί να κατασκευαστεί με αναδρομικές διαδικασίες.

Γεωμετρία και Άλγεβρα

Η μελέτη των φράκταλ στις αρχές του 19ου και του 20ου αιώνα ήταν περισσότερο επεισοδιακή παρά συστηματική, επειδή οι προηγούμενοι μαθηματικοί μελετούσαν κυρίως «καλά» αντικείμενα που μπορούσαν να διερευνηθούν χρησιμοποιώντας γενικές μεθόδους και θεωρίες. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass κατασκευάζει ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν μπορεί να διαφοροποιηθεί πουθενά. Ωστόσο, η κατασκευή του ήταν εντελώς αφηρημένη και δυσνόητη. Ως εκ τούτου, το 1904, ο Σουηδός Helge von Koch βρήκε μια συνεχή καμπύλη που δεν έχει εφαπτομένη πουθενά και είναι πολύ απλό να την σχεδιάσετε. Αποδείχθηκε ότι έχει τις ιδιότητες ενός φράκταλ. Μια παραλλαγή αυτής της καμπύλης ονομάζεται νιφάδα χιονιού Koch.

Τις ιδέες της αυτο-ομοιότητας των μορφών πήρε ο Γάλλος Paul Pierre Levy, ο μελλοντικός μέντορας του Benoit Mandelbrot. Το 1938 δημοσιεύτηκε το άρθρο του «Επίπεδο και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο», στο οποίο περιγράφεται ένα άλλο φράκταλ - η καμπύλη C Lévy. Όλα αυτά τα φράκταλ που αναφέρονται παραπάνω μπορούν να αποδοθούν υπό όρους σε μια κατηγορία κατασκευαστικών (γεωμετρικών) φράκταλ.

Μια άλλη κατηγορία είναι τα δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ, τα οποία περιλαμβάνουν το σύνολο Mandelbrot. Η πρώτη έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση ξεκίνησε στις αρχές του 20ου αιώνα και συνδέεται με τα ονόματα των Γάλλων μαθηματικών Gaston Julia και Pierre Fatou. Το 1918, η Τζούλια δημοσίευσε ένα απομνημόνευμα σχεδόν διακοσίων σελίδων, αφιερωμένο σε επαναλήψεις πολύπλοκων ορθολογικών συναρτήσεων, στα οποία περιγράφονται τα σύνολα της Τζούλια - μια ολόκληρη οικογένεια φράκταλ που σχετίζονται στενά με το σύνολο του Μάντελμπροτ. Αυτό το έργο τιμήθηκε με το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας, αλλά δεν περιείχε ούτε μια εικονογράφηση, επομένως ήταν αδύνατο να εκτιμηθεί η ομορφιά των αντικειμένων που ανακαλύφθηκαν. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο έκανε την Τζούλια διάσημη στους μαθηματικούς της εποχής, γρήγορα ξεχάστηκε. Και πάλι, η προσοχή στράφηκε σε αυτό μόλις μισό αιώνα αργότερα με την εμφάνιση των υπολογιστών: ήταν αυτοί που έκαναν ορατό τον πλούτο και την ομορφιά του κόσμου των φράκταλ.

Διαστάσεις φράκταλ

Όπως γνωρίζετε, η διάσταση (αριθμός μετρήσεων) ενός γεωμετρικού σχήματος είναι ο αριθμός των συντεταγμένων που είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου που βρίσκεται σε αυτό το σχήμα.
Για παράδειγμα, η θέση ενός σημείου σε μια καμπύλη καθορίζεται από μια συντεταγμένη, σε μια επιφάνεια (όχι απαραίτητα ένα επίπεδο) από δύο συντεταγμένες, στον τρισδιάστατο χώρο από τρεις συντεταγμένες.
Από μια γενικότερη μαθηματική άποψη, μπορεί κανείς να ορίσει τη διάσταση με αυτόν τον τρόπο: μια αύξηση στις γραμμικές διαστάσεις, ας πούμε, δύο φορές, για μονοδιάστατα (από τοπολογική άποψη) αντικείμενα (τμήμα) οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους (μήκος) κατά συντελεστή δύο, για δισδιάστατο (τετράγωνο) η ίδια αύξηση των γραμμικών διαστάσεων οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους (εμβαδού) κατά 4 φορές, για τον τρισδιάστατο (κύβο) - κατά 8 φορές. Δηλαδή, η «πραγματική» (το λεγόμενη Hausdorff) διάσταση μπορεί να υπολογιστεί ως ο λόγος του λογάριθμου της αύξησης του «μέγεθους» ενός αντικειμένου προς τον λογάριθμο της αύξησης του γραμμικού του μεγέθους. Δηλαδή, για ένα τμήμα D=log (2)/log (2)=1, για ένα επίπεδο D=log (4)/log (2)=2, για έναν όγκο D=log (8)/log (2 )=3.
Ας υπολογίσουμε τώρα τη διάσταση της καμπύλης Koch, για την κατασκευή της οποίας το μοναδιαίο τμήμα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη και το μεσαίο διάστημα αντικαθίσταται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτό το τμήμα. Με αύξηση των γραμμικών διαστάσεων του ελάχιστου τμήματος τρεις φορές, το μήκος της καμπύλης Koch αυξάνεται σε log (4) / log (3) ~ 1,26. Δηλαδή η διάσταση της καμπύλης Koch είναι κλασματική!

Επιστήμη και τέχνη

Το 1982 κυκλοφόρησε το βιβλίο του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", στο οποίο ο συγγραφέας συγκέντρωσε και συστηματοποίησε σχεδόν όλες τις πληροφορίες για τα φράκταλ που ήταν διαθέσιμες εκείνη την εποχή και τις παρουσίασε με εύκολο και προσιτό τρόπο. Ο Mandelbrot έδωσε την κύρια έμφαση στην παρουσίασή του όχι σε βαρείς τύπους και μαθηματικές κατασκευές, αλλά στη γεωμετρική διαίσθηση των αναγνωστών. Χάρη σε εικονογραφήσεις και ιστορικές ιστορίες που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή, με τις οποίες ο συγγραφέας αραίωσε επιδέξια το επιστημονικό στοιχείο της μονογραφίας, το βιβλίο έγινε μπεστ σέλερ και τα φράκταλ έγιναν γνωστά στο ευρύ κοινό. Η επιτυχία τους μεταξύ των μη μαθηματικών οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι με τη βοήθεια πολύ απλών κατασκευών και τύπων που μπορεί να καταλάβει ακόμη και ένας μαθητής λυκείου, αποκτώνται εικόνες εκπληκτικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί, εμφανίστηκε ακόμη και μια ολόκληρη τάση στην τέχνη - φράκταλ ζωγραφική, και σχεδόν οποιοσδήποτε ιδιοκτήτης υπολογιστή μπορούσε να το κάνει. Τώρα στο Διαδίκτυο μπορείτε εύκολα να βρείτε πολλούς ιστότοπους αφιερωμένους σε αυτό το θέμα.

Σχέδιο για τη λήψη της καμπύλης Koch

Πόλεμος και ειρήνη

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, ένα από τα φυσικά αντικείμενα που έχουν φράκταλ ιδιότητες είναι η ακτογραμμή. Μια ενδιαφέρουσα ιστορία συνδέεται με αυτό, ή μάλλον, με μια προσπάθεια μέτρησης του μήκους του, που αποτέλεσε τη βάση του επιστημονικού άρθρου του Mandelbrot, και περιγράφεται επίσης στο βιβλίο του "The Fractal Geometry of Nature". Μιλάμε για ένα πείραμα που έστησε ο Lewis Richardson, ένας πολύ ταλαντούχος και εκκεντρικός μαθηματικός, φυσικός και μετεωρολόγος. Μία από τις κατευθύνσεις της έρευνάς του ήταν μια προσπάθεια να βρει μια μαθηματική περιγραφή των αιτιών και της πιθανότητας μιας ένοπλης σύγκρουσης μεταξύ δύο χωρών. Μεταξύ των παραμέτρων που έλαβε υπόψη του ήταν το μήκος των κοινών συνόρων μεταξύ των δύο αντιμαχόμενων χωρών. Όταν συνέλεξε δεδομένα για αριθμητικά πειράματα, διαπίστωσε ότι σε διαφορετικές πηγές τα δεδομένα για τα κοινά σύνορα της Ισπανίας και της Πορτογαλίας διαφέρουν πολύ. Αυτό τον οδήγησε στην εξής ανακάλυψη: το μήκος των συνόρων της χώρας εξαρτάται από τον χάρακα με τον οποίο τα μετράμε. Όσο μικρότερη είναι η κλίμακα, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το περίγραμμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε μεγαλύτερη μεγέθυνση καθίσταται δυνατό να ληφθούν υπόψη όλο και περισσότερες στροφές της ακτής, οι οποίες προηγουμένως αγνοούνταν λόγω της τραχύτητας των μετρήσεων. Και αν, με κάθε μεγέθυνση, ανοίγουν προηγουμένως μη καταγεγραμμένες στροφές γραμμών, τότε αποδεικνύεται ότι το μήκος των περιγραμμάτων είναι άπειρο! Είναι αλήθεια ότι στην πραγματικότητα αυτό δεν συμβαίνει - η ακρίβεια των μετρήσεών μας έχει ένα πεπερασμένο όριο. Αυτό το παράδοξο ονομάζεται φαινόμενο Richardson.

Κατασκευαστικά (γεωμετρικά) φράκταλ

Ο αλγόριθμος για την κατασκευή ενός κατασκευαστικού φράκταλ στη γενική περίπτωση είναι ο εξής. Πρώτα απ 'όλα, χρειαζόμαστε δύο κατάλληλα γεωμετρικά σχήματα, ας τα ονομάσουμε βάση και θραύσμα. Στο πρώτο στάδιο, απεικονίζεται η βάση του μελλοντικού φράκταλ. Στη συνέχεια, ορισμένα από τα μέρη του αντικαθίστανται από ένα θραύσμα που λαμβάνεται σε κατάλληλη κλίμακα - αυτή είναι η πρώτη επανάληψη της κατασκευής. Στη συνέχεια, στο σχήμα που προκύπτει, κάποια μέρη αλλάζουν και πάλι σε σχήματα παρόμοια με ένα θραύσμα, και ούτω καθεξής.Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' αόριστον, τότε στο όριο παίρνουμε ένα φράκταλ.

Εξετάστε αυτήν τη διαδικασία χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της καμπύλης Koch (δείτε πλαϊνή γραμμή στην προηγούμενη σελίδα). Οποιαδήποτε καμπύλη μπορεί να ληφθεί ως βάση της καμπύλης Koch (για τη νιφάδα χιονιού Koch, αυτό είναι ένα τρίγωνο). Αλλά περιοριζόμαστε στην απλούστερη περίπτωση - ένα τμήμα. Το θραύσμα είναι μια διακεκομμένη γραμμή που φαίνεται στο πάνω μέρος του σχήματος. Μετά την πρώτη επανάληψη του αλγορίθμου, σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό τμήμα θα συμπίπτει με το θραύσμα, στη συνέχεια καθένα από τα συστατικά του τμήματα θα αντικατασταθεί από μια διακεκομμένη γραμμή παρόμοια με το τμήμα και ούτω καθεξής. Το σχήμα δείχνει τα πρώτα τέσσερα βήματα αυτής της διαδικασίας.

Η γλώσσα των μαθηματικών: δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ

Τα φράκταλ αυτού του τύπου προκύπτουν στη μελέτη μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων (εξ ου και το όνομα). Η συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να περιγραφεί από μια σύνθετη μη γραμμική συνάρτηση (πολυώνυμο) f(z). Ας πάρουμε κάποιο αρχικό σημείο z0 στο μιγαδικό επίπεδο (βλ. πλαϊνή γραμμή). Τώρα θεωρήστε μια τέτοια άπειρη ακολουθία αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο, καθένας από τους οποίους προκύπτει από τον προηγούμενο: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Ανάλογα με το αρχικό σημείο z0, μια τέτοια ακολουθία μπορεί να συμπεριφέρεται διαφορετικά: τείνει στο άπειρο ως n -> ∞; συγκλίνουν σε κάποιο τελικό σημείο. κυκλικά πάρτε έναν αριθμό σταθερών τιμών. είναι δυνατές πιο σύνθετες επιλογές.

Μιγαδικοί αριθμοί

Ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από δύο μέρη - πραγματικό και φανταστικό, δηλαδή το τυπικό άθροισμα x + iy (το x και το y εδώ είναι πραγματικοί αριθμοί). είμαι το λεγόμενο. νοητή μονάδα, δηλαδή έναν αριθμό που ικανοποιεί την εξίσωση i^ 2 = -1. Πάνω από μιγαδικούς αριθμούς, ορίζονται οι βασικές μαθηματικές πράξεις - πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση (μόνο η πράξη σύγκρισης δεν ορίζεται). Για την εμφάνιση μιγαδικών αριθμών, χρησιμοποιείται συχνά μια γεωμετρική αναπαράσταση - στο επίπεδο (λέγεται μιγαδικός), το πραγματικό μέρος σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και το φανταστικό μέρος κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, ενώ ο μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο με καρτεσιανές συντεταγμένες x και y.

Έτσι, οποιοδήποτε σημείο z του μιγαδικού επιπέδου έχει τον δικό του χαρακτήρα συμπεριφοράς κατά τις επαναλήψεις της συνάρτησης f (z), και ολόκληρο το επίπεδο χωρίζεται σε μέρη. Επιπλέον, τα σημεία που βρίσκονται στα όρια αυτών των τμημάτων έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: για μια αυθαίρετα μικρή μετατόπιση, η φύση της συμπεριφοράς τους αλλάζει δραματικά (τέτοια σημεία ονομάζονται σημεία διακλάδωσης). Έτσι, αποδεικνύεται ότι σύνολα σημείων που έχουν έναν συγκεκριμένο τύπο συμπεριφοράς, καθώς και σύνολα σημείων διακλάδωσης, έχουν συχνά φράκταλ ιδιότητες. Αυτά είναι τα σύνολα Julia για τη συνάρτηση f(z).

οικογένεια δράκων

Μεταβάλλοντας τη βάση και το θραύσμα, μπορείτε να αποκτήσετε μια εκπληκτική ποικιλία εποικοδομητικών φράκταλ.
Επιπλέον, παρόμοιες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε τρισδιάστατο χώρο. Παραδείγματα ογκομετρικών φράκταλ είναι το «σφουγγάρι του Menger», η «πυραμίδα του Sierpinski» και άλλα.
Η οικογένεια των δράκων αναφέρεται επίσης σε εποικοδομητικά φράκταλ. Μερικές φορές αναφέρονται με το όνομα των ανακαλύψεων ως «δράκοι του Heiwei-Harter» (μοιάζουν με κινέζικους δράκους στο σχήμα τους). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι κατασκευής αυτής της καμπύλης. Το πιο απλό και προφανές από αυτά είναι το εξής: πρέπει να πάρετε μια αρκετά μακριά λωρίδα χαρτιού (όσο πιο λεπτό είναι το χαρτί, τόσο το καλύτερο) και να το λυγίσετε στη μέση. Στη συνέχεια, λυγίστε το ξανά στη μέση προς την ίδια κατεύθυνση όπως την πρώτη φορά. Μετά από αρκετές επαναλήψεις (συνήθως μετά από πέντε ή έξι διπλώσεις, η λωρίδα γίνεται πολύ παχιά για να λυγίσει προσεκτικά περαιτέρω), πρέπει να ισιώσετε τη λωρίδα προς τα πίσω και να προσπαθήσετε να σχηματίσετε γωνίες 90˚ στις πτυχές. Τότε η καμπύλη του δράκου θα βγει σε προφίλ. Φυσικά, αυτό θα είναι μόνο μια προσέγγιση, όπως όλες οι προσπάθειές μας να απεικονίσουμε αντικείμενα φράκταλ. Ο υπολογιστής σας επιτρέπει να απεικονίσετε πολλά περισσότερα βήματα σε αυτή τη διαδικασία και το αποτέλεσμα είναι μια πολύ όμορφη φιγούρα.

Το σύνολο Mandelbrot είναι κατασκευασμένο κάπως διαφορετικά. Θεωρήστε τη συνάρτηση fc (z) = z 2 +c, όπου c είναι μιγαδικός αριθμός. Ας κατασκευάσουμε μια ακολουθία αυτής της συνάρτησης με z0=0, ανάλογα με την παράμετρο c, μπορεί να αποκλίνει στο άπειρο ή να παραμείνει περιορισμένη. Επιπλέον, όλες οι τιμές του c για τις οποίες οριοθετείται αυτή η ακολουθία σχηματίζουν το σύνολο Mandelbrot. Μελετήθηκε λεπτομερώς από τον ίδιο τον Mandelbrot και άλλους μαθηματικούς, οι οποίοι ανακάλυψαν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες αυτού του συνόλου.

Μπορεί να φανεί ότι οι ορισμοί των σετ Julia και Mandelbrot είναι παρόμοιοι μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, αυτά τα δύο σύνολα συνδέονται στενά. Δηλαδή, το σύνολο Mandelbrot είναι όλες οι τιμές της μιγαδικής παραμέτρου c για την οποία είναι συνδεδεμένο το σύνολο Julia fc (z) (ένα σύνολο ονομάζεται συνδεδεμένο εάν δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη που δεν τέμνονται, με ορισμένες πρόσθετες συνθήκες).

φράκταλ και ζωή

Στις μέρες μας, η θεωρία των φράκταλ χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εκτός από ένα καθαρά επιστημονικό αντικείμενο για έρευνα και την ήδη αναφερθείσα φράκταλ ζωγραφική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στη θεωρία πληροφοριών για τη συμπίεση γραφικών δεδομένων (εδώ, χρησιμοποιείται κυρίως η ιδιότητα αυτο-ομοιότητας των φράκταλ - εξάλλου, για να θυμόμαστε ένα μικρό θραύσμα ενός σχεδίου και των μετασχηματισμών με τα οποία μπορείτε να αποκτήσετε τα υπόλοιπα μέρη, χρειάζεται πολύ λιγότερη μνήμη από το να αποθηκεύσετε ολόκληρο το αρχείο). Προσθέτοντας τυχαίες διαταραχές στους τύπους που ορίζουν το φράκταλ, μπορείτε να λάβετε στοχαστικά φράκταλ που μεταφέρουν πολύ εύλογα ορισμένα πραγματικά αντικείμενα - στοιχεία ανακούφισης, την επιφάνεια των υδάτινων σωμάτων, ορισμένα φυτά, τα οποία χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη φυσική, τη γεωγραφία και τα γραφικά υπολογιστών για την επίτευξη μεγαλύτερη ομοιότητα των προσομοιωμένων αντικειμένων με τα πραγματικά. Στα ραδιοηλεκτρονικά, την τελευταία δεκαετία, άρχισαν να παράγουν κεραίες που έχουν σχήμα φράκταλ. Καταλαμβάνοντας λίγο χώρο, παρέχουν αρκετά υψηλής ποιότητας λήψη σήματος. Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν φράκταλ για να περιγράψουν καμπύλες διακύμανσης νομισμάτων (αυτή η ιδιότητα ανακαλύφθηκε από τον Mandelbrot πριν από 30 χρόνια). Αυτό ολοκληρώνει αυτή τη σύντομη εκδρομή στον κόσμο των φράκταλ, εκπληκτικό στην ομορφιά και την ποικιλομορφία του.

Όταν δεν καταλαβαίνω τα πάντα σε αυτά που διαβάζω, δεν στενοχωριέμαι ιδιαίτερα. Αν το θέμα δεν μου έρθει αργότερα, τότε δεν είναι πολύ σημαντικό (τουλάχιστον για μένα). Αν το θέμα ξανασυναντηθεί, για τρίτη φορά, θα έχω νέες ευκαιρίες να το καταλάβω καλύτερα. Τα φράκταλ είναι μεταξύ τέτοιων θεμάτων. Πρώτα έμαθα γι 'αυτούς από ένα βιβλίο του Nassim Taleb και στη συνέχεια με περισσότερες λεπτομέρειες από ένα βιβλίο του Benoit Mandelbrot. Σήμερα, με το αίτημα "fractal" στον ιστότοπο, μπορείτε να λάβετε 20 σημειώσεις.

Μέρος Ι. ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ

ΤΟ ΟΝΟΜΑ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ.Ήδη από τις αρχές του 20ου αιώνα, ο Henri Poincaré παρατήρησε: «Είσαι έκπληκτος με τη δύναμη που μπορεί να έχει μια λέξη. Εδώ είναι ένα αντικείμενο για το οποίο δεν μπορούσε να ειπωθεί τίποτα μέχρι να βαφτιστεί. Ήταν αρκετό να του δώσω ένα όνομα για να συμβεί ένα θαύμα "(βλ. επίσης). Και έτσι συνέβη όταν, το 1975, ο Γάλλος μαθηματικός πολωνικής καταγωγής, Μπενουά Μαντελμπρό, συνέλεξε τη Λέξη. Από λατινικές λέξεις frangere(διάλειμμα) και fractus(ασυνεχές, διακριτό, κλασματικό) έχει σχηματιστεί ένα φράκταλ. Ο Mandelbrot προώθησε και διέδωσε επιδέξια το φράκταλ ως μια επωνυμία που βασίζεται στη συναισθηματική έλξη και στη λογική χρησιμότητα. Δημοσιεύει αρκετές μονογραφίες, συμπεριλαμβανομένης της The Fractal Geometry of Nature (1982).

ΤΑ ΦΡΑΚΤΑΛ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ.Ο Mandelbrot περιέγραψε τα περιγράμματα μιας φράκταλ γεωμετρίας διαφορετικής από την Ευκλείδεια. Η διαφορά δεν ίσχυε για το αξίωμα του παραλληλισμού, όπως στις γεωμετρίες του Lobachevsky ή του Riemann. Η διαφορά ήταν η απόρριψη της προεπιλεγμένης απαίτησης του Ευκλείδη για ομαλότητα. Ορισμένα αντικείμενα είναι εγγενώς τραχιά, πορώδη ή κατακερματισμένα και πολλά από αυτά έχουν αυτές τις ιδιότητες «στο ίδιο βαθμό σε οποιαδήποτε κλίμακα». Στη φύση, δεν λείπουν τέτοιες μορφές: ηλίανθοι και μπρόκολα, θαλάσσια κοχύλια, φτέρες, νιφάδες χιονιού, σχισμές βουνών, ακτές, φιόρδ, σταλαγμίτες και σταλακτίτες, κεραυνοί.

Οι άνθρωποι που είναι προσεκτικοί και παρατηρητικοί έχουν παρατηρήσει εδώ και πολύ καιρό ότι ορισμένες μορφές εμφανίζουν μια επαναλαμβανόμενη δομή όταν τις βλέπει κανείς «από κοντά ή από μακριά». Προσεγγίζοντας τέτοια αντικείμενα, παρατηρούμε ότι μόνο μικρές λεπτομέρειες αλλάζουν, αλλά το σχήμα στο σύνολό του παραμένει σχεδόν αμετάβλητο. Με βάση αυτό, το φράκταλ είναι πιο εύκολο να οριστεί ως ένα γεωμετρικό σχήμα που περιέχει επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε οποιαδήποτε κλίμακα.

ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΜΥΣΤΙΚΕΥΣΕΙΣ.Το νέο στρώμα μορφών που ανακάλυψε ο Mandelbrot έγινε χρυσωρυχείο για σχεδιαστές, αρχιτέκτονες και μηχανικούς. Ένας αμέτρητος αριθμός φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με τις ίδιες αρχές πολλαπλής επανάληψης. Από εδώ, το φράκταλ είναι πιο εύκολο να οριστεί ως ένα γεωμετρικό σχήμα που περιέχει επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε οποιαδήποτε κλίμακα. Αυτή η γεωμετρική μορφή είναι τοπικά αμετάβλητη (αμετάβλητη), αυτο-όμοια σε κλίμακα και αναπόσπαστο στους περιορισμούς της, μια αληθινή ιδιομορφία, η πολυπλοκότητα της οποίας αποκαλύπτεται καθώς πλησιάζει, και η ίδια η επιπολαιότητα σε απόσταση.

ΣΚΑΛΑ ΤΟΥ ΔΙΑΒΟΛΟΥ.Τα εξαιρετικά ισχυρά ηλεκτρικά σήματα χρησιμοποιούνται για τη μεταφορά δεδομένων μεταξύ υπολογιστών. Ένα τέτοιο σήμα είναι διακριτό. Παρεμβολές ή θόρυβος συμβαίνουν τυχαία στα ηλεκτρικά δίκτυα για πολλούς λόγους και οδηγούν σε απώλεια δεδομένων κατά τη μεταφορά πληροφοριών μεταξύ υπολογιστών. Η εξάλειψη της επίδρασης του θορύβου στη μετάδοση δεδομένων στις αρχές της δεκαετίας του εξήντα του περασμένου αιώνα ανατέθηκε σε μια ομάδα μηχανικών της IBM, στην οποία συμμετείχε ο Mandelbrot.

Μια πρόχειρη ανάλυση έδειξε την παρουσία περιόδων κατά τις οποίες δεν καταγράφηκαν σφάλματα. Έχοντας ξεχωρίσει περιόδους διάρκειας μιας ώρας, οι μηχανικοί παρατήρησαν ότι μεταξύ τους οι περίοδοι διέλευσης σήματος χωρίς σφάλματα είναι επίσης διακοπτόμενες· υπάρχουν μικρότερες παύσεις που διαρκούν περίπου είκοσι λεπτά. Έτσι, η μετάδοση δεδομένων χωρίς σφάλματα χαρακτηρίζεται από πακέτα δεδομένων διαφορετικού μήκους και παύσεις θορύβου, κατά τις οποίες το σήμα μεταδίδεται χωρίς σφάλματα. Σε πακέτα υψηλότερης κατάταξης, όπως λέμε, ενσωματώνονται πακέτα χαμηλότερης τάξης. Μια τέτοια περιγραφή συνεπάγεται την ύπαρξη ενός τέτοιου πράγματος όπως η σχετική θέση των πακέτων χαμηλότερης κατάταξης σε ένα πακέτο υψηλότερης κατάταξης. Η εμπειρία έχει δείξει ότι η κατανομή πιθανοτήτων αυτών των σχετικών θέσεων των πακέτων είναι ανεξάρτητη από την κατάταξή τους. Αυτή η αναλλοίωτη υποδηλώνει την αυτο-ομοιότητα της διαδικασίας παραμόρφωσης δεδομένων υπό τη δράση του ηλεκτρικού θορύβου. Η ίδια η διαδικασία για την εξάλειψη των παύσεων χωρίς σφάλματα στο σήμα κατά τη μετάδοση δεδομένων δεν μπορούσε να συμβεί στους ηλεκτρολόγους μηχανικούς για τον λόγο ότι αυτό ήταν νέο για αυτούς.

Αλλά ο Mandelbrot, ο οποίος σπούδασε καθαρά μαθηματικά, γνώριζε καλά το σύνολο Cantor, που περιγράφηκε το 1883 και αντιπροσώπευε τη σκόνη από σημεία που λαμβάνονται σύμφωνα με έναν αυστηρό αλγόριθμο. Η ουσία του αλγορίθμου για την κατασκευή του "Cantor's dust" είναι η εξής. Πάρτε μια ευθεία γραμμή. Αφαιρέστε το μεσαίο τρίτο του τμήματος από αυτό, κρατώντας τα δύο άκρα. Τώρα επαναλαμβάνουμε την ίδια λειτουργία με τα τελικά τμήματα και ούτω καθεξής. Ο Mandelbrot ανακάλυψε ότι αυτή ακριβώς είναι η γεωμετρία των πακέτων και οι παύσεις στη μετάδοση σημάτων μεταξύ των υπολογιστών. Το σφάλμα είναι αθροιστικό. Η συσσώρευσή του μπορεί να μοντελοποιηθεί ως εξής. Στο πρώτο βήμα, εκχωρούμε την τιμή 1/2 σε όλα τα σημεία του διαστήματος, στο δεύτερο βήμα από το διάστημα την τιμή 1/4, την τιμή 3/4 στα σημεία από το διάστημα κ.λπ. Η σταδιακή άθροιση αυτών των μεγεθών καθιστά δυνατή την κατασκευή της λεγόμενης «σκάλας του διαβόλου» (Εικ. 1). Το μέτρο της «σκόνης του Κάντορ» είναι ένας παράλογος αριθμός ίσος με 0,618 ..., γνωστός ως «χρυσή τομή» ή «Θεία αναλογία».

Μέρος II. ΤΑ ΦΡΑΚΤΑΛ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΘΕΜΑ

ΧΑΜΟΓΕΛΟ ΧΩΡΙΣ ΓΑΤΑ: ΦΡΑΚΤΑΛ ΔΙΑΣΤΑΣΗ.Η διάσταση είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες που ξεπερνά πολύ τα μαθηματικά. Ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των «Αρχών» όρισε τις βασικές έννοιες της γεωμετρίας σημείο, ευθεία, επίπεδο. Με βάση αυτούς τους ορισμούς, η έννοια του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου παρέμεινε αμετάβλητη για σχεδόν δυόμισι χιλιάδες χρόνια. Το πολυάριθμο φλερτ με χώρους τεσσάρων, πέντε και περισσότερων διαστάσεων ουσιαστικά δεν προσθέτει τίποτα, αλλά αντιμετωπίζουν αυτό που η ανθρώπινη φαντασία δεν μπορεί να φανταστεί. Με την ανακάλυψη της γεωμετρίας φράκταλ, έγινε μια ριζική επανάσταση στην έννοια της διάστασης. Εμφανίστηκε μια μεγάλη ποικιλία διαστάσεων, και ανάμεσά τους δεν είναι μόνο ακέραιοι, αλλά και κλασματικοί, ακόμη και παράλογοι. Και αυτές οι διαστάσεις είναι διαθέσιμες για οπτική και αισθησιακή αναπαράσταση. Πράγματι, μπορούμε εύκολα να φανταστούμε το τυρί με τρύπες ως μοντέλο ενός μέσου του οποίου η διάσταση είναι μεγαλύτερη από δύο, αλλά υπολείπεται των τριών λόγω των τρυπών του τυριού, γεγονός που μειώνει τη διάσταση της μάζας του τυριού.

Για να κατανοήσουμε την κλασματική ή φράκταλ διάσταση, ας στραφούμε στο παράδοξο του Ρίτσαρντσον, που υποστήριζε ότι το μήκος της κακοτράχαλης ακτογραμμής της Βρετανίας είναι άπειρο! Ο Louis Fry Richardson αναρωτήθηκε για την επίδραση της κλίμακας μέτρησης στο μέγεθος του μετρούμενου μήκους της βρετανικής ακτογραμμής. Όταν μετακινήθηκε από την κλίμακα των χαρτών περιγράμματος στην κλίμακα των «παράκτιων βότσαλων», κατέληξε σε ένα περίεργο και απροσδόκητο συμπέρασμα: το μήκος της ακτογραμμής αυξάνεται επ 'αόριστον, και αυτή η αύξηση δεν έχει όριο. Οι λείες καμπύλες γραμμές δεν συμπεριφέρονται έτσι. Τα εμπειρικά δεδομένα του Richardson, που ελήφθησαν σε χάρτες ολοένα και μεγαλύτερης κλίμακας, μαρτυρούν μια αύξηση του νόμου ισχύος στο μήκος της ακτογραμμής με μείωση στο βήμα μέτρησης:

Σε αυτόν τον απλό τύπο Richardson μεγάλοείναι το μετρούμενο μήκος της ακτής, ε είναι η τιμή του βήματος μέτρησης και β ≈ 3/2 είναι ο βαθμός αύξησης του μήκους της ακτής που βρέθηκε από αυτόν με μια μείωση στο βήμα μέτρησης. Σε αντίθεση με την περιφέρεια, το μήκος της ακτογραμμής του Ηνωμένου Βασιλείου αυξάνεται χωρίς να υπάρχει όριο 55. Είναι ατελείωτη! Πρέπει να συμβιβαστεί κανείς με το γεγονός ότι οι καμπύλες είναι σπασμένες, μη λείες, δεν έχουν περιοριστικό μήκος.

Ωστόσο, οι μελέτες του Richardson πρότειναν ότι έχουν κάποιο χαρακτηριστικό μέτρο του βαθμού ανάπτυξης σε μήκος με φθίνουσα κλίμακα μέτρησης. Αποδείχθηκε ότι αυτή η τιμή είναι που προσδιορίζει μυστικά μια σπασμένη γραμμή ως δακτυλικό αποτύπωμα της προσωπικότητας ενός ατόμου. Ο Mandelbrot ερμήνευσε την ακτογραμμή ως ένα φράκταλ αντικείμενο - ένα αντικείμενο του οποίου η διάσταση συμπίπτει με τον εκθέτη β.

Για παράδειγμα, οι διαστάσεις των καμπυλών των παράκτιων ορίων για τη δυτική ακτή της Νορβηγίας είναι 1,52. για το Ηνωμένο Βασίλειο - 1,25; για τη Γερμανία - 1,15; για την Αυστραλία - 1,13; για μια σχετικά ομαλή ακτή της Νότιας Αφρικής - 1,02 και, τέλος, για έναν απόλυτα ομαλό κύκλο - 1,0.

Κοιτάζοντας ένα θραύσμα ενός φράκταλ, δεν θα μπορείτε να πείτε ποια είναι η διάστασή του. Και ο λόγος δεν είναι στη γεωμετρική πολυπλοκότητα του θραύσματος, το θραύσμα μπορεί να είναι πολύ απλό, αλλά στο γεγονός ότι η φράκταλ διάσταση αντανακλά όχι μόνο το σχήμα του θραύσματος, αλλά και τη μορφή του μετασχηματισμού του θραύσματος στη διαδικασία κατασκευής το φράκταλ. Η διάσταση φράκταλ έχει αφαιρεθεί, όπως ήταν, από τη φόρμα. Και χάρη σε αυτό, η τιμή της διάστασης φράκταλ παραμένει αμετάβλητη· είναι η ίδια για οποιοδήποτε τμήμα του φράκταλ σε οποιαδήποτε κλίμακα προβολής. Δεν μπορεί να «αρπάξει με τα δάχτυλα», αλλά μπορεί να υπολογιστεί.

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ FRACTAL.Η επανάληψη μπορεί να μοντελοποιηθεί με μη γραμμικές εξισώσεις. Οι γραμμικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται από μια αντιστοιχία ενός προς ένα μεταβλητών: κάθε τιμή Χταιριάζει με μία και μόνο τιμή στοκαι αντίστροφα. Για παράδειγμα, η εξίσωση x + y = 1 είναι γραμμική. Η συμπεριφορά των γραμμικών συναρτήσεων καθορίζεται πλήρως, καθορίζεται μοναδικά από τις αρχικές συνθήκες. Η συμπεριφορά των μη γραμμικών συναρτήσεων δεν είναι τόσο σαφής, επειδή δύο διαφορετικές αρχικές συνθήκες μπορούν να οδηγήσουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σε αυτή τη βάση, η επανάληψη της επανάληψης της πράξης εμφανίζεται σε δύο διαφορετικές μορφές. Μπορεί να έχει χαρακτήρα γραμμικής αναφοράς, όταν σε κάθε βήμα των υπολογισμών υπάρχει επιστροφή στην αρχική κατάσταση. Αυτό είναι ένα είδος «επανάληψης προτύπων». Η σειριακή παραγωγή στη γραμμή συναρμολόγησης είναι "επανάληψη προτύπων". Η επανάληψη στη μορφή γραμμικής αναφοράς δεν εξαρτάται από τις ενδιάμεσες καταστάσεις της εξέλιξης του συστήματος. Εδώ, κάθε νέα επανάληψη ξεκινά "από τη σόμπα". Είναι εντελώς διαφορετικό το θέμα όταν η επανάληψη έχει μορφή αναδρομής, δηλαδή το αποτέλεσμα του προηγούμενου βήματος επανάληψης γίνεται η αρχική συνθήκη για το επόμενο.

Η αναδρομή μπορεί να απεικονιστεί με μια σειρά Fibonacci, που αναπαρίσταται με τη μορφή μιας ακολουθίας Girard:

u n +2 = u n +1 + u n

Το αποτέλεσμα είναι οι αριθμοί Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Σε αυτό το παράδειγμα, είναι ξεκάθαρο ότι η συνάρτηση εφαρμόζεται στον εαυτό της χωρίς να αναφέρεται η αρχική τιμή. Κάπως ολισθαίνει κατά μήκος της σειράς Fibonacci και κάθε αποτέλεσμα της προηγούμενης επανάληψης γίνεται η αρχική τιμή για την επόμενη. Αυτή η επανάληψη είναι που πραγματοποιείται στην κατασκευή μορφών φράκταλ.

Ας δείξουμε πώς υλοποιείται η επανάληψη φράκταλ στους αλγόριθμους για την κατασκευή της «πετσέτας Sierpinski» (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κοπής και τη μέθοδο CIF).

μέθοδος κοπής.Πάρτε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά r. Στο πρώτο βήμα, κόψαμε στο κέντρο του ένα ισόπλευρο τρίγωνο γυρισμένο ανάποδα με μήκος πλευράς r 1 = r 0/2. Ως αποτέλεσμα αυτού του βήματος, παίρνουμε τρία ισόπλευρα τρίγωνα με μήκη πλευρών r 1 = r 0 /2 που βρίσκεται στις κορυφές του αρχικού τριγώνου (Εικ. 2).

Στο δεύτερο βήμα, σε καθένα από τα τρία τρίγωνα που σχηματίστηκαν, κόψαμε ανεστραμμένα εγγεγραμμένα τρίγωνα με μήκος πλευράς r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Αποτέλεσμα - 9 τρίγωνα με μήκος πλευράς r 2 = r 0/4. Ως αποτέλεσμα, το σχήμα της "πετσέτας Sierpinski" γίνεται σταδιακά όλο και πιο καθορισμένο. Η στερέωση γίνεται σε κάθε βήμα. Όλες οι προηγούμενες σταθεροποιήσεις είναι κάπως «σβησμένες».

Μέθοδος SIF ή Μέθοδος Barnsley's Method of Systems of Iterated Functions.Δίνονται: ισόπλευρο τρίγωνο με τις συντεταγμένες των γωνιών A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2). Το Z 0 είναι ένα αυθαίρετο σημείο μέσα σε αυτό το τρίγωνο (Εικ. 3). Παίρνουμε ένα ζάρι, στις πλευρές του οποίου υπάρχουν δύο γράμματα Α, Β και Γ.

Βήμα 1. Ρίξτε το κόκαλο. Η πιθανότητα να πάρει κάθε γράμμα είναι 2/6 = 1/3.

• Αν πέσει το γράμμα Α, χτίζουμε ένα τμήμα z 0 -A, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 1
• Αν πέσει το γράμμα Β, χτίζουμε ένα τμήμα z 0 -B, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 1
• Αν πέσει το γράμμα C, κατασκευάζουμε ένα τμήμα z 0 -C, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 1

Βήμα 2. Ρίξτε ξανά το κόκαλο.

• Αν πέσει το γράμμα Α, χτίζουμε ένα τμήμα z 1 -A, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 2
• Αν πέσει το γράμμα Β, χτίζουμε ένα τμήμα z 1 -B, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 2
• Αν πέσει το γράμμα C, κατασκευάζουμε ένα τμήμα z 1 -C, στη μέση του οποίου βάζουμε ένα σημείο z 2

Επαναλαμβάνοντας την πράξη πολλές φορές, θα λάβουμε σημεία z 3 , z 4 , …, z n . Η ιδιαιτερότητα καθενός από αυτά είναι ότι το σημείο βρίσκεται ακριβώς στα μισά του δρόμου από το προηγούμενο σε μια αυθαίρετα επιλεγμένη κορυφή. Τώρα, αν απορρίψουμε τα αρχικά σημεία, για παράδειγμα, από το z 0 έως το z 100, τότε τα υπόλοιπα, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό από αυτά, σχηματίζουν τη δομή "Πανσερέτα Sierpinski". Όσο περισσότερα σημεία, όσο περισσότερες επαναλήψεις, τόσο πιο καθαρά εμφανίζεται στον παρατηρητή το φράκταλ Sierpinski. Και αυτό παρά το γεγονός ότι η διαδικασία προχωρά, όπως φαίνεται, με τυχαίο τρόπο (χάρη στα ζάρια). Η «πετσέτα Sierpinski» είναι ένα είδος ελκυστήρα διεργασιών, δηλαδή μια φιγούρα στην οποία τείνουν όλες οι τροχιές που χτίζονται σε αυτή τη διαδικασία με αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων. Η διόρθωση της εικόνας σε αυτήν την περίπτωση είναι μια αθροιστική, συσσωρευτική διαδικασία. Κάθε μεμονωμένο σημείο, ίσως, δεν θα συμπίπτει ποτέ με το σημείο του φράκταλ Sierpinski, αλλά κάθε επόμενο σημείο αυτής της διαδικασίας που οργανώνεται «τυχαία» έλκεται όλο και πιο κοντά στα σημεία της «πετσέτας Sierpinski».

ΒΡΟΧΟΣ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗΣ.Ο ιδρυτής της κυβερνητικής, Norbert Wiener, ανέφερε τον τιμονιέρη σε ένα σκάφος ως παράδειγμα για να περιγράψει τον βρόχο ανατροφοδότησης. Ο τιμονιέρης πρέπει να παραμείνει στην πορεία και αξιολογεί συνεχώς πόσο καλά το τηρεί το σκάφος. Αν ο τιμονιέρης δει ότι το σκάφος παρεκκλίνει, γυρίζει το τιμόνι για να το επιστρέψει σε μια δεδομένη πορεία. Μετά από λίγο, αξιολογεί ξανά και ξανά διορθώνει την κατεύθυνση κίνησης χρησιμοποιώντας το τιμόνι. Έτσι, η πλοήγηση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας επαναλήψεις, επαναλήψεις και διαδοχική προσέγγιση της κίνησης του σκάφους σε μια δεδομένη πορεία.

Ένα τυπικό διάγραμμα βρόχου ανάδρασης φαίνεται στο σχ. 4 Έχει να κάνει με την αλλαγή των μεταβλητών παραμέτρων (την κατεύθυνση του σκάφους) και της ελεγχόμενης παραμέτρου C (η πορεία του σκάφους).

Σκεφτείτε τη χαρτογράφηση "Bernoulli shift". Ας επιλεχθεί κάποιος αριθμός που ανήκει στο διάστημα από το 0 έως το 1 ως αρχική κατάσταση. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών:

x 0 \u003d 0,01011010001010011001010 ...

Τώρα ένα βήμα της εξέλιξης στο χρόνο είναι ότι η ακολουθία των μηδενικών και των μονάδων μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μία θέση και το ψηφίο που έτυχε να βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της υποδιαστολής απορρίπτεται:

x 1 \u003d 0,1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0,011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0,11010001010011001010 ...

Σημειώστε ότι εάν οι αρχικοί αριθμοί x 0ορθολογικό, στη συνέχεια στη διαδικασία της επανάληψης οι τιμές Χnπηγαίνετε σε μια περιοδική τροχιά. Για παράδειγμα, για τον αρχικό αριθμό 11/24, στη διαδικασία της επανάληψης, λαμβάνουμε μια σειρά από τιμές:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Εάν οι αρχικές τιμές x0είναι παράλογες, η χαρτογράφηση δεν θα φτάσει ποτέ στην περιοδική λειτουργία. Το διάστημα των αρχικών τιμών x 0 ∈ περιέχει άπειρα λογικά σημεία και άπειρα πολλά παράλογα σημεία. Έτσι, η πυκνότητα των περιοδικών τροχιών είναι ίση με την πυκνότητα των τροχιών που δεν φτάνουν ποτέ στο περιοδικό καθεστώς. Σε οποιαδήποτε γειτονιά λογικής αξίας x0υπάρχει μια παράλογη τιμή της αρχικής παραμέτρου x' 0Σε αυτή την κατάσταση πραγμάτων, αναπόφευκτα προκύπτει μια λεπτή ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό σημάδι ότι το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση δυναμικού χάους.

ΒΡΟΧΟΣ ΑΝΑΔΡΟΜΗΣ ΒΕΛΤΙΟΥ.Το αντίστροφο είναι απαραίτητη προϋπόθεση και συνέπεια κάθε πλάγιου βλέμματος που αιφνιδιάζεται. Το εικονίδιο του αντίστροφου βρόχου μπορεί να είναι η λωρίδα Möbius, στην οποία η κάτω πλευρά της περνά στην επάνω με κάθε κύκλο, η εσωτερική γίνεται εξωτερική και αντίστροφα. Η συσσώρευση διαφορών κατά την αντίστροφη διαδικασία οδηγεί πρώτα την εικόνα μακριά από το πρωτότυπο και στη συνέχεια επιστρέφει σε αυτήν. Στη λογική, ο βρόχος της αντιστροφής απεικονίζεται από το παράδοξο του Επιμενίδη: «όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες». Όμως ο ίδιος ο Επιμενίδης είναι Κρητικός.

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΚΡΟΧΟΣ.Η δυναμική ουσία του φαινομένου ενός παράξενου βρόχου είναι ότι η εικόνα, μεταμορφωμένη και ολοένα και πιο διαφορετική από την αρχική, επιστρέφει στην αρχική εικόνα κατά τη διαδικασία πολλών παραμορφώσεων, αλλά ποτέ δεν την επαναλαμβάνει ακριβώς. Περιγράφοντας αυτό το φαινόμενο, ο Hofstadter εισάγει τον όρο «παράξενος βρόχος» στο βιβλίο. Συμπεραίνει ότι τόσο ο Escher, ο Bach και ο Gödel ανακάλυψαν ή, ακριβέστερα, χρησιμοποίησαν περίεργους βρόχους στη δουλειά τους και τη δημιουργικότητά τους στις εικαστικές τέχνες, τη μουσική και τα μαθηματικά, αντίστοιχα. Ο Escher, στις Μεταμορφώσεις, ανακάλυψε την περίεργη συνοχή των διαφόρων επιπέδων της πραγματικότητας. Οι μορφές μιας από τις καλλιτεχνικές προοπτικές μετασχηματίζονται πλαστικά στις μορφές μιας άλλης καλλιτεχνικής προοπτικής (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Maurits Escher. Χέρια σχεδίασης. 1948

Τέτοια παραξενιά εκδηλώθηκε με έναν περίεργο τρόπο στη μουσική. Ένας από τους κανόνες της μουσικής προσφοράς του Μπαχ ( Canon per Tonos- Τονικό κανόνα) είναι κατασκευασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε η φαινομενική κατάληξή του απροσδόκητα να περνάει ομαλά στην αρχή, αλλά με αλλαγή τόνου. Αυτές οι διαδοχικές τροποποιήσεις οδηγούν τον ακροατή όλο και πιο ψηλά από την αρχική φωνή. Ωστόσο, ως εκ θαύματος, μετά από έξι τροποποιήσεις είμαστε σχεδόν πίσω. Όλες οι φωνές τώρα ακούγονται ακριβώς μια οκτάβα ψηλότερα από ό,τι στην αρχή. Το μόνο περίεργο είναι ότι καθώς ανεβαίνουμε στα επίπεδα μιας ορισμένης ιεραρχίας, ξαφνικά βρισκόμαστε σχεδόν στο ίδιο μέρος όπου ξεκινήσαμε το ταξίδι μας - επιστροφή χωρίς επανάληψη.

Ο Kurt Gödel ανακάλυψε περίεργους βρόχους σε έναν από τους πιο αρχαίους και καταξιωμένους τομείς των μαθηματικών - στη θεωρία αριθμών. Το θεώρημα του Γκέντελ είδε για πρώτη φορά το φως ως Θεώρημα VI στην εργασία του το 1931 «Στις τυπικά μη αποφασιστικές προτάσεις» στο Principle Mathematica. Το θεώρημα δηλώνει τα εξής: όλες οι συνεπείς αξιωματικές διατυπώσεις της θεωρίας αριθμών περιέχουν αδιευκρίνιστες προτάσεις. Οι κρίσεις της θεωρίας αριθμών δεν λένε τίποτα για τις κρίσεις της θεωρίας αριθμών. δεν είναι τίποτα άλλο από κρίσεις της θεωρίας αριθμών. Υπάρχει ένας βρόχος εδώ, αλλά όχι παραξενιές. Μια περίεργη θηλιά κρύβεται στην απόδειξη.

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ.Ελκυστής (από τα αγγλικά. προσελκύωπροσελκύω) ένα σημείο ή μια κλειστή γραμμή που έλκει στον εαυτό του όλες τις πιθανές τροχιές της συμπεριφοράς του συστήματος. Ο ελκυστής είναι σταθερός, δηλαδή μακροπρόθεσμα, η μόνη δυνατή συμπεριφορά είναι ο ελκυστής, όλα τα άλλα είναι προσωρινά. Ένας ελκυστής είναι ένα χωροχρονικό αντικείμενο που καλύπτει ολόκληρη τη διαδικασία, χωρίς να είναι ούτε η αιτία ούτε το αποτέλεσμά της. Σχηματίζεται μόνο από συστήματα με περιορισμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Οι ελκυστήρες μπορεί να είναι ένα σημείο, ένας κύκλος, ένας τόρος και ένα φράκταλ. Στην τελευταία περίπτωση, ο ελκυστής ονομάζεται «παράξενος» (Εικ. 6).

Ένας ελκυστής σημείου περιγράφει οποιαδήποτε σταθερή κατάσταση του συστήματος. Στο χώρο φάσης, είναι ένα σημείο γύρω από το οποίο σχηματίζονται τοπικές τροχιές ενός «κόμβου», «εστίασης» ή «σέλας». Έτσι συμπεριφέρεται το εκκρεμές: σε οποιαδήποτε αρχική ταχύτητα και οποιαδήποτε αρχική θέση, μετά από αρκετό χρόνο, υπό την επίδραση της τριβής, το εκκρεμές σταματά και έρχεται σε κατάσταση σταθερής ισορροπίας. Ένας κυκλικός (κυκλικός) ελκυστής είναι μια κίνηση μπρος-πίσω, όπως ένα ιδανικό εκκρεμές (χωρίς τριβή), σε έναν κύκλο.

Παράξενοι ελκυστές ( περίεργοι ελκυστήρες)φαίνονται παράξενα μόνο εξωτερικά, αλλά ο όρος «παράξενος ελκυστήρας» διαδόθηκε αμέσως μετά την εμφάνιση το 1971 του άρθρου «The Nature of Turbulence» του David Ruel και του Ολλανδού Floris Takens (βλ. επίσης). Οι Ruelle και Takens αναρωτήθηκαν αν κάποιος ελκυστής έχει το σωστό σύνολο χαρακτηριστικών: σταθερότητα, περιορισμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας και μη περιοδικότητα. Από γεωμετρικής άποψης, η ερώτηση έμοιαζε με καθαρό παζλ. Τι μορφή πρέπει να έχει μια απείρως εκτεταμένη τροχιά, που χαράσσεται σε περιορισμένο χώρο, για να μην επαναληφθεί ποτέ ή να διασταυρωθεί; Για να αναπαραχθεί κάθε ρυθμός, η τροχιά πρέπει να είναι μια απείρως μεγάλη γραμμή σε μια περιορισμένη περιοχή, με άλλα λόγια, να είναι αυτοκαταπίνουσα (Εικ. 7).

Μέχρι το 1971, υπήρχε ήδη ένα σκίτσο ενός τέτοιου ελκυστήρα στην επιστημονική βιβλιογραφία. Ο Έντουαρντ Λόρεντς το έκανε παράρτημα στην εργασία του του 1963 για το ντετερμινιστικό χάος. Αυτός ο ελκυστής ήταν σταθερός, μη περιοδικός, είχε μικρό αριθμό βαθμών ελευθερίας και ποτέ δεν διασταυρώθηκε. Εάν συνέβαινε αυτό, και επέστρεφε σε ένα σημείο που είχε ήδη περάσει, η κίνηση θα επαναλαμβανόταν στο μέλλον, σχηματίζοντας έναν δακτυλιοειδές ελκυστήρα, αλλά αυτό δεν συνέβη.

Το παράξενο του ελκυστήρα έγκειται, όπως πίστευε ο Ruel, σε τρία μη ισοδύναμα, αλλά στην πράξη ζώδια που υπάρχουν μαζί:

• fractality (φωλιά, ομοιότητα, συνέπεια).
• ντετερμινισμός (εξάρτηση από αρχικές συνθήκες).
• μοναδικότητες (ένας πεπερασμένος αριθμός καθοριστικών παραμέτρων).

Μέρος III. ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΕΛΑΦΡΑΤΗΤΑ ΤΩΝ ΦΡΑΚΤΑΛ ΜΟΡΦΩΝ

ΦΑΝΤΑΣΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΠΟΡΤΡΕΤΑ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Η γεωμετρία φράκταλ βασίζεται στη θεωρία των φανταστικών αριθμών, στα πορτρέτα δυναμικής φάσης και στη θεωρία πιθανοτήτων. Η θεωρία των φανταστικών αριθμών υποθέτει ότι υπάρχει τετραγωνική ρίζα μείον ένα. Ο Gerolamo Cardano στο έργο του "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) παρουσίασε τη γενική λύση της κυβικής εξίσωσης z 3 + pz + q = 0. Ο Cardano χρησιμοποιεί φανταστικούς αριθμούς ως μέσο τεχνικού φορμαλισμού για να εκφράσει τις ρίζες του την εξίσωση. Παρατηρεί μια παραξενιά, την οποία απεικονίζει με μια απλή εξίσωση x 3 = 15x + 4. Αυτή η εξίσωση έχει μια προφανή λύση: x = 4. Ωστόσο, ο γενικευμένος τύπος δίνει ένα περίεργο αποτέλεσμα. Περιέχει τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού:

Ο Rafael Bombelli στο βιβλίο του για την άλγεβρα ("L'Algebra", 1560) επεσήμανε ότι = 2 ± i, και αυτό του επέτρεψε αμέσως να αποκτήσει μια πραγματική ρίζα x = 4. Σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν οι μιγαδικοί αριθμοί είναι συζυγείς, μια πραγματική Λαμβάνεται η ρίζα και οι μιγαδικοί αριθμοί χρησιμεύουν ως τεχνικό βοήθημα στη διαδικασία λήψης λύσης μιας κυβικής εξίσωσης.

Ο Νεύτωνας πίστευε ότι διαλύματα που περιέχουν ρίζα μείον ένα πρέπει να θεωρούνται «χωρίς φυσική σημασία» και να απορρίπτονται. Στους αιώνες XVII-XVIII, σχηματίστηκε η κατανόηση ότι κάτι φανταστικό, πνευματικό, φανταστικό δεν είναι λιγότερο πραγματικό από οτιδήποτε πραγματικό μαζί. Μπορούμε ακόμη να δώσουμε την ακριβή ημερομηνία της 10ης Νοεμβρίου 1619, όταν ο Ντεκάρτ διατύπωσε το μανιφέστο της νέας σκέψης «cogito ergo sum». Από αυτή τη στιγμή, η σκέψη είναι μια απόλυτη και αναμφισβήτητη πραγματικότητα: «αν σκέφτομαι, σημαίνει ότι υπάρχω»! Πιο συγκεκριμένα, η σκέψη γίνεται πλέον αντιληπτή ως πραγματικότητα. Η ιδέα του Ντεκάρτ για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χάρη στους φανταστικούς αριθμούς, βρίσκει την ολοκλήρωσή της. Τώρα είναι δυνατό να γεμίσουμε αυτούς τους φανταστικούς αριθμούς με σημασίες.

Τον 19ο αιώνα, τα έργα των Euler, Argan, Cauchy, Hamilton ανέπτυξαν μια αριθμητική συσκευή για την εργασία με μιγαδικούς αριθμούς. Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των X + iY, όπου τα X και Y είναι πραγματικοί αριθμοί γνωστοί σε εμάς, και Εγώφανταστική μονάδα (ουσιαστικά είναι √–1). Κάθε μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (X, Y) στο λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο.

Η δεύτερη σημαντική ιδέα, το πορτρέτο φάσης ενός δυναμικού συστήματος, διαμορφώθηκε τον 20ο αιώνα. Αφού ο Αϊνστάιν έδειξε ότι τα πάντα κινούνται με την ίδια ταχύτητα ως προς το φως, αποκτήθηκε η ιδέα να μπορούμε να εκφράσουμε τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος με τη μορφή παγωμένων γεωμετρικών γραμμών, το λεγόμενο πορτρέτο φάσης ενός δυναμικού συστήματος. σαφές φυσικό νόημα.

Ας το δείξουμε στο παράδειγμα ενός εκκρεμούς. Τα πρώτα πειράματα με ένα εκκρεμές Jean Foucault διεξήχθησαν το 1851 στο κελάρι, μετά στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού και μετά κάτω από τον τρούλο του Πάνθεον. Τελικά, το 1855, το εκκρεμές του Φουκώ κρεμάστηκε κάτω από τον τρούλο της εκκλησίας Saint-Martin-des-Champs στο Παρίσι. Το μήκος του σχοινιού του εκκρεμούς Foucault είναι 67 m, το βάρος του kettlebell είναι 28 κιλά. Από μεγάλη απόσταση, το εκκρεμές μοιάζει με ένα σημείο. Το σημείο είναι πάντα ακίνητο. Πλησιάζοντας, διακρίνουμε ένα σύστημα με τρεις τυπικές τροχιές: έναν αρμονικό ταλαντωτή (sinϕ ≈ ϕ), ένα εκκρεμές (ταλαντώσεις εμπρός και πίσω), μια έλικα (περιστροφή).

Όταν ένας τοπικός παρατηρητής βλέπει μία από τις τρεις πιθανές διαμορφώσεις της κίνησης της μπάλας, ένας αναλυτής που αποσπάται από τη διαδικασία μπορεί να υποθέσει ότι η μπάλα κάνει μία από τις τρεις τυπικές κινήσεις. Αυτό μπορεί να εμφανιστεί σε ένα επίπεδο. Είναι απαραίτητο να συμφωνήσουμε ότι θα μετακινήσουμε τη "μπάλα σε ένα νήμα" σε ένα χώρο αφηρημένης φάσης που έχει τόσες συντεταγμένες όσες έχει ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας που έχει το υπό εξέταση σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για ταχύτητα δύο βαθμών ελευθερίας vκαι η γωνία κλίσης του νήματος με την μπάλα στην κατακόρυφο ϕ. Στις συντεταγμένες ϕ και v, η τροχιά του αρμονικού ταλαντωτή είναι ένα σύστημα ομόκεντρων κύκλων· καθώς αυξάνεται η γωνία ϕ, αυτοί οι κύκλοι γίνονται οβάλ, και όταν ϕ = ± π χάνεται το κλείσιμο του οβάλ. Αυτό σημαίνει ότι το εκκρεμές έχει αλλάξει σε λειτουργία προπέλας: v = συνθ(Εικ. 8).

Ρύζι. 8. Εκκρεμές: α) τροχιά στο χώρο φάσης ενός ιδανικού εκκρεμούς. β) η τροχιά στο χώρο φάσης ενός εκκρεμούς που ταλαντεύεται με απόσβεση. γ) πορτραίτο φάσης

Μπορεί να μην υπάρχουν μήκη, διάρκειες ή κινήσεις στο χώρο φάσης. Εδώ κάθε πράξη είναι προδομένη, αλλά δεν είναι κάθε πράξη πραγματική. Από τη γεωμετρία μένει μόνο τοπολογία, αντί για μέτρα, παράμετροι, αντί για διαστάσεις, διαστάσεις. Εδώ, κάθε δυναμικό σύστημα έχει τη δική του μοναδική αποτύπωση του πορτραίτου φάσης. Και ανάμεσά τους υπάρχουν μάλλον περίεργα πορτρέτα φάσης: όντας περίπλοκα, καθορίζονται από μία μόνο παράμετρο. Όντας ανάλογες, είναι δυσανάλογες. όντας συνεχείς, είναι διακριτές. Τέτοια παράξενα πορτρέτα φάσεων είναι χαρακτηριστικά συστημάτων με φράκταλ διαμόρφωση ελκυστικών. Η διακριτικότητα των κέντρων έλξης (ελκυστές) δημιουργεί την επίδραση ενός κβάντου δράσης, την επίδραση ενός κενού ή ενός άλματος, ενώ οι τροχιές παραμένουν συνεχείς και παράγουν μια ενιαία δεσμευμένη μορφή ενός παράξενου ελκυστήρα.

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΦΡΑΚΤΑΛ.Το φράκταλ έχει τρεις υποστάσεις: τυπικές, λειτουργικές και συμβολικές, οι οποίες είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Και αυτό σημαίνει ότι η ίδια μορφή ενός φράκταλ μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας διαφορετικούς αλγόριθμους και ο ίδιος αριθμός διαστάσεων φράκταλ μπορεί να εμφανιστεί σε εντελώς διαφορετικά φράκταλ. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις παρατηρήσεις, ταξινομούμε τα φράκταλ σύμφωνα με συμβολικά, τυπικά και λειτουργικά χαρακτηριστικά:

• συμβολικά, το χαρακτηριστικό διάστασης ενός φράκταλ μπορεί να είναι ακέραιος ή κλασματικός.
• Σε επίσημη βάση, τα φράκταλ μπορούν να συνδεθούν, όπως ένα φύλλο ή ένα σύννεφο, και να αποσυνδεθούν, όπως η σκόνη.
• Σε λειτουργική βάση, τα φράκταλ μπορούν να χωριστούν σε κανονικά και στοχαστικά.

Τα κανονικά φράκταλ κατασκευάζονται σύμφωνα με έναν αυστηρά καθορισμένο αλγόριθμο. Η διαδικασία κατασκευής είναι αναστρέψιμη. Μπορείτε να επαναλάβετε όλες τις πράξεις με αντίστροφη σειρά, διαγράφοντας κάθε εικόνα που δημιουργήθηκε στη διαδικασία του ντετερμινιστικού αλγορίθμου, σημείο προς σημείο. Ένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος μπορεί να είναι γραμμικός ή μη γραμμικός.

Τα στοχαστικά φράκταλ, παρόμοια με στοχαστική έννοια, προκύπτουν όταν στον αλγόριθμο για την κατασκευή τους, στη διαδικασία των επαναλήψεων, ορισμένες παράμετροι αλλάζουν τυχαία. Ο όρος «στοχαστικός» προέρχεται από την ελληνική λέξη στοχασις- εικασία, εικασία. Μια στοχαστική διαδικασία είναι μια διαδικασία της οποίας η φύση της αλλαγής δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια. Τα φράκταλ παράγονται σύμφωνα με την ιδιοτροπία της φύσης (ρηγματικές επιφάνειες βράχων, σύννεφα, τυρβώδεις ροές, αφρός, πηκτώματα, περιγράμματα σωματιδίων αιθάλης, αλλαγές στις τιμές των μετοχών και τα επίπεδα ποταμών κ.λπ.), στερούνται γεωμετρικής ομοιότητας, αλλά αναπαράγονται πεισματικά σε κάθε θραύσμα τις στατιστικές ιδιότητες του συνόλου κατά μέσο όρο. Ο υπολογιστής σας επιτρέπει να δημιουργείτε ακολουθίες ψευδοτυχαίων αριθμών και να προσομοιώνετε αμέσως στοχαστικούς αλγόριθμους και φόρμες.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ FRACTALS.Τα γραμμικά φράκταλ ονομάζονται έτσι για το λόγο ότι είναι όλα κατασκευασμένα σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο γραμμικό αλγόριθμο. Αυτά τα φράκταλ είναι ίδια, δεν παραμορφώνονται από καμία αλλαγή στην κλίμακα και δεν είναι διαφοροποιήσιμα σε κανένα από τα σημεία τους. Για την κατασκευή τέτοιων φράκταλ, αρκεί να προσδιορίσετε μια βάση και ένα θραύσμα. Αυτά τα στοιχεία θα επαναληφθούν πολλές φορές, με σμίκρυνση στο άπειρο.

Σκόνη του Kantor.Τον 19ο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) πρότεινε στη μαθηματική κοινότητα ένα περίεργο σύνολο αριθμών μεταξύ 0 και 1. Το σύνολο περιείχε έναν άπειρο αριθμό στοιχείων στο καθορισμένο διάστημα και, επιπλέον, είχε μηδενική διάσταση. Ένα βέλος που εκτοξεύτηκε τυχαία δύσκολα θα είχε χτυπήσει τουλάχιστον ένα στοιχείο αυτού του συνόλου.

Πρώτα πρέπει να επιλέξετε ένα τμήμα μοναδιαίου μήκους (πρώτο βήμα: n = 0), μετά να το χωρίσετε σε τρία μέρη και να αφαιρέσετε το μεσαίο τρίτο (n = 1). Επιπλέον, θα κάνουμε ακριβώς το ίδιο με κάθε ένα από τα σχηματισμένα τμήματα. Ως αποτέλεσμα ενός άπειρου αριθμού επαναλήψεων της λειτουργίας, λαμβάνουμε το επιθυμητό σύνολο "Cantor's dust". Τώρα δεν υπάρχει αντίθεση μεταξύ του ασυνεχούς και του απείρως διαιρετού.Η «σκόνη του Καντόρ» είναι και τα δύο (βλ. Εικ. 1). Το "Cantor Dust" είναι ένα φράκταλ. Η φράκταλ διάστασή του είναι 0,6304…

Ένα από τα δισδιάστατα ανάλογα του μονοδιάστατου συνόλου Cantor περιγράφηκε από τον Πολωνό μαθηματικό Vaclav Sierpinski. Ονομάζεται «cantor carpet» ή πιο συχνά «Χαλί Sierpinski». Είναι αυστηρά όμοιος με τον εαυτό του. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη φράκταλ διάστασή του ως ln8/lnЗ = 1,89… (Εικ. 9).

ΓΡΑΜΜΕΣ ΠΟΥ ΓΕΜΙΖΟΥΝ ΤΟ ΑΕΡΟΠΛΑΝΟ.Εξετάστε μια ολόκληρη οικογένεια κανονικών φράκταλ, τα οποία είναι καμπύλες ικανές να γεμίσουν ένα επίπεδο. Ο Leibniz δήλωσε επίσης: «Αν υποθέσουμε ότι κάποιος βάζει πολλές κουκκίδες στο χαρτί κατά τύχη,<… >Λέω ότι είναι δυνατόν να αποκαλυφθεί μια σταθερή και πλήρης, με την επιφύλαξη ενός συγκεκριμένου κανόνα, μιας γεωμετρικής γραμμής που θα διέρχεται από όλα τα σημεία. Αυτή η δήλωση του Leibniz έρχεται σε αντίθεση με την ευκλείδεια κατανόηση της διάστασης ως του μικρότερου αριθμού παραμέτρων από τις οποίες προσδιορίζεται μοναδικά η θέση ενός σημείου στο χώρο. Ελλείψει αυστηρής απόδειξης, αυτές οι ιδέες του Leibniz παρέμειναν στην περιφέρεια της μαθηματικής σκέψης.

Καμπύλη Peano.Αλλά το 1890, ο Ιταλός μαθηματικός Giuseppe Peano κατασκεύασε μια γραμμή που καλύπτει πλήρως μια επίπεδη επιφάνεια, περνώντας από όλα τα σημεία της. Η κατασκευή της «καμπύλης Peano» φαίνεται στο σχ. δέκα.

Ενώ η τοπολογική διάσταση της καμπύλης Peano είναι ίση με ένα, η φράκταλ διάστασή της είναι ίση με d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. Στο πλαίσιο της γεωμετρίας φράκταλ, το παράδοξο επιλύθηκε στο ο πιο φυσικός τρόπος. Μια γραμμή, όπως ένας ιστός αράχνης, μπορεί να καλύψει ένα αεροπλάνο. Σε αυτή την περίπτωση, δημιουργείται μια αντιστοιχία ένα προς ένα: κάθε σημείο της γραμμής αντιστοιχεί σε ένα σημείο του επιπέδου. Αλλά αυτή η αντιστοιχία δεν είναι ένα προς ένα, επειδή κάθε σημείο στο επίπεδο αντιστοιχεί σε ένα ή περισσότερα σημεία της γραμμής.

Καμπύλη Hilbert.Ένα χρόνο αργότερα, το 1891, εμφανίστηκε ένα άρθρο του Γερμανού μαθηματικού Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1862–1943) στο οποίο παρουσίαζε μια καμπύλη που καλύπτει ένα επίπεδο χωρίς τομές ή εφαπτόμενες. Η κατασκευή της «καμπύλης Hilbert» φαίνεται στο σχ. έντεκα.

Η καμπύλη Hilbert ήταν το πρώτο παράδειγμα καμπυλών FASS (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-avoiding, απλές και αυτο-όμοιες γραμμές). Η φράκταλ διάσταση της γραμμής Gilbert, καθώς και η καμπύλη Peano, είναι ίση με δύο.

Ταινία Minkowski.Ο Herman Minkowski, στενός φίλος του Hilbert από τα φοιτητικά του χρόνια, κατασκεύασε μια καμπύλη που δεν καλύπτει ολόκληρο το αεροπλάνο, αλλά σχηματίζει κάτι σαν κορδέλα. Κατά την κατασκευή της "ταινίας Minkowski" σε κάθε βήμα, κάθε τμήμα αντικαθίσταται από μια διακεκομμένη γραμμή που αποτελείται από 8 τμήματα. Στο επόμενο στάδιο, με κάθε νέο τμήμα, η λειτουργία επαναλαμβάνεται σε κλίμακα 1:4. Η φράκταλ διάσταση της λωρίδας Minkowski είναι d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΡΑΚΤΑΛ.Η απλούστερη μη γραμμική αντιστοίχιση του μιγαδικού επιπέδου στον εαυτό του είναι η χαρτογράφηση Julia z g z 2 + C που εξετάστηκε στο πρώτο μέρος. Είναι ένας υπολογισμός κλειστού βρόχου στον οποίο το αποτέλεσμα του προηγούμενου κύκλου πολλαπλασιάζεται από μόνο του με την προσθήκη ενός ορισμένου σταθερά σε αυτό, δηλ. βρόχος ανάδρασης (Εικ. 13).

Στη διαδικασία των επαναλήψεων για μια σταθερή τιμή της σταθεράς C, ανάλογα με ένα αυθαίρετο σημείο εκκίνησης Z 0 , το σημείο Z n στο n-> ∞ μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Όλα εξαρτώνται από τη θέση του Z 0 σε σχέση με την αρχή z = 0. Εάν η υπολογισμένη τιμή είναι πεπερασμένη, τότε περιλαμβάνεται στο σύνολο Julia. αν πάει στο άπειρο, τότε αποκόπτεται από το σετ Τζούλια.

Η μορφή που λαμβάνεται μετά την εφαρμογή του χάρτη Julia στα σημεία κάποιας επιφάνειας καθορίζεται μοναδικά από την παράμετρο C. Για μικρό C, αυτοί είναι απλοί συνδεδεμένοι βρόχοι, για μεγάλο C, αυτά είναι συστάδες αποσυνδεδεμένων αλλά αυστηρά διατεταγμένων σημείων. Σε γενικές γραμμές, όλες οι μορφές Julia μπορούν να χωριστούν σε δύο μεγάλες οικογένειες - συνδεδεμένες και αποσυνδεδεμένες αντιστοιχίσεις. Οι πρώτοι μοιάζουν με τη «χιονονιφάδα του Κοχ», οι δεύτεροι «τη σκόνη του Κάντορ».

Η ποικιλία των σχημάτων της Τζούλια μπέρδεψε τους μαθηματικούς όταν μπόρεσαν για πρώτη φορά να παρατηρήσουν αυτά τα σχήματα σε οθόνες υπολογιστών. Οι προσπάθειες ταξινόμησης αυτής της ποικιλίας ήταν πολύ αυθαίρετης φύσης και κατέληξαν στο γεγονός ότι η βάση για την ταξινόμηση των χαρτών Julia ήταν το σύνολο Mandelbrot, τα όρια του οποίου, όπως αποδείχθηκε, είναι ασυμπτωτικά παρόμοια με τους χάρτες Julia.

Με C = 0, η επανάληψη της χαρτογράφησης Julia δίνει μια ακολουθία αριθμών z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Ως αποτέλεσμα, είναι δυνατές τρεις επιλογές:

• για |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• για |z 0 | > 1 κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων, οι αριθμοί z n αυξάνονται σε απόλυτη τιμή, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ελκυστήρας είναι ένα σημείο στο άπειρο και αποκλείουμε τέτοιες τιμές από το σύνολο Julia.
• για |z 0 | = 1 όλα τα σημεία της ακολουθίας συνεχίζουν να παραμένουν σε αυτόν τον μοναδιαίο κύκλο. Στην περίπτωση αυτή, ο ελκυστήρας είναι ένας κύκλος.

Έτσι, στο C = 0, το όριο μεταξύ των ελκυστικών και των απωστικών σημείων εκκίνησης είναι ένας κύκλος. Στην περίπτωση αυτή, η αντιστοίχιση έχει δύο σταθερά σημεία: z = 0 και z = 1. Το πρώτο από αυτά είναι ελκυστικό, αφού η παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης στο μηδέν είναι 0 και το δεύτερο είναι απωθητικό, αφού η παράγωγος του τετραγωνικού συνάρτηση στην τιμή της παραμέτρου ένα ισούται με δύο.

Θεωρήστε την κατάσταση όταν η σταθερά C είναι πραγματικός αριθμός, δηλ. φαίνεται να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα του συνόλου Mandelbrot (Εικ. 14). Στο C = –0,75, το όριο της Τζούλιας διασταυρώνεται και εμφανίζεται ο δεύτερος ελκυστής. Το φράκταλ σε αυτό το σημείο φέρει το όνομα του φράκταλ του Αγίου Μάρκου, που του δόθηκε από τον Mandelbrot προς τιμή του διάσημου βενετσιάνικου καθεδρικού ναού. Κοιτάζοντας το σχήμα, δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε γιατί ο Mandelbrot σκέφτηκε να ονομάσει το φράκταλ προς τιμήν αυτής της δομής: η ομοιότητα είναι εκπληκτική.

Ρύζι. 14. Αλλαγή της μορφής του συνόλου Julia με μείωση της πραγματικής τιμής του C από 0 σε -1

Μειώνοντας περαιτέρω το C στο -1,25, παίρνουμε μια φόρμα νέου τύπου με τέσσερα σταθερά σημεία, τα οποία παραμένουν μέχρι το C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Ρύζι. 15. Η εμφάνιση νέων μορφών του συνόλου Julia με μείωση της πραγματικής τιμής C< –1

Έτσι, ακόμα και παραμένοντας στον άξονα του φράκταλ Mandelbrot (η σταθερά C είναι πραγματικός αριθμός), «αιχμαλωτίσαμε» στο πεδίο της προσοχής και κατά κάποιο τρόπο κατατάξαμε μια αρκετά μεγάλη ποικιλία σχημάτων Julia από κύκλο σε σκόνη. Τώρα εξετάστε τις περιοχές πρόσημων του φράκταλ Mandelbrot και τις αντίστοιχες μορφές των φράκταλ Julia. Πρώτα απ 'όλα, ας περιγράψουμε το φράκταλ Mandelbrot με όρους "καρδιοειδούς", "νεφρούς" και "κρεμμύδια" (Εικ. 16).

Το κύριο καρδιοειδές και ο κύκλος που βρίσκεται δίπλα του σχηματίζουν το βασικό σχήμα του φράκταλ Mandelbrot. Βρίσκονται δίπλα σε έναν άπειρο αριθμό δικών του αντιγράφων, τα οποία συνήθως ονομάζονται νεφροί. Κάθε ένας από αυτούς τους οφθαλμούς περιβάλλεται από έναν άπειρο αριθμό μικρότερων μπουμπουκιών που μοιάζουν μεταξύ τους. Οι δύο μεγαλύτεροι οφθαλμοί πάνω και κάτω από το κύριο καρδιοειδές ονομάζονταν κρεμμύδια.

Ο Γάλλος Adrien Dowdy και ο Αμερικανός Bill Hubbard, που μελέτησαν το τυπικό φράκταλ αυτού του συνόλου (C = –0,12 + 0,74i), το ονόμασαν «κουνέλι φράκταλ» (Εικ. 17).

Όταν διασχίζουν το όριο του φράκταλ Mandelbrot, τα φράκταλ Julia χάνουν πάντα τη σύνδεσή τους και μετατρέπονται σε σκόνη, η οποία συνήθως ονομάζεται «σκόνη Fatou» προς τιμή του Pierre Fatou, ο οποίος απέδειξε ότι για ορισμένες τιμές του C, ένα σημείο στο άπειρο προσελκύει ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός από ένα πολύ λεπτό σύνολο σαν σκόνη (Εικ. 18).

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΦΡΑΚΤΑΛ.Υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ μιας αυστηρά όμοιας καμπύλης von Koch και, για παράδειγμα, της ακτής της Νορβηγίας. Ο τελευταίος, μη όντας αυστηρά όμοιος με τον εαυτό του, παρουσιάζει ομοιότητα με στατιστική έννοια. Ταυτόχρονα, και οι δύο καμπύλες σπάνε τόσο πολύ που δεν μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε κανένα σημείο τους ή, με άλλα λόγια, δεν μπορείτε να τη διαφοροποιήσετε. Τέτοιες καμπύλες είναι κάπως «τέρατα» ανάμεσα στις κανονικές ευκλείδειες γραμμές. Ο πρώτος που κατασκεύασε μια συνεχή συνάρτηση που δεν έχει εφαπτομένη σε κανένα σημείο της ήταν ο Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Το έργο του παρουσιάστηκε στη Βασιλική Πρωσική Ακαδημία στις 18 Ιουλίου 1872 και δημοσιεύτηκε το 1875. Οι λειτουργίες που περιγράφονται από τον Weierstrass μοιάζουν με θόρυβο (Εικ. 19).

Κοιτάξτε ένα διάγραμμα δελτίων μετοχών, μια περίληψη των διακυμάνσεων της θερμοκρασίας ή των διακυμάνσεων της πίεσης του αέρα και θα βρείτε κάποιες τακτικές ανωμαλίες. Επιπλέον, όταν αυξάνεται η κλίμακα, διατηρείται η φύση της παρατυπίας. Και αυτό μας παραπέμπει στη γεωμετρία φράκταλ.

Η κίνηση Brown είναι ένα από τα πιο διάσημα παραδείγματα μιας στοχαστικής διαδικασίας. Το 1926, ο Jean Perrin έλαβε το βραβείο Νόμπελ για τη μελέτη του σχετικά με τη φύση της κίνησης Brown. Ήταν αυτός που επέστησε την προσοχή στην αυτο-ομοιότητα και τη μη διαφοροποίηση της τροχιάς Brown.

Τα φράκταλ είναι γνωστά εδώ και σχεδόν έναν αιώνα, είναι καλά μελετημένα και έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στη ζωή. Αυτό το φαινόμενο βασίζεται σε μια πολύ απλή ιδέα: ένας άπειρος αριθμός μορφών σε ομορφιά και ποικιλία μπορεί να ληφθεί από σχετικά απλές δομές χρησιμοποιώντας μόνο δύο λειτουργίες - αντιγραφή και κλιμάκωση.

Αυτή η έννοια δεν έχει αυστηρό ορισμό. Επομένως, η λέξη «φράκταλ» δεν είναι μαθηματικός όρος. Αυτό είναι συνήθως το όνομα ενός γεωμετρικού σχήματος που ικανοποιεί μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες ιδιότητες:

• έχει πολύπλοκη δομή σε οποιαδήποτε μεγέθυνση.
• είναι (περίπου) αυτο-όμοιο.
• έχει μια κλασματική διάσταση Hausdorff (fractal), η οποία είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική.
• μπορεί να κατασκευαστεί με αναδρομικές διαδικασίες.

Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, η μελέτη των φράκταλ ήταν περισσότερο επεισοδιακή παρά συστηματική, επειδή οι προηγούμενοι μαθηματικοί μελετούσαν κυρίως «καλά» αντικείμενα που μπορούσαν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας γενικές μεθόδους και θεωρίες. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass κατασκεύασε ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν μπορεί να διαφοροποιηθεί πουθενά. Ωστόσο, η κατασκευή του ήταν εντελώς αφηρημένη και δυσνόητη. Ως εκ τούτου, το 1904, ο Σουηδός Helge von Koch βρήκε μια συνεχή καμπύλη που δεν έχει εφαπτομένη πουθενά και είναι πολύ απλό να την σχεδιάσετε. Αποδείχθηκε ότι έχει τις ιδιότητες ενός φράκταλ. Μια παραλλαγή αυτής της καμπύλης ονομάζεται νιφάδα χιονιού Koch.

Τις ιδέες της αυτο-ομοιότητας των μορφών πήρε ο Γάλλος Paul Pierre Levy, ο μελλοντικός μέντορας του Benoit Mandelbrot. Το 1938 δημοσιεύτηκε το άρθρο του «Επίπεδο και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο», στο οποίο περιγράφεται ένα άλλο φράκταλ - η καμπύλη C Lévy. Όλα τα παραπάνω φράκταλ μπορούν υπό όρους να αποδοθούν σε μια κατηγορία κατασκευαστικών (γεωμετρικών) φράκταλ.

Μια άλλη κατηγορία είναι τα δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ, τα οποία περιλαμβάνουν το σύνολο Mandelbrot. Οι πρώτες μελέτες προς αυτή την κατεύθυνση χρονολογούνται στις αρχές του 20ου αιώνα και συνδέονται με τα ονόματα των Γάλλων μαθηματικών Gaston Julia και Pierre Fatou. Το 1918, δημοσιεύτηκαν σχεδόν διακόσιες σελίδες του έργου της Julia, αφιερωμένες σε επαναλήψεις πολύπλοκων ορθολογικών συναρτήσεων, στις οποίες περιγράφονται τα σύνολα της Julia - μια ολόκληρη οικογένεια φράκταλ στενά συνδεδεμένη με το σύνολο Mandelbrot. Αυτό το έργο τιμήθηκε με το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας, αλλά δεν περιείχε ούτε μια εικονογράφηση, επομένως ήταν αδύνατο να εκτιμηθεί η ομορφιά των αντικειμένων που ανακαλύφθηκαν. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο έκανε την Τζούλια διάσημη στους μαθηματικούς της εποχής, γρήγορα ξεχάστηκε.

Μόνο μισό αιώνα αργότερα, με την εμφάνιση των υπολογιστών, η προσοχή στράφηκε στο έργο της Τζούλιας και της Φάτου: ήταν αυτοί που έκαναν ορατό τον πλούτο και την ομορφιά του κόσμου των φράκταλ. Εξάλλου, ο Fatou δεν θα μπορούσε ποτέ να δει τις εικόνες που τώρα γνωρίζουμε ως εικόνες του συνόλου Mandelbrot, επειδή ο απαραίτητος αριθμός υπολογισμών δεν μπορεί να γίνει χειροκίνητα. Το πρώτο άτομο που χρησιμοποίησε υπολογιστή για αυτό ήταν ο Benoit Mandelbrot.

Το 1982 κυκλοφόρησε το βιβλίο του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", στο οποίο ο συγγραφέας συγκέντρωσε και συστηματοποίησε σχεδόν όλες τις πληροφορίες για τα φράκταλ που ήταν διαθέσιμες εκείνη την εποχή και τις παρουσίασε με εύκολο και προσιτό τρόπο. Ο Mandelbrot έδωσε την κύρια έμφαση στην παρουσίασή του όχι σε βαρείς τύπους και μαθηματικές κατασκευές, αλλά στη γεωμετρική διαίσθηση των αναγνωστών. Χάρη σε εικονογραφήσεις και ιστορικές ιστορίες που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή, με τις οποίες ο συγγραφέας αραίωσε επιδέξια το επιστημονικό στοιχείο της μονογραφίας, το βιβλίο έγινε μπεστ σέλερ και τα φράκταλ έγιναν γνωστά στο ευρύ κοινό. Η επιτυχία τους μεταξύ των μη μαθηματικών οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι με τη βοήθεια πολύ απλών κατασκευών και τύπων που μπορεί να καταλάβει ακόμη και ένας μαθητής λυκείου, αποκτώνται εικόνες εκπληκτικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί, εμφανίστηκε ακόμη και μια ολόκληρη τάση στην τέχνη - φράκταλ ζωγραφική, και σχεδόν οποιοσδήποτε ιδιοκτήτης υπολογιστή μπορούσε να το κάνει. Τώρα στο Διαδίκτυο μπορείτε εύκολα να βρείτε πολλούς ιστότοπους αφιερωμένους σε αυτό το θέμα.

Οι έννοιες της γεωμετρίας φράκταλ και φράκταλ, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν καθιερωθεί σταθερά στην καθημερινή ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Η λέξη fractal προέρχεται από το λατινικό fractus και στη μετάφραση σημαίνει που αποτελείται από θραύσματα. Προτάθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να αναφερθεί στις ακανόνιστες αλλά όμοιες δομές που μελέτησε. Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Mandelbrot «The Fractal Geometry of Nature» το 1977. Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Αλλά μόνο στην εποχή μας ήταν δυνατό να συνδυαστούν τα έργα τους σε ένα ενιαίο σύστημα.
Ο ρόλος των φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών σήμερα είναι αρκετά μεγάλος. Έρχονται στη διάσωση, για παράδειγμα, όταν απαιτείται, με τη βοήθεια αρκετών συντελεστών, να ορίσουν γραμμές και επιφάνειες πολύ σύνθετου σχήματος. Από την άποψη των γραφικών υπολογιστών, η γεωμετρία φράκταλ είναι απαραίτητη για τη δημιουργία τεχνητών νεφών, βουνών και της επιφάνειας της θάλασσας. Μάλιστα, έχει βρεθεί ένας τρόπος να αναπαριστούν εύκολα πολύπλοκα μη Ευκλείδεια αντικείμενα, οι εικόνες των οποίων μοιάζουν πολύ με τα φυσικά.
Μία από τις κύριες ιδιότητες των φράκταλ είναι η αυτο-ομοιότητα. Στην απλούστερη περίπτωση, ένα μικρό μέρος του φράκταλ περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο το φράκταλ. Ο ορισμός του φράκταλ που δόθηκε από τον Mandelbrot είναι ο εξής: «Ένα φράκταλ είναι μια δομή που αποτελείται από μέρη που είναι κατά κάποια έννοια παρόμοια με το σύνολο».

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται φράκταλ (τρίγωνο Sierpinski, νιφάδα χιονιού Koch, καμπύλη Peano, σύνολο Mandelbrot και ελκυστές Lorentz). Τα φράκταλ περιγράφουν με μεγάλη ακρίβεια πολλά φυσικά φαινόμενα και σχηματισμούς του πραγματικού κόσμου: βουνά, σύννεφα, τυρβώδη ρεύματα (δίνης), ρίζες, κλαδιά και φύλλα δέντρων, αιμοφόρα αγγεία, κάτι που κάθε άλλο παρά αντιστοιχεί σε απλά γεωμετρικά σχήματα. Για πρώτη φορά, ο Benoit Mandelbrot μίλησε για τη φράκταλ φύση του κόσμου μας στο σημαντικό έργο του "The Fractal Geometry of Nature".
Ο όρος φράκταλ εισήχθη από τον Benoit Mandelbrot το 1977 στο θεμελιώδες έργο του "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Σύμφωνα με τον Mandelbrot, η λέξη fractal προέρχεται από τις λατινικές λέξεις fractus - fractional και frangere - to break, κάτι που αντικατοπτρίζει την ουσία του fractal ως ένα «σπασμένο», ακανόνιστο σύνολο.

Ταξινόμηση φράκταλ.

Για να αντιπροσωπεύσουμε ολόκληρη την ποικιλία των φράκταλ, είναι βολικό να καταφύγουμε στη γενικά αποδεκτή ταξινόμησή τους. Υπάρχουν τρεις κατηγορίες φράκταλ.

1. Γεωμετρικά φράκταλ.

Τα φράκταλ αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο προφανή. Στη δισδιάστατη περίπτωση, λαμβάνονται χρησιμοποιώντας μια πολύγραμμη (ή επιφάνεια στην τρισδιάστατη περίπτωση) που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα που αποτελούν τη διακεκομμένη γραμμή αντικαθίσταται από μια γεννήτρια διακεκομμένης γραμμής στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα από αυτά τα φράκταλ αντικείμενα - την τριαδική καμπύλη Koch.

Κατασκευή της τριαδικής καμπύλης Koch.

Πάρτε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1. Ας το ονομάσουμε σπόρος. Ας χωρίσουμε τον σπόρο σε τρία ίσα μέρη μήκους 1/3, πετάξουμε το μεσαίο μέρος και τον αντικαταστήσουμε με μια σπασμένη γραμμή δύο κρίκων μήκους 1/3.

Παίρνουμε μια διακεκομμένη γραμμή, που αποτελείται από 4 συνδέσμους με συνολικό μήκος 4/3, - το λεγόμενο πρώτη γενιά.

Για να προχωρήσετε στην επόμενη γενιά της καμπύλης Koch, είναι απαραίτητο να απορρίψετε και να αντικαταστήσετε το μεσαίο τμήμα κάθε συνδέσμου. Κατά συνέπεια, το μήκος της δεύτερης γενιάς θα είναι 16/9, η τρίτη - 64/27. Εάν συνεχίσετε αυτή τη διαδικασία στο άπειρο, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μια τριαδική καμπύλη Koch.

Ας εξετάσουμε τώρα την ιερή τριαδική καμπύλη Koch και ας μάθουμε γιατί τα φράκταλ ονομάζονταν «τέρατα».

Πρώτον, αυτή η καμπύλη δεν έχει μήκος - όπως είδαμε, με τον αριθμό των γενεών, το μήκος της τείνει στο άπειρο.

Δεύτερον, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη σε αυτήν την καμπύλη - κάθε σημείο της είναι ένα σημείο καμπής στο οποίο η παράγωγος δεν υπάρχει - αυτή η καμπύλη δεν είναι ομαλή.

Το μήκος και η ομαλότητα είναι οι θεμελιώδεις ιδιότητες των καμπυλών, οι οποίες μελετώνται τόσο από την Ευκλείδεια γεωμετρία όσο και από τη γεωμετρία των Lobachevsky και Riemann. Οι παραδοσιακές μέθοδοι γεωμετρικής ανάλυσης αποδείχτηκαν ανεφάρμοστες στην τριαδική καμπύλη Koch, έτσι η καμπύλη Koch αποδείχθηκε ένα τέρας - ένα "τέρας" μεταξύ των ομαλών κατοίκων των παραδοσιακών γεωμετριών.

Κατασκευή του «δράκου» Harter-Hateway.

Για να αποκτήσετε ένα άλλο αντικείμενο φράκταλ, πρέπει να αλλάξετε τους κανόνες κατασκευής. Έστω το στοιχείο παραγωγής δύο ίσα τμήματα συνδεδεμένα σε ορθή γωνία. Στη μηδενική γενιά, αντικαθιστούμε το τμήμα μονάδας με αυτό το στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε η γωνία να βρίσκεται στην κορυφή. Μπορούμε να πούμε ότι με μια τέτοια αντικατάσταση, εμφανίζεται μια μετατόπιση στη μέση του συνδέσμου. Κατά την κατασκευή των επόμενων γενεών, πληρούται ο κανόνας: ο πρώτος σύνδεσμος στα αριστερά αντικαθίσταται από ένα στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε το μέσο του συνδέσμου να μετατοπίζεται προς τα αριστερά της κατεύθυνσης κίνησης και κατά την αντικατάσταση των επόμενων συνδέσμων, οι κατευθύνσεις μετατόπισης των μεσαίων σημείων των τμημάτων πρέπει να εναλλάσσονται. Το σχήμα δείχνει τις πρώτες γενιές και την 11η γενιά της καμπύλης που χτίστηκε σύμφωνα με την αρχή που περιγράφηκε παραπάνω. Η καμπύλη με το n να τείνει στο άπειρο ονομάζεται δράκος Harter-Hateway.
Στα γραφικά υπολογιστή, η χρήση γεωμετρικών φράκταλ είναι απαραίτητη κατά τη λήψη εικόνων δέντρων και θάμνων. Τα δισδιάστατα γεωμετρικά φράκταλ χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία τρισδιάστατων υφών (μοτίβα στην επιφάνεια ενός αντικειμένου).

2. Αλγεβρικά φράκταλ

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα φράκταλ. Λαμβάνονται με τη χρήση μη γραμμικών διεργασιών σε n-διάστατους χώρους. Οι δισδιάστατες διεργασίες είναι οι πιο μελετημένες. Ερμηνεύοντας μια μη γραμμική επαναληπτική διαδικασία ως ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ορολογία της θεωρίας αυτών των συστημάτων: πορτραίτο φάσης, διαδικασία σταθερής κατάστασης, ελκυστής κ.λπ.
Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το δυναμικό σύστημα μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ένας ελκυστής) έχει μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις θεωρούμενες τελικές καταστάσεις. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξης ελκυστών. Εάν ο χώρος φάσης είναι δισδιάστατος, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα έγχρωμο πορτρέτο φάσης αυτού του συστήματος (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρώματος, μπορείτε να αποκτήσετε πολύπλοκα μοτίβα φράκταλ με φανταχτερά πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ περίπλοκων μη τετριμμένων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Το σετ Mandelbrot.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το σύνολο Mandelbrot. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του είναι αρκετά απλός και βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική έκφραση: Z = Z[i] * Z[i] + C, όπου Ziκαι ντοείναι σύνθετες μεταβλητές. Εκτελούνται επαναλήψεις για κάθε σημείο εκκίνησης από μια ορθογώνια ή τετράγωνη περιοχή - ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι Z[i]δεν θα υπερβεί τον κύκλο της ακτίνας 2, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στο σημείο (0,0), (αυτό σημαίνει ότι ο ελκυστής του δυναμικού συστήματος βρίσκεται στο άπειρο) ή μετά από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων (για παράδειγμα , 200-500) Z[i]συγκλίνει σε κάποιο σημείο του κύκλου. Ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων κατά τις οποίες Z[i]παρέμεινε μέσα στον κύκλο, μπορείτε να ορίσετε το χρώμα του σημείου ντο(αν Z[i]παραμένει μέσα στον κύκλο για αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η διαδικασία επανάληψης σταματά και αυτό το ράστερ σημείο βάφεται μαύρο).

3. Στοχαστικά φράκταλ

Μια άλλη πολύ γνωστή κατηγορία φράκταλ είναι τα στοχαστικά φράκταλ, τα οποία προκύπτουν εάν κάποια από τις παραμέτρους τους αλλάξει τυχαία σε μια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα αντικείμενα πολύ παρόμοια με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, οδοντωτές ακτές κ.λπ. Τα δισδιάστατα στοχαστικά φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση του εδάφους και της επιφάνειας της θάλασσας.
Υπάρχουν και άλλες ταξινομήσεις φράκταλ, για παράδειγμα, η διαίρεση των φράκταλ σε ντετερμινιστικά (αλγεβρικά και γεωμετρικά) και μη ντετερμινιστικά (στοχαστικά).

Σχετικά με τη χρήση φράκταλ

Πρώτα απ 'όλα, τα φράκταλ είναι ένας τομέας εκπληκτικής μαθηματικής τέχνης, όταν με τη βοήθεια των απλούστερων τύπων και αλγορίθμων, λαμβάνονται εικόνες εξαιρετικής ομορφιάς και πολυπλοκότητας! Στα περιγράμματα των κατασκευασμένων εικόνων, συχνά μαντεύονται φύλλα, δέντρα και λουλούδια.

Μια από τις πιο ισχυρές εφαρμογές των φράκταλ βρίσκεται στα γραφικά υπολογιστών. Πρώτον, είναι η φράκταλ συμπίεση εικόνων και, δεύτερον, η κατασκευή τοπίων, δέντρων, φυτών και η δημιουργία φράκταλ υφών. Η σύγχρονη φυσική και μηχανική μόλις αρχίζουν να μελετούν τη συμπεριφορά των φράκταλ αντικειμένων. Και, φυσικά, τα φράκταλ εφαρμόζονται απευθείας στα ίδια τα μαθηματικά.
Τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων συμπίεσης fractal εικόνας είναι το πολύ μικρό μέγεθος του συσκευασμένου αρχείου και ο σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνας. Οι εικόνες που έχουν συσκευαστεί φράκτα μπορούν να κλιμακωθούν χωρίς την εμφάνιση εικονοστοιχείων. Αλλά η διαδικασία συμπίεσης διαρκεί πολύ και μερικές φορές διαρκεί για ώρες. Ο αλγόριθμος συσκευασίας με απώλειες φράκταλ σάς επιτρέπει να ορίσετε το επίπεδο συμπίεσης, παρόμοιο με τη μορφή jpeg. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναζήτηση μεγάλων κομματιών της εικόνας παρόμοια με κάποια μικρά κομμάτια. Και μόνο ποιο κομμάτι είναι παρόμοιο με το οποίο είναι γραμμένο στο αρχείο εξόδου. Κατά τη συμπίεση, χρησιμοποιείται συνήθως ένα τετράγωνο πλέγμα (τα κομμάτια είναι τετράγωνα), γεγονός που οδηγεί σε μια ελαφρά γωνιότητα κατά την επαναφορά της εικόνας, ένα εξαγωνικό πλέγμα δεν έχει τέτοιο μειονέκτημα.
Το Iterated έχει αναπτύξει μια νέα μορφή εικόνας, το "Sting", που συνδυάζει fractal και "wave" (όπως jpeg) συμπίεση χωρίς απώλειες. Η νέα μορφή σάς επιτρέπει να δημιουργείτε εικόνες με δυνατότητα επακόλουθης κλιμάκωσης υψηλής ποιότητας και ο όγκος των αρχείων γραφικών είναι 15-20% του όγκου των ασυμπίεστων εικόνων.
Η τάση των φράκταλ να μοιάζουν με βουνά, λουλούδια και δέντρα εκμεταλλεύονται ορισμένοι επεξεργαστές γραφικών, για παράδειγμα, φράκταλ σύννεφα από το 3D studio MAX, φράκταλ βουνά στο World Builder. Δέντρα φράκταλ, βουνά και ολόκληρα τοπία δίνονται με απλούς τύπους, είναι εύκολο να προγραμματιστούν και δεν χωρίζονται σε ξεχωριστά τρίγωνα και κύβους όταν προσεγγίζονται.
Δεν μπορείτε να αγνοήσετε τη χρήση των φράκταλ στα ίδια τα μαθηματικά. Στη θεωρία συνόλων, το σύνολο Cantor αποδεικνύει την ύπαρξη τέλειων πουθενά πυκνών συνόλων· στη θεωρία μετρήσεων, η αυτοσυνδεόμενη συνάρτηση "Cantor ladder" είναι ένα καλό παράδειγμα μιας συνάρτησης κατανομής μοναδικού μέτρου.
Στη μηχανική και τη φυσική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται λόγω της μοναδικής τους ιδιότητας να επαναλαμβάνουν τα περιγράμματα πολλών φυσικών αντικειμένων. Τα φράκταλ σάς επιτρέπουν να προσεγγίζετε δέντρα, επιφάνειες βουνών και ρωγμές με μεγαλύτερη ακρίβεια από τις προσεγγίσεις με τμήματα γραμμής ή πολύγωνα (με τον ίδιο αριθμό αποθηκευμένων δεδομένων). Τα μοντέλα φράκταλ, όπως και τα φυσικά αντικείμενα, έχουν "τραχύτητα", και αυτή η ιδιότητα διατηρείται σε μια αυθαίρετα μεγάλη αύξηση στο μοντέλο. Η παρουσία ενός ομοιόμορφου μέτρου στα φράκταλ καθιστά δυνατή την εφαρμογή της ολοκλήρωσης, τη θεωρία δυναμικού, τη χρήση τους αντί για τυπικά αντικείμενα στις εξισώσεις που έχουν ήδη μελετηθεί.
Με την προσέγγιση φράκταλ, το χάος παύει να είναι μπλε διαταραχή και αποκτά λεπτή δομή. Η επιστήμη των φράκταλ είναι ακόμα πολύ νέα και έχει ένα μεγάλο μέλλον μπροστά της. Η ομορφιά των φράκταλ απέχει πολύ από το να έχει εξαντληθεί και θα μας δώσει πολλά αριστουργήματα - αυτά που απολαμβάνουν το μάτι και αυτά που φέρνουν αληθινή ευχαρίστηση στο μυαλό.

Σχετικά με την κατασκευή φράκταλ

Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων

Κοιτάζοντας αυτήν την εικόνα, δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε πώς μπορεί να κατασκευαστεί ένα ίδιο-όμοιο φράκταλ (στην περίπτωση αυτή, η πυραμίδα Sierpinski). Πρέπει να πάρουμε μια συνηθισμένη πυραμίδα (τετράεδρο), στη συνέχεια να κόψουμε τη μέση της (οκτάεδρο), με αποτέλεσμα να έχουμε τέσσερις μικρές πυραμίδες. Με καθένα από αυτά κάνουμε την ίδια λειτουργία κ.ο.κ. Αυτή είναι μια κάπως αφελής, αλλά ενδεικτική εξήγηση.

Ας εξετάσουμε την ουσία της μεθόδου πιο αυστηρά. Ας υπάρχει κάποιο σύστημα IFS, δηλ. σύστημα χαρτογράφησης συστολής μικρό=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (για παράδειγμα, για την πυραμίδα μας, οι αντιστοιχίσεις μοιάζουν με S i (x)=1/2*x+o i , όπου o i οι κορυφές του τετραέδρου, i=1,..,4). Στη συνέχεια επιλέγουμε κάποιο συμπαγές σύνολο A 1 σε R n (στην περίπτωσή μας επιλέγουμε ένα τετράεδρο). Και προσδιορίζουμε με επαγωγή την ακολουθία των συνόλων A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Είναι γνωστό ότι τα σύνολα A k με αύξηση k προσεγγίζουν τον απαιτούμενο ελκυστήρα του συστήματος μικρό.

Σημειώστε ότι κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις είναι ένας ελκυστής επαναλαμβανόμενο σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων(Αγγλικός όρος DigraphIFS, RIFSκαι επίσης IFS που κατευθύνεται σε γραφήματα) και επομένως είναι εύκολο να κατασκευαστούν με το πρόγραμμά μας.

Κατασκευή με σημεία ή πιθανολογική μέθοδο

Αυτή είναι η πιο εύκολη μέθοδος για εφαρμογή σε υπολογιστή. Για απλότητα, εξετάστε την περίπτωση ενός επίπεδου σετ αυτοκόλλησης. Λοιπόν ας

) είναι κάποιο σύστημα συγκολλητικών συστολών. Χαρτογραφήσεις Σ

εκπροσωπούμενοι ως: Σ

Σταθερή μήτρα μεγέθους 2x2 και o

Δισδιάστατη διανυσματική στήλη.

• Ας πάρουμε ως σημείο εκκίνησης ένα σταθερό σημείο της πρώτης αντιστοίχισης S 1:
  x:=o1;
  Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι όλα τα σταθερά σημεία συστολής S 1 ,..,S m ανήκουν στο φράκταλ. Ένα αυθαίρετο σημείο μπορεί να επιλεγεί ως σημείο εκκίνησης και η ακολουθία των σημείων που δημιουργείται από αυτό θα συρρικνωθεί σε φράκταλ, αλλά στη συνέχεια θα εμφανιστούν μερικά επιπλέον σημεία στην οθόνη.
• Σημειώστε το τρέχον σημείο x=(x 1 ,x 2) στην οθόνη:
  putpixel(x 1 , x 2 ,15);
• Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό j από το 1 έως το m και υπολογίζουμε ξανά τις συντεταγμένες του σημείου x:
  j:=Τυχαίο(m)+1;
  x:=S j (x);
• Πηγαίνουμε στο βήμα 2 ή, αν έχουμε κάνει αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, τότε σταματάμε.

Σημείωση.Εάν οι συντελεστές συμπίεσης των αντιστοιχίσεων S i είναι διαφορετικοί, τότε το φράκταλ θα γεμίσει με σημεία άνισα. Εάν οι αντιστοιχίσεις S i είναι ομοιότητες, αυτό μπορεί να αποφευχθεί περιπλέκοντας ελαφρώς τον αλγόριθμο. Για να γίνει αυτό, στο 3ο βήμα του αλγορίθμου, πρέπει να επιλεγεί ο αριθμός j από το 1 έως το m με τις πιθανότητες p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , όπου r i δηλώνει τους συντελεστές συστολής των αντιστοιχίσεων S i , και ο αριθμός s (που ονομάζεται διάσταση ομοιότητας) βρίσκεται από την εξίσωση r 1 s +...+r m s =1. Η λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τη μέθοδο του Newton.

Σχετικά με τα φράκταλ και τους αλγόριθμους τους

Το Fractal προέρχεται από το λατινικό επίθετο "fractus" και στη μετάφραση σημαίνει αποτελούμενο από θραύσματα, και το αντίστοιχο λατινικό ρήμα "frangere" σημαίνει σπάω, δηλαδή δημιουργείς ακανόνιστα θραύσματα. Οι έννοιες της γεωμετρίας φράκταλ και φράκταλ, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν καθιερωθεί σταθερά στην καθημερινή ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Ο όρος προτάθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να αναφέρεται στις ακανόνιστες αλλά όμοιες δομές που μελέτησε. Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση το 1977 του βιβλίου του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Προσαρμογές

Επιτρέψτε μου να κάνω μερικές προσαρμογές στους αλγόριθμους που προτείνονται στο βιβλίο από τον H.-O. Paytgen και P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, καθαρά για να εξαφανιστούν τα τυπογραφικά λάθη και να διευκολυνθεί η κατανόηση των διαδικασιών, αφού μετά τη μελέτη τους, πολλά παρέμειναν για μένα μυστήριο. Δυστυχώς, αυτοί οι «κατανοητοί» και «απλοί» αλγόριθμοι οδηγούν έναν ρομαντικό τρόπο ζωής.

Η κατασκευή των φράκταλ βασίζεται σε μια ορισμένη μη γραμμική συνάρτηση μιας σύνθετης διαδικασίας με ανάδραση z \u003d z 2 + c αφού τα z και c είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, είναι απαραίτητο να το αποσυνθέσουμε σε x και y για να πάμε στο πιο πραγματικό για το επίπεδο του κοινού ανθρώπου:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Το επίπεδο που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x, y) μπορεί να θεωρηθεί ως με σταθερές τιμές p και q, καθώς και για δυναμικές. Στην πρώτη περίπτωση, ταξινόμηση όλων των σημείων (x, y) του επιπέδου σύμφωνα με το νόμο και χρωματισμός τους ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων της συνάρτησης που απαιτείται για την έξοδο από την επαναληπτική διαδικασία ή μη χρωματισμός (μαύρο) όταν το επιτρεπόμενο μέγιστο των επαναλήψεων αυξάνεται, έχουμε την εμφάνιση του σετ Julia. Αν, αντίθετα, προσδιορίσουμε το αρχικό ζεύγος τιμών (x, y) και ανιχνεύσουμε τη χρωματική του μοίρα με δυναμικά μεταβαλλόμενες τιμές των παραμέτρων p και q, τότε λαμβάνουμε εικόνες που ονομάζονται σύνολα Mandelbrot.

Σχετικά με το ζήτημα των αλγορίθμων χρωματισμού φράκταλ.

Συνήθως το σώμα του σετ αναπαρίσταται ως μαύρο πεδίο, αν και είναι προφανές ότι το μαύρο χρώμα μπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε άλλο, αλλά αυτό είναι επίσης ένα μη ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Η λήψη μιας εικόνας ενός συνόλου βαμμένη σε όλα τα χρώματα είναι μια εργασία που δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας κυκλικές πράξεις, καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων που σχηματίζουν το σώμα του συνόλου είναι ίσος με το μέγιστο δυνατό και πάντα ο ίδιος. Είναι δυνατό να χρωματίσετε το σύνολο σε διαφορετικά χρώματα χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του ελέγχου της συνθήκης εξόδου από τον βρόχο (z_magnitude) ως αριθμό χρώματος ή παρόμοιο με αυτό, αλλά με άλλες μαθηματικές πράξεις.

Εφαρμογή του «μικροσκοπίου φράκταλ»

για την επίδειξη συνοριακών φαινομένων.

Οι ελκυστήρες είναι τα κέντρα που οδηγούν τον αγώνα για κυριαρχία στο αεροπλάνο. Μεταξύ των ελκυστών υπάρχει ένα περίγραμμα που αντιπροσωπεύει ένα μοτίβο στροβιλισμού. Αυξάνοντας την κλίμακα εξέτασης εντός των ορίων του συνόλου, μπορεί κανείς να αποκτήσει μη τετριμμένα μοτίβα που αντικατοπτρίζουν την κατάσταση του ντετερμινιστικού χάους - ένα κοινό φαινόμενο στον φυσικό κόσμο.

Τα αντικείμενα που μελετούν οι γεωγράφοι σχηματίζουν ένα σύστημα με πολύ περίπλοκα οργανωμένα όρια, σε σχέση με το οποίο η εφαρμογή τους γίνεται μια δύσκολη πρακτική εργασία. Τα φυσικά συμπλέγματα έχουν πυρήνες τυπικής φύσης που λειτουργούν ως ελκυστήρες που χάνουν τη δύναμη επιρροής τους στην περιοχή καθώς απομακρύνεται.

Χρησιμοποιώντας ένα φράκταλ μικροσκόπιο για τα σύνολα Mandelbrot και Julia, μπορεί κανείς να σχηματίσει μια ιδέα για οριακές διαδικασίες και φαινόμενα που είναι εξίσου πολύπλοκα ανεξάρτητα από την κλίμακα εξέτασης και έτσι να προετοιμάσει την αντίληψη ενός ειδικού για μια συνάντηση με μια δυναμική και φαινομενικά χαοτική στο χώρο και το χρόνο φυσικό αντικείμενο, για την κατανόηση φράκταλ γεωμετρίας φύσης. Τα πολύχρωμα χρώματα και η μουσική φράκταλ σίγουρα θα αφήσουν βαθύ σημάδι στο μυαλό των μαθητών.

Χιλιάδες δημοσιεύσεις και τεράστιοι πόροι του Διαδικτύου είναι αφιερωμένες στα φράκταλ, ωστόσο, για πολλούς ειδικούς μακριά από την επιστήμη των υπολογιστών, αυτός ο όρος φαίνεται εντελώς νέος. Τα φράκταλ, ως αντικείμενα ενδιαφέροντος για τους ειδικούς σε διάφορους γνωστικούς τομείς, θα πρέπει να λάβουν τη θέση τους στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών.

Παραδείγματα

SIERPINSKI GRID

Αυτό είναι ένα από τα φράκταλ με τα οποία πειραματίστηκε ο Mandelbrot όταν ανέπτυξε τις έννοιες των διαστάσεων και των επαναλήψεων φράκταλ. Τα τρίγωνα που σχηματίζονται με την ένωση των μεσαίων σημείων του μεγαλύτερου τριγώνου κόβονται από το κύριο τρίγωνο για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο, με περισσότερες τρύπες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο εκκινητής είναι ένα μεγάλο τρίγωνο και το πρότυπο είναι μια λειτουργία για την κοπή τριγώνων παρόμοια με το μεγαλύτερο. Μπορείτε επίσης να αποκτήσετε μια τρισδιάστατη έκδοση ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας ένα συνηθισμένο τετράεδρο και κόβοντας μικρότερα τετράεδρα. Η διάσταση ενός τέτοιου φράκταλ είναι ln3/ln2 = 1,584962501. Αποκτώ Χαλί Sierpinski, πάρτε ένα τετράγωνο, χωρίστε το σε εννέα τετράγωνα και κόψτε το μεσαίο. Το ίδιο θα κάνουμε και με τα υπόλοιπα, μικρότερα τετράγωνα. Στο τέλος σχηματίζεται ένα επίπεδο πλέγμα φράκταλ, το οποίο δεν έχει εμβαδόν, αλλά με άπειρες συνδέσεις. Στη χωρική του μορφή, το σφουγγάρι Sierpinski μεταμορφώνεται σε ένα σύστημα διαμπερών μορφών, στο οποίο κάθε διαμπερές στοιχείο αντικαθίσταται συνεχώς από το δικό του είδος. Αυτή η δομή μοιάζει πολύ με ένα τμήμα οστικού ιστού. Κάποτε τέτοιες επαναλαμβανόμενες κατασκευές θα γίνουν στοιχείο κτιριακών κατασκευών. Η στατικότητα και η δυναμική τους, πιστεύει ο Mandelbrot, αξίζουν προσεκτικής μελέτης.

ΚΑΜΠΥΛΗ KOCH

Η καμπύλη Koch είναι ένα από τα πιο τυπικά ντετερμινιστικά φράκταλ. Εφευρέθηκε τον δέκατο ένατο αιώνα από έναν Γερμανό μαθηματικό ονόματι Helge von Koch, ο οποίος, ενώ μελετούσε το έργο του Georg Kontor και του Karl Weierstraße, συνάντησε περιγραφές κάποιων περίεργων καμπυλών με ασυνήθιστη συμπεριφορά. Εκκινητής - απευθείας γραμμή. Η γεννήτρια είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με το ένα τρίτο του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος. Αυτά τα τρίγωνα προστίθενται στο μέσο κάθε τμήματος ξανά και ξανά. Στην έρευνά του, ο Mandelbrot πειραματίστηκε πολύ με τις καμπύλες Koch και απέκτησε φιγούρες όπως τα νησιά Koch, οι σταυροί Koch, οι χιονονιφάδες του Koch και ακόμη και οι τρισδιάστατες αναπαραστάσεις της καμπύλης Koch χρησιμοποιώντας ένα τετράεδρο και προσθέτοντας μικρότερα τετράεδρα σε κάθε όψη της. Η καμπύλη Koch έχει διάσταση ln4/ln3 = 1,261859507.

Φράκταλ Mandelbrot

Αυτό ΔΕΝ είναι το σετ Mandelbrot που βλέπετε αρκετά συχνά. Το σύνολο Mandelbrot βασίζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις και είναι ένα σύνθετο φράκταλ. Αυτή είναι επίσης μια παραλλαγή της καμπύλης Koch, παρά το γεγονός ότι αυτό το αντικείμενο δεν μοιάζει με αυτό. Ο εκκινητής και η γεννήτρια είναι επίσης διαφορετικά από αυτά που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία φράκταλ με βάση την αρχή της καμπύλης Koch, αλλά η ιδέα παραμένει η ίδια. Αντί να προσαρτώνται ισόπλευρα τρίγωνα σε ένα τμήμα καμπύλης, τα τετράγωνα συνδέονται με ένα τετράγωνο. Λόγω του γεγονότος ότι αυτό το φράκταλ καταλαμβάνει ακριβώς το μισό του εκχωρημένου χώρου σε κάθε επανάληψη, έχει μια απλή διάσταση φράκταλ 3/2 = 1,5.

ΤΟ ΠΕΝΤΑΓΟΝΟ ΤΟΥ ΝΤΑΡΕΡ

Ένα φράκταλ μοιάζει με ένα μάτσο πεντάγωνα συμπιεσμένα μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, σχηματίζεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελές τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη στην οποία είναι ακριβώς ίση με τη λεγόμενη χρυσή τομή (1,618033989 ή 1/(2cos72)) ως γεννήτρια. . Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα ένα σχήμα που μοιάζει με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο. Μια παραλλαγή αυτού του φράκταλ μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας ένα εξάγωνο ως εκκινητή. Αυτό το φράκταλ ονομάζεται Star of David και μοιάζει αρκετά με την εξαγωνική εκδοχή του Snowflake του Koch. Η φράκταλ διάσταση του πενταγώνου Darer είναι ln6/ln(1+g), όπου g είναι ο λόγος του μήκους της μεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου προς το μήκος της μικρότερης πλευράς. Σε αυτήν την περίπτωση, το g είναι η Χρυσή Αναλογία, επομένως η διάσταση του φράκταλ είναι περίπου 1,86171596. Η φράκταλ διάσταση του Άστρου του Δαβίδ είναι ln6/ln3 ή 1,630929754.

Σύνθετα φράκταλ

Στην πραγματικότητα, εάν κάνετε μεγέθυνση σε μια μικρή περιοχή οποιουδήποτε πολύπλοκου φράκταλ και στη συνέχεια κάνετε το ίδιο σε μια μικρή περιοχή αυτής της περιοχής, οι δύο μεγεθύνσεις θα διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Οι δύο εικόνες θα μοιάζουν πολύ στη λεπτομέρεια, αλλά δεν θα είναι εντελώς ίδιες.

Εικ. 1. Προσέγγιση του συνόλου Mandelbrot

Συγκρίνετε, για παράδειγμα, τις εικόνες του σετ Mandelbrot που εμφανίζονται εδώ, το ένα από τα οποία λήφθηκε αυξάνοντας κάποια περιοχή του άλλου. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι απολύτως πανομοιότυπα, αν και και στα δύο βλέπουμε έναν μαύρο κύκλο, από τον οποίο τα φλεγόμενα πλοκάμια πηγαίνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Αυτά τα στοιχεία επαναλαμβάνονται επ' αόριστον στο σύνολο Mandelbrot σε φθίνουσα αναλογία.

Τα ντετερμινιστικά φράκταλ είναι γραμμικά, ενώ τα σύνθετα φράκταλ όχι. Όντας μη γραμμικά, αυτά τα φράκταλ δημιουργούνται από αυτό που ο Mandelbrot ονόμασε μη γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι η διαδικασία Zn+1=ZnІ + C, η οποία είναι η εξίσωση που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των συνόλων Mandelbrot και Julia του δεύτερου βαθμού. Η επίλυση αυτών των μαθηματικών εξισώσεων περιλαμβάνει μιγαδικούς και φανταστικούς αριθμούς. Όταν η εξίσωση ερμηνεύεται γραφικά στο μιγαδικό επίπεδο, το αποτέλεσμα είναι ένα περίεργο σχήμα στο οποίο οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες, φαινόμενα αυτο-ομοιότητας εμφανίζονται σε διάφορα επίπεδα κλίμακας, αν και όχι χωρίς παραμορφώσεις. Ταυτόχρονα, η όλη εικόνα στο σύνολό της είναι απρόβλεπτη και πολύ χαοτική.

Όπως μπορείτε να δείτε κοιτάζοντας τις εικόνες, τα πολύπλοκα φράκταλ είναι πράγματι πολύ περίπλοκα και αδύνατο να δημιουργηθούν χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή. Για να έχετε πολύχρωμα αποτελέσματα, αυτός ο υπολογιστής πρέπει να διαθέτει έναν ισχυρό συνεπεξεργαστή μαθηματικών και μια οθόνη υψηλής ανάλυσης. Σε αντίθεση με τα ντετερμινιστικά φράκταλ, τα σύνθετα φράκταλ δεν υπολογίζονται σε 5-10 επαναλήψεις. Σχεδόν κάθε κουκκίδα στην οθόνη του υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ. Κατά τη μαθηματική επεξεργασία, κάθε σημείο αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστό μοτίβο. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή. Η εξίσωση είναι ενσωματωμένη για κάθε σημείο και εκτελείται, για παράδειγμα, 1000 επαναλήψεις. Για να αποκτήσετε μια σχετικά μη παραμορφωμένη εικόνα σε ένα χρονικό διάστημα αποδεκτό για οικιακούς υπολογιστές, είναι δυνατό να πραγματοποιήσετε 250 επαναλήψεις για ένα σημείο.

Τα περισσότερα από τα φράκταλ που βλέπουμε σήμερα είναι όμορφα χρωματισμένα. Ίσως οι φράκταλ εικόνες να έχουν αποκτήσει τόσο μεγάλη αισθητική αξία ακριβώς λόγω των χρωμάτων τους. Αφού υπολογιστεί η εξίσωση, ο υπολογιστής αναλύει τα αποτελέσματα. Εάν τα αποτελέσματα παραμένουν σταθερά ή κυμαίνονται γύρω από μια συγκεκριμένη τιμή, η κουκκίδα συνήθως γίνεται μαύρη. Εάν η τιμή σε ένα ή άλλο βήμα τείνει στο άπειρο, το σημείο βάφεται με διαφορετικό χρώμα, ίσως μπλε ή κόκκινο. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, ο υπολογιστής εκχωρεί χρώματα σε όλες τις ταχύτητες κίνησης.

Συνήθως, οι γρήγορα κινούμενες κουκκίδες βάφονται με κόκκινο χρώμα, ενώ οι πιο αργές είναι κίτρινες κ.ο.κ. Οι σκούρες κουκίδες είναι ίσως οι πιο σταθερές.

Τα σύνθετα φράκταλ διαφέρουν από τα ντετερμινιστικά φράκταλ στο ότι είναι απείρως πολύπλοκα, αλλά μπορούν να δημιουργηθούν με έναν πολύ απλό τύπο. Τα ντετερμινιστικά φράκταλ δεν χρειάζονται τύπους ή εξισώσεις. Απλώς πάρτε λίγο χαρτί σχεδίασης και μπορείτε να φτιάξετε ένα κόσκινο Sierpinski έως και 3 ή 4 επαναλήψεις χωρίς καμία δυσκολία. Προσπαθήστε να το κάνετε με πολλά Julia! Είναι πιο εύκολο να μετρήσετε το μήκος της ακτογραμμής της Αγγλίας!

ΣΕΤ MANDERBROT

Εικ. 2. Σετ Mandelbrot

Τα σετ Mandelbrot και Julia είναι πιθανώς τα δύο πιο κοινά μεταξύ των πολύπλοκων φράκταλ. Μπορούν να βρεθούν σε πολλά επιστημονικά περιοδικά, εξώφυλλα βιβλίων, καρτ ποστάλ και προφύλαξη οθόνης υπολογιστών. Το σετ Mandelbrot, το οποίο κατασκευάστηκε από τον Benoit Mandelbrot, είναι ίσως η πρώτη σχέση που έχουν οι άνθρωποι όταν ακούν τη λέξη φράκταλ. Αυτό το φράκταλ, που μοιάζει με κάρτα με λαμπερές περιοχές δέντρων και κύκλους συνδεδεμένες σε αυτό, δημιουργείται από τον απλό τύπο Zn+1=Zna+C, όπου τα Z και C είναι μιγαδικοί αριθμοί και ο a είναι θετικός αριθμός.

Το πιο συχνά εμφανιζόμενο σύνολο Mandelbrot είναι το σύνολο Mandelbrot 2ου βαθμού, δηλ. a=2. Το γεγονός ότι το σύνολο Mandelbrot δεν είναι μόνο Zn+1=ZnІ+C, αλλά ένα φράκταλ του οποίου ο εκθέτης στον τύπο μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός παραπλάνησε πολλούς ανθρώπους. Σε αυτή τη σελίδα βλέπετε ένα παράδειγμα του συνόλου Mandelbrot για διάφορες τιμές του εκθέτη a.
Εικόνα 3. Η εμφάνιση φυσαλίδων στο a=3,5

Η διαδικασία Z=Z*tg(Z+C) είναι επίσης δημοφιλής. Χάρη στη συμπερίληψη της συνάρτησης εφαπτομένης, λαμβάνεται το σύνολο Mandelbrot, που περιβάλλεται από μια περιοχή που μοιάζει με μήλο. Κατά τη χρήση της συνημίτονος, επιτυγχάνονται εφέ φυσαλίδων αέρα. Εν ολίγοις, υπάρχει άπειρος αριθμός τρόπων για να τροποποιήσετε το σετ Mandelbrot για να δημιουργήσετε διάφορες όμορφες εικόνες.

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΤΖΟΥΛΙΑ

Παραδόξως, τα σετ Julia διαμορφώνονται σύμφωνα με τον ίδιο τύπο με το σετ Mandelbrot. Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia, από τον οποίο ονομάστηκε το σετ. Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει μετά από μια οπτική γνωριμία με τα σύνολα Mandelbrot και Julia είναι "αν και τα δύο φράκταλ δημιουργούνται από τον ίδιο τύπο, γιατί είναι τόσο διαφορετικά;" Πρώτα δείτε τις φωτογραφίες του σετ Julia. Παραδόξως, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σετ Julia. Όταν σχεδιάζετε ένα φράκταλ χρησιμοποιώντας διαφορετικά σημεία εκκίνησης (για να ξεκινήσει η διαδικασία επανάληψης), δημιουργούνται διαφορετικές εικόνες. Αυτό ισχύει μόνο για το σετ Julia.

Εικ 4. Σετ Τζούλια

Αν και δεν φαίνεται στην εικόνα, ένα φράκταλ Mandelbrot είναι στην πραγματικότητα ένα μάτσο φράκταλ Julia που συνδέονται μεταξύ τους. Κάθε σημείο (ή συντεταγμένη) του συνόλου Mandelbrot αντιστοιχεί σε ένα φράκταλ Julia. Τα σύνολα Julia μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία ως αρχικές τιμές στην εξίσωση Z=ZI+C. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι εάν επιλέξετε ένα σημείο στο φράκταλ Mandelbrot και το αυξήσετε, μπορείτε να πάρετε ένα φράκταλ Julia. Αυτά τα δύο σημεία είναι πανομοιότυπα, αλλά μόνο με μαθηματική έννοια. Αν πάρουμε αυτό το σημείο και το υπολογίσουμε σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, μπορούμε να πάρουμε το φράκταλ Julia που αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο του φράκταλ Mandelbrot.

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Siverskaya δευτεροβάθμιο σχολείο Νο. 3"

Ερευνητικό έργο

μαθηματικά.

Έκανε τη δουλειά

Μαθητής της 8ης τάξης

Έμελιν Πάβελ

επιστημονικός σύμβουλος

καθηγητής μαθηματικών

Tupitsyna Natalya Alekseevna

σ. Siversky

έτος 2014

Τα μαθηματικά είναι όλα διαποτισμένα από ομορφιά και αρμονία,

Αρκεί να δεις αυτή την ομορφιά.

B. Mandelbrot

Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1. Η ιστορία της εμφάνισης των φράκταλ _______ 5-6 σελ.

Κεφάλαιο 2. Ταξινόμηση φράκταλ.________________6-10σ.σ.

γεωμετρικά φράκταλ

Αλγεβρικά φράκταλ

Στοχαστικά φράκταλ

Κεφάλαιο 3. «Fractal geometry of nature» ______ 11-13pp.

Κεφάλαιο 4. Εφαρμογή φράκταλ _______________13-15σελ.

Κεφάλαιο 5 Πρακτική εργασία __________________ 16-24σελ.

Συμπέρασμα________________________________25.σελ

Κατάλογος βιβλιογραφίας και πόρων του Διαδικτύου _______ 26 σελ.

Εισαγωγή

Μαθηματικά,

αν το δεις σωστά,

αντικατοπτρίζει όχι μόνο την αλήθεια,

αλλά και απαράμιλλη ομορφιά.

Μπέρτραντ Ράσελ

Η λέξη «φράκταλ» είναι κάτι για το οποίο μιλούν πολύς κόσμος αυτές τις μέρες, από επιστήμονες μέχρι μαθητές Λυκείου. Εμφανίζεται στο εξώφυλλο πολλών εγχειριδίων μαθηματικών, επιστημονικών περιοδικών και κουτιών λογισμικού υπολογιστών. Έγχρωμες εικόνες φράκταλ σήμερα μπορούν να βρεθούν παντού: από καρτ ποστάλ, μπλουζάκια μέχρι εικόνες στην επιφάνεια εργασίας ενός προσωπικού υπολογιστή. Λοιπόν, ποια είναι αυτά τα χρωματιστά σχήματα που βλέπουμε γύρω μας;

Τα μαθηματικά είναι η αρχαιότερη επιστήμη. Στους περισσότερους ανθρώπους φαινόταν ότι η γεωμετρία στη φύση περιοριζόταν σε τόσο απλά σχήματα όπως μια γραμμή, ένας κύκλος, ένα πολύγωνο, μια σφαίρα κ.λπ. Όπως αποδείχθηκε, πολλά φυσικά συστήματα είναι τόσο πολύπλοκα που η χρήση μόνο οικείων αντικειμένων συνηθισμένης γεωμετρίας για τη μοντελοποίησή τους φαίνεται απελπιστική. Πώς, για παράδειγμα, να φτιάξετε ένα μοντέλο μιας οροσειράς ή κορώνας δέντρου από άποψη γεωμετρίας; Πώς να περιγράψετε την ποικιλομορφία της βιολογικής ποικιλότητας που παρατηρούμε στον κόσμο των φυτών και των ζώων; Πώς να φανταστεί κανείς όλη την πολυπλοκότητα του κυκλοφορικού συστήματος, που αποτελείται από πολλά τριχοειδή αγγεία και αγγεία και παρέχει αίμα σε κάθε κύτταρο του ανθρώπινου σώματος; Φανταστείτε τη δομή των πνευμόνων και των νεφρών, που μοιάζει με δέντρα με μια διακλαδισμένη κορώνα στη δομή;

Τα φράκταλ είναι ένα κατάλληλο μέσο για την εξερεύνηση των ερωτήσεων που τίθενται. Συχνά ό,τι βλέπουμε στη φύση μας ιντριγκάρει με την ατελείωτη επανάληψη του ίδιου μοτίβου, μεγεθυσμένη ή μειωμένη κατά πολλές φορές. Για παράδειγμα, ένα δέντρο έχει κλαδιά. Αυτά τα κλαδιά έχουν μικρότερα κλαδιά, και ούτω καθεξής. Θεωρητικά, το στοιχείο «πηρούνι» επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, όλο και μικρότερο. Το ίδιο πράγμα μπορεί να δει κανείς όταν κοιτάζει μια φωτογραφία ενός ορεινού εδάφους. Δοκιμάστε να μεγεθύνετε λίγο την οροσειρά --- θα δείτε ξανά τα βουνά. Έτσι εκδηλώνεται η ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας που χαρακτηρίζει τα φράκταλ.

Η μελέτη των φράκταλ ανοίγει υπέροχες δυνατότητες, τόσο στη μελέτη ενός άπειρου αριθμού εφαρμογών, όσο και στον τομέα των μαθηματικών. Η χρήση των φράκταλ είναι πολύ εκτεταμένη! Εξάλλου, αυτά τα αντικείμενα είναι τόσο όμορφα που χρησιμοποιούνται από σχεδιαστές, καλλιτέχνες, με τη βοήθεια τους σχεδιάζονται σε γραφικά πολλά στοιχεία από δέντρα, σύννεφα, βουνά κ.λπ. Αλλά τα φράκταλ χρησιμοποιούνται ακόμη και ως κεραίες σε πολλά κινητά τηλέφωνα.

Για πολλούς χαολόγους (επιστήμονες που μελετούν τα φράκταλ και το χάος), αυτό δεν είναι απλώς ένα νέο πεδίο γνώσης που συνδυάζει μαθηματικά, θεωρητική φυσική, τέχνη και τεχνολογία υπολογιστών - αυτό είναι μια επανάσταση. Αυτή είναι η ανακάλυψη ενός νέου τύπου γεωμετρίας, της γεωμετρίας που περιγράφει τον κόσμο γύρω μας και που μπορεί να δει κανείς όχι μόνο στα σχολικά βιβλία, αλλά και στη φύση και παντού στο απέραντο σύμπαν..

Στη δουλειά μου, αποφάσισα επίσης να «αγγίξω» τον κόσμο της ομορφιάς και αποφάσισα για τον εαυτό μου…

Σκοπός: δημιουργία αντικειμένων που μοιάζουν πολύ με τη φύση.

Ερευνητικές μέθοδοιΛέξεις κλειδιά: συγκριτική ανάλυση, σύνθεση, μοντελοποίηση.

Καθήκοντα:

γνωριμία με την έννοια, την ιστορία της εμφάνισης και την έρευνα του B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky και άλλοι.

εξοικείωση με διάφορους τύπους συνόλων φράκταλ.

μελέτη της λαϊκής επιστημονικής βιβλιογραφίας για αυτό το θέμα, γνωριμία με

επιστημονικές υποθέσεις·

εύρεση επιβεβαίωσης της θεωρίας της φρακταλικότητας του περιβάλλοντος κόσμου.

μελέτη της χρήσης φράκταλ σε άλλες επιστήμες και στην πράξη.

διεξάγοντας ένα πείραμα για να δημιουργήσετε τις δικές σας φράκταλ εικόνες.

Βασικό ερώτημα της δουλειάς:

Δείξτε ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένα ξερό, άψυχο μάθημα, μπορούν να εκφράσουν τον πνευματικό κόσμο ενός ατόμου ατομικά και στο κοινωνικό σύνολο.

Αντικείμενο μελέτης: Φράκταλ γεωμετρία.

Αντικείμενο μελέτης: φράκταλ στα μαθηματικά και στον πραγματικό κόσμο.

Υπόθεση: Ό,τι υπάρχει στον πραγματικό κόσμο είναι φράκταλ.

Ερευνητικές μέθοδοι: αναλυτική, αναζήτηση.

Συνάφειατου δηλωθέντος θέματος καθορίζεται, καταρχήν, από το αντικείμενο έρευνας, που είναι η γεωμετρία φράκταλ.

Αναμενόμενα αποτελέσματα:Κατά τη διάρκεια της εργασίας, θα μπορέσω να επεκτείνω τις γνώσεις μου στον τομέα των μαθηματικών, να δω την ομορφιά της γεωμετρίας φράκταλ και να αρχίσω να εργάζομαι για τη δημιουργία των δικών μου φράκταλ.

Το αποτέλεσμα της εργασίας θα είναι η δημιουργία μιας ηλεκτρονικής παρουσίασης, ενός δελτίου και ενός φυλλαδίου.

Κεφάλαιο 1

σι Ένουα Μάντελμπροτ

Ο όρος «fractal» επινοήθηκε από τον Benoit Mandelbrot. Η λέξη προέρχεται από το λατινικό «fractus», που σημαίνει «σπασμένο, θρυμματισμένο».

Φράκταλ (λατ. fractus - θρυμματισμένο, σπασμένο, σπασμένο) - όρος που σημαίνει ένα σύνθετο γεωμετρικό σχήμα με την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας, δηλαδή που αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα στο σύνολό του.

Τα μαθηματικά αντικείμενα στα οποία αναφέρεται χαρακτηρίζονται από εξαιρετικά ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Στη συνηθισμένη γεωμετρία, μια γραμμή έχει μία διάσταση, μια επιφάνεια έχει δύο διαστάσεις και ένα χωρικό σχήμα είναι τρισδιάστατο. Τα φράκταλ, από την άλλη, δεν είναι γραμμές ή επιφάνειες, αλλά, αν μπορείτε να το φανταστείτε, κάτι ενδιάμεσο. Με την αύξηση του μεγέθους, ο όγκος του φράκταλ αυξάνεται επίσης, αλλά η διάστασή του (εκθέτης) δεν είναι ακέραιος, αλλά κλασματική τιμή και επομένως το όριο του σχήματος φράκταλ δεν είναι γραμμή: σε υψηλή μεγέθυνση, γίνεται σαφές ότι είναι θολή και αποτελείται από σπείρες και μπούκλες, επαναλαμβάνοντας σε μικρά την κλίμακα της ίδιας της φιγούρας. Μια τέτοια γεωμετρική κανονικότητα ονομάζεται αμετάβλητη κλίμακα ή αυτο-ομοιότητα. Είναι αυτή που καθορίζει την κλασματική διάσταση των μορφών φράκταλ.

Πριν από την εμφάνιση της γεωμετρίας φράκταλ, η επιστήμη ασχολήθηκε με συστήματα που περιέχονται σε τρεις χωρικές διαστάσεις. Χάρη στον Αϊνστάιν, έγινε σαφές ότι ο τρισδιάστατος χώρος είναι μόνο ένα μοντέλο πραγματικότητας και όχι η ίδια η πραγματικότητα. Στην πραγματικότητα, ο κόσμος μας βρίσκεται σε ένα τετραδιάστατο χωροχρονικό συνεχές.
Χάρη στον Mandelbrot, έγινε σαφές πώς μοιάζει ένας τετραδιάστατος χώρος, μεταφορικά μιλώντας, το φράκταλ πρόσωπο του Χάους. Ο Benoit Mandelbrot ανακάλυψε ότι η τέταρτη διάσταση περιλαμβάνει όχι μόνο τις πρώτες τρεις διαστάσεις, αλλά και (αυτό είναι πολύ σημαντικό!) τα διαστήματα μεταξύ τους.

Η αναδρομική (ή φράκταλ) γεωμετρία αντικαθιστά την Ευκλείδεια. Η νέα επιστήμη είναι ικανή να περιγράψει την αληθινή φύση των σωμάτων και των φαινομένων. Η Ευκλείδεια γεωμετρία ασχολήθηκε μόνο με τεχνητά, φανταστικά αντικείμενα που ανήκουν σε τρεις διαστάσεις. Μόνο η τέταρτη διάσταση μπορεί να τα μετατρέψει σε πραγματικότητα.

Υγρό, αέριο, στερεό είναι οι τρεις συνήθεις φυσικές καταστάσεις της ύλης που υπάρχουν στον τρισδιάστατο κόσμο. Ποια είναι όμως η διάσταση της ρουφηξιάς του καπνού, των νεφών, ή μάλλον, των ορίων τους, που συνεχώς θολώνονται από την τυρβώδη κίνηση του αέρα;

Βασικά, τα φράκταλ ταξινομούνται σε τρεις ομάδες:

Αλγεβρικά φράκταλ

Στοχαστικά φράκταλ

γεωμετρικά φράκταλ

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε καθένα από αυτά.

Κεφάλαιο 2. Ταξινόμηση φράκταλ

γεωμετρικά φράκταλ

Ο Benoit Mandelbrot πρότεινε ένα μοντέλο φράκταλ, το οποίο έχει ήδη γίνει κλασικό και χρησιμοποιείται συχνά για να δείξει ένα τυπικό παράδειγμα του ίδιου του φράκταλ και για να δείξει την ομορφιά των φράκταλ, το οποίο προσελκύει επίσης ερευνητές, καλλιτέχνες και ανθρώπους που απλώς ενδιαφέρονται.

Ήταν μαζί τους που ξεκίνησε η ιστορία των φράκταλ. Αυτός ο τύπος φράκταλ λαμβάνεται με απλές γεωμετρικές κατασκευές. Συνήθως, κατά την κατασκευή αυτών των φράκταλ, προχωρά κανείς ως εξής: λαμβάνεται ένας "σπόρος" - ένα αξίωμα - ένα σύνολο τμημάτων, βάσει των οποίων θα κατασκευαστεί το φράκταλ. Περαιτέρω, ένα σύνολο κανόνων εφαρμόζεται σε αυτόν τον «σπόρο», ο οποίος τον μετατρέπει σε κάποιο γεωμετρικό σχήμα. Επιπλέον, το ίδιο σύνολο κανόνων εφαρμόζεται ξανά σε κάθε μέρος αυτού του σχήματος. Με κάθε βήμα, το σχήμα θα γίνεται όλο και πιο περίπλοκο και αν πραγματοποιήσουμε (τουλάχιστον στο μυαλό) άπειρους μετασχηματισμούς, θα πάρουμε ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Τα φράκταλ αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο οπτικά, γιατί είναι άμεσα ορατή η αυτο-ομοιότητα σε οποιαδήποτε κλίμακα παρατήρησης. Στη δισδιάστατη περίπτωση, τέτοια φράκταλ μπορούν να ληφθούν καθορίζοντας κάποια διακεκομμένη γραμμή, που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα που συνθέτουν τη διακεκομμένη γραμμή αντικαθίσταται από μια γεννήτρια διακεκομμένης γραμμής, στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας (ή, πιο συγκεκριμένα, κατά τη μετάβαση στο όριο), προκύπτει μια καμπύλη φράκταλ. Με τη φαινομενική πολυπλοκότητα της καμπύλης που προκύπτει, η γενική της μορφή δίνεται μόνο από το σχήμα της γεννήτριας. Παραδείγματα τέτοιων καμπυλών είναι: καμπύλη Koch (Εικ.7), καμπύλη Peano (Εικ.8), καμπύλη Minkowski.

Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι μαθηματικοί αναζητούσαν καμπύλες που δεν είχαν εφαπτομένη σε κανένα σημείο. Αυτό σήμαινε ότι η καμπύλη άλλαξε απότομα την κατεύθυνσή της και, επιπλέον, με εξαιρετικά υψηλή ταχύτητα (η παράγωγος είναι ίση με το άπειρο). Η αναζήτηση για αυτές τις καμπύλες δεν προκλήθηκε μόνο από το αδρανές ενδιαφέρον των μαθηματικών. Γεγονός είναι ότι στις αρχές του 20ου αιώνα, η κβαντομηχανική αναπτύχθηκε πολύ γρήγορα. Ο ερευνητής M. Brown σκιαγράφησε την τροχιά των αιωρούμενων σωματιδίων στο νερό και εξήγησε αυτό το φαινόμενο ως εξής: τυχαία κινούμενα υγρά άτομα χτυπούν αιωρούμενα σωματίδια και έτσι τα θέτουν σε κίνηση. Μετά από μια τέτοια εξήγηση της κίνησης Brown, οι επιστήμονες αντιμετώπισαν το καθήκον να βρουν μια καμπύλη που θα έδειχνε καλύτερα την κίνηση των σωματιδίων Brown. Για να γίνει αυτό, η καμπύλη έπρεπε να πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: να μην έχει εφαπτομένη σε κανένα σημείο. Ο μαθηματικός Koch πρότεινε μια τέτοια καμπύλη.

Προς την η καμπύλη Koch είναι ένα τυπικό γεωμετρικό φράκταλ. Η διαδικασία κατασκευής του είναι η εξής: παίρνουμε ένα ενιαίο τμήμα, το χωρίζουμε σε τρία ίσα μέρη και αντικαθιστούμε το μεσαίο διάστημα με ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτό το τμήμα. Ως αποτέλεσμα, σχηματίζεται μια διακεκομμένη γραμμή, που αποτελείται από τέσσερις συνδέσμους μήκους 1/3. Στο επόμενο βήμα, επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία για κάθε έναν από τους τέσσερις συνδέσμους που προκύπτουν και ούτω καθεξής ...

Η οριακή καμπύλη είναι Καμπύλη Koch.

Νιφάδα χιονιού Κοχ.Εκτελώντας έναν παρόμοιο μετασχηματισμό στις πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου, μπορείτε να πάρετε μια φράκταλ εικόνα μιας νιφάδας χιονιού Koch.

Τ
Ένας άλλος απλός εκπρόσωπος ενός γεωμετρικού φράκταλ είναι Πλατεία Sierpinski.Είναι χτισμένο πολύ απλά: Το τετράγωνο χωρίζεται με ευθείες γραμμές παράλληλες στις πλευρές του σε 9 ίσα τετράγωνα. Η κεντρική πλατεία αφαιρείται από την πλατεία. Αποδεικνύεται ένα σύνολο που αποτελείται από 8 εναπομείναντα τετράγωνα της "πρώτης τάξης". Κάνοντας το ίδιο με καθένα από τα τετράγωνα της πρώτης κατάταξης, παίρνουμε ένα σύνολο που αποτελείται από 64 τετράγωνα της δεύτερης τάξης. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία επ' αόριστον, παίρνουμε μια άπειρη ακολουθία ή τετράγωνο Sierpinski.

Αλγεβρικά φράκταλ

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα φράκταλ. Τα αλγεβρικά φράκταλ πήραν το όνομά τους επειδή κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας απλούς αλγεβρικούς τύπους.

Λαμβάνονται με τη χρήση μη γραμμικών διεργασιών στο n-διαστατικούς χώρους. Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το δυναμικό σύστημα μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ένας ελκυστής) έχει μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις θεωρούμενες τελικές καταστάσεις. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξηςελκυστές. Εάν ο χώρος φάσης είναι δισδιάστατος, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει πορτρέτο έγχρωμης φάσηςαυτό το σύστημα (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρώματος, μπορείτε να αποκτήσετε πολύπλοκα μοτίβα φράκταλ με φανταχτερά πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ περίπλοκων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το σύνολο Mandelbrot. Κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς.

Μέρος του ορίου του σετ Mandelbrot, μεγεθύνεται 200 ​​φορές.

Το σύνολο Mandelbrot περιέχει σημεία που κατά τη διάρκειαατελείωτες ο αριθμός των επαναλήψεων δεν πηγαίνει στο άπειρο (σημεία που είναι μαύρα). Σημεία που ανήκουν στο όριο του συνόλου(εδώ προκύπτουν πολύπλοκες δομές) πηγαίνουν στο άπειρο σε έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων και τα σημεία που βρίσκονται έξω από το σύνολο πηγαίνουν στο άπειρο μετά από πολλές επαναλήψεις (λευκό φόντο).

Π



Ένα παράδειγμα άλλου αλγεβρικού φράκταλ είναι το σύνολο Julia. Υπάρχουν 2 ποικιλίες αυτού του φράκταλ.Παραδόξως, τα σετ Julia διαμορφώνονται σύμφωνα με τον ίδιο τύπο με το σετ Mandelbrot. Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia, από τον οποίο ονομάστηκε το σετ.

Και
ενδιαφέρον γεγονός, ορισμένα αλγεβρικά φράκταλ μοιάζουν εντυπωσιακά με εικόνες ζώων, φυτών και άλλων βιολογικών αντικειμένων, με αποτέλεσμα να ονομάζονται βιομορφικά.

Στοχαστικά φράκταλ

Μια άλλη πολύ γνωστή κατηγορία φράκταλ είναι τα στοχαστικά φράκταλ, τα οποία προκύπτουν εάν κάποια από τις παραμέτρους τους αλλάξει τυχαία σε μια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα αντικείμενα πολύ παρόμοια με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, οδοντωτές ακτές κ.λπ.

Ένας τυπικός εκπρόσωπος αυτής της ομάδας φράκταλ είναι το "πλάσμα".

ρε
Για την κατασκευή του, λαμβάνεται ένα ορθογώνιο και καθορίζεται ένα χρώμα για κάθε γωνία του. Στη συνέχεια, βρίσκεται το κεντρικό σημείο του ορθογωνίου και βάφεται με χρώμα ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των χρωμάτων στις γωνίες του ορθογωνίου συν κάποιο τυχαίο αριθμό. Όσο μεγαλύτερος είναι ο τυχαίος αριθμός, τόσο πιο «σκισμένη» θα είναι η εικόνα. Αν υποθέσουμε ότι το χρώμα του σημείου είναι το ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, θα πάρουμε μια οροσειρά αντί για πλάσμα. Με αυτήν την αρχή διαμορφώνονται τα βουνά στα περισσότερα προγράμματα. Χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο που μοιάζει με πλάσμα, δημιουργείται ένας χάρτης ύψους, εφαρμόζονται διάφορα φίλτρα σε αυτόν, εφαρμόζεται μια υφή και είναι έτοιμα τα φωτορεαλιστικά βουνά.

μι
Αν κοιτάξουμε αυτό το φράκταλ σε μια ενότητα, τότε θα δούμε ότι αυτό το φράκταλ είναι ογκώδες και έχει μια «τραχύτητα», ακριβώς λόγω αυτής της «τραχύτητας» υπάρχει μια πολύ σημαντική εφαρμογή αυτού του φράκταλ.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να περιγράψετε το σχήμα ενός βουνού. Τα συνηθισμένα σχήματα από την Ευκλείδεια γεωμετρία δεν θα βοηθήσουν εδώ, γιατί δεν λαμβάνουν υπόψη την τοπογραφία της επιφάνειας. Αλλά όταν συνδυάζετε τη συμβατική γεωμετρία με τη γεωμετρία φράκταλ, μπορείτε να πάρετε την ίδια την «τραχύτητα» του βουνού. Το πλάσμα πρέπει να εφαρμοστεί σε έναν συνηθισμένο κώνο και θα έχουμε την ανακούφιση του βουνού. Τέτοιες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν με πολλά άλλα αντικείμενα στη φύση, χάρη στα στοχαστικά φράκταλ, μπορεί να περιγραφεί η ίδια η φύση.

Τώρα ας μιλήσουμε για γεωμετρικά φράκταλ.

.

Κεφάλαιο 3 "Η φράκταλ γεωμετρία της φύσης"

Γιατί η γεωμετρία αναφέρεται συχνά ως "κρύα" και "ξηρά"; Ένας λόγος είναι η αδυναμία της να περιγράψει το σχήμα ενός σύννεφου, βουνού, ακτών ή δέντρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι, δέντρο Ο φλοιός δεν είναι λείος, αλλά πολυπλοκότητα εντελώς διαφορετικού επιπέδου. Ο αριθμός των διαφορετικών κλιμάκων μήκους των φυσικών αντικειμένων για όλους τους πρακτικούς σκοπούς είναι άπειρος."

(Μπενουά Mandelbrot "Η φράκταλ γεωμετρία της φύσης" ).

Προς την Η ομορφιά των φράκταλ είναι διπλή: μαγνητίζει το μάτι, όπως αποδεικνύεται τουλάχιστον από την παγκόσμια έκθεση fractal εικόνων, που διοργανώθηκε από μια ομάδα μαθηματικών της Βρέμης υπό την ηγεσία των Peitgen και Richter. Αργότερα, τα εκθέματα αυτής της μεγαλειώδους έκθεσης αποτυπώθηκαν σε εικονογραφήσεις για το βιβλίο «The Beauty of Fractals» των ίδιων συγγραφέων. Αλλά υπάρχει μια άλλη, πιο αφηρημένη ή ανώτερη, πτυχή της ομορφιάς των φράκταλ, ανοιχτή, σύμφωνα με τον R. Feynman, μόνο στο νοητικό βλέμμα του θεωρητικού, με αυτή την έννοια, τα φράκταλ είναι όμορφα με την ομορφιά ενός δύσκολου μαθηματικού προβλήματος. Ο Benoit Mandelbrot επεσήμανε στους συγχρόνους του (και, πιθανώς, στους απογόνους του) ένα ατυχές κενό στα Στοιχεία του Ευκλείδη, σύμφωνα με το οποίο, χωρίς να παρατηρήσει την παράλειψη, η ανθρωπότητα για σχεδόν δύο χιλιετίες κατανόησε τη γεωμετρία του περιβάλλοντος κόσμου και έμαθε τη μαθηματική αυστηρότητα του παρουσίαση. Φυσικά, και οι δύο πτυχές της ομορφιάς των φράκταλ είναι στενά αλληλένδετες και δεν αποκλείουν, αλλά αλληλοσυμπληρώνονται, αν και καθεμία από αυτές είναι αυτάρκης.

Η φράκταλ γεωμετρία της φύσης, σύμφωνα με τον Mandelbrot, είναι μια πραγματική γεωμετρία που ικανοποιεί τον ορισμό της γεωμετρίας που προτείνεται στο «Πρόγραμμα Erlangen» του F. Klein. Γεγονός είναι ότι πριν από την εμφάνιση της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, ο Ν.Ι. Lobachevsky - L. Bolyai, υπήρχε μόνο μία γεωμετρία - αυτή που εκτέθηκε στις "Αρχές", και το ερώτημα τι είναι η γεωμετρία και ποια από τις γεωμετρίες είναι η γεωμετρία του πραγματικού κόσμου δεν προέκυψε και δεν μπορούσε σηκώνομαι. Αλλά με την εμφάνιση μιας άλλης γεωμετρίας, προέκυψε το ερώτημα τι είναι γενικά η γεωμετρία και ποια από τις πολλές γεωμετρίες αντιστοιχεί στον πραγματικό κόσμο. Σύμφωνα με τον F. Klein, η γεωμετρία μελετά τέτοιες ιδιότητες αντικειμένων που είναι αμετάβλητες υπό μετασχηματισμούς: Ευκλείδειο - αμετάβλητες της ομάδας κινήσεων (μετασχηματισμοί που δεν αλλάζουν την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων, δηλ. αντιπροσωπεύουν μια υπέρθεση παράλληλων μεταφράσεων και περιστροφών με ή χωρίς αλλαγή στον προσανατολισμό) , γεωμετρία Lobachevsky-Bolyai - αμετάβλητες της ομάδας Lorentz. Η γεωμετρία φράκταλ ασχολείται με τη μελέτη των αναλλοίωτων της ομάδας των μετασχηματισμών αυτοσυνάφειας, δηλ. ιδιότητες που εκφράζονται από νόμους ισχύος.

Όσον αφορά την αντιστοιχία με τον πραγματικό κόσμο, η γεωμετρία φράκταλ περιγράφει μια πολύ ευρεία κατηγορία φυσικών διεργασιών και φαινομένων, και επομένως μπορούμε, ακολουθώντας τον B. Mandelbrot, να μιλήσουμε δικαίως για τη γεωμετρία φράκταλ της φύσης. Τα νέα - φράκταλ αντικείμενα έχουν ασυνήθιστες ιδιότητες. Τα μήκη, τα εμβαδά και οι όγκοι ορισμένων φράκταλ είναι ίσα με μηδέν, άλλα στρέφονται στο άπειρο.

Η φύση δημιουργεί συχνά εκπληκτικά και όμορφα φράκταλ, με τέλεια γεωμετρία και τέτοια αρμονία που απλά παγώνεις από θαυμασμό. Και ιδού τα παραδείγματά τους:

θαλάσσια κοχύλια

Αστραπήθαυμάζοντας την ομορφιά τους. Τα φράκταλ που δημιουργούνται από τον κεραυνό δεν είναι τυχαία ή κανονικά.

σχήμα φράκταλ υποείδος κουνουπιδιού(Brassica cauliflora). Αυτό το ειδικό είδος είναι ένα ιδιαίτερα συμμετρικό φράκταλ.

Π φτέρηείναι επίσης ένα καλό παράδειγμα φράκταλ μεταξύ της χλωρίδας.

παγώνιαΌλοι είναι γνωστοί για το πολύχρωμο φτέρωμά τους, στο οποίο κρύβονται συμπαγή φράκταλ.

Σχέδια πάγου, παγετούστα παράθυρα είναι και αυτά φράκταλ

Ο
t μεγεθυσμένη εικόνα φυλλάδιο, πριν κλαδιά δέντρων- μπορείτε να βρείτε φράκταλ σε όλα

Τα φράκταλ βρίσκονται παντού και παντού στη φύση γύρω μας. Ολόκληρο το σύμπαν είναι χτισμένο σύμφωνα με εκπληκτικά αρμονικούς νόμους με μαθηματική ακρίβεια. Είναι δυνατόν μετά από αυτό να σκεφτούμε ότι ο πλανήτης μας είναι ένας τυχαίος συμπλέκτης σωματιδίων; Μετά βίας.

Κεφάλαιο 4

Τα φράκταλ βρίσκουν όλο και περισσότερες εφαρμογές στην επιστήμη. Ο κύριος λόγος για αυτό είναι ότι περιγράφουν τον πραγματικό κόσμο μερικές φορές ακόμη καλύτερα από την παραδοσιακή φυσική ή τα μαθηματικά. Ορίστε μερικά παραδείγματα:

Ο
βρίσκονται οι μέρες των πιο ισχυρών εφαρμογών των φράκταλ γραφικά υπολογιστή. Πρόκειται για φράκταλ συμπίεση εικόνων. Η σύγχρονη φυσική και μηχανική μόλις αρχίζουν να μελετούν τη συμπεριφορά των φράκταλ αντικειμένων.

Τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων συμπίεσης fractal εικόνας είναι το πολύ μικρό μέγεθος του συσκευασμένου αρχείου και ο σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνας. Οι εικόνες που έχουν συσκευαστεί φράκτα μπορούν να κλιμακωθούν χωρίς την εμφάνιση pixelization (κακή ποιότητα εικόνας - μεγάλα τετράγωνα). Αλλά η διαδικασία συμπίεσης διαρκεί πολύ και μερικές φορές διαρκεί για ώρες. Ο αλγόριθμος συσκευασίας με απώλειες φράκταλ σάς επιτρέπει να ορίσετε το επίπεδο συμπίεσης, παρόμοιο με τη μορφή jpeg. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναζήτηση μεγάλων κομματιών της εικόνας παρόμοια με κάποια μικρά κομμάτια. Και μόνο ποιο κομμάτι είναι παρόμοιο με το οποίο είναι γραμμένο στο αρχείο εξόδου. Κατά τη συμπίεση, χρησιμοποιείται συνήθως ένα τετράγωνο πλέγμα (τα κομμάτια είναι τετράγωνα), γεγονός που οδηγεί σε μια ελαφρά γωνιότητα κατά την επαναφορά της εικόνας, ένα εξαγωνικό πλέγμα δεν έχει τέτοιο μειονέκτημα.

Το Iterated έχει αναπτύξει μια νέα μορφή εικόνας, το "Sting", που συνδυάζει fractal και "wave" (όπως jpeg) συμπίεση χωρίς απώλειες. Η νέα μορφή σάς επιτρέπει να δημιουργείτε εικόνες με δυνατότητα επακόλουθης κλιμάκωσης υψηλής ποιότητας και ο όγκος των αρχείων γραφικών είναι 15-20% του όγκου των ασυμπίεστων εικόνων.

Στη μηχανική και τη φυσικήΤα φράκταλ χρησιμοποιούνται λόγω της μοναδικής ιδιότητας να επαναλαμβάνουν τα περιγράμματα πολλών φυσικών αντικειμένων. Τα φράκταλ σάς επιτρέπουν να προσεγγίζετε δέντρα, επιφάνειες βουνών και ρωγμές με μεγαλύτερη ακρίβεια από τις προσεγγίσεις με τμήματα γραμμής ή πολύγωνα (με τον ίδιο αριθμό αποθηκευμένων δεδομένων). Τα μοντέλα φράκταλ, όπως και τα φυσικά αντικείμενα, έχουν "τραχύτητα", και αυτή η ιδιότητα διατηρείται σε μια αυθαίρετα μεγάλη αύξηση στο μοντέλο. Η παρουσία ενός ομοιόμορφου μέτρου στα φράκταλ καθιστά δυνατή την εφαρμογή της ολοκλήρωσης, τη θεωρία δυναμικού, τη χρήση τους αντί για τυπικά αντικείμενα στις εξισώσεις που έχουν ήδη μελετηθεί.

Τ
Η γεωμετρία φράκταλ χρησιμοποιείται επίσης για να σχεδιασμός συσκευών κεραίας. Αυτό χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό μηχανικό Nathan Cohen, ο οποίος τότε ζούσε στο κέντρο της Βοστώνης, όπου απαγορεύτηκε η εγκατάσταση εξωτερικών κεραιών σε κτίρια. Ο Cohen έκοψε ένα σχήμα καμπύλης Koch από αλουμινόχαρτο και στη συνέχεια το κόλλησε σε ένα κομμάτι χαρτί πριν το συνδέσει σε έναν δέκτη. Αποδείχθηκε ότι μια τέτοια κεραία δεν λειτουργεί χειρότερα από μια συμβατική. Και παρόλο που οι φυσικές αρχές μιας τέτοιας κεραίας δεν έχουν μελετηθεί μέχρι στιγμής, αυτό δεν εμπόδισε τον Κοέν να ιδρύσει τη δική του εταιρεία και να δημιουργήσει τη σειριακή τους παραγωγή. Αυτή τη στιγμή, η αμερικανική εταιρεία «Fractal Antenna System» έχει αναπτύξει έναν νέο τύπο κεραίας. Τώρα μπορείτε να σταματήσετε να χρησιμοποιείτε προεξέχουσες εξωτερικές κεραίες σε κινητά τηλέφωνα. Η λεγόμενη κεραία φράκταλ βρίσκεται απευθείας στην κύρια πλακέτα μέσα στη συσκευή.

Υπάρχουν επίσης πολλές υποθέσεις σχετικά με τη χρήση φράκταλ - για παράδειγμα, το λεμφικό και κυκλοφορικό σύστημα, οι πνεύμονες και πολλά άλλα έχουν επίσης φράκταλ ιδιότητες.

Κεφάλαιο 5. Πρακτική εργασία.

Αρχικά, ας εστιάσουμε στα φράκταλ "Κολιέ", "Νίκη" και "Τετράγωνο".

Πρώτα - "Κολιέ"(Εικ. 7). Ο κύκλος είναι ο εμπνευστής αυτού του φράκταλ. Αυτός ο κύκλος αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό των ίδιων κύκλων, αλλά μικρότερων μεγεθών, και ο ίδιος είναι ένας από πολλούς κύκλους που είναι ίδιοι, αλλά μεγαλύτερων μεγεθών. Άρα η διαδικασία της εκπαίδευσης είναι ατελείωτη και μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο προς μια κατεύθυνση όσο και προς την αντίθετη κατεύθυνση. Εκείνοι. το σχήμα μπορεί να μεγεθύνεται παίρνοντας μόνο ένα μικρό τόξο ή μπορεί να μειωθεί λαμβάνοντας υπόψη την κατασκευή του από μικρότερα.

ρύζι. 7.

Φράκταλ "κολιέ"

Το δεύτερο φράκταλ είναι "Νίκη"(Εικ. 8). Πήρε αυτό το όνομα επειδή εξωτερικά μοιάζει με το λατινικό γράμμα "V", δηλαδή "νίκη"-νίκη. Αυτό το φράκταλ αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό μικρών "v", που αποτελούν ένα μεγάλο "V", και στο αριστερό μισό, στο οποίο τα μικρά είναι τοποθετημένα έτσι ώστε τα αριστερά μισά τους να αποτελούν μια ευθεία γραμμή, το δεξί μέρος είναι χτίστηκε με τον ίδιο τρόπο. Κάθε ένα από αυτά τα "v" είναι χτισμένο με τον ίδιο τρόπο και συνεχίζει αυτό στο άπειρο.

Εικ.8. Φράκταλ "Νίκη"

Το τρίτο φράκταλ είναι "Τετράγωνο" (Εικ. 9). Κάθε πλευρά του αποτελείται από μια σειρά κελιών, σε σχήμα τετραγώνων, των οποίων οι πλευρές αντιπροσωπεύουν επίσης σειρές κελιών κ.ο.κ.

Εικ. 9. Φράκταλ "Τετράγωνο"

Το φράκταλ ονομάστηκε «Τριαντάφυλλο» (Εικ. 10), λόγω της εξωτερικής ομοιότητάς του με αυτό το λουλούδι. Η κατασκευή ενός φράκταλ συνδέεται με την κατασκευή μιας σειράς ομόκεντρων κύκλων, η ακτίνα των οποίων αλλάζει αναλογικά με μια δεδομένη αναλογία (στην περίπτωση αυτή, R m / R b = ¾ = 0,75.). Μετά από αυτό, ένα κανονικό εξάγωνο εγγράφεται σε κάθε κύκλο, η πλευρά του οποίου είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω του.

Ρύζι. 11. Φράκταλ "Rose *"

Στη συνέχεια, γυρίζουμε στο κανονικό πεντάγωνο, στο οποίο σχεδιάζουμε τις διαγώνιές του. Στη συνέχεια, στο πεντάγωνο που λαμβάνεται στη διασταύρωση των αντίστοιχων τμημάτων, σχεδιάζουμε και πάλι διαγώνιες. Ας συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία στο άπειρο και ας πάρουμε το φράκταλ «Πεντάγραμμο» (Εικ. 12).

Ας εισάγουμε ένα στοιχείο δημιουργικότητας και το φράκταλ μας θα πάρει τη μορφή ενός πιο οπτικού αντικειμένου (Εικ. 13).

R
είναι. 12. Φράκταλ «Πεντάγραμμο».

Ρύζι. 13. Φράκταλ "Πεντάγραμμα *"

Ρύζι. 14 φράκταλ "Μαύρη τρύπα"

Πείραμα Νο. 1 "Δέντρο"

Τώρα που κατάλαβα τι είναι ένα φράκταλ και πώς να το φτιάξω, προσπάθησα να δημιουργήσω τις δικές μου φράκταλ εικόνες. Στο Adobe Photoshop, δημιούργησα μια μικρή υπορουτίνα ή δράση , η ιδιαιτερότητα αυτής της ενέργειας είναι ότι επαναλαμβάνει τις ενέργειες που κάνω και έτσι βγάζω ένα φράκταλ.

Αρχικά, δημιούργησα ένα φόντο για το μελλοντικό μας φράκταλ με ανάλυση 600 επί 600. Στη συνέχεια σχεδίασα 3 γραμμές σε αυτό το φόντο - τη βάση του μελλοντικού μας φράκταλ.

ΑΠΟΤο επόμενο βήμα είναι να γράψετε το σενάριο.

διπλό στρώμα ( στρώμα > διπλότυπο) και αλλάξτε τον τύπο μείγματος σε " Οθόνη" .

Ας τον φωνάξουμε" fr1". Αντιγράψτε αυτό το επίπεδο (" fr1") άλλες 2 φορές.

Τώρα πρέπει να μεταβούμε στο τελευταίο στρώμα (fr3) και συγχωνεύστε το δύο φορές με το προηγούμενο ( ctrl+e). Μειώστε τη φωτεινότητα του στρώματος ( Εικόνα > Προσαρμογές > Φωτεινότητα/Αντίθεση , σετ φωτεινότητας 50% ). Και πάλι, συγχωνεύστε με το προηγούμενο στρώμα και κόψτε τις άκρες ολόκληρου του σχεδίου για να αφαιρέσετε αόρατα μέρη.

Ως τελευταίο βήμα, αντέγραψα αυτήν την εικόνα και την επικόλλησα σε μείωση μεγέθους και περιστροφή. Εδώ είναι το τελικό αποτέλεσμα.

συμπέρασμα

Αυτό το έργο είναι μια εισαγωγή στον κόσμο των φράκταλ. Εξετάσαμε μόνο το μικρότερο μέρος του τι είναι τα φράκταλ, με βάση τις αρχές που έχουν χτιστεί.

Τα φράκταλ γραφικά δεν είναι απλώς ένα σύνολο εικόνων που επαναλαμβάνονται μόνοι τους, είναι ένα μοντέλο της δομής και της αρχής οποιουδήποτε όντος. Όλη μας η ζωή αντιπροσωπεύεται από φράκταλ. Όλη η φύση γύρω μας αποτελείται από αυτά. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα φράκταλ χρησιμοποιούνται ευρέως σε παιχνίδια υπολογιστή, όπου τα εδάφη είναι συχνά εικόνες φράκταλ που βασίζονται σε τρισδιάστατα μοντέλα πολύπλοκων συνόλων. Τα φράκταλ διευκολύνουν πολύ τη σχεδίαση γραφικών υπολογιστή· με τη βοήθεια φράκταλ δημιουργούνται πολλά ειδικά εφέ, διάφορες υπέροχες και απίστευτες εικόνες κ.λπ. Επίσης, με τη βοήθεια της γεωμετρίας φράκταλ σχεδιάζονται δέντρα, σύννεφα, ακτές και όλη η υπόλοιπη φύση. Τα φράκταλ γραφικά χρειάζονται παντού και η ανάπτυξη «τεχνολογιών φράκταλ» είναι ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα σήμερα.

Στο μέλλον, σκοπεύω να μάθω πώς να χτίζω αλγεβρικά φράκταλ όταν μελετώ τους μιγαδικούς αριθμούς με περισσότερες λεπτομέρειες. Θέλω επίσης να προσπαθήσω να δημιουργήσω την εικόνα φράκταλ μου στη γλώσσα προγραμματισμού Pascal χρησιμοποιώντας κύκλους.

Θα πρέπει να σημειωθεί η χρήση φράκταλ στην τεχνολογία υπολογιστών, εκτός από την απλή δημιουργία όμορφων εικόνων σε μια οθόνη υπολογιστή. Τα φράκταλ στην τεχνολογία υπολογιστών χρησιμοποιούνται στους ακόλουθους τομείς:

1. Συμπίεση εικόνων και πληροφοριών

2. Απόκρυψη πληροφοριών στην εικόνα, στον ήχο, ...

3. Κρυπτογράφηση δεδομένων με χρήση αλγορίθμων φράκταλ

4. Δημιουργία φράκταλ μουσικής

5. Μοντελοποίηση συστήματος

Στην εργασία μας δεν δίνονται όλοι οι τομείς της ανθρώπινης γνώσης, όπου η θεωρία των φράκταλ έχει βρει την εφαρμογή της. Θέλουμε μόνο να πούμε ότι δεν έχει περάσει περισσότερο από ένα τρίτο του αιώνα από την εμφάνιση της θεωρίας, αλλά κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου τα φράκταλ για πολλούς ερευνητές έχουν γίνει ένα ξαφνικό λαμπρό φως στη νύχτα, το οποίο φώτισε μέχρι στιγμής άγνωστα γεγονότα και μοτίβα σε συγκεκριμένα περιοχές δεδομένων. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία των φράκταλ, άρχισαν να εξηγούν την εξέλιξη των γαλαξιών και την ανάπτυξη του κυττάρου, την εμφάνιση βουνών και το σχηματισμό νεφών, την κίνηση των τιμών στο χρηματιστήριο και την ανάπτυξη της κοινωνίας και της οικογένειας. Ίσως, στην αρχή, αυτό το πάθος για τα φράκταλ ήταν ακόμη πολύ θυελλώδες και οι προσπάθειες να εξηγηθούν τα πάντα χρησιμοποιώντας τη θεωρία των φράκταλ ήταν αδικαιολόγητες. Αλλά, χωρίς αμφιβολία, αυτή η θεωρία έχει το δικαίωμα να υπάρχει, και λυπούμαστε που πρόσφατα κάπως ξεχάστηκε και παρέμεινε η παρτίδα της ελίτ. Κατά την προετοιμασία αυτής της εργασίας, ήταν πολύ ενδιαφέρον για εμάς να βρούμε εφαρμογές της ΘΕΩΡΙΑΣ στην ΠΡΑΞΗ. Γιατί πολύ συχνά υπάρχει η αίσθηση ότι η θεωρητική γνώση ξεχωρίζει από την πραγματικότητα της ζωής.

Έτσι, η έννοια των φράκταλ γίνεται όχι μόνο μέρος της «καθαρής» επιστήμης, αλλά και στοιχείο της ανθρώπινης κουλτούρας. Η επιστήμη των φράκταλ είναι ακόμα πολύ νέα και έχει ένα μεγάλο μέλλον μπροστά της. Η ομορφιά των φράκταλ απέχει πολύ από το να έχει εξαντληθεί και θα μας δώσει πολλά αριστουργήματα - αυτά που απολαμβάνουν το μάτι και αυτά που φέρνουν αληθινή ευχαρίστηση στο μυαλό.

10. Αναφορές

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Φράκταλ και πολυφράκταλ. RHD 2001 .

Vitolin D. Η χρήση των φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Σύνολα φράκταλ αυτοσυγγενών, «Τα Φράκταλ στη Φυσική». Μ.: Μιρ 1988

Mandelbrot B. Φράκταλ γεωμετρία της φύσης. - Μ.: «Ινστιτούτο Έρευνας Υπολογιστών», 2002.

Morozov A.D. Εισαγωγή στη θεωρία των φράκταλ. Nizhny Novgorod: Εκδοτικός Οίκος Nizhegorod. πανεπιστήμιο 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Η ομορφιά των φράκταλ. - Μ.: «Μιρ», 1993.

Πόροι του Διαδικτύου

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html